METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD - Somos parte de … · Métodos de conteo Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Diagramas

METODOS DE CONTEO Y PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Cuando realizamos un experimento, diremos que es:

Determinista: dadas unas

condiciones iniciales, el resultado es siempre el mismo.

Aleatorio: dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final.

Definición probabilidad

Ejemplo: Al extraer una sola carta de un naipe español (40 cartas), cual

es la probabilidad de obtener:

a) Un as

b) Un 3 de espadas

c) 15 de oros

d) un número menor o igual que 3?

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Recuento

189 280 469

108 359 467

6 58 64

303 697 1000

NORMAL

OSTEOPENIA

OSTEOPOROSIS

CLASIFICACION

OMS

Total

NO SI

MENOPAUSIA

Total

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis?

¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis?

PROBABILIDAD

Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de

interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede

caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sello o que caiga cara. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S = { s, c }

2.- Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

PROBABILIDAD

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda S = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1c, 2c, 3c, 4c, 5c, 6c } Probabilidad de que aparezcan el número 2 o 3 con sello. Probabilidad de que aparezcan números pares con

sello.

PROBABILIDAD

Ejemplo

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados se obtenga:

a) Que la suma de sus caras sea 7

b) En una cara aparezca un tres y en la otra un valor mayor a 4.

c) En el primer dado aparezca un 3 o 5 y el segundo un 2 o 4.

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Hay 10 parejas posibles

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ya que quedan 4 blancas, 3 rojas y 3 azules.

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

En total hay 11 bolas, cuando se extrae la primera bola quedan 10 y después quedan 9

Métodos de conteo

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Diagramas de árbol

Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Juan tiene 2 corbatas de colores azul y rojo, respectivamente, y tres camisas de colores azul, rosa y blanco. ¿Cuántas combinaciones puede hacer?

Ejemplo

Realiza el diagrama de árbol para las posibles combinaciones de un menú de almuerzo

Solución

Principio multiplicativo

Regla de la multiplicación: Si se desea realizar una actividad que consta de k pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de n1 maneras, el segundo paso de n2 maneras y el k-ésimo paso de Nk maneras, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de:

¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra maíz.

4 3 2 1

Ejemplo

Cuantos billetes de lotería (de cuatro cifras y una serie de una letra) hay?

Cifras

Ejemplo con condiciones.

Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9.

Considere que se pueden repetir letras y números. Considere que no se pueden repetir letras y

números. ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y

terminan en impar?

Ejemplo con condiciones.

Cuántas claves de acceso a un computador será posible diseñar, si esta debe constar de dos letras, seguidas de cuatro dígitos, las letras serán tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9.

Considere que se pueden repetir letras y números. 27x27x10x10x10x10 Considere que no se pueden repetir letras y

números. 27x26x10x9x8x7 ¿Cuántas de las claves empiezan por la letra A y

terminan en impar? 1x27x10x10x10x5

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

La cantidad de números de cuatro cifras es 10x10x10x10 = 10000 Como se compro una boleta y se juega con dos números la probabilidad es 2/10000

Diferencia entre combinación y permutación

Permutación

Una permutación de un conjunto de elementos es una disposición de tales elementos de acuerdo a un orden definido. El número de permutaciones de n elementos tomados de r es:

!

P!

n

r

n

n r

4

2 1

3

3 2 3 2

4 2 4 2 4 1 4 1

3 1 3 1

4 4 3 3 2 1 1 2

Permutaciones

Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo. ¿De cuántas maneras pueden quedar asignadas los títulos de campeón y subcampeón?

A B B A C A D A

A C B C C B D B

AD B D C D D C

n elementos r subconjuntos.

Permutaciones

4 elementos 2 subconjuntos.

Ejemplo

¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles

formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.

Ejemplo

Disponemos de cinco colores para pintar una bandera de tres franjas verticales de igual ancho y diferente color. Teniendo en cuenta este criterio de diseño, ¿cuántas banderas distintas podemos crear?

Solución

Permutación con todos los elementos.

Calcular todas las formas posibles de ordenar los números 1,2 y 3.

Permutación con todos los elementos.

Calcular todas las formas posibles de ordenar los números 1,2 y 3.

Ejercicios

a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)

b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros

tres premios de esta carrera de fórmula uno?

Ejercicios

a. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar las posiciones de salida de 8 autos que participan en una carrera de fórmula uno? (Considere que las posiciones de salida de los autos participantes en la carrera son dadas totalmente al azar)

8P8= 8! = 40320 b. ¿Cuántas maneras diferentes hay de asignar los primeros

tres premios de esta carrera de fórmula uno? 8P3=8!/5! = 8x7x6 = 336

Permutaciones con repetición

una cantidad x1 de objetos de cierto tipo, una cantidad x2 de objetos de un segundo tipo,...... y una cantidad xk de objetos del tipo k.

Ejemplo

Obtenga todas las señales posibles que se pueden diseñar con seis banderines, dos de los cuales son rojos, tres son verdes y uno morado.

Solución:

n = 6 banderines

x1 = 2 banderines rojos

x2 = 3 banderines verdes

x3 = 1 banderín morado

6! / 2!3!1! = 60 señales diferentes

¿Cuántas claves de acceso a una computadora será posible diseñar con los números 1,1,1,2,3,3,3,3?

Combinatoria

!

C! !

n

r

n

r n r

Permite calcular el número de grupos de tamaño r que se pueden obtener a partir de n objetos diferentes sin tener en cuenta su orden. El número de combinaciones de n objetos tomados de r es:

4

2 1

3 3 2

4 2

3 1

4 1

4 3

2 1

Combinaciones

Los equipos A, B, C y D, son finalistas de un torneo. ¿Cuántos son los posibles partidos para definir los títulos de campeón y subcampeón?

A B

A C B C

AD B D C D

Combinaciones

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Ejercicios

Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del conjunto {a, b, c, d, e}.

Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos.

Ejercicios

Encuentre el número de subconjuntos de tamaño 2 del conjunto {a, b, c, d, e}.

5C2 = 5!/3!2!

Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del colegio, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos.

14C5 = 14!/9!5!

Ejemplo

Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.

Ejercicio

2C1 x 6C4 x 5C4 x 3C2 = 2 x 15 x 5 x 3 = 450

PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Interesa la POSICIÓN de los elementos del grupo formado.

Interesa la PRESENCIA de los elementos del grupo formado.

El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando así sea necesario.

El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente, Secretario y Tesorero).

Ejercicio Unal

Ejercicio Unal

Tenemos que mirar cuales son los eventos totales. Es decir de cuantas maneras podemos organizar los 15 aspirantes en grupos de 2. Es una permutación ya que importa el orden. 15P2=15!/13! = 15 x 14 Hay dos eventos favorables de todos los posibles.