EL MTODO DE MUTO
El mtodo de Muto se utiliza para resolver en forma aproximada a
los prticos de edificios compuestos por vigas y columnas
ortogonales, sujetos a carga lateral producidas por el viento o los
sismos. El mtodo contempla en cierta forma la deformacin por flexin
de las barras, con lo cual, los resultados que se obtienen son
mucho ms precisos que los calculados mediante el mtodo del Portal o
del Voladizo, e incluso pueden utilizarse para el diseo de
estructuras de mediana altura, donde los efectos de la deformacin
axial son despreciables.1. Rigidez LateralSupongamos la siguiente
columna biempotrada, sujeta a un desplazamiento lateralPor
equilibrio: Siendo: Se obtiene: Multiplicando por: a =
1Resulta:
Se define a la Rigidez Lateral Absoluta (K o Da) como aquella
fuerza cortante (V) capaz de originar un desplazamiento lateral
unitario, relativo entre los extremos de la columna, bajo esta
definicin se obtiene:Rigidez Lateral Absoluta = Donde Do es la
denominada Rigidez Lateral Estndar (con unidades de fuerza entre
longitud, usualmente ton I cm) calculada como:Rigidez Lateral
Estndar= La Rigidez Lateral Estndar depende de la altura de cada
columna, pero, como usualmente las columnas que conforman un
entrepiso tienen la misma altura, entonces esas columnas tendrn el
mismo valor Do. Por otro lado, se define a la Rigidez Lateral
Relativa (adimensional) al valor:Rigidez Lateral Relativa=
El coeficiente "a" contempla el grado de empotramiento que tiene
la columna en sus extremos; para el caso que la columna est
biempotrada (vigas muy rgidas) el valor de "a" es 1. En cambio, si
la columna est biarticulada "a" es cero (no tiene rigidez lateral,
o no opone resistencia al desplazamiento lateral); por otro lado,
si la columna est articulada en su base (por ejemplo, zapata sobre
un suelo muy blando) y empotrada en su extremo superior (vigas
rgidas). Se demostrar que "a" es .
Por equilibrio:Siendo:Resulta:Con lo cual:Como:Se concluye
que:a=1/4
Cabe indicar que pese a que la columna est articulada en su
base, en el mtodo de Muto siempre se trabaja con un coeficiente de
rigidez a la flexin kc = I / (h Ko).El valor "a" est comprendido
entre 0 y 1 (). y la mxima rigidez lateral (K) se obtiene cuando la
columna est biempotrada; si esa columna se articulase en su base
(por ejemplo, por la formacin de una rtula plstica) K se reduce en
75%, y si luego se articulase en su extremo superior, K se degrada
en 100%, convirtindose el sistema en un mecanismo inestable (Fig.
6.4).
Tal como se ha definido la rigidez lateral, se tendra que ella
resulta dependiente del sistema de carga lateral actuante; sin
embargo, Muto concluye que en los prticos compuestos por vigas y
columnas, la distribucin y magnitud de las cargas laterales no
afecta el valor de K. Por ejemplo, si se calculase mediante Cross
el desplazamiento y la fuerza cortante en la columna "A" del prtico
mostrado en la Fig. 6.5, para dos estados de carga, resulta
K1=K2=K.
Es decir, las variables que intervienen en mayor grado en el
clculo de K son las propiedades elsticas y geomtricas de la
columna, as como el grado de empotramiento que tiene en sus
extremos. Esto no es cierto para el caso de Placas, cuya rigidez
lateral depende fuertemente de la distribucin que adoptan las
cargas laterales.
CLCULO DEL COEFICIENTE "a"A travs de una serie de comparaciones
contra resultados obtenidos mediante mtodos matriciales, Muto
recomienda emplear las siguientes frmulas para calcular
"a":Columnas que Pertenecen a Entrepisos Superiores al
PrimeroObservaciones:a.- Si b.- El mtodo es vlido solo cuando , de
lo contrario, la frmula resulta imprecisa. El valor k es menor que
0.2 cuando las vigas son muy flexibles en relacin con la columna
(vigas chatas), o cuando la columna trata de transformarse en una
placa.
Subcasos para las Columnas del Primer Pisoa.- Base
SemiempotradaAparte de existir vigas de cimentacin (VC), la rigidez
aportada por los pilotes o el suelo de cimentacin (K) se contempla
mediante la expresin:
Cuando la base de la columna est semiempotrada, el valor que se
obtenga de "a", deber ser inferior al caso en que la base est
empotrada (subcaso "b").
