PRACA DOKTORSKA Metody identyfikacji ukladów ciąglych z wykorzystaniem funkcji modulujących i sklejanych i ich zastosowanie w regulatorze adaptacyjnym mgr inż. Marcin W. Nowak Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanislawa Staszica w Krakowie Wydzial Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Promotor: dr hab. inż. Witold Byrski, profesor nadzw. AGH Kraków, lipiec 2007
104
Embed
Metody identyfikacji układów ciągłych z wykorzystaniem ...winntbg.bg.agh.edu.pl/rozprawy/9911/full9911.pdf · Algorytmy regulacji klasycznej (nieadaptacyjne) . . . . . . . .
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PRACA DOKTORSKA
Metody identyfikacji układów ciągłychz wykorzystaniem funkcji modulujących
i sklejanych i ich zastosowaniew regulatorze adaptacyjnym
mgr inż. Marcin W. Nowak
Akademia Górniczo-Hutnicza
im. Stanisława Staszica
w Krakowie
Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki
Katedra Automatyki
Promotor: dr hab. inż. Witold Byrski, profesor nadzw. AGH
gdzie u(t) ∈ Rm, x(t) ∈ Rn, v(t) ∈ Rq i y(t),w(t) ∈ Rp, x(0) nieznane, znane są i mierzone u(t)i y(t). Ponadto zakłada się, że procesy stochastyczne w(t) i v(t) są białym szumem gaussowskim
o zerowej wartości średniej E(w(t)) = 0 i E(v(t)) = 0 oraz macierzach kowariancji postaci
E(v(t)v(t)T ) = Q i E(w(t)w(t)T ) = R. Procesy v(t) i w(t) są wzajemnie niezależne, czyli:
E(w(t)v(t)T ) = 0. Warunek początkowy x(t0) jest nieznanym wektorem losowym o rozkładzie
gaussowskim z zerową wartością średnią. Posiada on półokreśloną dodatnio macierz kowariancji
P(t0) = E(x(t0)x(t0)T ). Następnie konstruuje się odtwarzanie stanu x(t), tak by minimalizowana
25
była wartość wskaźnika jakości:
Jobs = limt→∞
E({x(t)− x(t)}{x(t)− x(t)}T ). (2.2)
Optymalnym rozwiązaniem jest filtr Kalmana dany równaniem:
˙x(t) = Ax(t) +Bu(t) +K(t)(y(t)−Cx(t)), (2.3)
gdzie x(0) zadawane, macierz filtru określona jest wzorem: K(t) = P(t)CTR−1 [44, 83, 80].
Natomiast macierz kowariancji jest wskazana przez rozwiązanie różniczkowego równania Ric-
ryczną w obliczeniach stałoprzecinkowych uzyskuje się przez zastosowanie struktur kratowych
[131]. Metody całkowe identyfikacji z funkcją modulującą charakteryzują się brakiem wrażliwości
na warunki początkowe identyfikowanego systemu oraz posiadają dobre właściwości filtracyjne.
Z uwagi na filtrujące właściwości całki metoda gwarantuje bardzo dobrą jakość identyfikacji
w obecności zakłóceń. Powyższe cechy sprawiają, że metody te są z powodzeniem stosowane dla
rzeczywistych procesów.
Praca [129] dotyczy zastosowania metod funkcji modulujących oraz metod wielokrotnego cał-
32
kowania za pomocą nieklasycznego rachunku operatorów R. Bittnera. Metodę zastosowano do
identyfikacji parametrów dynamiki statku jako modelu pierwszego rzędu oraz pokazano moż-
liwości zastosowania do identyfikacji obiektów o parametrach niestacjonarnych na przykładzie
modelu I-go rzędu dynamiki stężenia znacznika w ściekach.
3.2. Omówienie zasad identyfikacji dla obiektów SISO
Schemat poglądowy układu pomiarowego w zagadnieniu identyfikacji parametrów ciągłego sys-
temu SISO przedstawiono na rys. 3.1. Dane pomiarowe z wejść i wyjść identyfikowanego obiektu
przekazywane są do algorytmu co ∆t - czas dyskretyzacji. Zakłada się, że częstotliwość próbko-
wania jest na tyle duża, że efekt dyskretyzacji przetwornika jest pomijalny.
Rys. 3.1. Schemat poglądowy układu identyfikacji SISO z addytywnymi szumami.
Model liniowego, ciągłego procesu o jednym wejściu i jednym wyjściu (ang. Single Input
Single Output, SISO), o parametrach stałych w czasie (ang. Linear Time Invariant, LTI) ma
postać:n∑i=0
aiy(i)(t) =
m∑i=0
biu(i)(t), (3.1)
gdzie: y(i)(t), u(i)(t) są i-tą pochodną wyjścia i wejścia, ai, bi to nieznane stałe parametry modelu
o łącznej ilości n + m + 2. Zachowanie zasady przyczynowo-skutkowego zachowania modelu
wymaga by n m. Przyjęto, że dane są pomiary y(t) i u(t) na przedziale [t0, T ], gdzie T możebyć dalej rozważane jako czas bieżący. Ponadto poczyniono założenia, że warunki początkowe są
nieznane.
Model (3.1) wymaga pewnej uwagi wyjaśniającej. Można zauważyć, że przyjęto w modelu
wszystkie parametry nieznane ai, i ∈ [0, n] i bi, i ∈ [0,m]. Oznacza to, że identyfikacja będziezwiązana z najlepszym dopasowaniem obu stron równania (ang. equation error, EE), przy pew-
nych ogólnych warunkach ograniczających (aby wykluczyć rozwiązanie trywialne ai = bi = 0).
33
Powszechnym podejściem, od czasów C. F. Gaussa, jest identyfikacja tylko względem sygnału
wyjściowego y(t), przy z góry przyjętym założeniu wartości współczynnika a0 = 1 (to jest właśnie
warunek ograniczający) (ang. output error). Wszystkie znane wersje metody najmniejszych kwa-
dratów (MNK) dotyczą takiego przypadku. Metodologia EE wydaje się ogólniejsza, bo pozwala
identyfikować obiekty całkowe (a0 = 0) lub niższego rzędu niż założony (an = 0).
Problemem dla identyfikacji modelu (3.1) jest pomiar pochodnych y(i)(t), u(i)(t), zwłasz-
cza w zadaniach zakłóconych nieskorelowanymi szumami pomiarowymi νu(t) i νy(t) (rys. 3.1).
W celu uniknięcia trudności związanych z pomiarami pochodnych w (3.1) model ten zostanie
przekształcony w bardziej użyteczny poprzez transformację splotową sygnału pomiarowego na
skończonym oknie czasowym ze specjalnie dobranymi funkcjami modulującymi φ(t). Wybierając
specjalną funkcję filtrującą φ(t) ze znanymi pochodnymi φ(i)(t) można policzyć splot obu stron
modelu (3.1) o nieznanych pochodnych y(i)(t), u(i)(t) i funkcji φ(t).
Dla przyjętego liniowego, stacjonarnego oraz ciągłego system SISO n-tego rzędu o stałych
parametrach (3.1) dane są tylko ciągłe pomiary funkcji y(t) i u(t) na przedziale [t0, T ]. Zakłada
się, że y ∈ L2(t0, T ) i u ∈ L2(t0, T ). Nieznanych jest n +m + 2 parametrów ai i bi. Z powodu
nieznanych pochodnych y(i)(t) i u(i)(t) nie jest łatwo przeprowadzić bezpośrednią identyfikację
systemu (3.1). Aby ominąć te trudności, można skorzystać z własności transformacji splotowej,
poddając obie strony równania (3.1) splotowi (całkowanie każdego wyrazu) z wybraną, specjalną
funkcją filtrującą, zwaną też funkcją modulującą φ(t), o znanych również pochodnych φ(i)(t).
Zakłada się, że po wykonaniu splotu każdy wyraz sumy z lewej i prawej strony równania (3.1)
będzie tworzyć nową funkcję, również należącą do przestrzeni L2. W tym celu w dalszej części
tekstu, zostaną podane wymagania co do funkcji φ(t). Podstawową jej własnością powinno być,
że jest to funkcja o nośniku zwartym, tzn. określona i różna od zera na skończonym przedziale
(0, h), gdzie h << T−t0. Aby po wykonaniu operacji splatania równanie (3.1) zachowało równośćobu stron bez względu na warunki początkowe, muszą być też spełnione warunki zerowania się
funkcji φ(t) i jej pochodnych φ(i)(t) na brzegach nośnika. Wtedy otrzymuje się równoważny do
(3.1) model algebraiczny (3.2), w którym po lewej i prawej stronie występują sumy znanych już
funkcji yi(t) i ui(t) otrzymanych w wyniku splatania, z tymi samymi, nieznanymi parametrami
ai i bi:n∑i=0
aiyi(t) =m∑i=0
biui(t). (3.2)
Model ten umożliwia już opracowanie procedur identyfikacji. Poniżej przedstawione zostaną
szczegóły wyżej przeprowadzonych operacji i warunki ich wykonania.
3.3. Splotowa estymacja pochodnych sygnału
Wierne odtworzenie kolejnych pochodnych sygnału pomiarowego jest celem wielu metod jego
przetwarzania. Jedną z metod liniowej transformacji funkcji y jest filtracja splotowa z wybraną
34
funkcją φ. Problem stanowi poprawność doboru odpowiedniego kształtu funkcji modulującej φ(t)
przy nałożonych ograniczeniach. Ta funkcja powinna być niezerowa w przedziale [0, h], h � T
i zero na zewnątrz tego przedziału (funkcja ze zwartym nośnikiem). Z własności splotu wynika
możliwość uniknięcia konieczności liczenia pochodnych y(i) i u(i) na rzecz znanych pochodnych
φ(t). Splot generuje nowe funkcje yi(t), ui(t), dla i = 0, . . . , n(m) i czasu t ∈ [t0 + h, T ]. Z wła-ściwości splotu [8] wynika, że:
Dla specjalnie dobranych funkcji filtrujących o nośniku zwartym φ(t) ∈ Cn[0, h] oraz ciągłychpomiarów danych funkcją y(t), gdzie y(t) i φ(t) są bezwzględnie całkowalne w t ∈ [t0, T ] zachodzi:
yi(t)df= y(t) ∗ φ(i)(t) df=
+∞∫−∞
y(τ)φ(i)(t− τ)dτ (3.4)
=t−h∫−∞
y(τ)φ(i)(t− τ)dτ +t∫
t−h
y(τ)φ(i)(t− τ)dτ +∞∫t
y(t)φ(i)(t− τ)dτ . (3.5)
Ponieważ funkcja modulująca φ(t) = 0 dla t /∈ (0, h), metoda jest nieczuła na wpływ warunkówpoczątkowych na jakość identyfikacji. Pierwsza i trzecia całka w (3.5) są równe 0. Ostatecznie
z (3.3) otrzymuje się:
yi(t)df=
t∫t−h
y(i)(τ)φ(t− τ)dτ =t∫
t−h
y(τ)φ(i)(t− τ)dτ =h∫0
y(t− τ)φ(i)(τ)dτ . (3.6)
Rys. 3.2. Sploty.
Wyniki operacji splatania sygnału pomiarowego z funkcją modulującą przedstawiono na rys.
3.2. Dla bieżącego czasu t, równanie (3.6) i (3.7) reprezentuje sunące okno, przetwarzające sygnał
35
pomiarowy u i y na przedziale [0, T ]. Odpowiednio dla sygnału wejściowego otrzymujemy:
ui(t)df=
h∫0
u(i)(t− τ)φ(τ)dτ =h∫0
u(t− τ)φ(i)(τ)dτ . (3.7)
3.4. Dobór kształtu funkcji modulującej
Konieczność spełnienia równania (3.1) w klasie funkcji L2 powoduje, że sploty muszą też być
funkcjami należącymi do L2[t0+h, T ]. Wynika z tego, że funkcje φ(t) muszą posiadać odpowiednią
gładkość zerując się wraz ze swoimi pochodnymi na brzegach nośnika:
φ(i)(0) = φ(i)(h) = 0 dla każdego i = 0, . . . , n. (3.8)
Dodatkowy warunek ograniczający dobór funkcji modulującej wynika z rozwinięcia φ(t) w sze-
reg Fouriera o okresie [0, h]. Dla φ(t) poddanego transformacie sinusowej i kosinusowej powinny
występować wszystkie współczynniki rozwinięcia. W przeciwnym razie filtracja będzie usuwa-
ła z sygnału pomiarowego pewne częstotliwości, co spowoduje zubożenie informacji zawartej
w sygnale pomiarowym dla zadania identyfikacji. Wyklucza to funkcje symetryczne postaci:
φ(h
2+ t) = φ(
h
2− t) dla każdego t ∈ (0, h
2) (3.9)
oraz funkcje parzyste:
φ(h
2+ t) = −φ(h
2− t) dla każdego t ∈ (0, h
2). (3.10)
Ogólnie dla funkcji modulującej powinien zachodzić też warunek jednoznaczności splotu w prze-
dziale [0, h]. Jeżeli:
y(t) ∗ φ(t) = 0⇒ y(t) = 0 dla t ∈ [0, h]. (3.11)
Dodatkowe szczegółowe informacje dotyczące wymagań stawianych funkcją modulującym
w zastosowanym do zagadnienia identyfikacji podano w [17].
