Metodo di separazione di variabili e applicazione delle ...cutri/lezionemmi211013.pdf · Metodo di separazione di variabili e applicazione delle serie di Fourier alle soluzioni di

Metodo di separazione di variabili e applicazionedelle serie di Fourier alle soluzioni di alcune EDP

Docente:Alessandra Cutrı

A. Cutrı 21-10-2013 e 23-10-2013 Metodi Matematici per l’ingegneria–Ing. Gestionale

Piccole vibrazioni di una corda elastica (cfr. e.g. BarozziCap. 8 o Mugelli-Spadini cap. 6)

Consideriamo una corda C ( tipo corda di violino o di chitarra)fissata agli estremi x = 0, x = L dell’asse x , che compie dellepiccole oscillazioni trasversali (lo spostamento orizzontale etrascurabile) in seguito a delle forze agenti su di essa. Assumiamo:

omogenea (densita lineare ρ costante )

elastica (tensione τ costante)

perfettamente flessibile (cioe non offre resistenza alla flessione)

attrito trascurabile

0 0.2 0.4 0.6 0.8 L

-1

-0.5

0

0.5

1

u(x,t)

φ(x)

x◆•


Modello

Supponiamo che al tempo t = 0 C assume la configurazione ϕ(x).Indichiamo con u(x , t) la configurazione del punto x della cordaall’istante t. Come determinare tale u(x , t)?



Dunque u(x , t) soddisfa il seguente problema:

utt(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

(1)

dove: a2 = τρ e g rappresenta la velocita iniziale della corda


Equazione della corda vibrante non omogenea

Se sono presenti anche forze esterne dirette trasversalmente diintensita f (x , t), u(x , t) e soluzione del seguente problema nonomogeneo

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ϕ(x) ut(x , 0) = g(x) x ∈ [0, L]

Vediamo prima che succede se f (x , t) = 0 (eq. omogenea)


(2)

Metodo di separazione di variabiliu(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo:

T ′′(t)X (x) = a2T (t)X ′′(x) ⇒ X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′′(t)

T (t)= K


Equazione della corda vibrante non omogenea

Se sono presenti anche forze esterne dirette trasversalmente diintensita f (x , t), u(x , t) e soluzione del seguente problema nonomogeneo


Vediamo prima che succede se f (x , t) = 0 (eq. omogenea)


(2)

Metodo di separazione di variabiliu(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo:

T ′′(t)X (x) = a2T (t)X ′′(x) ⇒ X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′′(t)

T (t)= K


Equazione delle onde unidimensionale omogenea

imponendo poi le condizioni al contorno otteniamo su X :

X ′′(x)− KX (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

Per avere soluzioni X (x) 6≡ 0 l’unica possibilita e cheK = −λ2 < 0

Quindi

X ′′(x) + λ2X (x) = 0 ⇒ X (x) = A1 cos(λx) + B1 sin(λx)

X (0) = 0 ⇒ A1 = 0 X (L) = 0 ⇒ sin(λL) = 0⇒ λ =nπ

LQuindi

K = −n2π2

L2n intero autovalore

X ′′(x) +n2π2

L2X (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

⇒ X (x) = cn sin(nπ

Lx)


T (t) deve soddisfare:

T ′′(t) + a2 n2π2

L2T (t) = 0

quindi

T (t) = An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)

un(x , t) = sin(nπ

Lx){

cnAn cos(anπ

Lt)

+ cnBn sin(anπ

Lt)}


Quindi abbiamo che

un(x , t) = sin(nπ

Lx){

cnAn cos(anπ

Lt)

+ cnBn sin(anπ

Lt)}

non necessariamente questa soluzione soddisfa le condizioni diCauchy u(x , 0) = ϕ(x) ; ut(x , 0) = g(x)

Equazione lineare ⇒ somma ( e serie -se converge- ) disoluzioni e soluzione

Cerchiamo soluzioni del problema 2 della forma:

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx){

An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)}

con An := cnAn e Bn := cnBn da determinare imponendo lecondizioni di Cauchy


Quindi abbiamo che

un(x , t) = sin(nπ

Lx){

cnAn cos(anπ

Lt)

+ cnBn sin(anπ

Lt)}

non necessariamente questa soluzione soddisfa le condizioni diCauchy u(x , 0) = ϕ(x) ; ut(x , 0) = g(x)

Equazione lineare ⇒ somma ( e serie -se converge- ) disoluzioni e soluzione

Cerchiamo soluzioni del problema 2 della forma:

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx){

An cos(anπ

Lt)

