TUGAS AKHIR - SM 141501 METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PDB NONLINIER BRATU AFIFAH DWI KURNIAWATI HASIBUAN NRP 1211 100 045 Dosen Pembimbing Dra. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2015
81
Embed
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK ......METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PDB NONLINIER BRATU AFIFAH DWI KURNIAWATI HASIBUAN NRP 1211 100 045 Dosen Pembimbing
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TUGAS AKHIR - SM 141501
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK MENYELESAIKAN PDB NONLINIER BRATU AFIFAH DWI KURNIAWATI HASIBUAN NRP 1211 100 045 Dosen Pembimbing Dra. Sri Suprapti H., M.Si JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2015
FINAL PROJECT-SM 141501T
DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD FOR SOLVING ODE NON-LINEAR BRATU AFIFAH DWI KURNIAWATI HASIBUAN NRP 1211 100 045 Supervisor Dra. Sri Suprapti H., M.Si Department of Mathematics Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institut of Technology Surabaya 2015
vii
METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL UNTUK
MENYELESAIKAN PDB NONLINIER BRATU
Nama Mahasiswa : AFIFAH DWI KURNIAWATI
HASIBUAN
NRP : 1211 100 045
Jurusan : Matematika
Dosen Pembimbing : Dra. Sri Suprapti H., M.Si
Abstrak
Pada kasus fenomena alam banyak ditemukan model
nonlinier. Salah satunya yaitu persamaan diferensial biasa (PDB)
nonlinier Bratu yang diturunkan dari model pengapian bahan
bakar padat dalam teori pembakaran termal. Sebuah rumus baru
telah dikembangkan berdasarkan dari metode transformasi
diferensial untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Namun
metode ini masih kurang sederhana dalam menghitung
transformasi differensial dari bentuk nonliniernya. Sehingga pada
Tugas Akhir ini digunakan sebuah metode transformasi
diferensial dengan polinomial baru untuk menyelesaikan PDB
nonlinier Bratu. Hasil simulasi grafik menunjukkan metode
transformasi diferensial sangat dekat dengan solusi eksaknya serta
galatnya cukup kecil. Nilai galat semakin kecil saat nilai orde
semakin besar. Kemudian dari hasil simulasi konvergensi
didapatkan untuk syarat ( ) ( )
sehingga solusi numerik dari persamaan Bratu konvergen ke
eksaknya, namun untuk syarat ( ) ( ) solusi
numeriknya tidak konvergen ke eksaknya sehingga sebaiknya
dipilih nilai
Kata kunci: Metode Transformasi Diferensial, PDB Nonlinier
Bratu, Konvergensi, Parameter
viii
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
ix
DIFFERENTIAL TRANSFORM METHOD FOR SOLVING ODE NON-LINEAR BRATU
Name : AFIFAH DWI KURNIAWATI
HASIBUAN NRP : 1211 100 045 Department : Matematika Supervisor : Dra. Sri Suprapti H., M.Si
Abstact
In the case of natural phenomena are found nonlinear models. One of them is a model of ordinary differential equations (ODE) of nonlinear Bratu derived from solid fuel ignition models in the theory of thermal combustion. A new formula was developed based on differential transform method for solving it. However, this method is less simple in calculating the differential transform of nonlinear form. So in this Final Project used a differential transform method with new polynomial for solving Bratu equation. Results of the simulation graph showing differential transform method is very close to the exact solution as well as the error is quite small. The smaller the error value when the value of the larger order. After that, the convergence of simulation results obtained โ 0 โค โ๐ < 1 for the condition ๐ข(0) = ๐ขโฒ(0) = 0, so the numerical solution of Bratu equation converge to the exact solution, but for the condition ๐ข(0) =๐ขโฒ(0) = ๐, the numerical solution of Bratu equation do not converge to the exact solution so that the value of ๐2 < ๐ < ๐๐ should be selected.
Persamaan fungsional adalah sebuah persamaan untuk fungsi-
fungsi atau nilai-nilai yang tidak diketahui. Dengan demikian,
untuk menyelesaikan sebuah persamaan fungsional dapat
diartikan mencari semua fungsi yang memenuhi persamaan. Salah
satu persamaan fungsional dasar yaitu
( ) ( ) ( ) (2.8)
Persamaan diatas disebut persamaan fungsional Cauchy [10].
( ) ( ) adalah fungsi-fungsi yang dicari dari persamaan
fungsional (2.8).
2.5 Operator
Definisi 2.5.1 [11] Misal dan dua ruang vektor atas ๐ฝ.
Transformasi linier dari ke adalah pemetaan yang
memenuhi syarat berikut ini:
1. Untuk setiap , berlaku ( ) ( ) ( ) 2. Untuk setiap ๐ฝ dan , berlaku ( ) ( )
Definisi 2.5.2 [11] Misal ruang vektor atas ๐ฝ. Transformasi
linier disebut operator linier pada .
Operator nonlinier adalah sebuah operator yang tidak
memenuhi syarat dari pemetaan atau transformasi linier.
2.6 Barisan Rekursif
Barisan rekursif adalah suatu barisan yang didefinisikan
dengan cara rekursif atau induktif yaitu menentukan nilai dan
membentuk sebuah rumus untuk ( ) dalam suku .
Secara umum, dapat ditentukan dan membentuk rumus untuk
memperoleh dari
Contoh 2.6.1:
Barisan Fibonnaci ( ) diberikan oleh definisi induktif
( ) Sehingga diperoleh barisan yaitu (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, โฆ)
[12].
11
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini diuraikan langkah-langkah sistematis yang
dilakukan dalam proses pengerjaan Tugas Akhir. Metode
penelitian dalam Tugas Akhir ini terdiri atas tujuh tahap, antara lain studi literatur, penurunan model persamaan diferensial biasa
nonlinier Bratu, mencari solusi eksak persamaan diferensial biasa
nonlinier Bratu, mencari solusi numerik persamaan diferensial
biasa nonlinier Bratu, simulasi konvergensi dan numerik persamaan diferensial biasa nonlinier Bratu serta penarikan
kesimpulan dan saran.
3.1 Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan analisis model dan identifikasi
permasalahan dengan mencari dan mempelajari literatur-literatur
seperti jurnal, paper, dan buku-buku serta artikel dari internet yang berhubungan dengan model matematika persamaan
diferensial biasa nonlinier Bratu dan solusi untuk penyelesaian
model tersebut dengan menggunakan metode transformasi diferensial.