3.5. Optymalna identyfikacja
Rysunek 3.3 przedstawia schemat poglądowy metody błędu niedopasowania obustronnego rów-
nania (ang. Equantion Error, EE). Niedopasowanie może wynikać z błędów numerycznych, szu-
mów pomiarowych na rejestrowanych przebiegach u(t) i y(t) lub złym doborem rzędów modelu
36
n i m w stosunku do systemu rzeczywistego
n∑i=0
aiyi(t) =m∑i=0
biui(t) + ε(t). (3.12)
Do równania (3.2) dodano więc funkcję skalującą ε(t) ∈ L2(0, T ) wyrażającą sumacyjny efektbłędu niedopasowania równania.
Rys. 3.3. Rysunek poglądowy metody błędu niedopasowania obustronnego równania.
Norma różnicy obu stron równania została przyjęta jako wskaźnik jakości doboru parametrów
modelu
J =
∥∥∥∥∥n∑i=0
aiyi(t)−m∑i=0
biui(t)
∥∥∥∥∥L2[0,T ]
. (3.13)
Wektory funkcji yi(t), ui(t) i parametrów ai, bi zostały oznaczone odpowiednio jako c(t) i Θ:
ε(t) = cT (t)Θ =[yT (t) −uT (t)
]Θ
=[y0(t) . . . yn(t) −u0(t) . . . −um(t)
]·[a0 . . . an b0 . . . bm
]T.(3.14)
Problem minimalizacji ma postać:
minΘJ2 = min
Θ‖ε(t)‖2L2[0,T ] = minΘ
∥∥∥cT (t)Θ∥∥∥2L2[0,T ]
. (3.15)
Kwadrat normy jest iloczynem skalarnym w przestrzeni L2:
J2 =⟨cT (t)Θ, cT (t)Θ
⟩L2= ΘT
⟨c(t), cT (t)
⟩Θ = ΘTGΘ. (3.16)
Macierz Grama G jest symetryczną macierzą liczbową iloczynów skalarnych elementów wektora
Macierz G jest symetryczna, dodatnio określona, nieosobliwa (liniową niezależność elementów
wektora c(t) gwarantują szumy pomiarowe) i posiada rzeczywiste i różne wartości własne.
3.5.1. Ograniczenie liniowe na wartość parametrów
Dla warunku normalizującego, eliminującego rozwiązanie trywialne Θ = 0 przyjmuje się ogólne
liniowe ograniczenie:
ηTΘ = 1, (3.19)
gdzie η ∈ Rn+m+2 jest dowolnym liczbowym wektorem. Jak było to powiedziane, w zagadnieniachidentyfikacji powszechnie przyjmowane jest np. a0 = 1 czyli ηT = [1, 0 . . . 0]. W celu rozwiązania
problemu optymalizacji z ograniczeniami liniowymi tworzymy funkcję Lagrange’a:
L = ΘTGΘ+ λ(ηTΘ− 1). (3.20)
Z warunku koniecznego istnienia minimum:
∂L
∂Θ= 2GΘ+ λη = 0. (3.21)
Mnożąc obustronnie równanie (3.21) przez ΘT otrzymujemy:
2ΘTGΘ+ λ = 0⇒ λ = −2ΘTGΘ. (3.22)
Z (3.21) wynika, że:
Θ = −12λG−1η, (3.23)
38
z równań (3.22) i (3.23) otrzymujemy:
λ = −12λ2ηTG−1GG−1η = −1
2λ2ηTG−1η. (3.24)
Następnie obliczamy λ różne od zera:
λ = − 2ηTG−1η
. (3.25)
Otrzymany z (3.23) i (3.25) wzór na optymalną estymatę parametrów wygląda następująco:
ΘO =G−1ηηTG−1η
. (3.26)
3.5.2. Ograniczenie kwadratowe na wartości parametrów
Inne wyniki na optymalne parametry Θ otrzymuje się przyjmując ograniczenie kwadratowe [19]:
ΘTΘ = 1. (3.27)
Parametry należą do kuli jednostkowej Θ ∈ B(0, 1). Funkcja Lagrange’a L ma postać:
L = ΘTGΘ+ λ(1−ΘTΘ). (3.28)
Z warunków koniecznych optymalności wynika:
∂L
∂Θ= 2GΘ− λΘ = 0⇒ GΘo = λΘo. (3.29)
Optymalny zestaw parametrów Θo jest wektorem własnym wmin macierzy Grama G związa-
nym z minimalną wartością własną λmin, która jest rzeczywista i dodatnia. Jest to szczególny
przypadek wzoru (3.26) dla η = wmin.
3.5.3. Wyliczenie wektorów własnych
Opis rozwiązania pełnego zagadnienia poszukiwania wektorów i wartości własnych można znaleźć
w podręcznikach do metod numerycznych [6, 59, 35, 8] oraz w dokumentacji do najbardziej
popularnych pakietów bibliotek numerycznych [1, 38, 105]. Metody te bazują na dekompozycji
macierzy na iloczyn dwóch macierzy Q i R, gdzie Q jest macierzą ortogonalną, a R jest macierzą
trapezoidalną górną. Ponadto podano uproszczenia metody dla macierzy symetrycznych, jaką
w rozważanej metodzie identyfikacji jest macierz Grama.
Przybliżone rozwiązania bazują na jednokrotnym rozwiązaniu pełnego zagadnienia własnego
dla macierzy Grama. Następnie w kolejnych iteracjach rozwiązywane są tylko odpowiednie rów-
39
nania różniczkowe, które mają zadanie śledzenia wektora własnego skojarzonego z najmniejszą
wartością własną. Postacie równań różniczkowych wraz z porównaniem ich właściwości przed-
stawiono w [18, 19].
Metoda iteracji odwrotnej jest odmianą metody potęgowej o zbieżności porównywalnej z me-
todami dekompozycji QR i LR [35] dla zagadnienia własnego. Charakteryzuje się brakiem
konieczności wyliczenia początkowego wektora własnego skojarzonego z najmniejszą wartością
własną, wystarczy wybrać początkowy wektor ‖x0‖ = 1. Cyklicznie w każdym kroku, kolejnychchwilach czasowych, wyliczana jest jedna iteracja równania:
vi+1 = (A− kiI)−1ximi+1 = ‖vi+1‖
xi+1 =vi+1mi+1, (3.30)
gdzie ki jest przesunięciem, którego dobranie blisko wartości własnej λn powoduje uzyskanie
lepszej zbieżności metody. Stosując metody potęgowe w stosunku do równań różniczkowych nie
ma problemu z wyborem metody rozwiązywania równań różniczkowych.
3.6. Rozszerzane i ruchome okno
Główne okno przetwarzające sygnały ma długość [0, T ]. Można założyć, że w zastosowaniach
on-line prawa jego strona stanie się bieżącym czasem T = t. Takie okno stanie się więc oknem
rozszerzanym. W każdej chwili czasu T = t uzyskane rozwiązanie na parametry Θ reprezentuje
stałą ich wartość w przedziale [0, T ]. W przypadku zmienności parametrów, taka metoda daje
uśrednioną ich wartość zawsze dla przedziału [0, T = t]. Należy wtedy dla ∀T = t doliczyć nowewartości końcowe splotów yi(T ) i ui(T ) oraz nowe wartości iloczynów skalarnych w macierzy
Grama.
Rys. 3.4. Porównanie obserwacji rozszerzanego (a) i okna ruchomego (b).
40
Rozszerzane okno całkowe (ang. expanded window) odpowiada rozwiązaniu równania różnicz-
kowego, gdzie wartość aktualnej chwili czasowej zależy od wartości początkowej, dynamiki układu
oraz historii/trajektorii sterowań. Wadą rozszerzalnego okna jest zbyt wolne adaptowanie się do
zmieniających warunków i brak zapominania historii, rys. 3.4. W zadaniach asymptotycznych
należy posługiwać się wtedy współczynnikiem zapominania.
By obliczyć wartość estymowanych parametrów potrzebna jest aktualna wartość macierzy
Grama. W obliczeniach rekurencyjnych na bieżąco możemy wykorzystać informację o warto-
ści macierzy Grama w poprzedniej chwili czasowej, ewentualnie kilku poprzednich wartościach
macierzy Grama, w zależności od tego, jaką metodę całkowania wykorzystujemy do policzenia
iloczynów skalarnych.
Rozszerzalne okno można wykorzystać do oszacowania minimalnej długości ruchomego okna
o stałej szerokości. Rozszerzane okno od pewnego momentu ma zgromadzoną wystarczającą
ilość informacji by poprawnie wyliczyć parametry identyfikowanego systemu. Taką szerokość
rozszerzanego okna T można uznać za wystarczającą dla uruchomienia ruchu okna. Wtedy należy
odrzucać w macierzy Grama początkowe [t−T, t] iloczyny skalarne nie wchodzące już do obliczeńokna [t − T, t]. Takie przesuwane okno o stałej szerokości T lepiej identyfikuje parametry Θ(t),które mogą być niestacjonarne.
41
Rozdział 4
Optymalizacja kształtu funkcjimodulujących
Bardzo dobrą jakość identyfikacji modeli liniowych, ciągłych w obecności zakłóceń gwarantują
metody wykorzystujące splotowe filtry z funkcjami modulującymi z nośnikiem zwartym. W tym
rozdziale zostaną przedstawione takie funkcje, a w szczególności omówione będą metody filtracji
pochodnych sygnałów w zastosowaniu do identyfikacji systemów ciągłych.
4.1. Przegląd funkcji modulujących
Do identyfikacji systemów ciągłych w dziedzinie czasu wykorzystuje się metody: momentów funk-
cyjnych Poissona (ang. Poisson moment functionals, PMF), Block Pulse Function, funkcji Wal-
sha, wielomianów ortogonalnych, ogólnych hybrydowych funkcji ortogonalnych (ang. general hy-
brid orthogolan functions), wielomianów Laguerry, momentów czasowych (ang. time moments),
delayed state variable filters, metody momentów funkcyjnych Shinbrota, funkcji modulujących
Hermita, funkcji modulujących Fouriera, modulujących funkcji sklejanych, funkcji modulujących
Hartleya.
Tabela 4.1 zawiera przegląd różnych funkcji modulujących. Problemem jest taki dobór pod-
stawowych/charakterystycznych parametrów funkcji modulującej by stanowiły one bazę do ge-
neracji całej rodziny funkcji modulujących danego typu. Takie podejście umożliwi późniejszą
optymalizację kształtu.
W dalszych rozważaniach ograniczymy się do funkcji Loeba i Cahena postaci φ(t) = tM(h−t)N , liczby M 6= N . Taka funkcja określona na przedziale [0, h] zeruje się wraz ze swoimi po-
chodnymi na brzegach przedziału wg (3.8) i ma postać dzwonu, rys. 4.1. Funkcja ta ma jedynie
dwa stopnie swobody M i N wpływania na jej kształt przy ustalonym oknie h. Zwykle taka
ilość stopni swobody okazuje się niewystarczająca w optymalizacji kształtu funkcji modulującej.
Wydaje się naturalnym rozwinięcie tej funkcji jako złożenie kilku wzajemnie poprzesuwanych
gdzie dij to współczynniki skalujące, N jest ilością węzłów, n jest stopniem wielomianu aprok-
symującego. Z uwagi na problemy nieciągłości pochodnych wynikłe z błędów numerycznych po-
wstałych w trakcie sklejania powyższych wielomianów, zrezygnowano z przedstawionego wyżej
wzoru. Wielomianowe funkcje sklejane zostały zastąpione unormowanymi bazowymi funkcjami
sklejanymi, które z uwagi na swoje właściwości gwarantują swobodę wyboru węzłów i ciągłość
założonego rzędu.
Funkcje modulujące i rzeczywiste sygnały pomiarowe mogą przyjmować zbyt skomplikowane
45
kształty by przybliżyć je pojedynczym wielomianem. Stopień takiego wielomianu k musiałby być
zbyt wysoki, co powodowało by w praktyce dużą komplikację obliczenia jego współczynników [58].
