1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE În limbajul uzual, prin construcţie se înţelege o clădire executată din zidărie, lemn, metal, beton, etc., pe baza unui proiect, care serveşte la adapostirea oamenilor, animalelor, obiectelor, etc. (1 DEX). Terminologia tehnică defineste construcţia ca structură sau sistem fizic , aflat in permanentă acţiune cu mediul inconjurător. Intrările in sistem sunt acţiunile exercitate de mediu asupra structurii, iar răspunsul structurii la aceste acţiuni constituie iesirile din sistem . Orice construcţie are un schelet sau o structură de rezistenţă, alcătuită din elemente simple numite elemente de construcţii ( bare, plăci, blocuri). Având în vedere elementele care intră în componenţa structurilor de rezistenţă, acestea pot fi grupate în: - structuri din bare (articulate sau legate rigid în noduri); - structuri alcătuite din pereţi structurali (de zidărie portantă, din beton turnat monolit sau în panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.); - structuri mixte, alcătuite din bare şi pereţi structurali. Proiectarea unei construcţii este un proces complex în care ponderea cea mai mare o are analiza şi proiectarea structurii de rezistenţă (“structural analysis and design”). Prin această proiectare se urmăreşte realizarea unei structuri care să satisfacă exigenţele esenţiale funcţionale şi economice, cu asigurarea cerinţelor de rezistenţă, rigiditate, stabilitate şi durabilitate, deci a siguranţei in exploatare. 1.2. MODELAREA FIZICĂ A STRUCTURII, REAZEMELOR ŞI ACŢIUNILOR Avănd în vedere complexitatea de alcatuire a strucurilor de rezistenţă, a legăturilor interioare şi exterioare (rezemărilor), precum şi complexitatea încărcărilor şi a comportării materialelor constitutive, analiza şi proiectarea structurală se face pe un model structural simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construcţiei şi a elementelor de construcţii componente ca formă, dimensiuni geometrice, materiale constitutive şi chiar neglijând unele elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermică şi acustică, decorativ etc.). Similar, legăturile exterioare ale structurii (reazemele) şi cele interioare, dintre elemente, se idealizează reducându-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaţie, încastrare.
125
Embed
Metode numerice in calculul constructiilor- curs · 1 METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS 1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA CONSTRUCŢIILOR 1.1. INTRODUCERE
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
METODE NUMERICE IN CALCULUL CONSTRUCTIILOR - CURS
1.MODELE SI METODE DE CALCUL ÎN PROIECTAREA
CONSTRUCŢIILOR
1.1. INTRODUCERE
În limbajul uzual, prin construcţie se înţelege o clădire executată din zidărie, lemn,
metal, beton, etc., pe baza unui proiect, care serveşte la adapostirea oamenilor, animalelor,
obiectelor, etc. (1 DEX). Terminologia tehnică defineste construcţia ca structură sau sistem fizic,
aflat in permanentă acţiune cu mediul inconjurător. Intrările in sistem sunt acţiunile exercitate de
mediu asupra structurii, iar răspunsul structurii la aceste acţiuni constituie iesirile din sistem .
Orice construcţie are un schelet sau o structură de rezistenţă, alcătuită din elemente
simple numite elemente de construcţii ( bare, plăci, blocuri).
Având în vedere elementele care intră în componenţa structurilor de rezistenţă, acestea
pot fi grupate în:
- structuri din bare (articulate sau legate rigid în noduri);
- structuri alcătuite din pereţi structurali (de zidărie portantă, din beton turnat monolit
sau în panouri prefabricate, din materiale compozite, etc.);
- structuri mixte, alcătuite din bare şi pereţi structurali.
Proiectarea unei construcţii este un proces complex în care ponderea cea mai mare o are
analiza şi proiectarea structurii de rezistenţă (“structural analysis and design”). Prin această
proiectare se urmăreşte realizarea unei structuri care să satisfacă exigenţele esenţiale funcţionale şi
economice, cu asigurarea cerinţelor de rezistenţă, rigiditate, stabilitate şi durabilitate, deci a
siguranţei in exploatare.
1.2. MODELAREA FIZICĂ A STRUCTURII, REAZEMELOR ŞI
ACŢIUNILOR Avănd în vedere complexitatea de alcatuire a strucurilor de rezistenţă, a legăturilor
interioare şi exterioare (rezemărilor), precum şi complexitatea încărcărilor şi a comportării
materialelor constitutive, analiza şi proiectarea structurală se face pe un model structural
simplificat (idealizat). Aceasta presupune schematizarea construcţiei şi a elementelor de construcţii
componente ca formă, dimensiuni geometrice, materiale constitutive şi chiar neglijând unele
elemente neportante (cu rol de compartimentare, de izolare higrotermică şi acustică, decorativ etc.).
Similar, legăturile exterioare ale structurii (reazemele) şi cele interioare, dintre elemente,
se idealizează reducându-se la trei tipuri fundamentale: reazem simplu, articulaţie, încastrare.
2
Reazemele se diferenţiază în cazul plan, respectiv spaţial, prin numărul şi direcţia gradelor de
libertate blocate (total în cazul reazemelor fixe, parţial în cazul reazemelor elastice).
Acţiunile (încărcările) pe care trebuie să le preia o construcţie în decursul vieţii sale sunt
foarte variate ca natură, provenienţă şi mod de manifestare. Ele se schematizează şi se reduc la forţe
şi momente concentrate, respectiv distribuite, deplasări impuse, variaţii de temperatură. Clasificarea
acţiunilor se poate face după mai multe criterii, cum ar fi (RM1):
- după criteriul frecvenţei de apariţie la anumite intensităţi (acţiuni permanente – P,
acţiuni temporare – T, acţiuni excepţionale – E);
- după locul de aplicare (forţe masice sau de volum şi forţe de suprafaţă – active sau
reactive);
- după modul de acţiune în timp (acţiuni statice, respectiv dinamice);
- după poziţia acţiunilor în timp (acţiuni fixe, respectiv mobile).
În conceptul sistemic acţiunile constituie modelul de încarcare al structurii, definit prin
parametrii de intrare cunoscuţi (P).
Modelul structural căruia i se ataşează modelul de încarcare formează modelul
structural de calcul.
1.3. MODELAREA COMPORTĂRII MATERIALELOR Comportarea structurii de rezistenţă a oricărei construcţii este influenţată semnificativ de
materialele constitutive. Caracteristicile fizico-mecanice şi elastice ale materialelor se obţin pe
cale experimentală, prin încercări pe probe standardizate, în urma cărora se obţin curbe
caracteristice specifice fiecărui material. Diversitatea de curbe caracteristice ale materialelor
frecvent utilizate în construcţii a impus schematizarea lor prin folosirea unor modele de deformare
(reologice) simple, corespunzătoare celor trei tipuri de deformaţii elementare: elastice, plastice,
văscoase (JUD). Din acest punct de vedere există trei categorii de materiale, după cum urmează:
- materiale cu comportare elastică liniară, schematizează printr-un resort (modelul
fundamental Hooke), având curba carasteristică din fig. 1.1.a; comportarea elastică liniară este
descrisă matematic în cazul unei solicitări uniaxiale de legea lui Hooke:
σ = Eε (1.1)
unde E – constanta elastică a resortului este modulul de elasticitate longitudinal al
materialului. La solicitări bi sau triaxiale legătura σ – ε este precizată de legea generalizată a lui
Hooke;
- materiale cu comportare plastică, schematizează printr-o patină (modelul fundamental
Saint-Venant), curba caracteristică fiind cea din fig. 1.1.b; ecuaţia de stare (reologică) la solicitare
uniaxială este
σ = σc (1.2)
3
unde σc – valoarea tensiunii la care este invinsă frecarea dintre patine (limita de curgere a
materialului); la solicitări bi sau triaxiale se utilizează criterii (teorii) de curgere;
- materiale cu comportare văscoasă, la care viteza de deformare variază liniar sau
neliniar în raport cu tensiunea (beton, materiale plastice, etc.); modelul de deformare este
schematizat printr-un piston (modelul fundamental Newton- fig. 1.1.c), iar ecuaţia de stare care
descrie comportarea văscoasă este
σ = µέ (1.3)
unde µ - caracteristica pistonului ( coeficientul de văscozitate al materialului ), έ – viteza
de deformare.
Curbele caracteristice ale multor materiale cu comportare elastica sau văscoasă sunt
neliniare sau prezintă porţiuni neliniare. Un material cu comportare elastică pronunţat neliniară este
cauciucul (fig. 1.1d).
Fig. 1.1
Materialul constitutiv al unei construcţii poate avea, la un moment dat, două sau chiar
toate cele trei tipuri de deformaţii elementare, desigur în procente diferite, funcţie de material,
gradul de solicitare, temperatură, etc.
De aceea a fost necesară crearea de modele reologice compuse, obţinute prin legarea în
serie sau ăn paralel a modelelor fundamentale, ecuaţiile de stare obţinându-se similar, pe baza
condiţiilor de echilibru şi de compatibilitate geometrică a modelului compus.
4
Un astfel de model, prin care se aproximează comportarea elasto-plastică a oţelului, este
obţinut prin legarea în serie a unui resort cu o patină. Modelul elastic-perfect plastic obţinut
conduce la curba caracteristică din figura 1.2 a, numită şi curba Prandtl. Matematic, comportarea
acestui model se traduce printr-o ecuaţie de stare discontinuă;
σ = Eε – pentru ε < εe (σ < σc ) (1.4)
σ = σc - pentru ε > εe
unde εe - deformaţia specifică la limita de elasticitate a materialului.
Curba caracteristică a oţelului (fig. 1.2 b) poate fi aproximată şi mai bine printr-un
model elasto-plastic cu consolidare (fig. 1.2 c).
Fig. 1.2
În literatura de specialitate se întâlnesc şi alte modele complexe de comportare a
{ } [ ][ ] [ ]( ) { } [ ]{ }( )1r rr rr rr r rn nP k F I R k D
−= − − + (2.2.39)
care introdusa in prima, conduce la calculul deplasarilor cu relatia:
{ } { }1* *n nn nnD k P
−⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (2.2.40)
unde [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]( ) { }
{ } { } { } [ ][ ] [ ][ ] [ ]( ){ }
1*
1*
nn nn nr rr rr rr rr rn
nn n n nr rr rr rr rr r
k k k F k F I R
P P R k F k F I R
−
−
⎡ ⎤ = − −⎣ ⎦
= + + − (2.2.41)
Introducand {Dn} in (2.2.39) rezulta reactiunile {Pr}si din (2.2.34) eforturile din
extremitatile fiecarui e.f., cu care se traseaza diagramele.
Metoda prezentata este in intregime programabila la calculator si in aceste programe se
utilizeaza metode specifice de introducere a conditiilor de rezemare.
36
2.3 GRINZI SOLICITATE LA COMPRESIUNE CU INCOVOIERE
La astfel de structuri, actionate in general atat de incarcari normale pe axa barei cat si de
incarcari dirijate dupa axa, se ridica doua probleme de calcul: - cunoscandu-se incarcarile dupa axa barei si incarcarile transversale, trebuie determinate
deplasarile si eforturile, care sa tina seama de influenta fortei axiale asupra deplasarilor din incovoiere; acesta constituie calculul geometric neliniar sau de ordinul al II-lea;
- presupunand ca incarcarea dupa axa barei ar putea creste trebuie determinata acea valoare a acesteia, care conduce la echilibrul indiferent al structurii, numita incarcare critica; acesta constituie calculul de stabilitate al structurii – incarcare transversala poate sa existe si atunci pierderea de stabilitate se produce prin divergenta echilibrului sau pot sa nu existe incarcarile transversale si pierderea de stabilitate se produce prin bifurcarea echilibrului (flambaj).
1. Stabilirea ecuatiei diferentiale care guverneaza echilibrul elastic
Relatia diferentiala dintre eforturi si incarcari: - proiectie dupa axa Z
( ) 0Q dQ Q p x dx+ − + ⋅ = ⇒ ( )dQ p xdx
= − (1)
- moment in raport cu punctul G
( ) ( )2dxM Q dx N dw p x dx M dM+ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − + =
dM dwQ Ndx dx
= + (2)
≈ 0
dx
Daca efectul deformatiilor din forta taietoare cat si scurtarea grinzii sunt neglijate, atunci axa
deformata satisface ecuatia: 2
2
d wEI Mdx
= − (3)
EI – rigiditatea la incovoiere in planul x w(x) – sageata Derivand de doua ori ecuatia (3) si tinand seama de (1) si (2) =>
4 2 2
4 2 2
d w d M dQ d wEI Ndx dx dx dx
= − = − − ⇒4 2
4 2 ( )d w d wEI N p xdx dx
+ = (4)
37
Ecuatia (4) generalizeaza ecuatia diferentiala a incovoierii plane si pentru determinarea
constantelor de integrare, trebuie atasate acestei ecuatii conditii la limita, care depind de modul de rezemare a grinzii. Solutia ecuatiei diferentiale (4) de ordinul al IV-lea cu coeficienti constanti, se poate obtine prin:
metoda integrarii directe;metoda parametrilor in origine;
−−
metode analitice
metoda diferentelor finite;metoda elementelor finite.
−−
metode numerice
2. Metoda elementelor finite
Stabilirea modelului structural discretizat • Structura se raporteaza la un sistem de axe general (structural sau global) X1Z, si se
discrediteaza in elemente finite (tronsoane de bara), care se leaga intre ele prin noduri ca in fig. 2.
Fig. 2
Fiecarui nod i se acorda cate 2 G.D.L. (deplasarea liniara dupa axa Z – sageata wi si rotirea in jurul axei Y – θi) si se construieste vectorul {D} al deplasarilor nodale, iar in corespondenta biunivoca cu acesta vectorul {P} al actiunilor nodale concentrate la noduri:
• Elementul finit unidimensional curent este raportat la un sistem de axe propriu (local) – fig. 3
Fig. 3
• Fiecarei extremitati i se acorda cate 2 GDL (sageata si rotirea) si se construieste vectorul deplasarilor elementale, respectiv al eforturilor elementale:
{de}={W1 θ1 W2 θ 2}T
38
{Se}={ Q1 M1 Q2 M2}T
• Drept solutie aproximativa a ecuatiei diferentiale (4) se alege polinomul
3
2 3e 0 1 2 3
2e 1 2
= + x+ x + x
( )= = +2 x+3 x e
wdwxdx
α α α α
θ α α α (5) care in forma matriciala se scriu
{ }
02 3
12
2
3
( ) 1 ( )( ) 0 1 2 3 ' ( )
Te
Te
w x x x x P xx x x P x
αα
αθ α
α
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭
(6)
• Conditiile la limita conduc, in baza relatiei (6) la sistemul de ecuatii algebrice
unde {Ni(x)} este vectorul functiilor de forma de tip l’Hermite
39
{ }
2 3
2 3
2 31
22
2 33
2 34
2 3
2
3 21
( ) 2( )
( )( ) 3 2( )
i
x xl l
N x x xxN x l lN xN x x xN x l l
x xl l
⎧ ⎫− +⎪ ⎪
⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪
− +⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪− +⎪ ⎪⎩ ⎭
(11)
• Introducand solutia aproximativa (10) in ecuatia diferentiala (4), se obtine reziduul
(eroarea sau discrepanta) 4 2
4 2( ) ( ) 0e ed w d wx EI N p xdx dx
ε = + + ≠ (12)
Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2
4 2 20 0 0 0
0l l l l
e e ei i i i i
d w d w d wN x x dx EI N x dx N N x dx N x p x dxdx dx dx
π ε= ⋅ = + + ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫
1, 2,3, 4i = (13) care trebuie sa se anuleze pentru ca we(x) sa tinda catre solutia exacta. Efectuand de doua ori integrarea prin parti in prima integrala din (13) si odata in cea de-a doua integrala, se obtine:
( )
( ) ( )
3 2
3 200 0
0 0 0
'( ) ''( ) ''
( ) ' ' ( ) 0, 1, 2,3,4
l l le e
i i i i e
l l le
i i e i
d w d wN x EI N x EI EI N x w dxdx dx
dwNN x N N x w dx N x p x dx idx
π = − + +
+ − + = =
∫
∫ ∫ (14)
Din (3) si (2) rezulta:
3
3e ed w dwdMEI Q N
dx dx dx= − = − − (15) in conventia de semne din R.M. sau
3
3e ed w dwEI Q N
dx dx= − (16) in conventia de semne din M.N.
Tinand seama de (16) si (3) rel. (14) devine:
( )
( ) ( )
000 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ''
( ) ' ' ( ) 0, 1, 2,3,4
l ll le
i i i i i e
l l le
i i e i
dwN x Q x NN x N x M x EI N x w dxdx
dwNN x N N x w dx N x p x dx idx
π = − + + +
+ − + = =
∫
∫ ∫ (17)
care prin reducerea termenilor asemenea si in baza proprietatilor la limita a functiilor de forma rezulta:
40
{ } { }1 1
1 1'' '' '' '' '' ' ' ' ' '1 2 3 4 1 2 3 4
2 20 0
2 2
0
( )
( ) ( ) 0, 1, 2,3, 4
l l
i i i
l
i
Q wM
EI N N N N N dx N N x N N N N dxQ wM
N x p x dx i
θπ
θ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − + − +⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
+ = =
∫ ∫
∫
(18)
unde s-a tinut seama de expresia sagetii data de (10). Dezvoltand aceasta relatie se obtine:
sau, mai compact [ ]( ){ } { } { }Ge e e e ek k d R S⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ !!! (21)
care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental), unde: [ke] – matricea de rigiditate elastica a elementului finit (aceeasi cu cea din cazul e.f. de bara
incovoiata) [ke
G] – matricea de rigiditate geometrica a elementului finit, care tine seama de efectul fortei axiale N asupra deformarii barei (neliniaritate geometrica);
{Re} – vectorul reactiunilor de grinda dublu incastrata incovoiata produse de incarcarile p uniform distribuite din lungul e.f. (pentru alte incarcari se pot folosi reactiunile din tabele)
Asamblarea elementelor finite
Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (21) pentru fiecare e.f., urmeaza asamblarea lor in vederea obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura. Aceasta se face ca la bara incovoiata.
• Pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,3,...,m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective se obtine:
( ){ } { } { }Gee ee ek k d R S⎡ ⎤⎡ ⎤ − + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
(22)
41
• Se aduna aceste relatii elementale expandate ale tuturor e.f., ceea ce reprezinta scrierea conditiilor de echilibru static al nodurilor, pentru eforturile elastice si geometrice, reactiunile date de sarcinile distribuite si fortele concentrate din noduri, obtinandu-se modelul numeric structural:
[ ]( ){ } { } { }Gk k D R P⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ !!! (23)
unde
[ ] { } { }; ; GG
ee ee e e
k k k k P R⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ (24)
[k] si [kG] reprezinta matricele globale de rigiditate elastica si geometrica ale intregii bare, ambele simetrice, dar singulare deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid (nu s-au pus conditiile de rezemare). Tinand seama ca un element finit leaga doua noduri consecutive, operatia de constituire a matricelor [k], [kG] (de asamblare) se poate face direct, asa cum s-a aratat in cursurile precedente, cele doua matrice avand o forma speciala de matrice banda; de exemplu, matricea [k] are pe diagonala principala submatricea de ordinul al II-lea de forma: 1 1
11 11 22...( )...l l nnnk k k k−+ , deasupra
diagonalei o submatrice de forma ki12 (la fel si pentru matricea [kG]).
• Aceste matrice devin nesingulare prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune ordonarea vectorului {D} in doi subvectori, {Dn} – subvectorul deplasarilor nodale din legaturile structurii. Aceasta ordonare a vectorului {D} presupune si o ordonare corespunzatoare a vectorilor {R}, {P} si a matricelor [k], [kG] din relatiile (23) si (24), obtinandu-se:
care reprezinta doua ecuatii matriciale a caror rezolvare depinde de legaturile barei.
Rezolvarea sistemului ecuatiilor de conditie Ecuatiile matriceale (26) pot fi folosite pentru rezolvarea a doua tipuri de probleme:
• Calculul geometric neliniar (calculul de ordinul al II-lea) In acest caz exista incarcari transversale cunoscute, concentrate in noduri si/sau distribuite in lungul elementelor finite si incarcari dirijate dupa axa barei, de asemenea cunoscute, care produc forta axiala in fiecare e.f. Elementele matricelor k si kG sunt constante, iar din (26), in care s-au introdus conditiile de rezemare, se poate determina starea de deformare si de eforturi din structura, care tine seama de influenta fortei axiale asupra deformarii din incovoiere (calculul geometric neliniar sau calculul de ordinul al II-lea). Din punctul de vedere al conditiilor de rezemare se pot intalni cele trei tipuri de legaturi: fixe (Dr=0); cu cedari (Dr≠0, cu valori cunoscute) si legaturi elastice, la care cedarile sunt proportionale cu reactiunile din legaturi (Dr=Frr·Pr). De exemplu, in cazul legaturilor fixe (Dr=0), din (26) rezulta:
[ ]( ){ } { } { }
[ ]( ){ } { } { }nn
rn
Gnn n n n
Grn n r r
k k D P R
k k D P R
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦
⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ (27)
din care se obtin:
42
- deplasarilor nodurilor: { } [ ]( ) { } { }( )1
nn
Gn nn n nD k k P R
−⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ (28)
- reactiunile din legaturi: { } { } [ ]( ){ }rn
Gr r rn nP R k k D⎡ ⎤= + − ⎣ ⎦ (29)
- eforturile de la extremitatile fiecarui element finit: { } [ ]( ){ } { }
e
Ge e e eS k k d R⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ (30)
cu care se traseaza diagramele de eforturi. Rezolvarea celorlalte cazuri de rezemare se face in mod similar.