3.2 Penurunan Model Persamaan Diferensial Biasa
Nonlinier Bratu
Pada tahap ini dilakukan penurunan rumus pada model
pengapian bahan bakar padat dalam teori pembakaran termal
untuk mendapatkan persamaan diferensial biasa nonlinier Bratu.
3.3 Mencari Solusi Eksak Persamaan Diferensial Biasa
Nonlinier Bratu Pada tahap ini dicari solusi eksak dari persamaan diferensial
biasa nonlinier Bratu dengan menggunakan metode transformasi
diferensial.
12
3.4 Mencari Solusi Numerik Persamaan Diferensial Biasa
Nonlinier Bratu
Pada tahap ini dicari solusi numerik dari persamaan diferensial
biasa nonlinier Bratu dengan menggunakan metode transformasi
diferensial.
3.5 Simulasi Konvergensi
Tahap simulasi ini dilakukan untuk mendapatkan hasil
numerik dari perhitungan . Nilai digunakan untuk
menunjukkan bahwa solusi numerik dari persamaan diferensial
biasa nonlinier Bratu dengan menggunakan metode transformasi
diferensial konvergen ke solusi atau nilai eksaknya.
3.6 Simulasi Numerik PDB Nonlinier Bratu Menggunakan
Metode Transformasi Diferensial Tahap simulasi ini dilakukan untuk mendapatkan grafik
perbandingan antara solusi atau penyelesaian numerik dari
persamaan diferensial biasa nonlinier Bratu menggunakan metode transformasi diferensial dengan solusi eksaknya, serta
menganalisa nilai galat yang terjadi.
3.7 Kesimpulan dan Saran
Setelah dilakukan analisa dan pembahasan maka dapat ditarik
sebuah kesimpulan dan saran sebagai bahan masukan atau
pertimbangan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut.
3.8 Skema Penelitian
Skema penelitian bertujuan untuk memudahkan dalam pengerjaan Tugas Akhir agar lebih sistematis. Skema penelitian
yang digunakan disajikan pada Gambar 3.1.
13
Gambar 3.1 Skema Penelitian
Penurunan Model Persamaan Diferensial Biasa
Nonlinier Bratu
Mencari Solusi Penyelesaian PDB
Nonlinier Bratu
Solusi Eksak PDB
Nonlinier Bratu
Solusi Numerik PDB
Nonlinier Bratu
Nonlinier
Simulasi Konvergensi
Simulasi Numerik PDB Nonlinier Bratu Menggunakan Metode
Transformasi Diferensial
Studi Literatur
Penarikan Kesimpulan
dan Saran
14
โ Halaman ini sengaja dikosongkanโ
15
BAB IVANALISA DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dibahas metode transformasi diferensial dengan polinomial baru, analisis konvergensi, penurunan rumus PDB nonlinier Bratu pada model pengapian bahan bakar padat serta solusi penyelesaian dari PDB nonlinier Bratu. Pembahasan dimulai dengan menganalisis metode transformasi diferensial dengan polinomial baru. Kemudian dilanjutkan denganmenganalisis metode yang digunakan untuk menunjukkan konvergensi dari solusi PDB Nonlinier Bratu. Selanjutnya penurunan model matematika pada pengapian bahan bakar padat untuk mendapatkan PDB nonlinier Bratu. Berikutnyamenyelesaikan PDB nonlinier Bratu menggunakan metode transformasi diferensial dengan polinomial baru. Setelah itu, pada akhir pembahasan diberikan analisis hasil simulasi dari grafik perbandingan antara solusi eksak dan numerik serta konvergensi dari solusi PDB nonlinier Bratu.
4.1 Metode Transformasi Diferensial dengan Polinomial Baru
Berikut ini dijelaskan mengenai langkah-langkah atau cara penyelesaian suatu persamaan diferensial menggunakan metode transformasi diferensial dengan polinomial baru.
Misalkan terdapat persamaan diferensial berikut ini โณ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ = ๐(๐ก), (4.1) dengan โณ adalah operator umum diferensial nonlinier yang menyertakan bentuk linier dan nonlinier. Bentuk linier dipecah menjadi โ + โ, dengan โ didefinisikan โ = ๐
๐๐ข(๐ก)๐๐ก๐
dan โ adalah operator linier sisa. Kemudian bentuk nonlinier didefinisikan ๐ฉ. Sehingga persamaan (4.1) dapat ditulis sebagai
Masing-masing fungsi dari kedua ruas pada persamaan (4.3) ditransformasikan menggunakan sifat-sifat dasar transformasi diferensial yang diberikan pada Teorema 2.3.1 kecuali fungsi ๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ ditransformasikan menggunakan rumus polinomial baru. Sehingga didapatkan fungsi transformasinya sebagai berikut1. Dengan menggunakan sifat iv pada Teorema 2.3.1 diperoleh
fungsi transformasi dari โ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ yaitu
2. Fungsi transformasi dari โ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ yaitu๐๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ ๏ฟฝ = โ๏ฟฝ๐(๐)๏ฟฝ.
3. Fungsi transformasi dari ๐(๐ก) yaitu๐๏ฟฝ๐(๐ก)๏ฟฝ = ๐บ(๐).
4. Fungsi transformasi dari ๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ yaitu๐ ๏ฟฝ๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ๏ฟฝ = ๐ฉ๏ฟฝ๐(๐)๏ฟฝ = ๐๐๏ฟฝ๐(0), โฆ ,๐(๐)๏ฟฝ,dengan ๐๐ adalah rumus polinomial baru yang diperoleh dari
Teorema 4.1.1 di bawah ini.
Teorema 4.1.1 [6] Jika ๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ adalah fungsi nonlinier, maka fungsi transformasi diferensial dari ๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ dihitung sebagai berikut
dengan ๐(๐) adalah fungsi tranformasi diferensial dari ๐ข(๐ก) dan ๐๐ adalah polinomial-polinomial yang dapat dihitung menggunakan rumus
๐๐๏ฟฝ๐(0), โฆ ,๐(๐)๏ฟฝ =1๐!