Zastosowanie funkcji sklejanych s(t) umożliwia podzielenie tych krzywych na mniejsze fragmenty,
które jesteśmy w stanie przybliżyć wielomianem znacznie niższego stopnia (rys. 4.2).
Rys. 4.2. Przykład bazowych funkcji sklejanych, N = 10, k = 3.
Przyjmujemy niemalejący ciąg N punktów kontrolnych ui, zwanych dalej węzłami funkcji
sklejanej (i - nr węzła), takich że:
u0 ¬ u1 ¬, . . . ,¬ uN−1 ¬ uN dla N > k. (4.4)
Węzły gwarantują ciągłość krzywej s(t) wraz z pochodnymi co najmniej rzędu k − r, gdzier jest krotnością występowania węzła. Krotność występowania tego samego węzła na końcach
krzywej narzuca dodatkowe ograniczenia na wartości kolejnych pochodnych w tym punkcie.
s(t) =N−k−1∑i=0
diBki (t), (4.5)
gdzie di są współrzędnymi w bazie funkcji Bki (t) przestrzeni wielomianów stopnia nie większego
W literaturze można znaleźć wiele przykładów zastosowań funkcji sklejanych w problemie ste-
rowania procesami. Dotychczas wykorzystywano funkcje sklejane do interpolacji wartości funkcji
w dyskretnych punktach symulowanych i pomiarowych, np. modelowania krzywych i powierzch-
ni, śledzenia trajektorii ruchomych obiektów [87]. Niniejszy rozdział przedstawia ich przydatność
do identyfikacji ciągłego układu przez aproksymację wartości sygnału pomiarowego wraz z po-
chodnymi, obserwacji stanu układu w zastosowaniu do regulacji LQR obiektów SISO.
56
Rozdział 6
Regulator adaptacyjny
W rozdziale zostanie przedstawiona koncepcja budowy regulatora LQR z adaptacją pośrednią.
Wykorzystuje on w swym działaniu metody identyfikacji parametrów i obserwacji stanu.
6.1. Obserwator bazujący na macierzy Toeplitza
Wyprowadzenie równania na obserwator stanu pokażemy na przykładzie rzędu 3. Dana standar-
dowa postać obserwowalna:x1
x2
x3
=0 0 −a0
a3
1 0 −a1a3
0 1 −a2a3
x1
x2
x3
+b0a3b1a3b2a3
u (6.1)
y =[0 0 1
] x1
x2
x3
(6.2)
podstawiając za y i y:
y = x3 (6.3)
y = x3 = x2 −a2a3x3 +
b2a3u (6.4)
y = x3 = x2 −a2a3x3 +
b2a3u (6.5)
= x1 −a2a3x2 + (
a22a23− a1a3)x3 + (
b1a3− b2a2
a23)u+
b2a3u, (6.6)
57
otrzymanym w zapisie macierzowym:
y
y
y
=0 0 1
0 1 −−a2a3
1 −a2a3
a22a23− a1a3
︸ ︷︷ ︸
Cd
x1
x2
x3
+
0 0b2a3
0b1a3− b2a2a23
b2a3
︸ ︷︷ ︸
Dd
u
u
. (6.7)
Następnie wprowadzamy nowe oznaczenia na macierze współczynników modelu
y = Cdx+Ddu. (6.8)
Macierz Cd jest nieosobliwa, co pozwala nam ją odwrócić by uzyskać ostatecznie stan:
x = C−1d y −C−1d Ddu (6.9)
C−1d = H1 =1a3
a1 a2 a3
a2 a3 0
a3 0 0
,C−1d Dd = H2 = 1a3b1 b2
b2 0
0 0
. (6.10)
Przy znanych przebiegach sygnałów y, y i y - z równania (6.9) można odtworzyć stan x(t).
6.2. Algorytm obserwacji stanu
Równanie modelu (3.1) można przedstawić w postaci równania stanu wraz z równaniem wyjścia:
x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t)(6.11)
Macierze w (6.11) są dobrane w postaci Frobeniusa gwarantującej obserwowalność stanu:
A =
0 . . . . . . 0 − a0an
1 . . ....
...
0 . . . . . ....
...... . . . . . . 0
...
0 . . . 0 1 −an−1an
n×n
B =
b0an...bn−1an
n×1
C =[0 · · · 0 1
]1×n.
(6.12)
58
Z równania (3.1) i (6.12) można otrzymać następującą postać wektora stanu – równoważną
w sensie dystrybucyjnym stanowi z (6.11) i wykorzystującą pochodne wejść i wyjść.
x(t) = H1
y(0)(t)
y(1)(t)...
y(n−1)(t)
n×1
−H2
u(0)(t)
u(1)(t)...
u(n−2)(t)
n−1×1
, (6.13)
gdzie H1 i H2 są macierzami Toeplitza zawierającymi zidentyfikowane parametry systemu o po-
staci:
H1 =1an
a1 . . . an−1 an
a2 . . . an 0... ... ... ...
an 0 . . . 0
n×n
, H2 =1an
b1 . . . bn−2 bn−1
b2 . . . bn−1 0... ... ... ...
bn−1 0 . . . 0
n×(n−1)
. (6.14)
Równanie (6.13), jakkolwiek mało znane i używane ze względu na konieczność dostępu do
pochodnych sygnałów, jest w pełni przydatne w naszym rozwiązaniu. Pochodne sygnałów wej-
ściowych i wyjściowych, jak również same sygnały u i y uzyskuje się przy pomocy funkcji mo-
dulujących lub sklejanych. W ten sposób po podstawieniu tych danych do algorytmu (6.13)
otrzymuje się sygnał x(t), który jest estymatą stanu oryginalnego x(t).
x(t) = H1
y(0)(t)
y(1)(t)...
y(n−1)(t)
n×1
−H2
u(0)(t)
u(1)(t)...
u(n−2)(t)
(n−1)×1
. (6.15)
W przypadku przetwarzania u i y metodą splotów z funkcją φ otrzymuje się y(i)(t) = yi(t),
u(i)(t) = ui(t). Stan x(t) reprezentuje wtedy liniową transformację stanu oryginalnego x(t) ∗y(t) = x(t). Splotowi poddaje się obie strony równania (6.13). W przypadku aproksymacji
bezpośredniej funkcji y(i)(t) i u(i)(t) w (6.13) funkcjami sklejanymi, otrzymuje się funkcje y(i)(t)
i u(i)(t) w (6.15).
6.3. Adaptacyjny regulator liniowo-kwadratowy
W przedstawionym rozwiązaniu zakładamy, że sterowanie jest proporcjonalne do stanu x(t)
u(t) = −Kx(t). (6.16)
59
Układ równań po zamknięciu pętli sprzężenia zwrotnego ma postać:
˙x(t) = (A−BK)x(t) = Azx(t). (6.17)
Zastosowanie splotów lub funkcji sklejanych umożliwia jednoczesną identyfikację parametrów
układu ciągłego i estymację stanu x. Przedstawione rozwiązanie może być użyte do budowy
regulatora adaptacyjnego, którego schemat blokowy przedstawiono na rys. 6.1.
Rys. 6.1. Schemat adaptacyjnego regulatora stanu.
Macierz regulatora K spełnia Algebraiczne Równanie Riccatiego w standardowym schemacie
LQR z macierzami wagowymi Q i R.
KA+ATK−KBR−1BTK+Q = 0. (6.18)
Dla stabilizowanych obiektów inercyjnych dobre efekty daje zwiększenie rzędu wektora stanu
(wprowadzenie dodatkowego członu całkującego) w celu eliminacji uchybu statycznego. Ponadto
dla obiektów nieliniowych warto jest zastosować pętle regulacji w przód [109], której zadaniem
będzie eliminacja dużych uchybów poprzez uwzględnienie wpływu dynamiki mierzalnych torów
zakłóceń.
60
Rozdział 7
Rezultaty implementacji algorytmówidentyfikacji i sterowania
W rozdziale tym zostaną przedstawione najważniejsze wyniki badań przeprowadzonych na obiek-
tach symulacyjnych i rzeczywistych. Symulowane obiekty to różnego rodzaju transmitancje od
I-go do III-go rzędu, również z opóźnieniem. Dodatkowym badanym obiektem był symulowa-
ny model wymiennika ciepła oparty o rzeczywisty laboratoryjny system takiego wymiennika.
Na obiektach dokonywano identyfikacji parametrów ciągłych, obserwacji stanu oraz regulacji
liniowo-kwadratowej.
7.1. Filtracja sygnału pomiarowego
7.1.1. Metody numeryczne filtracji splotowej
Dla pierwszego etapu identyfikacji splotowej koniecznym jest przetransformowanie sygnału po-
miarowego za pomocą splotu z odpowiednią funkcją filtrującą (dla przetworzenia pochodnych
u i y). Omówiono to w rozdziale 3. Problemem jest wybranie najlepszej metody numerycznej
dla wyliczenia splotu dla filtru typu FIR. Rozważono następujące metody: (1) z definicji splotu,
wyliczanie całki metodą prostokątów i Simpsona, (2) z użyciem szybkiej transformaty Fouriera,
(3) z wykorzystaniem struktury filtru dyskretnego drabinkowego (ang. ladder) oraz (4) z wyko-
rzystaniem struktury filtru dyskretnego kratowego (ang. lattice). Jedynie pierwszą z powyższych
metodę można zastosować dla sygnałów pomiarowych o nierównym próbkowaniu, pozostałe me-
tody wymagają stałego kwantu dyskretyzacji.
Badano odpowiedź filtru na wymuszenie w postaci skoku jednostkowego y(t) = 1(t + h)
(dla uproszczenia założono, że skok wystąpił w chwili czasowej t = −h). Z równania (3.6)
61
otrzymujemy:
y0(t) = y(t) ∗ φ(t) =h∫0
y(t− τ)φ(τ)dτ =h∫0
1(t+ h− τ)φ(τ)dτ =h∫0
φ(τ)dτ . (7.1)
Do badań wybrano filtr postaci φ(t) = tN(h− t)M , gdzie założone parametry M = 3, N = 2,długość okna h = 1. Jak pokazano w równaniu (7.1) policzenie odpowiedzi filtru typu FIR na
wymuszenie jednostkowe sprowadza się do scałkowania w czasie jego odpowiedzi impulsowej. Dla
wybranego filtru i założonych parametrów otrzymujemy
Tak otrzymany analitycznie wzór na wartości odpowiedzi na skok jednostkowy wybranego filtru
posłuży jako odpowiedź wzorcowa przy porównaniu metod numerycznych.
Do bezpośredniego wyliczenia odpowiedzi filtru użyto funkcji filter() wykorzystującej rów-
nanie postaci y(n) = b(1)x(n) + b(2)x(n − 1) + . . . + b(nb + 1)x(n − nb) − a(2)y(n − 1) −. . .− a(na+ 1)y(n− na). Jest ona stosowana zarówno do filtrów typu FIR jak i IIR. Przelicze-niu parametrów filtru φ(t) na parametry filtru kratowego dokonano z wykorzystaniem funkcji
tf2latc(), odpowiedź otrzymano stosując latcfilt(). Metoda całkowania Simpsona została
oprogramowana przez autora na podstawie [35] w wersji stałokrokowej. Wyliczenia splotu z wyko-
rzystaniem szybkiej transformaty Fouriera i odwrotnej transformaty Fouriera uzyskano stosując
funkcje fftfilt(). Złożoność obliczeniowa wyliczania splotu z definicji jest O(n2), natomiast
dla FFT tylko O(n log n). W przedstawionej metodzie ilość operacji po zmiennoprzecinkowych
zależy od rzędu licznika, rzędu mianownika, długości okna i czasu dyskretyzacji i wynosi (n+m)hdt.
W wersji on-line (obliczenia wykonywane w czasie rzeczywistym) można wykorzystać procesory
sygnałowe (ang. Digital Signal Processor, DSP). Procesory te posiadają wewnętrzną architekturę
zoptymalizowaną pod kątem wykonywania w jednym rozkazie operacji mnożenia i dodawania.
Dodatkowe przyspieszenie operacji splotu można uzyskać stosując programowalne układy lo-
giczne (ang. Field Programmable Gate Array, FPGA ). Wszystkie wymienione powyżej funkcje
wchodzą w skład pakietu [81]. Obliczenia przeprowadzono na liczbach zmiennoprzecinkowych
o podwójnej precyzji.