+ Bn sin(anπ

Lt)}

con An := cnAn e Bn := cnBn da determinare imponendo lecondizioni di Cauchy


u(x , 0) = ϕ(x) implica

∞∑n=1

An sin(nπ

Lx)

= ϕ(x)

quindi An sono i coefficienti di Fourier bnϕ della funzione ϕprolungata dispari nell’intervallo (−L, L) e poi 2L−periodica:

An =2

L

∫ L

0ϕ(x) sin

(nπ

Lx)

dx

ut(x , 0) = g(x) implica

∞∑n=1

sin(nπ

Lx){

Bnanπ

L

}= g(x)

quindi BnanπL sono i coefficienti di Fourier bng della funzione g

prolungata dispari nell’intervallo (−L, L) e poi 2L−periodica:

Bnanπ

L= bng =

2

L

∫ L

0g(x) sin

(nπ

Lx)

dx


Dunque An = bnϕ e Bn = bngL

nπa

Quindi la (vedremo che e unica!) soluzione del problemaomogeneo (2) e

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx){

bnϕ cos(anπ

Lt)

+ bng

L

nπasin(anπ

Lt)}

Esempio: L = π, g(x) = 0, ϕ(x) = 4 sin(3x)

Abbiamo bnϕ = 0 ∀n 6= 3 e b3ϕ = 4 edovviamente bng ≡ 0 ∀n quindi

u(x , t) = 4 sin(3x) cos(3at)

Esercizio: Considerare L = π, g(x) = 0,

ϕ(x) =

{x x ∈ (0, π2 )π − x x ∈ (π2 , π)


Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

Consideriamo l’equazione non omogenea


(3)

La soluzione di (3) e somma della soluzione di (2) e di unasoluzione particolare del problema non omogeneo con dati diCauchy nulli, cioe di

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ut(x , 0) = 0 x ∈ [0, L]

(4)


Equazione delle onde unidimensionale non omogenea

supponiamo f (x , t) sviluppabile in serie di Fourier rispetto allavariabile x :

Prolunghiamo f (x , t) in modo dispari in (−L, L)e poi 2L−periodica e indichiamo con fn(t) icoefficienti di Fourier dello sviluppo (rispetto ax) di tale funzione:

fn(t) =2

L

∫ L

0f (x , t) sin

(nπ

Lx)

dx

Quindi:

f (x , t) =∞∑

n=1

fn(t) sin(nπ

Lx)

Cerchiamo se esiste una soluzione di (4) della forma

u(x , t) =∞∑

n=1

un(t) sin(nπ

Lx)


Sostituendo in (4) troviamo:

utt =∞∑

n=1

u′′n(t) sin(nπ

Lx)

uxx = −∞∑

n=1

un(t) sin(nπ

Lx) n2π2

L2

un soddisfa quindi:

u′′n(t) = −a2 n2π2

L2 un(t) + fn(t)un(0) = u′n(0) = 0

Prob. di Cauchy per un’ Eq. diff. ordinaria lineare del IIordine a coefficienti costanti NON omogenea


Richiamo soluzioni EDO lineare non omogenea

Dobbiamo risolvere

u′′n(t) = −α2nun(t) + fn(t)

un(0) = u′n(0) = 0

dove αn = anπL .

La soluzione e

un(t) =1

αn

∫ t

0sin(αn(t − τ))fn(τ)dτ

come si prova utilizzando il metodo di variazione dellecostanti:

imponiamo che y(t) = c1(t) cos(αnt) + c2(t) sin(αnt) siasoluzione dell’EDO (cos(αnt) e sin(αnt) sono le sol.indipendenti dell’eq. omogenea) troviamo:{

c ′1(t) cos(αnt) + c ′2(t) sin(αnt) = 0−αnc

′1(t) sin(αnt) + αnc

′2(t) cos(αnt) = fn(t)


Quindi

c ′1(t) = − 1

αnfn(t) sin(αnt) c ′2(t) =

1

αnfn(t) cos(αnt)

c1(t) =

∫ t

0− 1

αnfn(τ) sin(αnτ)dτ c2(t) =

∫ t

0

1

αnfn(τ) cos(αnτ)dτ

ed otteniamo:

y(t) =(− cos(αnt)

αn

∫ t0 fn(τ) sin(αnτ)dτ + sin(αnt)

αn

∫ t0 fn(τ) cos(αnτ)dτ

)= 1

αn

∫ t0 fn(τ)(sin(αnt) cos(αnτ)− cos(αnt) sin(αnτ))dτ

= 1αn

∫ t0 fn(τ) sin(αn(t − τ))dτ = un(t)


