METODE ITERASI TITIK TETAPdisusun guna memenuhi tugas mata
kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu : Dr. Rochmad, M.Si. Rombel
3
oleh: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Marinda Ditya Putriari Jefri Mahendra
Kisworo Arum Nur Wulandari Ula Himatul Aliyah Amalia Fikri Utami
Taulia Damayanti (4101409015) (41014090) (4101409030) (4101409033)
(4101409049) (4101409050)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2012
METODE ITERASI TITIK TETAPA. Metode Iterasi Titik Tetap Metode
iterasi titk tetap disebut juga metode lelaran sederhana, metode
langsung, atau metode sulih beruntun. Kesederhanaan metode ini
karena pembentukan prosedur lelarannya mudah dibentuk sebagai
berikut: Susunlah persamaan menjadi prosedur lelaran ( ) dan
tentukanlah sebuah nilai awal ( ) | | dan s = g(s). | | , lalu
hitung nilai yang ( ) menjadi bentuk ( ). Lalu, bentuklah
konvergen ke suatu titik s, sedemikian sehingga
Kondisi lelaran berhenti apabila
atau bila menggunakan galat relatif hampiran | | telah
ditetapkan sebelumnya. ( )
dengan Contoh 1
dan
Carilah akar persamaan tetap. Gunakan Penyelesaian :
dengan metode lelaran titik
Terdapat beberapa kemungkinan prosedur lelaran yang dapat
dibentuk. a. ( Dalam hal ini, ) ( )
(
). Prosedur lelarannya adalah . | | -
. Ambil terkaan awal
Tabel lelarannya:
0
4,000000
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3,316625 3,103748 3,034385 3,011440 3,003811 3,001270 3,000423
3,000141 3,000047 3,000016 3,000005 3,000002 3,000001 3,000000
0,683375 0,212877 0,069362 0,022945 0,007629 0,002541 0,000847
0,000282 0,000094 0,000031 0,000010 0,000003 0,000001 0,000000
Hampiran akar x = 3,000000. (konvergen monoton)
b. ( ) ( Dalam hal ini, ( ) ( ) ( ). Prosedur lelarannya adalah
. | 0 1 2 3 4 5 6 4,000000 1,500000 -6,000000 -0,375000 -1,263158
-0,919355 -1,027624 | 2,500000 7,500000 5,625000 0,888158 0,343803
0,108269
). Ambil terkaan awal
Tabel lelarannya:
3
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-0,990876 -1,003051 -0,998984 -1,000339 -0,999887 -1,000038
-0,999987 -1,000004 -0,999999 -1,000000 -1,000000
0,036748 0,012175 0,004066 0,001355 0,000452 0,000151 0,000050
0,000017 0,000006 0,000002 0,000001
Hampiran akar x = -1,000000. (konvergen berisolasi)
c. ( ) ( ) . Ambil terkaan awal | 0 1 2 3 4 ... Lelarannya
divergen. 4,000000 6,500000 19,625000 191,070313 18252,432159 ...
2,500000 13,125000 171,445313 18061,361847 ... | .
Prosedur lelarannya adalah Tabel lelarannya:
Kriteria Konvergensi Diberikan prosedur lelaran ( ) sehingga ( )
dan ( ). Misalkan x = s adalah solusi ( ) Selisih antara dan
adalah
4
( )( ( ) )
(
)
(*)
Terapkan teorema nilai rata-rata pada persamaan (*) sehingga (
)( yang dalam hal ini (r+1) adalah dan maka persamaan dapat ditulis
menjadi ( ) atau dalam tanda mutlak | | | ( )|| | | |. ) . Misalkan
galat pada lelaran ke-r dan lelaran ke-
Misalkan
dan x berada dalam selang sejauh 2h dari s, yaitu s-h < x
< s+h. menuju s, | |. ( ) . . Karena K 1 untuk setiap 4. jika
g(x) < -1 untuk setiap
, maka lelaran divergen monoton; , maka lelaran divergen
bersosilasi. 5
Hal tersebut ditunjukkan oleh gambar sebagai berikut: y y=x y =
g(x)
s
x
Konvergen monoton: 0 < g(x) < 1 y y=x
y = g(x) s x
Konvergen berisolasi: -1 < g(x) < 0
y
y = g(x)
y=x
s
x
Divergensi monoton: g(x) > 1
6
y
y=x
y = g(x) s x
Divergensi berosilasi: g(x) < -1 Analisis pencarian akar
persamaan x2 2x 3 = 0 dan pencarian akar persamaan x3 + 6x 3 = 0
dengan bermacam-macam prosedur lelaran dan tebakan awal terkadang
konvergen dan divergen. Prosedur lelaran pertama: xr 1 2 xr 3g ( x)
(2 x 3) g ' ( x) 1 (2 x 3)
Terlihat bahwa |g(x)| < 1 untuk x di sekitar titik tetap s =
3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan
lelaran yang konvergen sebab |g(4)|=1 0.1508 1. 2 (8 3)3 . xr 2