Na rys. 7.1 przedstawiono wykresy zmiany różnych błędów. Przedstawiono przebieg błędu po-
między wartością całki splotowej liczonej analitycznie (7.2) i całki liczonej w oparciu o 5 różnych
metod numerycznych wewnątrz okna obserwacji [0, h = 1] (przedstawiono błąd względny i bez-
względny) dla dt = 0.05. Wykreślono również zależność błędu średniokwadratowego od różnych
czasów dyskretyzacji dt. Zastosowane metody filtracji drabinkowej, filtracji kratowej i filtracji
FFT dały zbliżone do siebie wyniki wartości błędu. Zapewne wyniki te różniłyby się w przypadku
62
obliczeń przeprowadzonych na liczbach w reprezentacji stałoprzecinkowej. Metody całkowania
numerycznego, prostokątów i Simpsona, dały podobnie wyniki wartości błędu średniokwadrato-
wego. Metody całkowe w stosunku do metod filtracji cechowały się mniejszą wartością błędu.
Wyniki pomiaru czasu dla poszczególnych procedur nie zostały przedstawione, gdyż pomiar
czasu wykonania przy pomocy funkcji tic-toc w Matlab daje silnie zafałszowany wynik. Ze
względu na prostotę użycia, niewielkie błędy i szybkość działania w dalszych eksperymentach
numerycznych do wyliczania splotów została wybrana funkcja filter().
Rys. 7.1. Porównanie metod filtracji.
7.1.2. Splotowa filtracja nieadaptacyjna
W tym rozdziale przeprowadzona zostanie dyskusja sposobu konstrukcji funkcji filtrujących φ za
pomocą funkcji bazowych. Na rys. 7.2 przedstawiono wpływ zmiany d1 - jednego z dwóch współ-
czynników skalujących wielomian bazowy, (parametr d0 pozostawał stały) na zmianę charak-
terystyk czasowo-częstotliwościowych funkcji φ. Można zauważyć charakterystyczne zerowanie
się charakterystyk częstotliwościowych modułu dla pewnych częstotliwości. Zmiana parametrów
funkcji bazowych pozwala kształtować szerokość dolnego zakresu nie zerowania się funkcji φ.
Opisane wyżej procedury znajdują zastosowanie głównie w zadaniu identyfikacji parametrów.
Filtracja nieadaptacyjna będzie się wiązać z jednokrotnym wyborem parametrów d0 i d1.
Ciekawy wniosek można wysnuć z eksperymentów numerycznych, o wpływie poszczególnych
parametrów na kształt i moment zerowania się charakterystyk częstotliwościowych. Parametr d1wpływa na kształt charakterystyki, a długość okna h na moment zerowania, rys. 7.3. Przy dosta-
tecznej liczbie funkcji bazowych, a co za tym idzie współczynników skalujących di, możliwa jest
zmiana momentu zerowania się charakterystyki częstotliwościowej osiągana poprzez zerowanie
się współczynników skalujących - zmiana długości filtru. Z tego względu w dalszych badaniach
z użyciem filtru φ zbudowanego z funkcji bazowych ograniczono się do filtrów φ o stałej długości
okna h.
63
Rys. 7.2. Wpływ zmiany wartości współczynnika skalującego d1 wielomianu bazowego.
Rys. 7.3. Wpływ zmiany długości okna h.
7.1.3. Splotowa filtracja adaptacyjna
W niniejszym rozdziale przedstawiono specjalne zastosowanie funkcji splotowej z nienarzuconym
z góry kształtem funkcji φ. Celem splotu funkcji φ z przetwarzaną funkcją y jest uzyskanie
najlepszej aproksymacji samej funkcji y czyli najlepsze odfiltrowanie jej szumów. Zastosowano
64
w tym celu dynamicznie zmieniający się kształt funkcji y w każdym kroku okna przesuwnego.
Dla dynamicznej optymalizacji kształtu funkcji filtrującej zastosowano krótkie przesuwne
okno T0, wewnątrz którego w każdym kroku, dobiera się optymalne parametry funkcji bazowych
di (parametry skalujące) zgodnie z regułą najmniejszych kwadratów (5.10). Parametry te da-
ją minimum całki z kwadratu błędu między funkcją filtrowaną na oknie T0 i efektem filtracji
i zmieniają się z biegiem czasu. Procedura ta została zaproponowana przez autora nie dla za-
dania identyfikacji, ale do tworzenia lepszej aproksymaty sygnału wyjścia (i jego pochodnych),
czyli zadania obserwacji stanu. Ma to szczególne znaczenie dla zadania stabilizacji stanu, gdyż
wierność odtworzenia stanu decyduje o jakości stabilizacji w układzie zamkniętym. Tak więc, fil-
tracja adaptacyjna nie będzie stosowana dla zadań bieżącej identyfikacji parametrów. Adaptacja
filtru ma związek z ciągle zmieniającym się charakterem sygnału filtrowanego i może pozwolić
na zmniejszenie się błędu filtracji.
Rys. 7.4. Filtracja adaptacyjna dla wielomianów bazowych jako funkcji modulującej.
Wyniki symulacji dla adaptacyjnej wersji filtru z użyciem wielomianów bazowych przedsta-
wiono na rys. 7.4. Niestacjonarnym sygnałem testowym y był sygnał sinusoidalny o częstotliwości
modulowanej liniowo (ang. chirp signal). Wykreślono niezaszumiony przebieg oryginalnej funkcji
y i estymowanej ye. Przebieg pochodnej estymacji y(1)e uzyskano poprzez filtracje oryginalnego
przebiegu z pochodną filtru φ. Użyto trzech wielomianów bazowych stopnia czwartego, długość
okna filtracji h = 100, długość okna optymalizacji dla błędu średnio kwadratowego TO = 100.
Ponadto wykreślono zmianę parametrów skalujących d1, d2, d3 wielomiany bazowe w czasie. Do-
datkowo wykreślono odpowiedź impulsową filtru w wybranych chwilach symulacji oraz odpowia-
dającą jej charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową. Zastosowany algorytm optymalizacji
65
to fminunc z [79]. Wraz ze wzrostem częstotliwości filtrowanego sygnału wzrasta jakość odtwa-
rzania jego pochodnej. Na wykresie zmiany współczynników można zauważyć okresową zmianę
współczynników d skalujących wielomiany bazowe.
7.1.4. Aproksymacja w całym horyzoncie czasowym
Innym podejściem do filtracji sygnałów pomiarowych jest ich bezpośrednia aproksymacja bazo-
wymi funkcjami sklejanymi, której podstawy teoretyczne przedstawiono w rozdziale 5. W celu
porównania filtracji z poprzedniego rozdziału z aproksymacją opartą o aproksymację sygnału te-
stowego funkcjami sklejanymi do sygnału testowego dodano zakłócenie w postaci szumu białego
o zerowej wartości średniej i wariancji 0.09, rys. 7.5. Czas symulacji T = 1000, do aproksy-
macji użyto 150 funkcji bazowych trzeciego rzędu o równomiernym rozkładzie węzłów w całym
Rys. 7.5. Aproksymacja całego sygnału testowego funkcjami sklejanymi.
W początkowym fragmencie odpowiedzi wyraźna jest nadparametryzacja liczby bazowych
funkcji sklejanych. Wraz ze wzrostem czasu, a co za tym idzie częstotliwości sygnału testowego,
efekt nadparametryzacji się zmniejsza. Można iteracyjne dokonać optymalizacji rozmieszczenia
mniejszej, niż założona (120), liczby węzłów. Innym podejściem jest zastosowanie kryterium jako-
ści doboru współczynników skalujących funkcje sklejane z wygładzaniem. Efekt wpływu różnych
wartości współczynnika wygładzania γ na wartość błędu średnio-kwadratowy w stosunku do sy-
gnału niezaszumionego przedstawiono na rys. 7.5. Istnieje minimum błędu średniokwadratowego
dla γ ≈ 0.5. Aproksymacja sygnału pomiarowego (testowego) funkcjami bazowymi znajdujezastosowanie w metodach identyfikacji parametrycznej dla systemów ciągłych w wersji off-line.
7.1.5. Aproksymacja w ruchomym oknie
Przedstawiony w poprzednim rozdziale 7.1.4 sposób aproksymacji sygnałów pomiarowych jest
trudny do zastosowania w wersji ciągłej on-line. Z tego względu w niniejszym rozdziale przedsta-
66
wiona zostanie koncepcja aproksymacji sygnałów pomiarowych w ruchomym oknie czasowym.
W oknie tym znajdowana jest najlepsza aproksymacja sygnału pomiarowego, następnie bra-
na jest tylko jedna próbka (zwykle ostatnia) z tak wyliczonej aproksymaty. W kolejnej chwili
czasowej okno jest przesuwane i ponownie przeprowadzana jest procedura aproksymacji.
Użytym sygnałem testowym był sygnał z liniową modulacją częstotliwości, długość ruchome-
go okna TO = 100, użyto 6 bazowych funkcji trzeciego rzędu o równomiernym rozkładzie węzłów
Rys. 7.6. Aproksymacja w ruchomym oknie sygnału testowego funkcjami sklejanymi.
Przetestowano pomysł wprowadzenia dodatkowych wag dla zadania aproksymacji w oknie
przyjmując, że jakość aproksymacji dla początkowych próbek w oknie może być gorsza od jako-
ści aproksymacji w końcowym fragmencie okna. Wagi wewnątrz okna będą więc miały postać
różnych funkcji małych wartości z lewej stroni i dążących do 1 z prawej strony okna (rys. 7.7).
Rys. 7.7. Wpływ przesunięcia próbek na błąd średnio-kwadratowy. Rozkład wag w oknie aprok-symacji ruchomym oknem.
Na rys. 7.7 przedstawiono rozkład wag w czasie dla przesuwnego okna z sygnałami pomiaro-
wymi aproksymowanymi funkcjami bazowymi. Zastosowano kryterium jakości dla pojedynczego
okna:
J =1m
∑j
w(j) ‖y(j)− f(x(j))‖2 , (7.3)
gdzie j - jest numerem próbki po dyskretyzacji Ts = 1, m - jest liczbą próbek pomiarowych.
We wskaźniku jakości pominięto człon odpowiedzialny za gładkość krzywej sklejanej (γ = 0).
67
W eksperymentach wykorzystano funkcje spap2() z pakietu [82]. Wybrano rozkłady wag: rów-
nomierny, liniowonarastający, progresywny i regresywny, rys. 7.7. W wyniku przeprowadzonych
eksperymentów nie stwierdzono wpływu braku wag lub ich narastającego rozkładu w oknie na
wartość przyjętego średnio-kwadratowego wskaźnika jakości, który wyniósł J ≈ 0, 0107 dla fil-tracji w ruchomym oknie. Malejący rozkład wag w oknie pogarszał wartość przyjętego wskaźnika
jakości.
Ciekawy wynik uzyskano podczas analizy jakości aproksymacji. Lepszy rezultat dla błędu
średnio-kwadratowego gwarantuje wzięcie pod uwagę nie ostatniej próbki ruchomego okna, lecz
pierwszej albo drugiej od końca, (przesunięcie odczytu próbek pokazano na rys. 7.7). W przed-
stawionym przypadku parametr γ > 0 wpływa negatywnie na jakość odtwarzania sygnału ory-
ginalnego.
7.2. Identyfikacja
W tym rozdziale zaprezentowane zostaną wyniki porównania 2 typów identyfikacji parametrycz-
nej:
1. w oparciu o przetworzone splotowo sygnały pomiarowe,
2. w oparciu o bezpośrednio aproksymowane funkcjami sklejanymi sygnały pomiarowe.
Parametry obiektu identyfikowanego w testach będą stałe lub będą zmieniały się skokowo.
Dla celów identyfikacji splotowej znajdują zastosowanie metody filtracji nieadaptacyjnej z roz-
działu 7.1.2. Również aproksymacja sygnałów pomiarowych w całym horyzoncie czasowym, roz-
dział 7.1.4, zastosowana zostanie do zagadnienia identyfikacji. Do testów przyjęto liniowy model
gdzie Θ wektor pięciu parametrów (3.14) i (3.27) (ΘTΘ = 1). Symulacje przeprowadzono dla
czasu T = 30 i czasie dyskretyzacji dt = 0.01, zarejestrowanoM = 3000 próbek pomiarowych dla
sygnału wejściowego i wyjściowego. Jako sygnał wymuszający u(t) przyjęto przebieg prostokątny
z okresem Tu = 10 i amplitudą ±0.5.Następnie w t = 15 nastąpiła skokowa zmiana parametru transmitancji (7.4) z a0 = 0.2976 na
a0 = 0.7976, co spowodowało zmianę wszystkich współczynników transmitancji unormowanej:
G(s) =−0.1914s+ 0.4785
0.1436s2 + 0.5502s+ 0.6412. (7.5)
Szum pomiarowy nie został dodany do sygnału wejściowego u i wyjściowego y, dzięki czemu me-
toda identyfikacji wprowadza mniejsze błędy na estymowane parametry i łatwiejsza jest analiza
68
otrzymanych wyników.