๐๐
๐๐๐ ๏ฟฝ๐ฉ ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐๐(๐)๐
๐=0
๏ฟฝ๏ฟฝฮป=0
, ๐ = 1,2,3, โฆ
(4.4)
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
17
Bukti :
Misalkan terdapat fungsi nonlinier ๐ฉ(๐ข) dengan ๐ฉ merupakan bentuk atau suku nonlinier. ๐ฉ(๐) adalah fungsi transformasi dari ๐ฉ(๐ข) yang didefinisikan sebagai berikut
๐ฉ(๐) = ๐ฉ๏ฟฝ๏ฟฝ๐(๐)โ
๐=0
๏ฟฝ
Dari persamaan (4.9), fungsi transformasi ๐ฉ(๐) dapat dibentukkembali ke dalam deret pangkat dengan variabel peubah bebas ฮป. Persamaan (4.9) menjadi
Jadi, terbukti bahwa fungsi transformasi dari ๐ฉ(๐ข) atau ๐ฉ(๐ข(๐ก)) dapat dihitung menggunakan rumus polinomial ๐๐ .
Selanjutnya masing-masing fungsi transformasi dari โ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ,โ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ,๐ฉ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ, dan ๐(๐ก) dituliskan kembali sehingga persamaan (4.3) menjadi
๐(๐ + ๐) merupakan nilai koefisien dari deret pangkat yang dicari untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu persamaan diferensial. Selanjutnya, persamaan diferensial yang diselesaikan menggunakan metode ini adalah persamaan diferensial biasa nonlinier Bratu.
4.2 Analisis Konvergensi Misalkan terdapat persamaan diferensial yang dinyatakan
dalam bentuk persamaan fungsional didefinisikan sebagai berikut
๐ข(๐ก) = โฑ๏ฟฝ๐ข(๐ก)๏ฟฝ. (4.16)
Dengan โฑ merupakan operator nonlinier. Bentuk penyelesaian dari metode transformasi diferensial yaitu
Jadi, terdapat โ๐ yang berada pada interval 0 โคโ๐< 1 sehingga lim๐,๐โโโ๐๐ โ ๐๐โ =0. Dengan demikian, {๐๐}๐=0โ adalah barisan Cauchy di ruang Hilbert โ. Karena ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap maka setiap barisan Cauchy di โ mempunyai limit atau konvergen sehingga mengakibatkan โ๐, ๐ โ โ, lim
๐โโ๐๐ = ๐,
Jadi, ๐ = โ ๐ข๐,โ๐=0 konvergen.
Menyelesaikan persamaan (4.16) ekivalen untuk menyelesaikan persamaan (4.19) sehingga jika โฑ operator kontinu maka
โฑ(๐) = โฑ ๏ฟฝ lim๐โโ
๐๐๏ฟฝ = lim๐โโ
โฑ(๐๐) = lim๐โโ
๐๐+1 = ๐,
23 ๐ tidak lain merupakan penyelesaian dari persamaan (4.16) juga.Dengan demikian, Teorema 4.2.1 terbukti atau โ 0 โคโ๐< 1sehingga deret solusi โ ๐ข๐โ
๐=0 konvergen ke nilai eksaknya.
4.3 Penurunan Rumus PDB Nonlinier Bratu Pada Model Pengapian Bahan Bakar Padat
Diberikan model pengapian bahan bakar padat sebagai berikut [13]: ๐๐ก โ โ๐ = ๐ฟ๐๐ , (๐ฅ, ๐ก) โ ๐บ ร (0,โ) (4.21)
๐บ โ โ3 dengan batas halus ๐๐บ. Batas halus adalah jika tiap titik ๐ฅ โ ๐๐บ maka terdapat fungsi yang mempunyai turunan kontinupada titik tersebut. Model tersebut didapatkan dari penyederhanaan model matematika dalam prinsip-prinsip konservasi dasar pada teori pembakaran.
Berkaitan dengan model steady state atau keadaan tunak yaitukeadaan di mana suatu sistem berada dalam kesetimbangan atau tidak berubah lagi seiring waktu, didapatkan model
โโ๐ = ๐ฟ๐๐ , ๐ฅ โ ๐บ
๐(๐ฅ) = 0, ๐ฅ โ ๐๐บ.
Dengan โ merupakan operator Laplace dan ๐ฟ merupakan parameter skalar Frank-Kamentski yang mencirikan keadaan awal sistem. Bergantung pada nilai ๐ฟ , reaksi bisa meledak dan bisa juga berlangsung perlahan-lahan. Nilai dari parameter ๐ฟmemisahkan reaksi yang lambat dan reaksi yang menyebabkan ledakan yang selanjutnya disebut kondisi kritis.
Selanjutnya persamaan diferensial parsial pada persamaan (4.23) disederhanakan dengan menggunakan teknik simetrisasi.Persamaan diferensial parsial yang didefinisikan pada domain ๐บmemiliki sifat simetri tertentu. Jika ๐บ adalah sebuah bola di dalam โ๐ yang berpusat di 0, maka menurut hasil penelitian
(4.23)
24 Gidas , Ni , dan Nirenberg [14] semua penyelesaian atau solusi dari persamaan (4.23) adalah radial simetri.Lebih tepatnya , untuk ๐บ = {๐ฅ โ โ๐ โถ |๐ฅ| < ๐ } = ๐ต๐ , misalkan u โ ๐ถ2(๐บ ๏ฟฝ ,โ) merupakan penyelesaian positif dari
dengan ๐ โ ๐ถ1 (โ, โ) maka ๐ข adalah radial simetris dan radial menurun. Jika ๐ = |๐ฅ|, maka ๐ข = ๐ข(๐) dan ๐ขโฒ(๐) < 0 untuk ๐ โ (0,๐ ) . Ini berarti bahwa setiap penyelesaian positif dari persamaan (4.24) adalah penyelesaian dari
dengan menyamakan persamaan (4.23) dan (4.24) maka dapat diperoleh ๐ข = ๐ ,๐(๐ข) = ๐ฟ๐๐ . Sehingga bentuk persamaan (4.23) ekivalen dengan bentuk persamaan dari
Jika ๐ = ๐ข , ๐ฟ = ๐ , dan ๐ = ๐ฅ maka diperoleh persamaan diferensial biasa (PDB) nonlinier Bratu yang timbul dalam model pengapian bahan bakar padat pada teori pembakaran sebagai berikut ๐ขโฒโฒ + ๐๐๐ข = 0, 0 โค ๐ฅ โค 1 (4.29)
dengan syarat
๐ขโฒ(0) = 0, ๐ข(0) = 0 .
