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Mtodo N2 ACI-318 1963Cmo ocupar el mtodo en las losas?
Ayudante: Charbel Chapana
Breve introduccin
El Cdigo ACI 1963 (ACI 318-63) trataba a los mtodos de las
tensiones de trabajo y de la resistencia ltima sobreuna base
igualitaria. Sin embargo, se modific gran parte del mtodo de las
tensiones de trabajo a fin de reflejar elcomportamiento en
resistencia ltima. Los requisitos para tensiones de trabajo del
Cdigo 1963 relacionados con laadherencia, el corte y la traccin
diagonal, y la combinacin de compresin axial y flexin, se basaban
en la resistencialtima.
De ah, nace un mtodo basado en anlisis elasto-plsticos que
permiten que los diagramas de momento en ambasdirecciones se
comporten simplemente como coeficientes con ciertas cargas,
interpretadas bajo coeficientes.
Supuestos tericos
La losa de por s, no posee esfuerzos al corte, debido a su bajo
espesor. Esto permite analizar desde el punto de vistade la flexin
solamente.
a
b
-Mm
x
M(+
)
-Mmx
M(+)
Apoyo Simple
Apoyo Empotrado
x
y
Figura 1: Diagramas de momento representados en una faja.
Ante ello, solo queda analizar desde un punto devista ms
estricto sobre las fajas de diseo en tr-minos de clculos.
Bajo estos preceptos, la idea de analizar esto me-diante
coeficientes es importante, siempre pen-sando en las siguientes
condiciones:
El grosor de la losa fuese lo bastante delga-da como para asumir
que no existe corte.
Los vanos (o dimensiones de la losa, co-mo largo y ancho), en
comparacin a losespesores, sean demasiado grandes.
La losa contenga material del tipo elasto-plstico.
Est condicionada por bordes suficientescomo para producir un
mecanismo de co-lapso o falla.
1
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Procedimiento de clculo
Condiciones de borde y tipos de borde
En primer lugar, toda losa puede dividirse en pa-os de losa, que
son una especie de subdivisin de la losa misma. Estos paos tendrn
distintas dimensiones, sinembargo, deben estar identificados para
lograr las condiciones de borde.Para proceder a usar el mtodo, es
necesario primero identificar un borde contnuo de uno
discontnuo:
Borde contnuo: es aquel borde de una losa que presenta
continuidad hacia otro panel de losa u otra losa.Independiente si
existe o no una presencia de un muro u algn otro objeto que genere
una condicin de borde.
Borde discontnuo: es lo contrario al borde contnuo. En este
caso, este borde carece de algn pao de losa olosa, realizando la
continuacin, independiente si existe o no un muro en ese borde.
Este grfico muestra ms claramente el ejemplo de bordes contnuos
y discontnuos.
Borde Contnuo
Bo
rde
Dis
contnuo
Borde Discontnuo Borde Discontnuo
Muro
Bo
rde
Dis
contnuo
Muro
Bo
rde
Dis
contnuo
Bo
rde
Dis
contnuo
Bo
rde
Co
ntnuo
Pao de Losa
Pao de Losa
Pao de Losa
Muro
Apoyo Simple
Borde Discontnuo
Figura 2: Ejemplo de bordes contnuos y discontnuos.
Ahora, es necesario destacar que algunos bordes pueden
representar condiciones de borde. En este caso, se destacaque los
muros son apoyos de tipo empotrado, en tanto que un borde contnuo
sin muros o en ciertas ocasiones, unborde donde solo hay una
existencia de una viga puede ser representado como un apoyo simple
o un apoyo libre
2
-
OJO: A veces, no siempre un pao puede estar cubierto netamente
de un muro o libre. Puede estar un porcentajedel borde cubierto con
un muro. Por otro lado, un borde contnuo sin muro puede presentar
momento negativo,dependiendo de las cargas usadas. El criterio a
aplicar el coeficiente en este mtodo ser netamente del ingenieroo
estudiante de ingeniera.
