METODO DE PREDICTOR - CORRECTOR
1. INTRODUCCION: Trabajo de investigacin que se realiza con la
finalidad de adquirir los conocimientos necesarios sobre la
simulacion de un sistema analitico en el computador desde sus
inicios hasta la era moderna.
2. Objetivo: Trabajo de investigacin que se realiza con la
finalidad de adquirir los conocimientos necesarios sobre la
simulacion de un sistema analitico en el computador desde sus
inicios hasta la era moderna. Con el desarrollo de estemtodo
seconsiguedisminuir el margen de error, en los resultados del
calculo de dosincgnitasde las derivadas parciales enmatemtica,
realizadopor losmtodosanteriores (Euler - Runge-Kutta), y de esta
manera facilitando su mejor capacidad de rendimiento para el
trabajo.
3.MARCO TEORICO: Hasta ahora hemos visto mtodos de un solo paso.
Tanto los mtodos predictores-correctores como los algoritmos de
Gear que veremos a continuacin son mtodos multipaso. Los mtodos
multipaso son algoritmos en que al pasar de un valor aproximado al
siguiente, se tiene en cuenta la informacin recibida desde el
principio de la integracin, ayudando a mantener una mejor
concordancia entre la solucin aproximada y la exacta. Los mtodos
predictores-correctores son de los ms empleados, y consiste en
calcular cuando se conocen unos valores previos mediante un mtodo
explcito (predictor) que conduce a . Seguidamente se emplea un
mtodo implcito (corrector) en el que se toma como valor inicial. Un
par cualquiera de mtodos de estas caractersticas puede ser usado
como conjunto predictor-corrector, desendose que ambos algoritmos
tengan un ELT del mismo orden. Un par predictor corrector muy usado
se puede ofrecer a partir del mtodo explcito de Euler y del mtodo
implcito del trapecio:
Mtodos multipasosLos mtodos estudiados hasta ahora son llamados
mtodos de un paso, porque la aproximacin de la solucin en el punto
i + 1 de la malla se obtiene con informacin proveniente de la
aproximacin obtenida en el punto i. Aunque hay algunos mtodos
(Runge-Kutta) que utilizan informacin en puntos interiores del
intervalo [ti, ti+1], no la conservan para utilizarla directamente
en aproximaciones futuras. Toda la informacin que emplean se
obtiene dentro del subintervalo en que va a aproximarse la
solucin.Como, en el momento de calcular la aproximacin en el punto
ti+1, la solucin aproximada est disponible en los puntos to, t1, ,
ti de la malla, antes de obtener la aproximacin en ti+1, y como el
error |wi y(ti)| tiende a aumentar con i, parece razonable
desarrollar mtodos que usen estos datos precedentes ms precisos al
obtener la solucin en ti+1. Se conocen como mtodos multipasos a
aquellos que emplean la aproximacin en ms de uno de los puntos de
red precedentes para determinar la aproximacin en el punto
siguiente.
