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1Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoPer cedimento di un componente strutturale
soggetto a un carico si intende un qualunque comportamento del
componente che lo renda non idoneo alla funzione per la quale
pensato.
Noi ci limiteremo ad analizzare i seguenti tipi di
cedimento:
cedimento sotto carico statico di breve durata e bassa
temperatura
deformazione plastica
rottura
cedimento sotto carico ciclico
fatica ad alto numero di cicli (High Cycle Fatigue)
fatica a basso numero di cicli (Low Cycle Fatigue)
cedimento sotto carico statico di lunga durata ed alta
temperatura
deformazione per scorrimento viscoso (creep)
rottura per scorrimento viscoso (stress rupture)
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2Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoRelazione tra tensione e deformazione
0
l
l
00
0
0
llln
ldlveranedeformazio
APveratensione
ll
lllticaingegnerisnedeformazioe
APticaingegneristensioneS
0===
==
===
==
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3Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoRelazione tra tensione e deformazione
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4Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoRelazione tra tensione e deformazione
K = coefficiente di resistenza
n = esponente di incrudimento delle deformazione
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5Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
( )n1
t
n1
pn
pp
ee
pet
KE
KKlnnKlnln
EE
+=
==+=
==+=
Modi di CedimentoRelazione tra tensione e deformazione
Modello di Ramberg-Osgood
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6Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di Cedimentocedimento sotto carico statico di breve durata
e bassa temperatura
Deformazione plasticaSi dice che un cedimento per deformazione
plastica avvenuto, quando la deformazione plastica raggiunge un
limite arbitrario.
Usualmente assunto come limite la deformazione plastica dello
0.2%.
Per applicazioni che possono tollerare una deformazione plastica
minore o maggiore, tale limite viene assunto rispettivamente minore
o maggiore.
RotturaSi dice che un cedimento per rottura avvenuto, se si
verificata la perdita di integrit di un particolare, cio se si
verificata la separazione o frammentazione del particolare in due o
pi parti
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7Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di Cedimentocedimento sotto carico ciclicoUn carico statico
o quasi statico raramente osservato nella moderna pratica
ingegneristica, rendendo essenziale che il progettista si rivolga
alle implicazioni di carichi ripetuti, carichi fluttuanti, e
carichi applicati rapidamente.
Inoltre, la maggioranza dei progetti di ingegneria comportano
parti di macchine soggette a carichi fluttuanti o ciclici.
Tale carico induce tensioni fluttuanti o cicliche che spesso
risultano in un cedimento per fatica.
Indagini su cedimenti per fatica negli anni hanno condotto alla
osservazione che il processo di fatica in effetti abbraccia due
domini di sollecitazione o deformazione ciclica che hanno
caratteristiche significativamente diverse, e in ciascuno dei quali
il cedimento probabilmente prodotto da differenti meccanismi
fisici.
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8Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di Cedimentocedimento sotto carico ciclicoUn dominio di
carico ciclico quello per cui si manifesta una significativa
deformazione plastica durante ciascun ciclo.
Questo dominio associato a carichi elevati e vite brevi, o a un
basso numero di cicli per produrre cedimento per fatica, ed
comunemente riferita come fatica oligociclica (LCF da Low Cycle
Fatigue).
Laltro dominio di carico ciclico quello per cui i cicli di
deformazione sono largamente confinati al campo elastico.
Questo dominio associato a carichi bassi e vite lunghe, o ad un
alto numero di cicli per produrre cedimento per fatica, ed
comunemente riferito come fatica ad alti cicli (HCF da High Cycle
fatigue).
La fatica oligociclica tipicamente associata a vite cicliche da
1 fino a 104 o 105cicli, e la fatica ad alti cicli a vite maggiori
di circa 104 o 105 cicli.