Dla pierwszego typu identyfikacji długość okna filtru h = 3. Czas dyskretyzacji ∆t = 0.01,
funkcja modulująca φ(t) = t4(h−t)5, gdzie h = 3. Dokonano operacji splatania sygnałów pomia-rowych z kolejnymi pochodnymi funkcji modulującej. W chwili czasowej t = 3 równej h możliwe
jest wyliczenie pierwszego splotu. Sploty sygnałów pomiarowych wejściowego u i wyjściowego
wykreślono na rys. 7.8.
Rys. 7.8. Wynik filtracji i aproksymacji z sygnałami pomiarowymi wejścia i wyjścia.
Dla drugiego typu identyfikacji rząd funkcji modulującej (4.5) k = 4, ilość węzłów N = 50.
Na rys. 7.8 wykreślono wyniki aproksymacji sygnałów pomiarowych wejściowego u i wyjściowego
y funkcjami sklejanymi. Dodatkowo przedstawiono przebiegi kolejnych pochodnych aproksymaty
dla zarejestrowanych sygnałów pomiarowych.
Założono odpowiednio równe identyfikowanej transmitancji rzędy licznika m = 1 i mianow-
nika n = 2. Na rys. 7.9 przedstawiono przebieg identyfikowanych parametrów metodą dokładną
poprzez rozwiązanie pełnego zagadnienia własnego dla symulowanego obiektu. Długość prze-
suwanego okna została przyjęta jako dwukrotnie większa od długości funkcji modulującej h
i wynosi T = 6. Dla t = 5 sploty są już na tyle długie, że wartości własne macierzy Grama
zaczynają się stabilizować. Dla oszacowania dolnej wartość długości okna T można przyjąć tę
chwilę czasową. Identyfikacja parametrów w przesuwanym oknie powoduje, że estymowane pa-
rametry dążą do rzeczywistych i dopiero po czasie t = T + h = 24 mogą być im równe, t = 24.
Natomiast rozszerzane okno jest cały czas obciążone pomiarami z przeszłości, co objawia się
wolniejszą zbieżnością parametrów, które dopiero w czasie t zmierzającym do nieskończoności
mogą osiągnąć rzeczywiste wartości.
Zaobserwowano podobne wyniki dla metody identyfikacji z użyciem aproksymacji funkcjami
sklejanymi. Przykładowo dla parametru a0 i b0 metoda daje lepsze wyniki niż metoda identy-
fikacji w oparciu o filtrację. W metodzie aproksymacyjnej otrzymano poprawne identyfikowane
parametry wcześniej o długość okna h metody splotowej. Natomiast dla pozostałych parametrów
można zauważyć gorsze wyniki.
69
Rys. 7.9. Przebieg identyfikacji parametrów w rozszerzanym i ruchomym oknie.
Rysunek 7.10 przedstawia porównanie wyliczenia wartości własnej poprzez rozwiązanie peł-
nego zagadnienia własnego jedną z metod numerycznych oraz równania różnicowego (3.30) w za-
stosowaniu dla metody filtracji. Metoda iteracji odwrotnej śledzi rzeczywisty parametr dokładnie
tak, jak to czyni rozwiązanie pełnego zagadnienia.
Rys. 7.10. Porównanie wyników rozwiązania pełnego i przybliżonego zagadnienia własnego.
7.3. Obserwacja stanu
W rozdziale tym wykorzystamy metodologię obserwatora stanu opartego o wzory z rozdziału 6.2.
Badania przeprowadzono na symulowanej transmitancji danej równaniem (7.4). Do eksperymen-
tów wykorzystane zostaną sygnały wejścia i wyjścia: przetworzone splotowo z funkcją filtrującą
(φ(t) = t4(h− t)5 i h = 3) oraz aproksymowane bezpośrednio funkcjami sklejanymi. Obiekt dany
70
wzorem (7.4) w wersji zmiennych stanu ma postać:
x(t) =
0 −1.66631 −3.8326
x+ 3.3326−1.3331
uy(t) =
[0 1
]x. (7.6)
Porównanie odpowiedzi obserwatora danego równaniem (6.15) z rzeczywistym stanem przed-
stawiono na rys. 7.11. Symulację przeprowadzono dla obiektu danego postacią Frobeniusa (6.12).
W celu eliminacji błędów wynikających z zadania identyfikacji w algorytmach obserwacji użyto
oryginalnej dokładnej transmitancji obiektu (7.4), która zmienia się skokowo dla czasu symulacji
t = 15.
Rys. 7.11. Obserwacja stanu bezpośrednia w oparciu o sploty i aproksymację.
7.4. Regulacja LQR
Porównanie przebiegów zmiennych stanu i sterowania w układzie regulacji z obiektem (7.6)
i regulatorem LQR działającym w oparciu o różne obserwatory stanu przedstawia rys. 7.12.
Funkcja modulująca φ wykorzystana w budowie obserwatora i regulatora wprowadza opóźnie-
nie, wynikające z jej długości h. To opóźnienie powinno być uwzględnione w procesie syntezy
parametrów regulatora. Początek pracy obserwatora, a przez to regulatora, rozpoczyna się gdy,
całe okno filtru zostanie wypełnione danymi pomiarowymi. W zastosowaniach praktycznych,
gdzie rozruch instalacji następuje w sposób ręczny, algorytm obserwacji może zostać włączony
znacznie wcześniej, tak by całe okno filtru zostało wypełnione pomiarami. Innym rozwiązaniem
jest zastosowanie prostszego regulatora np. PID do rozruchu algorytmu.
71
Rys. 7.12. Porównanie przebiegów w układzie (7.6) i regulatorem LQR z różnymi obserwatora-mi.
Ze względu na opóźnienie w układzie regulacji, została zmniejszona długość okna filtru z h = 3
do h = 2. Nie jest możliwe zbytnie zmniejszenie okna h, gdyż prowadzi to do pogorszenia
właściwości filtrujących i zwiększenia wpływu zakłóceń na wartość estymowanych zmiennych
stanu. Dodatkowo układ przetwarzający sygnał z postaci analogowej na cyfrową charakteryzuje
się skończonym czasem próbkowania (dyskretyzacji) i w trakcie eksperymentów zauważono, że
okno po dyskretyzacji powinno składać się z ponad 100 próbek.
7.5. Identyfikacja w zamkniętej pętli
Układ obiekt z regulatorem LQR posiada właściwości stabilizacyjne. W wyniku tego pasmo czę-
stotliwości sygnału wartości procesowej jest ograniczone i nadaje się w ograniczonym stopniu
do identyfikacji. Regulator LQR w wersji bez eliminacji uchybu statycznego został zainstalowa-
ny na mierzonym stanie obiektu. Jedna z metod identyfikacji obiektu objętego pętlą sprzężenia
zwrotnego polega na dodaniu sygnału wymuszającego uz do wyliczonej przez regulator wartości
sterującej u, rys. 7.13. W przedstawionym eksperymencie użyto sygnału prostokątnego. Dodat-
kowy sygnał wymuszający powoduje pogorszenie przyjętego wskaźnika jakości układu regulacji
72
i dlatego czas jego obecność powinien być redukowany do niezbędnego minimum wynikającego
z identyfikacji, np. w tym przypadku wystarcza T + h. Przykładowo sygnał dodatkowy powi-
nien być wprowadzony w momencie zmiany punktu pracy, okresowo w celu sprawdzenia czy nie
zmieniły się parametry sterowanego obiektu. Można zastosować również bardziej zaawansowane
metody sprawdzające aktualność parametrów modelu dla sterowanego obiektu.
Rys. 7.13. Przebieg stabilizacji i identyfikacji z regulatorem LQR.
Przebieg identyfikowanego parametru dla rozszerzanego i ruchomego okna przedstawiono na
rys. 7.13. W tym przypadku rozszerzane okno bliskie jest rzeczywistej wartości parametru a0 dla
czasu t > 10. Dlatego wybrano szerokość rozszerzanego okna T = 12, pozostałe parametry nie
zostały zmienione.
Przeprowadzono również eksperymenty ze zmodyfikowanym obiektem poprzez uwzględnienie
w nim modelu dynamiki zaworu sterującego jako członu całkującego. Wyniki przeprowadzonych
symulacji przedstawiono na rys. 7.14. Dla układu regulacji LQR z eliminacją uchybu statycznego
zmieniono macierz wagową na Q = [0 0 0; 0 1 0; 0 0 1] i odpowiednio zmodyfikowano macierze
stanu obiektu:
x(t) =
0 −1.6663 01 −3.8326 00 1 0
x+3.3326
−1.33310
u
y(t) =
0 1 00 0 1
x. (7.7)
Jakość stabilizacji jest bardzo dobra.
73
Rys. 7.14. Przebieg stabilizacji i identyfikacji z regulatorem LQR eliminującym uchyb statyczny.
7.6. Fizyczny model wymiennika ciepła
W poprzednich rozdziałach zostały przedstawione wyniki przeprowadzonych eksperymentów na
obiektach liniowych o stałych i zmiennych w czasie parametrach. Jako kolejny testowy obiekt
wybrano model wymiennika ciepła. Na rys. 7.15 przedstawiono schemat rozważanego modelu
wymiennika ciepła.
Rys. 7.15. Schemat wymiennika ciepła.
Równanie przewodnictwa ciepła dla ośrodka izotropowego, jednorodnego, ze stałymi współ-
czynnikami oraz bez źródeł ciepła w rozważanym obszarze, charakteryzującego się: k – współ-
czynnik przewodnictwa, c – ciepło właściwe, ρ – gęstość, przyjmuje postać:
∂2T
∂x2+∂2T
∂y2+∂2T
∂z2− cρ
k
∂T
∂t= 0
i jest równaniem typu parabolicznego [57, 130].
Analiza dynamiki wymiennika przepływowego typu ”rura w rurze” prowadzi jednak do rów-
74
nań hiperbolicznych. Model uproszczony można uzyskać zakładając brak wzdłużnego przewod-
nictwa ciepła, idealne mieszanie cieczy w płaszczu i rurze wymiennika na odcinku ∆z, brak
promieniowania cieplnego płaszcza, brak zmiany gęstości cieczy w zależności od temperatu-
ry medium, itp. Dla wymiennika ciepła typu ”rura w rurze” z przepływem przeciwprądowym
(rys. 7.15), przy powyższych założeniach otrzymujemy układ równań różniczkowych cząstkowych
pierwszego rzędu: ∂T1(z,t)∂t
= −υ1(t)∂T1∂z + ω1[T2(z, t)− T1(z, t)]∂T2(z,t)∂t
= υ2(t)∂T2∂z + ω2[T1(z, t)− T2(z, t)](7.8)
gdzie: z ∈ [0, 1], t 0, ω1, ω2 są stałymi dodatnimi parametrami [42]. Przykładowo, wielkościfizyczne wyrażone w międzynarodowym układzie jednostek miar (franc. Systeme International
d’Unites, SI ) posiadają następujący wymiar: temperatur T1, T2[K], czas t[s], prędkość przepływu
υ1, υ2[m/s], droga z[m], częstotliwość ω1, ω2[Hz]. Warunki brzegowe
T1(0, t) = Tin, T2(1, t) = Tout, t 0,
warunek początkowy:
T1(z, 0) = T10(z), T2(z, 0) = T20(z).
W stanie ustalonym T∞(z) =[T1∞(z) T2∞(z)
]TPrzy założeniu, że ω1 > ω2 > 0 to rozkład temperatur wzdłuż wymiennika w stanie ustalonym
Tabela 7.1. Fragment zarejestrowanych stanów ustalonych wymiennika (z rys. 7.16).
perymentów identyfikacji dynamicznej. Dodatkowo wartości stanów ustalonych po aproksymacji
będą dodawane do sterowania regulatora tworząc statyczną pętle sprzężenia w przód, zalety
której przedstawiono we wstępie.
Rysunek 7.17 przedstawia wyniki aproksymacji stanów ustalonych siecią neuronową o trzech
neuronach wejściowych reprezentujących zmienne wejściowe obiektu T116, F153 i F156. W war-
stwie ukrytej znajdowało się 20 neuronów charakteryzujących się sigmoidalną funkcją przejścia.
W warstwie wyjściowej znajdował się jeden neuron z liniową funkcją aktywacji (T117). W war-
stwie wejściowej powinny znajdować się cztery neurony, ale w trakcie eksperymentów zmiana
T101 = 9[�] była nieznaczna. Natomiast w warstwie wyjściowej powinien być dodatkowo neuron
odpowiedzialny za odtwarzanie T103, z którego zrezygnowano dla przejrzystości rozważań. Do
uczenia użyto 154 pomiarów. Jako algorytm uaktualniający wartości wag użyto algorytmu opty-
malizacji Levenberg-Marquardt. Na rysunku można zauważyć fragment źle dopasowanej krzywej
objawiający się nagłym skokiem. Ten brak dopasowania jest spowodowany niedostateczną ilością
pomiarów w tych miejscach co skutkuje pogorszeniem aproksymacji.