Definicin: Un mtodo multipasos de p pasos para resolver el
problema de valor inicial (1)
es aquel mtodo cuya ecuacin de diferencias para obtener la
aproximacin wn+1 en el punto tn+1 de la malla definida por {tn = a
+ h n, n = 1, ..., N}, con h = (b-a)/N, puede representarse por
medio de la siguiente ecuacin, donde p es un entero mayor que
1:(2)
para n = p-1, p, , N-1, donde h = (b-a)/N, a0, a1, , ap,b-1, ,
bp son constantes y se especifican los valores iniciales w0 = a0,
w1 = a1, w2 = a2, , wp-1 = ap-1. Se toma generalmente de la
condicin inicial el valor w0 = a (el dato de la condicin inicial) y
los dems valores necesarios para iniciar el mtodo se obtienen con
un mtodo de Runge-Kutta u otro mtodo de un paso.Cuando b-1= 0, el
mtodo es explcito o abierto, ya que la ecuacin (2) da de manera
explcita el valor de wn+1 en funcin de los valores previamente
determinados. Cuando b-1 0, el mtodo es implcito o cerrado, ya que
en la ecuacin (2), wn+1 se encuentra en ambos lados, quedando
especificado slo implcitamente. En la implementacin de un mtodo
implcito, se debe resolver la ecuacin implcita para wn+1. No es
evidente que siempre se pueda resolver esta ecuacin, ni que siempre
se obtenga una solucin nica para wn+1. En caso que no se pueda
resolver la ecuacin, se deber recurrir a algn mtodo de aproximacin
de ecuaciones no lineales (Newton, por ejemplo).Aproximacin
polinomialPara relacionar el mtodo de resolucin del PVI con la
aproximacin polinomial, se debe establecer una relacin entre los
coeficientes. Un polinomio de grado k est determinado de manera
nica por k+1 coeficientes. El mtodo de resolucin del PVI planteado
tiene 2 p + 3 coeficientes; por lo tanto, los coeficientes deben
ser elegidos de manera que: 2 p + 3 k + 1(3)
El orden del mtodo numrico es el grado ms alto k de un polinomio
en t tal que la solucin numrica coincide con la solucin exacta. Los
coeficientes de la frmula del mtodo pueden obtenerse eligiendo un
conjunto base de funciones {f1, f2, ..., fk} definidas por (4)
y que resuelvan el conjunto de ecuaciones multipasos(5)
para todo j = 0, 1, ..., k. (porque si fj es solucin de la
ecuacin, entonces fj' = f(t, fj ), y fj (tn-i)= wn-i )Este mtodo
puede aplicarse para derivar varios mtodos de resolucin numrica de
PVI de primer orden.Consideremos por ejemplo, el caso donde p = 0 y
k = 1. Estos valores de p y k satisfacen la ecuacin (3) (con el
signo >), por lo tanto es posible determinar coeficientes que
devuelvan como solucin exacta un polinomio de grado 1. El conjunto
base para k = 1 es:f0(t) = 1, f1(t) = t (6)
cuyas derivadas son:f0'(t) = 0, f1'(t) = 1 (7)
y la ecuacin multipasos resulta:(8)
Representando el mtodo multipasos de la ecuacin (6) en trminos
de las funciones base, resultan las siguientes ecuaciones: (9)
Reemplazando en la ecuacin (9) la eleccin de las funciones base
realizada en (6), se tienen las ecuaciones: (10)
De la primera ecuacin en (10), resulta a0 = 1. Teniendo esto en
cuenta, y recordando que h = tn+1 - tn, de la segunda ecuacin en
(10) tenemos: b-1 + b0 = 1(11)
Esta eleccin de orden y grado, nos conduce entonces a dos
ecuaciones con tres incgnitas: a0 = 1b-1 + b0 = 1(12)
Eligiendo por ejemplo, a0 = 1, b-1 = 0 y b0 = 1, se obtiene el
ya conocido Mtodo de Euler: wn+1 = wn +h f(wn , tn )(13)
Otra eleccin posible sera a0 = 1, b-1 = 1 y b0 = 0. En este
caso, se obtiene otro mtodo para aproximar PVI de primer orden:
wn+1 = wn +h f(wn+1 , tn+1)(14)
En este caso, el mtodo resultante es llamado generalmente Euler
hacia atrs, o Euler implcito, puesto que wn+1 est definido por la
ecuacin (14) en forma implcita:Si ahora se eligen los valores p = 0
y k = 2, se tiene que 2p + 3 = k + 1. En este caso, los
coeficientes pueden ser determinados de manera nica. Eligiendo como
funciones base f0(t) = 1, f1(t) = t, f2(t) = t2 (15)
sus derivadas son:f0'(t) = 0, f1'(t) = 1, f2'(t) = 2t, (16)
y la ecuacin multipasos, para cada una de ellas,
resulta:(17)
que, reemplazando por los valores en (15) y (16), resulta en el
sistema:(18)
Haciendo tn = 0, resulta tn+1 = h, por lo tanto, resolviendo el