• Calculul de stabilitate in acest caz forta N, care actioneaza dupa axa barei, nu este cunoscuta ca marime ci numai ca distributie si trebuie determinata acea valoare care conduce la pierderea stabilitatii barei; incarcari transversale pot sa existe sau nu, iar legaturile structurii se considera fixe (Dr=0) (cazul cedarilor de reazeme sau cel al reazemelor elastice se rezolva asemanator). - daca nu exista incarcari transversale, pentru un e.f. considerat ca etalon, in rel. fizica (20) se poate da factor comun EIet / l3
et si =>
[ ]( ){ } { }**3
Getet et et e e
et
EI k k d Sl
υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (31)
unde3
30et et
etet
N lEI
υ = se numeste factor de compresiune etalon. Prin [ke]*, [keG]* s-au notat matricele de
rigiditate elastice si geometrice cu elemente constante, neafectate de factorii EIet / l3et , respectiv EIet
/30 let. Relatiile fizice ale celorlalte e.f. se pot exprima cu ajutorul celei a e.f. etalon, astfel:
[ ]( ){ } { }**3
Gete et e e e
et
EI k k d Sl
υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (32)
unde matricea [ke*] se obtine prin inmultirea elementelor matricei [ke] neafectata de factorul numeric EI / l3, cu coeficientul numeric
3
ete
et
lII l
α ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(33)
iar matricea [keG]* se obtine prin inmultirea elementelor matricei [ke
G] neafectata de factorul N/30l , cu coeficientul numeric
2
ete
et et
IN lN l I
β⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(34)
Prin asamblarea relatiilor fizice elementale astfel prelucrate si prin introducerea conditiilor de rezemare, rel. (27a) devine:
[ ]( ){ }3 0Getnn et nn n
et
EI k k Dl
υ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (35)
Tinand cont ca 3 0et
et
EIl
≠ si notand υet=λ – valoare proprie=>
[ ]( ){ } 0nn
Gnn nk k Dλ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (36)
care reprezinta un sistem de ecuatii algebrice omogene. • Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca:
[ ]det 0Gnn nnk kλ ⎡ ⎤− =⎣ ⎦ (37)
ce reprezinta o problema de valori si vectori proprii sub forma generala. Cea mai mica valoare proprie, conduce la valoarea incarcarii critice:
minmin3 3
30 30et etcr et
et et
EI EINl l
υ λ= = (38)
ce produce pierderea stabilitatii barei prin bifurcarea echilibrului (flambaj) – Fig. 4a.
43
Fig. 4 - Daca exista si incarcari transversale, cunoscute ca marime, prin aceleasi rationamente, se obtine din prima relatie (27a) sistemul de ecuatii algebrice:
[ ]( ){ } { } { }3Get
nn et nn n n net
EI k k D P Rl
υ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ (39)
In acest caz pierderea stabilitatii barei se produce prin cresterea nelimitata a deplasarilor, respectiv prin divergenta echilibrului (fig. 4b). Pentru ca deplasarilor {Dn} sa tinda la infinit, trebuie ca determinantul coeficientului necunoscutelor di (39) sa se anuleze, ceea ce revine la impunerea cond. (37), obtinandu-se aceeasi problema de valori si vectori proprii generala din cazul precedent. Rezulta ca pentru incarcarea critica se obtine aceeasi valoare, indiferent de modul de pierdere a stabilitatii.
44
2.4. VIBRTII LIBERE TRANSVERSALE NEAMORTIZATE LA GRINZI
In analiza vibratiilor libere transversale (de incovoiere) a barelor se va admite ipoteza
micilor oscilatii si se va considera ca acestea se produc in planul principal de incovoiere. Stabilirea ecuatiilor diferentiale care guverneaza fenomenul oscilator Se considera o grinda dreapta cu una sau mai multe deschideri avand masa distribuita
continuu, care oscileaza liber fata de pozitia de echilibru static, datorita unei cauze care a fost indepartata.
Sistemmul avand masa si rigiditatea distribuita se numeste sistem continuu sau sistem cu parametri distribuiti; teoretic el are un numar infinit de grade de libertate si miscarea sa este reprezentata de o ecuatie cu derivate partiale.
Fig. 1
Pentru un anumit moment de timp, t, al miscarii, se produce incovoierea barei, iar
deformatia dinamica este caracterizata de doua variabile independente (abscisa x si timpul t), respectiv sageata este functie de cele doua variabile si la fel vor fi eforturile, tensiunile, etc. In timpul miscarii (oscilatiei, vibratiei) apare o forta de inertie distribuita, proportionale cu acceleratia miscarii, factorul de proportionalitate fiind masa proprie a barei pe unitatea de lungime data de relatia:
m A Agγρ= = (1)
unde ρ – densitatea materialului; γ – greutatea specifica; g – acceleratia gravitationala; A – aria sectiunii transversale a barei.
Distributia masei in lungul grinzii coincide cu variatia sectiunii transversale. Intensitatea fortei de inertie, conform legii lui Newton, va fi:
2
2( , ) wp x t ma mt
∂= − = −
∂ (2)
si este indreptata in sens invers miscarii (deformarii barei) – fig. 1
Tinand cont ca oscilatia libera este o deformata de incovoiere sub actiunea fortei de inertie, rezulta ca sageata va satisface ecuatia diferentiala a fibrei medii deformate:
4
4 ( , )wEI p x tx
∂=
∂ (3)
45
care, in baza rel (2) devine:
4 2
4 2 0w wEI mx t
∂ ∂+ =
∂ ∂ (4)
ce reprezinta o ecuatie diferentiala cu derivate partiale de ordinul al IV-lea. Prin aceasta ecuatie se tine seama numai de fortele de inertie si fortele elastice, neglijandu-se fortele de amortizare, care pot fi de natura vascoasa sau histeretica. Eforturile dintr-o sectiune a barei vor fi date de relatiile:
2 3
2 3( , ) ; ( , )w wM x t EI Q x t EIx x
∂ ∂= − = −
∂ ∂ (5)
Pentru determinarea constantelor, care apar la integrarea ec. (4), trebuie sa se ataseze doua tipuri de conditii: - conditii la limita impuse de modul de rezemare a grinzii; - conditii initiale, care se refera la cunoasterea la timpul t=0 a:
• sagetii w(x,0)=wo; (6)
• vitezei de deformare 0( ,0)w x wt
∂=
∂
Solutia ecuatiei diferentiale (4) se poate determina prin: - metoda analitica, ce permite exprimarea sagetii prin parametrii in origine (parametri
initiali); - metode numerice, bazate pe exprimarea prin diferente finite a derivatelor in raport cu
variabila spatiala x si cu cea temporala t. O alta metoda numerica este cea a elementului finit, care va fi dezvoltata in continuare. Metoda elementului finit In aplicarea MEF pentru determinarea solutiei ecuatiei diferentiale cu derivate partiale (4),
se parcurg aceleasi etape ca la rezolvarea problemei precedente.
Stabilirea modelului structural discretizat
• Se considera o grinda cu una sau mai multe deschideri, care se raporteaza la un sistem de axe general, XY(fig. 2) si se discrediteaza in m=n-1 elemente finite interconectate in n puncte nodale (noduri).
• Fiecarui nod i se acorda doua grade de libertate, sageata si rotirea, iar cu deplasarile corespunzatoare se construieste vectorul:
ale carui componente sunt functii de timp; pentru ca vibratiile sunt libere, nu exista actiuni concentrate in noduri si in consecinta, in vectorul {P} apar numai reactiunile din legaturi:
Fig. 2
46
Analiza elementului finit
• Un element finit curent, cu rigiditate la incovoiere EIe=const. si masa pe unitatea de lungime me=const, se raporteaza la sistemul de referinta local (propriu) xyz (fig. 3)
• Pentru fiecare extremitate se acorda doua grade de libertate construindu-se vectorii deplasarilor si eforturilor elementale:
{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }{ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }
1 1 2 2
1 1 2 2
Te
Te
d w t t w t t
S Q t M t Q t M t
θ θ=
= (8)
Fig. 3 Functia de deplasare w(x,t) pe elementul finit se aproximeaza cu un polinom de gradul al III-lea in variabila x, ai carui coeficienti αi depind de timpul t, adica:
2 30 1 2 3( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ew x t t t x t x t xα α α α= + + + (9)
• Conditiile la limita conduc la exprimarea vectorului coeficientilor {α(t)} prin vectorul
este vectorul functiilor de forma de tip l’Hermite, aceleasi ca cele din paragrafele anterioare. • Introducand solutia aproximativa we(x,t) in ecuatia diferentiala (4) se obtine reziduul
4 2
4 2( , ) 0e ed w d wx t EI mdx dt
ε = + ≠ (12)
care trebuie sa fie minim. • Cu acest reziduu se construiesc functionalele reziduurilor ponderate de tip Galerkin
( ) ( ) ( ) ( )4 2
4 20 0 0
, 0 i=1,2,3,4l l l
e ei i i i
d w d wN x x t dx EI N x dx m N x dxdx dt
π ε= ⋅ = + =∫ ∫ ∫ (13)
care trebuie sa fie minim. Daca in prima integrala din (13) se efectueaza integrarea prin parti de doua ori si se tine seama ca relatiile sageata – eforturi din rezistanta materialelor (5) devine in noua conventie de semne.
( )4 2
4 2, ; ( , )e ed w d wEI Q x t EI M x tdx dx
= + = − (14)
si rezulta:
47
( )
( )
000
0
( , ) '( ) ( , ) ''( ) ''( , )
' 1, 2,3, 4
ll l
i i i i e
l
i e
N x Q x t N x M x t EI N x w x t dx
m N x w dx i
π = − + +
+ =
∫
∫ && (15)
Introducand expresia functii deplasarii din (10) si tinand seama de proprietatile functiilor de forma Ni(x) din (15) se obtine:
sau compact: [ ] { } [ ]{ } { }e e e e ek d m d S− + =&& (18’)
care reprezinta relatia fizica a elementului finit (modelul numeric elemental). unde: [ke] – matricea de rigiditate elastica; [me] – este matricea consistenta a maselor (matrice de inertie); { }ed&& - este vectorul acceleratiilor nodale elementale.
Matricea de inertie [me] se poate partitiona in 4 submatrice de ordinul al II-lea
[ ] 11 12
21 22
c
m mm
m m⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(19)
unde m11, m22 – eforturile inertiale (forta si moment) din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile respective; m12, m21 – eforturile inertiale din extremitatile 1 si 2 produse de acceleratiile unitare din extremitatile 2, respectiv 1. Se poate sesiza ca submatricele laterale satisfac conditia [m12] = [m21]T.
48
Observatie. Solutia problemelor de vibratii a sistemelor elastice este influentata major de matricea de rigiditate elastica si mai putin de matricea de inertie; de aceea, pentru stabilirea matricei de inertie se pot folosi functii de forma de grad mai mic decat 3.
Cazul 1: cand sageata se aproximeaza prin polinomul de gradul I 0 1( , )ew x t xα α= + (20)
iar cei doi coeficienti se determina din conditia la limita - pt. x=0 => 1 0(0, ) ( )ew t w t α= = (21)
- pt. x=l => 2 12 1 1 1( , ) ( )e
w ww l t w t w ll
α α −= = + ⇒ =
Inlocuind in (20) rezulta:
{ }
1
11 2 1 2 3 4
2
2
( , ) (1 ) N N N Ne
w
x xw x t w wwl lθ
θ
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= − + = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
(22)
in care functiile de forma sunt:
1 2 3 4( , ) 1 , ( ) 0, ( ) , N ( ) 0x xN x t N x N x xl l
= − = = =
Folosind (22) si (23) numai in cea de-a doua integrala din (17) se obtine matricea semiconsistenta a maselor de inertie:
[ ]
2 0 1 00 0 0 01 0 2 060 0 0 0
emlm
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
prin care se tine seama numai de fortele de inertie coreespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, dar cu influente reciproce una asupra celeilalte (cuplate).
Cazul 2. Cand se pot utiliza chiar functii de forma constante, definite dupa cum urmeaza:
1( )N x = 1,
2
0, 2
lx
l x l
≤
≤ ≤; [ ]2 ( ) 0, 0,N x x l= ∈
(25)
3 ( )N x = 0,
2
1, 2
lx
l x l
<
≤ ≤; [ ]4 ( ) 0, 0,N x x l= ∈
care introduse numai in cea de-a doua integrala din (17) conduce la matricea maselor concentrate:
[ ]
1 0 0 00 0 0 00 0 1 0 60 0 0 0
emlm
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(26)
prin care se tine seama numai de fortele de inertie corespunzatoare deplasarilor liniare (sagetilor) de la capetele elementului finit, independente intre ele.
49
Asamblarea elementelor finite
Dupa determinarea relatiilor fizice elementale (18) pentru fiecare element finit urmeaza
asamblarea lor in vedera obtinerii relatiei fizice pentru intreaga structura (modelul numeric structural).
• Aceasta asamblare se face pe baza incidentei fiecarui vector {de}(e=1,2,..., m), cu componentele vectorului {D} si expandarea relatiei fizice elementale respective, obtinandu-se:
{ } { } { },e e ee ek D m D S⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
&& (27)
• Se aduna aceste relatii elementale expandate, respectiv se exprima conditiile de echilibru
a nodurilor numai pentru eforturile elastice si de inertie, deoarece nu exista incarcari in lungul elementelor finite si mici actiuni concentrate la noduri, obtinandu-se modelul numeric structural.
[ ] { } [ ]{ } 0k D M D⋅ + =&& (28)
unde [ ] [ ], e ee e
k k M m⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑ (29)
si reprezinta matricele de rigiditate si de inertie (a maselor) pentru intreaga structura. Aceste matrice sunt simetrice si singulare, deoarece structura poate avea o miscare de corp rigid. Matricea maselor poate fi consistenta (cu raspunsuri – eforturi inertiale corespunzatoare tuturor deplasarilor), semiconsistenta (cu forte inertiale dependente corespunzatoare numai deplasarilor liniare – sagetilor) sau diagonala (cu mase concentrate numai pe diagonala principala – forte de inertie independente corespunzatoare numai deplasarilor liniare) Matricele globale [K], [M] au forma speciala tridiagonala pentru ca un element finit leaga doua noduri consecutive. Relatia (28) devine nesingulara prin introducerea conditiilor de rezemare, care presupune ordonarea vectorilor {D}, {D} in cate doi subvectori { } { }n nD , D&& corespunzatori deplasarilor si
acceleratiilor nodale libere si { } { }r rD , D&& corespunzator deplasarilor si acceleratiilor din legaturile barei. Aceasta ordonare a celor doi vectori presupune si ordonarea corespunzatoare a matricelor [K], [M], obtinandu-se:
care reprezinta doua ecuatii matriceale, la rezolvarea carora se pot intalni cele trei tipuri de reazeme fixe, cu cedari sau reazeme elastice.
• In cazul reazemelor fixe, {Dr}=0 si prima relatie din (31) devine: [ ]{ } [ ]{ } 0nn n nn nk D M D+ =&& (32)
care este un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea cu coeficienti constanti si la care trebuie atasate conditiile initiale (deplasarea D0 si viteza 0D&& la timpul t=0)
Rezolvarea sistemului de ecuatii dinamice
Sistemul de ecuatii diferentiale (32) se poate rezolva prin: metode specifice sistemelor de ecuatii diferentialede ordinul al II-lea, precum si
- metoda diferentelor finite; - metoda Newmark;
50
- metoda Wilson. metode de integrare numerica specifice sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul intai,
cum ar fi: - metoda Euler; - metoda Runge Kutta; - metoda Adams; - metoda Milne, etc. Pentru aceasta este necesara transformarea sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al II-
lea (32) intr-un sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I. • Analiza modala In acest paragraf se va rezolva sistemul (32)prin metoda analizei modale. In acest sens,
pentru vectorul deplasarilor nodale se presupune o variatie armonica in timp, de forma: { } { }0 sin( )n nD D tω ϕ= + (33)
diferenta de faza. Cu {Dn} din (33) vectorul acceleratiilor nodale devine: { } { }0 sin( )n nD D tω ϕ= + (34) Introducand (33) si (34) in ecuatia de miscare (32) si avand in vedere ca amplitudinile maxime ale vibratiilor se obtin pentru sin(ωt+φ)=1, rezulta: [ ] [ ]( ){ }2 0 0nn nn nk M Dω− = (35) care este un sistem de ecuatii omogen. Acest sistem admite solutie diferita de cea banala daca: [ ] [ ]2det 0nn nnk Mω− = (36) Sistemul de ecuatii (35) se mai poate prelucra in felul urmator
[ ] [ ] { }4 2
* * 03 0
420nn nn nEI mlk M Dl EI
ω⎛ ⎞− =⎜ ⎟
⎝ ⎠ (37)
Notand cu 4 2
420ml
EIωλ = - un scalar numit valoare proprie si avand in vedere ca EI/l3 ≠0 =>
[ ] [ ]( ){ }* * 0 0nn nn nk M Dλ− = (38)
care este forma generala a unei probleme de valori si vectori proprii [ ] [ ]( ){ } 0A B xλ− = Problema generala se reduce la forma standard [ ] [ ]( ){ } 0H I yλ− = folosind procedeul cunoscut. Prin metodele matematice cunoscute se rezolva problema (40) obtinandu-se valorile proprii λi si vectorii proprii {Y(i)} ai problemei standard. Din valorile proprii λi se obtin pulsatiile proprii (frecventele circulare) ale oscilatiei:
4
420 [rad/s]i iEI
mlω λ= (41)
si apoi vectorii proprii ai problemei generale {Xi}, cu care se pot construi formele sau modurile proprii de vibratie ale barei analizate.
51
2.5. ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE PRIN
METODA ELEMENTELOR FINITE
Orice constructie are o structura de rezistenta, alcatuita dintr-un ansamblu de elemente de constructie legate intre ele si la o baza fixa (teren), capabila sa preia incarcarile si sa le transmita la teren. Elementele de constructie din alcatuirea unui structuri pot fi:
- de tip bara (elemente unidimensionale – la care o dimensiune – lungimea, este preponderenta comparativ cu cele dopua dimensiuni ale sectiunii transversale);
- de tip placa (elemente bidimensionale – la care doua dintre dimensiuni sunt mult mai mari decat cea de-a treia – grosimea)
- de tip bloc sau masiv (elemente tridimensionale – la care toate cele trei dimensiuni sunt comparabile intre ele ca ordin de marime)
In functie de tipul elementelor de constructie care alcatuiesc structurile de rezistenta, acestea se pot clasifica in:
- structuri din bare - cu noduri articulate (grinzi cu zabrele) - cu noduri rigide (cadre)
- de zidarie - structuri din pereti - din diafragme plane, neplanare si nuclee din beton armat turnate
monolit - din panouri prefabricate din beton armat
- structuri mixte, alcatuite din elemente de tip bara si pereti legate intre ele, care sunt de doua tipuri:
* stalpi si diafragme (nuclee), ca elemente de rezistenta verticalelegate prin rigle de cuplare si plansee; * stalpi dispusi numai la parter si apoi continuati cu diafragme (structuri cu parter flexibil) – mai putin indicate in zone seismice. In acest capitol vor fi analizate structurile de bare pentru ca:
- sunt destul de folosite ca structuri de rezistenta la constructii industriale, social-culturale, de locuinte, poduri, telecomunicatii etc.
- celelalte tipuri de structuri – din pereti sau mixte – se pot modela pentru calcul prin modele structurale din bare, pe baza unor simplificari si schematizari;
- metodologia de analiza a structurilor din bare poate fi adaptata si extinsa la analiza celorlalte tipuri de structuri.
2.5.1 ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE CU NODURI ARTICULATE
Structurile de rezistenta din bare metalice, imbinate la noduri prin sudura, nituire sau bulonare se modeleaza pentru calcul prin modele structurale din bare cu noduri articulate. In functie de modul de dispunere a barelor aceste structuri sunt:
- plane, cand barele se gasesc intr-un plan: grinzi cu zabrele cu una sau mai multe deschideri, arce cu zabrele etc. (fig. 1a); in general orice structura din bare cu inima plina se poate realiza din bare cu zabrele;
- spatiale, cand barele dispuse in spatiu, din care enumeram acoperisurile reticulare, semnalele geodezicxe, turnurile cu zabrele, antenele radio si televiziune, stalpii de inalta tensiune, turnuri de rafinarii, stalpi ai barelor industriale etc. (fig 1b)
52
In barele unor astfel de structuri actiunile exterioare, aplicate de obicei la noduri, produc cu preponderenta eforturi axiale, care se predetermina prin metoda deplasarilor sub forma matriciala stabilita pe baza principiului metodei elementului finit. In aceasta metoda nu are importanta daca structura cu noduri articulate este static determinata sau static nederminate si datorita acestei generalitati, este utilizata cu preponderenta la elaborarea uno programe de calcul.
Analiza unor astfel de structuri comporta: - determinarea deplasarilor nodurilor si eforturilor axiale din bare, produse de actiunile
statice exterioare, printr-un calcul de ordinul I sau printr-un calcul de ordinul al II-lea (geometric neliniar), in care conditia de echilibru static se exprima pe structura nedeformata, respectiv deformata;
- determinarea caracteeristicilor dinamice sau eventual determinarea variatiei in timp a deplasarilor nodurilor si eforturilor din barele structurii printr-un calcul de ordinul I, in cazul unor actiuni dinamice;
- stabilirea incarcarii critice de pierdere a stabilitatii echilibrului prin divergenta.
53
Calculul static si dinamic geometric liniar (de ord. I) prin MEF
Stabilirea modelului structural discretizat
• Structura plana (fig 2a) se raporteaza la un sistem de axe XY si se discretizeaza in bare si noduri (aceasta discretizare este in acest caz naturala);
• Fiecarui nod i se acorda cate doua grade de libertate de translatie dupa axele X, Y si cu deplasarile respective se construieste vectorul:
{D}=[{D1x D1y}T ... {Dix Diy}T ... {Dnx Dny}T]T (1) numit vectorul deplasarilor nodurilor si in mod corespunzator vectorul:
• Pentru structura spatiala raportata la sistemul de axe XYZ (fig. 2b) se acorda cate 3 grade de libertate – translatiile dupa cele trei axe – astfel ca vectorul {D} cuprinde subvectori de forma:
{Di}={Dix Diy Diz }T (3) si la fel vectorul fortelor concentrate din noduri
{Pi}={Pix Piy Piz }T (4) In cazul calculului static componenetele acestor vectori sunt constante iar in cazul calculului
dinamic ele variaza in timp. In vectorul {D}componentele deplasarilor dupa directia legaturilor structurii pot fi: nule
(legaturi fixe), cunoscute ca marime(cedari de reazeme) sau proportionale cu reactiunile (legaturi elastice), iar in vectorul {P}, componentele corespunzatoare reprezinta fortele din legaturi (reactiuni) necunoscute.
