Podstawy matematyczne Wlasno´ sci zada ´ n optymalizacji Ograniczenia Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne mgr in˙ z. Piotr Kaczy ´ nski Wydzial Matematyczno-Przyrodniczy Szkola Nauk ´ Scislych Uniwersytet Kardynala Stefana Wyszy´ nskiego Podstawy optymalizacji Piotr Kaczy ´ nski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
31
Embed
Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne - Serwer studenckihome.elka.pw.edu.pl/~pkaczyns/mrae/wyklad_2.pdf · Podstawy matematyczne Własnosci zada´ n optymalizacji´ Ograniczenia Metody
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
gdzie U jest zbiorem wartosci, a | · | pewna metryka,Dany jest równiez pewien podzbiór D ⊆ U,W zadaniu dana jest równiez pewna funkcja F (x) : U → Rzwana funkcja celu,Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu takiegox ∈ D, ze
x = arg minx∈D
F (x)
Zadanie minimalizacji mozna sprowadzic do zadaniamaksymalizacji funkcji −F (x).
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Nałozenie ograniczen całkowitoliczbowych na zadaniasformułowane w Rn,Mozna próbowac rozwiazac metodami relaksacjiograniczenia x ∈ Zn,Rozwiazanie problemu ciagłego stanowi oszacowaniezadania dyskretnego,Prosty problem ciagły nie gwarantuje prostego problemudyskretnego!
Liniowosc (afinicznosc)Funkcja F jest liniowa, jesli
F (x) = aT x + b
gdzie a jest n-wymiarowym wektorem, b - stała.Rozwiazanie zadania lezy zawsze na brzegu zbiorurozwiazan dopuszczalnych D.
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Warunek LipshitzaWarunek na szybkosc zmiennosci funkcji,Funkcja spełnia ten warunek, jesli istnieje takie L <∞, ze
∀x1, x2 |F (x1)− F (x2)| 6 L|x1 − x2|
Rzadko kiedy jest znany w praktyce,Własciwosc dekompozycji
Funkcja majaca ta własnosc jest złozeniem wielu funkcji, zktórych kazda zalezy tylko od czesci zmiennych
F (x) = F(fi(x(i)))
gdzie fi(x(i)) sa funkcjami, których argument zawiera czescwektora x ,Wystarczy zminimalizowac fi i na koncu funkcje F ,To upraszcza zadanie, kazda z funkcji ma mniej zmiennychniz zawiera wektor x .
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Moze sie zdarzyc, ze istnieje spójny zbiór o jednakowejwartosci,Zbiór taki traktujemy jako jeden punkt i nazywamyminimum niewłasciwymIstnienie minimów lokalnych wynika z
Niewypukłosci funkcji celu,Niewypukłosci zbioru rozwiazan dopuszczalnych,
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Pojecie zwiazane z algorytmami optymalizacji lokalnej,Rozwazmy odwzorowanie
y(x) =
z∗ takie, ze∀z ∈ K (x , r) ∩ D F (z∗) 6 F (z) oraz F (z∗) < F (x)x w przeciwnym przypadku
Rozwazmy ciagi punktów xi+1 = y (i)(xi) (i-krotne złozeniefunkcji y ),Zbiór wszystkich punktów, które sa elementamipoczatkowymi tego ciagu zbieznego do minimumlokalnego x nazywamy obszarem przyciagania tegominimum,Relacja nalezenia do obszaru przyciagania danegominimum jest relacja równowaznosci
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Optymalizacja funkcji niestacjonarnej przyniestacjonarnych ograniczeniach
x(t) = arg minx∈D(t)
F (x , t)
gdzie t oznacza czas,Rozwiazaniem nie jest punkt, ale funkcja zalezna od t ,Warto zwrócic uwage, ze zbiór rozwiazan dopuszczalnychtez moze sie zmieniac w czasie,Zadanie trudniejsze niz optymalizacja statyczna
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Konieczne zastosowanie adaptacji,Podstawowa metoda: restart algorytmu po zajsciu zmiany,Jak zmiany nie sa znane - restart jak najczesciej,Jesli połozenia minimów zmieniaja sie nieznacznie — startod punktu poprzednio znalezionego
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Polega na modyfikacji funkcji celu,Funkcja celu w obszarze dopuszczalnym nie jestzmieniana,Nakładana jest „kara” za przekroczenie ograniczen,Funkcja celu musi byc okreslona poza obszaremdopuszczalnym,
DefinitionZewnetrzna funkcja kary nazywamy kazda funkcje f : U → Rtaka, ze
f pi (x) = 0 jesligi(x) 6 0
f pi (x) > 0 jesligi(x) > 0
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne
Równiez polega na modyfikacji funkcji celu,Funkcja celu jest zmieniana w obszarze dopuszczalnym,Nakładana jest „kara” za zblizanie sie do ograniczen,Stosowana, gdy funkcja celu nie jest zdefiniowana pozaobszarem dopuszczalnym,
DefinitionWewnetrzna funkcja kary nazywamy kazda funkcje f : D → Rtaka, ze
f pi (x) > 0
limgi (x)→0−
f pi (x) = ∞
Piotr Kaczynski Metody Rozmyte i Algorytmy Ewolucyjne