4.4 Solusi Persamaan Diferensial Biasa Nonlinier Bratu Menggunakan Metode Transformasi Diferensial
Diberikan masalah nilai awal PDB nonlinier Bratu (๐ฅ โ [0,1]) ๐ขโฒโฒ (๐ฅ) + ๐๐๐ข(๐ฅ) = 0, ๐ konstan (4.30)
dengan syarat ๐ข(0) = ๐ขโฒ (0) = 0. (4.31)
dengan menggunakan sifat dari metode transformasi diferensialmaka bentuk transformasi dari persamaan (4.30) adalah๐ขโฒโฒ (๐ฅ) + ๐๐๐ข(๐ฅ) = 0๐ขโฒโฒ (๐ฅ) = โ๐๐๐ข(๐ฅ)
T(๐ ๐๐(๐)๐ ๐๐
) = T(โ๐๐๐ข(๐ฅ))(๐ + 1)(๐ + 2)๐(๐ + 2) = โ๐๐๐๏ฟฝ๐(0),๐(1), โฆ ,๐(๐)๏ฟฝ,๐ = 0,1,2, โฆ dengan ๐๐ merupakan rumus polinomial yang digunakan untuk mendapatkan fungsi transformasi dari bentuk nonlinier ๐ฉ(๐ข) =๐๐ข(๐ฅ). Untuk syarat awal (4.31) dengan ๐ฅ0 = 0 ditransformasikan menjadi
๐(๐) = 1๐!
๏ฟฝ๐๐
๐๐ฅ๐ ๐ข(๐ฅ)๏ฟฝ
๐ฅ=0
๐(0) = 10!
๏ฟฝ ๐0
๐๐ฅ0 ๐ข(0)๏ฟฝ
๐ฅ=0= ๐ข(0) = 0
๐(1) = 11!
๏ฟฝ๐๐๐ฅ
๐ข(๐ฅ)๏ฟฝ๐ฅ=0
(4.32)
26 ๐(1) = 1
1! ๐ขโฒ (0) = 0
Sehingga diperoleh syarat awal yang telah ditransformasikan yaitu๐(0) = ๐(1) = 0 (4.33) Kemudian, ๐ = 0,1,2, โฆ, disubstitusikan ke persamaan (4.32)didapatkan
๐3(๐(0),๐(1),๐(2),๐(3)) = 0 Nilai dari ๐3(๐(0),๐(1),๐(2),๐(3)) disubstitusikan ke persamaan (4.37) diperoleh ๐(5) = 0.
180Dan seterusnya untuk ๐ yang lain dapat dihitung melalui simulasi Matlab untuk memudahkan perhitungan. Maka berdasarkan hasil yang diperoleh diatas didapatkan
dengan mensubstitusikan nilai ๐(0),๐(1),๐(2), โฆ yang telah dihitung sebelumnya maka didapat solusi hampirannya adalah๐ข(๐ฅ) = โ๐
2๐ฅ2 + ๐
2
24๐ฅ4 โ ๐
3
180๐ฅ6 +โฆ (4.39)
Menurut persamaan (4.28) dan (4.29) parameter ๐ sama dengan ๐ฟ sehingga ๐ adalah parameter Frank-Kamentski. Terdapat ๐๐yang merupakan nilai kritis untuk membedakan antara kejadian eksplosif (ledakan) dan noneksplosif termal. Nilai ๐๐ telah dihitung sebelumnya oleh [15] sebesar 3.513830719. Terdapat penyelesaian untuk ๐ < ๐๐ , namun untuk ๐ > ๐๐ maka akanterjadi ledakan termal. Oleh sebab itu, dievaluasi nilai ๐ saat ๐ < ๐๐ . Masing-masing nilai ๐ yang dipilih disubstitusikan ke persamaan (4.39).Untuk ๐ = ๐ maka ๐ข(๐ฅ) = โ๐ฅ2 + 1
6๐ฅ4 โ 2
45๐ฅ6+โฆ
atau ekivalen dengan
๐ข(๐ฅ) = โ2 ๏ฟฝ12๐ฅ2 โ
112
๐ฅ4 + 1
45 ๐ฅ6 โโฏ๏ฟฝ
yang dekat dengan bentuk๐ข(๐ฅ) = โ2 ln (cosh(๐ฅ)) (4.40)
sehingga persamaan (4.40) tidak lain merupakan solusi eksak dari PDB nonlinier Bratu untuk nilai ๐ = 2. Untuk ๐ = โ๐ , maka ๐ข(๐ฅ) = โ๐
2๐ฅ2 + ๐
2
24๐ฅ4 โ ๐
3
180๐ฅ6 +โฆ
๐ข(๐ฅ) = โ (โ2)2๐ฅ2 + (โ2)2
24๐ฅ4 โ (โ2)3
180๐ฅ6 +โฆ
๐ข(๐ฅ) = ๐ฅ2 + 16๐ฅ4 + 2
45๐ฅ6+โฆ
๐ข(๐ฅ) = โ2 ๏ฟฝโ12๐ฅ2 โ
112
๐ฅ4 โ1
45 ๐ฅ6 โ โฏ๏ฟฝ
atau ekivalen dengan fungsi๐ข(๐ฅ) = โ2 ln (cos(๐ฅ)) (4.41)
dimana (4.41) merupakan solusi eksak untuk ๐ = โ2.Untuk ๐ = ๐, maka๐ข(๐ฅ) = โ๐
2๐ฅ2 + ๐
2
24๐ฅ4 โ ๐
3
180๐ฅ6 +โฆ
๐ข(๐ฅ) = โ12๐ฅ2 + 1
24๐ฅ4 โ 1
180๐ฅ6 +โฆ
31
Untuk ๐ = โ๐, maka๐ข(๐ฅ) = 1
2๐ฅ2 + 1
24๐ฅ4 + 1
180๐ฅ6 +โฆ
Sebagai tambahan, syarat awal PDB Nonlinier Bratu yang lain juga diselesaikan, Misalkan, ๐ขโฒโฒ (๐ฅ) + ๐๐๐ข(๐ฅ) = 0, ๐ konstan dengan syarat ๐ข(0) = 0 dan ๐ขโฒ (0) = ๐. (4.42) Maka dengan menggunakan cara yang sama didapatkan(๐ + 1)(๐ + 2)๐(๐ + 2) = โ๐๐๐๏ฟฝ๐(0),๐(1), โฆ ,๐(๐)๏ฟฝ,๐ = 0,1,2, โฆ (4.43)dimana syarat pada persamaan (4.42) telah ditransformasikan menjadi๐(0) = 0 dan ๐(1) = ๐Selanjutnya ๐ = 0,1,2, โฆ disubstitusikan ke persamaan (4.43)didapatkan
