1. Definiti procesul de optimizareOptimizarea, n general este
definit ca fiind operaia de studiere a unei probleme, finalizat cu
un rezultat care, n comparaie cu alte rezultate posibile este cel
mai bun, iar n baza acestuia se poate lua o decizie cu caracter
tehnic i economic.Optimizarea este un proces de prim ordin al
activitii umane i se realizeaz printr-o alegere, atribut al omului
de a decide asupra soluiei celei mai bune dintre dou sau mai multe
soluii posibile. Subiectivismul ns i pune amprenta asupra cutrii
soluiei optime i este cu att mai pronunat cu ct numrul soluiilor
posibile este mai mare. Cum domeniul soluiilor posibile crete odat
cu progresul tehnico-economic, alegerea optimului se face tot mai
greu. n aceste condiii se impune obiectivizarea soluiei optime, mai
ales atunci cnd domeniul soluiilor posibile crete nelimitat. In
cele mai multe situaii, domeniul soluiilor posibile este infinit,
iar din infinitatea acestor soluii una este cea mai bun pentru un
anumit scop, adic optim.
2. Care sunt elementele care definesc o problema de
optimizare
n prezent, se consider c o soluie raional pentru o problem de
optimizare poate fi obinut doar dac se ine cont n egal msur de
multitudinea factorilor ce o condiioneaz. n acest sens, se remarc
faptul c, elementele de optimizat nu pot fi privite independent de
construcia din care fac parte, deoarece exist o interdependen
evident ntre acestea i restul construciei, interdependen ce trebuie
exprimat n procesul optimizrii. De asemenea, se constat c, cel puin
n etapa actual, nu este posibil efectuarea unei optimizri de
ansamblu care s conduc la o soluie general, capabil s satisfac
toate aspectele i cerinele impuse, i de aceea cercetrile care se
ntreprind vizeaz doar optimizarea anumitor aspecte tehnice,
tehnologice i economice.Dei rezolvarea strict matematic a problemei
de optimizare ofer avantaje remarcabile, o astfel de abordare nu
este ns ntotdeauna acceptabil, deoarece presupune considerarea a
numeroi factori obiectivi i subiectivi. Acetia pot avea
caracteristici i influene contradictorii asupra optimizrii, funcie
de condiiile n care se gsete structura respectiv, iar din acest
motiv, la ora actual, se accept i metode de optimizare mai puin
riguroase. Simplificarea problemei optimizrii const, n etapa
actual, n aceea c se recurge la schematizarea situaiilor reale prin
introducerea unor ipoteze simplificatoare cu caracter acoperitor.
Avnd n vedere acest aspect, o parte din studiile efectuate pn n
prezent i-au gsit aplicarea n practic, datorit faptului c au fost
finalizate sub form de algoritmi i programe de calcul.
3. Definii variabilele de proiectare
n general, dei variabilele de decizie sunt parametri
independeni, exist situaii n care variabilele nu pot fi considerate
independente. Acestea din urm corespund cazului cnd variabilele
satisfac fie anumite ecuaii de condiie (specifice metodei
eforturilor sau a deplasrilor), fie relaii ce exprim echilibrul
mecanic n diferite stadii de lucru. n situaiile menionate,
variabilele de proiectare reprezint practic condiii restrictive i
vor fi considerate n procesul de optimizare ca atare.Aa cum se arat
n literatura de specialitate pentru structurile de rezisten
variabilele de proiectare se refer la:- configuraia geometric a
structurii;- distribuia materialului n cuprinsul structurii.
4. Care pot fi variabilele de proiectare n cayul optimizarii:
structurilor de rezisten, a unor organe de maini sau a unui proces
de achiere
Variabilele de decizie reprezint cantiti numerice reale care
trebuie determinate la proiectarea unei structuri de rezisten.
Acestea sunt mrimi independente care descriu anumite aspecte
specifice problemei, cum ar fi: caracteristicile geometrice ale
elementelor componente, configuraia structurii (mrimea
deschiderilor, raportul dintre nlime i deschidere), proprietile
fizico - mecanice ale materialelor din care este confecionat
structura. Procesul de optimizare urmrete att concepia, alctuirea
de ansamblu a structurii de rezisten i stabilirea formei ei, ct i
dimensionarea elementelor care o compun. Pentru a simplifica
rezolvarea problemei, modul de alctuire a structurii i parametri ei
geometrici generali se fixeaz n prealabil, rmnnd de optimizat doar
parametrii fizico-mecanici, ca de exemplu distribuia materialului n
elementele componente ale structurii de rezisten. n aceast situaie,
drept parametri de optimizare intervin anumite dimensiuni ce
definesc seciunile transversale ale elementelor, precum i
caracteristicile geometrice ale acestora.Parametri menionai pot
varia, fie prin valori continue, fie discrete, conducnd astfel la
un numr infinit, respectiv finit de combinaii posibile. Reducerea
volumului problemei de optimizare este posibil prin folosirea n
alctuirea structurilor de rezisten a unor elemente standardizate i
tipizate, precum i prin impunerea anumitor consideraii
constructive. Astfel, se elimin variaia numrului acestor parametrii
care caracterizeaz seciunile transversale ale elementelor de
rezisten, ei putnd avea un numr restrns de valori, ceea ce duce la
micorarea numrului combinaiilor acestora.n general, dei variabilele
de decizie sunt parametri independeni, exist situaii n care
variabilele nu pot fi considerate independente. Acestea din urm
corespund cazului cnd variabilele satisfac fie anumite ecuaii de
condiie (specifice metodei eforturilor sau a deplasrilor), fie
relaii ce exprim echilibrul mecanic n diferite stadii de lucru. n
situaiile menionate, variabilele de proiectare reprezint practic
condiii restrictive i vor fi considerate n procesul de optimizare
ca atare.
