Instruktur : Ferry WahyuWibowo, S.Si., M.Cs. Metode Numerik (Pendahuluan)
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Metode Numerik
(Pendahuluan)
Kajian Pokok Metode NumerikTujuan: Menyelesaikan suatu persamaan menggunakan model
matematika.
Pemodelan penyelesaian matematika berbasis software untuk mendukung perhitungan manual
Mempelajari software matematika “Scilab” untuk mengaplikasikan Metode Numerik
KESEPAKATAN PERKULIAHAN
PENGANTAR NUMERIK
Masalah nyata
Model
matematika
Rumusan masalah
Solusi
Eksak
Pendekatan
Metode analitik vs Metode numerik
Metode analitik
- menghasilkan solusi eksak (galat = 0)
- menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematika
Metode numerik
- menghasilkan solusi pendekatan
- menghasilkan solusi dalam bentuk angka
Peranan komputer dalam Metode Numerik
Mempercepat perhitungan tanpa membuat kesalahan
Mencoba berbagai kemungkinan yang terjadi akibat perubahan parameter
Contoh aplikasi : Scilab, Mathlab, Mathcad, Mathematica dll
Mengapa perlu belajar Metode Numerik
1. Alat bantu yang ampuh (tidak dapat diselesaikan secara analitik)
2. Memudahkan dalam memahami aplikasi program
3. Dapat membuat sendiri program komputer yang tidak dapat diselesaikan dengan program aplikasi
4. Menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar
Prinsip perhitungan dalam numerik
Penggunaan metode/algoritma yang tepat sesuai kasus
“tidak ada algoritma untuk segalanya”
Mencari solusi pendekatan yang diperoleh dengan cepat dan
error kecil
Penyajian bilanganBilangan ada 2:
1. Eksak
2. Tidak eksak Perhitungan matematika tidak eksak , e,
Perhitungan desimal yang berulang 0.3333….
Hasil perhitungan deret tak hingga e
Hasil pengukuran
Desimal dan angka signifikan Misal
x = 0.05 2 desimal 1 angka signifikan
x = 0.30 2 desimal 2 angka signifikan
Angka signifikan adalah angka 0 yang diabaikan untuk yang berada dibelakang sedangkan dihitung untuk angka 0 yang berada di depan
Alur perhitungan
Sumber-sumber galat :
Galat yang ada pada input :
Chopping error
Rounding error
Bilangan yang dimasukkan bukan bilangan eksak
Input Proses Output
Galat yang ada pada proses : Rambatan galat
Rumus/metode/algoritma tidak tepat
Kesalahan alat
Human error
Galat pada output : Chopping error
Rounding error
Misal x adalah nilai eksak dan x*
adalah nilai pendekatan maka galat
= x – x*
Galat absolut a = |x – x*|
Galat absolut relatif
x
xxr
*
Macam-macam galat
1. Chopping error
Galat yang terjadi akibat proses pemenggalan angka sesuai desimal yang diminta
Contoh.
x = 0.378456x103 dipenggal hingga tiga desimal
x* = 0.378x103
galat a = |x – x*| = |0.378456x103 – 0.378x103|
= 0.000456x103 = 0.456
2. Round off error
Galat yang terjadi akibat membulatkan suatu nilai
Contoh.
x = 0.378546x103 dibulatkan menjadi 3 desimal
x* = 0.379x103
galat a = |x – x*|
= |0.378546x103 – 0.379x103|
= 0.000454x103 = 0.454
3. Truncation error
Galat yang muncul akibat pemotongan proses hitung tak hingga, misal deret Taylor, deret MacLaurin
Contoh.
...!7!5!3
sin753
xxx
xx
!5!3sin
53 xxxx
Nested form
Nested form menjadikan operasi perhitungan lebih efisien dan dapat meminimalisasi galat
Contoh. f(x) = 3 + 2.5x + 5.35x2 – 4x3
f(0.25) = 4.521875 Nested form f(x) = 3 + x(2.5+x(5.35+x(-4)))
f(0.25)=3.896875
Galat yang terjadi 0.625
Hilangnya angka signifikan Hilangnya angka signifikan terjadi jika dua buah
bilangan yang hampir sama dibandingkan. Hilangnya angka signifikan sering berakibat fatal bagi perhitungan numerik
Contoh.
13 = 13.0000 6 a.s
6 a.s
0.0385 3 a.s
9615.12168
Penyelesaian Pendekatan
Masalah yang sulit dievaluasiFungsi yang “rumit”
Fungsi pendekatan dengan menyederhanakan fungsi
Informasi tentang fungsi dalam bentuk tabel nilai (hanya sebagian informasi yang diketahui)
Fungsi pendekatan dengan pendekatan nilai dari data
Scilab
Menu Bar
Tool Bar
Membuat Matriks
Matriks Kuadrat
Matriks Diagonal
Matriks Identitas
Determinan Matriks
Invers dan Size Matriks
Operator Aritmatika
SIMBOL KETERANGAN
+ Penjumlahan
- Pengurangan
* Perkalian
/ Pembagian
\ Pembagian kiri
^ Kuadrat
‘ Transpos Matriks
Operator Pembanding
SIMBOL KETERANGAN
== Sama dengan
< Lebih kecil dari
> Lebih besar dari
<= Lebih kecil atau sama dengan
>= Lebih besar atau sama dengan
<> Atau ~= Tidak sama dengan
Variabel Khusus
KONSTANTA
KHUSUS
KETERANGAN
%pi π = 3,1415927…
%i
%e e = 2,7182818…
%t dan %f True atau False (Boolean)
1
Menuliskan fungsi
Mendefinisikan persamaan pada jendela kerja
deff(‘(out1,out2,..)=modul(in1,in2,…)’,’persamaan’)
SciNotes
Menuliskan program yang akan disimpan berekstensi *.sce atau *.sci
Penggunaan SciNotes
Pemanggilan Fungsi pada Scilab
Program Penjumlahan Matriks
Program Determinan
Program Determinan Gauss Jordan
Program Eliminasi Gauss
Terima Kasih