6Nilai dari ๐3(๐(0),๐(1),๐(2),๐(3)) disubstitusikan ke persamaan (4.47) diperoleh 20 ๐(5) = โ๐๐3(๐(0),๐(1),๐(2),๐(3))
20 ๐(5) = โ๐(โ4๐๐+๐3
6)
๐(5) = 4๐2๐โ๐๐3
120Berdasarkan hasil yang diperoleh diatas:๐(1) = 1
๐(2) = โ๐2
๐(3) = โ๐๐6
๐(4) = ๐2
24โ ๐๐2
24
๐(5) =4๐2๐ โ ๐๐3
120โฎ๐(๐)dengan menggunakan sifat transformasi diferensial maka didapatkan solusi hampirannya
๐ข(๐ฅ) = ๐๐ฅ โ๐2๐ฅ2 โ
๐๐6
๐ฅ3 + ๏ฟฝ๐2
24โ๐๐2
24๏ฟฝ๐ฅ4 +
๏ฟฝ4๐2๐โ๐๐3
120๏ฟฝ ๐ฅ5 +โฏ (4.48)
Sama seperti sebelumnya nilai ๐ juga dievaluasi yaitu saat ๐ < ๐๐diambil ๐ = โ๐2 sedangkan untuk ๐ > ๐๐ dipilih ๐ = ๐2.Untuk ๐ = โ๐2, maka persamaan (4.48) menjadi๐ข(๐ฅ) = ๐๐ฅ + ๐2
2๐ฅ2 + ๐3
6 ๐ฅ3 + ๐4
12๐ฅ4 + ๐5
24 ๐ฅ5 +โฆ
atau ekivalen dengan bentuk๐ข(๐ฅ) = โln (1โ sin๐ ๐ฅ)Untuk ๐ = ๐2, maka persamaan (4.48) menjadi
35
๐ข(๐ฅ) = ๐๐ฅ โ ๐2
2๐ฅ2 โ ๐3
6 ๐ฅ3 + ๐5
40 ๐ฅ5 +โฆ
4.5 Simulasi KonvergensiUntuk mendukung keakuratan dari metode yang digunakan
maka ditunjukkan konvergensi dari solusi yang didapatkan. Konvergensi diperoleh melalui perhitungan โ๐ yang didefinisikan pada Definisi 4.2.1.Dari Definisi 4.2.1, untuk setiap ๐ โ โ โช {0}, maka
โ๐= ๏ฟฝโ๐ข๐+1โโ๐ข๐โ
, โ๐ข๐โ โ 0,
0 , โ๐ข๐โ = 0 ๏ฟฝ
dan Teorema 4.2.1 diberikan bahwa untuk โ๐ โ โ โช {0}, โ๐ข๐+1โ โค โ๐ โ๐ข๐โ. (4.49)
Dengan menggunakan persamaan (4.49) didapatkanโ๐ข๐+2โ โค โ๐ โ๐ข๐+1โ โค โ๐
2 โ๐ข๐โ (4.50)
Persamaan (4.50) dapat ditulis kembali menjadiโ๐ข๐+2โ โค โ๐2 โ๐ข๐โ (4.51)
untuk โ๐ โ โ โช {0}. Sehingga dari persamaan (4.51) dapat dibentuk rumus baru dalam perhitungan โ๐ yaitu
โ๐= ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐ข๐+2โโ๐ข๐โ
, โ๐ข๐โ โ 0,
0 , โ๐ข๐โ = 0๏ฟฝ (4.52)
Selanjutnya digunakan rumus pada (4.52) dalam perhitungan โ๐untuk mendapatkan hasil konvergensi.
Pada Teorema (4.2.1) diberikan rumus
๏ฟฝ๐ข๐
โ
๐=0
= ๏ฟฝ๐(๐)(๐ก โ ๐ก0)๐โ
๐=0
(4.53)
36 Karena variabel bebas yang digunakan pada PDB Nonlinier Bratu (4.30) adalah ๐ฅ maka persamaan (4.53) dapat ditulis menjadi
๏ฟฝ๐ข๐
โ
๐=0
= ๏ฟฝ๐(๐)(๐ฅ โ ๐ฅ0)๐โ
๐=0
.
Persamaan (4.54) dapat ditulis kembali ke dalam bentuk
konvergen ke ๐ข (nilai eksaknya). Nilai โ๐ diperoleh melalui rumus pada (4.52).
Berikutnya diberikan contoh dalam perhitungan โ๐ untuk menunjukkan konvergensi. Misalkan untuk nilai ๐ = 2, batas maksimum ๐ atau N = 4 dan ๐ฅ0 = 0 maka berturut-turut nilai dari ๐(0) , ๐(1),๐(2),๐(3),๐(4) yang telah dihitung sebelumnya yaitu๐(0) = 0๐(1) = 0๐(2) = โ1๐(3) = 0
๐(4) =16
(4.54)
(4.56)
37
Nilai masing-masing ๐(0) sampai ๐(4) disubstitusikan ke rumus (4.56) sehingga diperoleh
๐ข0 = ๐(0)๐ฅ0 = 0 ๐ข1 = ๐(1)๐ฅ1 = 0
๐ข2 = ๐(2)๐ฅ2 = โ๐ฅ2
๐ข3 = ๐(3)๐ฅ3 = 0๐ข4 = ๐(4)๐ฅ4 = 1
6๐ฅ4
(4.57)
Jika nilai ๐ฅ โ [0,1] dan diasumsikan nilai ๐ฅ dibagi menjadi 5 partisi dengan panjang interval 0.25 maka didapatkan
๐ฅ0 = 0,
๐ฅ1 = 0,25,
๐ฅ2 = 0,5,
๐ฅ3 = 0,75,
๐ฅ4 = 0,1,
Masing-masing nilai ๐ฅ0, ๐ฅ1, โฆ ๐ฅ4 disubstitusikan ke dalam masing-masing persamaan (4.57) sehingga didapatkan vektor baris dari nilai ๐ข๐ yang bentuk umumnya yaitu
sehingga didapatkan nilai masing-masing โ๐, dengan ๐ = 0,1,2 .