2. Clculo de Desplazamientos y Cortantes. Columnas en ParaleloLa
condicin para que un conjunto de columnas estn dispuestas en
paralelo es que su desplazamiento relativo (M sea nico. Esto ocurre
en los edificios compuestos por losas de piso axialmente rgidas
(aligerados o losas macizas), denominadas "diafragmas rgidos",
donde, al existir monolitismo entre las vigas y la losa (ya que el
concreto de ambos elementos se vaca en simultneo), las vigas tambin
sern rgidas axialmente.Estudiando un entrepiso cualquiera del
prtico mostrado en la Fig. 6.6, y llamando Q al cortante de
entrepiso (valor conocido por equilibrio de fuerzas laterales), se
tratar de reducir el conjunto de columnas a un slo eje vertical,
cuya rigidez de entrepiso sea la suma de las rigideces laterales de
las columnas que conforman ese entrepiso.
Como , entonces , de la cual puede obtenerse:
Luego, la fuerza cortante en cada columna se calcula como:
Es decir, cada columna absorbe fuerza cortante en proporcin a su
rigidez lateral. Por otro lado, puede observarse que el
desplazamiento del entrepiso () pueden obtenerse si se modela al
prtico como un slo eje vertical, cuya rigidez de entrepiso sea
Ki.3. Prticos con Mezzanine y Vigas de Entrepiso. Columnas en
SerieLa condicin para que dos o ms columnas (ubicadas una sobre la
otra) estn dispuestas en serie es que la fuerza cortante en ellas
sea nica, lo que implica que la fuerza actuante a la altura del
nivel que separa a las columnas es nula. Este sistema puede
reducirse a una sola columna equivalente de doble altura de la
siguiente manera:
En el primer piso:En el segundo piso:Luego:De la cual:En general
para columnas en serie se tiene:Este caso de columnas en serie
puede presentarse en prticos con Mezzanine, donde a la altura del
Mezzanine la masa es pequea, as como la aceleracin ssmica, con lo
cual, la fuerza de inercia en ese nivel es prcticamente
despreciable con relacin a las que existen en los niveles
superiores. Tambin puede presentarse en prticos con viga intermedia
en el entrepiso, que sirve como apoyo del descanso de alguna
escalera, al ser su masa pequea, la fuerza de inercia ser
prcticamente nula en ese nivel.
Determinacin de EsfuerzosConocido el cortante que absorbe una
columna (V), Muto proporciona unas Tablas (ver anexo) que permiten
ubicar la posicin del punto de inflexin (PI). Luego, siguiendo un
proceso similar al explicado para el mtodo del Portal, se
determinan los esfuerzos:a.- Graficar el DMF en las columnas.b.-
Calcular los momentos en las vigas, repartiendo el momento
desequilibrado en los nudos en proporcin a las rigideces de las
vigas (kv), y graficar su DMF.c.- Determinar la fuerza cortante en
las vigas por equilibrio.d.- Evaluar la fuerza axial en las
columnas.
Ubicacin del Punto de Inflexin (PI) en las ColumnasEste punto se
localiza a una altura medida a partir de la base de la columna
igual a "y h ", el valor "y" se determina como y = yo + y1 + y2 +
y3; donde "yo" es a la altura estndar del PI, "y1" es una correccin
por variacin de rigideces de las vigas, mientras que "y2" e "y3"
corresponden a correcciones por diferencias de alturas entre los
pisos consecutivos. Como usualmente los pisos son tpicos, slo se
calcula "yo".
Altura Estndar del PI (yo h), Tabla 1 AMuto elabor la Tabla 1 A,
suponiendo que las alturas de los entrepisos eran iguales, as como
que las rigideces de las vigas no variaban y que la distribucin de
las fuerzas laterales era triangular.El clculo de "yo" se efecta en
cada eje vertical de columnas.Para ingresar a la Tabla 1 A, es
necesario saber cuntos niveles tiene el eje de la columna en
anlisis, en que entrepiso est ubicada y el valor de k.
Correccin y1. Tabla 2.Esta correccin se realiza slo cuando las
vigas que llegan al extremo superior (A) de la columna tienen
distinta rigidez a flexin que las inferiores (B). Para calcular y1
es necesario determinar el parmetro a1 y k, para luego ingresar a
la Tabla2, anotndose que:- Si a1 = 1 y1=0 (es lo usual).- Para el
primer piso y1 = 0 salvo que la base est semiempotrada.- Si a1 >
1, se ingresa a la Tabla 2 con la inversa de a 1 y se cambia de
signo al valor "y1"; es decir, el PI se corre hacia abajo.
