2/11/2008 1 TI2231 Penelitian Operasional I 1 Metode Simpleks (Simplex Method) Kuliah 03 TI2231 Penelitian Operasional I 2 Materi Bahasan ① Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk baku ② Pemecahan sistem persamaan linier ③ Prinsip-prinsip metode simpleks
28
Embed
Metode Simpleks Simplex Method metoda simpleks –Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis –Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
– Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in
sign of variables)
2/11/2008
5
TI2231 Penelitian Operasional I 9
Pembatas Pertidaksamaan (1)
• Karena bentuk baku memerlukan semua
pembatas harus dinyatakan dengan dalam
persamaan, pembatas pertidaksamaan harus
diubah ke persamaan.
• Ini dilakukan dengan penambahan variabel
baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri
dan kanan pada tiap pertidaksamaan.
• Variabel baru tersebut disebut slack variable
TI2231 Penelitian Operasional I 10
Pembatas Pertidaksamaan (2)
2x1 + 5x2 ≥ 18 ⇒ 2x1 + 5x2 – x4 = 18
x4 ≥ 0
x1 + 4x2 10 ⇒ x1 + 4x2 + x3 = 10
x3 ≥ 0
2/11/2008
6
TI2231 Penelitian Operasional I 11
Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (1)
• Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel
yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)
• Karena bentuk baku PL memerlukan semua
variabel adalah tak negatif, maka variabel yang
tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua
variabel tak negatif
TI2231 Penelitian Operasional I 12
Variabel yang Tak Dibatasi Tanda (2)
x1 + x5 = 50
x1 ≥ 0
x5 tak dibatasi tanda
x5 = x6 – x7
x1 + x6 – x7 = 50
x1 ≥ 0, x6 ≥ 0, x7 ≥ 0
2/11/2008
7
TI2231 Penelitian Operasional I 13
Definisi Dasar (1)
• Suatu solusi layak (feasible solution) adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b.
• Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis,
S = {x | Ax = b, x ≥ 0}
Jika himpunan layak S adalah kosong maka masalah PL dikatakan tak layak (infeasible)
TI2231 Penelitian Operasional I 14
Definisi Dasar (2)
• Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu
vektor x* yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx*)
lebih besar dari semua solusi layak yang lain.
Secara matematis,
x* adalah optimal x* S dan cx* ≥ cx, x S
• Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL adalah
nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi
optimal. Jika Z* adalah nilai optimal maka Z* = cx*
2/11/2008
8
TI2231 Penelitian Operasional I 15
Definisi Dasar (3)
• Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).
• Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal.
• Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu maks. Z +, maka PL dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution)
TI2231 Penelitian Operasional I 16
② Pemecahan Sistem Persamaan Linier
2/11/2008
9
TI2231 Penelitian Operasional I 17
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (1)
• Permasalahan matematis utama dalam
pemrograman linier adalah mendapatkan solusi
dari suatu sistem persamaaan linier yang
memaksimumkan atau meminimumkan suatu
fungsi tujuan linier.
• Sistem persamaan linier dapat diselesaikan
dengan menggunakan prosedur klasik Gauss-
Jordan elimination.
TI2231 Penelitian Operasional I 18
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (2)
x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2
x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4
Sistem dengan dua persamaan dengan lima
variabel yang tak diketahui
•Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak
diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai
lebih dari satu solusi.
•Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem
disebut himpunan solusi (solution set)
(S1)
2/11/2008
10
TI2231 Penelitian Operasional I 19
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (3)
• Sistem ekivalen (equivalent system)
– Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika
kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang
sama.
• Metode untuk memecahkan suatu sistem
persamaan adalah mendapatkan suatu sistem
ekivalen yang mudah untuk dipecahkan.
TI2231 Penelitian Operasional I 20
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (4)
• Terdapat dua tipe operasi baris elementer
untuk mendapatkan sistem ekivalen
– Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem
dengan suatu bilangan positif atau negatif.
– Menambahkan ke sebarang persamaan dengan
suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol)
ke sebarang persamaan yang lain.
2/11/2008
11
TI2231 Penelitian Operasional I 21
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5)
x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2
x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2
x1 – x3 – 2x4 – 4x5 = 6
x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2
(S2)
(S3)
x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2
x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4(S1)
TI2231 Penelitian Operasional I 22
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (6)
• Sistem S1, S2 dan S3 adalah ekivalen, yaitu solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain.
• Untuk sistem S3, x4 = x5 = x6 = 0 akan memberikan x1 = 6, x2 = 2.
• Sistem S3 disebut sistem kanonik (canonical system).
• Variabel x1 dan x2 dari sistem kanonik disebut variabel basis (basic variable).
2/11/2008
12
TI2231 Penelitian Operasional I 23
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (7)
• Variabel basis (basic variable)
– Variabel xi dikatakan sebagai variabel basis jika dalam
suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada
persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain.
• Variabel non basis (nonbasic variable)
– Variabel yang bukan variabel basis.
• Operasi pivot (pivot operation)
– Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu
sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk
menghasilkan variabel basis.
TI2231 Penelitian Operasional I 24
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (8)
• Solusi basis (basic solution)
– Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik
dengan menetapkan nilai variabel non basis sama
dengan nol dan memecahkan variabel basis.