Untuk ๐ = ๐, maka
โ๐= ๏ฟฝโ๐ข๐+2โโ๐ข๐โ
โ0= ๏ฟฝโ๐ข2โโ๐ข0โ
= ๏ฟฝ1.175930
, karena dari Definisi 4.2.1, โ๐= 0 jika
โ๐ข๐โ = 0 maka diperoleh โ0= 0.
Untuk ๐ = ๐, maka
โ๐= ๏ฟฝโ๐ข๐+2โโ๐ข๐โ
โ1= ๏ฟฝโ๐ข3โโ๐ข1โ
= ๏ฟฝ 01.17593
= 0
Untuk ๐ = ๐, maka
โ๐= ๏ฟฝโ๐ข๐+2โโ๐ข๐โ
40
โ2= ๏ฟฝโ๐ข4โโ๐ข2โ
= ๏ฟฝ0.1751221.17593
=0.3859
Jadi, diperoleh nilai โ0= 0,โ1= 0, dan โ2= 0.3859 . Masing-masing nilai berada pada interval 0 โคโ๐< 1 sehingga solusi numerik untuk ๐ = 2 dan N = 4 konvergen ke nilai eksaknya.
Selanjutnya perhitungan โ๐ disimulasikan pada Matlab. Hasil simulasi perhitungan โ๐ pada contoh diatas diberikan pada Gambar 4.1 untuk nilai ๐ = 2 dan N = 4 dengan sumbu ๐ฅmenyatakan indeks ke- ๐ dan sumbu ๐ฆ menyatakan nilai โ๐dengan ๐ = 0,1,2.
Gambar 4.1 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 2 dan N = 4
Dari Gambar 4.1 menunjukkan bahwa hasil simulasi perhitungan โ๐ dengan ๐ = 0,1,2 sama dengan hasil perhitungan secara analitik untuk ๐ = 2 dan N = 4. Begitu juga untuk N yang lain, misalkan N=10 dengan ๐ = 2 , maka diperoleh nilai โ๐dengan ๐ = 0,1,2, . .8 sebagai berikut
41
Gambar 4.2 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 2 dan N=10
Dari hasil simulasi pada Gambar 4.2 diperoleh nilai โ0= 0, โ1= 0 ,โ2= 0.3859 ,โ3= 0 ,โ4= 0.50775 ,โ5= 0 ,โ6=0.54803 ,โ7= 0 , dan โ8= 0.5684 . Sehingga nilai โ๐ berada pada interval 0 โคโ๐< 1 mengakibatkan solusi numerik yang didapat konvergen ke hasil eksaknya. Hasil yang sama juga akan didapatkan ketika nilai ๐ฅ dipartisi menjadi ๐ bagian yang laindengan ๐ฅ โ [0,1] . Misalkan ๐ = 21, dengan N=10, ๐ = 2 hasil simulasi yang didapatkan yaitu
Gambar 4.3 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = 2 dan N=10
Dari hasil simulasi pada Gambar 4.3 diperoleh โ0= 0, โ1= 0 ,โ2= 0.3608 ,โ3= 0 ,โ4= 0.48181 ,โ5= 0 ,โ6=
42 0.5266 ,โ7= 0 , dan โ8= 0.55156, sehingga 0 โคโ๐< 1 yang berakibat solusi numeriknya konvergen juga ke solusi eksaknya.
Untuk nilai ๐ yang lain yaitu ๐ = โ2 , ๐ = โ1 , dan ๐ = 1yang digunakan pada syarat pertama persamaan Bratu, didapatkan hasil simulasi konvergensinya sebagai berikutUntuk ๐ = โ๐, maka
Gambar 4.4 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = โ2 dan N =10
Nilai โ๐ yang diperoleh pada hasil simulasi Gambar 4.4 sama ketika ๐ = โ2.
Untuk ๐ = โ๐, maka
Gambar 4.5 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = โ1 dan N =10
43 Nilai โ๐ yang diperoleh dari hasil simulasi pada Gambar 4.5 yaitu โ0= 0, โ1= 0 ,โ2= 0.25513,โ3= 0 ,โ4= 0.34069 ,โ5=0 ,โ6= 0.37236 ,โ7= 0 , dan โ8= 0.39001.
Untuk ๐ = ๐, maka
Gambar 4.6 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = 1dan N =10
Nilai โ๐ yang diperoleh pada hasil simulasi Gambar 4.6 sama ketika ๐ = โ1 . Sedangkan untuk syarat yang kedua dari persamaan Bratu dengan ๐ = โ๐2 dan ๐ = ๐2 diperoleh hasil simulasi konvergensinya
Gambar 4.7 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = โ๐2 dan N = 10
44
Gambar 4.8 Hasil Numerik Perhitungan โ๐ untuk ๐ = 21, ๐ = ๐2 dan N = 10
Dari Gambar 4.7 diperoleh โ0= 0 , โ1= 1.0622 , โ2=1.1329,โ3= 1.4349 , โ4= 1.5129,โ5= 1.6013 , โ6= 1.6981 ,โ7= 1.6981 , dan โ8= 1.7319 sedangkan dari Gambar 4.8 diperoleh โ0= 0 , โ1= 1.0622 , โ2= 0 , โ3= 1.1115 , โ4= 0 ,โ5= 0.79404 , โ6= 1.5532 , โ7= 1.4694 , dan โ8= 1.1381,sehingga terdapat โ๐> 1 yang mengakibatkan solusi numerik yang didapatkan tidak konvergen ke solusi eksaknya.
Untuk ๐ = ๐2 hasil numeriknya tidak konvergen ke eksaknya dikarenakan dipilih nilai ๐ > ๐๐ = 3.513830719 [15], namun untuk nilai ๐ yang lain yaitu ๐ = โ2, ๐ = โ1, dan ๐ = 1 tampak dari Gambar 4.4 sampai dengan Gambar 4.6 diperoleh 0 โคโ๐< 1sehingga solusi numeriknya konvergen ke eksaknya. Hal tersebut juga dikarenakan dipilih nilai ๐ < ๐๐.