Analiza barei dublu articulate ca element finint in calculul de ordinul I - Bara curenta din structura, considerata element finit, se raporteaza la un sistem de axe
propriu (local) XY si, in fiecare extremitate a sa, se acorda cate un grad de libertate, translatia dupa axa barei.
- Cu cele doua deplasari se construieste vectorul deplasarilor nodale elementale si, in mod corespunzator, vectorul fortelor (eforturilor) nodale (fig. 3a).
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
1
uu
de ; { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
1
NN
Se (5)
54
N2= EAl
lEAN1=
u2=0
u1=1
N2
N1
N2
u2
ux
qx
u1
N1
a) b) c)
Fig. 3
- Campul deplasarilor se aproximeaza printr-un polinom de gradul I, adica se considera ca are o variatie liniara:
( ) =+== )(21 xxuux αα [1 x] ( )[ ]{ }αα
αxP=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1 (6)
Care trebuie sa exprime deplasarile oricarui punct al elementului finit. Aceasta functie contine cate un coeficient necunoscut αi pentru fiecare grad de libertate al elementului finit. - Parametrii αi, i=1,2 coordonate generalizate) trebuie exprimati prin vectorul {de}, pe baza conditiilor la limita, adica a conditiilor ca valorile functiei de deplasare de la extremitatile elementului finit sa fie egale cu deplasarile acestor extremitati: ux(0)=u1 ; ux=(l)=u2 (7) Din care rezulta:
l
uuu 12
211 ;−
== αα (8)
Astfel ca functia de deplasare 6 devine:
( )xNulxu
lxxuux 121 [1)( =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −== ( ) ( ) { }ei dxN
uu
xN ][]2
12 =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
(9)
Unde ( )xN i , i=1,2 sunt functii de forma (sau de interpolare) Deplasarile ux se exprima deci prin vectorul linie [ ( )xN i ] al functiilor de forma si vectorul deplasarilor nodale elementale; functiile de forma variaza liniar in lungul barei si au valorile unitare sau nule la extremitati (fig. 3b); ele sunt functii de aproximare tip Lagrange.
• Campul deformatiilor specifice, stabilit pe baza relatiei dintre deplasari si deformatiile specifice, are expresia:
( ) 1[1121 −=+−==
luu
ldxdux
xε [ ]{ }edBuu
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1]1 (10)
Se observa ca deformatiile specifice liniare sunt constante si se exprima prin vectorul deplasarilor elementale.
• Legea fizica (Hooke), care leaga tensiunile de deformatiile specifice. }]{[ exx dBEE == εσ (11)
Unde E – modulul de elasticitate longitudinal si s-a tinut seama de (10). Astfel si tensiunile s-au exprimat prin vectorul deplasarilor elementale.
• Conditia de echilibru static a e.f., exprimata cu ajutorul LMV permite legarea eforturilor nodale de deplasarile nodale. Aceasta conditie se exprima prin relatia:
ULext δδ = , (12)
55
adica variatia lucrului mecanic exterior este egala cu variatia energiei potentiale de deformare sau altfel spus, eforturile nodale elementale trebuie sa fie static echivalente cu tensiunile interne. Deplasarea virtuala infinitezimala consta dintr-o variatie a deplasarilor nodale elementale{ }edδ , o variatie a campului de deplasari:
1[}{ Nux =δ { } { } Ti
Teei NddN
uu
N ][][]2
12 δδ
δδ
==⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
(13)
in baza rel. (9) si o variatie a campului deformatiilor specifice: { } { } [ ]TT
ee BddB δδδε == }]{[ (14) in conformitate cu rel. (10). - Daca in lungul barei existasi o intensitate de incarcare qx (fig. 3a) atunci variatia lucrului mecanic exterior este:
{ } { } { } ∫∫ ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=++=l
xT
ee
Tl
exxext dxqN
NdSddxquNuNuL
0 2
1
02211 δδδδδδ (15)
sau: { } { } { })( eeT
eext QSdL += δδ (16)
unde: { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ −= ∫ 1
12
1
0
lqdxq
lx
lx
Q xx
l
e (17)
reprezinta vectorul reactiunior de la extremitatile elementului finit produs de incarcarile qx considerate uniform distribuite. Daca nu exista astfel de incarcari acest vector este nul iar pentru alte tipuri de incarcari reactiunile se determina cu rel. (17). Variatia energiei potentiale de deformare este:
{ }{ } { } [ ] [ ] { } { } [ ]{ }eeT
eeV
TTe
Vx dkdddVBEBddVU
e
δδσδεδ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∫∫
2
(18)
Unde s-a tinut seama de expresiile (11) si (14) ale deformatiei specifice virtuale si a tensiunii; s-a notat:
[ ] [ ] [ ] 1[1
12 −
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−
== ∫ lEdVBEBk
eV
Te ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=∫∫ 1111
]10 l
EAdxdAl
Ae
(19)
care reprezinta matricea de rigiditate a e.f. (bara dublu articulata) Tinand seama de expresiile (16) si (18), conditia de echilibru static: { } { } { } { } [ ]{ }T
eeT
eeeT
e dkdQSd δδ =+ )( (20) sau dupa simplificarea cu [ ]{ } { } { }eeee SQdk =− (21) Care reprezinta relatia fizica elementala sau modelul numeric elemental in sistemul de axe local (propriu), XY, utilizata in calculul static al structurilor cu noduri articulate. Obs. 1 Aceasta relatie elementala poate fi obtinuta si prin procedeul staticii constructiilor astfel (fig. 3.3c): - se da o deplasare u1=1, iar extremitate 2 este blocata (u2= ), in extremitatea 2 reactiunea
este N2=N1= lEA
− ;
- s-a obtinut astfel prima coloana din matricea de rigiditate [ke]; - considerand u1=0 si u2=1 se obtine cea de-a doua coloana. In cazul vibratiilor longitudinale libere neamortizate, in lungul barei actioneaza fortele de inertie: qx=-mü=-ρAüx (22) unde: m – intensitatea de masa (masa pe unitatea de lungime); ρ – densitatea materialului;
A – aria sectiunii transversale;
56
üx – acceleratia. Tinand seama de expresia deplasarii data de (6), relatia (22) devine: [ ]{ }eix dNmq &&−= (23)
Tinand seama de rel. (25) si (28) a lucrului mecanic exterior si a energiei potentiale de deformare, conditia de echilibru dinamic (12) devine: { } { } [ ]{ }( ) { } [ ]{ }T T
e e e e e e ed S m d d k dδ− =&& sau
[ ]{ } [ ]{ } { }e e e e ek d m d S+ =&& (27)
e reprezinta relatia fizica elementala (modelul numeric elemental) in sistemul de axe propriu xy, utilizata in calculul dinamic al structurii din bare.
Obs. 2 In fenomenele dinamice efectul matricei de rigiditate este mai important decat efectul matricei de inertie; de aceea se pot utiliza functii de forma constante, definite prin:
1 1
2 2
l l( ) 1 daca x< ; ( ) 0 daca x2 2
l l( ) 0 daca x ; ( ) 1 daca x2 2
N x N x
N x N x
= = ≥
= ≤ = > (28)
care introduse in (26) conduc la matricea maselor concentrate la extremitatile e.f.
[ ] 1 00 12e
mlm⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(29)
Relatiile fizice elementale din calculul static sau dinamic (21) sau (27), din sistemul de axe local xy, trebuie trecute in sistemul de axe structural (global sau general); aceasta se face pe baza relatiei de transformare a vectorilor in doua sisteme de axe. In cazul structurilor plane, deplasarea u1 dupa axa x a barei se descompune dupa directiile X si Y ale sistemului de axe global (fig. 4a), rezultand relatia de transformare: O relatie asemmanatoare se obtine pentru deplasarea u2, astfel ca o exprimare matriciala rezulta:
1
11
2 2
2
cos sin 0 0 0 0 cos sin
x
y
x
y
DDu
u DD
α αα α
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
(31)
57
sau compact { } [ ]{ }e e ed T D= (32) unde [Te] – matricea de transformare elementala; {De} – subvectorul deplasarilor nodale corespunzator nodurilor 1 si 2 pe care le leaga bara.
u1(N1)D1y(S1y)
D1x (S1x)
a
Daca in sistemul de axe general nodurile i,j pe care le leaga bara au coordonatele i(Xi,Yi), respectiv j(Xj,Yj), atunci:
( ) ( )2 2 j jx ; cos = ; sin =i i
j i j i
x y yl x x y y
l lα α
− −= − + − (33)
In cazul structurilor spatiale, matricea detransformare din cele doua sisteme de axe, local si structural (fig. 4b) este:
[ ] xY xZ
xY xZ
C C 0 0 0 0 0 0 C C
xXe
xX
CT
C⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
(34)
unde Cxx, Cxy, Cxz – cosinusii directori ai axei barei (1x) in raport cu axele sistemului structural de axe. Daca in sistemul de axe general nodurile i, j, pe care le leaga bara, au cooordonatele i(Xi, Yi, Zi) respectiv j(Xj, Yj, Zj), atunci:
( ) ( ) ( )2 2 2
j i j i j il x x y y z z= − + − + − (35)
In mod similar se transforma vectorul eforturilor nodale elementale.
{ } [ ]{ }
1
11e
2 2
2
cos sin 0 0 S *
0 0 cos sin
x
ye e
x
y
SSN
T SN S
S
α αα α
⎧ ⎫⎪ ⎪
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪= ⇒ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎩ ⎭
cazul plan (36)
1
1
xY xZ1 1
2 xY xZ 2
2
2
C C 0 0 0 0 0 0 C C
x
y
xX z
xX x
y
z
SS
CN SN C S
S
S
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
cazul spatial {Se}* - vectorul eforturilor (fortelor nodale) elementale in sistemul de axe general. Pentru cele ce urmeaza este necesara legatura inversa dintre {Se}* si {Se} care nu se poate obtine prin inversarea matricei [Te] deoarece aceasta e dreptunghiulara. Se apeleaza la conditia de
58
echivalenta statica a celor doua sisteme de forte {Se} si {Se}*, exprimata prin LMV; din relatia (31) rezulta ca intre deplasarile virtuale corespunzatoare celor doua sisteme de forte exista relatia: { } [ ]{ }e e ed T Dδ δ= (37) deoarece matricea [Te] are elemente constante. Lucrul mecanic virtual efectuat de sistemul de forte {Se} pe deplasarile virtuale {δde} corespunzatoare este:
[ ] { } { }11 1 2 2 1 2
2
Text e e
NL u N u N u u d S
Nδ δ δ δ δ δ
⎧ ⎫= + = =⎨ ⎬
⎩ ⎭ (38)
iar cel produs de sistemul de forte {Se}* pe deplasarile virtuale corespunzatoare{δDe}, este: { } { }T
ext e eL d Sδ δ= (39) Conditia de echivalenta statica a celor doua sisteme de forte impune egalitatea celor doua expresii, adica: { } { } { } { } { } [ ] { } { } { }* sau * astfel ca T T T T T
e e e e e e e e ed S d S d T S d Sδ δ δ δ= =
{ } [ ] { }* Te e eS T S= (40)
unde s-a tinut seama de (37) si de faptul ca operratia matriciala de transpunere satisface relatia: ( )T T TA B B A⋅ = ⋅ Premultiplicand relatia fizica elementala din calculul static (21) __ [Te]T si tinand seama de (31) rezulta:
[ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ] { }T T Te e e e e e e eT k T D T Q T S− = ⇒ [ ] { } { } { }* * *e e e ek D Q S− = (41)
care reprezinta relatia fizica elementala (modelul numeric elemental) in sistemul de axe global ({Qe}*=0 daca nu exista incarcari distribuite in lungul barei) utilizata in calculul static al structurilor plane cu noduri articulate. Matricea de rigiditate elementala in sistemul de axe global (dupa efectuarea calculelor) va fi:
[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]
0 0
0 0
- k*
kT
e e e e
kEAk T k Tl k
⎡ ⎤= = ⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦ (42)
unde
[ ] [ ]
2xx xx2
20 0 xx xy2
2xx xy
C Ccos cos sin
; C Ccos sin sin
C C
xx xy xz
xy xy xz
xz xz xz
C C C
k k C C C
C C C
α α α
α α α
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥⎣ ⎦
(43)
pentru structuri plane pentru structuri spatiale Premultiplicand relatia fizica elementala din calculul dinamic (27) cu [Te]T se obtine: { } [ ] { } [ ]{ }* *e e e e eS k D m D= + (44) care reprezinta relatia fizica elementala in sistemul de axe global, utilizate in calculul dinamic al structurilor din bare cu noduri articulate. Matricea consistenta de inertie in sistemul de axe global, dupa efectuarea calculelor va fi:
[ ] [ ] [ ][ ] 0 0
0 0
2 *
26T
e e e e
k kmlm T m Tk k⎡ ⎤
= = ⎢ ⎥⎣ ⎦
(45)
sau matricea maselor concentrate:
[ ] 0
0
0*
0 2e
kmlmk
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (46)
59
Asamblarea relatiilor fizice elementale din sistemul de axe general Dupa ce au fost definite caracteristicile celor doua componente ale modelului structural
discretizat – bare si noduri – caracteristicile structurii se vor obtine prin reunirea lor pe baza conditiilor de echilibru.
Se efectueaza mai intai incidenta componentelor vectorului {De} cu componentele corespunzatoare ale vectorului {D}.
La intersectia liniilor si coloanelor componentelor respective se pun termenii matricelor [ke]*, respectiv [me]* si in rest se completeaza cu zero. In fig. 5 se prezinta incidenta si expandarea in cazul structurilor plane cand nodurile i,j au doua grade de libertate; in cazul structurilor spatiale, in nodurile i,j ar mai interveni si deplasarile Diz, Djz.
La fel se procedeaza cu matricea de inertie [me]* si vectorii {Qe}* si {Se}*.
- pentru calculul static { } { } { }* **e eek D Q S⎡ ⎤ − =⎣ ⎦ (47)
- pentru calculul dinamic { } { } { } { }* **e e ek D m D S⎡ ⎤ + =⎣ ⎦
&& (48)
care sunt raportate la dimensiunea vectorului {D}. Aceste relatii fizice expandate ale tuturor e.f. sunt sumate si egalate cu vectorul actiunilor nodale {P}, obtinandu-se: [ ]{ } { } { }k D P Q= + pentru calculul static (49) [ ]{ } [ ]{ } { }k D M D P+ =&& pentru calculul dinamic (50) care reprezinta relatiile fizice structurale (modelele numerice structurale). Prin aceste operatii de sumare si egalare cu {P} se realizeaza conditia de echilibru a nodurilor, in care eforturile {Se}* echilibreaza actiunile exterioare {P}; eforturile din bare in calculul static constau din eforturile elastice [ke]*{De} si reactiunile produse de incarcarile din lungul barei {Qe}*, iar in cazul dinamic constau din eforturile elastice si cele de inertie [me]*{De}. Matricea [k] din rel. (49) si (50) reprezinta matricea de rigiditate a structurii si este singulara pentru ca structura se poate deplasa ca un rigid.
Introducerea conditiilor de rezemare Aceasta presupune ordonarea vectorilor {D} si {P} astfel:
{ } { } ; n n
r r
D PD P
D P⎧ ⎫ ⎧ ⎫
= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭
(51)
60
[ ]{ } { } { }[ ]{ } { } { }
nn n n n
rn n r r
k D P Q
k D P Q
= +
= +
unde {Dn} – subvectorul deplasarilor nodale libere (necunoscute); {Pn} – subvectorul actiunilor nodale exterioare corespunzatoare; {Dr} – subvectorul deplasarilor dupa directiile legaturilor structurii; {Pr} – subvectorul reactiunilor din legaturile respective. Cazul cel mai frecvent intalnit in practica este cel al legaturilor fixe (rigide), astfel ca deplasarile corespunzatoare sunt nule ({Dr}=0). In mod similar trebuie rearanjate matricele [k] si [M], prin mutarea liniilor si coloanelor respective, astfel ca relatiile (49) si (50) devin:
nr
rr
k k 0
nn n nn
rn r r
k P QDk P Q
+⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫= ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ +⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦
(52)
sau, pentru calculul dinamic
nr nr
rr rr
k M,
k M0 0nn nn nn n
rn rn r
k M PD Dde unde
k M P⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎧ ⎫
+ = ⇒⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
&& (53)
[ ]{ } [ ]{ } { }[ ]{ } [ ]{ } { }
nn n nn n n
rn n rn n r
k D M D P
k D M D P
+ =
+ =
&&
&& (54)
Calculul static se efectueaza pe baza relatiei (52) si rezulta: {Fn}
- deplasarile: { } [ ] { } { }( )1n nn n nD k P Q−= + (55)
- reactunile: { } [ ]{ } { }r rn n nP k D Q= − (56) - eforturile in sistemele de axe global si local { } [ ] { } { } { } [ ]{ }* * ; *e e e e e e eS k D Q S T S= − = (57) astfel ca problema de calcul static este complet rezolvata. Calculul dinamic se efectueaza pe baza primei relatii din (54) prin metode de integrare numerica specifice. De asemenea, calculul dinamic se poate efectua prin analiza modala, care presupune determinarea caracteristicilor dinamice a structurii, ce definesc vibratiile libere ({Pn}=0): - frecventele proprii; - vectorii (formele proprii) de vibratie. In acest scop, pentru deplasari se presupun variatii armonice in timp: { } { } ( )0 sinn nD D Tω ϕ= + (58) unde {Dn
0} – vectorul amplitudinilor, ω – pulsatia (frecventa circulara), φ – unghiul de defazare. Introducand (58) in prima relatie (54) se obtine: [ ] [ ]( ){ }2 0 0nn nn nk M Dω− = (59) ce reprezinta o problema de valori si vectori proprii generala. Prin rezolvarea acestei probleme se obtin matricele spectrala si modala:
[ ] [ ] [ ]i 1
; ...
nω φ φ φ⎡ ⎤⎢ ⎥Ω = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
O
O (60)
folosite in analiza dinamica a structurilor prin metoda suprapunerii modale.
61
2.5.2. ANALIZA STRUCTURILOR DIN BARE CU NODURI RIGIDE PRIN
M.E.F Structurile de rezistenta din bare cu noduri rigide numite si cadre, sunt alcatuite din stalpi si grinzi (rigle). Analiza unor astfel de structuri comporta: -determinarea starii de deformare si de eforturi indusa de actiuni statice in barele structurii,printr un calcul de ordinul I(conditia de echilibru este scrisa pe structura nedeformata)sau de ordinul al II-lea(se tine seama de influenta fortei axiale asupra deformatiei din incovoiere); -determinarea caracteristicilor dinamice sau determinarea variatiei in timp a deplasarilor si eforturilor(time history)din structura printr un calcul de ordinul I; -stabilirea incarcarii critice de pierdere a stabilitatii echilibrului prin divergenta. CALCULUL STATIC SI DINAMIC,GEOMETRIC LINIAR(DE ORDIN I) PRIN METODA ELEMENTULUI FINIT In principiu trebuie parcurse aceleasi etape ca la calculul structurilor cu noduri articulate.
• Stabilirea modelului structural discretizat cu numar finit de grade de libertate Structura din bare se raporteaza la sistemul de axe structural(general sau global)plan xy sau spatial xyz(figura 1 a,b)
a)
b) Fig. 1
• Discretizarea modelului structural in elemente finite(bare) si noduri naturala(evidenta);totusi,daca bara are sectiunea variabila(in trepte sau sub alta forma) se
62
introduc noduri rigide suplimentare celor naturale(intersectii stalp-rigla)si plasate in lungul barelor
• Fiecarui nod i se acorda cate 3 GDL pentru structura planului (translatiile dupa axele x, y -Dix,Diy si rotirea Diθ-in raport cu axa perpendiculara pe planul xy si sensul pozitiv anterior (fig 1.b) si bare GDL pentru structura spatiala(translatiile Dix,Diy,Diz si rotirile Diθx,Diθy,Diθz cu sensul pozitiv corespunzator regulei burghiului (fig 1a).Vectorii deplasarilor nodale vor fi formati din n subvectori 1, 2{ } { ,....., ,....., }T
i nD D D D D= (1)
cu trei componente ptr plan { , , }Ti xi yi iD D D Dθ= (1a)
si cu sase componente pentru spatiu { , , , , , }i xi yi zi xi yi ziD D D D D D Dθ θ θ= (1b) unde n-numarul nodurilor modelului discretizat , incluziv al celor de reazem cunoscute :nule,daca legaturile sunt fixe(rigide),cu marime precizata daca legaturile au suferit cedari sau cu marime proportionala cu reactiunile,daca legaturile sunt flexibile
• In mod corespunzator se construieste vectorul actiunilor nodale{P},format din „n”
subvectori cu 3 respectiv 6 componente: 1 2{ } { , ,..., ,..., }Ti nP P P P P= (2)
unde pentru plan { } { }Ti ix iy iP P P M= (2a)
iar pentru spatial { } { }Ti ix iy iz ix iy izP P P P M M M= (2b)
In vectorul {P} reactiunile din legaturile structurii sunt necunoscute si toate celelalte componente sunt actiunile exterioare date
Analiza barei ca element finit • Bara curenta din structura se raporteaza la un sistem de axe propriu (local)plan,xy,sau
spatial,xyz,cu originea intr o extremitate(fig 2a,b) • Fiecarei extremitati a barei i se acorda cate 3 GDL,pentru bara plana(translatiile u,v dupa
axele x,y si rotirea θ in raport cu axa perpendiculara pe planul xy si sensul pozitiv antiorar-fig 2a)si 6 GDL pentru bara din structura spatiala(translatiile u,v,w dupa cele 3 axe si rotirile respective, xθ -din torsiune, zsi yθ θ din incovoiere) Cu aceste deplasari se construiesc vectorii deplasarilor elementale cu 6 componente ,respectiv 12 componente
1 1 1 2 2 2{ } { } Ted u v u vθ θ= in plan (3a)
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2{ } { } Te x z y x z yd u v w u v wθ θ θ θ θ θ= in spatiu (3b)
63
Fig. 2 In mod corespunzator se alcatuiesc vectorii elementali ai eforturilor(fortelor)elementale:
e 1 1 1 2 2 2{S } { Q M N Q M } TN= in plan (4a)
e 1 y1 z1 x1 z1 y1 2 y2 z2 x2 z2 y2{S }={N Q Q M M M N Q Q M M M } in spatiu (4b) • Campul deplasarilor dintr o bara a structurii plane se aproximeaza prin polinoame de gradul I
pentru deplasarea dupa axa barei si de gradul al III –lea pentru deplasarea transversala,astfel ca:
1
2
32 3
42
5
6
( ) 1 0 0 0 0{ ( )} ( ) 0 0 1 [ ( )]{ } (5a)
( ) 0 0 0 1 2 3
u x xd x v x x x x P x
x x x
ααα
αα
θαα
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Unde s-a tinut seama ca θ(x)=v’(x). Pentru bara din structura spatiala,campul deplasarilor se aproximeaza prin urmatoarele polinoame:
⎭ Unde s-a tinut seama ca zθ (x)=v’(x) si yθ (x)=w’(x).
