Métodos Numéricos Computacionais Integração Numérica Parte I
Métodos Numéricos Computacionais
Integração NuméricaParte I
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Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente.
Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular
Forma de obtenção de uma aproximação para a integral de f(x) num intervalo [a, b] Métodos Numéricos.
b
a
dxxf )(
Integração Numérica
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Idéia básica da integração numérica substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b].
Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x).
Integração Numérica
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As fórmulas terão a expressão abaixo:
Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):
x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b] (nós de integração).
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x) (pesos).
n
iiin xfAfI
0)()(
Integração Numérica
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O uso desta técnica decorre do fato de:
por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de integrar, contrariamente a um polinômio;
conhecer-se o resultado analítico do integral, mas, seu cálculo é somente aproximado;
a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados.
Integração Numérica
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Métodos de integração numérica mais utilizados
Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas Regra dos Trapézios, x0=a e xn=b. Regra 1/3 de Simpson
Fórmulas de Newton-Cotes Abertas os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até
b
Integração Numérica
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Regra dos Trapézios Simples - consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.
Este polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.
Regra dos Trapézios
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Regra dos Trapézios Simples
Área do trapézio: A=h . (T+t) /2
h - altura do trapézio t - base menor T - base maiorDe acordo com a figura: h= b – a = x1 – x0 t = f(b) = f(x1) T = f(a) = f(x0)
Logo,
1
0
102
x
x
xfxfhdxxf )()()(
9
Intervalo [a, b] relativamente pequeno aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude aproximação defasada. pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a
função é aproximada por uma função linear. A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n . A integral no intervalo é dado pela soma dos integrais definidos
pelos sub-intervalos. Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos. Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida): soma
da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Simples
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Intervalo [a, b] de grande amplitude. Soma da área de n trapézios, cada qual definido
pelo seu sub-intervalo.
Regra dos Trapézios Composta
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Fórmula:
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em:
)()(...
)()()()()(
NN
x
x
xfxfh
xfxfhxfxfhdxxfm
1
2110
2
220
Nx
xNN xfxfxfxfxfhdxxf
0
1210 22
)()(...)()()()(
Regra dos Trapézios Composta
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Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0=0.0 e x1=4.0) I=y0+y1=2x(1.00000+0.24254) = 2.48508
Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos (x0=0.0,x1 =2.0,x2 =4.0) I=y0+2y1+y2=1x(1.00000+2x0.44722+ 0.24254) = 2.1369
Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos I=(0.5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2.0936
x y=(1+x²)-1/2
0.0 1.00000 0.5 0.894451.0 0.707111.5 0.554752.0 0.447222.5 0.371383.0 0.316233.5 0.274734.0 0.24254A aproximação para 9 pontos é
melhor, dado que o valor real é 2.0947.
Exemplo: Estimar o valor de
Regra dos Trapézios
4
0
2121 dxx /)(
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Erro da Regra dos Trapézios simples
E(f)=I(f)-T(f)=I(f)-I(p1)=I(f-p1)
T(f) - valor da integral obtida pela regra dos trapézios.
I(f) - valor da integral obtida pela integração de f(x).
Regra dos Trapézios
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Erro da Regra dos Trapézios simplesE( f ) = I ( f ) - T ( f ) = I ( f ) - I ( p1 ) = I ( f -
p1 )
Da fórmula do erro de interpolação temos f (x) - p1(x) = f [ a, b, x ] ( x - a ) ( x - b )
Como ( x - a ) ( x - b ) não muda de sinal no intervalo [a, b] pode-se aplicar o Teorema do Valor Médio para Integrais e obtém-se:
b[ ]a,ξ certo um para
))((,,,,
b
a
b
a
dxbxaxbafdxbxaxxbaf
Regra dos Trapézios
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Erro da Regra dos Trapézios Simples Supondo que f é C2[a, b], obtém-se a fórmula do erro:
Erro da Regra dos Trapézios Composta
Aplicando o Teorema do Valor Médio à média das 2as derivadas, obtém-se:
b[ ]a, certo um para ),´´()´´()()(
fhfabfE1212
33
N
iii
N
iN f
NNhfhfE
1
3
1
3 11212
)´´()´´()(
1212
3
1
3 )´´()´´()( ii
N
iN
fNhfhfE
Regra dos Trapézios
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Não é possível calcular exatamente ,visto que não se conhece o ponto . Quando for possível, calcula-se um limitante superior para o erro.
Tem-se:
Sendo f´(x) contínua em [a, b] então existe
Assim
)´´( if
12
3 )´´()( iN
fNhfE
)´´(],[
xfmáxMbax
2
122
3MNhETR
Regra dos Trapézios
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Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios
1
0
dxeI x
8591411
21
101
1
0
01
0
,
dxeI
eedxeI
abh
x
x 1
0
102
x
x
xfxfhdxxf )()()(
18
Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
2265230121
10121
10
3
,
),( ,)(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1
19
Exemplo: Seja ,
calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido.
Regra dos Trapézios
1
0
dxeI x
7197131
2222210
1
0
9080201001
0
,
..., ,,,,
0,1h com lossubinterva 10 em ossubdividid [0,1]
dxeI
eeeeeedxeI
x
x
Nx
xNN xfxfxfxfxfhdxxf
0
1210 22
)()(...)()()()(
20
Estimativa do erro cometido:
Regra dos Trapézios
00227012010
10121010
10
3
,,
),( ,),(
][máx
:Portanto
x
,xTR
TR
eE
eE
x
,xee
][máx
10
1
Regra 1/3 de Simpson
No caso da regra 1/3 de Simpson, o polinômio escolhido para aproximar a função é o polinômio de Lagrange de grau 2.
Temos:2
0
0 1 2( ) ( ( ) 4 ( ) ( ))3
b x
a x
hf x dx f x f x f x
Regra 1/3 de Simpson
No caso da regra 1/3 de Simpson, a integral é aproximada pela integral da curva de segundo grau que interpola a função nos valores a, (a+b)/2 e b.
Regra 1/3 de Simpson repetida
Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir o erro cometido na aproximação da integral, podemos subdividir o intervalo inicial em n intervalos de mesmo comprimento. Para poder aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par.
Temos: 0
1 3 1
2 4 2
( ) [ ( ) ( )3
4( ( ) ( ).. ( ))2( ( ) ( ) ... ( )
b
na
n
n
hf x dx f x f x
f x f x f xf x f x f x
Erros cometidos
O calculo de erro apóia-se sobre o erro conhecido dos polinômios de interpolação:
Grau 1:
Grau 2:1 0 1 0
"( )( ) ( )( ) , ( , )
2x
x nf
E x x x x x x x
2 0 1 2 0'''( )( ) ( )( )( ) , ( , )6
xx n
fE x x x x x x x x x
Erro cometido: caso grau 1
O erro cometido é a integral sobre o intervalo do erro cometido aproximando a função com o polinômio de grau 1:
Podemos mostrar que:
1
0
0 1 0"( )( )( ) , ( , )2
xx
T x nx
fE x x x x dx x x
0 1
3
2 2 [ , ]; max "( )
12T x x x
hE m m f x
Erro cometido: caso grau 1
No caso da regra dos trapézios repetida, temos:
3
2 2 [ , ]; max "( )
12TR x a b
h b aE m M M f x emh
Erro cometido: caso grau 2
No caso da regra de Simpson, podemos mostrar que:
Que no caso repetido, da um erro:0 2
5( )
4 4 [ , ]; max ( )
90iv
S x x x
hE m m f x
5( )
4 4 [ , ]; max ( )
180iv
SR x a b
h b aE m M M f x emh
Exercícios28
1-
2-