INTRODUCCINEn la simulacin hay muchas formas para la generacin
de variables aleatorias partiendo de algoritmos que utilizan series
de nmeros aleatorios, una variable aleatoria, son aquellas que
tienen un comportamiento probabilstico en la realidad. El algoritmo
concreto a utilizar depender de la distribucin a generar, pero de
forma general tendr las siguientes etapas. 1.- generar uno o ms
nmeros aleatorios U (0,1) 2.-transformacion dependiente de la
distribucin 3.-obtener X de la distribucin deseada Las variables
aleatorias pueden ser generadas por ms de un mtodo, dependiendo de
su eleccin de criterios de eficiencia o calidad, por ejemplo, mtodo
de la transformada inversa que aprovecha las posibilidades de
inversin de la funcin de distribucin, es el ms extendido, es
eficiente y preciso; mtodo de composicin, la funcin de distribucin
puede ser expresada por una
combinacin de otras funciones, estos son algunos de los mtodos,
pero tambin podemos encontrar el mtodo de la transformacin directa,
mtodo de aceptacin rechazo y el mtodo de convolucin los cuales
explicaremos mas a detalle a continuacin, junto con los dos
primeros.
1
Mtodo de convolucinEn matemticas y, en particular, anlisis
funcional, una convolucin es un operador matemtico que transforma
dos funciones f y g en una tercera funcin que en cierto sentido
representa la magnitud en la que se superponen f y una versin
trasladada e invertida de g. Una convolucin es un tipo muy general
de promedio mvil, como se puede observar si una de las funciones la
tomamos como la funcin caracterstica de un intervalo. La convolucin
de y se denota . Se define como la integral del producto
de ambas funciones despus de desplazar una de ellas una
distancia .
El intervalo de integracin depender del dominio sobre el que
estn definidas las funciones. En el caso de un rango de integracin
finito,f y g se consideran a menudo como extendidas, peridicamente
en ambas direcciones, tal que el trmino g(t - ) no implique una
violacin en el rango. Cuando usamos estos dominios peridicos la
convolucin a veces se llama cclica. Desde luego que tambin es
posible extender con ceros los dominios. El nombre usado cuando
ponemos en juego estos dominios "cero-extendidos" o bien los
infinitos es el de convolucin lineal, especialmente en el caso
discreto que presentaremos abajo. Si e son dos variables aleatorias
independientes con funciones de densidad
de probabilidad f y g, respectivamente, entonces la densidad de
probabilidad de la suma X + Y vendr dada por la convolucin f * g.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la
convolucin. Esto es:
Cuando multiplicamos dos polinomios, los coeficientes del
producto estn dados por la convolucin de las sucesiones originales
de coeficientes, en el sentido dado aqu (usando extensiones con
ceros como hemos mencionado).
2
Generalizando los casos anteriores, la convolucin puede ser
definida para cualesquiera dos funciones de cuadrado integrable
definidas sobre un grupo topolgico localmente compacto. Una
generalizacin diferente es la convolucin de distribuciones.
La distribucin de probabilidad de la suma de dos o ms variables
aleatorias independientes es llamada la convolucin de las
distribuciones de las variables originales. El mtodo de convolucin
es entonces la suma de dos o ms variables aleatorias para obtener
una variable aleatoria con la distribucin de probabilidad deseada.
Puede ser usada para obtener variables con distribuciones Erlang y
binomiales. Adems, muchas variables aleatorias incluyendo la
normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc, se pueden expresar
de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras
variables aleatorias. El mtodo de convolucin se puede usar siempre
y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una
combinacin lineal de K variables aleatorias:
X= b1x1+b2x2+.bkxk En este mtodo se necesita generar k nmeros
aleatorios (u1, u2,..., uk) para generar (x1, x2,...xk) variables
aleatorias usando alguno de los mtodos anteriores y as poder
obtener un valor de la variable que se desea obtener por
convolucin.
A continuacin se dan unos ejemplos de aplicacin de esta tcnica:
Una variable Erlang-k es la suma de k exponenciales.
Una variable Binomial de parmetros n y p es la suma de nvariable
Bernoulli
con probabilidad de xito p.3
La
chi-cuadrado
con v grados
de
libertad
es
la
suma
de
cuadrados
de v normales N (0,1).
La suma de un gran nmero de variables de determinada distribucin
tiene
una distribucin normal. Este hecho es usado para generar
variables normales a partir de la suma de nmeros U (0,1)
adecuados.
