UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁN CURSO: HIDROLOGIA TEMA: METODOS ESTADISTICOS METODOS ESTADÍSTICOS. Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno. Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere. A continuación se explican los métodos de: Gumbel Nash Levediev Log-Pearson III Gumbel y Nash consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste. Docente: mgs. Ing° Arbulú ramos José del Carmen página 1
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UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁNCURSO: HIDROLOGIA TEMA: METODOS ESTADISTICOS
METODOS ESTADÍSTICOS.
Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, es una variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos se requiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación del cálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo de retorno.
Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño, se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución de probabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo si se requiere inferir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño del registro. El problema se origina en que existen muchos tipos de distribuciones que se apegan a los datos, y sin embargo, difieren en los extremos. Esto ha dado lugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que considere.
A continuación se explican los métodos de:
Gumbel Nash Levediev Log-Pearson III
Gumbel y Nash consideran una distribución de valores extremos, con la única diferencia, que el criterio de Nash es menos rígido que el de Gumbel, pues permite ajustar la distribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, Levediev considera una distribución Pearson tipo III. En forma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y ver cual se ajusta mejor; esto requiere que se tengan los datos necesarios para poder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de ajuste.
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MÉTODO DE GUMBEL.
Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa la ecuación:
Qmax=Qm−σQσ N
(Y N−lnT )…1
Siendo:
σ Q=√∑i=1N
Qi2−N Qm
2
N−1
…2
Donde:
Qmax=¿Caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s.
N= número de años de registro.
Qi =Caudales máximos anuales registrados, en m3/s.
Qm=∑i=1
N
Qi
N
, Caudal promedio, en m3/s
T= Periodo de retorno.
σ N , Y N=¿Constantes función de N, tabla 6.13 (Variables reducidas)
σ Q= Desviación estándar de los caudales.
Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar Qmax dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:
1. Si ф=1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la fórmula:
∆Q=±√Nα σ m
σQσ N √N
…3
Donde:
N= número de años de registro
√Nα σm=constante en función de ф, tabla 6.14.
σ N= Constantes función de N, tabla 6.13
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σ Q= Desviación estándar de los caudales (ecuación 2)
Tabla 6.13. Valores de Y N y σ N en función de N.
Tabla 6.14 Valores de √Nα σm en función de ф.
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2. Si ф>0.90, el intervalo se calcula como:
∆Q=±1.14 σQσ N
… 4
La zona de ф comprendida entre 0.8 y 0.9 se considera la transición, donde ∆Q es proporcional al cálculo con las ecuaciones 3 y 4, dependiendo del valor de ф.
El caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual al caudal máximo con la ecuación (1), más el intervalo de confianza, calculado con (3) ó (4).
Qd=Qmax+∆Q…5
EJEMPLO DEL METODO DE GUMBEL.
Se tiene el registro de caudales máximos de 30 años para la estación 9-3 Angostura, como se muestra en la tabla 6.15.
En este río se desea construir una presa de almacenamiento.
Calcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos de retorno 50 y 100 años respectivamente.
Cálculo de la Desviación estándar de los caudales.σ Q
σ Q=√∑i=1N
Qi2−N Qm
2
N−1
σ Q=√ 40595065−30(918338.89)30−1=670.6893
Paso 3.
Cálculo de los coeficientes σN, YN
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Paso 4.
Cálculo del Caudal Máximo.
Qmax=Qm−σQσ N
(Y N−lnT )
Para los periodos de retorno de 50 y 100 años.
Para T=50
Qmax=958.3−670.68931.11238
(0.53622−ln 50)
Qmax=2993.68m3/s
Para T=100
Qmax=958.3−670.68931.11238
(0.53622−ln 100)
Qmax=3411.60 m3/s
Paso 5.
Cálculo de ф.
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σN 1.11238YN 0.53622
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ф=1-1/T
Para T=50años
ф=1-1/50=0.98
Para T=100años
T=1-1/100=0.99
Paso 6.
Cálculo del intervalo de confianza. Como en ambos casos vemos que ф es mayor que 0.90, Utilizaremos la ecuación:
∆Q=±1.14 σQσ N
∆Q=± 1.14∗670.68931.11238
=687.34 m3/s
Paso 7.
Cálculo del caudal de diseño.
Qd=Qmax+∆Q
Para T=50
Qd=2993.68+687.34
Qd=3681.02m3/ s
Para T=100
Qd=3411.60+687.34
Qd=4098.94m3 /s
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MÉTODO DE NASH
Nash considera que el valor del caudal para un determinado periodo de retorno se puede calcular con la ecuación:
Qmax=a+b loglogT
T+1…6
Donde:
a ,b= constantes en función del registro de caudales máximos anuales.
Qmax=caudal máximo para un periodo de retorno determinado, en m3/s
T=periodo de retorno, en años.