Se observa ca in polinoamele alese,numarul coeficentilor generalizati αi coincide cu numarul GDL al barelor respective.
• Deplasarile generale anterioare,{d(x)},se exprima prin deplasarile nodale,{d}, pe baza conditiilor la limita,deoarece deplasarile nodale reprezinta valorile deplasarilor generale pt x=o si x=l;pentru cazul plan,din relatia (5a)rezulta:
Introducand (9) si (10a) in functiile de deplasare din (5a),fara a considera insa si functia rotire ,care este derivata sagetii,se obtine pentru cazul plan
cu aceleasi functii de forma. Campul deplasarilor se exprima astfel prin deplasarile nodale
{ ( )} [ ( )]{ }redusi ed x N x d= (14)
• Relatiile dintre deformatiile specifice si deplasari permit exprimarea campului deformatiilor specifice prin vectorul deplasarilor nodale.Pentru bara dintr o structura plana solicitata la intindere(compresiune) si incovoiere plana,in calculul de ordinul I deformatia specifica
67
liniara a unei fibre aflata la distanta y de planul neutru este data de relatia: 2
2u v
x x xdu d vydx dx
ε ε ε= + = − (15)
Primul termen corespunde solicitarii de indindere (compresiune),iar cel de al doilea termen corespunde incovoierii,asa cum rezulta din figura 3a,ce reprezinta incovoierea unui element infinit zecimal de bara;dreapta BC este paralela cu OA si deci CD reprezinta alungirea fibrei de la distanta y de planul neutru.Din asemanarea triunghiurilor curbilinii OAB si BCD rezulta:
v3
2 2
'' sau ''[1 ( ') ]
vx x
y vy yvv
ε ερ
±= = = −
+ (16)
pentru ca se poate neglija 2( ')v in raport cu 1. Pentru bara dintr o structura spatiala,solicitata la intindere(compresiune)cu incovoiere oblica si torsiune libera,deformatiile specifice,liniara si unghiulara,vor fi exprimate prin:
2 2
2 2 ; (17)u v w xx x x x
ddu d v d wy z rdx dx dx dx
θε ε ε ε γ= + + = − − =
Fig. 3
Unde in xε s-a adaugat termenul datorat si incovoierii din plan xz,iar pentru γ relatia rezulta din figura 3b:
' xBB dx rdγ θ= = (18) Tinand seama ca sectiunea s-a rotit cu dθx. Introducand (14) in (16)sau (17) ⇒def. specifice exprimate prin deplasarile nodale elementale{ }cd ;ptr bara din structura plana rezulta:
pentru bara din structura spatiala .General e{ }=[B]{d }ε⇒ (19c)
• Tensiunile din bara se evalueaza cu ajurotul deformatiilor specifice din (19) prin legea fizica de comportare a materialului(legea lui Hook)
o pentru bara din structura plana [ ]{ }x x eE E B dσ ε= = o pentru bara din structura spatiala:
e[ ][ ]{ } { }=[E][B]{d } (20)x xe
E OE B d
O Gσ ε
στ γ
⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
• Conditia de echilibru a barei exprimata cu ajutorul principiului LMV
extL Uδ δ= (21) adica variatia lucrului mecanic exterior trebuie sa fie egala cu variatia energiei potentiale de deformare. Deplasarea virtuala se obtine printr o variatie infinitezecimala a deplasarilor nodale elementale { }edδ si a functiilor de deplasare { ( )} [ ( )]{ } (22)i cd x N x dδ δ= care in baza relatiilor (14)si (19)produc o variatie a deformarii specifice: { } [ ]{ }cB dδε δ= (23) In cazul calculului static,efectueaza lucru mecanic virtual exterior eforturile de la capetele elementului finit si incarcarile distribuite in lungul sau,pe deplasarile corespunzatoare.Daca se noteaza cu {p(x)} vectorul intensitatilor incarcarilor din lungui barei,atunci:
( )0 0
{ } { } { ( )} { ( )} { } { } [ ( )] { ( )} (24)
{ } { } { }
l lstatic T T T T
ext e e c c i
static Text e e e
L d S d x p x dx d S N x p x dx
L d S Q
δ δ δ δ
δ δ
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠= −
∫ ∫
unde s-a tinut seama de (22) si de relatia ([ ][ ]) [ ] [ ]T T TA B B A= . Pentru cazul plan,vectorul intensitatilor incarcatorilor are 2 componente(fig 2.a),iar pentru bara din structura spatiala are 4 componente(fig.2b).Tinand seama de(11)-plan sau (14)-spatial rezulta: -plan
unde { }eQ -vectorul reactiunilor de bara dublu incastrata produsa de actiunile exterioare distribuite in lungul barei. Pentru incarcari uniform distribuite,componentele vectorului reactiunilor obtinut prin efectuarea integralelor din (25a) respectiv (25b) vor fi:
Pentru alte incarcari se pot utiliza tabelele cu reactiuni din statica.Intensitatiile incarcarilor s-au considerat pozitive cand actioneaza invers deplasarilor ,dupa conventia din R.M. si de aceea LMV efectuat de aceste incarcari este negativ. In cazul calculului dinamic,campul deplasarilor depinde de variabilele spatiale si temporale,iar lucrul mecanic virtual exterior este efectuat de eforturile elementale si fortele de inertie distribuite in lungul barei,in functie de distributia masei si a acceleratiilor{ ( , )} { ( , )} [ ( )]{ ( )} (27)in i ep x t m d x t m N x d t= − = −&& && unde s-a tinut seama de relatia(14)si ca functiile de forma depind numai de abcisa x,iar deplasarile nodale depind numai de timp. Rezulta ptr LMV exterior expresia:
sau daca se considera masa uniform distribuita(bara avand sectiunea constanta m=ρA)),dupa efectuarea calculelor,se obtine matricea de inertie consistenta elementala sub forma:
care surprinde efectul vibratiilorlongitudinale si transversale plane necuplate intre ele;evident ca se poate renunta la vibratiile longitudinale si atunci prima si a patra linie si coloana din matrice vor avea toate elementele nule. Observatie.Pentru ca influenta matricei de inertie asupra raspunsului structurii este mai mic decat cel al matricei de rigiditate,pentru determinarea matricei de inertie se pot folosi si -------- v(x) functii de forma liniare: 21 1 2 3 4( ) ( ); ( ) 0; ( ) ( ); ( ) 0 (32)N x N x N x N x N x N x= = = = care indroduse in relatia(30) conduce la:
ce reprezinta matricea semiconsistenta a maselor. Se pot defini functii de forma unitare,definite pe jumatate de deschidere pentru amblele deplasari u(x) si v(x) si atunci se obtine
Ca si in cazul barelor din structura plana se pot stabili ptr bara din structura spatiala matrice de inertie semiconsistente sau matrice de inertie cu mase concentrate
• Variatia energiei potentiale de deformare,care se inmagazineaza in bara,indiferent de tipul actiunii exterioare este
T Te e e e
v v
U= { } { } { } [ ] [ ][ ] {d }={ d } [ k ]{d } (35) T TedV d B E B dVδ δε σ δ δ
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫
unde s-a tinut seama de (20) si (23)si s-a notat matricea de rigiditate elementala
[ ] [ ] [ ][ ]Te
v
k B E B dv= ∫ (36)
In cazul barei din structura plana
⇒
1
1
221 1 2 3 4
2
3
4
'
''
''[ ] [ ' '' '' N ' '' '' ]
'
''
''
ev
N
yN
yNk E N yN yN yN yN dx
N
yN
yN
⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪
⎪ ⎪−⎪ ⎪= − − − −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪−⎩ ⎭
∫
74
221 1 1 1 2 1 1 3 1 4
2 2 2 2 21 1 1 1 2 1 2 1 3 1 4
2 2 2 2 21 2 1 2 2 2 2 1 3 2 4
22 21 2 2 2 2 2 3
' ' '' ' '' ' ' ' '' ' ''
' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''
' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''[ ]
' ' '' ' '' ' ' ' ''e
N yN N yN N N N yN N yN N
yN N y N y N N yN N y N N y N N
yN N y N N y N yN N y N N y N Nk
N N yN N yN N N yN N y
− − − −
− −
− −=
− − − −0 2 4
2 2 2 2 2 21 3 1 3 2 3 2 3 3 3 4
2 2 2 2 21 4 1 4 2 4 2 4 3 4 4
(' ''
' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''
' '' '' '' '' '' ' '' '' '' ''
l
N N
yN N y N N y N N yN N y N y N N
yN N y N N y N N yN N y N N y N
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥
⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
Tinand seama ca 20, (38)z
A A
ydA y dA I= =∫ ∫
si de expresiile functiilor de forma (12),dupa efectuarea integralelor⇒
3 2 3 2
2 2
z
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 4 6 20 0[ ] ;I=I
0 0 0 0
12 6 12 60 0
6 2 6 40 0
e
EA EAl l
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l lk
EA EAl l
EI EI EI EIl l l lEI EI EI EIl l l l
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−
− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
(39)
Pentru o bara dintr o structura spatiala matricea de rigiditate se obtine in mod similar si are dimensiunea 12x12:
Introducand expresiile variatiei llucrului mecanic exterior static si a variatiei energiei potentiale de deformare in cond. de echilibru,se obtine:
e e e e
{ } ({ } { }) { } [ ]{ } (41a)
[k ]{d }={S }-{Q } (41)
T Te c e e e ed S Q d k dδ δ= − =
care reprezinta relatia fizica a e.f. in sistemul de referinta local(modelul numeric elemental)pentru calculul static al structurilor. Relatia fizica elementala pentru calculul dinamic rezulta:
[ ]{ } [ ]{ } { } (42)e e e e ek d m d S+ =&&
• Relatiile fizice elementale din sistemul de axe local trebuie trecute in in sistemul de axe general(structural),in vederea scrierii cond. de echilibru pentru intreaga structura.In cazul plan,deplasarile 1, 1 1,u v θ din sist de axe local au componentele , ,xi yi iD D θ in sistem de axe general si conf fig 4.:
1
1
cos sinsin cos (43)
xi yi
xi yi
i
u D Dv D D
Dθ
α α
α α
θ
= +
= − +
=
Figura 4
76
Relatii similare se scriu si pentru nodul 2 astfel ca:
1
1
1
2
2
2
cos sin 0 0 0 0sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 0
{ } [ ]{ }0 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 00 0 0 0 0 1
La fel se face transformarea eforturilor intre cele 2 sisteme de axe
e e e{ } [ ]{ } * ( ) {Q }= [T ]{Q }*e e eS T S b= (44) si a reactiunilor produse de actiunile distribuite in lungul barei.Elementele matricii [Tc] de transformare din sistemul de axe local in sistemul de axe general,se calculeaza cu coordonatele nodurilor:
j2 2 y( ) ( ) ; cos ; sin = (45)j i i
j i j i
x x yl x x y y
l lα α
− −= − + − =
Relatiile fizice transformate in sistemul de axe general se scriu:
e e e e ea) { }* [ ]*{ } { }* {S }*=[k ]*{D }+[m ]*{D } b) e e e eS k D Q= + (46) unde matricele de rigiditate si de inertie ale barei in sistemul general:
Te e[ ]* [ ] [ ][ ] ; [m ]*=[T ] [ ]{ }T
e e e e e ek T k T m T= (47) Matrice de transformare se mai poate scrie:
b)sumare e[ ] [ ]*; [ ] [ ]*; {Q}= {Q }*e ek k M m= =∑ ∑ ∑ (50) Rzulta relatiile fizice structurale: [ ]{ } { } { } { }[ ]{ } [ ]{ } 0k D F P Q statick D M D dinamic
= = − −
+ = −&& (51)
77
3. METODA ELEMENTELOR FINITE ÎN ANALIZA CONTINUULUI MATERIAL
O problemă importantă în extinderea metodei elementelor finite la sistemele structurale
continue (plane şi spaţiale) o constituie faptul că acestea nu prezintă linii materiale care să indice modul de alegere a elementelor finite ca în cazul structurilor din bare. Câmpurile de deplasare, de tensiune şi de deformaţie din sistemele structurale supuse la diverse acţiuni pot fi descrise cu ajutorul unor ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale. Formele variate ale structurilor, modul de rezemare, cuplarea elementelor componente, neomogenităţile şi anizotropia, complexitatea acţiunilor, etc., nu permit să se obţină totdeauna soluţii analitice şi, mai ales, soluţii simple, care să poată fi utilizate în practică. De aceea MEF constituie un instrument puternic, care permite abordarea celor mai complexe situaţii reale, folosind ca instrument de lucru calculatorul.
În cazul structurilor continue divizarea în elemente finite este întrucâtva arbitrară, dar necesită introducerea în studiu a unor aspecte noi, specifice. Structura idealizată se discretizează în subdomenii disjuncte, prin linii în cazul plan (bidimensional) şi prin suprafeţe în cazul spaţial (tridimensional). Aceste subdomenii, asupra cărora se fac unele conjecturi şi cărora li se atribuie o serie de proprietăţi specifice problemelor abordate, se numesc elemente finite, ca şi în cazul structurilor din bare.
Frontierele dintre elementele finite sunt linii, respectiv plane, iar intersecţiile lor determină puncte nodale. Fiecărui punct nodal i se ataşează un număr minim de grade de libertate (cinematică): două în plan şi trei în spaţiu. Gradele de libertate deplasări ataşate nodurilor sunt de ordinul I. Prin considerarea şi a altor mărimi, ca de exemplu a derivatelor de ordinul I şi chiar de ordinul al II-lea, se introduc grade de libertate de ordin superior.
Nodurile determinate de intersecţia liniilor şi/sau suprafeţelor de diviziune se numesc primare, dar se pot utiliza şi puncte de conexiune suplimentare, situate pe liniile de intersecţie, respectiv pe suprafeţele de intersecţie, numite noduri externe secundare sau se pot folosi puncte interne nelegate de alte elemente finite.
Gradul de nedeterminare cinematică nc a structurii discretizate (partiţionată în elemente finite) este dat de numărul de puncte nodale n, de numărul de grade de libertate al unui nod l şi de numărul de deplasări nodale impuse r. Dacă l este acelaşi pentru orice nod, nc se calculează cu relaţia:
rnlnc −= (1) Gradul de nedeterminare cinematică este deci egal cu numărul de deplasări nodale
necunoscute. Elementele finite individuale se consideră acţionate de încărcările de pe suprafaţă, forţele
masice, eventual de temperatură, de forţele de interacţiune care iau naştere pe frontierele de contact. Toate aceste acţiuni se pot înlocui echivalent cu forţe situate numai în noduri. Echivalenţa rezultă din principiul de minim al energiei potenţiale totale sau din teorema lucrului mecanic virtual. Se obţine astfel o relaţie de conexiune între forţele nodale echivalente şi deplasările nodale. Pentru materiale liniar elastice relaţia dintre vectorul forţelor nodale echivalente şi vectorul deplasărilor nodale este de proporţionalitate şi se realizează prin intermediul matricei de rigiditate a elementului.
Reconstituirea sau asamblarea structurii se face cu păstrarea proprietăţilor topologice ale sistemului discretizat, prin cuplarea elementelor finite pe baza condiţiilor de continuitate şi a condiţiilor de echilibru exprimate direct sau cu ajutorul lucrului mecanic virtual. Rezultă astfel un sistem de ecuaţii având ca necunoscute deplasările nodale. Coeficienţii acestui sistem formează matricea de rigiditate a structurii, corespunzătoare discretizării adoptate. Cunoaşterea deplasărilor nodale permite determinarea stării de deformaţie şi a stării de tensiune din structură.
Elementele finite unidimensionale au două noduri la extremităţi (fig. 1 a), în timp ce cele bi- şi tri- dimensionale au mai multe noduri, în funcţie de gradul de rafinare al metodelor de analiză (fig. 1 b, c, d, e, f, g).
78
Fig.1
Continuitatea în structură la elementele unidimensionale se realizează numai în noduri (fig. 2 a). În cazul structurilor cu elemente bi- şi tri- dimensionale se poate realiza un anume grad de continuitate şi între noduri, pe laturile sau feţele adiacente (fig. 2 c, d).
Fig.2
În funcţie de modul de asigurare a continuităţii în structură elementele finite sunt: 1. elemente finite neconforme, care realizează continuitatea numai în noduri; 2. elemente finite conforme, care realizează continuitatea în noduri şi între noduri, pe
frontierele dintre elementele finite şi care, la rândul lor, pot fi: a) elemente finite cu deplasări conforme sau geometric-compatibile, la care în lungul
frontierelor comune se menţine continuitatea în deplasări; b) elemente finite cu tensiuni conforme, la care pe frontierele comune dintre elemente,
tensiunile în acelaşi punct sunt egale; c) elemente finite cu conformare mixtă, la care în lungul frontierelor comune continuitatea
se realizează parţial în deplasări şi partial în tensiuni; 3. elemente finite cvasiconforme (cu continuitate parţială). Continuitatea poate fi în deplasări
dar şi de ordin superior. Fiecare element finit se raportează la un sistem de referinţă propriu sau local. Structura se
raportează la un sistem de referinţă general sau global. În particular, sistemele de referinţă ale elementelor finite şi cel al structurii pot fi paralele, coplanare etc.
Pe subdomenii, deci pe elemente finite, câmpul de deplasare se exprimă sub o formă parametrică aproximativă, de obicei polinomială.
Folosind ecuaţiile geometrice şi fizice şi condiţiile de echilibru pe element, exprimate direct sau cu ajutorul lucrului mecanic virtual, se stabileşte o legătură biunivocă între forţele echivalente din noduri (reprezentând interacţiunea cu structura) şi deplasările corespunzătoare.
Forţele şi deplasările nodale, ca forţe şi deplasări generalizate, sunt coliniare şi constituie componentele unor vectori:
În cazul liniar elastic relaţia dintre vectorul forţelor nodale şi vectorul deplasărilor nodale pentru un element finit este liniară. Proporţionalitatea dintre cei doi vectori este realizată de matricea de rigiditate a elementului finit. Pentru a determina această relaţie, deci matricea de rigiditate a unui element finit, sunt necesare următoarele etape:
• exprimarea câmpului de deplasări în funcţie de deplasările nodale, necesitând un proces de interpolare;
• determinarea câmpului de deformaţie şi respectiv de tensiune cu ajutorul ecuaţiilor geometrice şi fizice ale elasticităţii;
• exprimarea condiţiilor de echilibru a fiecărui element finit (echilibrul părţilor în virtutea echilibrului general al structurii), în mod frecvent folosind principiul lucrului mecanic virtual.
În continuare se fac referiri la rezolvarea prin metoda elementelor finite a structurilor care se pot discretiza în elemente finite plane.
3.1. ELEMENTE FINITE PLANE
3.1.1. ELEMENTUL FINIT TRIUNGHIULAR ÎN COORDONATE CARTEZIENE
Se consideră un element structural de tipul unei plăci acţionată de forţe situate în planul ei şi care se discretizează în elemente finite de formă triunghiulară (fig. 3).
Fig. 3
Fie un element finit triunghiular oarecare din structura considerată, raportat la sistemul de referinţă propriu xOy (fig. 4). Punctele nodale ale elementului finit coincid cu vârfurile triunghiului (noduri primare) şi se numerotează cu i, j, k, numerotarea de la i la k făcându-se în sens trigonometric (antiorar). Fiind vorba de o problemă de elasticitate plană, fiecare punct nodal are două grade de libertate, deplasările ui,j,k şi vi,j,k în direcţiile axelor de coordonate (fig. 4 b). Deplasările se consideră pozitive dacă sunt în sensul pozitiv al axelor şi negative în caz contrar.