4.6 Simulasi Numerik dan Analisa GalatBerikut ini diberikan grafik perbandingan antara hasil numerik
menggunakan metode transformasi diferensial dengan solusi eksaknya. N merupakan orde/pangkat tertinggi dari solusi penyelesaian numerik yang berupa deret. Untuk ๐ = 2 dan N=10 didapatkan grafiknya yaitu sebagai berikut
45
Gambar 4.9 Grafik Perbandingan Metode Transformasi Diferensialdengan Solusi Eksak untuk ๐ = 2 dan N = 10
Pada Gambar 4.9 menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dari perhitungan dengan metode numerik transformasi diferensial mendekati solusi eksaknya. Selanjutnya diuji juga untuk N yang lain yaitu
Untuk ๐ = ๐, N = 5 maka
Gambar 4.10 Grafik Perbandingan Metode Transformasi Diferensialdengan Solusi Eksak untuk ๐ = 2 dan N = 5
46 Untuk ๐ = ๐, N = 3 maka
Gambar 4.11 Grafik Perbandingan Metode TransformasiDiferensial dengan Solusi Eksak untuk ๐ = 2 dan N = 3
Dari Gambar 4.9 sampai dengan Gambar 4.11 dapat
disimpulkan bahwa semakin nilai N kecil maka grafik solusi numeriknya semakin menjauh dari grafik eksaknya atau dengan kata lain nilai galatnya semakin besar. Hal itu dibuktikan dengan hasil RMSE (Root Mean Square Error) dengan nilai ๐ dan masing-masing N yang telah diujikan sebelumnya yaitu ๐ = 2untuk N = 10, N = 5, N = 3 dengan ๐ฅ โ [0,1] dan ๐ = 21 diberikan pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1 Nilai RMSE dengan ๐ = 2 untuk N = 10, N = 5, dan N = 3
Root Mean Square Error (RMSE)
N=10 N=5 N=30.00028611 0.011044 0.049486
Dari Tabel 4.1 dapat disimpulkan bahwa semakin kecil N maka galatnya semakin besar dan berakibat juga kebalikanya. Untuk ๐ = โ2, grafik perbandingan solusi numerik dengan eksaknya berikut ini
47
Gambar 4.12 Grafik Perbandingan Metode TransformasiDiferensial dengan Solusi Eksak untuk ๐ = โ2 dan N = 10
Dari Gambar 4.12 menunjukkan bahwa grafik solusi numeriknya mendekati ke grafik solusi eksaknya. Kesimpulan yang sama juga akan diperoleh yaitu nilai N semakin kecil maka grafik numeriknya menjauhi grafik eksaknya atau galatnya semakin besar begitu juga sebaliknya. Untuk nilai ๐ = 1 dan ๐ = โ1 tidak dapat ditunjukkan grafik perbandingannya karena belum ada solusi eksaknya namun solusi numeriknya tetap konvergen ke hasil eksaknya.
Sedangkan untuk syarat yang kedua dari persamaan Bratuketika ๐ = โ๐2 diperoleh grafik perbandingan antara solusi numerik dan eksaknya sebagai berikut
48
Gambar 4.13 Grafik Perbandingan Metode TransformasiDiferensial dengan Solusi Eksak untuk ๐ = โ๐2
Gambar 4.13 menunjukkan bahwa grafik perbandingan antara kedua solusi berbeda jauh hal ini dapat diartikan terjadi peristiwa ledakan saat ๐ฅ = 0.5 sehingga dari hasil simulasi konvergensinya diperoleh solusi numeriknya tidak konvergen ke hasil eksaknya.
Untuk ๐ = ๐2 tidak dapat ditunjukkan grafik perbandingankarena belum ada solusi eksaknya, namun dari hasil konvergensisebelumnya didapatkan juga solusi numeriknya tidak konvergen ke eksaknya. Sehingga sebaiknya diambil nilai โ๐2 < ๐ < ๐๐untuk syarat yang kedua dari persamaan Bratu agar penyelesaiannya konvergen ke solusi eksaknya serta peristiwa ledakan dapat dihindari.
49
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh
berdasarkan pembahasan dan hasil simulasi serta saran untuk penelitian selanjutnya.
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan keseluruhan hasil analisa yang telah dilakukan dalam penyusunan Tugas Akhir ini, dapat diperoleh kesimpulan
sebagai berikut :
1. Metode transformasi diferensial dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa nonlinier Bratu.
2. Hasil simulasi grafik menunjukkan metode transformasi
diferensial sangat dekat dengan solusi eksaknya serta nilai galatnya sangat kecil. Nilai galat akan semakin kecil saat orde
atau pangkat tertinggi dari solusi deret yang didapatkan
semakin besar.
3. Untuk nilai pada syarat yang pertama, diperoleh
sehingga solusi numerik penyelesaian
persamaan Bratu konvergen ke eksaknya, namun untuk syarat
yang kedua saat dan solusinya tidak konvergen ke eksaknya sehingga sebaiknya dipilih
nilai dengan agar
penyelesaiannya konvergen ke eksaknya serta peristiwa
ledakan dapat dihindari.
5.2 Saran
Dalam Tugas Akhir ini telah dibahas penyelesaian persamaan diferensial nonlinier Bratu untuk masalah nilai awal, namun
terdapat hal-hal lainnya yang belum dibahas yaitu:
1. Menyelesaikan persamaan Bratu dengan menggunakan
syarat awal yang lain.
2. Analisa kestabilan nilai 3. Estimasi galat dari solusi yang didapatkan.
50
Untuk penelitian yang akan datang, dapat membahas hal-hal tersebut.
51
DAFTAR PUSTAKA
[1] Abukhaled, M., Khuri, S., and Sayfy, A, 2012. โSpline-based
numerical treatments of Bratu-type equationsโ. Palestine
Journal of Mathematics Vol. 1 pp: 63-70.
[2] Wazwaz, AM, 2005. โAdomian decomposition method for a
reliable treatment of the Bratu-type equationsโ. Appl. Math.
Comput Vol. 166 pp: 652-663.
[3] Batiha.B, 2010. โNumerical solution of Bratu-type equation
by the variational iteration methodโ. Hacettepe Journal of
Mathematics and Statistics Vol. 39 (1) pp: 23 โ 29.