Los parámetros a y b se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la ecuación lineal: Q=a+bX , utilizando las siguientes ecuaciones:
a=Qm−b Xm…7
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b=∑i=1
N
X iQ i−N XmQm
∑i=1
N
X i2−N Xm
2
…8
Siendo:
X i=loglogT
T +1…9
Donde:
N= número de años de registro
Qi=caudales máximos anuales registrados, en m3/s
Qm=∑i=1
N Qi
N, Caudal medio, en m3/s.
X i= constante para cada caudal registrado, en función de su periodo de retorno correspondiente.
X m=∑i=1
N X i
N, valor medio de las X s
Para calcular los valores de X i correspondientes a los Qi se ordenan estos en forma decreciente,
asignándole a cada uno número de orden mi; al Qi máximo le corresponderá el valor 1, al inmediato
siguiente 2, etc. Entonces, el valor del periodo de retorno para Qi se calculará utilizando la formula de Weibull con la ecuación:
T=N +1mi
…10
Finalmente el valor de X i se obtiene sustituyendo el valor (10) en (9).
El valor dentro del cual puede variar el Qmax calculado por la ecuación (6), se obtiene como:
∆Q=±2√ SqqN 2(N−1)
+(X−Xm)2
1N−2
∗1
Sxx (Sqq−S xq2
Sxx )…11Siendo:
Sxx=N∑ x i2−(∑ x i )
2
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Sqq=N∑Q i2−(∑Qi )
2
Sxq=N∑Qi x i−¿ (∑Qi ) (∑ xi )¿
De la ecuación (11), se ve que ∆Qsolo varía con X, la cual se calcula de la ecuación (9), sustituyendo el valor del periodo de retorno para el cual se calculó el Qmax. Todos los demás términos que intervienen en la ecuación (11) se obtienen de los datos.
El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado periodo de retorno será igual al caudal máximo obtenido de la ecuación (6), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (11), es decir:
Qd=Qmax+∆Q
EJEMPLO DEL METODO DE NASH
Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Nash para periodo de retorno de 50 y 100 años.
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Qm=∑i=1
N Qi
NX m=∑
i=1
N X i
N
b=∑i=1
N
X iQ i−N XmQm
∑i=1
N
X i2−N Xm
2
a=Qm−b Xm
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5.- Calculo del Caudal Máximo.
T= 50 años Qmax= 2721.5684 m3/s.T= 100 años Qmax= 3087.3544 m3/s.
6.- Calculo de las desviaciones estándar y covarianza
Sxx= 210.0451Sqq= 391346949Sxq= -253378.0648
7.- Calculo del Intervalo de Confianza
El valor de X se calcula para cada periodo de retornoT= 50 años X= -2.0568T= 100 años X= -2.3600
T= 50 años ∆Q= 429.5426 m3/s.T= 100 años ∆Q= 491.4601 m3/s.
8.- Calculo del Caudal de Diseño
T= 50 años Qd= 3151.11 m3/s.T= 100 años Qd= 3578.81 m3/s.
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Qmax=a+bloglogT
T +1
Sxx=N∑ x i2−(∑ x i )
2Sqq=N∑Q i
2−(∑Qi )2
Sxq=N∑Qi x i−¿ (∑Qi ) (∑ xi )¿
∆Q=±2√ SqqN 2(N−1)
+(X−Xm)2
1N−2
∗1
Sxx (Sqq−S xq2
Sxx )X= log logT
T−1
Qd=Qmax+∆Q
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MÉTODO DE LEVEDIEV.
Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la fórmula:
Qd=Qmax+∆Q…12
Donde:
Qmax=Qm (K C v+1 )…13
Y
∆Q=±A ErQmax
√N…14
Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente significado.
A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7.
C s= coeficiente de asimetría, se calcula como:
C s=∑i=1
N
( Qi
Qm
−1)3
N C v3 …15
Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:
C s=2C v Para avenidas producidas por deshielo.
C s=3C v Para avenidas producidas por tormentas.
C s=5C v Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas.
Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor
C v= coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación:
C v=√∑i=1N
( Qi
Qm
−1)2
N…16
Er=coeficiente que depende de los valores de C v(ecuacion16) y de la probabilidad P=1/T, su valor se encuentra de la figura 6.3
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N= Años de observación.
∆Q=intervalo de confianza, en m3/s
Qd=caudal de diseño, en m3/s
Qi=caudales máximos anuales observados, en m3/s
Qm=caudal promedio, en m3/s, el cual se obtiene de:
Qm=∑i=1
N
Qi
N…17
Qmax=Caudal máximo probable obtenido para un periodo de retorno determinado, en m3/s.
Figura 6.3 Valores de Er en función de C v y p.
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K=coeficiente que depende de la probabilidad P=1/T, expresada en porcentaje de que se repita el caudal de diseño y del coeficiente de asimetría C s(tabla 6.17)
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EJEMPLO DEL MÉTODO DE LEVEDIEV.
Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Levediev para periodo de retorno de 50 y 100 años.
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QQm
-1 ( QQm
−1)2
( QQm
−1)3
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Cv= 0.6881
4.- Determinación del Coeficiente de Asimetría Cs.
