This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Metodos Numericos
M.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez
Facultad de Ciencias QuımicasUniversidad Autonoma de Nuevo Leon
Un metodo numerico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casisiempre de manera aproximada, la solucion de ciertos problemas realizandocalculos puramente aritmeticos y logicos (operaciones aritmeticaselementales, calculo de funciones, consulta de una tabla de valores, etc.).
El procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas queespecifican una secuencia de operaciones algebraicas y logicas (algoritmo),que producen o bien una aproximacion de la solucion del problema(solucion numerica) o bien un mensaje.La eficiencia en el calculo de dicha aproximacion depende, en parte, de lafacilidad de implementacion del algoritmo y de las caracterısticasespeciales y limitaciones de los instrumentos de calculo (loscomputadores). En general, al emplear estos instrumentos de calculo seintroducen errores llamados de redondeo.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
El metodo de biseccion
Se basa en el teorema del valor intermedio, se conoce con el nombre demetodo de biseccion o de busqueda binaria. Supongamos que f es unafuncion continua definida en el intervalo [x1, x2] con f (x1) y f (x2) designos diferentes.Sea p el punto medio de [x1, x2], es decir,
p = a +b − a
2=
a + b
2
Para obtener una solucion f (x) = 0 (raız) dada la funcion f continua en elintervalo [x1, x2], donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
Desventajas metodo de biseccion
Al dividir el intervalo de x1 a x2 en mitades iguales, no se toman enconsideracion las magnitudes de f (x1) y f (x2). Por ejemplo, si f (x1) estamucho mas cercana a cero que f (x2), es logico que la raız se encuentremas cerca de x1 que de x2. Un metodo alternativo que aprovecha estavisualizacion grafica consiste en unir f (x1) y f (x2) con una lınea recta.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos cerrados
El metodo de la falsa posicion
El metodo de la falsa posicion (o metodo de regla falsa) utiliza intervalos yesta basado en una idea para aproximarse en forma mas eficiente a la raız.Este metodo aprovecha la idea de unir dos puntos con una lınea recta. Lainterseccion de esta lınea con el eje x proporciona una mejor estimacion dela raız. Reemplaza la curva por una lınea recta da una posicion falsa de laraız. No es un metodo muy recomendado.Una solucion se da cuando f (x) = 0 dada la funcion continua f en elintervalo [x1, x2] donde f (x1) y f (x2) tienen signos opuestos.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Metodo iteracion de punto fijo (sustituciones sucesivas)
Un punto fijo de una funcion g(x) es un numero α para el cual g(α) = α.Si tenemos una ecuacion de la forma normal f (x) = 0. Para utilizar elmetodo de punto fijo se expresa como x = g(x).Ejemplo: cos(x) − x = 0, ln(x) = 1
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
El metodo de Newton-Raphson
El metodo de Newton (o metodo de Newton-Raphson) es una de lastecnicas numericas para resolver un problema de busqueda de raıcesf (x) = 0 mas usadas por su rapidez.
xi+1 = xi −f (xi )
f ′(xi )para i ≥ 0.
Para obtener una solucion f (x) = 0 dada la funcion diferenciable f y unaaproximacion inicial x0.Desventajas:Se debe proponer un valor suficientemente cercano a la raız paraconverger. En la vida real resulta un tanto impractico ya que existenfunciones complejas lo que dificultara obtener la derivada. Si existe mas deuna raız no converge ya que f ′(x) = 0, provocando una division entre cero.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Problemas
El balance de masa de un contaminante en un lago bien mezclado seexpresa como:
Vdc
dt= W − Qc − kV
√c
Dados los valores de parametros V = 1× 106 m3, Q = 1× 105 m3/ano yW = 1× 106 g/ano, y k = 0.25 m0.5/ano, use el metodo deNewton-Raphson para resolver la concentracion en estado estable. Empleeel valor inicial de c = 4 g/m3. Realice cinco iteraciones.