[4] Venkatesh, S.G, 2012. โThe legendre wavelet method for
solving initial value problems of Bratu-typeโ. Computer
and Mathematics with applications Vol. 63 pp: 1287-
1295.
[5] Chang, Shih-Hsiang, 2008. โA new algorithm for calculating
one-dimensional differential transform of nonlinear
functionsโ. Applied Mathematics and Computation Vol.
195 pp: 799โ808.
[6] Nik, H.Saberi dan Soleymani, F, 2013. โA Taylor-type
numerical method for solving nonlinear ordinary differential
=== '); p = input('Masukkan nilai lambda = '); N = input('Masukkan banyak N(orde tertinggi)
= '); n = input('Masukkan banyak n(partisi) = ');
syms lambda x;
y(1) = 0; Y(2) = 0;
for k=1:N-1 if k==1 U = 0; for a=0:k-1 U = U+lambda^a*Y(a+1); end D = exp(Y(1)); else U = 0; for a=0:k-1 U = U+lambda^a*Y(a+1); end Diff_N = Turunan_N(U,k); D = (1/factorial(k-
1))*subs(Diff_N,{lambda},{0}); end Y(k+2) = (-p/(k*(k+1)))*D; end
55 Y
y = 0; for k=0:N y = y + x^k*Y(k+1); end pretty(y)
x_new =linspace(0,1,n); for i=1:length(x_new) y_new(i) = subs(y,{x},{x_new(i)}); end y_new=double(y_new);
figure(1); if p>0 y = -p.*log(cosh(x_new)); else y = p.*log(cos(x_new));
end plot(x_new,y_new,'r*',x_new,y); title('Perbandingan Metode Transformasi
error=y-y_new RMSE = sqrt(mean((y - y_new).^2)) %Konvergensi for i=1:length(Y) for j=1:length(x_new) yk(i,j)=Y(i)*(x_new(j)^(i-1)); end end for i=1:size(yk,1)-2 norm_yk(i) = norm(yk(i,:)); if norm_yk(i) == 0 alpha(i) = 0;
56 else alpha(i) = sqrt(
norm(yk(i+2,:))/norm_yk(i)); end end norm_yk, alpha
figure(2) k = 0:N-2; plot(k,alpha,'*'); set(gca,'XTick',0:2:20) set(gca,'XTickLabel',{'0','2','4','6','8','10','
12','14','16','18','20'}) xlabel('k') ylabel('\alpha_k') axis([0 20 0 1]) title('Nilai \alpha_k untuk u(x)') Jawab = input('Apakah anda ingin lanjut program
(Y/N)? ','s'); end disp(' '); disp('>>>>>>>>>>>>>>>TERIMA
KASIH<<<<<<<<<<<<<<<<<<<');
Listing program untuk syarat ( ) dan ( )
dengan , dan
M-file dengan judul simulasi2.m
clc; clear all; close all;
disp('
================================================
================== '); disp(' '); disp(' Metode Transformasi Diferensial
Dibandingkan Dengan Analitik'); disp(' '); disp(' Nama Mahasiswa = Afifah Dwi
=== '); p = input('Masukkan nilai lambda = '); N = input('Masukkan banyak N(orde tertinggi)
= '); n = input('Masukkan banyak n(partisi) = ');
syms lambda x;
y(1) = 0; Y(2) = 3.14;
for k=1:N-1 if k==1
58 U = 0; for a=0:k-1 U = U+lambda^a*Y(a+1); end D = exp(Y(1)); else U = 0; for a=0:k-1 U = U+lambda^a*Y(a+1); end Diff_N = Turunan_N(U,k); D = (1/factorial(k-
1))*subs(Diff_N,{lambda},{0}); end Y(k+2) = (-p/(k*(k+1)))*D; end Y
y = 0; for k=0:N y = y + x^k*Y(k+1); end pretty(y)
x_new =linspace(0,1,n); for i=1:length(x_new) y_new(i) = subs(y,{x},{x_new(i)}); end y_new=double(y_new);
figure(1); y_eksak = -log(1-sin(3.14*x_new)); plot(x_new,y_new,'r*',x_new,y); title('Perbandingan Metode Transformasi
59 error=y-y_new RMSE = sqrt(mean((y - y_new).^2)) %Konvergensi for i=1:length(Y) for j=1:length(x_new) yk(i,j)=Y(i)*(x_new(j)^(i-1)); end end for i=1:size(yk,1)-2 norm_yk(i) = norm(yk(i,:)); if norm_yk(i) == 0 alpha(i) = 0; else alpha(i) = sqrt(
norm(yk(i+2,:))/norm_yk(i)); end end norm_yk, alpha
figure(2) k = 0:N-2; plot(k,alpha,'*'); set(gca,'XTick',0:2:20) set(gca,'XTickLabel',{'0','2','4','6','8','10','
12','14','16','18','20'}) xlabel('k') ylabel('\alpha_k') axis([0 20 0 1]) title('Nilai \alpha_k untuk u(x)') Jawab = input('Apakah anda ingin lanjut program
(Y/N)? ','s'); end disp(' '); disp('>>>>>>>>>>>>>>>TERIMA
KASIH<<<<<<<<<<<<<<<<<<<');
60
โHalaman ini sengaja dikosongkanโ
BIODATA PENULIS
Penulis dilahirkan di
Surabaya 10 Juni 1993.
Pendidikan formal yang
pernah ditempuh yaitu TK
Al-Hikmah Surabaya, SDN
Mojo VI Surabaya, SMPN
37 Surabaya, dan SMAN 1
Surabaya. Setelah lulus dari
SMA, penulis mengikuti
SNMPTN undangan 2011
dan diterima sebagai
mahasiswa Jurusan
Matematika ITS. Penulis
aktif dalam kepengurusan Lembaga Dakwah Jurusan Ibnu
Muqlah di Departemen Keputrian (2012-2014) dan
Lembaga Dakwah Kampus Jamaah Masjid Manarul Ilmi
di Departemen Annisa (2012-2013). Selain itu, penulis
juga aktif dalam kepengurusan HIMATIKA di
Departemen Kesejahteraan Mahasiswa (2012-2013).
Untuk kritik, saran, dan pertanyaan mengenai Tugas