Metode Statistika STK211/ 3(2-3) - stat.ipb.ac.id FKH 2018-2019/STK211... · ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. ... Akan dibentuk susunan pengurus

Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Pertemuan IV

Konsep Peluang

Septian Rahardiantoro - STK IPB 1

Quiz

• Kerjakan selama 20 menit

• Diketahui data contoh:

10 40 50 30 90 70 80 30 40 xx

• Gantilah nilai xx dengan 2 digit terakhir NIM anda

• Hitunglah statistik 5 serangkai, dan buatlah box-plot nya



Populasi

Contoh1

Parameter 𝜇

Statistik 𝑥

Pengambilan contoh dari populasi untuk pendugaan parameter

Setara dengan

UMUM

DIDUGA

KHUSUS

Pola pikir INDUKSI

Muncul KETIDAKPASTIAN


KETIDAKPASTIAN

bersifat ACAK • Suatu fenomena dikatakan ACAK jika hasil dari suatu percobaan

bersifat tidak pasti • Fenomena ACAK sering mengikuti suatu pola tertentu • Keteraturan ACAK dalam jangka panjang dapat didekati secara

matematika • Studi matematika mengenai KEACAKAN TEORI PELUANG –

peluang merupakan suatu bentuk matematika dari sifat acak tersebut

• dengan ilmu peluang, kita dapat membuat daftar serentetan kemungkinan kejadian yang dapat terjadi

Teori Peluang

• Ada dua tipe percobaan:


Deterministik :

Suatu percobaan yang menghasilkan output yang sama

We are waiting the

bus

Probabilistik : Hasil dari percobaan bisa

sembarang kemungkinan hasil yang ada

Lama menunggu sampai bus datang


Bagaimana menghitung banyaknya kemungkinan?

Perlu pengetahuan mengenai RUANG CONTOH dan RUANG KEJADIAN

perlu pengetahuan mengenai KAIDAH PENGGANDAAN, KOMBINASI, & PERMUTASI

dapat dihitung peluang kejadian dari suatu percobaan

Ruang Contoh adalah suatu

gugus yang memuat semua hasil yang berbeda, yang mungkin terjadi dari suatu percobaan. • Notasi dari ruang contoh: S = {e1, e2, …, en},

n = banyaknya hasil (n bisa terhingga atau tak terhingga)

Ruang Kejadian adalah anak

gugus dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu. • Ruang kejadian biasanya

dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).


Ilustrasi 1

Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas

Percobaan:

Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG}

Kejadian A:

Munculnya sisi Gambar

Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG}

Kejadian B:

Munculnya sisi yang sama

Ruang Kejadian: A = {AA, GG}


Ilustrasi 2

Pelemparan 2 dadu setimbang yang saling bebas

Percobaan:

Ruang Contoh: S = { 11, 12, …, 65, 66}

Kejadian A:

Jumlah dadu ganjil

dst

Ruang Kejadian: A = {12, 14, 16, 21, 23, 25, 32, 34, 36, 41, 43, 45, 52, 54, 56, 61, 63, 65}

Lalu bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian?

N(S) = 36 n(A) = 18


Review

Faktorial Jika n adalah bilangan bulat positif, maka n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1)

n! = n (n-1)! Kasus khusus 0! 0! = 1 Contoh :

4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120 6! = 6.5! = 720 10! =……………..

Kaidah Penggandaan

Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas.

N(S) = n1 × n2 × … × nk

Contoh: • Melempar 3 buah mata uang: N(S) = 2 × 2 × 2 = 8 • Melempar 2 buah dadu: N(S) = 6 × 6 = 36


Review

Permutasi Permutasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih DIPERHATIKAN.

Ilustrasi • Misalkan memilih orang untuk membentuk kepengurusan

suatu organisasi, dimana jika Si A terpilih menempati posisi ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua.

• Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara :

K WK B

5 4 3 = 60

Permutasi tingkat 3 dari 5 objek

60!2

!2.3.4.5

!2

!5

)!35(

!55

3

P

Permutasi tingkat r dari n unsur/objek

! ( 1) ( 2) ... 0!

( )! ( ) ( 1) ... 0!

n

r

n n n nP

n r n r n r


Review

Kombinasi Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN

Ilustrasi • Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu

sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

• Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menempati tempat duduk yang tersedia

A B C

A B D

A B E

A C D

A C E

A D E

B C D

B C E

B D E

C D E

A B C D E Kombinasi 3 dari 5

10!3!2

!3.4.5

!3!2

!5

!3)!35(

!5

3

5

Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek

! ( 1) ( 2) ... 0!

( )! ! ( ) ( 1) ... 0! !

n

r

n n n nC

n r r n r n r r

Contoh 1

• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk!


L L L L L

P P P P

Dipilih 2 orang

Dipilih 1 orang

Banyak tim yang terbentuk

5241= 10 × 4 = 40


Setelah mengetahui tentang konsep dasar dalam penentuan banyaknya kemungkinan dalam suatu kejadian, maka selanjutnya konsep yang penting untuk dipelajari ialah konsep PELUANG

Peluang

• Pendekatan klasik terhadap penentuan nilai peluang diberikan dengan menggunakan nilai frekuensi relatif.

