Metodo de Gauss

Metodo de GaussMétodo de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda ecuación tiene n - 1 incógnitas, ..., hasta la última ecuación, que tiene 1 incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo para calcular el valor de las demás incógnitas.Ejemplo:Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican alnúmero de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminadola y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado delsistema:

Metodo de CramerLa regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado enaplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD

Si   es un sistema de ecuaciones.   es la matriz de coeficientes del sistema,   es el vector columna de las incógnitas y   es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

donde   es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de   por el vector columna  . Hágase notar que para que el sistemasea compatible determinado, el determinante de la matriz   ha de ser no nulo.

Para un Sistema de 2x2Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Se representa matricialmente:

Entonces,   e   pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

Para un Sistema de 3x3La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

,  ,   pueden ser encontradas como sigue:

Metodo de Jacobi

Metodo de Gauss-Seidel

Método de Sobrerrelajación

Teorema de Stein-Rossenberg

Metodo del descenso mas rapido

Metodo del gradiente conjugado