Soluciones de ecuaciones de una variable Metodos abiertos
Ejemplos
Suponga que se esta disenado un tanque esferico de almacenamiento deagua para un poblado pequeno de un paıs en desarrollo. El volumen dellıquido que puede contener se calcula con:
V = πh2[3R − h]
3
donde V = volumen [pie3], h = profundidad del agua en el tanque [pies], yR = radio del tanque [pies].Si R = 3 m, ¿a que profundidad debe llenarse el tanque de modo quecontenga 30 m3? Realice cinco iteraciones del metodo Newton-Rapshonpara determinar la respuesta.
Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel
Gauss-Seidel
Es el metodo iterativo mas utilizado. Dado un conjunto de n ecuacionescon los elementos de la diagonal diferentes de cero, entonces se tiene:
x1 =b1 − a12x2 − a13x3 − . . . − a1nxn
a11,
x2 =b2 − a21x1 − a23x3 − . . . − a2nxn
a22,
x3 =b3 − a31x1 − a32x2 − . . . − a3nxn
a33,
... =...,
xn =cn − an1x1 − an2x2 − . . .− ann−1xn−1
ann.
Nota importante: Este metodo converge si el coeficiente de la diagonalprincipal en valor absoluto es mayor que la suma de los coeficientesrestantes en la ecuacion.
Sistemas de ecuaciones lineales Metodo de Gauss-Seidel
Convergencia Gauss-Seidel
ξa,i = |xi ,j − xi ,j−1
xi ,j| · 100% < ξs
Se empieza a solucionar tomando las variables xi con un valor inicial decero. Se sustituyen estos en la ecuacion de x1. Luego el valor calculado x1se sustituye en la ecuacion x2 para encontrar su nuevo valor. Este procesose repite hasta llegar a calcular xn
Sistemas de ecuaciones no lineales Interaccion de punto fijo
Ejercicios
El siguiente problema presenta un sistemas de ecuaciones generado por uncircuito electrico con una sola fuente de voltaje y cinco resistores.R1 = 450 ohm, R2 = 350 ohm, R3 = 520 ohm, R4 = 100 ohm, R5 = 1000ohm y V1 = 10 V.
V1 + R2(i1 − i2) + R4(i1 − i3) = 0,
R1i2 + R3(i2 − i3) + R2(i2 − i1) = 0,
R3(i3 − i2) + R5i3 + R4(i3 − i1) = 0.
Calcule las corrientes de la malla mediante el Metodo de Gauss-Seidelusando los valores de resistencia y voltaje dados.
El objetivo de esta seccion es usar algoritmos de metodos numericos, paracalcular derivadas e integrales de funciones difıciles de evaluaranalıticamente, e incluso, hay algunas en las que “no existe” su integralcomo es el caso de e−x2 y senx
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Diferenciacion numerica
La derivacion numerica es una tecnica de analisis numerico para calcularuna aproximacion a la derivada de una funcion en un punto utilizando losvalores y propiedades de la misma.Por definicion la derivada de una funcion f(x) es:
f ′(x) = limh−>0
f (x + h)− f (x)
h.
Las aproximaciones numericas que podamos hacer (para h ¿ 0) seran:Diferencias hacia adelante:
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
La aproximacion de la derivada por este metodo entrega resultadosaceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estimaque el promedio de ambas entrega la mejor aproximacion numerica alproblema dado:Diferencias centrales:
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Metodos de Newton-Cotes
Las formulas de Newton-Cotes son los tipos de integracion numerica mascomunes. Se basan en la estrategia de reemplazar una funcion complicadao datos tabulados por un polinomio de aproximacion que es facil deintegrar:
I =
∫ b
a
f (x)dx ∼=∫ b
a
fn(x)dx
donde fn(x) es un polinomio de la formafn(x) = a0 + a1x + ...+ an−1x
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Existen formas cerradas y abiertas de las formulas de Newton-Cotes. Lasformas cerradas son aquellas donde se conocen los datos al inicio y al finalde los lımites de integracion. Las formulas abiertas tienen lımites deintegracion que se extienden mas alla del intervalo de los datos.
Diferenciacion e integracion numerica Diferenciacion numerica
Reglas de Simpson
Otra forma de obtener una estimacion mas exacta de una integral consisteen usar polinomios de grado superior para unir los puntos.Por ejemplo, si hay otro punto a la mitad entre f (a) y f (b), los trespuntos se pueden unir con una parabola. Si hay dos puntos igualmenteespaciados entra f (a) y f (b), los cuatro puntos se pueden unir medianteun polinomio de tercer grado.