Correcciones y2, y3. Tabla 3Estas correcciones se efectan cuando
la columna superior o inferior a la que est en estudio, tienen
distintas alturas; para esto, es necesario calcular los parmetros
a2, a3 y k. Observaciones:-Si a2 = 1 y2 = 0-Si a3 = 1 y3 = 0Para
columnas del primer piso y3 = 0Para columnas del ltimo piso y2 =
0
4. EJEMPLOS DE APLICACIN4.1. Resolver el prtico mostrado en la
figura. Suponer:
E = 210 ton/cmVigas: 30 x 60 cmColumnas: 30 x 45 cmKo =
760cmCOEFICIENTE DE RIGIDEZ A FLEXIN (k)k = I / (L Ko)Columna con
base rotulada:kc = 30x45 / (12x200x760) = 1.5Vigas:kv = 30x60 /
(12x600x760) = 1.18RIGIDEZ LATERAL ABSOLUTA (K):D = a kcK = D Do
(ton/cm)
Do = 12 E Ko / hPara h = 300 cm Do = 12x210x760/300 =
21.28ton/cmPara h = 600cm Do = 12x210x760/600 = 5.32 ton/cmPara h =
200cm Do = 12x210x760/200 = 47.88 ton/cm-CLCULO DE . Trabajando con
los conceptos de columnas en paralelo y en serie:
1= 12.75/22.28 = 0.57 cm; 2= 12.75/17.87 = 0.71 cm; 3= 10/27.23
= 0.37 cm-CLCULO DE y, Vi = Ki i = Q Ki/ Ki"
DMF (ton-m):
De haber existido una fuerza (F1) aplicada a la altura del
Mezzanine del ejemplo anterior, tendra que procederse aplicando las
ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de desplazamientos
para calcular 1 y 2, tal como se ilustra a continuacin.
CORTE A-A:F2 + F3 = V2 + V3 = K2 2 + K3 (1 + 2). (1)CORTE B-B:F1
+ F2 + F3 = V1 + V3 = K1 1 + K3 (1 + 2). (2)De (1) Y (2) se despeja
1 + 2; luego, la fuerza cortante que absorbe cada columna se
calcula aplicando: Vi = Ki iCabe mencionar que este problema result
un tanto complicado de analizar, debido a que la intencin fue
estudiar una serie de casos particulares como fueron: una
estructura con Mezzanine, base articulada y columnas de diferentes
alturas; sin embargo, para los casos convencionales resulta muy
simple aplicar el mtodo de Muto, tal como se ver en el segundo
ejemplo.4.2 Aplicando el mtodo de Muto, analizar al prtico resuelto
mediante los mtodos del Portal y Voladizo.
Asumir:Vigas: 0.3 x 0.5 mCols.: 0.3 x 0.4 m
Ko = 0.0004 mE = 2'000,000 tn/m
Do = 12 E Ko / hpara h = 3 m:Do = 1067 ton/mpara h = 4m:Do = 600
ton/mEn este caso no existen correcciones y1, y2, y3; es decir: y =
yo.
Nota: Cuando no existe un cambio significativo entre las alturas
de los pisos consecutivos (Menos de 30%) y cuando el valor , puede
observarse en la Tabla 3 del Anexo que y2 = y3 = O
5. ANEXO
TABLA 1A - ALTURA ESTANDAR DEL PUNTO DE INFLEXIN (yo).
N= nmero de niveles del eje de la columna en anlisis.
TABLA 2 CLCULO DE y1 CORRECCIN POR VARIACIN EN LAS RIGIDECES DE
LAS VIGAS.
Nota*Para el primer piso: y1=0, salvo que la base est
semiempotrada.*Cuando a1>1 se ingresa a la tabla 2 con la
inversa de a1 y al resultado (y1) se le cambia de signo, esto
significa que el punto de inflexin se desplaza hacia el lado de las
vigas menos rgidas, en este caso hacia abajo.
TABLA 3 CLCULO DE y2 y y3 CORRECCIN POR VARIACIN DE LA ALTURA
DEL ENTREPISO
Notas:a) Cuando a2=1 y2=0b) Cuando a3=1 y3=0c) Para el primer
piso y3=0d) Para el ltimo piso y2=0