Una variable Pascal es la suma de m geomtricas.
La suma de dos uniformes tiene una densidad triangular.
Adems, este mtodo permite la interaccin de variables aleatorias
para realizar un tipo de distribucin. En el caso de la distribucin
uniforme la frmula a utilizar sera la siguiente: U(a, b) = a +
(b-a) Aleatorio ()
4
Mtodo de transformacin inversaEl mtodo de la transformada (o
transformacin) inversa, tambin conocido como mtodo de la inversa de
la transformada, es un mtodo para la generacin de nmeros aleatorios
de cualquier distribucin de probabilidad continua cuando se conoce
la inversa de su funcin de distribucin (cdf). Este mtodo es en
general aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una
expresin analtica de la inversa para algunas distribuciones de
probabilidad. El mtodo de Box-Muller es un ejemplo de algoritmo que
aunque menos general, es ms eficiente desde el punto de vista
computacional. El mtodo se utiliza para simular valores de las
distribuciones exponencial, Cauchy, triangular, de Pareto y
Weibull. Teorema de inversin. Sea X una variable aleatoria con
funcin de distribucin de probabilidad acumulada F, continua e
invertible, y sea su funcin inversa. .
Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribucin
uniforme en Como consecuencia, si U es una variable aleatoria
uniforme en variable aleatoria satisface la distribucin F.
entonces la
El problema que resuelve el mtodo de la transformada inversa es
el siguiente:
Sea X una variable aleatoria cuya distribucin puede ser descrita
por la cdf F. Se desea generar valores de X que estn distribuidos
segn dicha distribucin. Numerosos lenguajes de programacin poseen
la capacidad de generar nmeros pseudo-aleatorios que se encuentran
distribuidos de acuerdo con una distribucin uniforme estndar. Si
una variable aleatoria posee ese tipo de distribucin, entonces la
probabilidad de que el nmero caiga dentro de cualquier subintervalo
(a, b) del intervalo entre 0 a 1 es la longitud del subintervalo, o
sea b a. El mtodo de la transformada inversa funciona de la
siguiente manera:
5
1. Se genera un nmero aleatorio a partir de la distribucin
uniforme standard; se lo llama u. 2. Se calcula el valor x tal que
; y se lo llama xelegido.
3. Se toma xelegido como el nmero aleatorio extrado de la
distribucin caracterizada por F.
Sea
(por definicin de
)
(aplicando F, que es montona, a ambos lados) (porque , dado que
U es uniforme en el intervalo unitario
6
MTODO DE COMPOSICIN.Este mtodo se aplica cuando la funcin de
distribucin F se puede expresar como una combinacin de otras
funciones F1, F2,..1 F (Z) =ri=1i
Fi (z) 0< 1 para i=1,.,r
ri =1 i=1
Algoritmo1. Generar aleatoriamente un entero aleatorio I tal que
Pr (I=i) = i for i=1,.., r. 2. Generar aleatoriamente Z de la
distribucin FI (Z). 3. Return Z. Se tienen mtodos eficientes para
generar valores de v. a. X1 y X2, con funciones de probabilidad de
masa X1 :{pj j = 0, 1} X2 :{ qj j = 0, 1.} El mtodo de composicin
permite generar una v.a. X con funcin de probabilidad de masa P(X =
j) = pj + (1 )qj j = 0,1,, 0 < < 1
X1 con probabilidad X
X2 con probabilidad 1-
EJEMPLO: Distribucin de Laplace ( )| |
a=2
U1=0.5899
U2=0.7688
7
x = a ln u
2
x = 2(ln0.7688)
x = 0.5258
Mtodo de aceptacin y rechazo
Este mtodo se debe a Von Neumann y bsicamente consiste en
muestrear una variable aleatoria respecto a una funcin de
distribucin apropiada y someter a dicha variable a un test para
determinar si se acepta o no. Tcnicamente lo que se hace es
expresar la funcin de distribucin respecto a la cual se quiere
obtener valores de una variable aleatoria de forma adecuada y as
aplicar el mtodo. Sea X la variable aleatoria de la cual se quiere
obtener valores distribuidos con funcin de distribucin de
probabilidad Fx (x) con x I. Para ello se representa fx (x) de la
siguiente manera:
Fx (x) = C h(x) g(x)
Donde C1, h(x) es una funcin de densidad de probabilidad y 0
< g(x)