Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan VIII Pendugaan Parameter (1) Septian Rahardiantoro - STK IPB 1 Septian Rahardiantoro
Metode Statistika STK211/ 3(2-3)
Pertemuan VIII
Pendugaan Parameter (1)
Septian Rahardiantoro - STK IPB 1
Septian Rahardiantoro
Pendahuluan
Populasi (N)
Parameter
Contoh (n)
Penarikan Contoh
statistik
Diperoleh data contoh
- Statistika Deskriptif - Eksplorasi data - Ukuran pemusatan dan
penyebaran - Statistika Inferensia
- Pendugaan Parameter - Pengujian Hipotesis - Analisis data
MATERI UAS
Septian Rahardiantoro - STK IPB 2
Populasi :
Parameter
Sampel : Statistik
Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi
PENDUGA TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM MINIMUM
Pengetahuan mengenai sebaran penarikan contoh
Septian Rahardiantoro - STK IPB 3
STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER
TARGET PENDUGA TITIK
Septian Rahardiantoro - STK IPB 4
PENDUGA TITIK
Penduga titik nilai parameter diduga oleh sebuah nilai statistik
Septian Rahardiantoro - STK IPB 5
Sifat Penduga Titik
parameter
Penduga tak bias dan ragam kecil
parameter
Penduga berbias dan ragam kecil
parameter
Penduga tak bias dan ragam besar
parameter
Penduga berbias dan ragam besar
Pendugaan Parameter
Septian Rahardiantoro - STK IPB 6
Penduga Titik
21 xx
p
21ˆˆ pp
x p̂
21 21 pp
2
2
2
1
s
s
2
2
2
1
2s
2
1 populasi 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 7
Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval
Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan
Penduga selang konsep peluang SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL)
TARGET PENDUGA TITIK
PENDUGA SELANG
Penduga Selang
Selang Kepercayaan
Suatu nilai a dan b dengan a<b, yang memuat parameter dengan peluang 1 − 𝛼 (dengan 𝛼 merupakan peluang kesalahan yg ditoleransi)
Selang kepercayaan (1 − 𝛼) 𝑃 𝑎 < 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 < 𝑏 = 1 − 𝛼
Berarti: apabila dilakukan percobaan sebanyak 𝑘 kali untuk dibuat selang kepercayaan, maka ada sebanyak (1 − 𝛼 )× 𝑘 selang yang terbentuk yang memuat parameter
Septian Rahardiantoro - STK IPB 8
Jenis Penduga Selang
Penduga selang untuk rata-rata
Penduga selang untuk proporsi
1 populasi 2 populasi
𝜎 diketahui
𝜎 tidak diketahui
Saling bebas
Data berpasangan
𝜎 diketahui
𝜎 tidak diketahui diasumsikan sama
𝜎 tidak diketahui diasumsikan beda
1 populasi 2 populasi
Septian Rahardiantoro - STK IPB 11
Rataan contoh merupakan PENDUGA TITIK tak bias bagi
s2 merupakan PENDUGA TITIK tak bias bagi 2
2
x s2
1.96 x 1.96
x
BOUND OF ERROR
Dugaan Selang Kepercayaan (1 − 𝛼) bagi 𝜇
Septian Rahardiantoro - STK IPB 12
nzx
nzx
22
n
stx
n
stx
nn )1()1( 22
Syarat :
kondisi 2
diketahui
Tidak
diketahui 2 diduga dengan s2
Latihan 1
• Sebuah mesin minuman ringan diatur sehingga banyaknya minuman yang dikeluarkan menyebar normal dengan simpangan baku 1.5 desiliter.