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9Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
R1R1ampiezzadirapportoA
tensionedirapportoR
2mediatensione
2alternatatensioneampiezza
tensionediervalloint
m
a
max
min
minmaxm
minmaxa
minmax
+=
====
+==
====
Modi di CedimentoSollecitazione ciclica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoSollecitazione ciclica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoEffetto della tensione media
Gerber1SS
Goodman1SS
Soderberg1SS
2
u
m
e
a
u
m
e
a
y
m
e
a
=
+
=+=+
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoSollecitazione ciclica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
ciclicanedeformaziodientodimincrudiesponente'nciclicaresistenzaditecoefficien'K
'K22
E
'K2E22
222
'n1
'n1
pe
pe
==
+=
+=
+=+=
Modi di CedimentoRelazione tra tensione e deformazione
ciclica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCurva deformazione-vitaI dati tensione-vita
(S-N) possono essere rappresentati linearmente su una scala
log-log. Usando lampiezza di tensione vera il grafico pu essere
linearizzato da:
( )
faticaaresistenzadiesponentebfaticaaresistenzaditecoefficien
ciclo21inversione1rotturaainversioniN2
veratensionediampiezza2
:dove
N22
f
f
bff
==
==
=
=
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCurva deformazione-vitaCoffin e Manson
scoprirono che anche i dati di deformazione plastica-vita (p-N)
possono essere linearizzati su coordinate log-log:
( )
faticaaduttilitdiesponentecfaticaaduttilitditecoefficien
rotturaainversioniN2
plasticanedeformaziodiampiezza2
:dove
N22
f
f
p
cff
p
====
=
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCurva deformazione-vita
( )( )( ) ( )4342143421 plastico
cff
elastico
bf
f
cff
p
bf
fe
e
pe
N2N2E2
N22
N2E2
E22
222
+==
=
=
+=
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCurva deformazione-vita
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMeccanica della Frattura
La vita a fatica di un componente costituita dalle fasi di
innesco e di propagazione di una fessura.
Approcci di meccanica della frattura sono utilizzati per stimare
la vita a propagazione.
Gli approcci di meccanica della frattura richiedono che una
dimensione iniziale della fessura sia nota o assunta.
Principi di Meccanica della Frattura Elastico Lineare (Linear
Elastic FractureMechanics, LEFM) sono utilizzati per correlare
lampiezza e la distribuzione della tensione vicino allapice della
fessura a:
tensioni applicate al componente fessurato lontano dalla
fessura
dimensione e forma della fessura
propriet del materiale del componente fessurato
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMeccanica della Frattura
La meccanica della frattura elastico lineare (LEFM) basata sulla
applicazione della teoria della elasticit a corpi contenenti
fessure o difetti.
Le assunzioni usate nella elasticit sono anche applicate nella
teoria della LEFM, cio piccoli spostamenti e generale linearit tra
tensioni e deformazioni.
Una fessura genera il suo proprio campo di tensione, che
differisce dal campo di tensione di unaltra fessura soltanto per un
fattore di scala, K.
Questo fattore di scala, K, chiamato fattore di intensit della
tensione, dipende dal carico esterno e dalla geometria del
componente, incluse la dimensione e la forma della fessura.
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMeccanica della Frattura
La forma generale del fattore di intensit della tensione, K,
data da:
( )
( )fessuradellaeponenteomcdel
etriaomgedalladipendechecorrezionedifattoregffessuradellalunghezzaa
fessuradallaotanlonponenteomcalapplicatatensione:dove
agfK
===
=
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoAccrescimento di una fessura per faticaUna
frazione importante della vita a fatica pu essere costituita dalla
fase di propagazione della fessura.
Mediante luso dei principi di meccanica della frattura possibile
predire il numero di cicli speso nellaccrescimento di una fessura
fino ad una specificata lunghezza o alla rottura finale.
Lindustria aeronautica ha sviluppato lapproccio di progetto
tollerante il danno (damage tolerant).
Un componente progettato in modo che, se si forma una fessura,
questa non si accrescer ad una dimensione critica tra specificati
intervalli di ispezione.
Conoscendo per un materiale le caratteristiche di velocit di
accrescimento delle fessure, con ispezioni regolari, un componente
fessurato pu essere mantenuto in esercizio per una vita utile
estesa.
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoAccrescimento di una fessura per fatica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoAccrescimento di una fessura per fatica
La lunghezza della fessura, a, diagrammata in funzione del
corrispondente numero di cicli, N, a cui la fessura viene
misurata.
La velocit di accrescimento di una fessura, da/dN, ottenuta
facendo la derivata della lunghezza della fessura, a, rispetto al
numero di cicli, N.
I valori di log (da/dN) possono essere diagrammati in funzione
di log (K), con:
( ) agfKKK minmax ==Il diagramma di log (da/dN) in funzione di
log (K), una sigmoide ch pu essere divisa in tre regioni.