Soluzione particolare problema non omogeneo

Quindi la soluzione particolare di

utt(x , t) = a2uxx(x , t) + f (x , t) x ∈ (0, L) t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = ut(x , 0) = 0 x ∈ [0, L]

(5)

e

u(x , t) =∞∑

n=1

sin(nπ

Lx) L

anπ

∫ t

0sin(

anπ

L(t − τ))fn(τ)dτ

dove

fn(t) =2

L

∫ L

0f (x , t) sin

(nπ

Lx)

dx

Sommando u(x , t) alla soluzione del problema omogeneo (conf (x , t) = 0) si ottiene la soluzione del problema diCauchy-Dirichlet completo


Unicita della soluzione

Dobbiamo provare che e unica la soluzione del problema:


(6)

Dim. per ASSURDO

Supponiamo esistano due soluzioni u1(x , t) e u2(x , t) di (6).

Consideriamo V (x , t) := u1(x , t)− u2(x , t) che soddisfa:

Vtt(x , t) = a2Vxx(x , t) x ∈ (0, L) t > 0V (0, t) = V (L, t) = 0 ,∀t > 0 V (x , 0) = Vt(x , 0) = 0 , ∀x ∈ [0, L]

la tesi e provata se dimostriamo che V (x , t) ≡ 0


Dimostrazione unicita: Stima energia

Consideriamo l’energia associata al problema:

E (t) =

∫ L

0(Vt)2 + a2(Vx)2dx

E (t) e COSTANTE infatti:

E ′(t) =

∫ L

02VtVtt + a22VxVxtdx

ma ∫ L

0VxVxtdx = VxVt |L0 −

∫ L

0VxxVtdx

ed essendoV (0, t) ≡ 0⇒ Vt(0, t) = 0

V (L, t) ≡ 0⇒ Vt(L, t) = 0

si ha

E ′(t) = 2

∫ L

0Vt [Vtt − a2Vxx ]dx = 0


essendo V (x , 0) ≡ 0⇒ Vx(x , 0) = 0,

E (t) = E (0) =

∫ L

0(Vt(x , 0))2 + a2(Vx(x , 0))2dx = 0

Si ha Vt(x , t) ≡ 0 e Vx(x , t) ≡ 0 cioe ∇V ≡ 0 e dunqueV (x , t) =costante = V (x , 0) = 0


Equazione del calore per una sbarra

Equazione del calore unidimensionale che descrive come variala temperatura u(x , t) di una sbarra di lunghezza L isotropa eomogenea

La legge di Fourier(sperimentale) in questo caso modello:

∂Q(x , t)

∂t= −K

∂u

∂x

Q(x , t) descrive il calore nel punto x al tempo t, il − indicache il calore va da punti a temperatura piu alta verso punti atemperatura piu bassa

Se consideriamo un elemento ∆x di sbarra, il flusso di caloreche passa attraverso ∆x nell’intervallo di tempo ∆t e:

∆Q(x , t)−∆Q(x + ∆x , t) = −K [ux(x , t)− ux(x + ∆x , t)]∆t= Kuxx(x , t)∆x∆t + o(∆x)∆t


Questo calore produce variazione di temperatura nell’elemento∆x della sbarra:

∆Q(x , t)−∆Q(x + ∆x , t) = (ut(x , t)∆t + o(∆t))cρ∆x

(ρ e la densita della sbarra e c e il calore specifico )

l’equazione di bilancio diviene dunque:

Kuxx(x , t)∆x∆t + o(∆x)∆t = (ut(x , t)∆t + o(∆t))cρ∆x

dividendo per ∆x∆t e poi mandando ∆x → 0 e ∆t → 0 siottiene:

ut(x , t) = a2uxx(x , t)

(dove a2 := Kcρ e il coefficiente di conduzione termica)


Equazione del calore con estremi a temperatura fissata

I caso: estremi della sbarra siano mantenuti a temperaturacostante pari a zero gradi Allora

ut(x , t) = a2uxx(x , t) x ∈ (0, L) , t > 0u(0, t) = u(L, t) = 0 t > 0u(x , 0) = g(x) x ∈ (0, L) (temperatura iniziale)

(7)

Soluzione con Metodo separazione variabili:

Cerchiamo u(x , t) = X (x)T (t)Otteniamo: X (x)T ′(t) = a2X ′′(x)T (t) quindi

X ′′(x)

X (x)=

1

a2

T ′(t)

T (t)= K


Le condizioni X (0) = X (L) = 0 impongono che K < 0 comenel caso dell’equazione delle onde (si ha lo stesso problemaper X (x)!)