Fig. 4
x
i
j
k
x
y
O a) b)
i j
k
y
Fxi ui
Fxk uk
Fyk
vk
vi
Fyi
vj
Fyj
e uj Fxj
e
80
Câmpul de deplasare reprezentat de funcţiile u(x,y) şi v(x,y) se ia sub forma unor polinoame liniare, fiind de clasă cel puţin C1 (cu derivatele de ordinul I nenule):
yaxaayxvyaxaayxu
654
321
),(),(
++=++=
(2)
unde ai (i = 1, 2, ..., 6) sunt parametri generalizaţi, numărul lor fiind egal cu cel al gradelor de libertate nodale ale elementului finit. Deplasările unui punct oarecare aparţinând elementului finit reprezintă componentele vectorului deplasare d{u(x,y); v(x,y)}T (exponentul T indică operaţia de transpunere). În formulare matriceală relaţiile (2) se scriu:
{ } [ ]{ }ada
a
yxyx
yxvyxu
ψ=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
6
1
10000001
),(),(
Μ (3)
în care
[ ] { } { }Taaaayx
yx621,
10000001
Λ=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=ψ (4)
Parametrii generalizaţi, reprezentaţi prin componentele vectorului {a}, vor fi exprimaţi cu ajutorul parametrilor nodali, care formează un vector {de} = {ue ve}T, unde subvectorii {ue} şi {ve} sunt:
{ } { } { } { }Tkji
Te
Tkji
Te vvvvuuuu == ; (5)
Deplasările nodale pot fi exprimate în raport cu parametrii generalizaţi folosind relaţiile (2), în care coordonatele (x, y) iau pe rând valorile din punctele i, j, k
iiiiii yaxaavyaxaau 654321 ++=++=
jjjjjj yaxaavyaxaau 654321 ++=++= (6)
kkkkkk yaxaavyaxaau 654321 ++=++= sau compact,
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }veue aAvaAu 11 ; == (7)
unde [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
kk
jj
ii
yxyxyx
A111
1 (8)
Vectorul deplasărilor nodale {de} se poate scrie:
{ } [ ] [ ][ ] [ ] ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=v
u
e
ee a
aA
Avu
d1
1
00
(9)
sau { } [ ]{ }aAde = (10) Submatricele [0] sunt, ca şi [A1], de dimensiune 3x3. Rezolvând sistemele de ecuaţii (6), respectiv (7), sau sistemul echivalent (10), se obţin parametrii generalizaţi în funcţie de deplasările nodale. Soluţia sistemului (10) se poate obţine prin inversarea matricei [A]: { } [ ] { }edAa 1−= (11) Matricea [A] fiind diagonală, [A]-1 va avea forma:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= −
−−
11
111
00
AAA (12)
Se inversează matricea [A1] dată de ( 8), obţinându-se:
81
[ ] [ ] ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−
=−
ijkijk
jiikkj
ijjikiikjkkj
xxxxxxyyyyyy
yxyxyxyxyxyx
AA
1
11 det2
1 (13)
În continuare, în expresia vectorului deplasare (3) se înlocuieşte {a} cu expresia sa dată de (11) şi rezultă: { } [ ][ ] { } [ ]{ }ee dyxNdAd ),(1 == −ψ (14) Matricea [N(x,y)] se poate explicita după cum urmează:
( )[ ] [ ][ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== −
kji
kji
NNNNNN
AyxN000
000, 1ψ (15)
unde Ni, Nj, Nk se numesc funcţii de formă şi au expresiile:
( )yxxybS
N jkjkie
i ++=1 (16)
unde Se – suprafaţa (aria) elementului finit şi ( )kjjkkjjkjkkji xxxyyyyxyxb −−=−=−= ,, ,
iar Nj şi Nk se obţin din (16) prin permutări circulare. Deplasările u(x,y) şi v(x,y) rezultă:
( )( ) ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
e
e
kji
kji
vu
NNNNNN
yxvyxu
000000
,,
(17)
sau
( )( ) kkjjii
kkjjii
vNvNvNyxvuNuNuNyxu
++=
++=
,,
(18)
Folosind ecuaţiile geometrice, care în cazul plan sunt
xv
yu
yv
xu
xyyx ∂∂
+∂∂
=∂∂
=∂∂
= γεε ,, (19)
se obţin deformaţiile specifice, care sub formă matriceală se scriu:
{ } ( )( )⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
+∂∂∂∂∂∂
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=yxvyxu
xy
y
x
xv
yu
yvxu
xy
y
x
,,
0
0
γεε
ε (20)
Matricea simbolică
[ ]*0
0
B
xy
y
x=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
(21)
este un operator diferenţial, care aplicat vectorului {d(x,y)} conduce la: { } [ ][ ]{ }edyxNB ),(*=ε (22) în care [ ][ ] ( )[ ]yxByxNB ,),(* = (23) şi în continuare { } ( )[ ]{ }edyxB ,=ε (24) unde [B(x,y)] în formă dezvoltată este
82
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
=
xN
xN
xN
yN
yN
yN
yN
yN
yN
xN
xN
xN
yxB
kjikji
kji
kji
000
000
),( (25)
În general, [B(x,y)] depinde de x şi y, dar în cazul analizat deplasările u şi v fiind funcţii liniare, termenii matricei [N] depind liniar de x şi y şi derivatele lor sunt constante. Tensiunile se obţin cu ajutorul legii lui Hooke, după cum urmează: - pentru starea plană de tensiune
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x E
γεε
νν
ν
ντσσ
σ
2100
0101
1 2 (26)
- pentru starea plană de deformaţie
{ } ( )( )( )
( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−+−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
xy
y
x E
γεε
νν
νν
νν
ννν
τσσ
σ
122100
011
01
1
2111 (27)
Ecuaţiile (26) şi (27) se pot scrie compact într-o singură formă: { } [ ]{ }εσ E= (28) în care [E] este matricea de elasticitate a materialului. Se remarcă asemănarea dintre forma (28) şi legea lui Hooke pentru solicitări monoaxiale. Dacă în relaţia (28) se înlocuieşte {ε} din (24) rezultă: { } [ ][ ]{ }edyxBE ),(=σ (29) Cunoscând deplasările nodale ale elementelor finite se pot determina deformaţiile şi tensiunile. Din echilibrul structurii rezultă echilibrul părţilor componente, deci al fiecărui element finit, acţionat de forţele masice proprii şi de forţele de pe contur reprezentând efectul legăturilor interne cu restul structurii. Pentru exprimarea echilibrului unui element finit se foloseşte principiul lucrului mecanic virtual în varianta deplasărilor virtuale, anume: ULe δδ = (30) Lucrul mecanic virtual al forţelor exterioare se scrie: ( ) ( )∫∫∫∫∫ +++=
Snynx
Ve dSvpupdVvYuXL δδδδδ (31)
unde X, Y – componentele intensităţii forţelor masice; pnx, pny – intensităţile forţelor pe conturul elementului finit; δu, δv – deplasările virtuale compatibile cu legăturile; dV – elementul infinitezimal de volum (în cazul bidimensional al elementului finit cu grosimea t = const., dV = tdS = tdxdy); dS – elementul infinitezimal de arie de pe frontiera elementului finit. Variaţia energiei potenţiale de deformaţie δU corespunzătoare deplasărilor virtuale are expresia: ( )dVU
Vxyxyyyxx∫∫∫ ++= δγτδεσδεσδ (32)
unde σx, σy, τxy – tensiunile generate de forţele masice şi de pe frontiera elementului finit; δεx, δεy, δγxy – variaţiile virtuale ale deformaţiilor.
Ţinând cont de relaţiile (14) şi respectiv (24), rezultă: { } [ ]{ } { } [ ]{ }ee dBdNd δδεδδ == , (35) Dacă în condiţia (34) se introduc variaţiile virtuale ale vectorului de deplasare {δd} şi respectiv de deformaţie {δε} din (35) şi vectorul tensiunilor dat de relaţia ( 28), aceasta devine:
{ } [ ] { } { } [ ] { }
{ } ( )[ ] [ ] ( )[ ]{ }∫∫∫
∫∫∫∫∫=
=+
Ve
TTe
Sn
TTe
VM
TTe
dVdyxBEyxBd
dSpNddVFNd
,,δ
δδ (36)
Vectorul {δde}T poate fi scos de sub integrală şi se simplifică rezultând: [ ] { } [ ] { }
( )[ ] [ ] ( )[ ] { }eV
T
Sn
T
VM
T
ddVyxBEyxB
dSpNdVFN
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=+
∫∫∫
∫∫∫∫∫
,, (37)
Integralele din membrul întâi reprezintă forţele echivalente în noduri, care formează vectorul {Fe}. Integrala din membrul al doilea dintre parantezele rotunde defineşte matricea de rigiditate a elementului finit şi se notează [ke]:
[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]∫∫∫=V
Te dVyxBEyxBk ,, (38)
Dacă elementul finit are grosime constantă, atunci dV = tdS, unde t – grosimea, dS – element de arie de pe suprafaţa mediană. Condiţia (37) cu notaţiile introduse devine: { } [ ]{ }eee dkF = (39) Matricea [ke] este pătrată, de dimensiune nexne, unde ne este numărul gradelor de libertate acordate elementului finit. Pentru analiza pe structură se face o reordonare a deplasărilor nodale, implicând permutări corespunzătoare ale liniilor din matricea de rigiditate, anume: 654321 ,,,,, ekekejejeiei dvdudvdudvdu ====== Forţele nodale echivalente se consideră coliniare cu deplasările nodale. Ţinând cont de cele de mai sus, relaţia (39) se mai poate scrie:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
6
5
4
3
2
1
e
e
e
e
e
e
yk
xk
yj
xj
yi
xi
e
e
e
e
e
e
dddddd
kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
FFFFFF
FFFFFF
(40)
Termenii de pe o coloană a matricei de rigiditate reprezintă forţele nodale corespunzătoare unei deplasări unitare, celelalte deplasări fiind nule. De exemplu, coloana 2 se obţine pentru de2 = 1 şi de1 = de3 = de4 = de5 = de6 = 0. Condiţia de echilibru a elementului finit conduce la sumă nulă pentru valorile termenilor oricărei coloane din matricea de rigiditate. În (41) se dau expresiile elementelor matricei de rigiditate
84
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 32133123112232
223111 2
1;2
1 xxyySkxySk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 233211421322312113 21;
21 yxSkxxyySk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 3212232111631322313115 21;
21 xyyxSkyxyxSk νννν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 21133112123213
231122 2
1;2
1 xxyySkxySk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 311312523133132124 21;
21 yxSkxxyxSk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 12133121126 21 yxyxSk νν (41)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 23211232134221
212133 2
1;2
1 yxyxSkxySk ννν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 122113631211213135 21;
21 yxSkyxyxSk ννν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 31233213145223
232144 2
1;2
1 yyxxSkyxSk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 231
21315512233221146 2
1;2
1 yxSkyyxxSk νν
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= 212
22116631122113156 2
1;2
1 yxSkyyxxSk νν
unde s-au făcut notaţiile ( ) jiijjiije yyyxxxEtSS −=−=−= ,,/14 2
1 ν (42) Din cele prezentate mai sus se desprinde faptul că la un element finit dat, pentru exprimarea
relaţiei de legătură dintre forţele nodale şi deplasările nodale, esenţială este determinarea matricei de rigiditate cu relaţia (38), care îşi conservă forma pentru oricare tip de element finit. Modificările de conţinut ale acestei relaţii se datorează procesului de interpolare, numărului de puncte nodale şi formei elementului finit.
3.1.2. ELEMENTE FINITE TRIUNGHIULARE ÎN COORDONATE NATURALE În continuare, pentru elementul finit triunghiular se folosesc coordonatele de arie sau
naturale, care conduc la unele simplificări, mai evidente îndeosebi în cazul creşterii numărului de puncte nodale pe element.
Elementul finit triunghiular cu trei puncte nodale primare, prezentat anterior, se caracterizează prin variaţia liniară a deplasărilor şi se numeşte element finit liniar. Pentru creşterea preciziei de calcul se folosesc:
- elementul finit cuadratic, cu trei puncte nodale primare şi trei puncte nodale secundare situate pe mijloacele laturilor;
- elementul finit cubic, cu trei puncte nodale primare şi şase puncte nodale secundare, câte două pe fiecare latură, astfel încât să formeze câte trei segmente egale.
3.1.2.1. Element finit liniar Funcţiile de interpolare se obţin folosind coordonatele de arie sau naturale. Fie 1, 2, 3
vârfurile triunghiului având coordonatele carteziene (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) şi un punct P(x,y) ε Ae (Ae = A – domeniul ocupat de elementul finit). Coordonatele de arie ale punctului P (fig. 5) sunt:
85
3
333
2
222
1
111 ,,
hs
AAL
hs
AAL
hs
AAL ====== (43)
Rezultă 1321 =++ LLL şi deci, numai două dintre coordonatele de arie ( )3,2,1=iLi sunt independente; evident AAAA ∈321 ,, şi ( )1,0,, 321 ∈LLL .
Laturile triunghiului se definesc prin ecuaţiile: latura 1, L1 = 0; latura 2, L2 = 0; latura 3, L3 = 0. Coordonatele de arie ale vârfurilor sunt: 1(1,0,0), 2(0,1,0), 3(0,0,1), iar cele ale centrului geometric (de greutate) al elementului finit L1 = L2 = L3 = 1/3.
Fig. 5
Relaţiile dintre coordonatele carteziene ale punctului generic P şi coordonatele sale de arie sunt liniare:
332211
332211
yLyLyLyxLxLxLx
++=++=
(44)
La acestea se adaugă relaţia de dependenţă scrisă în forma: 3211 LLL ++= (45) S-a format un sistem de ecuaţii care se poate scrie matriceal:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
321
321
1111 LLL
yyyxxx
yx
(46)
Exprimând L1, L2, L3 funcţie de x, y prin inversarea matricei coordonatelor din (46) se obţine:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
121
12212112
31131331
23323223
3
2
1
yx
yxyxxyyxyxxyyxyxxy
ALLL
(47)
în care A este aria elementului finit triunghiular, iar y23 = y2-y3, x32 = x3-x2, y31 = y3-y1 etc. În cazul elementului finit liniar există egalitatea Li = Ni. Pentru efectuarea derivatelor şi integralelor care intervin, se consideră variabilele independente L1 şi L2. Derivatele parţiale în raport cu aceste variabile se scriu:
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
y
xJ
y
xyxyx
L
L2323
1313
2
1 (48)
86
De asemenea, se pot exprima derivatele x∂∂ şi
y∂∂ :
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∂∂∂∂
−
2
11
2
1
1332
3123
21
L
LJ
L
Lxxyy
Ay
x (49)
Componentele deformaţiilor se exprimă prin patru derivate ale deplasărilor:
{ } [ ] [ ]
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
y
x
y
x
xy
y
x
vvuu
T
yvxvyuxu
T
,
,
,
,
γεε
ε (50)
unde matricea [T] are forma [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
011010000001
T (51)
Se defineşte vectorul deformaţiilor naturale ca fiind:
{ }T
N Lv
Lv
Lu
Lu
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=2121
ε (52)
şi folosind (49) şi (50) se obţine:
{ } [ ] { }NJJ
T εε ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
1
1
00
(53)
Deplasările u şi v pot fi exprimate iniţial prin intermediul unor deplasări generalizate, qx şi qy, astfel încât:
{ } { }{ } { }y
Tx
T
qv
qu
ψ
ψ
=
= (54)
unde {ψ} este vectorul termenilor polinomiali exprimat în coordonate de arie. Vectorul deformaţiilor naturale se poate scrie:
{ }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
y
x
N
NN q
qP
P0
0ε (55)
unde [PN] se defineşte ca fiind:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
2
1
,1
,1
LT
LT
NPψψ
(56)
Astfel, deformaţiile în coordonate carteziene se exprimă prin relaţia:
{ } [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
y
x
N
N
qq
PP
JJ
T0
00
01
1
ε (57)
Ţinând cont de aceste exprimări, matricea de rigiditate generalizată va avea forma:
[ ] [ ] dVqq
PP
HP
Pk
y
x
N
N
VT
N
TN
e⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫∫∫ 0
00
0 (58)
unde
[ ] [ ] [ ][ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
−
−
−
1
1
1
1
00
00
JJ
TCTJ
JH T (59)
87
Pentru elementul finit cu deformaţii constante {ψ1}T se poate lua sub forma: { } { }3211 LLLT =ψ (60) Presupunând că:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
e
e
y
x
vu
qq
(61)
şi ţinând cont de (56) rezultă:
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=110101
NP (62)
Astfel matricea de rigiditate [ke] va fi complet definită. Calculul matricei de rigiditate elementale presupune efectuarea unor integrale, care pentru
probleme plane vor avea forma:
( ) AcbacbadALLLI
A
cba 2!2
!!!3212 ⋅
+++== ∫ (63)
unde a, b, c sunt constante întregi. Pentru aplicaţii practice s-au realizat şi tabele cu rezultate ale integrării. Legătura între coordonatele carteziene x, y şi cele de arie L1, L2, L3 se poate exprima după cum urmează:
∑ ∑∑ ∑ ====3
1
3
1
3
1
3
1
; iiiiiiii yNyLyxNxLx (64)
Cîmpul deplasărilor se determină cu relaţii analoge:
∑∑ ==3
1
3
1; iiii vNvuNu (65)
ui, vi (i = 1, 2, 3) fiind deplasările nodale. 3.1.2.2. Elementul finit triunghiular cuadratic La elementul finit cuadratic (fig. 6 a), funcţiile de interpolare Ni (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) se exprimă în raport cu coordonatele de arie L1, L2, L3 după cum urmează:
- noduri primare ( ) 3,2,1,12 =−= iLLN iii (66 a)
- noduri secundare 136325214 4,4,4 LLNLLNLLN === (66 b)
Coordonatele globale (x, y) şi deplasările (u, v) se determină cu relaţii similare:
∑∑
∑∑
==
==
6
1
6
1
6
1
6
1
,
,
iiii
iiii
vNvuNu
yNyxNx (67)
88
a)
b)
Fig.6 3.1.2.3. Elementul finit triunghiular cubic Pentru elementul finit cubic (fig. 6 b), avînd nouă puncte nodale, cele nouă funcţii de interpolare sunt:
- noduri primare
( )( ) 3,2,1,23132
=−−= iLLLN iii
i (68 a)
- noduri secundare
( ) ( )1329,13
29
251214 −=−= LNLLLN
( ) ( )1329,13
29
23272326 −=−= LLLNLLLN (68 b)
( ) ( )1329,13
29
21393138 −=−= LLLNLLLN
Coordonatele globale (x, y) şi deplasările (u, v) se determină cu relaţii de forma (67), sumarea făcându-se de la 1 la 9.
Observaţia 1. Prin utilizarea coordonatelor de arie s-a ajuns la exprimarea coordonatelor (x, y) în sistemul de referinţă global şi a câmpului de deplasare (u, v) cu ajutorul aceloraşi funcţii de interpolare N(x,y). Acest sistem de referinţă se include astfel în clasa mai largă a sistemelor de referinţă izoparametrice.
89
3.1.3. ELEMENT FINIT PATRULATER 3.1.3.1. Elementul finit patrulater liniar Elementul finit patrulater este frecvent utilizat în cazul stării plane de tensiune, stării plane de
deformaţie, a plăcilor plane aflate în stare de membrană. Elementul finit triunghiular poate fi considerat ca un caz particular al celui patrulater.
Elementul finit patrulater cel mai simplu este cel numai cu noduri primare, având deci patru puncte nodale în vârfuri şi opt grade de libertate.
Câmpul de deplasare al elementului finit patrulater poate fi generat de un polinom având opt parametri generalizaţi. Pentru a determina relaţia dintre forţele nodale echivalente şi deplasările nodale şi, implicit, matricea de rigiditate a elementului finit, este mai potrivit sistemul de referinţă intrinsec (al coordonatelor curbilinii), în care un punct se obţine prin intersecţia a două linii de coordonate de pe suprafaţă, s = constant, t = constant. Aceste coordonate sunt adimensionale şi pot fi legate direct de sistemul de referinţă al structurii. Într-un astfel de sistem de coordonate, funcţiile de interpolare care generează câmpul de deplasare, definesc totodată şi forma elementelor finite, deci sunt coordonate izoparametrice.
Fără a restrânge generalitatea, elementul finit patrulater liniar (cu patru noduri primare) se prezintă cu ajutorul dreptunghiului (fig. 7 a).
a)
b)
Fig. 7
90
Coordonatele carteziene ale colţurilor, reprezentând punctele nodale sunt (x1, y1), (x2, y2), (x3,
y3), (x4, y4). Se introduc coordonatele adimensionale după cum urmează: ( ) ( )
cyyt
bxxs 00 2,2 −
=−
= (69)
astfel că pentru punctele nodale rezultă coordonatele adimensionale 1(-1, -1), 2(1, -1), 3(1, 1), 4(-1, 1). Se consideră un element finit patrulater (fig. 7 b), raportat la sistemul de referinţă cartezian local x, y; sistemul de referinţă local al coordonatelor de suprafaţă s, t, care înjumătăţesc laturile, conduce la coordonate adimensionale pentru noduri, similare celor ale dreptunghiului, anume: 1(-1, -1), 2(1, -1), 3(1, 1), 4(-1, 1). Funcţiile cu ajutorul cărora se generează coordonatele (x, y), respectiv (s, t), pot fi alese sub forma:
( )( ) ),
),
4321
4321
bstbtbsbbtsfaxyayaxaayxf
+++=+++=
(70)
Pentru a determina coeficienţii ai (i = 1, 2, 3, 4), respectiv bi (i = 1, 2, 3, 4), se procedează la interpolare. În continuare se pun condiţii în noduri pentru determinarea coeficienţilor bi: nod 1 → f1 = b1 – b2 – b3 + b4 nod 2 → f2 = b1 + b2 – b3 – b4 (71) nod 3 → f3 = b1 + b2 + b3 + b4 nod 4 → f4 = b1 – b2 + b3 – b4 Se rezolvă acest sistem de ecuaţii în raport cu b1, b2, b3, b4, rezultând:
( ) ( )
( ) ( )4321443213
4321243211
41;
41
41;
41
ffffbffffb
ffffbffffb
−+−=++−−=
−++−=+++= (72)
Parametrii generalizaţi bi (i = 1, 2, 3, 4) se introduc în (70 b) şi se obţine:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) =−+−+++++
+−−++−−−=
43
21
1411
41
1411
41,
fsttsfstts
fsttsfsttstsf
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) =+−++++
+−++−−=
43
21
114111
41
114111
41
ftsfts
ftsfts (73)
4433221144332211 fffffNfNfNfN Φ+Φ+Φ+Φ=+++= , unde s-au notat funcţiile de formă:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )tsNtsN
tsNtsN
+−=++=
−+=−−=
1141,11
41
1141,11
41
43
21
(74)
Se constată că pentru ( ) AAts e =∈, , 14321 =+++ NNNN (75) În exprimare vectorial – matriceală relaţia (73) se scrie:
( ) [ ] [ ] { }fN
ffff
NNNNtsf T=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
4
3
2
1
4321, (76)
91
În continuare, f(s,t) se precizează după necesităţi. Astfel se pot determina coordonatele x(s,t) şi y(s,t):
( ) [ ] ∑=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=4
1
4
3
2
1
4321,i
ii xN
xxxx
NNNNtsx (77)
Analog se obţine:
∑=
=4
1iii yNy (78)
Procedând similar se deduc relaţiile pentru deplasările u(s,t), v(s,t):
∑∑==
==4
1
4
1
,i
iii
ii vNvuNu (79)
Relaţiile (77), (78) şi (79) sunt analoge şi folosesc aceleaşi funcţii Ni. Din acest motiv coordonatele se numesc, cum s-a mai arătat, izoparametrice, în fapt fiind un caz particular de coordonate curbilinii. Laturile elementului finit descris cu relaţiile (77) şi (78) sunt rectilinii şi, de aceea, este numit element finit liniar. Pentru o precizie superioară se utilizează elemente finite izoparametrice cuadratice şi cubice. 3.1.3.2. Elementul finit patrulater cuadratic
Elementul finit cuadratic are patru puncte nodale primare şi patru puncte nodale secundare pe mijloacele laturilor patrulaterului curbiliniu. În acest caz elementului finit îi corespund 2x8 parametri generalizaţi şi funcţia generatoare este de forma:
( ) 28
27
265
24321, stbtsbtbstbsbtbsbbtsf +++++++= (80)
Ecuaţiile laturilor şi coordonatele punctelor nodale în sistemul de referinţă (s,t) sunt prezentate pe figura 8.
