BAB 3
BAB 3Metode Simpleks
A. Pengertian Metodesimpleksmerupakansalahsatuteknikpenyelesaian
dalam program linear yang digunakan sebagai teknik pengambilan
keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian
sumberdaya secara optimal. Metode simpleks digunakan umtuk mencari
nilai optimal dari program linear yang melibatkan banyak constraint
(pembatas) dan banyak variabel.
Penemuanmetodeinimerupakanlompatanbesardalamrisetoperasidandigunakan
sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program
komputer.A.PendahuluanMetodepenyelesaianprogramlinierdenganmetodesimplekspertamakalidikemukakanoleh
George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal ketika
diketemukan alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika
munculnya computer. Proses perhitungan metode ini dengan melakukan
iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal dan proses
perhitungan ini menjadi
mudahdengankomputer.Selanjutnyaberbagaialatdanmetodedikembangkanuntukmenyelesaikan
masalah program linear bahkan sampai pada masalah riset operasi
hingga tahun 1950an seperti pemrogaman dinamik, teori antrian, dan
persediaan.ProgramLiniermerupakanmetodematematikdalammengalokasikansumberdayayang
langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan atau
meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam membantu
menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, social, dan
lain-lain.Karakteristikpersoalandalamprogramlinieradalahsebagaiberikut
: Adatujuanyangingindicapai
Tersediabeberapaalternatifuntukmencapaitujuan
Sumberdayadalamkeadaanterbatas
Dapatdirumuskandalambentukmatematika(persaman/ketidaksamaan)
Contohpernyataanketidaksamaan:Untukmenghasilkansejumlahmejadankursisecaraoptimal,
total biaya yang dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang
tersedia.Adaduametodepenyelesaianmasalahyangdigunakan dalam program
linearmprogramlinier,yaitumetode
grafis(untuk2variabel)danmetodesimpleks(untuk2variabelataulebih).Beberapaketentuan
yang perlu diperhatikan dalam penyelesaian metode simpleks :1.
Nilaikananfungsitujuanharusnol(0)2.
Nilaikananfungsikendalaharuspositif.Apabilanegatif, nilai tersebut
harus dikali dengan .3.
Fungsikendaladengantandaharusdiubahkebentuk=denganmenambahkanvariabel
slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.
Penambahanslackvariabel menyatakan kapasitas yang tidak digunakan
untuk menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada
sumber daya tersebut. Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang
tersedia tidak semua digunakan dalam proses produksi.4.
Fungsikendaladengantandadiubahkebentukdengancaramengkalikandengan-1,
lalu diubah ke bentuk persamaan (=) dengan ditambah variabel slack.
Kemudian karena nilai kanannya negatif, dikalikan lagi dengan (-1)
dan ditambah artificial variabel (M)Artificial variabel ini secara
fisik tidak mempunyai arti, dan hanya digunakan untuk kepentingan
perhitungan saja.5.
Fungsikendaladengantanda=harusditambahartificialvariabel(M)
Metodesimplexmerupakanproseduraljabaryangbersifatiteratif,yangbergerakselangkah
demi selangkah, dimulai dari satu titik ekstrem pada daerah fisibel
(ruang solusi) menuju titik ekstrem optimum.
B.FORMULASIMODELPROGRAMLINIERMasalahkeputusanyangseringdihadapianalisadalahmengalokasikansecaraoptimum
keterbatasan/kelangkaan sumber daya dapat berupa uang, tenaga
kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi.
Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan
keterbatasan sumber daya itu. Hasil yang diinginkan mungkin
ditunjukan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan
dan kesejahteraan, atau minimasi pada biaya, waktu dan jarak.
Masalah optimasi ini dapat diselesaikan dengan program
linear.Langkah-langkah dalam penyusunan model program linier adalah
sebagai berikut : DefinisikanVariabelKeputusan(DecisionVariable)
Variabelyangnilainyaakandicari RumuskanFungsiTujuan:1.
MaksimisasiatauMinimisasi2. Tentukankoefisiendarivariabelkeputusan
RumuskanFungsiKendalaSumberdaya:1.
Tentukankebutuhansumberdayauntukmasing- masing peubah keputusan. 2.
Tentukanjumlahketersediaansumberdayasbgpembatas.
Tetapkankendalanon-negatif
Setiapkeputusan(kuantitatif)yangdiambiltidakbolehmempunyainilainegatif.
ContohPersoalan:(PerusahaanMeubel)Suatuperusahaanmenghasilkanduaproduk,mejadankursiyangdiprosesmelaluiduabagian
fungsi : perkitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60
jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja.
Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam perkitan dan 2 jam kerja
pemolesan, sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam
kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan. Laba untuk setiap meja
dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp.