• Andaikan dilakukan percobaan sebanyak N kali, dan kejadian A terjadi sebanyak n N kali maka peluang A didefinisikan sebagai P(A) = n/N

Hukum Bilangan Besar

P(A) m/n Jika suatu proses atau percobaan diulang sampai beberapa kali (DALAM JUMLAH BESAR = n), dan jika karakteristik A muncul m kali maka frekuensi relatif, m/n, dari A akan mendekati peluang dari A

Contoh 2

• Dari ilustrasi 1, percobaan pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas, tentukan peluang kejadian A = Munculnya sisi Gambar

• N(S) = 4, n(A) = 3 P(A) = n(A)/N(S) = ¾

• Dari contoh 1, tentukan peluang susunan tim yang mungkin terbentuk dgn kondisi tersebut!

• N(S) = 93

= 84, n(A) = 40 P(A) = n(A)/N(S) = 10/21



Aksioma Peluang

Beberapa kaidah sebaran peluang, yaitu: 1. 0 P(xi) 1, untuk i=1,2, …, n 2. Jumlah peluang seluruh kejadian dalam ruang contoh adalah 1,

𝑃 𝑥𝑖 = 1

3. P(A1+A2+…+Am) = P(A1)+P(A2)+…+P(Am), jika A1, A2, …, Am merupakan kejadian-kejadian yang terpisah.

Hukum Penjumlahan dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Jika A dan B saling lepas (mutually exclusive), P(AB) =0, sehingga

P(AB) = P(A) + P(B)

A B A B

A B


Hukum Perkalian dalam Peluang

Jika terdapat dua kejadian A dan B maka

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Kejadian Saling Bebas

• Kejadian saling bebas adalah kejadian-kejadian yang tidak saling mempengaruhi.

• Peluang dari dua buah kejadian yang saling bebas adalah:

P(AB)=P(A).P(B)

Catatan: Jika A dan B adalah dua kejadian saling lepas, serta P(A) > 0 dan P(B) > 0, maka A dan B adalah dua kejadian yang tidak bebas Karena: P(AB)=0, sedangkan P(A)P(B) > 0

Contoh 3

• Peluang bayi berjenis kelamin laki-laki diketahui 0.6. Jika jenis kelamin anak pertama (A) dan kedua (B) saling bebas, berapa peluang jenis kelamin anak pertama dan anak kedua laki-laki?


P(A B)= P(A).P(B)=(0.6)(0.6)=0.36


Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat adalah peluang suatu kejadian (A) jika kejadian lain (B) diketahui telah terjadi.

Peluang A jika diketahui B

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Jika kejadian A dengan B saling bebas maka

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)=𝑃 𝐴 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐵)= 𝑃(𝐴)

Contoh 4

• Dalam sebuah kotak berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Jika diambil dua buah bola tanpa pemulihan. Berapakah peluang bola kedua berwarna merah (M) jika pada pengambilan pertama diketahui berwarna biru (B).


diambil 2 bola

Pengambilan 1 Pengambilan 2

M 2/5 M 1/4

B 3/4

B 3/5 M 1/2

B 1/2

𝑃 𝑀 𝐵 =𝑃(𝑀 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

=1

2


Teorema Bayes

Peluang bersyarat dengan kondisi yang diketahui ialah kejadian kedua, sedangkan yang dicari ialah kejadian pertama

Kejadian pertama A tersekat menjadi beberapa bagian A1, A2, …, Ak, dengan kejadian B terjadi setelahnya, maka

𝑃 𝐵 = 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)

A1 ………. Ak

Kejadian B

B=(BA1) + (BA2) + …. + (BAk)

P(B)=P(BA1) + P(BA2) + …. + P(BAk)

Peluang Ai bersyarat B

𝑃 𝐴𝑖|𝐵 =𝑃(𝐴𝑖 ∩ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Contoh 5

• Kota Bogor disebut kota hujan karena peluang terjadinya hujan (H) cukup besar yaitu sebesar 0.6. Hal ini menyebabkan para mahasiswa harus siap-siap dengan membawa payung (P). Peluang seorang mahasiswa membawa payung jika hari hujan 0.8, sedangkan jika tidak hujan 0.4.

• Berapa peluang hari akan hujan jika diketahui mahasiswa membawa payung?



Misalkan :

H = Bogor hujan,

P = mahasiswa membawa payung

P(H) = 0.6 P(TH) = 1-0.6=0.4 P(P|H) = 0.8

P(P|TH) = 0.4

Ditanya : P(H|P)

Jawab :

( ) ( ) ( ) ( | )( | )

( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

0.6 0.8 0.48 0.48( | )

0.6 0.8 0.4 0.4 0.48 0.16 0.64

P H P P H P P H P P HP H P

P P P H P P TH P P H P P H P TH P P TH

P H P

Sesuai hukum perkalian peluang

Thank you, see you next week


Metode Statistika STK211/ 3(2-3) - stat.ipb.ac.id FKH 2018-2019/STK211... · ketua berbeda maknanya dengan Si A terpilih menempati posisi wakil ketua. ... Akan dibentuk susunan pengurus

Documents