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Kth fattore di soglia di intensit della tensioneKc fattore di
intensit della tensione critico (tenacia)
Modi di CedimentoAccrescimento di una fessura per fatica
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoAccrescimento di una fessura per fatica
Nella regione intermedia, Regione II, la curva sostanzialmente
lineare.
Molte strutture operano in questa regione.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
===
===
=
f
i
f
i
a
a mfmm
a
af
m
KCdaN
KCdadNKC
dNda
KfdaN
KfdadNKf
dNda
ParisdiequazioneKCdNda
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoDanno cumulativo
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoDanno cumulativoIl funzionamento ad una
ampiezza di tensione Si, a cui corrisponde una vita Ni, per un
numero di cicli ni, minore di Ni, produrr una frazione di danno
Di.
Quando la somma delle frazioni di danno diventa uguale a 1, si
prevede che si verifichi il cedimento per fatica, cio si prevede
che si verifica il cedimento per fatica, se:
1DD...DD i1i21 ++++ Lipotesi di Palmgren-Miner asserisce che la
frazione di danno ad un qualunque livello di tensione Si
linearmente proporzionale al rapporto tra il numero di cicli di
funzionamento ed il numero totale di cicli che produrrebbe il
cedimento a quel livello di tensione, cio (regola del danno
lineare):
i
ii N
nD =
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoDanno cumulativo
1Nn
1Nn
Nn...
Nn
Nn
i
1j j
j
i
i
1i
1i
2
2
1
1
++++
=
Per lipotesi di Palmgren-Miner si prevede che si verifichi un
cedimento per fatica se:
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoConteggio dei cicliPer predire la vita di un
componente soggetto ad una storia di carico variabile, necessario
ridurre la storia complessa in un certo numero di eventi che pu
essere confrontato con i dati di prova ad ampiezza costante
disponibili.
Questo processo di ridurre una storia di carico complessa in un
certo numero di eventi ad ampiezza costante comporta il processo di
conteggio dei cicli.
Le tecniche di conteggio dei cicli saranno applicate alle storie
di deformazione.
In generale queste tecniche possono anche essere applicate ad
altri parametri di carico, come tensioni, coppie torcenti, momenti
flettenti, carico, e cos via.
Esistono numerosi metodi di conteggio dei cicli, ma noi ci
limiteremo a descrivere il pi utilizzato in campo aviomotoristico,
il metodo del flusso di pioggia (rainflow)
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo del rainflowE dovuto a due ricercatori
giapponesi (Matsuishi ed Endo, 1968) e prende il nome dalla
analogia tra la definizione dei cicli e il modo in cui la pioggia
pu grondare dai tetti.
Il primo passo nella applicazione di questa procedura disegnare
la storia temporale delle deformazioni cos che lasse del tempo sia
orientato verticalmente, con il tempo crescente verso il basso.
Si potrebbe immaginare che la storia delle deformazioni formi un
certo numero di tetti di pagoda.
I cicli sono definiti dal modo in cui la pioggia pu grondare o
cadere dai tetti.
Un certo numero di regole sono imposte sulla pioggia grondante
cos da identificare i cicli di isteresi chiusi.
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo del rainflowLe regole che specificano il
modo in cui la pioggia cade sono le seguenti:
1. Per eliminare il conteggio di mezzi cicli, la storia
temporale delle deformazioni disegnata in modo da iniziare e finire
al valore di deformazione di massimo valore assoluto
2. Un flusso di pioggia viene iniziato a ciascuna inversione di
deformazione nella storia temporale e gli permesso di continuare a
fluire a meno che:
a. La pioggia iniziata ad un punto di massimo relativo (picco) e
cade di fronte ad un punto di massimo relativo maggiore di quello
da cui venuta
b. La pioggia iniziata ad un punto di minimo relativo (valle) e
cade di fronte ad un punto di minimo relativo maggiore (in valore
assoluto) di quello da cui venuta
c. Incontra un flusso precedente
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo del rainflow
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo del rainflow
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoScorrimento viscoso
Il creep (scorrimento viscoso) nella sua forma pi semplice il
progressivo accumulo di deformazione plastica in un provino o un
particolare di macchina sotto tensione ad elevata temperatura per
un periodo di tempo.