7.7.2. Dobór parametrów modelu wymiennika
Model wymiennika dany równaniem (7.8) posiada długość jednostkową. Chcąc zastosować ten
model do rzeczywistego wymiennika należy przeskalować mierzone strumienie przepływu υ1 i υ2na prędkość przepływu υ1(t) = f1υ1(t) i υ2(t) = f2υ2(t), uwzględniając powierzchnie przepływu
sygnał binarny o wartości średniej F153 = 10 [ml/s] i amplitudzie 3 [ml/s]. Eksperyment prze-
prowadzono w otwartej pętli sterowania. Podobnie jak dla metody splotowej te same trendy
historyczne poddano identyfikacji metodą funkcji sklejanych i wyniki również przedstawiono na
rys. 7.18. Dodatkowo na wykresach wykreślono krzywą o rozkładzie normalnym. Z wyjątkiem
wzmocnienia k identyfikowanego metodą funkcji sklejanych otrzymane wyniki nie przystają do
rozkładu normalnego. Przyczyną może być zbyt mała liczba przeprowadzonych eksperymentów.
W tabeli 7.3 przedstawiono niepewność parametrów identyfikacji zamieszczając ich własności
średnie i odchylenie standardowe dla wersji parametrów otrzymanych metodą splotową i metodą
funkcji sklejanych z rys.7.18.
Parametr Wartość średnia Odchylenie standardowem. splotowa
T 32.9533 0.98488k -0.61519 0.0090817
m. sklejanaT 38.6447 1.5936k -0.62197 0.0094655
Tabela 7.3. Statystyka parametrów.
Następnie wykonano na wymienniku rzeczywistym 15 eksperymentów. Rysunek 7.19 przed-
stawia przebieg wymuszeń F153 o odpowiedzi T103 i T117 przy ustalonych T101 = 20 [�], T116 =
60 [�] i F156 = 10 [ml/s]. Jako wymuszenie użyto pseudolosowego sygnału binarnego o wartości
średniej równej stanowi ustalonemu. Eksperymenty przeprowadzono dla rożnych punktów pracy
F153. Ze względu na silne nieliniowości obiektu amplitudę sygnału wymuszającego uzależniono od
80
Rys. 7.18. Rozkład stałych T i k dla wielokrotnie przeprowadzonego eksperymentu identyfikacji(7.14) w wybranym punkcie pracy.
punktu pracy. Eksperyment przeprowadzono ze stanu ustalonego do stanu ustalonego w otwartej
pętli sterowania.
Rys. 7.19. Pomiary odpowiedzi wymiennika na różne wymuszenia.
Na rys. 7.20 przedstawiono wyniki identyfikacji parametrów k i T dla równania (7.14) w roż-
nych punktach pracy (F153) dla metody identyfikacji splotowej i sklejanej. Porównanie wyników
identyfikacji otrzymanych na podstawie eksperymentów z symulacją wymiennika – równanie (7.8)
81
– dla różnych punktów pracy F153 wykreślono na rys. 7.20. Dodatkowo zaznaczono wyniki iden-
tyfikacji symulowanego wymiennika danego równaniem (7.8) o parametrach przedstawionych w
tabeli 7.2. Można zauważyć dużą zgodność wyników niezależnie od metody identyfikacji zarówno
dla rzeczywistego, jak i symulowanego obiektu.
Rys. 7.20. Porównanie wyników identyfikacji stałych T i k (7.14).
Aproksymacji zebranych pomiarów dokonano z wykorzystaniem funkcji fit1. Dodatkowo
na wykresach wykreślono krzywe 95% przedziałów ufności dla obserwacji (ang. simultaneous
prediction bounds for observation, SPBO) oraz dla funkcji (ang. simultaneous prediction bounds
for function, SPBF). Jako funkcję aproksymującą pomiary T (F153) i k(F153) użyto:
y = aebx + cedx. (7.15)
i wyniki aproksymacji oznaczono odpowiednio Tmean i kmean. W celu łatwiejszego zobrazowania
na rys. 7.21 przedstawiono krzywe w zależności od jednego wejścia. W rzeczywistości są to
fragmenty hiperpłaszczyzn czteroargumentowych, których fragmenty przedstawiono na rys. 7.22.
W tabeli 7.4 zebrano wartości parametrów (7.15) oraz statystykę dopasowania dla poszczególnych
krzywych.
Rysunek 7.23 przedstawia aproksymację funkcjami sklejanymi zmiany parametruK1 [ml/(s�)]
regulatora w zależności od F153 i T116 dokonanej dla dwóch metod identyfikacji (splotowa i funk-
cjami sklejanymi). Wartość wzmocnienia K2 = 0.1 [ml/(�s2)] pozostaje stała. W rzeczywi-
stości dla rozważanego przypadku dziedzina tej hiperpłaszczyzny jest czteroelementowa. Obie
powierzchnie mają bardzo zbliżony kształt. Takie krzywe można przygotować off-line. W trakcie1Dostarczona w bibliotekach Curve Fitting Toolbox pakietu Matlab
82
T [s] k [�s/ml]Opis m. splotowa m. sklejana m. splotowa m. sklejana
aSuma kwadratów błędu (ang. Sum of Squares Due to Error, SSE)bStopnie swobody (ang. Degrees of Freedom Adjusted R-Square, DFE)cBłąd średniokwadratowy (ang. Root Mean Squared Error, RMSE)
Tabela 7.4. Parametry i statystyka dopasowania.
Rys. 7.21. Aproksymacja wyników identyfikacji dla eksperymentów wraz z przedziałami ufności.
pracy on-line regulator może bezpośrednio korzystać z nich na zasadzie regulatora gain schedu-
ling bez konieczności przeprowadzania syntezy wzmocnienia regulatora on-line. Okresowo należy
przeprowadzać procedurę identyfikacji i syntezy regulatora celem aktualizacji kształtu krzywych.
Jak pokazano, w wyniku przeprowadzonych eksperymentów identyfikacji dostajemy całą ro-
dzinę rozkładu zmiany wartości wyniku. Czyni to proces syntezy parametrów trudniejszym.
83
Rys. 7.22. Powierzchnia zmiany parametrów wymiennika bez aproksymacji.
Rys. 7.23. Powierzchnia zmiany wzmocnienia regulatora K1.
Należy bowiem jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie, które parametry przyjąć – z wielokrot-
nej identyfikacji czy z przedziałów ufności identyfikacji przeprowadzonych w różnych punktach
pracy (rys. 7.21). Analityczne sposoby uwzględnienia wpływu rozrzutu zidentyfikowanych para-
metrów modelu liniowego na dobór parametrów regulatora zebrano w pracy [5] dla systemów
84
nieliniowych [106]. Innym sposobem uwzględnienia niepewności parametrów T i k zidentyfiko-
wanego modelu jest zastosowanie metody symulacji Monte Carlo dla wygenerowania zestawu
dwóch parametrów z ich potrójnego przedziału ufności (rys. 7.21). Poniżej przedstawimy dwa
zestawy bloków eksperymentów dla regulatora LQR i modeli zidentyfikowanych off-line.
Eksperymenty z doborem odpornego regulatora LQR i identyfikacją off-line
Wykonano ciekawe eksperymenty z zestawem regulatorów LQR syntetyzowanych dla średnich
wartości parametrów modelu k i T , odpowiadających wybranemu przepływowi F153 (rys. 7.21)
ale wspópracujących z modelami o parametrach innych, wybieranych do symulacji metodą losową
z ich przedziałów ufności ksym i Tsym. Dla każdego regulatoraKmean wyliczonego z algebraicznego
równania Riccatiego dla obiektu kmean i Tmean symulowano jego pracę z 10 różnymi modelami
ksym i Tsym (dla wybranego F153). Uzyskano różne wartości wskaźnika jakości i różne efekty sta-
bilizacji. Podjęto próbę syntezy regulatora LQR odpornego poprzez numeryczną minimalizację
symu wszystkich wskaźników jakości w funkcji współczynnika wzmocnienia regulatora K. Otrzy-
many współczynnikKrbst (różny od współczynnikaKmean) gwarantował optymalność przebiegów
stabilizacji w sensie średniej wartości wskaźnika (uśrednionego po 10 eksperymentach z różnymi
modelami). Wyniki optymalnych nastaw regulatora LQR otrzymane jako Kmean i wyniki współ-
czynnika Krbst dobrane numerycznie dla całego konkretnego przedziału ufności współczynników
kmean i Tmean przedstawiono na rys. 7.24.
Rys. 7.24. Wzmocnienia regulatora po optymalizacji metodą Monte Carlo.
W eksperymentach symulowanych dla zagwarantowania zerowego błędu statycznego w ukła-
85
dzie zamkniętym przyjmowano obecność dodatkowego członu całkującego w obiekcie jakim był
w rzeczywistości pracujący zawór na przepływie. Stąd dynamika systemu przyjmowała drugi
rząd. W końcowym efekcie symulowane były dwa współczynniki regulatora K1 i K2 (rys. 7.24).
Należy zauważyć, że na skutek skończonego czasu symulacji T = 3000 [s] niektóre wyniki
dla F153 > 20 [ml/s] dla badanego obiektu wymiennika dawały niezadawalający efekt stabilizacji
mimo mniejszej wartości średniego wskaźnika jakości. Z tych eksperymentów płynie ważny wnio-
sek, że niektóre proste metodologie uodporniania regulatorów na zmiany parametrów modelu
muszą być weryfikowane dodatkowymi metodami.
Eksperymenty identyfikacji z pełnym, nieliniowym modelem wymienika
Następny zestaw eksperymentów przeprowadzono z pełny, nieliniowym modelem wymiennika
o parametrach rozłożonych (7.8) dla różnych wartości sygnału F153. W tabeli 7.5 zebrano wyniki
przeprowadzonych symulacji dla zagadnienia stabilizacji przy założonym dotychczas wskaźniku
Tabela 7.5. Porównanie wskaźnika jakości pracy układu zamkniętego dla różnych parametrówmodelu liniowego zależnych od zmiennych procesowych dla symulowanego wymien-nika, SP=40�.
87
Rozdział 8
Wnioski
W pracy przedstawiono najważniejsze wyniki teorii optymalnej identyfikacji parametrów dla
ciągłych i liniowych obiektów z wykorzystaniem funkcji modulujących i sklejanych. Następ-
nie pokazano możliwość jednoczesnej i dokładnej (nieasymptotycznej) obserwacji stanu układu
z wykorzystaniem tych metod. Jednoczesna identyfikacja parametrów i stanu modelu posłużyły
do zbudowania adaptacyjnego regulatora bazującego na klasycznej teorii LQR. Przeprowadzo-
ne testy numeryczne potwierdziły skuteczność stosowania niniejszego adaptacyjnego algorytmu
regulacji dla układów ciągłych.
Zastosowanie bazowych funkcji sklejanych do budowy funkcji modulującej w metodzie splo-
towej umożliwia dogodne kształtowanie charakterystyk czasowo-częstotliwościowych. Takie do-
pasowanie jest szczególnie ważne dla sygnałów niestacjonarnych i znajduje zastosowanie w za-
gadnieniu obserwacji.
W wyniku prac nad przedstawionymi metodami identyfikacji powstała biblioteka o nazwie
Continous Identification Toolbox IDC w języku programowania Matlab. Zrealizowana bibliote-
ka w swoim interfejsie przypomina komercyjną bibliotekę identyfikacji dyskretnej Identyfication
Toolbox i będzie używana do dalszych badań. Biblioteka może być udostępniona osobom zain-
teresowanym.
Możemy określić dokładne właściwości częstotliwościowe (filtracyjne) funkcji modulującej co
powoduje, że metody oparte o nią są bardziej przewidywalne i poddają się analizie. W przypad-
ku użycia funkcji sklejanych w metodzie estymacji pochodnych praktycznie nie mamy możliwo-
ści wpłynięcia na parametry filtracyjne. Dobieramy ilość i rozkład węzłów, stopień wielomianu
bazowego. Jak pokazały przedstawione eksperymenty, funkcje bazowe aproksymujące sygnały
pomiarowe nadają się do zagadnienia identyfikacji i obserwacji.
Potwierdzono słuszność tezy gwarancji optymalnej jakości identyfikacji parametrów dla meto-
dy identyfikacji układów liniowych, ciągłych wykorzystującej splotowy filtr z nośnikiem zwartym
i kwadratowy wskaźnik jakości.