sistema, se tiene la solucin nica: a0 = 1, b0 = 1/2, b-1 = 1/2,
resultando entonces la frmula:(19)
Esta frmula de segundo orden, implcita, se llama mtodo
trapezoidal. Se llama as ya que el segundo trmino de la ecuacin
(19) puede interpretarse como el rea bajo un trapezoide. Esta
frmula es considerada de segundo orden, porque se requiere
informacin en dos puntos: tn y tn+1.Hasta aqu los ejemplos que se
desarrollaron resultaron mtodos de un paso. Segn cmo se eligen los
coeficientes ai y bi en la frmula (2), resultan distintas frmulas
multipasos. Hay dos grandes familias de mtodos, los mtodos de Adams
y los mtodos de Gear. Ambas familias proveen frmulas de mtodos
multipasos propiamente dicho, porque utilizan informacin en ms de
un punto previo de la malla. Veamos ahora los mtodos de Adams, los
mtodos de Gear son utilizados para ecuaciones rgidas, y se
describen en la pestaa correspondiente.Mtodos de AdamsLa frmula
general de los mtodos multipasos est dada por:(20)
Se puede demostrar que esta frmula da el valor exacto para
y(tn+1) cuando y(t) es un polinomio de grado menor o igual a k si
se cumplen las siguientes restricciones de exactitud:(21)
Las restricciones de exactitud dadas en (21) suelen ser llamadas
restricciones de consistencia. Los mtodos numricos multipasos dados
por (20) que cumplen la condicin (21) se dicen "consistentes".Para
un polinomio dado de grado k, estas restricciones pueden ser
satisfechas por una amplia variedad de posibilidades. Muchas
familias de mtodos han sido desarrolladas predefiniendo algunas de
las relaciones entre los coeficientes.La familia de los mtodos de
Adams, por ejemplo, est definida mediante la asignacin del valor 0
a los coeficientes a1, a2, ..., ap de la frmula (20), quedando slo
el coeficiente a0, que deber tomar el valor 1 para cumplir con la
primera de las restricciones de consistencia (21), y se toma p = k
-1,. As, la frmula de los mtodos de Adams, queda reducida
a:(22)
Los mtodos de Adams, dados por la frmula (22), pueden ser
clasificados en dos grupos, explcitos o implcitos, segn cmo se haga
la eleccin del coeficiente b-1. La clase de los mtodos explcitos de
Adams, tambin llamados mtodos de "Adams-Bashforth", se obtiene
haciendo b-1 = 0 y los restantes bi, se obtienen aplicando la
segunda restriccin de consistencia de (21), tomando p =
k-1):(23)
En forma matricial, el sistema dado en (23) resulta:(24)
Seleccionando el valor de k deseado (y consecuentemente, el
orden p que es igual a k-1) y resolviendo el sistema (24), se
obtienen los restantes coeficientes bi de la frmula (23), para
obtener la frmula de el mtodo de Adams-Bashforth de orden p. La
versin implcita de los mtodos de Adams, llamados mtodos de
"Adams-Moulton", se obtiene con b-1 0 y los restantes bi, se
obtienen aplicando la segunda restriccin de consistencia de (21) (p
= k-2):(25)
En forma matricial, el sistema dado en (25) resulta:(26)
Seleccionando el valor de k deseado (y consecuentemente, el
orden p que es igual a k-1) y resolviendo el sistema (26) se
obtienen los restantes coeficientes bi de la frmula (25), para
obtener la frmula de el mtodo de Adams-Moulton de orden p. Se dan a
continuacin los mtodos de Adams-Bashforth de cuatro pasos, y el de
Adams-Moulton de tres pasos.
Mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasosSe calculan los valores
iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2, w3 = a3 (con el mtodo de
Runge-Kutta), y se aplica la frmula:(27)
Se deja como ejercicio verificar, resolviendo el sistema dado en
(24) para p = 4, los coeficientes de la ecuacin (27). Puede
demostrarse que el error local de truncamiento |wi y(ti)| en el
mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasos est dado por la
expresin:(28)
para algn i[ti-3, ti+1]. Es decir, este mtodo es del orden de
h4.Se muestra a continuacin el pseudocdigo del algoritmo de este
mtodo. Los parmetros de entrada de este algoritmo son: los extremos
del intervalo inicial a y b, el valor de la condicin inicial, a, y
la cantidad de puntos a considerar en la malla, N.