• Tentukan Selang kepercayaan 95% bagi rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin ini, bila suatu contoh acak 36 gelas mempunyai isi rata-rata 22.5 desiliter
Septian Rahardiantoro - STK IPB 13
Jawaban Latihan 1
Diketahui: 𝜎= 1.5; 𝛼= 5%; 𝑛 = 36; 𝑥 = 22.5 SK 95% bagi 𝜇 (𝜎 diketahui)
𝑥 − 𝑧𝛼2
𝜎
𝑛< 𝜇 < 𝑥 + 𝑧𝛼
2
𝜎
𝑛
22.5 − 𝑧0.0251.5
36< 𝜇 < 22.5 + 𝑧0.025
1.5
36
22.5 − 1.96 0.25 < 𝜇 < 22.5 + 1.96 0.25 22.01 < 𝜇 < 22.99
Jadi kita percaya bahwa pada selang 22.01 sampai 22.99 dl memuat rataan banyaknya minuman yang dikeluaran mesin pada 𝛼=5%
Septian Rahardiantoro - STK IPB 14
Latihan 2
• Suatu contoh acak 36 mahasiswa tingkat akhir menghasilkan nilai tengah dan simpangan baku nilai mutu rata-rata sebesar 2.6 dan 0.3.
• Buat selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah seluruh mahasiswa tingkat akhir!
Septian Rahardiantoro - STK IPB 15
Untuk latihan mandiri
Ukuran Contoh Optimum
Septian Rahardiantoro - STK IPB 16
2
22
2/
e
zn
n = ukuran contoh 2 = ragam populasi e = batas kesalahan pendugaan = bound of error
Latihan 3
• Berapa ukuran contoh yang diperlukan pada tingkat kepercayaan 95% untuk kasus rata-rata banyaknya minuman yang dikeluarkan oleh mesin (Latihan 1) bila rata-rata contoh berada pada 0.3 desiliter dari nilai tengah sebenarnya?
Septian Rahardiantoro - STK IPB 17
𝑛 =
𝑧𝛼2
2𝜎2
𝑒2=
1.96 2 1.5 2
0.3 2= 96.04 ≈ 97
Penduga selang untuk selisih rata-rata (𝜇) 2 populasi saling bebas
Septian Rahardiantoro - STK IPB 18
Dugaan Selang Kepercayaan (1 − 𝛼) bagi 𝜇1 − 𝜇2
Septian Rahardiantoro - STK IPB 20
a. Jika 𝜎12 dan 𝜎2
2 diketahui
𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑧𝛼2
𝜎12
𝑛1+𝜎22
𝑛2< 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑧𝛼
2
𝜎12
𝑛1+𝜎22
𝑛2
Dugaan Selang Kepercayaan (1 − 𝛼) bagi 𝜇1 − 𝜇2
Septian Rahardiantoro - STK IPB 21
b. Jika 𝜎12 dan 𝜎2
2 tidak diketahui dan diasumsikan sama
𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑡𝛼2 𝑣
𝑠𝑔𝑎𝑏2
1
𝑛1+
1
𝑛2< 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑡𝛼
2 𝑣𝑠𝑔𝑎𝑏2
1
𝑛1+
1
𝑛2
𝑠𝑔𝑎𝑏2 =
𝑛1 − 1 𝑠12 + 𝑛2 − 1 𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2
Dugaan Selang Kepercayaan (1 − 𝛼) bagi 𝜇1 − 𝜇2
Septian Rahardiantoro - STK IPB 22
c. Jika 𝜎12 dan 𝜎2
2 tidak diketahui dan diasumsikan beda
𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑡𝛼2 𝑣
𝑠12
𝑛1+𝑠22
𝑛2< 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑡𝛼
2 𝑣
𝑠12
𝑛1+𝑠22
𝑛2
11
2
2
2
2
21
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
nn
sn
ns
ns
ns
v
Latihan 4
• Suatu perusahaan taksi sedang mengevaluasi apakah akan menggunakan Ban A atau Ban B. Untuk menduga beda kedua merk tersebut, dilakukan percobaan dengan mengambil 12 ban untuk masing-masing-masing merk. Semua ban tersebut dicoba, dan dicatat lama waktunya sampai harus diganti (dalam hari).