W pracy pokazano możliwość dwojakiego zastosowania funkcji sklejanych. Pierwszym zasto-
88
sowaniem było użycie ich do budowy optymalnych modulujących funkcji filtrujących o nośni-
ku zwartym. Drugim zadaniem była bezpośrednia aproksymacja pochodnych sygnałów wejścia
i wyjścia dla bezsplotowej metody identyfikacji.
W kolejnym etapie prowadzonych badań potwierdzono tezę, że ciągłe adaptacyjne regulatory
LQR wykorzystujące jednoczesną obserwację stanu i identyfikację parametrów obiektu (w opar-
ciu o funkcje modulujące i sklejane) gwarantują wysoką jakość stabilizacji układów o nieznanych
lub zmiennych parametrach.
Niezależnie od osiągniętych wyników przedstawionych w pracy, przeprowadzone analizy i ba-
dania ujawniły szereg interesujących kierunków dalszych prac. Przede wszystkim wydaje się
być celowa implementacja przedstawionych algorytmów w zintegrowanych systemach sterowa-
nia w środowisku czasu rzeczywistego PLC, softPLC. Rozbudowanie algorytmów o arytmety-
kę interwałową. Innym zagadnieniem jest badanie związku algorytmów identyfikacji splotowej
z transformatą falkową.
Podsumowując wyniki pracy można stwierdzić, że postawione w rozdziale 1 tezy naukowe
zostały przebadane. Ich prawdziwość starano się potwierdzić zarówno analitycznie jak i w wy-
niku przeprowadzonych eksperymentów numerycznych. W tych ostatnich wykorzystywano dane
symulowane, jak również dane rzeczywiste, uzyskane z fizycznego modelu.
89
Dodatek – stanowisko laboratoryjne
Na rys. 1 przedstawiono schemat konfiguracji stanowiska laboratoryjnego dwuskładnikowej ko-
lumny destylacyjnej. Pokazano obieg cieczy surowiec-produkt, obieg wody chłodzącej oraz spo-
sób podpięcia stanowiska operatorskiego i badawczego do instalacji. Surowcem jest roztwór wody
z etanolem o niskim stężeniu procentowym.
Przedstawiony schemat został znacznie uproszczony. Rzeczywistych punktów pomiarowych
jest 65. Są to czujniki pomiarowe temperatury, ciśnienia, poziomu i składu. Jako elementów wy-
konawczych użyto na instalacji: zawory, pompy i grzałki. Na schemacie zrezygnowano z przed-
stawienia zaworów rekonfigurujących strukturę stanowiska i jedynie przedstawiono zawory regu-
lacyjne. Pompy pracują ze stałą wydajnością. Regulacja przepływu jest osiągana poprzez zmianę
otwarcia zaworów. Elementem grzejnym jest zespół 9 grzałek elektrycznych umieszczonych w tu-
lejach olejowych o łącznej mocy 13.5 KW.
Praca instalacji nie byłaby możliwa bez obwodów pomiarowo-wykonawczych podpiętych do
sterownika logicznego PLC, który realizuje algorytmy sterowania stosowane w warstwie stero-
wania bezpośredniego. Zainstalowany sterownik logiczny posiada szereg wejść analogowych do
pomiaru ciągłych zmiennych pomiarowych. Wejścia binarne wykorzystane są do realizacji obwo-
dów potwierdzenia i osiągnięcia wartości granicznych zmiennych procesowych. Wejścia szybkich
liczników są połączone z przepływomierzami turbinkowymi. Wyjścia przekaźnikowe sterownika
podpięte są do odpowiednich obwodów wykonawczych.
Surowiec ze zbiornika poprzez pompę jest dostarczany do półkowej kolumny destylacyjnej.
W kolumnie zachodzą procesy wymiany masy pomiędzy cieczą i parą. Skutkuje to wzrostem
stężenia par etanolu, który jest skraplany w skraplaczach. Następnie skropliny gromadzone są
w zbiorniku wyrównawczym refluksu. Poprzez pompę gotowy surowiec przepompowywany jest
do zbiornika produktu. Cześć destylatu - refluks zawracana jest na szczyt kolumny. Wielokrotna
destylacja powoduje wzrost stężenia etanolu w produkcie końcowym.
Woda chłodząca ze zbiornika wyrównawczego jest dostarczana poprzez pompę do skraplaczy,
zbiornika refluksu oraz wymienników ciepła. Następnie ogrzana woda przepływa do chłodnicy
powietrznej z dmuchawą. Schłodzona woda jest buforowana w zbiorniku wyrównawczym. Ewen-
tualne braki wody chłodzącej są uzupełniane z sieci wodociągowej.
Gromadzenie i wizualizacja danych pomiarowych są realizowane na stacji operatorskiej wy-
90
posażonej w wykonane w Katedrze Automatyki oprogramowanie do nadzoru, kontroli i akwizycji
danych SCADA, uzupełnione i poprawione przez autora, rys. 2 i rys. 3. W celu podniesienia bez-
pieczeństwa prowadzonych eksperymentów prace badawcze są realizowane na dodatkowej stacji
roboczej wyposażonej w pakiet do obliczeń Matlab.W wielopoziomowym systemie sterowania zainstalowane są dwa systemy operacyjne QNX
i MS Windows NT. Sterowniki PLC to w większości sterowniki firmy GE Fanuc. Na sprzętkomputerowy składają się komputer przemysłowy firmy Advantech i dwa stacjonarne komputerytypu PC.
Rys. 1. Kolumna destylacyjna.
91
Rys. 2. Widok obwodu chłodzenia w SCADA.
Rys. 3. Widok obwodu wyparki w SCADA.
92
Bibliografia
[1] E. Anderson, Z. Bai, C. Bischof. LAPACK Users’ Guide. Society for Industrial and AppliedMathematics, wydanie III, 1999.
[2] K. J. Astrom, B. Wittenmarka. On self-tuning regulators. Automatica, 9:185-199, 1973.
[3] K. J. Astrom, B. Wittenmarka. Adaptive control. Addison-Wesley Publishing Company, 1989.
[4] K. J. Astrom, B. Wittenmarka. Computer-controlled systems : theory and design. Prentice Hall,1997.
[5] S.P. Bhattacharyya, H. Chapellat, L.H. Keel. Robust control. The parametric approach. PrenticeHall, Upper Saddle River 1995.
[6] A. Bjorck, L. Dahlquist. Metody numeryczne. PWN, Warszawa 1987.
[7] G. E. P. Box, G. M. Jenkins. Analiza szeregów czasowych: prognozowanie i sterowanie. PWN,Warszawa 1983.
[8] I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew. Nowoczesne kompendium matematyki. PWN, Warszawa2004.
[9] C.G. Broyden. The convergence of a class of double-rank minimization algorithms. J. Inst. Maths.Applics, 6:76-90, 1970.
[10] N.P. Buslenko, W.W. Kałasznikow, I.N. Kowalenko. Teoria systemów złożonych. PWN, Warszawa1979.
[11] J. Byrski. Przegląd technologii CORBA ze szczególnym uwzględnieniem zagadnień czasu rzeczy-wistego. Automatyka, 7(3):423-432, 2003.
[12] W. Byrski. Theory and application of the optimal integral state observer. ECC, strona 526-531,1995.
[13] W. Byrski. Dokładna rekonstrukcja stanu - teoria i przykłady zastosowania. Automatyka, 7(3),AGH, Kraków 2003.
[14] W. Byrski. Obserwatory i ich zastosowanie w systemach sterowania adaptacyjnego. Automatyka,65, AGH, Monografie, Kraków 1993.
[15] W. Byrski. Obserwacja i sterowanie w systemach dynamicznych. Wydawnictwo PAN-AGH,Kraków 2007.
[16] W. Byrski, S. Fuksa. Linear quadratic controller for continuous systems with compact support fil-ter for optimal identification and state observation. Second International Symposium on Methodsand Models in Automation and Robotic MMAR, 1995.
93
[17] W. Byrski, S. Fuksa. Optimal identification of continuous systems in l2 space by the use ofcompact support filter. Interational Journal of Modelling and Simulation, 15(4), 1995.
[18] W. Byrski, S. Fuksa. Time variable Gram matrix eigen-problem and its application to optimalidentification of continuous systems. ECC, Karlsruhe 1999.
[19] W. Byrski, S. Fuksa, M. Nowak. The quality of identification for different normalizations of conti-nuous transfer functions. Proceedings of the 22nd IASTED International Conference on Modelling,Identification, and Control, Innsbruck 2003.
[20] W. Byrski, S. Fuksa, M. Nowak. Optymalny filtr splotowy dla jednoczesnej identyfikacji parame-trów i obserwacji stanu. Zastosowanie w regulatorze adaptacyjnym. Seminarium nt.: Przetwarza-nie i analiza sygnałów w systemach wizji i sterowania. Wyd. ACGM Łódź, Słok 2002.
[21] W. Byrski, S. Fuksa, M. Nowak. Optymalizacja funkcji modulującej dla zastosowań w regulatorzeadaptacyjnym. XXXIV OKZM. Komitet Matematyki PAN, Zakopane 2005.
[22] W. Byrski, M. Nowak. Optymalny filtr splotowy dla jednoczesnej identyfikacji parametrów i ob-serwacji stanu. Zastosowanie w regulatorze adaptacyjnym. XV Krajowa Konferencja Automatyki.Instytut Badań Systemowych Polskiej Akademii Nauk, Warszawa 2005.
[23] W. Byrski, M. Nowak. Optymalizacja funkcji modulującej dla zastosowań w regulatorze ad-aptacyjnym. XXXIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki. Komitet MatematykiPolskiej Akademii Nauk, Zakopane 2004.
[24] J. Celko. SQL zaawansowane techniki programowania. Wydawnictwo MIKOM, Warszawa 1999.
[25] P. Craven, G. Wahba. Smoothing noisy data with spline functions: Estimation the correct degreeof smoothing by the method of generalized cross-validation. Math, 31:377-403, 1979.
[26] S. Daniel-Berhe, H. Unbehauen. Physical parameters estiamtion of the nonlinear continous-timedynamics of a DC motor using Hartley modulating functions method. Journal of The FranklinInstitute, 336:481-501, 1999.
[27] J. M. Douglas. Dynamika i sterowanie procesów. WNT, Warszawa 1976.
[28] G. Dragffy. The VLSI route for highly reliable ESDs. ISA Transactrions, 38(1):101-119, 1999.
[29] J. T. Duda. Modelowanie i symulacja procesów w systemach komputerowych sterowania nad-rzędnego. Automatyka, 4, 2000.
[30] J. T. Duda. Modele matematyczne, struktury i algorytmy nadrzędnego sterowania komputerowego.Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków 2003.
[31] W. Findeisen. Wielopoziomowe układy sterowania. Biblioteka Naukowa Inżyniera. PWN, War-szawa 1974.
[32] W. Findeisen. Analiza systemowa. Podstawy i metodologia. PWN, Warszawa 1985.
[33] W. Findeisen. Struktury sterowania dla złożonych systemów. Oficyna Wydawnicza PolitechnikiWarszawskiej, Warszawa 1997.
[34] R. Fletcher. A new approach to variable metric algorithms. Computer Journal, 13:317-322, 1970.
[35] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski. Metody numeryczne. WNT, wydanie V, Warszawa 2001.
94
[36] P. Gaś, M. Nowak, J. Kusiak. Narzędzia wspierające praktyczne zajęcia laboratoryjne we współ-czesnej uczelni technicznej, na przykładzie Akademii Górniczo-Hutniczej. Studium przypadku.Wirtualne Campusy - nowy wymiar edukacji. PTI i KRUN, Warszawa 2005.
[37] M. Gabassi, B. Dupouy. Przetwarzanie rozproszone w systemie Unix. Wydawnictwo LUPUS,Warszawa 1996.
[38] M. Galassi, J. Davies, J. Theiler, B. Gough, G. Jungman, M. Booth, F. Rossi. GNU ScientificLibrary Reference Manual. Free Software Foundation, wydanie 1.7, 2005.
[39] A. Gawdzik, B. Tabiś, W. Figiel. Zasady sterowania procesami technologicznymi i inżynieriichemicznej. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 1991.
[40] D. Goldfarb. A family of variable metric updates derived by variational means. Mathematics ofComputing, 24:23-26, 1970.
[41] T. Goto, J. Miyakura, K. Umeda. A robust spline filter on the basis of L2-norm. PrecisionEngineering, 29(2):157-161, 2005.
[42] P. Grabowski. Abstract model of a heat exchanger and its application. 11th IEEE InternationalConference on Methods and Models in Automation and Robotics, 2005.
[43] A. Górecka-Drzazga. Mikrotas-y (zastosowanie mikrosystemów w medycynie). Ra-port instytutowy, Politechnika Wrocławska, Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki,http://www.wemif.pwr.wroc.pl/agd/mikroTAS-y.pdf, 2004.