Mtodo de Adams-Moulton de tres pasosSe calculan los valores
iniciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2 (con el mtodo de Runge-Kutta),
y se aplica la frmula:(29)
Se deja como ejercicio verificar los coeficientes de la frmula
(29), resolviendo el sistema de ecuaciones dado en (26).Puede
demostrarse que el error local de truncamiento |wi y(ti)| en el
mtodo de Adams-Moulton de tres pasos est dado por la
expresin:(30)
para algn i[ti-2, ti+1]. Es decir, este mtodo tambin es del
orden de h4. Por ello se comparan siempre los resultados de aplicar
el mtodo de Adams-Bashford de n + 1 pasos, contra el mtodo de
Adams-Moulton de n pasos.Se muestra a continuacin el pseudocdigo
del algoritmo de este mtodo.
Este mtodo requiere menos puntos y tiene la misma precisin que
el anterior, pero tiene la dificultad de tener que resolver en cada
paso una ecuacin, que puede ser no lineal, en cuyo caso se deber
aplicar un mtodo de aproximacin de soluciones de ecuaciones no
lineales.
El Metodo Predictor Corrector fue diseado por dos Fisicos
Matematicos de edades diferentes en su epoca, cuando cada uno en
forma independiente crearon su metodo ellos son.Mtodo
predictor-correctorEn la prctica, los mtodos multipasos implcitos
no se emplean como se mostr aqu. Se utilizan para mejorar las
aproximaciones obtenidas con mtodos explcitos. La combinacin de un
mtodo explcito con uno implcito recibe el nombre de mtodo
predictor-corrector: El mtodo explcito predice una aproximacin, y
el mtodo implcito la corrige.Consideremos el siguiente mtodo de
cuarto orden para resolver un problema de valor inicial. El primer
paso consiste en calcular los valores iniciales w0, w1,w2 y w3 para
el mtodo de Adams-Bashforth de cuatro pasos. Para ello, se puede
usar el mtodo de Runge-Kutta. El siguiente paso consiste en
calcular una primer aproximacin w4(0) en el punto t4 de la malla
usando como predictor el mtodo de Adams-Bashforth:(38)
Luego, se mejora esta aproximacin utilizando el mtodo de
Adams-Moulton de tres pasos como corrector, introduciendo el valor
de w4(0) en el lado derecho:(39)
En este procedimiento, la nica nueva evaluacin de la funcin que
se necesita calcular es f(t4, w4(0)) en la ecuacin del corrector.
El resto de las evaluaciones de f ya haban sido calculadas para la
aproximacin anterior.Luego, se utiliza el valor w4(1) como
aproximacin de y(t4), y se repite la tcnica que consiste en
utilizar como predictor el mtodo de Adams-Bashforth y como
corrector el de Adams-Moulton para obtener w5(0) y w5(1), las
aproximaciones inicial y mejorada de y(t5), y as sucesivamente.A
continuacin se presenta el pseudocdigo del mtodo
predictor-corrector de Adams de cuatro pasos.
ADAMS BASHFORTH creo el metodo Predictor y ADAMS MOULTON creo el
metodo CorrectorGenerando de su union el Metodo Predictor /
Corrector-
En matemticas , en particular el anlisis numrico , un mtodo
predictor-corrector es un algoritmo que procede en dos pasos. En
primer lugar, el paso de prediccin calcula una aproximacin de la
cantidad deseada. En segundo lugar, el paso corrector refina la
aproximacin inicial utilizando otros medios.