Solicitaciones de carga
Es sumamente necesario que las cargas a ocupar sern de tipo
distribudas por rea. En este caso, en particular enChile, se habla
de la NCh1517 of. 2009, la cual, determina la carga dependiendo del
tipo de estructura a construir. Enparticular, la tabla n4 de esa
normativa muestra datos importantes de este tipo de
situaciones.
Figura 3: Extracto Tabla N4 NCh1537 of. 2009.
Si eventualmente, existiera un problema y solo pudiera modelarse
una carga como si fuera puntual, es necesario generaruna carga
distribuda por rea promedio con respecto al rea en que se
aplica.
Es criterio del ingeniero o estudiante de ingeniera tambin
identificar el tipo de carga distribuda. Sin embargo, es
usualtrabajar con dos tipos de cargas: peso propio (PP ) y
sobrecarga (SC).
Como es normal, en una combinacin de cargas, la ACI318-08 o
ACI318-11 puede usar la siguiente combinacin:
U = 1,2PP + 1,6SC
Lo que permite determinar el uso del mtodo.
Nomenclatura dentro de un plano
En particular, siempre se est en presencia de distintos
elementos. Como ingeniero, puede dibujar una nomenclatura,siempre
que se entienda las dimensiones de ste. Sin embargo, hay ciertas
nomenclaturas que pueden llevarse a caboy que son relativamente
universales.
Para ello, se dispone de una tabla donde pudiera darse algunas
normas genricas respecto al tipo de elementos quepudiera
encontrarse.
3
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L101
e=15
V30/60
Elemento Descripcin
Nomenclatura de un pao de losa. L101corresponde a la losa n101
(clasificacin),mientras que e=15 corresponde al espesorde la losa,
con 15 [cm].
Corresponde principalmente a la presenciade una viga
rectangular, de dimensiones debase 30 [cm] y altura de 60[cm]
Corresponde a un espacio de losa que nocontiene nada. En
principal, es una aberturay por lo tanto, los bordes aledaos de
laslosas son del tipo discontinuo.
a
b
Corresponde a una columna que se puedeencontrar dentro de un pao
de losas. Paraello, es necesario revisar el contenido delACI para
limitar el espacio, dado que puedeconsiderarse una discontinuidad
en la losa.
Figura 4: Tipos de smbolos a usar para identificar elementos
dentro de dibujo tcnico de una losa.
Notar que el muro se presenta de forma aparte, dependiendo del
dibujante y no poseen altura, pues, el detalle de stesuele aparecer
en las vistas de perfil entrepisos. Ahora, el muro tambin suele no
presentar altura, dado que es continuoentre pisos.
Uso de los coeficientes
El uso de los coeficientes depender netamente de las condiciones
de borde presentes en la losa. Para ello, se intentarplantear en el
siguiente ejemplo.
b
a
qu
x
yz
Muros
e
Figura 5: Ejemplo de losa a calcular
Este mtodo es especial, pues, solo necesita de que la losa est
co-nectada o no, por lo que depende netamente de los bordes.
Ahorabien, el clculo del momento se representa por unidades de
momentopor longitud, esto es
[Tnfmm
]o[kgfcmcm
], segn se estime conve-
niente.
Luego, la frmula de momento por unidad de longitud se establece
atravs de la lnea ms corta como:
mu = (coef f ) qu s2
Siendo qu la carga por rea de la losa, s la dimensin ms cortade
la losa. El coeficiente (coef f ) depender necesariamente de
lascondiciones de borde del problema. Supongamos que qu, que est
ya
4
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calculado bajo las combinaciones de carga ltima (usualmente U =
1,2PP + 1,6SC), debe distribuirse a lo largo yancho de la losa.
Supongamos adems que se tiene las siguientes dimensiones y valores
para esta losa.