60.000,-Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan
?Penyelesaian:Definisivariabelkeputusan:Keputusanyangakandiambiladalahberapakahjumlahmejadankursiygakandihasilkan.Jikameja
disimbolkan dengan M dan kursi dengan K, maka definisi variabel
keputusan
:M=jumlahmejayangakandihasilkan(dalamsatuanunit)K=jumlahkursiyangakandihasilkan(dalamsatuanunit)Perumusanpersoalandalambentuktabel:PROSESWaktuyangdibutuhkanperunitTotalJam
Tersedia
MejaKursi
Perakitan4260
Pemolesan2448
Laba/unit8000060000
Perumusanfungsitujuan:Labauntuksetiapmejadankursiygdihasilkanmasing-
masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000. tujuan perusahaan adalah untuk
memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yang dihasilkan .
dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis
FungsiMaks.:Laba=8M+6K(dalamsatuanRp.10.000)Perumusanfungsikendala:Dengankendala:
4M+2K60
2M+4K48Kendalanon-negatif:Mejadankursiyangdihasilkantidakmemilikinilainegatif.M0K0C.KetentuanPenggunaanTabelSimpleks
Fungsifungsibatasanmenggunakannotasi
FungsiBatasanharusdiubahdarikebentuk=denganmenambahkanslackvariable
(variabel surplus) yang dimulai dari Xn+1,Xn+2.Xn+m
Prosespengulangandihentikanapabilakoefisienkoefisien dari fungsi
tujuan sudah tidak ada yang negartif.
Bentuktabelsimpleksadalahsebagaiberikut:
Dimana:m=BanyaknyafungsiBatasan(kendala)n=BanyaknyavariableOuput=Batasansumber1=Batasansumber2bm=batasansumbermD.MetodeSIimpleksMaksimisasiUntukimplementasimetodesimpleksmaksimisasi,kasusyangdiambiladalahcontohpada
perusahaan meubel pada bagian 2. Tahapan-tahapannya dijelaskan pada
bagian
berikut.1.Menentukanfungsitujuandanfungsi-fungsikendalaMisalkan=Mejadan=KursiFungsiTujuan:Z=8+6Fungsi-fungsiKendala:1.
4+2602. 2+4 48 2.
MengubahfungsitujuandanfungsikendalakebentukstandarBentukStandarSimpleks:
Dengandanadalahvariabelslack.3.Membuattabelsimpleksawal
MenentukanKolomKuncidanBarisKuncisebagaidasariterasi.
KolomkunciditentukanolehnilaiZyangpalingkecil(Negatif)
BarisKunciditentukanberdasarkannilaiindeksterkecil.Caramenentukanindeks=
Menentukannilaielemencellyaitunilaiperpotonganantarakolomkuncidenganbariskunci.Langkah-langkah
di atas disajikan pada tabel simpleks berikut ini.
4.MelakukanIterasiDenganmenentukanbariskuncibarudanbaris- baris
lainnya termasuk Z.Membuatbariskuncibaru
MembuatbarisZbaru
MembuatbarisvariabelbaruBarisBaru=BarisLama (Nilai Kolom Kunci
Barisyang Sesuain* Baris Kunci Baru)BarisBaru=
Bariskuncibaru(),barisZbaru,barisbaru, nilai-nilainua sidajikan
pada tabel simpleks berikut. Tabel simpleks ini adalah tabel
simpleks hasil iterasi pertama.6.
LakukanIterasiKembalisampaitidakadanilaibarisZyang
negatif.MembuatbariskuncibaruBaris Kunci baru () =
Membuat baris Z baru
Membuatbarisvariabel baru
Bariskuncibaru(),barisZbaru,baris()baru,nilai-nilainya disajikan
pada tabel simpleks berikut. Tabel simpleks ini adalah tabel
simpleks iterasi kedua.
6.HasilKarenanilai- nilai pada baris Z sudah tidak ada yang
negatif, berarti iterasi selesai, dan solusi yang diperoleh adalah
dan nilai fungsi tujuan Z (laba) = 132 (dalam puluhan ribu rupiah).
Artinya, untuk memperoleh keuntungan yang maksimum sebesar Rp.
1.320.000,- maka perusahaan sebaiknya memproduksi meja sebanyak 12
unit dan kursi sebanyak 6 unit. Dari tabel tersebut juga diketahui
nilai dan tidak ada (artinya seluruh waktu kerja (perakitan dan
pemolesan) sudah habisdigunakan,tidakadawaktuyangtersisa.
F. KESIMPULANRingkasanProsedurMetodeSimpleks
Formulasikanpersoalankedalammodellinear
TambahkanvariabelSlackpadamasing- masing constraint (pembatas )
untuk memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk
identifikasi solusi feasible awal dari pembatas bertanda lebih
kecil atau sama dengan. Buattabelsimpleksawal(initialsimplextable)
PilihKolomKunci,yangmemilikinilaiZterkecil.
PilihBarisKunciyangmemilikinilaiindeksterkecil.Nilaiindeksadalahperbandingan
antara nilai kanan dengan kolom kunci.
Menentukannilaielemencellyaitunilaiperpotonganantarakolomkuncidenganbaris
kunci.
Lakukaniterasi,denganmembuatbariskuncibaru,barisZbaru,danbarisvariabel-variabel
slack baru.BariskuncibaruditentukandenganMembagibarisku nci lama
dengan elemen cell. BarisZBarudanbaris-baris lainnya ditentukan
dengan cara = baris lama (nilai kolom kunci yang sesuai*baris kunci
baru) Letakkannilai-nilai baris yang baru diperoleh tadi ke dalam
tabel.
JikapadabarisZmasihterdapatnilainegatif,makaulangiprosedur4kembali
82