Con frecuencia se encontrara con que tiene que estimar valores intermediosentre datos definidos por puntos.Los metodos se basan en la suposicion de que en la vecindad del valor x, lafuncion f(x) se puede aproximar a un polinomio P(x) y por lo tanto elvalor encontrado de P(x) sera un calor aproximado al valor verdadero dela funcion.El metodo mas conocido que se usa es la interpolacion polinomial.
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal
Un ejemplo de aproximacion por mınimos cuadrados es ajustar una lınearecta a un conjunto de observaciones definidas por puntos:(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)).La expresion para la lınea recta es
y = a0 + a1x + e
donde a0 y a1 son coeficientes que representan la interseccion con el eje y
y la pendiente, respectivamente, e es el error o diferencia, entre el modeloy las observaciones.
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Una “desviacion estandar” para la lınea de regresion se determina como
Sy/x =
√
Srn − 2
donde a Sy/x se le llama error estandar del estimado. Cuantifica ladispersion alrededor de la lınea de regresion.
Sea St la magnitud del error residual asociado con la variable dependienteantes de la regresion (
∑
(yi − y)2), y Sr la suma de los cuadrados de losresiduos alrededor de la lınea de regresion (
∑
(yi − ymod)2).
Coeficiente de determinacion.
r2 =St − Sr
St
r es conocido como el coeficiente de correlacion. En un ajuste perfecto,Sr = 0 y r = r2 = 1, significa que la lınea explica el 100% de lavariabilidad de los datos.
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal multiple
En el caso que de m dimensiones tenemos:
y = a0 + a1x1 + a2x2 + ...+ amxm + e
Ecuaciones
a0n + a1∑
x1 + a2∑
x2 + . . .+ am∑
xm =∑
yi
a0∑
x1 + a1∑
x21 + a2∑
x2 · x1 + . . .+ am∑
xm · x1 =∑
x1yi
...
a0∑
xm + a1∑
x1 · xm + a2∑
x2 · xm + . . .+ am∑
x2m =∑
xmyi
donde el error estandar se formula como
Sy/x =
√
Srn − (m + 1)
,
y el coeficiente de determinacion se calcula como
S − SM.C. Luis Alejandro Benavides Vazquez (FCQ-UANL) Metodos Numericos Verano 2016 62 / 78
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Los ingenieros ambientales que estudian los efectos de la lluvia acidadeben determinar el valor del producto ionico del agua kw como funcon dela temperatura . los coeficientes cientıficos sugieren la ecuacion siguientepara modelar dicha relacion
− log10 kw =a
ta+ b log10 Ta + cTa + d (1)
donde Ta es la temperatura absoluta (K), y a, b, c , y d son parametros.emplee los siguientes datos y la regresion:
Regresion lineal y no lineal con mınimos cuadrados
Regresion lineal multiple
Es mas sencillo resolver las ecuaciones normales si se expresa en notacionmatricial. El modelo en terminos de las observaciones puede escribirse ennotacion matricial como y = Xβ + ε, donde
El estimador de mınimos cuadrados de β es: β = (XTX )−1XT y
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Metodo de Euler Modificado
Es un metodo que mejora la aproximacion a la pendiente. Implica elcalculo de dos derivadas del intervalo, en el punto inicial y otra en el puntofinal.Ecuacion predictiva
yi+1 = yi + f (xi , yi )h
Ecuacion correctiva
yi+1 = yi +[f (xi , yi ) + f (xi+1, yi+1)]h
2
Ejemplo: Resolver desde t = 0 hasta t = 0.3 con h = 0.1
Solucion de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales
Un reactor por lotes no isotermico esta descrito por las siguientesecuaciones:
dc
dt= −e
−10T+273 · c
dT
dt= 1000e
−16T+273 · c − 10(T − 20)
Donde c es la concentracion del rectivo y T es la temperatura del reactor,inicialmente esta a 15◦C y tiene c = 1 mol/L de reactante. Encuentre la cy la T como funcion del tiempo.