• Solusi basis layak (basic feasible solution)
– Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah
tak negatif.
2/11/2008
13
TI2231 Penelitian Operasional I 25
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (9)
• Dengan m pembatas dan n variabel, jumlah
maksimum dari solusi basis bagi PL dalam
bentuk baku adalah terbatas dan diberikan oleh
!!
!
mnm
n
m
n
• Per definisi, setiap solusi basis layak adalah
solusi basis, maka jumlah maksimum solusi
basis layak adalah juga terbatas dengan
hubungan ini.
TI2231 Penelitian Operasional I 26
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (10)
• Dari kesimpulan dengan metode grafis:
– Jika terdapat suatu solusi optimal dari model PL, salah satu
titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi
optimal.
• Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik
pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi
basis layak dari persamaan pembatas.
• Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari model PL
dapat diperoleh hanya dengan memeriksa solusi basis
layaknya.
2/11/2008
14
TI2231 Penelitian Operasional I 27
Pemecahan Sistem Persamaan Linier (11)
• Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan
masalah PL (yang mempunyai solusi optimal)
dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis
layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan
menentukan solusi basis layak mana yang
memberikan nilai fungsi tujuan terbaik.
• Dengan metode simpleks (simplex method),
pemecahan lebih efisien karena hanya memeriksa
sebagian solusi basis layak.
TI2231 Penelitian Operasional I 28
③ Prinsip-prinsip Metode Simpleks
2/11/2008
15
TI2231 Penelitian Operasional I 29
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (1)
• Metode simpleks (simplex method), yang dikembangkan oleh G.B. Dantzig, merupakan prosedur iteratif untuk memecahkan masalah PL dengan mengekspresikannya dalam bentuk baku.
• Metode simpleks memerlukan bahwa semua pembatas dinyatakan dalam bentuk sistem kanonik dimana suatu solusi basis layak dapat langsung diperoleh.
TI2231 Penelitian Operasional I 30
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (2)
• Langkah umum:
– Mulai dengan suatu solusi layak basis.
– Perbaiki solusi awal jika mungkin dengan mencari solusi layak basis yang mempunyai nilai fungsi tujuan yang lebih baik.
– Lanjutkan untuk mencari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan. Jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi, maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal dan metode simpleks berhenti.
Nilai fungsi tujuan Z = 3(0)+2(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0
TI2231 Penelitian Operasional I 34
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (6)
Memperbaiki solusi basis layak
• Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x1 = x2 = 0, x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 dengan Z= 0, metode simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar.
• Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal.
• Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) dengan nilai Z yang lebih besar.
2/11/2008
18
TI2231 Penelitian Operasional I 35
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (7)
• Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent
basic feasible solution) berbeda dengan solusi
basis layak (basic feasible solution) saat ini
hanya tepat satu variabel basis.
TI2231 Penelitian Operasional I 36
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (8)
• Untuk mendapatkan solusi basis layak tetangga, metoda simpleks
– Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel non basis
– Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi variabel basis
• Permasalahannya adalah memilih solusi basis dan solusi non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan maksimum pada nilai fungsi tujuan.
2/11/2008
19
TI2231 Penelitian Operasional I 37
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (9)
• Dalam solusi basis layak– Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif
– Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol
• Membuat variabel non basis menjadi variabel basis adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif.
• Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z
• Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z.
TI2231 Penelitian Operasional I 38
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (10)
Misalkan variabel non basis x1 dinaikkan 1 unit
x1 + x3 = 6
2x1 + x4 = 8
– x1 + x5 = 1
0x1 + x6 = 2
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 2, x6 = 2
Nilai fungsi tujuan
Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3
Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x1
Z = 3 – 0 = 3
2/11/2008
20
TI2231 Penelitian Operasional I 39
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (11)
Misalkan variabel non basis x2 dinaikkan 1 unit
2x2 + x3 = 6
x2 + x4 = 8
x2 + x5 = 1
x2 + x6 = 2
x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 7, x5 = 0, x6 = 1
Nilai fungsi tujuan
Z = 3(0)+2(1)+0(4)+0(7)+0(0)+0(1)= 2
Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x2
Z = 2 – 0 = 2
TI2231 Penelitian Operasional I 40
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (12)
• Karena Z positif untuk x1 dan x2 nilai
fungsi tujuan dapat dinaikkan.
• Karena Z untuk x1 > Z untuk x2 maka
menaikkan x1 lebih baik.
• Sampai seberapa jauh x1 dapat dinaikkan?
• Jika x1 dinaikkan maka nilai variabel basis : x3, x4, x5, x6 akan turun dan nilainya harus tak negatif
agar tetap layak.
2/11/2008
21
TI2231 Penelitian Operasional I 41
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (13)
Batas peningkatan x1:
x1 + x3 = 6 x1 = 6
2x1 + x4 = 8 x1 = 4
– x1 + x5 = 1 x1 =
0x1 + x6 = 2 x1 =
Maksimum peningkatan x1 = minimum (6, 4, , ) = 4
TI2231 Penelitian Operasional I 42
Prinsip-prinsip Metode Simpleks (14)
x1 dinaikkan ke 4, maka x4 menjadi variabel non basis