Elemento Dimensin (en [Tnf , [m])
qu 3,00l 6,00s 3,00
Primero, se calcula el cuociente entre la dimensin corta
respecto a la dimensin larga:
cuociente =s
l=
3
6= 0,5
Entendiendo esto, los valores que pudiera tomar las cargas en
estos casos, tratndose de los posibles diagramas demomento en este
ejemplo corresponden al Caso N5 de la tabla anexada al final del
ejemplo.
Los clculos seran en este caso:
Clculo de momento por unidad de longitud
Direccin Borde empotrado A mitad de la luz Borde apoyo
simpleDireccin x muxi = 0,033 qus2 muxc = 0,050 qus2 muxd = 0
qus2Direccin y muy i = 0,055 qus2 muyc = 0,083 qus2 muyd = 0
qus2
Los resultados seran:
Momento por unidad de longitud, [Tnf-m/m]
Direccin Borde empotrado A mitad de la luz Borde apoyo
simpleDireccin x 0,8910 1,3500 0,0000Direccin y 1,4850 2,2410
0,0000
Clculo de armadura
Como es sabido, es necesario implementar un valor rpido para
calcular el valor a armadura mnima. Para ello, esnecesario entender
que puede explicarse para armadura positiva o negativa como si el
anlisis fuese por separado, esdecir, como si solo existiera el
anlisis en sentido negativo y otro anlisis en sentido positivo. De
ah, es posibleestablecer lo siguiente:
1. Primero, es necesario verificar un rango posible de valores,
para los cuales debe entenderse como valor mnimo ymximo de acero.
Para ello, se tiene que:
Asmin = max{0,8f c ; 14}
bd
fy
As(s=0,005) = 0,31875fc1
bd
f y
Notar que:
Estas frmulas deben ser puestas en [kgf ] y en [cm].
Entender que la dimensin en este caso debe ser el equivalente a
b = 1[m], dependiendo de las unidadesque se estn ocupando. Si se
usa [cm], entonces b = 100[cm].
El rango de valores de rea de acero asegura que la deformacin de
acero sea mayor que 0.005.
5
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2. Luego, se calcula el valor de momento, escrito como:
Mn = As fy
(d 1c
2
)Usando la siguiente frmula para reemplazar el valor de c :
c =fy
0,85f c1bAs
Y usando esta ecuacin en la de momento nominal, se tiene
que:
Mn =As fyb
(bd fy
1,7f cAs
)3. Finalmente, teniendo la ecuacin modificada de momento
nominal, se busca el valor de As tal que cumpla con el
rango de Asmin y As(s=0,005) usando la ecuacin:
Mu MnUsando el valor de = 0,9.
En este ejemplo, se asumir un valor de f c = 200[kgfcm2
]; fy = 4200
[kgfcm2
]. El espesor se considerar e = h =
15[cm], con recubrimiento de rec = d = 3[cm], por lo que d = h d
= 12[cm]. Como se dijo anteriormente,b = 100[cm] y dado el valor de
f c , 1 = 0,85.En base a ello, se tiene que:
Asmin = max{0,8f c ; 14}
bd
fy= 4[cm2]
As(s=0,005) = 0,31875fc1
bd
f y= 15,48[cm2]
Por lo tanto, As [4,00; 15,48][cm2].
Ahora, usando un ejemplo de clculo para evaluar, se tiene
que:
Mn =As fyb
(bd fy
1,7f cAs
)= 42As(1200 12,35As) = 50400As 518,7A2s
Segn condicin, y usando el momento positivo en direccin x :
mu = 2,2410
[Tnf m
m
]= 2241
[kgf cm
cm
]Mu = b mu = 224100[kgf cm]
Por lo tanto, se tiene que:
224100 45360As 466,83A2s0 466,83A2s 45360As + 224100
Resolviendo la ecuacin cuadrtica se tiene que:
As =
{5,22[cm2]
91,94[cm2]
Como el valor mayor supera el rango que se ha impuesto para el
rango de valores de reas de acero, entonces,As [5,22;
15,48][cm2].