Fig. 8
Printr-un raţionament similar cu cel de la elementul finit liniar se determină parametrii generalizaţi şi funcţiile Ni (i = 1, 2, ..., 8), care au expresiile:
( )( )( ) ( )( )tsNtstsN −−=++−−−= 1121,111
41 2
21
( )( )( ) ( )( )243 11
21,111
41 tsNtstsN −+=+−−+−=
92
( )( )( ) ( )( )tsNtstsN +−=−−−+−= 1121,111
41 2
65 (81)
( )( )( ) ( )( )287 11
21,111
41 tsNtstsN −−=−++−−=
Coordonatele unui punct curent sunt date de relaţiile:
∑∑==
==8
1
8
1
,i
iii
ii yNyxNx (82)
Câmpul de deplasare pentru elementul finit izoparametric va fi:
∑∑==
==8
1
8
1,
iii
iii vNvuNu (83)
3.1.3.3. Elementul finit patrulater cubic În acest caz elementul finit are 12 puncte nodale (4 primare şi 8 secundare, câte două pe fiecare latură). Funcţia generatoare este de forma:
( )
312
311
310
29
28
37
265
24321,
statsatastatsasa
tastasatasaatsf
++++++
++++++= (84)
Coordonatele în sistemul de referinţă local sunt date în figura (9).
Fig.9
Coordonatele (x,y) şi deplasările (u,v) se determină cu relaţiile (82) şi (83), schimbând indicele superior de sumare, 8 cu 12. Funcţiile Ni (i = 1, ..., 12) au expresiile următoare:
În bibliografia citată se găsesc şi alte dezvoltări privind elementele finite plane, îndeosebi privind punctele nodale şi procesul de interpolare. Se menţionează rezultatul integrării pentru matricea de rigidtate:
3
!!!!
4321
43214321
4321
++++=∫∫∫ nnnn
nnnndVLLLL nnn
V
n (86)
3.1.4. TRECEREA DE LA SISTEMUL DE REFERINŢĂ LOCAL AL ELEMENTULUI LA CEL GENERAL AL STRUCTURII Adesea sistemele de referinţă locale ale elementelor finite au axele paralele cu ale sistemului de referinţă XY al structurii. Dacă paralelismul nu se realizează, atunci se face trecerea de la sistemul de referinţă local xy la cel general XY. În fig. 10 sunt reprezentate forţele din nodul i, raportate la sistemul de referinţă local şi notate cu Fxi, Fyi. Direcţiile ox şi OX fac între ele unghiul φ. Exprimând { } { }Tyixiei FFF = în raport
cu { } { }TYiXiei FFF =* rezultă:
ϕϕ
ϕϕcossin
sincos
YiXiyi
YiXixi
FFFFFF+−=+=
→ { } [ ]{ }*eiei FtF = (87)
în care [t] este matricea cosinuşilor directori
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=ϕϕϕϕ
cossinsincos
t (88)
Se poate arăta direct că [ ][ ] [ ]Itt T = , unde [I] este matricea unitate şi întrucât [ ][ ] [ ]Itt =−1 rezultă că: [ ] [ ] 1−= tt T (89) deci matricea [t] este ortogonală. Exprimări similare se pot face şi pentru celelalte noduri. Urmează că, pentru un element finit, între forţele nodale din sistemul de referinţă local şi cele din sistemul general există relaţia: { } [ ]{ }*
ee FTF = (90) în care, pentru elementul finit triunghiular liniar,
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
tt
tT
000000
(91)
este de asemenea o matrice ortogonală şi [ ] [ ] 1−= TT T (92) Un raţionament analog conduce la relaţia: { } [ ]{ }*
ee dTd = (93) Din expresia (90), ţinând cont de (92), rezultă: { } [ ] { } [ ] { }e
Tee FTFTF == −1* (94)
Între forţele nodale şi deplasările nodale ale elementului finit, în sistemul de referinţă local, există relaţia de forma (39): { } [ ]{ }eee dkF = (95)
Înlocuind { }ed din ( 95) cu expresia sa din ( 93) şi ducând apoi { }eF astfel obţinut în ( 94), se obţine legătura dintre forţele nodale şi deplasările nodale în sistemul de referinţă general: { } [ ] [ ][ ]{ }**
eeT
e dTkTF = (96) sau { } [ ]{ }***
eee dkF = (97)
94
unde [ ] [ ] [ ][ ]TkTk e
Te =* (98)
este matricea de rigiditate a elementului finit în sistemul de referinţă general. 3.1.5. ASAMBLAREA STRUCTURII. DETERMINAREA DEPLASĂRILOR După ce s-au constituit matricele de rigiditate ale tuturor elementelor finite din structura divizată, urmează procesul de reconstituire prin asamblarea părţilor componente. Asamblarea elementelor finite din structură se face, aşa cum s-a mai arătat, pe baza a două categorii de condiţii:
- condiţii de continuitate în noduri; - condiţii de echilibru pe fiecare nod. Pentru exemplificare se consideră o structură plană încărcată în planul său (fig. 11 a), divizată
în elemente finite (fig. 11 b).
a)
b)
Fig. 11
95
Se determină matricele de rigiditate ale elementelor finite separate din structură (fig. 12), pe
care sunt figurate şi direcţiile deplasărilor şi forţelor nodale. Sistemele de referinţă ale elementelor finite se consideră paralele cu sistemul de coordonate al structurii.
a)
b)
Fig.12
Fie un nod oarecare, de exemplu 3, al structurii discretizate; condiţia de continuitate în nod implică:
96
33333
33333
vvvvv
uuuuudcba
dcba
====
==== (99)
deci, deplasările nodale ale elementelor finite convergente într-un punct de conexiune sunt egale cu ale structurii discretizate. Echilibrul nodului presupune condiţiile:
033333
33333
==+++
=+++
yd
yc
yby
ay
xd
xc
xb
xa
x
PFFFF
PFFFF (100)
adică, forţele nodale ale elementelor finite, convergente într-un nod şi forţele exterioare echivalente, de pe structură, în acelaşi nod, îşi fac echilibru. Pentru întreaga structură se obţine un sistem de ecuaţii, care poate fi pus sub forma: [ ][ ] { }sss PDK = (101) unde [Ks] – matricea de rigiditate a structurii (asamblată); {Ds} – vectorul deplasărilor nodale; {Ps} – vectorul forţelor nodale exterioare ale structurii. Matricea [Ks] se formează din matricele de rigiditate ale elementelor finite componente ale structurii. Asamblarea se realizează fie direct, pe baza ecuaţiilor de echilibru (100), fie prin exprimarea echilibrului global cu ajutorul lucrului mecanic virtual. Pentru identificarea ecuaţiilor, se renumerotează nodurile structurii divizate, fiecare cu două numere succesive (fig. 12 b). Astfel, pentru nodul i (în notaţia iniţială) numerele ecuaţiilor vor fi 2i-1 şi 2i. Elementele matricei de rigiditate a structurii rezultă de forma: ∑ ∑==
h g
gijij
hiiii KKKK , (102)
unde h sunt numerele de identificare ale elementelor finite care au comun gradul de libertate i, iar g sunt numerele de identificare ale elementelor finite care au comune gradele de libertate i şi j.
Dacă i nu este adiacent cu j atunci Kij = 0. Matricea [Ks] este de tip bandă, lăţimea benzii fiind funcţie de modul în care se face numerotarea nodurilor. Ca exemplu se consideră prima ecuaţie din (100), care în numerotarea din fig.12 b corespunde la gradul de libertate 5. Notarea s-a făcut la fiecare nod pentru deplasări pe direcţia x cu numere impare (2i-1) şi pe direcţia y cu numere pare (2i). Componentele nodale ale forţelor exterioare primesc aceiaşi indici ca şi gradele de libertate corespunzătoare nodurilor. Dezvoltând condiţiile de echilibru şi ţinând cont de relaţiile (102) rezultă:
Ca verificare se pot face înlocuiri direct şi după gruparea termenilor se ajunge la rezultatul de mai sus.
Întrucât sistemul de ecuaţii (101) a fost alcătuit fără a lua în considerare condiţiile pe frontieră, matricea [Ks] este singulară. Interesează în continuare matricea de rigiditate a structurii fixate, [K], care se obţine eliminând din matricea [Ks] liniile şi coloanele corespunzătoare deplasărilor nule. Evident, din vectorul deplasărilor dispar termenii nuli, iar din cel al forţelor nodale se înlătură forţele de pe direcţiile gradelor de libertate fixate (reacţiunile).
Prin partiţionare, sistemul ( 101) se pune sub forma:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′′′′
RP
DD
KKKK
rT (104)
unde {D} – vectorul deplasărilor necunoscute ale structurii; {Dr} – deplasările pe direcţiile legăturilor structurii; {P} – vectorul forţelor nodale de pe direcţiile deplasărilor {D} (forţele active);
97
{R} – vectorul componentelor forţelor reactive. În mod frecvent { } 0=rD şi din (104) rezultă: [ ]{ } { }PDK = (105) [ ]{ } { }RDK T =′ (106) Rezolvând primul sistem de ecuaţii se obţin deplasările nodale: { } [ ] { }PKD 1−= (107) Având deplasările {D}, acestea se introduc în ( 106) şi se obţin reacţiunile: { } [ ]{ } [ ][ ] { }PKKDKR TT 1−′=′= (108) În continuare se determină starea de tensiune din elementele finite componente ale structurii. 3.2. ELEMENTE FINITE AXIAL SIMETRICE Se precizează că în continuare se consideră elemente sau structuri, care faţă de una din axe
(numită axă de revoluţie) prezintă simetrie geometrică, elastică şi de încărcare. Evident, această simetrie poate să varieze în direcţia axei de revoluţie. Ca exemple se pot da rezervorul cilindric supus presiunii hidrostatice, coşul de fum sub acţiunea forţelor gravitaţionale şi a variaţiei de temperatură, sfera supusă acţiunilor gravitaţionale etc.
Discretizarea unei astfel de structuri se realizează în inele sau, mai general, elemente sub forma unui tor, având secţiunile transversale, spre exemplu, triunghiulare (fig. 13). Se subliniază că un nod este de fapt un cerc; de exemplu, nodul i este cercul de rază ri. Elementul de volum dV poate fi exprimat sub forma dzdrrdV ⋅⋅⋅= π2 (dacă axa de revoluţie este, spre exemplu z). În fond este vorba de elemente tridimensionale particulare, cu secţiunile transversale în acelaşi plan. Întrucât condiţia de simetrie axială cere ca v = 0 (după axa θ, tangentă la circumferinţă), deplasările nenule sunt u şi w, situate în planul rz şi deci se pot extinde toate consideraţiile de la problema elasticităţii plane în coordonate polare. În prezentul paragraf se folosesc coordonatele cilindrice r, θ, z.
Deformaţiile specifice nenule sunt εr, εz,εθ, γrz, care se definesc în funcţie de deplasările u, w ce formează vectorul { } { }Twuzrd ,),( = :
rw
zu
ru
zw
ru
rzzr ∂∂
+∂∂
==∂∂
=∂∂
= γεεε θ ,,, (109)
sau
{ } [ ]{ }),(01
0
0
zrdBwu
rz
r
z
r
rw
zu
ruzwru
rz
z
r
∗=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
γεεε
εθ
(110)
Fig. 13
98
Deformaţiile datorate variaţiei temperaturii ce respectă simetria axială sunt: { } { }T
T TTT 0αααε = (111) În baza legii lui Hooke, se pot exprima tensiunile funcţie de deformaţiile specifice după cum urmează:
{ }
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−+=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
rz
z
r
rz
z
r
TTT
E
γαεαεαε
νννν
νννννν
νντσσσ
σθθ
221000
010101
)21)(1( (112)
unde matricea constitutivă [E] are forma:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−+=
221000
010101
)21)(1( νννν
νννννν
ννEE (113)
Deplasările u şi w se adoptă sub forma unor funcţii liniare, după cum urmează:
( )( ) zaraazrw
zaraazru
654
321
,,
++=++=
(114)
sau
( ){ } ( )( )
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=
6
5
4
3
2
1
10000001
,,
,
aaaaaa
zrzr
zrwzru
zrd (115)
În formă compactă, relaţia precedentă se scrie: ( ){ } ( )[ ]{ }azrzrd ,, ψ= (116) Vectorul {a} al deplasărilor generalizate se poate exprima în funcţie de vectorul deplasărilor nodale deci, procedând la interpolare:
kkk
jjj
iii
zaraau
zaraauzaraau
321
321
321
++=
++=++=
(117)
sau, în formă compactă { } [ ]{ }ue aAu 1= (118) unde
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
kk
jj
ii
zrzrzr
A111
1 ( 119)
În mod similar se obţine:
kkk
jjj
iii
zaraaw
zaraawzaraaw
654
654
654
++=
++=++=
(120)
sau { } [ ]{ }we aAw 1= (121) Din ecuaţiile (118) şi (121) se exprimă {au} şi {aw} în funcţie de {ue} şi respectiv {we}:
99
{ } [ ] { } { } [ ] { }eweu wAauAa 11
11 ; −− == (122)
unde [A1]-1 are expresia:
[ ] [ ] ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
kji
kji
kji
cccbbbaaa
AA
1
11 det2
1 (123)
cu următoarele semnificaţii ale termenilor
ijkjikijjik
kijikjkiikj
jkikjijkkji
rrczzbzrzra
rrczzbzrzrarrczzbzrzra
−=−=−=
−=−=−=
−=−=−=
(124)
Ecuaţiile date de relaţiile (122) se pot pune sub forma:
{ } [ ] [ ][ ] [ ]
[ ] { }ee
e
w
u dAwu
AA
aa
a 11
1
11
00 −
−
−
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= (125)
Se introduce relaţia (125) în relaţia (116) şi se obţine: ( ){ } ( )[ ][ ] { } [ ]{ }ee dNdAzrzrd == −1,, ψ (126) în care matricea funcţiilor de formă [N] are expresia
[ ] ( )[ ][ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== −
kji
kji
NNNNNN
AzrN000
000, 1ψ (127)
unde
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )zcrbaA
N
zcrbaA
N
zcrbaA
N
kkkk
jjjj
iiii
++=
++=
++=
1
1
1
det21
det21
det21
(128)
Introducând relaţia (126) în relaţia (110) se exprimă vectorul deformaţiilor cu ajutorul deplasărilor locale {de}: { } [ ] ( ){ } [ ][ ]{ }edNBzrdB ∗∗ == ,ε (129) Aplicând matricea operator [B*(r,z)] matricei funcţiilor de formă [N(r,z)], se obţine [B(r,z)], deci: { } ( )[ ]{ }edzrB ,=ε (130) în care,
( )[ ] ( )[ ][ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂
== ∗
rN
rN
rN
zN
zN
zN
rN
rN
rN
zN
zN
zN
rN
rN
rN
NzrBzrB
kjikji
kji
kji
kji
000
000
000
,, (131)
În particular, pentru expresiile lui u şi w adoptate, matricea [B] devine:
[ ] [ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
kjikji
kji
kji
kji
bbbcccddd
cccbbb
AB
000000
000
det21
1
(132)
100
Coeficienţii de tipul b şi c sunt cei din relaţiile ( 124), iar coeficienţii de tipul d au expresiile:
Pentru acest tip de element finit, elementul de volum se poate scrie dV = 2πrdrdz şi relaţia (135) devine: [ ] [ ] [ ][ ]∫=
eV
Te drdzBEBrk π2 (136)
Întrucât matricea [B] este funcţie de r şi z, integrala dată de relaţia (136) nu este simplu de rezolvat şi este necesar să se utilizeze metode numerice de integrare. 3.3. ELEMENTE FINITE SPAŢIALE Pentru analiza stării de tensiune şi de deformaţie în structurile masive sau corpuri tridimensionale solicitate, se folosesc elemente finite spaţiale. Cele mai utilizate forme sunt tetraedrul şi hexaedrul. Acestea au ca noduri primare vârfurile, iar ca noduri secundare (când este cazul) puncte amplasate pe muchii şi, eventual, în interior. 3.3.1. ELEMENTUL FINIT TETRAEDRAL CU 4 NODURI ÎN COORDONATE CARTEZIENE
Elementul finit tetraedral este o generalizare la spaţiul cu trei dimensiuni a elementului finit triunghiular din cazul plan. În figura 14 este reprezentat elementul tetraedral având patru noduri (primare), pe care sunt figurate gradele de libertate, câte trei pe fiecare nod, deci 12 pe întregul element finit.
Fig. 14
101
Vectorul deplasărilor unui punct curent, ( ){ } { }Twvuzyxd ,,,, = , poate fi reprezentat prin polinoame de gradul I în x, y, z:
( )( )( ) zayaxaazyxw
zayaxaazyxvzayaxaazyxu
1211109
8765
4321
,,,,,,
+++=+++=+++=
(137)
Aceste expresii pot fi puse sub formă matriceală:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
12
2
1
100000000000010000000000001
a
aa
zyxzyx
zyx
wvu
Μ (138)
sau în reprezentare compactă, ( ){ } ( )[ ]{ }azyxzyxd ,,,, ψ= (139) Din relaţiile (137), (138) şi (139), înlocuind succesiv x, y, z cu coordonatele punctelor 1, 2, 3, 4 se obţine:
Rezolvând ecuaţia dată de relaţia (140), se găseşte: { } [ ] { }edAa 1−= (143)
unde
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=−
−
−
−
11
11
11
1
000000
AA
AA (144)
Inversarea matricei [A1], de dimensiuni 4x4, se poate efectua prin procedee elementare. Substituind (143) în (139) se obţine: ( ){ } ( )[ ][ ] { } ( )[ ]{ }ee dzyxNdAzyxzyxd ,,,,,, 1 == −ψ (145) în care
( )[ ] ( )[ ][ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
== −
4321
4321
4321
1
000000000000000000000000
,,,,
NNNNNNNN
NNNNAzyxzyxN ψ
(146)
Componentele deformaţiilor corespunzând deplasărilor u, v, w sunt:
102
zu
xw
zw
yw
zv
yv
xv
yu
xu
zxz
yzy
xyx
∂∂
+∂∂
=∂∂
=
∂∂
+∂∂
=∂∂
=
∂∂
+∂∂
=∂∂
=
γε
γε
γε
;
;
;
(147)
Relaţiile (147), reprezentând ecuaţiile geometrice, se pot exprima în notaţie matriceală:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
wvu
xz
yz
xy
z
y
x
zu
xw
yw
zv
xv
yu
zwyvxu
zx
yz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
γγγεεε
(148)
sau, în formă compactă { } ( )[ ] ( ){ } ( )[ ] ( )[ ]{ }edzyxNzyxBzyxdzyxB ,,,,,,,, ∗∗ ==ε (149) Operatorul de derivare [B*(x,y,z)], de dimensiune 6x3, aplicat matricei [N(x,y,z)], de dimensiune 3x6, conduce la matricea [B(x,y,z)], de dimensiune 6x6, care are forma:
Funcţiile de formă N1, N2, N3, N4 fiind liniare, rezultă că [B(x,y,z)] este constantă. Prin urmare, elementul finit tetraedru, având ca puncte nodale nodurile primare, este un element finit cu deformaţii constante. Vectorul tensiunilor { } { }Tzxyzzyx xy
τττσσσσ = se determină din legea lui Hooke,
{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ] ( )[ ]{ }edzyxBEEC ,,=== εεσ (151) unde [C] = [E] este matricea constitutivă sau a constantelor elastice, care pentru materialul izotrop are forma:
[ ] [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+
==
GG
GG
GG
EC
000000000000000000200020002
λλλλλλλλλ
(152)
103
Din teorema lucrului mecanic virtual (exprimat în deplasări virtuale), se obţine matricea de rigiditate a elementului finit: [ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]∫=
eV
Te dVzyxBCzyxBk ,,,, (153)
care pentru elementul finit cu 12 grade de libertate are dimensiunea de 12x12. 3.3.2. ELEMENT FINIT TETRAEDRAL ÎN COORDONATE NATURALE 3.3.2.1. Element finit tetraedral liniar Se consideră un element finit sub formă de tetraedru raportat la sistemul de referinţă cartezian xyz şi local în coordonate L – naturale (fig. 15), având patru noduri primare.
a)
b)
Fig. 15
Coordonatele L – naturale sau de volum ale unui punct curent P(x,y,z) sunt:
VVL
VVL
VVL
VVL 4
43
32
21
1 ,,, ==== (154)
unde 1234412334122341 ,,, PPPP VVVVVVVV ==== (155)
104
Evident, există relaţia: 14321 =+++ LLLL (156) În figura 15b sunt date coordonatele naturale ale vârfurilor elementului finit şi ecuaţiile feţelor tetraedrului. Între coordonatele carteziene x, y, z şi cele naturale se stabilesc relaţii liniare:
∑
∑
∑
=
=
=
=+++=
=+++=
=+++=
4
144332211
4
144332211
4
144332211
iii
iii
iii
zLzLzLzLzLz
yLyLyLyLyLy
xLxLxLxLxLx
(157)
Rezolvând sistemul de ecuaţii (157), la care se adaugă şi (156), în raport cu Li (i = 1, 2, 3, 4), rezultă:
( ) ( )4,,1,61
Λ=+++= izdycxbaV
L iiiii (158)
în care
111
,111
,111
,
1111
6
44
33
22
1
44
33
22
1
44
33
22
1
444
333
222
1
444
333
222
111
yxyxyx
dzxzxzx
czyzyzy
b
zyxzyxzyx
a
zyxzyxzyxzyx
V
=−=−=
==
(159)
Prin permutări circulare se obţin ceilalţi coeficienţi pentru i = 2, 3, 4. Deplasările u, v, w, ale unui punct aparţinând elementului, se determină cu relaţiile:
∑∑∑===
===4
1
4
1
4
1,,
iii
iii
iii wLwvLvuLu (160)
3.3.2.2. Element finit tetraedral cuadratic Acest element are 10 noduri, 4 primare în vârfuri şi 6 secundare în mijloacele muchiilor(fig. 16), şi permite o mai bună discretizare a contururilor curbe şi o precizie superioară a rezultatelor.