anzi

K = −n2π2

L2n intero autovalore

X ′′(x) +n2π2

L2X (x) = 0 X (0) = X (L) = 0

⇒ X (x) = cn sin(nπ

Lx)

Mentre T ′(t) = −n2π2a2

L2 T (t), implica

T (t) = e−n2π2a2

L2 t


Per soddisfare u(x , 0) = g(x), a meno che g non sia del tiposin(

nπL x), e necessario il principio di sovrapposizione di

soluzioni:

u(x , t) =∞∑

n=1

Cne− n2π2a2

L2 t sin(nπ

Lx)

Cn si deteminano sviluppando in serie di Fourier la funzione gprolungata prima dispari in (−L, L) e poi 2Lperiodica:

u(x , 0) =∞∑

n=1

Cn sin(nπ

Lx)

= g(x)

⇒

Cn =2

L

∫ L

0g(x) sin

(nπ

Lx)

dx

dunque Cn coincidono con i coefficienti di Fourier bng di taleprolungamento.


Problemi piu generali

E’ possibile considerare estremi a temperatura variabile neltempo, oppure mettere una condizione di scanbio di calorecon l’ambiente circostante,condizioni miste, . . .

Equazione di diffusione: diffusione di un gas in un tubo vuotoo riempito con una sostanza porosa: u(x , t) rappresenta laconcentrazione di gas nel punto x al tempo t:

La legge di Nernst (analoga a quella di Fourier)conduce ad un’equazione per u(x , t) uguale aquella del calore dove a2 = D

c dove D :coefficiente di diffusione e c :coefficiente diporosita

Che succede se la sbarra e molto lunga e la temperatura nelpunto x non risente delle temperature agli estremi dellasbarra? Si puo considerare la sbarra di lunghezza infinita, male condizioni al bordo scompaiono e la serie di Fourier non puopiu essere usata!⇒Trasformata di Fourier


Dalla serie di Fourier alla trasformata di Fourier

f T−periodica + ipotesi sviluppabilita ⇒ f sviluppabile inserie di Fourier

Se f NON e periodica?

serie di Fourier →Integrale di Fourier


Costruzione dell’integrale di Fourier

Supponiamo f T−periodica (T grande)

facciamo tendere T → +∞ Quindi:

f (x) =+∞∑

n=−∞cne

inωx ω =2π

T

cn =1

T

∫ T2

−T2

f (t)e−inωtdt


f (x) =1

2π

+∞∑n=−∞

2π

T

(∫ T2

−T2

f (t)e−inωtdt

)e inωx

T grande ⇒∫ T2

−T2

f (t)e−inωtdt ∼∫ ∞−∞

f (t)e−inωtdt := f (nω)

dove definiamo

f (λ) =

∫ ∞−∞

f (t)e−iλtdt λ ∈ R

allora

f (x) ∼ 1

2πlim

n→+∞

n∑k=−n

ωf (kω)e ikωx

ed essendo ω = (k + 1)ω − kω, la parte in rosso rappresentala somma di Riemann relativa all’integrale

∫∞−∞ f (λ)e iλxdλ


Quindi

f (x)∼ 1

2π

∫ ∞−∞

f (λ)e iλxdλ

dove

f (λ) =

∫ ∞−∞

f (t)e−iλtdt λ ∈ R Trasformata di Fourier

Pb: Determinare condizioni su f che garantiscano che ∼ sia =

Oss: se f ∈ L1(R) (cioe∫

R |f |dx < +∞), la trasformata di fe ben definita ed e limitata:

|f (λ)| ≤∫

R|f (x)|dx = ||f ||L1(R)

Dunque, essendo supλ∈R |f (λ)| ≤ ||f ||L1(R), si ha

f ∈ L1(R) ⇒ f ∈ L∞(R)

e||f ||L∞(R) ≤ ||f ||L1(R)


Inoltre

f (0) =

∫R

f (x)dx Media di f su R

Esempio:f (x) = χ[a,b](x)

f (ω) =

∫ b

a1 · e−iωxdx =

{b − a se ω = 0e−iωb−e−iωa

−iω ω 6= 0


se l’intervallo e simmetrico i.e. f (x) = χ[−a,a](x),

f (ω) =

∫ a

−a1 · e−iωxdx =

{2a se ω = 0e iωa−e−iωa

iω ω 6= 0

quindi f (ω) = 2 sin(aω)ω

L’esempio precedente mostra che non e detto che f ∈ L1,

infatti:∫

R

∣∣∣2 sin(aω)ω

∣∣∣ dω = +∞

OSS: La maggior parte delle trasformate si calcola utilizzandometodi di variabile complessa (teoria dei residui)


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