Como las dimensiones de la losa suelen ser relativamente largas,
entonces, se tiene que buscar una cantidad de barrasde acero que
van a una distancia de s entre barras y una distancia de d entre la
primera barra y la cara de la losa, setiene la siguiente
figura.
6
-
s s s s s ss s s s s s s s s ss s
b = (n+1)s
"n" barras de dimetro db
Figura 6: Representacin de separaciones entre barras de la
losa.
Asumiendo esa separacin, entonces, el valor de n es:
n =b
s 1
Notar que el valor de n debe ser truncado y no aproximado. Dado
que se necesita n barras de una barra de dimetrodb con rea A,
entonces se tiene que:
A n AsreqEsto nos permite obtener una expresin para obtener una
distribucin uniforme de dimetro db a separacin s entrebarras. Esta
tabla nos permite obtener el rea necesaria dado la informacin
anterior.
Dimetro [mm] 8 10 12 16 18 20 22 25 28 32 36
rea [cm2] 0,50 0,79 1,13 2,01 2,54 3,14 3,80 4,91 6,16 8,04
10,18
Separacin [cm] rea total de acero en 1 [m] de bando de losa, en
[cm2]
5 9,55 14,92 21,49 38,20 48,35 59,69 72,23 93,27 116,99 152,81
193,406 7,54 11,78 16,96 30,16 38,17 47,12 57,02 73,63 92,36 120,64
152,687 6,53 10,21 14,70 26,14 33,08 40,84 49,42 63,81 80,05 104,55
132,328 5,53 8,64 12,44 22,12 27,99 34,56 41,81 54,00 67,73 88,47
111,979 5,03 7,85 11,31 20,11 25,45 31,42 38,01 49,09 61,58 80,42
101,7910 4,52 7,07 10,18 18,10 22,90 28,27 34,21 44,18 55,42 72,38
91,6111 4,02 6,28 9,05 16,08 20,36 25,13 30,41 39,27 49,26 64,34
81,4312 3,52 5,50 7,92 14,07 17,81 21,99 26,61 34,36 43,10 56,30
71,2513 3,02 4,71 6,79 12,06 15,27 18,85 22,81 29,45 36,95 48,25
61,0714 3,02 4,71 6,79 12,06 15,27 18,85 22,81 29,45 36,95 48,25
61,0715 2,51 3,93 5,65 10,05 12,72 15,71 19,01 24,54 30,79 40,21
50,8916 2,51 3,93 5,65 10,05 12,72 15,71 19,01 24,54 30,79 40,21
50,8917 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17
40,7218 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17
40,7219 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17
40,7220 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17
40,72
De acuerdo a esta tabla, entonces solo queda por analizar qu
separaciones y dimetros nos convendra. Por conve-niencia, es
posible ocupar 10@10, lo que nos dara una rea total de 7,07[cm2],
lo que est dentro del rango de reasde acero y adems, nos asegura
que la deformacin proporcionada es mayor al 5 h.Constructivamente,
puede ser necesario a veces usar ciertas separaciones de tipo
mltiplo par o mltiplos de 5. En estecaso, es criterio del ingeniero
o estudiante usar las separaciones para obtener un resultado
acorde.
7
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Ahora bien, los resultados de la losa completa, considerando los
momentos positivos y negativos en cada direccin esla siguiente:
rea requerida en un bando de 1[m], en [cm2] sin comparar con rea
mnima a flexin.
Direccin Borde empotrado (Arm. Sup.) A mitad de la luz (Arm.
Inf.) Borde apoyo simpleDireccin x 2,01 3,07 0Direccin y 3,39 5,22
0
rea proporcionada a separacin determinada
Direccin Borde empotrado (Arm. Sup.) A mitad de la luz (Arm.