Si verifica un cedimento per creep quando quando la deformazione
per creep accumulata risulta in una deformazione del particolare di
macchina che eccede i limiti di progetto.
La creep rupture una estensione del processo di creep alla
condizione limite in cui il particolare sollecitato si separa
effettivamente in due parti.
Stress rupture un termine usato da molti in modo intercambiabile
con creep rupture; comunque altri riservano il termine stress
rupture allesito con rottura di un processo di creep in cui non si
mai raggiunto un creep stabilizzato ed usano il termine creep
rupture per lesito con rottura di un processo di creep in cui
persistito un periodo di creep stabilizzato.
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoScorrimento viscoso
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoEquazione della curva di creep
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoEquazione della curva di creep
tca db +=
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Lezione 3 - Modi di Cedimento
( ) tce1faE
dhgtb +++=
Modi di CedimentoEquazione della curva di creep
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Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoEquazione della curva di creep
( )
tempotempiricoesponented
ocosvistecoefficiencempiricoesponentehanelasticotecoefficienf
Kelvindiritardoditemporeciprocogresistenzaditecoefficienreciprocoa
nedeformazioperentodimincrudiesponentereciprocobelasticitdiulomodE
tensioneacosvisnedeformaziotc
anelasticanedeformazioe1finizialeplasticanedeformazioa
inizialeelasticanedeformazioE
totalecreeppernedeformazio
d
hgt
b
===============
-
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo parametrico per estrapolare curve di
creepNumerose differenti teorie sono state proposte in anni recenti
per correlare i risultati di prove ad alta temperatura di breve
durata con comportamento in esercizio a lungo termine a temperature
pi moderate.
La pi accurata ed utile di queste proposte ad oggi la teoria di
Larson-Miller
Parametro di Larson-MillerLa teoria di Larson-Miller postula che
per ciascuna combinazione di materiale e livello di tensione esiste
un unico valore di un parametro P, che correlato alla temperatura
ed al tempo mediante lequazione:
( )( )
creepanedeformaziodivaloreospecificatunoeraggiungerperorotturaaoreintempot20augualeassuntausualmente,tetancosC
F,atemperaturtensionedilivelloematerialedatounpertetancos,MillerLarsondiparametroP
:dovetlogC460P 10
==
==
++=
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoMetodo parametrico per estrapolare curve di
creep
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCreep accumulatoAttualmente non c alcun metodo
universalmente accettato per stimare la deformazione a creep
accumulata come risultato di esposizione per vari periodi di tempo
a differenti temperature e livelli di tensione.
Sono state comunque proposte numerose differenti tecniche per
fare tali stime.
La pi semplice di queste una ipotesi lineare suggerita da E. L.
Robinson ed un adattamento della regola di Miner.
Se si specifica un limite di progetto di deformazione a creep D,
si prevede che la deformazione a creep D sar raggiunta quando:
atemperaturetensionedilivellodibinazioneomcesimaiallatetancosmantenutafosseeesposizioneraint'lsecreepanedeformaziolaprodurreperrichiestotempoL
atemperaturetensionedilivellodibinazioneomcesimaiallaeesposizionditempot:dove
1Lt
Di
i
k
1i i
i
=
=
==
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
La regola di incrudimento dovuto al tempo basata sullassunzione
che il principale fattore che governa la velocit di deformazione a
creep (creep rate) la durata di esposizione ad una data temperatura
e livello di tensione, non importa quale sia stata la storia
precedente di esposizione
Modi di CedimentoCreep accumulato
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Progetto Strutturale di Turbomacchine
Lezione 3 - Modi di Cedimento
Modi di CedimentoCreep accumulato
La regola di incrudimento dovuto alla deformazione basata
sullassunzione che il principale fattore che governa la velocit di
deformazione a creep (creep rate) la quantit di deformazione
precedente, non importa quale sia stata la storia precedente di
esposizione
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Lezione 3 - Modi di Cedimento
La regola della frazione di vita un compromesso tra la regola di
incrudimento dovuto al tempo e la regola di incrudimento dovuto
alla deformazione
f11
2i2
1
f1
2
i2 lLLl
Ll
Ll ==
Modi di CedimentoCreep accumulato
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Lezione 3 - Modi di Cedimento
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Lezione 3 - Modi di Cedimento