Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS METODE STEEPEST DESCENT Lisa Apriana Dewi [M0108055], Frety Kurnita Sari [M0110029], dan Steffi Niaretho S. [M0110074] 1. Pendahuluan Optimasi untuk fungsi lebih dari satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakan turunan, yaitu syarat cukup dan syarat perlu: ( )= dan . Sering dihadapi permasalahan yang gagal memenuhi syarat tersebut tetapi fungsi f(x) masih mempunyai titik optimum. Untuk mengatasi masalah tersebut digunakan uncons- trained optimization technique. Metode ini dibagi menjadi dua, yaitu metode Penyelidikan Langsung (Direct Search Methods) dan Metode Gradien (Gradient Methods). Metode Penyelidikan Langsung dapat digunakan tanpa memerlukan informasi turunan, tetapi metode ini kurang efisien apabila dibandingkan dengan Metode Gradien. Metode Gradien (Metode Descent) merupakan metode yang memerlukan informasi turunan-turunan dalam bentuk vektor vektor Gradien Jacobian. Dalam metode ini juga memerlukan informasi turuna kedua dalam bentuk matrik Hess (Hessian matrix). 2. Pembahasan Untuk menetukan arah gerakan, metode ini menggunakan vektor gradien Jacobian. Metode ini merupakan dasar metode first-order yang memerlukan turunan tingkat pertama. Ambil vektor unit u dengan ‖‖ =1. Maka .∇ ( )=‖ ‖.‖∇ ( )‖.cos dengan adalah sudut antara u dan ∇(). Minimum dicapai dengan cos = −1 (atau = ), Sehingga = ∇() ‖∇ ( )‖ (1) u ∇() Pada metode steepest descent, sebagai direction (arah) gerakan adalah seperti pada (1) de- ngan tidak memperhatikan skalar (norm dari ∇()), jadi =−∇ ( ) (2) (arah yang diambil adalah negatif dari vektor gradien). Secara umum, metode ini dimulai dari vektor awal dan secara iteratif bergerak menuju ke arah optimum (minimum) menurut aturan : = + = − ∇( ) (3) dimana adalah panjang langkah optimum sepanjang arah . Algoritma Input : f∶R →R, f konveks,∇f vektor asal x ∈R , toleransi α, k = 0. Step 1 : (line search) Cari titik minimum fungsi satu variabel g(λ) = f (x − λ∇f (x )), misal minimum adalah Step 2: Set : =x − λ ∇f(x ). Jika ‖∇f (x )‖ < : STOP , ∗ = , jika tidak set k : = k + 1, ulangi step 1 dan 2. Gambar 1 berikut memperlihatkan minimisasi dengan menggunakan metode steepest descent untuk fungsi dua variabel dengan contour-contour elliptik.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
METODE STEEPEST DESCENT
Lisa Apriana Dewi [M0108055], Frety Kurnita Sari [M0110029],dan Steffi Niaretho S. [M0110074]
1. PendahuluanOptimasi untuk fungsi lebih dari satu variabel dapat dilakukan dengan menggunakanturunan, yaitu syarat cukup dan syarat perlu:( ) = dan .Sering dihadapi permasalahan yang gagal memenuhi syarat tersebut tetapi fungsi f(x)masih mempunyai titik optimum. Untuk mengatasi masalah tersebut digunakan uncons-trained optimization technique. Metode ini dibagi menjadi dua, yaitu metode PenyelidikanLangsung (Direct Search Methods) dan Metode Gradien (Gradient Methods).
Metode Penyelidikan Langsung dapat digunakan tanpa memerlukan informasi turunan,tetapi metode ini kurang efisien apabila dibandingkan dengan Metode Gradien. MetodeGradien (Metode Descent) merupakan metode yang memerlukan informasi turunan-turunandalam bentuk vektor vektor Gradien Jacobian. Dalam metode ini juga memerlukaninformasi turuna kedua dalam bentuk matrik Hess (Hessian matrix).
2. PembahasanUntuk menetukan arah gerakan, metode ini menggunakan vektor gradien Jacobian. Metodeini merupakan dasar metode first-order yang memerlukan turunan tingkat pertama. Ambil vektor unit u dengan ‖ ‖ =1. Maka . ∇ ( ) = ‖ ‖. ‖∇ ( )‖. cos dengan adalah sudut antara u dan ∇ ( ). Minimum dicapai dengan cos = −1 (atau = ),
Sehingga = ∇ ( )‖∇ ( )‖ (1)u ∇ ( )
Pada metode steepest descent, sebagai direction (arah) gerakan adalah seperti pada (1) de-ngan tidak memperhatikan skalar (norm dari ∇ ( )), jadi= −∇ ( ) (2)(arah yang diambil adalah negatif dari vektor gradien).
Secara umum, metode ini dimulai dari vektor awal dan secara iteratif bergerak menujuke arah optimum (minimum) menurut aturan := + = − ∇ ( ) (3)dimana adalah panjang langkah optimum sepanjang arah .
AlgoritmaInput : f ∶ R → R, f konveks,∇f vektor asal x ∈ R , toleransi α, k = 0.Step 1 : (line search)
Cari titik minimum fungsi satu variabelg (λ) = f (x − λ∇f (x )), misal minimum adalahStep 2: Set : =x − λ ∇f(x ).
Jika ‖∇f (x )‖ < : STOP , ∗ = , jika tidak set k : = k + 1, ulangi step 1 dan 2.
Gambar 1 berikut memperlihatkan minimisasi dengan menggunakan metode steepestdescent untuk fungsi dua variabel dengan contour-contour elliptik.
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Titik awal1
2
34 5
X2
X1
XMin
Gambar 1
Contoh Kasus1. Diketahui: A = 1 11 2 , B = −1−1 , C = 0, = akan dicari minimum dari fungsi kuadra-
tik f(x) yang diperoleh dari matriks A, B, x dan konstanta c diatas, dengan toleransi α = 0,01dan dimulai dadri titik awal = 00 .
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS
Pertanyaan:1. Nining: Apakah turunan kedua dari fungsi lebih dari 0 bisa menjamin kalau
merupakan titik minimum?Jawab: Jika turunan kedua dari fungsi bernilai lebih dari 0,maka bisa menjaminkalau merupakan titik minimum. Jika nilai turunan keduanya kurang dari 0, makamerupakan titik maksimum.
2. Antin : Bisakah metode ini digunakan untuk menyelesaikan fungsi dengan n variabel?Bagaimana penjelasan dari gambar halaman 48?Jawab: Metode ini dapat digunakan untuk fungsi dengan n variabel. Apabila fungsitersebut merupakan fungsi konveks. Maka dapat dselesaikan dengan metode ini.Gambar pada halaman 48 dengan menggunakan contour-contour. Contour adalahbayangan fungsi yang di plot pada bidang .
3. Rani: Apa perbedaan metode ini dengan Metode Univariat?Jawab: Metode ini akan menghasilkan nilai pendekatan dan menggunakan nilai ,sedangkan metode univariat mengahasilkan nilai eksak dan menggunakan nilai .
4. Indri: Bagaimana penentuan nilai pada metode ini?Jawab: Nilai biasanya ditentukan sendiri. Semakin kecil nilai , semakin dekat pulanilai pendekatan yang diperoleh. Kendalanya, semakin kecil nilai , maka semakinbanyak pula perhitungan iterasi yang harus dilakukan untuk mendapatkan nilaiminimum.