• Sample N Mean StDev
1 12 36300 5000
2 12 38100 6100
• Buatlah SK 95% bagi selisih rataan ban tersebut jika ragam populasi diasumsikan sama
Septian Rahardiantoro - STK IPB 23
Jawaban Latihan 4
SK 95% bagi 𝜇1 − 𝜇2 (ragam populasi tidak diketahui dan diasumsikan sama)
Misal: 1 Ban A, 2 Ban B
Septian Rahardiantoro - STK IPB 24
𝑥 1 − 𝑥 2 − 𝑡𝛼2 𝑣
𝑠𝑔𝑎𝑏2
1
𝑛1+
1
𝑛2< 𝜇1 − 𝜇2 < 𝑥 1 − 𝑥 2 + 𝑡𝛼
2 𝑣𝑠𝑔𝑎𝑏2
1
𝑛1+
1
𝑛2
−1800 − 𝑡0.025 22 2276.877 < 𝜇1 − 𝜇2 < −1800 + 𝑡0.025 22 2276.877
−1800 − 2.073873 2276.877 < 𝜇1 − 𝜇2 < −1800 + 2.073873 2276.877 −6521.954 < 𝜇1 − 𝜇2 < 2921.954
Jadi kita percaya bahwa pada selang −6521.954 sampai 2921.954 memuat selisih rataan daya tahan Ban A dan Ban B pada 𝛼=5%
Latihan 5
• Suatu penelitian dilakukan untuk mengetahui rataan waktu yang dibutuhkan (dalam hari) untuk sembuh dari sakit flu. Terdapat dua grup, satu grup sebagai kontrol dan grup lainnya diberi vitamin C dengan dosis 4 mg/hari. Statistik yang diperoleh dari peneltian tersebut sebagai berikut :
• Buatlah selang kepercayaan 95% bagi beda rata-rata waktu yang diperlukan untuk sembuh dari group kontrol dibandingkan dengan yang diberi vitamin C (4 mg/hari)! Asumsikan data menyebar normal dan ragam populasi diasumsikan sama.
Septian Rahardiantoro - STK IPB 25
Perlakuan Kontrol Vitamin C : 4 mg
Ukuran contoh 35 35 Rataan contoh 6.9 5.8 Simpangan baku contoh
2.9 1.2
Untuk latihan mandiri
Penduga selang untuk rata-rata selisih 2 populasi tidak saling bebas
(data berpasangan)
Septian Rahardiantoro - STK IPB 26
Septian Rahardiantoro - STK IPB 27
Diberi pakan tertentu
Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci
Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci
Setelah periode tertentu
Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal
Septian Rahardiantoro - STK IPB 28
d
d
Dugaan selang
2 2( 1) ( 1)
d ddn n
s sd t d t
n n
Selang kepercayaan (1-)100% bagi d
Pasangan data 1 2 3 … n
Data awal (X1) x11 x12 x13 … x1n
Data akhir (X2) x21 x22 x23 … x2n
𝑑 = X1 – X2 d1 d2 d3 … dn
𝑠𝑑2 =
𝑑𝑖 − 𝑑 2
𝑖
𝑛 − 1; 𝑑𝑖 = 𝑥1𝑖 − 𝑥2𝑖
Latihan 6
• Suatu klub kesegaran jasmani ingin mengevaluasi program diet, kemudian dipilih secara acak 10 orang anggotanya untuk mengikuti program diet tersebut selama 3 bulan. Data yang diambil adalah berat badan sebelum dan sesudah program diet dilaksanakan, yaitu:
• Dugalah selang kepercayaan 95% bagi rata-rata selisih berat badan tersebut!
Septian Rahardiantoro - STK IPB 29
Berat Badan Peserta
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sebelum (X1) 90 89 92 90 91 92 91 93 92 91
Sesudah (X2) 85 86 87 86 87 85 85 87 86 86
D=X1-X2 5 3 5 4 4 7 6 6 6 5
Jawaban Latihan 6
• SK 95% bagi rata-rata selisih (𝜇𝑑) data berpasangan
Septian Rahardiantoro - STK IPB 30
𝑑 − 𝑡𝛼2 𝑛−1
𝑠𝑑
𝑛< 𝜇𝑑 < 𝑑 + 𝑡𝛼
2 𝑛−1
𝑠𝑑
𝑛
5.1 − 𝑡0.025 9
1.197
10< 𝜇𝑑 < 5.1 + 𝑡0.025 9
1.197
10
5.1 − 2.262157 0.3785246 < 𝜇𝑑 < 5.1 + 2.262157 0.3785246 4.243718 < 𝜇𝑑 < 5.956282
Jadi kita percaya bahwa pada selang 4.243718 sampai 5.956282 memuat rata-rata selisih berat badan sebelum dan setelah program diet pada 𝛼=5%