Cs= 2.8652
Por otra parte, Levediev recomienda tomar los siguientes valores:
Para avenidas producidas por deshielo.Para avenidas producidas por tormentas.
Para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas.Entre estos valores y el que se obtiene de la ecuación (15), se escoge el mayor.
Consideramos que las avenidas es producida por tormentas
Cs= 2.0643
De los dos coeficientes de asimetría se selecciona el mayor
Cs= 2.8652
5.- Obtención del coeficiente K
Nos vamos a la tabla con la probabilidad y coeficiente de asimetría y encontramos K.
Periodo de Retorno probabilidad Cs KT= 50 años 2.00% 2.8652 3.12 T= 100 años 1.00% 2.8652 3.98
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C v=√∑i=1N
( Qi
Qm
−1)2
N
C s=∑i=1
N
( Qi
Qm
−1)3
N C v3
P= 1T
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6.- Calculo de Er Coeficiente que depende del coeficiente de variación (Cv).
Nos vamos al grafico y con la probabilidad y el Cv y encontramos el Er.Periodo de Retorno probabilidad Cv Er
T= 50 años 2.00% 0.6881 0.95 T= 100 años 1.00% 0.6881 1.02
7.- Calculo del Caudal Máximo
Periodo de Retorno Qmax unidadT= 50 años 3015.68 m3/seg T= 100 años 3582.78 m3/seg
8.- Calculo del Intervalo de Confianza
A=Coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente. Si N es mayor de 40años, se toma el valor de 0.7.A= 0.85
Periodo de Retorno ∆𝑸 unidadT= 50 años 444.60 m3/seg T= 100 años 567.12 m3/seg
9.- Calculo del Caudal de Diseño
Periodo de Retorno Qd unidadT= 50 años 3460.28 m3/seg T= 100 años 4149.90 m3/seg
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Qmax=Qm (K C v+1 )
∆Q=±A ErQmax
√N
Qd=Qmax+∆Q
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MÉTODO LOG PEARSON TIPO III
Distribución estándar para análisis de frecuencia de caudales máximos anuales en los Estados Unidos (Benson 1968).
La transformación Qd = Log QT se usa para reducir la asimetría; en caso de que la asimetría para esta situación valga cero la distribución log Pearson III se reduce a una log normal.
Qd=logQT
Siendo:
logQT=LogQ+K σ logQ
LogQ=∑ logQi/N
Donde:
QT= Máxima avenida correspondiente al periodo de retorno T.LogQ= promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:K = factor de frecuencia correspondiente a un T dado. σ Log Q = desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es:
σ logQ=[∑( logQi−LogQ)2/ (N−1)]1/2
Este factor se obtiene de cuadro mediante el Coeficiente de Sesgo (Cs).
El Coeficiente de sesgo, se calcula mediante la fórmula:
Cs logQ=N∑ ( logQi−logQi )
3
(N−1 )(N−2)(σ logQ)3
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Valores de K Método de Log Pearson Tipo III
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EJEMPLO DEL MÉTODO DE LOG PEARSON TIPO III
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Para los mismos datos de la tabla 6.15, del ejemplo 6.7, calcular el caudal de diseño utilizando el método de Log - Pearson III, para periodo de retorno de 50 y 100 años.
2.- Calculo del promedio de los logaritmos de la serie Qi, siendo:
N= 30
2.9174 m3/seg
3.- Calculo de Desviación estándar de los logaritmos de la serie Qi, cuya fórmula es (𝝈 𝑳𝒐𝒈 𝑸)
σ Log Q= 0.2216
4.- Calculo del Coeficiente de sesgo (Sc)
Cs logQ 0.9366
5.- Calculo de K (factor de frecuencia correspondiente a un T dado).
Periodo de Retorno Probabilidad KT= 50 años 2.00% 2.5138
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LogQ=
LogQ=∑ logQi/N
σ logQ=[∑( logQi−LogQ)2/ (N−1)]1/2
Cs logQ=N∑ ( logQi−logQi )
3
(N−1 )(N−2)(σ logQ)3
P¿(1/T )*100
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T= 100 años 1.00% 2.9804
6.- Calculo del Caudal de Diseño
Periodo de Retorno Qd unidadT= 50 años 3.4744 2980.93 m3/seg T= 100 años 3.5777 3782.21 m3/seg
AHORA DETERMINAS EL CAUDAL DE DISEÑO HACIENDO LA GRAFICA DE TODOS LOS DATOS OBTENIDOS DE CADA METO Y LO COMPARAMOS CON LOS CAUDALES D REGISTRO Y OBTENEMOS
En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, es la distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular el Qd.
CAUDAL DE DISEÑO
T (años) Qd (m3/s)
50 3460.28100 4149.90
BIBLIOGRAFÍA
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logQT
logQT=LogQ+K σ LogQ Qd=logQT
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Villón Bejar, Máximo: hidrología. Segunda Edición: editorial Villón, Febrero del 2002. Lima-Perú