Fig. 16
105
Coordonatele unui punct curent P(x,y,z) se determină cu relaţiile:
∑∑∑===
===10
1
10
1
10
1,,
iii
iii
iii zNzyNyxNx (161)
Analog rezultă câmpul deplasărilor:
∑∑∑===
===10
1
10
1
10
1,,
iii
iii
iii wNwvNvuNu (162)
Funcţiile de interpolare sau de formă Ni (i = 1, ..., 10) în raport cu Li (i = 1, ..., 10), pot fi exprimate după cum urmează:
( ) ( )
3210319218
347146245
4,4,44,4,4
4,3,2,112
LLNLLNLLNLLNLLNLLN
jLLN jjj
======
=−=
(163)
3.3.2.3. Element finit tetraedral cubic Elementul finit tetraedral cu 16 puncte nodale (fig. 17), din care 4 puncte nodale primare în vârfuri şi câte două pe muchii, astfel încât realizează diviziuni echidistante, se numeşte element tetraedral cubic.
Fig. 17
Coordonatele punctelor nodale secundare sunt:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
0,31,
32,016;0,
32,
31,015;0,
31,0,
3214;0,
32,0,
3113
0,0,32,
3112;0,0,
31,
3211;
32,
31,0,010;
31,
32,0,09
32,0,0,
318;
31,0,0,
327;
32,0,
31,06;
31,0,
32,05
Ca şi în cazurile precedente, coordonatele unui punct curent (x, y, z) şi deplasările corespunzătoare se determină cu relaţiile:
∑∑∑===
===16
1
16
1
16
1,,
iii
iii
iii zNzyNyxNx (164)
106
∑∑∑===
===16
1
16
1
16
1,,
iii
iii
iii wNwvNvuNu (165)
Funcţiile de interpolare Ni (i = 1, ..., 16) au următoarele expresii:
( )( ) ( )4,,123132
Λ=−−= jLLL
N jjj
j
( ) ( ) ( )132
9,132
9,132
94
1472
2464
245 −=−=−= LLLNLLLNLLLN
( ) ( ) ( )132
9,13
29
,132
93
14104
3491
148 −=−=−= L
LLNL
LLNL
LLN (166)
( ) ( ) ( )132
9,13
29
,132
91
31131
21122
2111 −=−=−= L
LLNL
LLNL
LLN
( ) ( ) ( )132
9,13
29
,132
93
32162
32153
3114 −=−=−= L
LLNL
LLNL
LLN
Pentru determinarea matricei de rigiditate a elementului finit se exprimă în continuare deformaţiile specifice, tensiunile şi condiţia de echilibru prin lucrul mecanic virtual. 3.3.3. ELEMENTUL FINIT HEXAEDRAL 3.3.3.1. Element finit paralelipipedic În coordonate carteziene se consideră cazul paralelipipedului, care este un hexaedru particular. Punctele sale nodale sunt în vârfuri, deci are 8 noduri, iar pe fiecare nod câte 3 grade de libertate(deplasările în direcţiile celor trei axe de coordonate). Numărul total al gradelor de libertate pe element este 8x3 = 24 (fig. 18).
Fig. 18
Polinomul generator pentru o deplasare va avea 8 termeni, după cum urmează: xyzzxyzxyzyx1 (167) În lungul unei muchii deplasările variază liniar. Procedeul de interpolare pentru paralelipiped este asemănător cu cel utilizat la tetraedru. Matricea [A] a coordonatelor este, ca şi în celelalte cazuri, cvasidiagonală,
[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
1
1
1
000000
AA
AA (168)
107
Submatricea [A1] este de dimensiune 8x8. Pentru a inversa [A] (de dimensiune 24x24) este suficient să se inverseze [A1]. Vectorii deformaţiilor şi tensiunilor sunt similari cu cei ai tetraedrului (relaţia 149, respectiv 151). Dimensiunea matricei [N] = [ψ][A]-1 este 3x24, iar a matricei [B], 6x24. Matricea de rigiditate are aceeaşi formă standard (153). 3.3.3.2. Element finit hexaedral izoparametric Conceptul funcţiilor izoparametrice de interpolare pentru elemente bidimensionale se extinde la elementul finit hexaedral tridimensional. Mai întâi se consideră paralelipipedul rectangular (fig. 19 a), pentru care se folosesc coordonate adimensionale faţă de centrul C, de coordonate carteziene xC, yC, zC. Laturile paralelipipedului sunt 2a, 2b, 2c, iar coordonatele adimensionale ξ, η, ζ se exprimă:
czz
byy
axx CCC −
=−
=−
= ςηξ ,, (169)
Fig. 19
Valorile coordonatelor unui punct se situează între -1 şi +1, şi o singură coordonată variază în lungul unei muchii. Coordonatele colţurilor paralelipipedului au valorile:
Se consideră, de asemenea, un hexaedru regulat orientat arbitrar (fig. 19 b). Se definesc coordonatele ξ, η, ζ astfel încât feţele corespund la ±1:
1;1;11;1;1
6,7,3,28,7,6,57,8,4,3
5,8,4,14,3,2,16,5,2,1
=⇒=⇒=⇒
−=⇒−=⇒−=⇒
ξζηξζη
SSSSSS
Coordonatele vârfurilor hexaedrului sunt aceleaşi cu ale paralelipipedului. Deplasările u, v, w sunt componentele vectorului ( ){ } { }Twvuzyxd ,,,, = , iar deplasările nodale
formează trei subvectori { } { } { }eee wvu ,, , având fiecare câte 8 componente:
{ } { } { } { } { } { }Te
Te
Te wwwwvvvvuuuu 821821821 ;; ΛΛΛ === (170)
La hexaedrul cu 24 grade de libertate nodale funcţiile de interpolare sunt de gradul I şi variază liniar în lungul unei laturi. Se pot stabili funcţii de interpolare folosind funcţia: ( ) ξηζαξζαηζαξηαζαηαξααζηξ 87654321,, +++++++=f (171)
Se obţin următoarele funcţii de formă:
( )( )( ) 8,,2,111181
Λ=+++= iN iiii ζζηηξξ (172)
Este remarcabil faptul că pentru determinarea coordonatelor carteziene ale unui punct generic şi pentru determinarea deplasărilor nodale se folosesc aceleaşi funcţii de formă:
108
∑∑∑===
===8
1
8
1
8
1
,,i
iii
iii
ii zNzyNyxNx (173)
∑∑∑===
===8
1
8
1
8
1
,,i
iii
iii
ii wNwvNvuNu (174)
Matricea de rigiditate a unui element finit are expresia cunoscută: [ ] [ ] [ ][ ]∫∫∫=
eV
Te dVBCBk (175)
unde [ ] [ ][ ]NBB ∗= (176) iar [C] este matricea constitutivă. Pentru a determina [B] se foloseşte jacobianul şi transformarea de coordonate:
[ ] [ ] )); 1 b
f
f
f
J
zfyfxf
a
zyx
zyx
zyx
J
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
= −
ζ
η
ξ
ζζζ
ηηη
ξξξ
(177)
Elementul diferenţial de volum dV se exprimă: [ ] ζηξ dddJdxdydzdV == (178) unde [J] este valoarea absolută a determinantului jacobian. Pentru laturi curbe se pot folosi funcţii de interpolare de ordin superior. Astfel se pot obţine elemente finite cuadratice (patratice) şi cubice, care corespund unei variaţii pătratice, respectiv cubice a coordonatelor în lungul muchiilor. Un astfel de element poate fi cel cu 8 puncte nodale primare (în vârfuri) şi 12 în mijloacele muchiilor, în total 20 de puncte nodale (fig. 20); fiecare nod având trei grade de libertate, elementul finit are 60 de grade de libertate.
Fig. 20
Funcţiile de interpolare depind de poziţiile nodurilor şi au expresiile:
- nodurile 1, ..., 8
( )( )( )( )211181
−+++++= ζζηηξξζζηηξξ iiiiiiif (179)
- nodurile 13, ..., 16
( )( )( )ηηξξζ iiif ++−= 11141 2 (180)
- nodurile 9, 11, 17, 19
109
( )( )( )ζζηηξ iiif ++−= 11141 2 (181)
- nodurile 10, 12, 18, 20
( )( )( )ζζξξη iiif ++−= 11141 2 (182)
Coordonatele carteziene ale unui punct curent şi deplasările corespunzătoare se calculează cu relaţii de forma ( 173) şi respectiv ( 174), în care sumarea se face de la 1 la 20. În continuare se parcurg aceleaşi etape ca la celelalte tipuri de elemente finite analizate. 4. PLACI PLANE SI CURBE 4.1 CALCULUL PLACILOR INCOVOIATE PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE 4.1. 1Consideratii preliminare Se considera placi plane actionate de forte normale pe planul median. Se analizeaza cazul placilor plane subtiri cu deformatii mici, neglijabile fata de unitate si deplasari mici in raport cu grosimea. Prin urmare conditiile de echilibru se exprima pe structura nedeformata. Se admite ipoteza segmentului normal si drept consecinta distributiile tensiunilor xyyx τ,σ,σ sunt liniare pe grosime. Placa se partitioneaza in subdomenii disjuncte numite elemente finite, care in general pot avea forma de dreptunghi, triunghi, patrulater. In continuare se considera elemente finite dreptunghiulare, respectiv triunghiulare, frecvent folosite in practica. Punctele nodale se iau in colturi si eventual pe laturi. Fiecarui punct nodal i se ataseaza un numar convenabil de grade de libertate. Punctele nodale din colturi, gradele de libertate sunt, cel putin, deplasarile normale pe planul median, w si rotirile normale la planul median in jurul laturilor notate,
.θ,θ yx Unui punct nodal de colt i se ataseaza deci minimum trei grade de libertate. Numarul gradelor de libertate pe nod poate creste si cu alti parametri, ca de exemplu curburile suprafetei mediane deformate in punctele nodale. 4.1. 2 Element finit dreptunghiular Se considera cazul cel mai simplu de element finit dreptunghiular cu puncte nodale in colturi. Deci un element finit are patru noduri si douasprezece grade de libertate.
Fig 1
Vectorul deplasarilor nodale are patru subvectori, fiecare cu cate trei componente(Fig 1a)
110
Te ei ej ek e1
i j k i
ei xi ej xj ek xk el xi
yi yj yk yi
{d }={{d }{d }{d }{d }}
W W W W{d }= θ {d }= θ {d }= θ {d }= θ
θ θ θ θ
ì ü ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïí ý í ý í ý í ýï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïî þ î þ î þ î þ
Fortele nodale care reprezinta echivalent efectelor sumate ale sarcinilor exterioare aferente, fortelor masice, altor actiuni, formeaza de asemenea un vector cu patru subvectori care la randul lor au cate trei componente, o forta normala si doua cupluri in jurul laturilor (Fig 1b)
Te ei ej ek e1
i j k 1
ei xi ej xj ek xk e1 x1
yi yj yk y1
{F }={{F }{F }{F }{F }}
Q Q Q Q{F }= M {F }= M {F }= M {F }= M
M N N N
ì ü ì ü ì ü ì üï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïí ý í ý í ý í ýï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ïî þ î þ î þ î þ
Intre vectorul fortelor nodale e{F } si vectorul deplasarilor nodale e{d } se stabileste o relatie, in particular liniara pentru placi din materiale care asculta de legea lui Hooke. Proportionalitatea intre 2 vectori de aceeasi dimensiune se realizeaza, deci prin intermediul unei matrici patrate. Functia de deplasare w(x, y) se alege sub forma unui polinom cu douasprezece parametri corespunzator numarului gradelor de libertate nodale:
2 2 3 2 2 3 3 31 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12w(x,y)=a +a x+a y+a x +a xy+a y +a x +a x y+a xy +a y +a x y+a xy (1)
in care e e(x,y) S (S fiind domeniul pe care este definit elementul finit)Î . Un punct M din planul median al elementului finit se regaseste in M* pe suprafata deformata a acestuia la distanta w masurata pe normala la planul median(Figura 2)Curbele de pe suprafata deformata, obtinute prin intersectia cu plane la axele de coordinate au in M* pantele x yθ si θ a caror expresii se obtin din (1) prin derivare.
2 9 2 2 3x 2 4 3 7 8 11 12
2 2 3 2y 3 3 6 8 9 10 11 12
δwθ (x,y)= =a +2a x+a y +3a x +2a xy+a y +3a x y+a yδxδwθ (x,y)= =a +a x+2a y+a x +2a xy+3a y +a x +3a xyδy
(2
Fig. 2
111
Functa de deplasare w(x, y)si pantele xθ si yθ sunt continue in orice punct din interiorul domeniului S e . Pe frontiera continuitatea trebuie verificata. Daca deplasarile pe frontiera intre doua noduri consecutive se pot exprima in mod univoc in raport cu parametric nodali, se poate conchide ca este realizata continuitatea. In caz contrar continuitatea nu se realizeaza. Fie, de exemplu, latura ij , pentru care expresiile deplasarilor sunt:
2 31 3 6 10
2 32 5 9 10
23 6 102 3
x
y
w a a y a y a ya a y a y a ya a y a y
θ
θ
= + + +
= + + += + +
(3)
Se constata ca deplasarile de pe aceasta latura depind de opt parametri. Se exprima deplasarile din nodurile i si j, pentru y=0 si respectiv y=b e .
2 31 j 1 3 6 10
2 32 xj 2 5 9 12
23 yj 3 6 10
w
2 3
i e e e
xi e e e
yi e e
w a a a b a b a b
a a a b a b a b
a a a b a b
θ θ
θ θ
= = + + +
= = + + +
= = + +
(4)
Deplasarile w si yθ din (4), depind de patru parametri 1 3 6 10( , , , )a a a a care pot fi exprimati univoc
in raport cu deplasarile nodale , , , .i j yi yjw w θ θ Urmeaza ca w(x, y) si ( , )y x yθ sunt continue pe
frontiera ij. Panta(rotirea) xθ in directia normala la frontiera ij depinde de patru parametri
2 5 9 10( , , , )a a a a , iar conditiile in nodurile i si j, in numar de doua, sunt insuficente pentru determinarea parametrilor generalizati in raport cu deplasarile nodurilor adiacente, prezentand discontinuitati. Analizand intreaga frontiera se ajunge la concluzii asemanatoare. Functia de deplasare w(x, y)din (1) nu asigura continuitatea pentru pantele in directia normala de contur. Deplasarile w(x, y), x yθ (x,y),θ (x,y) formeaza un vector T
y{d(x,y)}={w }xθ θ , care in raport cu
vectorul parametrilor generalizati T1 2 12{a}={a a .....a } are expresia:
{d(x,y)}=[f(x,y)]{a} (5) unde
2 2 3 2 2 3 3 3
2 2 2 3
2 2 3 2
1 x y x[f(x,y)]= 0 1 0 2 0 3 2 0 3
0 0 1 0 2 0 2 3 3
xy y x x y xy y x y xyx y x xy y x y y
x y x xy y x xy
é ùê úê úê úê úê úë û
(6)
Folosind tehnica interpolarii se vor exprima parametrii generalizati in functie de parametrii nodali. Pentru aceasta, mai intai, se exprima cu ajutorul ecuatiei (5), deplasarile in nodurile elemntului finit. Deci pentru )0=y,0=x(i ii ,
j j k e k l e l ej(x =0,y =0),k(x =a ,y =0),l(x =a ,y =b ) se obtine:
Particularizarea coordonatelor s-a facut pentru sistemul de referinta local utilizat (Fig. 2). S-a obtinut un system de douasprezece ecuatii in care cei doisprezece parametri generalizati se considera necunoscute ce urmeaza sa se exprime in functie de parametrii localizati (deplasarile din nodurile elementului finit). Se face notatia:
i i
ej j
ek k
e el l
[f(0,0)][f(x ,y )][f(0,b )][f(x ,y )]
[A]= =[f(a ,0)][f(x ,y )][f(a ,b )][f(x ,y )]
é ùé ùê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úê úë û ë û
(8)
care este o matrice patrata de 12x12, nesingulara. Sistemul(7) devine { } [ ]{ }ed A a= (9) in care xi yi j xj k xk yk l xl yl{ } { w w w }T
e i yjd w θ θ θ θ θ θ θ θ= este vectorul deplasarilor nodale.
Inversand matricea [A] si inmultind cu 1[ ]A - ambii membri ai ecuatiei (10), se obtin parametrii generalizati in functie de deplasarile din noduri{d e } 1{ } [ ] { }ea A d-= (10) Introducand vectorul {a} din (10) in expresia (5) vectorul {d(x, y)}, ia forma: -1
e e{d(x,y)}=[f(x,y)][A ]{d }=[N(x,y)][d ] (11) Deformatiile specifice x y xyε ,ε ,λ exprimate in raport cu w(x, y) sunt date de relatiile
2 2 2
x y xy2 2
δ w δ w δ wε =-z , ε =-z , γ =-2zδw δy δxδy
(12)
Vectorul deformatiunilor specifice {τ }= y xy{ }Txτ τ γ se poate pune sub forma
x
y x
xy y
δ0 0δxε w(x,y)
δε =-z 0 0 θ (x,y) =-z[B*(x,y)]{d(x,y,z)}δy
γ θ (x,y)δ δ0δy δx
é ùê úê úé ù ì üê úï ïï ïê ú ê úï ïï ïê ú ê úí ýê ú ê úï ïê ú ï ïê úï ïê ú ï ïë û î þê úê úê úë û
(13)
sau { } e eε =-z[B*(x,y)][N(x,y)]{d }=-z[B(x,y)]{d } (14) unde [B(x,y)]=[B*(x,y)][N(x,y)] (15) Pentru determinarea tensiunilor se foloseste legea lui Hooke { } eσ =[E]{τ}=-z[E][B(x,y)]{d } (16) Matricea de elasticitate sau rigiditate, [E], caracterizeaza materialul. In particular pentru placi ortotrope legea constitutive are forma
é ùê úì ü ì üï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïê úí ý í ýï ï ï ïê úï ï ï ïê úï ï ï ïï ï ï ïî þ î þê úê úë û
(18)
In continuare se foloseste teorema lucrului mecanic virtual in varianta deplasarilor virtuale L= Uδ δ unde δL este variatia lucrului mechanic al fortelor exterioare cu deplasarile virtuale{δd e }. Primul membru δL al relatiei (21) este generat de fortele echialente aplicate in noduri si de sarcinile aplicate pe suprafata elementului finit sub forma de forte si cupluri distribuite e θ xθ yθ e x y{Q ={P M M }, {q }={p m m } (20) Care parcurg deplasarile virtuale {δd e }, respective (δd(x, y)). In vectorul {q e } se introduc si fortele din greutatea proprie. Se exprima lucrul mecanic virtual al fortelor exterioare T T T T T
Variatia deplasarilor conduce la variatii virtuale ale deformatiilor specifice si implicit a energiei potentiale
{ }τ
x x y y xy xyV V
δU= (δε σ +δε σ +δγ τ )dV= δε {σ}dVòòò òòò (22)
Vectorul (δε) poate fi exprimat in functie de vectorul (δd e ) dupa cum urmeaza: e{δε}=-z[B(x,y)]{δd } (23) Variatia energiei potentiale, tinand cont de (16 ) si (23) devine:
In primul membru sunt fortele nodale echivalente globale:
114
Te e e
S
{F }={Q }+ [N] {q }dSòò (26)
In membrul al doilea al relatiei (25) se distinge vectorul deplasarilor nodale {d e } si matricea de rigiditate a elementului finit [k e ] care are expresia
e
T 2e
V[k ]= [B(x,y)] [E][B(x,y)]z dVòòò (27)
Daca domeniul ocupat de elemental finit grosimea acestuia se considera constanta , separand integralele rezulta
2 3
2
2
12
h
h
hz dz-
=ò
si
3
[ ] [ ( , )] [ ][ ( , ) ]12
Te
S
hk B x y E B x y dS= òò (28)
Pentru calcule practice, adesea sunt necesare eforturile , ,x y xyM M M . Plecand de la relatiile de definitie se obtine
2 2 3
2
2 2
[ ][ ( , )]{ } [ ][ ( , )]{ }12
h hx x
y y e eh h
xy xye
MhM zdz E B x y d z dz E B x y d
M
σστ- -
ì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ï= = - = -í ý í ýï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïï ï ï ïî þ î þò ò (29)
Comparand (12) cu (13), rezulta: [ ( , )]{ } ( )e eB x y d χ= - (30) unde
4.1. 3 Determinarea deplasarilor, eforturilor si tensiunilor Conditiile de continuitate(compatibilitate) si de echilibru exprimate pentru nodurile structurii discretizate, conduc la un sistem de ecuatii care in notatia matriceala se reprezinta: G G G[K ]{D }={P } (33) unde [K G ] -matricea de rigiditate globala a structurii, {D G } -vectorul deplasarilor din nodurile structurii, {P G } -vectorul fortelor nodale. Matricea [K G ]este singulara, inainte de a introduce conditiile de rezemare a placii. Intrucat in nodurile de rezemare deplasarile sunt nule, se retin numai ecuatiile corespunzatoare deplasarilor necunoscute. Aceasta revine la a suprima din matricea [K G ]liniile si coloanele ce corespund deplasarilor din reazeme. Mai general, se efectueaza o partitionare a matricei [K G ] si a vectorilor {D G } si {P G }
[K] [ ''] { } { }[K''] [ '] { '} { '}
K D PK D P
é ùì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïê ú =í ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïë ûî þ î þ (34)
Unde {D}-vectorul deplasarilor necunoscute, {D'}-vectorul deplasarilor din nodurile de reazem,{P}-vectorul fortelor exterioare aplicate in noduri,{P'}={R}-vectorul reactiunilor .