3.1 Frmulas directas, Mtodos de Adams-BashforthLas frmulas
directas (abiertas) pueden utilizarse solas. Al uso de las frmulas
directas de Adamssolas, se les llama mtodos o predictores de
AdamsBashforth.Los mtodos de Adams-Bashforth ms utilizados son los
de segundo y cuarto orden. Como sepodr apreciar en sus ecuaciones,
estas requieren del conocimiento de la derivada evaluada enuno o
hasta tres instantes anteriores respectivamente, por lo que la
solucin de la ecuacin diferencial debe iniciarse con un
procedimiento del tipo Runge-Kutta del mismo orden paraobtener la
informacin inicial requerida por el mtodo de Adams.3.1.1 Mtodo de
segundo ordenEste mtodo est dado por la ecuacin
cuyo error por truncamiento es
3.2 Frmulas implcitas, Mtodos de Adams-MoultonLas frmulas
implcitas (cerradas) no pueden utilizarse solas y se les llamar
mtodos o correctoresde Adams-Moulton.3.2.1 Mtodo de segundo
ordenEste mtodo est dado por la ecuacin
el cual es comnmente llamado mtodo trapezoidal cerrado3.3 Mtodos
predictor - correctorSi bien las frmulas directas se pueden
utilizar solas, proveyndoles la informacin de arranquenecesaria,
las frmulas implcitas no pueden emplearse solas.Para poder hacer
uso de las frmulas de integracin numrica para el clculo de yn+1
cuando b10 , se debe obtener primero una estimacin del valor de
yn+1 denominado, calcular luego
Se debe entonces predecir primero el valor de yn+1 utilizando
una frmula de integracin directa yluego corregir el valor predicho
con una frmula de integracin implcita, crendose as los mtodosdel
tipo predictor corrector, los cuales emplean una frmula directa
como predictor y unafrmula implcita como corrector, ambas con
errores por truncamiento del mismo orden.3.3.1 Mtodo trapezoidal
modificado (2 orden)Uno de los mtodos ms sencillos del tipo
predictor - corrector se obtiene utilizando los mtodos de Adams de
2 orden (el de Adams-Bashforth como predictor y el de Adams
Moulton, integracin trapezoidal cerrada, como corrector). En su
versin ms simple el corrector se utilizara una sola vez en cada
iteracin, haciendo del mismo un mtodo de paso fijo cuyas ecuaciones
estn dadas por:
3.3.2 Mtodo de Adams-Bashforth-Moulton de 4 ordenAl uso de una
frmula de Adams abierta (predictor) junto con una frmula de Adams
cerrada (corrector) se le conoce como mtodo de
Adams-BashforthMoulton, siendo el de 4 orden
3.3.3 Mtodo de Milne de 4 ordenEste es otro mtodo predictor
corrector con un error Ot5 cuyas ecuaciones son: 3.3.4 Mtodo de
Milne de 6 orden3.4 Algoritmo de solucinLa utilizacin combinada de
los mtodos de integracin del tipo Runge-Kutta con los
mtodosnumricos predictor corrector, permite desarrollar un
algoritmo de solucin de ecuaciones diferencialesde paso variable el
cual en trminos generales comprendera:1. Utilizar un algoritmo
RungeKutta para iniciar la solucin y obtener la informacin
requeridapor el mtodo predictor corrector2. En cada iteracin
3. Si la diferencia porcentual ente el valor predicho y el
corregido es menor que un valor arbitrariamente pequeo, pero mayor
que un valor dado, entonces continuar.4. Si la diferencia anterior
no es menor que , utilizar entonces nuevamente el corrector
obteniendo yn1 2 . Si en dos iteraciones del corrector no se logra
la precision deseada, entonces el paso de integracion debe
dividirse a la mitad y volver a utilizar el metodo de Runge.Kutta a
partir del punto n para continuar la solucion, cambiando nuevamente
al metodo predictor . corrector cuando se tenga la informacion
requerida por este.5. Si la diferencia ente el valor predicho y el
corregido es menor que , entonces el error cometidoes muy pequeno y
se puede acelerar la solucion aumentando el paso de integracion
aldoble, continuar con el metodo Runge.Kutta y luego el predictor .
Corrector nuevamente6. El metodo continuara doblando o dividiendo
por dos el paso de integracion de manera de mantener el error por
truncamiento local dentro de los limites establecidos y tratando en
todo caso de usar el paso de integracion mayor posible para obtener
una solucion rapida.