[44] H. Górecki.Wstęp do teorii układów sterowania z uwzględnieniem przypadkowych zakłóceń. Poldexs.c., Kraków 1997.
[45] H. Górecki, S. Fuksa, A. Korytowski, W. Mitkowski. Sterowanie optymalne z kwadratowym wskaź-nikiem jakości. Biblioteka Naukowa Inżyniera. PWN, Warszawa 1983.
[46] W. Grega. Metody i algorytmy sterowania cyfrowego w układach scentralizowanych i rozproszo-nych. Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, Kraków 2004.
[47] M.W. Głuszkow. Synteza automatów cyfrowych. WNT, Warszawa 1968.
[48] S. Hasebe. Design and operation of micro-chemical plants–bridging the gap between nano, microand macro technologies. Computers and Chemical Engineering, 29:57-64, 2004.
[49] S. Ibrir, S. Diop. Numerical procedure for filtering and efficient high-order signal differentiation.International Journal of Applied Mathematics And Computer Science, 14(2):201-208, 2004.
[50] R. Isermann, K. Lachmann, D. Matko. Adaptive control. Prentice Hall, N.Y. 1992.
[51] J. Jakubiec. Redukcyjna arytmetyka interwałowa w zastosowaniu do wyznaczania niepewności al-gorytmów przetwarzania danych pomiarowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002.
[52] K. Janik, M. Nowak. Relacyjna baza danych jako narzędzie przetwarzania danych w systemieczasu rzeczywistego. Systemy Czasu Rzeczywistego (SCR’01), strona 361-369, 2001.
[53] T. Kaczorek. Teoria sterowania i systemów. PWN, Warszawa 1999.
[54] V. Kale. SAP R/3 Przewodnik dla menadżerów. Helion, Gliwice 2001.
[55] R. E. Kalman. A new approach to linear filtering and prediction problems. Transaction of hteASME. Journal of basic engineering, 82(D):35-45, 1960.
95
[56] J. Kasprzyk. Identyfikacja procesów. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002.
[57] E. Kącki. Równania różniczkowe cząstkowe. WNT, Warszawa 1989.
[58] P. Kiciak. Podstawy modelowania krzywych i powierzchni. WNT, wydanie II, Warszawa 2000,2005.
[59] A. Kiełbasiński, H. Schwetlick. Numeryczna algebra liniowa: wprowadzenie do obliczeń zautoma-tyzowanych. WNT, Warszawa 1992.
[60] M. Klemiato. Przegląd statystycznych metod detekcji małych zmian w przebiegach procesowych.Pomiary Automatyka Robotyka, 1, 2006.
[61] M. Klemiato. Algorytmiczne nadzorowanie układów regulacji nadrzędnej. Praca doktorska, Aka-demia Górniczo-Hutnicza, Kraków 2001.
[62] L. Kołodziejczyk, M. Rubik. Technika chłodnicza w klimatyzacji. Arkady, Warszawa 1976.
[63] J. Korbicz, J.M. Kościelny, Z. Kowalczuk, W. Cholewa. Diagnostyka procesów przemysłowych:modele, metody sztucznej inteligencji, zastosowania. WNT, Warszawa 2002.
[64] A. Korytowski. Analityczne rozwiązanie liniowo-kwadratowego problemu sterowania optymalnegoz opóźnieniem, wolumen 24. Monografie AGH, Kraków 1995.
[65] A. Korytowski, M. Ziółko. Metody optymalizacji z ćwiczeniami laboratoryjnymi, wolumen 1300.Wydawnictwo AGH, Kraków 1992.
[66] R. Kulikowski. Sterowanie w wielkich systemach. WNT, Warszawa 1974.
[67] P. De Larminat, Y. Thomas. Automatyka układy liniowe. Sygnały i układy. Sterowanie. Identy-fikacja. WNT, Warszawa 1983.
[68] G. Lausen, G. Vossen. Obiektowe bazy danych. Modele danych i języki. WNT, Warszawa 2000.
[69] B. Liptak. Process control and optimization, wolumen 2 serii Instrument Engineers’ Handbook.CRC Press, wydanie IV, 2005.
[70] T. Łuba, M.A. Markowski, B. Zbierzchowski. Komputerowe projektowanie układów cyfrowychw strukturach PLD. Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa 1993.
[71] D. G. Luenberger. An introduction to observers. IEEE Transaction on Automatic Control,16:596-602, 1971.
[72] W. L. Luyben. Modele, symulacje i sterowanie procesów przemysłu chemicznego. InżynieriaChemiczna. WNT, Warszawa 1976.
[73] K. Mańczak. Metoda identyfikacji wielowymiarowych obiektów sterowania. WNT, Warszawa 1971.
[74] K. Mańczak, Z. Nahorski. Komputerowa identyfikacja obiektów dynamicznych. PWN, Warszawa1983.
[75] S. Maguire. Niezawodność oprogramowania. Techniki tworzenia bezbłędnych programów języku C— rodem z Microsoftu. HELION, Gliwice 2002.
[76] Young-Joon Choi Mal-Rey Lee, Tae-Eyn Kim. An expert-system approach to monitoring thegeneral operating procedures of PWR plant. Engng. Applic. Artif. Intell, 9(3):321-329, 1996.
96
[77] V. Maletynsky. Identification of continous dynamical systems with spline-type modulating func-tions method. IFAC Congr. on Parameter Identification and Parameter Estimation, wolumen 1,strona 275-281, Darmstad 1979.
[78] Mathworks. MATLAB Model Predictive Control Toolbox User’s Guide.
[83] Mathworks. MATLAB The Control System Toolbox User’s Guide.
[84] Mathworks. Stateflow User’s Guide.
[85] G. De Micheli. Synteza i optymalizacja układów cyfrowych. WNT, Warszawa 1998.
[86] W. Mitkowski. Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT, Warszawa 1991.
[87] Z. Mrozek. Wybrane, skończenie wymiarowe metody aproksymacji obiektów o parametrach rozło-żonych. Praca doktorska, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków 1982.
[88] National Instruments Corporation. LabVIEW FPGA Module User Manual, 2004.
[89] A. Niederliński. Systemy komputerowe automatyki przemysłowej. T. 2, Zastosowania. WNT,Warszawa 1985.
[90] A. Niederliński, J. Kasprzyk, J. Figwer. Multi-edip. Analizator wielowymiarowych sygnałówi obiektów. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1997. Skrypt 2017.
[91] A. Niederliński, J. Mościński, Z. Ogonowski. Regulacja adaptacyjna. PWN, Warszawa 1995.
[92] M. Nowak, A. Adamek, W. Byrski. Zastosowanie funkcji sklejanych w zadaniu optymalnej iden-tyfikacji ciągłego systemu liniowego. XXXIII Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki,Zakopane 2004.
[93] M. Nowak, R. Dudek. Język SCADAML opisu budowy systemów kontroli, nadzoru i akwizycjidanych. Systemy Czasu Rzeczywistego (SCR’05), 2005.
[94] M. Nowak, M. Klemiato, W. Byrski. Remote laboratory Uniboss for distributed real-time andembedded control system. 16th EAEEIE conference, Lappeenranta 2005.
[95] M. Nowak, B. Schmidt. Implementacja rozproszonych aplikacji sterowania i nadzoru w architek-turze CORBA. Systemy Czasu Rzeczywistego (SCR’05), 2005.
[96] A. Patra, H. Unbehauen. Identification of a class of nonlinear continuous-time systems usingHartley modulating functions. Int. J. Control, 62(2):1431-1451, 1995.
[97] A. Peszko. Elementy organizacji i zarządzania przedsiębiorstwem. Wydawnictwa AGH, Kraków1996.
[98] K. Peter, R. Isermann. Parameter-adaptive PID control based on continuous time process models.wolumen 2, strona 495-500, 1989.
97
[99] A. Piłat. Programmable analog hardware for control systems exampled by magnetic suspension.Regular sessions: Computer Methods and Systems, wolumen 2, strona 143-148, Kraków 2005.
[101] P. Piątek. Sterowanie magnetycznym zawieszeniem z wykorzystaniem szybkich sterowników opar-tych na technologii FPGA. XV Konferencja Automatyki, II:111-116, 2005.
[102] H. A. Preisig, D. W. T. Rippin. Theory and application of the modulating function method – I.review and theory of the method and theory of the spline-type modulating functions. ComputersChem. Engng., 17(1):1-16, 1993.
[103] H. A. Preisig, D. W. T. Rippin. Theory and application of the modulating function method –II. algebraic representation of Maletinsky’s spline-type modulating functions. Computers Chem.Engng., 17(1):17-28, 1993.
[104] H. A. Preisig, D. W. T. Rippin. Theory and application of the modulating function method– III. application to iddustrial process, a well-stirred tank reactor. Computers Chem. Engng.,17(1):29-39, 1993.
[105] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical recipes in C. NumericalRecipes Software, wydanie II.
[106] Zhihua Qu. Robust control of nonlinear uncertain systems. A Wiley-Iterscience Publication, 1998.
[107] Ł. Rauch, M. Nowak, M. Paćko, S. Węglarczyk, J. Kusiak. Wirtualne laboratorium dydaktyczneprocesów obróbki skrawaniem. Polska metalurgia w latach 2002-2006, Krynica 2006.
[108] P. Reinermann. The maturation of a technology: Predictive emissions monitoring. ChemicalEngineering, July:50-55, 2006.
[109] D. E. Seborg, T. F. Edgar, D. A. Mellichamp. Process dynamics and control. John Wiley & Sons,1989.
[110] J. Seidler, A. Badach, W. Molisz. Metody rozwiązywania zadań optymalizacji. Podręczniki Aka-demickie. Elektronika-Informatyka-Telekomunikacja. WNT, Warszawa 1980.
[111] D. F. Shanno. Conditioning of quasi-Newton methods for function minimization. Mathematicsof Computing, 24:647-656, 1970.
[112] J. A. Shaw. How critical is your control system? ISA Transactions 34, strona 185-192, 1995.
[113] M. Shinbrot. On the analysis of linear and nonlinear dynamic systems from transient-responsedata. National Advisory Committee for Aeronautics NACA, Washington 1954.
[115] M. G. Singh, P. Varaiya, M. Aizerman. Identification of continuous systems. Elsevier SciencePublishers B.V., Amsterdam 1987.
[116] S. Skoczowski. Deterministyczna identyfikacja i jej wykorzystanie w odpornej regulacji PID tem-peratury. Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Szczecińskiej, Szczecin.
[117] T. Soderstrom, P. Stoica. Identyfikacja systemów. PWN, Warszawa 1997.
98
[118] B. S. Sotskow. Niezawodność elementów i urządzeń automatyki. WNT, Warszawa 1973.
[119] G.G. Stephens, M.R. Mackley. Heat transfer performance for batch oscillatory flow mixing.Experiment Thermal and Fluid Science, 25:583-594, 2002.
[120] W. R. Stevens. Programowanie zastosowań sieciowych w systemie Unix. WNT, Warszawa 1998.
[121] T. Szmuc. Zaawansowane metody tworzenia oprogramowania systemów czasu rzeczywistego. CCA-TIE, Kraków 1998.
[122] R. Tadeusiewicz. Sieci neuronowe. WNT, Warszawa 1997.
[123] P. Tatjewski. Sterowanie zaawansowane obiektów przemysłowych. Struktury i algorytmy. Akade-micka Oficyna Wydawnicza Exit, Warszawa 2002.
[124] M. Tay, M. Macharia. Reducing energy costs with model predictive control solutions. EthanolProducer Magazine, July, 2006.
[125] W. Traczyk. Układy cyfrowe. Podstawy teoretyczne i metody syntezy. WNT, Warszawa 1982.
[126] J. Trzcieniecki. Projektowanie systemów zarządzania. PWN, Warszawa 1980.
[127] K. Warwick, W. Irwin, K.J. Hunt. Neural networks for control and systems. Peter Peregrinus,London 1992.
[128] A. Weiss, T. Gruźlewski. Programowanie współbieżne i rozproszone w przykładach i zadaniach.WNT, Warszawa 1993.
[129] H. Wysocki. Zastosowanie nieklasycznego rachunku operatorów do identyfikacji liniowych układówdynamicznych. AOW Exit, Warszawa 2006.
[130] W. Żakowski, W. Leksiński. Matematyka IV. Podręczniki Akademickie. Elektronika-Informatyka-Telekomunikacja. WNT, Warszawa 1995.
[131] T. P. Zieliński. Od teorii do cyfrowego przetwarzania sygnałów. Wykonano nakładem WEAIiEAkademii Górniczo-Hutniczej, Kraków 2002.