In cazul rezemarii rigide {D’}=(0) si se obtine [K]{D}={P} (35) cu solutia {D}= -1[K] {P} (36) Si reactiunile {R}=[K’’] H {D} (37) Un caz mai general , este acela al rezemarii elastice reactiunile fiind proportionale cu deplasarile r{R}=-[K ]{D'} (38) unde [K r ] este matricea rigiditatii reazemelor. Ecuatiile (34), tinand cont de (38), devin a. [K]{D}+[K'']{D'}={P} (39) b. T
r[K''] {D}+[K']{D'}=-[K ]{D'} Acest sistem se reorganizeaza sub forma
Tr
[K] [K''] {D} {P}=
[K''] [K']+[K ] {D'} {O}é ùì ü ì üï ï ï ïï ï ï ïê úí ý í ýê úï ï ï ïï ï ï ïî þ î þë û
(40)
sau
116
c c[K ]{D}={P } (41) unde c[K ] este matricea corectata. Inversand matricea c[K ] se determina vectorul {D}, iar cu ecuatia (38) se calculeaza reactiunile. Daca in nodurile cu rezemari elastice, exista si forte exterioare aplicate, cunoscute, atunci vectorul
G{P }={{P} {P}={R}+{P}} iar in membrul doi al ecuatiei (40) apare vectorul T{{P} {P}} .Avand deplasarile nodale cu ajutorul relatiei (29) se determina eforturile. Pentru punctele date se localizeaza matricea [B]. 4.1. 4. Element finit triunghiular In cazul unor placi de alte forme, decat dreptunghiulare se utilizeaza adesea elemente finite triunghiulare . In literature exista mai multe rezolvari care au in vedere numarul de puncte nodale , numarul de parametric pe nod, tipul functiei de forma, alegerea sistemului de referinta local, etc. . Se prezinta amplificare cazul elementului finit triunghiular in coordonate carteziene , avand trei grade de libertate pe nod, deplasare w, normala la suprafata mediana si pantele la suprafata mediana deformata in directia axelor de coordinate din planul elementului
x yx i y iδw δwθ = =w ,θ = wδx δy
. Punctele nodale sunt in varfurile triunghiului(noduri primare).
Figura 3 In Fig. 3, placa triunghiulara este discretizata in elemente finite, de asemenea triunghiulare. In Fig 4 este reprezentat elemental finit cu deplasarile si fortele din noduri. Elementul finit are 3x3 grade de libertate. Se propune pentru deplasarea w(x, y) o relatie polinomiala de forma:
2 2 3 2 2 31 2 3 4 5 6 7 8 9w=a +a x+a y+a x +a xy+a y +a x +a (xy +x y)+a y (42)
117
Figura 4 Termenul variabil cu care se multiplica parametrul a e s-a luat sub aceasta forma pentru a mentine simetria functiei w(x, y). Vectorul deplasarilor nodale este T
e 1 2 9{d }={d d ...... d } , iar vectorul parametrilor generalizati T
1 2 9{a}={a a .... a } . Deplasarile intr un punct curent al elementului finit sunt w(x, y), x yθ (x,y),θ (x,y) si formeaza vectorul campului de deplasare x y{d(x,y)}={w(x,y) θ (x,y) θ (x,y)}, unde {d(x,y)}=[f(x,y)]{a} (43) in care matricea [f(x, y)] este
2 2 3 2 2 3
2 2
2 2
1[f(x,y)]= 0 1 0 2 0 3 y 2 0
0 0 1 0 2 0 2 3
x y x xy y x xy x y yx y x xy
x y xy x y
é ù+ê úê ú+ê úê ú+ê úë û
(44)
Vectorul deplasarilor nodale {d e }se exprima sub forma {d e }=[A]{a} (45) unde
i i
j j
k k
[f(x ,y )][A]= [f(x ,y )]
[f(x ,y )] 9x9
é ùê úê úê úê úë û
(46)
Inversand matricea [A] se obtine vectorul deplasarilor generalizate in functie de cele nodale
118
-1e{a}=[A] {d } (47)
si apoi rezulta vectorul campului de deplasare sub forma -1
e e{d(x,y)}=[f(x,y)][A] {d }=[N(x,y)]{d } (48) In continuare se procedeaza ca si la elementul finit dreptunghiular. Pentru descrierea deplasarilor w(x, y) la elementele finite triunghiulare s-a folosit de asemenea functia 2 2 3 2 2 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9w(x,y)=a +a x+a y+a x +a y +a x +a x y+a xy +a y care conduce la rezultate bune. Ansamblarea urmeaza o cale similara celei prezentate la problema plana , cu specificatia ca gradele de libertate pe nod sunt in numar de trei , o translatie normala la suprafata elementului (dupa axa z) si doua rotiri in raport cu axele x si y din planul elementului si acestor grade de libertate le corespund o ecuatie de momente fata de axele x si y. In cazul discretizarii unei placi plane in elemente finite dreptunghiulare , echilibrul unui nod antreneaza conexiuni cu patru elemente finite respectiv opt noduri. Numarul total al deplasarilor structurii discretizate cu n noduri va fi 3n.
5. METODE NUMERICE PENTRU ANALIZA SISTEMELOR DINAMICE
Ecuatiile miscarii(vibratiilor sau oscilatiilor) unui sistem dinamic cu n grade de libertate
sunt: ( )MD CD KD P t+ + =&& & ( 1a) unde M-matricea(consistenta,semiconsistenta sau diagonala cu mase concentrate)de inertie, C-este matricea de amortizare, D,D,D&&& -vectorii deplasarilor gradelor de libertate (nodale),al vitezelor,respectiv al acceleratiilor, P(t)- vectorul actiunii dinamice. In general,matricea de amortizare se poate exprima ca o combinatie liniara de matrice a maselor si de rigiditate sub forma: C=αM+βK ( 1b) unde α ,β -constante numerice determinate experimental. Daca C=0 vibratiile sunt neamortizate,in caz contrar sunt amortizate. Matricele M,C,K reprezinta caracteristicile primare ce descriu un sistem dinamic,care s-au stabilit in capitolele precedente prin metoda elementului finit. Actiunea dinamica poate fi si actiune seismica ,de forma: gP(t)=-MrQ ( 1c) unde r- vector cu componentele proiectii ale unui vector unitar (versor),al seismului pe directia gradului de libertate corespunzator, gQ -acceleratia seismica
119
Daca P(t)=0 vibratiile sunt libere,iar in caz contrar sunt fortate. In sistemul de ecuatii ( 1a) se considera ca au fost introduse,deja,conditiile de rezemare ale structurii,dar pentru determinarea constantelor de integrare in raport cu timpul trebuie precizate conditiile initiale,care pot fi: t=0 0 t=0D =D , D =0 ( 1d) adica se cunosc la timpul initial valorile deplasarilor si vitezelor(daca sunt nule structura isi incepe vibratiile din repaos). Sistemul de ecuatii ( 1a) are ecuatiile cuplate prin intermediul matricei de rigiditate ,chiar daca matricea maselor si de amortizare sunt matrice diagonale(deci exista si decuplare inertiala si de amortizare). Variatiile in timp ale deplasarilor (D),vitezelor ( D&) si acceleratiilor ( D&&),care se numesc si coordonate dinamice,caracterizeaza raspunsul fortat total pe timpul istoric al aplicarii actiunii dinamice,P(t),evaluat in marimi absolute.Acest raspuns total poate fi determinat prin : -suprapunere nodala, -integrare directa 5.1 METODA SUPRAPUNERII MODALE Stabilirea raspunsului dinamic liber sau fortat ,al unui sistem dinamic,prin analiza modala, consta in exprimarea celor n ecuatii dinamice cuplate de conditie ( 1a) printr un sistem de n ecuatii independente ,in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie. Se realizeaza deci o decuplare a ecuatiilor ( 1a),cu ajutorul unor coordonate independente ,in care intervin in exclusivitate caracteristicile dinamice proprii ale fiecarui mod de vibratie. Avantajele metodei consta in aceea ca: -pune in evidenta contributia si efectul fiecarei componente nodale in estimarea raspunsului dinamic total si -da posibilitatea trierii modurilor de vibratie in functie de importanta lor calitativa si cantitativa. Asa cum s-a prezentat anterior ,caracteristicile dinamice proprii ale unui sistem dinamic se obtin din problema generala valori si vectori proprii: 3( - ) 0K Mω φ = ( 2a) unde φ -vectorul formei de vibratie Rezolvarea acestei probleme conduce la determinarea matricelor ce caracterizeaza sistemul dinamic : -matricea speciala Ω = , -matricea modala 1[ ....... ]nφ φ φ= In matricea modala fiecare coloana este un vector propriu.Cu ajutorul acestor matrice,problema de valori si vectori proprii ( 2a)se poate scrie si sub forma : K Mφ φΩ= ( 2b)
120
Pe baza proprietatilor de ortogonalitate a vectorilor proprii din φ ,iin raport cu matricele primare M,C,K, se obtin matricele generalizate ,diagonale,ce caracterizeaza un sistem dinamic si care se evalueaza cu relatiile: -matricea generalizata de inertie sau matricea maselor nodale * TM Mφ φ= ( 3a) -matricea generalizata de amortizare sau matricea de amortizare nodala: * TC Cφ φ= ( 3b) -matricea generalizata de rigiditate sau matricea de rigiditate nodala: * TK Kφ φ= ( 3c) De asemenea ,in vederea exprimarii rapunsului dinamic decuplat ,matricea modala φ este folosita ca o transformare liniara de coordonate: D(t)=φη(t) ( 4a) unde η -vectorul coordonatelor generalizate (normale,principale sau modale).Prin derivari succesive a relatiei ( 4a) se obtin vectorii vitezei ,respectiv acceleratiei: ( ) ( ) , ( ) ( )D t t D t tφη φη& &&& &&= = ( 4b) Introducand relatiile( 4) in sistemul de ecuatii ( 1a)se obtine: ( )M C K P tφη φη φη&& &+ + = ( 5a) sau prin premultiplicarea cu Tφ si tinand seama de ( 3)rezulta: * * *M η+C η+K η=P(t)&& & ( 5b) unde * TP (t)=φ P(t) -vectorul actiunilor generalizate . Forma ( 5b) a ecuatiilor miscarii unui sistem dinamic,exprimat in coordonate modale ,in care matricele generalizate sunt diagonale,pune in evidenta decuplarea ecuatiilor de miscare initiale din ( 1a) exprimate in coordonate dinamice totale .Prin aceasta decuplare s-a obtinut un sistem de n ecuatii independente ,care depind numai de caracteristicile modale proprii de vibratie asa cum rezulta din ( 3). Din punct de vedere formal,ecuatia matriceala ( 5b )si oricare ecuatie din acest sistem,este identica cu ecuatia de miscare a unui sistem cu un grad de libertate. Intrucat toate ecuatiile din sistemul decuplat sunt identice ca forma,in urma integrarii lor se va determina o solutie cu caracter general,care prin particularizare conduce la expresia coordonatei generalizate pentru fiecare mod propriu de vibratie. Forma integrabila a ecuatiei modale ( 5b) se obtine prin premultiplicarea acesteia cu inversa matricei de inertie,obtinandu-se:
-1 -1 -1 -1* * * * * * * *M M η+M C η+M K η=M P&& & ( 5d) care se mai poate simplifica.
121
Daca se considera cazul sistemelor dinamice cu amortizare vascoasa liniara slaba,atunci in relatia ( 1b) se poate considera β =0 si prin analogie cu sistemele dinamice cu un grad de libertate ,matricea de amortizare se poate pune sub forma: C=αM=2νωM ( 6a) unde ν -fractiunea din amortizarea critica. Valoarea lui ν depinde de tipul structurii,mai ales de natura materialului din care este realizata si de modul propriu de vibratie si se obtine pe cale experimentala. Fractiunea din amortizarea critica are o larga utilizare in dinamica structurilor si in special in ingineria seismica; ν este un numar adimensional si caracterizeaza capacitatea de amortizare a structurii. In cazul ν=1 amortizarea se numeste critica si miscarea e aperiodica,pierzandu-si caracterul oscilator. Daca ν>1 amortizarea este supracritica si de asemenea miscarea este aperiodica. In aceste miscari aperiodice sistemul dinamic,care a fost scos din pozitia de echilibru revine la pozitia initiala fara a oscila(figura 1) Din punct de vedere practic intereseaza cazul cand ν<1,iar miscarea e pseudoarmonica cu pulsatia: * 2
1 1ω =ω 1-ν si amplitudinea descrescand exponential. In cazul ν=0,oscilatiile sunt neamortizate si miscarea este aromonica cu pulsatia 1ω .
Figura 1
In conformitate cu ( 3) produsele din ( 5d) devin:
-1
-1 -1 -1 -1
* *
* * * * * *
2 2 2T T
M M I
M C M C M M M M Iφ φ νω φ φ νω νω
=
= = = = = ( 6b)
-1 -1 -1 -1* * * * * *T TM K M K M M M Mφ φ φ φ= = Ω = Ω = Ω unde s-a tinut seama si de ( 2b).In baza acestor relatii sistemul de ecuatii ( 5d) devine:
122
( 7a) adica un sistem de n ecuatii independente (decuplate) de forma:
*2 i
i i i i i i *i
Pη +2ν ω η +ω η =M
i=1,........,n
&& & ( 7a)
La aceste ecuatii trebuie atasate conditii initiale in coordonate generalizate ,care se obtin din conditiile initiale( 1d) in coordonate dinamice.Relatia de transformare a coordonatelor ( 4a)este premultiplicata cu Tφ M obtinandu-se *T TMD M Mφ φ φη η= = ( 8a) tinand seama de prima relatie de ortogonalitate ( 3); din aceasta relatie rezulta
1* TM MDη φ−
= ( 8b) care reprezinta transformarea inversa de coordonate si din care rezulta prin derivare:
1* TM MDη φ−
= && ( 8c) Din relatiile ( 8b)si ( 8c) considerate la momentul initial,t=0,rezulta:
1 1* *0 0 0 0 , T TM MD M MDη φ η φ
− −
= = && ( 9a) sau
0 0
0 0* * ,
t t
i ii i
MD MDM M
φ φη η= =&
& ( 9b)
care reprezinta conditiile initiale pentru ecuatiile de miscare( 7) Rezolvarea sistemului de ecuatii ( 7b) cu conditiile la limita ( 9b)se poate face prin doua clase de metode: -exprimarea solutiei generale a sistemului de ecuatii decuplate ca o suma: L Fη η η= + ( 10) unde - Lη -solutia generala a ecuatiilor omogene, - Fη -solutia particulara a ecuatiilor neomogene,a carei forma depinde de actiunea exterioara P(t), -integrarea numerica a fiecarei ecuatii in parte si exprimarea fiecarei functii ( )i tη prin valorile sale la intervale discrete de timp.
123
In cazul integrarii numerice algoritmii metodelor de integrare numerica realizeaza relatii de recurenta,care leaga valorile functiilor de raspuns modal de la un timp dat ,de cele precedente .Aceste metode pot fi aplicate insa direct sistemelor de ecuatii cuplate . Dupa determinarea parametrilor de raspuns modal ,prin cele doua clase de metode,cu relatiile de transformare ( 4) se determina raspunsul dinamic in coordonate dinamice si apoi starea de eforturi. 5.2 METODE DE INTEGRARE DIRECTA A ECUATIILOR DINAMICE Integrarea directa poate fi aplicata fie ecuatiilor cuplate ( 1a) cu conditiile initiale( 1d),fie ecuatiilor decuplate (in coordonate generalizate)( 7b) cu conditiile ( 9b).In general,se aplica ecuatiilor cuplate pentru ca se obtine direct raspunsul sistemului dinamic la intervale discrete de timp(valorile coordonatelor dinamice),care consta in determinarea deplasarilor D,vitezelor D& si acceleratiilor D&&.Aceasta constituie deci o analiza in timp a raspunsului dinamic numit si istoria in timp(time history). Algoritmii de integrare se bazeaza pe stabilirea unor expresii aproximative,care leaga parametrii de raspuns la un timp dat,de valorile lor din unul sau mai multe momente de timp anterioare;se stabileste deci o evolutie in timp a acestor parametri pornind de la timpul initial,in care valorile acestora sunt cunoscute prin conditiile initiale(fig. 3)
Fig 2
Convergenta si stabilitatea unui algoritm depinde de expresiile selectate pentru legarea parametrilor de raspuns de la un timp dat de valorile istorice ale acestora precum si de finetea de discretizare a intervalelor de timp,in care se face analiza istorica. Exista doua clase de metode de integrare directa a ecuatiilor miscarii: -metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale sau sitemelor de ecuatii diferentiale de ordinul I si care necesita deci transformarea ecuatiilor miscarii pentru aducerea lor la ordinul I, -metode de integrare a ecuatiilor diferentiale sau sistemelor de ecuatii diferentiale de ordinul al II-lea (ecuatiile miscarii oscilatorii). Metodele din prima clasa sunt mai putin folosite pentru ca prin transformarea ecuatiilor miscarii se dubleaza numarul functiilor necunoscute. 5.2.1.Metode de integrare numerica a ecuatiilor diferentiale de ordinul I
Pentru a aplica astfel de metode ,ecuatiile diferentiale de ordinul al II-lea ale sistemului dinamic cu n grade de libertate,trebuie transformat intr-un sistem echivalent de 2n ecuatii diferentiale de ordinul I.
124
La sistemul de ecuatii de ordinul al II-lea se adauga o relatie evidenta,adica:
0
( )
MD MD
MD CD KD P t
− =
+ + =
& &
&& & ( 14a)
care scrisa sub forma matriceala este:
0 0 0
0M MD D
M C K PD D−⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫
+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭
&& && ( 14b)
Daca se introduce notatia:
D
XD
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
& ( 14c)
care reprezinta vectorul necunoscutelor,viteze si deplasari,ale gradelor de libertate,cu 2n componente,atunci( 14b)se poate scrie sub forma AX BX P+ =& ( 14d) unde
0 - 0 0
, , 0
M MA B P
M C K P⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫
= = = ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭
( 14e)
reprezinta matrici de ordinul 2nx2n,care au ca elemente matriceale primare ale sistemului dinamic (M,C,K),respectiv vectorul incarcarilor extins. Sistemul de ecuatii diferentiale ( 14d) se paote pune sub forma: 1 * *( )X A P BX P B X−= − = −& ( 14f) in care:
1 1 1 1 1 1
1 * *1 , , B
0 0 0M CM M M P M C M K
A PM I
− − − − − −−
−
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤−= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
( 14g)
si caruia i se ataseaza conditiile initiale date:
00
0
( 0)D
X t XD
⎧ ⎫= = = ⎨ ⎬
⎩ ⎭
& ( 14h)
Metodele cele mai utilizate pentru integrarea numerica a problemei ( 14f,h)sunt: -metoda dezvoltarii in serii Taylor, -metoda Euler si Euler modificata, -metode de tip Runge-Kutta, -metode de tip predictor corector ca metodele Adams,Milne,etc... 5.2.2 Metode de integrare numerica directa a ecuatiilor miscarii. Aceste metode se bazeaza pe alegerea unor legi de variatie a acceleratiei de raspuns pe durata subintervalelor (pasilor)de timp Δt.
125
Variatiile deplasarilor si vitezelor de raspuns,pe acelasi interval ,se determina prin integrare pe baza relatiilor din mecanica teoretica si vor depinde de valorile acceleratiilor de la extremitatile subintervalelor.Valorile de raspuns de la sfarsitul pasului de calcul devin valori pentru pasul de calcul urmator.Metodele se aplica cu prioritate la structurile compleze cu multe grade de libertate dinamica actionate de incarcari dinamice de scurta durata,dar care tind sa excite multe moduri proprii de vibratie.Durata actiunii fiind redusa discretizarea are putine puncte nodale si efortul de calcul poate fi mai mic decat intr-o analiza modala,la care determinarea tuturor valorilor si vectorilor proprii necesita un efort de calcul insemnat. Metodele de integrare directa au avantajul ca utilizeaza direct caracteristicile primare ale sistemului dinamic(M,C,K) cu elemente constante(calcul elastic liniar),dar pot fi extinse foarte usor la analiza dinamica neliniara a structurii in care matricea K are elemente variabile(depind de deplasari). Exista mai multe metode de integrare numerica in functie de modul cum se considera ca variaza acceleratia pe un pas de timp Δt.
Bibliografie selectivă 1.Jerca St.,Ungureanu N.,Diaconu D.-Metode numerice in proiectarea constructiilor,U.T. Iasi ,1997. 2.Chandrupatla R.T.,Belegundu D.A.-Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentince-Hall,Inc.,Englewood Clliffs,New Jersey,1991 3.Avram C.,Bob C.,Friedrich R.,Stoian V.-Structuri din beton armat .Metoda elementelor finite.Teoria echivalentelor ,Ed. Academiei,Bucuresti,1984. 4.Pacoste C. s.a.-Metode moderne in mecanica structurilor,Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti,1988. 5.Pascariu I.Elemente finite.Concepte –aplicatii,Ed. Militara,Bucuresti,1985