Prosedur lelaran kedua: xr 1 g ( x) 3 x2 3 ( x 2) 2
g ' ( x)
7
Terlihat bahwa |g(x)| < 1 untuk x di sekitar titik tetap s =
3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan
lelaran yang konvergen sebab |g(4)|=
3 0.75 1. (4 2) 22
x 3 Prosedur lelaran ketiga xr 1 r 2
x2 3 2 g ' ( x) x g ( x)
Terlihat bahwa |g(x)| > 1 untuk x di sekitar titik tetap s =
3. Karena itu, pengambilan tebakan awal x0 = 4 akan menghasilkan
lelaran yang divergen sebab |g(4)|=|4|= 4 >1.( x r 3) Prosedur
lelaran pada 63
g ( x)
( x 3 3) 6 x2 2
g ' ( x)
Terlihat bahwa |g(x)| < 1 untuk x di sekitar titik tetap s =
0.48. Pemilihan x0 = 0.5 akan menjamin lelaran konvergen sebab
|g(x0)|< 1. Untuk x0 = 1.5 dan x0 = 2.2 memang nilai |g(x0)|
> 1 tetapi lelarannya masih tetap konvergen. Namun, x0 = 2.7
terlalu jauh dari titik tetap sehingga lelarannya divergen. Contoh
2 Pada persamaan x3 + 6x 3 = 0, tentukan selang sehingga prosedur
lelaranxr 1 ( xr 3) konvergen. 63
Penyelesaian:( x 3 3) 6 2 x g ' ( x) 2 Syaratkonvergenadalah g '
( x) 1. g ( x)
8
x2 1 2
Jadi, 1
x2 1 2 2 x 2 2 2 x2 2
Urai satu per satu: x2 > -2 (tidak ada x yang memenuhi) x2
< 2, dipenuhi oleh x2 20 2 x 2
Jadi, prosedur lelaran x r 1
( x 3 3) konvergen di dalam selang 2 x 2 . 6
Dapat dipilih x0 dalam selang tersebut yang menjamin lelaran
akan konvergen. Contoh 3 Hitunglah akar ( ) dengan metode lelaran
titik tetap. Gunakan
Tebakan awal akar Penyelesaian: Salah satu prosedur lelaran yang
dapat dibuat
Tabel lelarannya | 0 0,500000 |
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Hampiran akar x = 0,605267.
0,574234 0,595948 0,602453 0,604416 0,605010 0,605189 0,605244
0,605260 0,605265 0,605266 0,605267
0,074234 0,021714 0,006506 0,001963 0,000593 0,000180 0,000054
0,000016 0,000005 0,000002 0,000000
Contoh 4 Carilah akar persamaan berikut: a. b. c. ( )
Penyelesaian: a. Dalam hal ini ( ( ) ( ) . Prosedur lelarannya
adalah dan | 0 1 2 3 3,000000 3,072317 3,079959 3,080765 . |
0,072317 0,007642 0,000805 ( ) melalui beberapa prosedur
) . Ambil terkaan awal
Tabel lelarannya:
10
4 5 6 Hampiran akar .
3,080849 3,080858 3,080859
0,000085 0,000009 0,000001
b. Dalam hal ini ( ) Ambil terkaan awal Tabel lelarannya:
. Prosedur lelarannya adalah dan . | | 0,666667 1,068347
0,421840 0,136531 0,047541 0,016156 0,005537 0,001892 0,000647
0,000221 0,000076 0,000026 0,000009 0,000003 0,000001
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Hampiran akar
3,000000 2,333333 3,401680 2,979840 3,116371 3,068831 3,084986
3,079450 3,081342 3,080695 3,080916 3,080840 3,080866 3,080857
3,080860 3,080859 .
11
c. Dalam hal ini (
( )
(
) . Prosedur lelarannya adalah dan .
) . Ambil terkaan awal
Tabel lelarannya: | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Hampiran akar
3,000000 3,109126 3,071266 3,084149 3,079736 3,081244 3,080728
3,080904 3,080844 3,080865 3,080858 3,080860 3,080859 . | 0,109126
0,037860 0,012883 0,004413 0,001508 0,000516 0,000176 0,000060
0,000021 0,000007 0,000002 0,000001
B.
Algoritma Proses iterasi titik tetap: 1. Tentukan ( ) 2. Ubahlah
( ) ke dalam bentuk ( ) kemudian jika suatu fungsi ( ) telah
terpilih maka kita
3. Kemudian tentukan sebuah nilai awal iterasi ( ) untuk
menyelesaikan
harus melakukan algoritma berikut ini.
12
Algoritma titik tetap. Diketahui suatu fungsi interasi ( ) dan
suatu titik tolak Untuk Hitung dst. Lakukanlah ( )
Agar algoritma ini berguna harus dibuktikan bahwa a. Untuk titik
tolak yang diberikan , b. Barisan , , konvergen pada suatu titik s
( ), yakni ||
, kita dapat hitung berturut-turut
c. Limit dari titik adalah suatu titik tetap dari 4. Kondisi
lelaran berhenti apabila|
( ) atau bila dan
| |
menggunakan galat relatif hampiran : | telah ditetapkan
sebelumnya.
, dengan
C.
Diagram Alur
MULAI
13