Inf.) Borde apoyo simpleDireccin x 10@10 10@10 0Direccin y 10@10
10@10 0
Sobre la armadura en losas
Segn 13.3.1 del ACI318-08, la armadura a flexin no debe ser
menor que lo acordado en 7.12.2.1. De ello, se puedecontar con
que:
Aprop {0,0020bd fy = 2800[kgf /cm
2]
0,0018bd fy = 4200[kgf /cm2]
Pero Aprop no puede ser menor que 0,0014bd . Las razones
principales tienen que ver con que hay que asegurar flexinpor
diferencias de temperatura. En este ejemplo: Aprop = 7,07[cm2] por
cada metro de ancho de losa. Al respecto:Aprop 0,018bd =
0,01812100[cm2] = 2,16[cm2]. Con ello, se cumple las condiciones de
diferencial de temperatura.
NOTA: Usualmente no es necesario verificar esta condicin, dado
que con la armadura mnima puede cubrir lamayora de los casos con
diferencial de temperatura mnima.
Ahora, segn 13.2.2, el espaciamiento entre dos barras no debe
superar 2 veces el espesor de la losa. Es decir, laseparacin de
barras en este ejemplo no debe separarse ms all de 2 e = 2 15[cm] =
30[cm] como mximo. Eneste caso, la armadura proporcionada cumple
con las restricciones, dado que cada barra est separada a 10 [cm]
unarespecto de la otra.
8
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Detallamiento de la losa: Recomendaciones del ACI respecto al
detallamientode losas
Largo de desarrollo
Es claro que no es necesario agregar toda la armadura negativa a
lo largo de la losa, dado que solo requiere en laszonas donde la
losa se encuentra con el muro. Es distinto el caso en que debe
armarse con armadura positiva. Para elloy para mayor exactitud, uno
puede calcular el valor exacto en donde se produce el valor cero o
derechamente, ocuparalgn criterio de distancia.
-m1
-m3
l/2
m2
l/2
X01
X02
Figura 7: Diagrama de momento general,basado en los extremos y a
la mitad.
Para un sistema con un diagrama de momento de esas
caractersticas,se tiene que los puntos donde el momento se hace
cero se ubica a unadistancia x0:
x0 =
(3m1 4m2 +m3
(m1 4m2)2 2(m1 + 4m2)m3 +m23
4(m1 2m2 +m3)
) l
Con valores de m1, m2 y m3 con sus correspondientes valores.
Ahora,usando los valores en cada direccin para el ejemplo que
estamos calcu-lando:
Para direccin x , m1 = 0,8910, m2 = 1,35000, m3 = 0,0000y l =
6[m] se tiene que el valor x01 = 0,744361[m] 0,75[m] yx02 =
6[m].
Para direccin y , m1 = 1,4850, m2 = 2,2410, m3 = 0,0000 ys =
3[m] se tiene que el valor y0 = 0,373303[m] 0,40[m] ey02 =
3[m].
Usando los artculos del ACI318-08 o ACI318-11, es posible
obtener los largos de desarrollo en armadura negativa opositiva.De
acuerdo a ello, es posible disear usando la siguiente frmula,
basado en el hecho de que las reglas cumplen con lassiguientes
condiciones:
Figura 8: Seccin 12.2.2 ACI318-08 o ACI318-11.
9
-
Notar que estos valores estn en [kgf ] y [cm]. Adems, en la
norma ACI, podemos encontrar que las barras N19 ymenores
corresponden en normativa chilena a dimetros 18 y menores a
ella.
Usando valores de hormign de densidad normal ( = 1,0),
coeficientes e = t = 1,0, db = 1,0[cm], fy = 4200[kgfcm2
]y f c = 200
[kgfcm2
], se tiene finalmente que:
ldt = 44,99[cm] 45[cm]Notar que no se calcula longitud de
desarrollo para armadura en compresin, pues esta tiende a ser de
menor valor queel largo de desarrollo ldt , por lo que se tiende a
igualar ldt = ldc .
Dimensiones de gancho de anclaje
En caso de que ldt no cumpla con una condicin de borde (es
decir, la geometra no puede sugerir usar completamenteel largo de
desarrollo), ser necesario calcular el largo de gancho de anclaje,
ldh.
Por artculos 12.5.1 y 12.5.2, se tiene que:
ldh = max
{(0,075e fy
f c
)db; 8db; 15[cm]
}; en [kgf] y [cm].
ldh = max {22,27[cm]; 8[cm]; 15[cm]} = 22,27[cm] 25[cm]La
configuracin siguiente permite verificar el gancho a dibujar.
Recordar que en todo caso, los ganchos deben estaren 180 y no en
90.
Figura 9: Confeccin de gancho para anclaje, segn comentario
R12.5.
Esto nos da un gancho de las siguientes caractersticas,
dependiendo de la condicin de borde. Como se habr notado,se ha dado
mayor dimensin a los ganchos, para asegurar mejor constructividad y
para asegurar un poco ms de largosde ganchos.
10
-
250
90
150
30
30
30250
30
90
30
160
Armadura Inferior
250
90
150
30
30
30250
30
90
30
160
Armadura Superior
Figura 10: Ganchos de anclaje superior e inferior, dependiendo
del borde, en [mm].
Sobre distribucin espacial de los refuerzos
Es necesario establecer lo siguiente para el detallamiento de
una losa:
1. Sobre muchas concepciones de estas recomendaciones, se
necesita saber la definicin del ACI318-08 o ACI318-11sobre las
generalidades. Notar el concepto de faja de columna y faja central,
definidas en 13.2.
2. En particular, la seccin 13.3 del ACI318-08 o ACI318-11 es la
seccin ideal para poder saber la distribucinespacial de las barras
de refuerzo negativo y positivo. Se recomienda encarecidamente que
se respete lascondiciones de esta seccin.
3. Sobre las aberturas, condiciones de borde discontnuas, se
recomienda leer el artculo 13.4.2 para el procedimientoa armar.
En particular, para este ejemplo, debe usarse las condiciones
puestas en 13.3 y en particular, se implementarn losartculos y
referencias siguientes.
11
-
(a) Artculos generales (b) Figura R13.3.6
Figura 11: Recomendaciones para detallamiento en losas en
general.
Figura 12: Recomendaciones para detallamiento en losas sin
vigas.
12
-
Sobre dibujo en plano
Sobre el dibujo en plano, ha de recomendarse varias cosas:
1. Definir la escala a ocupar.
2. Orientar los ejes de acuerdo al anlisis.
3. Definir dos dibujos: uno solo para armadura positiva y otro
para armadura negativa.
4. Seguir las recomendaciones de la seccin anterior.
En base a ello, es posible definir un siguiente dibujo
esquemtico el que lograr aclarar ciertas dudas. Notar
lasterminaciones de las armaduras cuando se trata de armaduras
inferiores o superiores.
13
-
600
300
45
45
INF10@10LT = 667 [cm]
INF
10@
10
LT
= 3
67 [cm
]
Detalle A
Detalle A
Armadura Inferior
Detalle A [en mm]
30250
30
90
30
x
y
160
14
-
600
30
0
Detalle A
Armadura Superior
100
SUP10@10LT = 150 [cm]
50
SU
P
10
@10
LT
= 1
00
[cm
]
SUP10@10LT = 125 [cm]
SU
P
10
@10
LT
= 7
5 [
cm]
Detalle B
Detalle B
Detalle A
250
90
150
30
30
Detalle A [en mm] Detalle B en [mm]
x
y
30250
30
90
30
160
15
-
Cas
o 1
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ane
les
inte
rio
res
Mo
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gati
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Bo
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nu
o0,033
0,04
0,048
0,055
0,063
0,083
0,033
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