b. Variabile de decizie n cazul optimizrii unui proces de
achiere
Achierea metalelor, const n ndeprtarea unor straturi de material
dintr-un semifabricat sub form de achii, procedeu ce se realizeaz
pe maini unelte, folosindu-se scule achietoare, dispozitive i
lichide de achiere.Sculele achietoare folosite la achiere au
geometrii difinite prin mai muli parametrii, ce pot lua valori ntre
anumite limite.Maina unealt influeneaz procesul de achiere prin
gama de turaii i avansuri, prin momentele i forele admisibile,
rigiditatea diferitelor ansamble, prin precizia micrilor.Lichidul
de achiere are influen direct asupra frecrii din zona de lucru,
asupra evacurii cldurii, depunerilor pe ti.Dimensiunile, forma,
toleranele, uniformitatea structurii sau alte date despre
semifabricat, influeneaz procesul de achiere.
Aadar se consider c procesul de achiere este o funcie y care ia
n considerare toate aspectele procesului prin variabilele ,, unde
variabilele pot fi: unghiurile sculei, parametrii regimului,
rigiditatea mainii i a dispozitivului.
c. Variabile de decizie n cazul optimizrii unor organe de
maini
n cazul organelor de maini se au n vedere urmtoarele variabile
de proiectare:Vectorul geometric, avnd drept componente
dimensiunile organului de main (lungimi, unghiuri); X = (x1,
x2,xn)- Vectorul materialului ale crui componente sunt
caracteristicile acestuia, adic: rezistene, module de elasticitate,
greuti specifice, etc.Y = (y1, y2,yn)Vectorul solicitrilor
determinat de componentele forelor i momentelor n diferite seciuni
ale organului de main; Z = (z1, z2,zn)
5. Definii restriciile de proiectare
Funcii de tip egalitate sau inegalitate care stabilesc domeniile
admise n care variabilele de decizie pot lua valori poart numele de
restricii. Restriciile deci, delimiteaz astfel domeniul soluiilor
admisibile al problemei de optimizare, iar n urma rezolvrii lui,
soluia optim se alege din acest domeniu. Avnd n vedere acest
aspect, condiiile restrictive trebuie stabilite, pentru fiecare
problem de optimizare, cu mult discernmnt.Aceste restricii pot
provenii din natura fizic a variabilelor, din natura intern a
sistemului, fie datorit unor reglementri dup nite norme, cerine sau
stri de fapt externe sistemului, dar pe care sistemul trebuie s le
respecte.
6. Sub ce forme pot fi definite restriciile de proiectare n
cazul optimizrii unor structuri de rezisten, organe de maini sau a
unui proces de aschiere
a. n practica optimizrii structurilor de rezisten se ntlnesc n
general, dou tipuri de restricii: 1. Restricii de comportament;2.
Restricii de mrginire. 1. Restriciile de comportament provin din
cerinele de rezisten i rigiditate ale structurii de rezisten i
determin domeniul n care se realizeaz optimizarea. De exemplu,
restriciile de comportament pot fi formulate pentru o comportare a
materialului structurii n domeniul elastic, n aceste condiii
optimizarea fcndu-se n domeniul elastic, iar dac restriciile
formuleaz condiii de plasticitate, procesul de optimizare se
conduce n domeniul plastic.2. Restriciile de mrginire provin din
condiiile de limitare a unor variabile de proiectare.Restriciile
exprimate analitic prin egaliti ori inegaliti, impun anumite
limitri unei singure variabile sau unui grup de variabile i decurg
din analiza situaiilor limit ce apar n etapa de realizare sau n cea
de exploatare a structurii de rezisten respective.Se trece apoi la
formularea condiiilor restrictive care deriv din condiionrile
referitoare la anumite situaii limit n comportarea structurii. b.
Restricii impuse n cazul optimizrii procesului de achiere
1. Puterea consumat n cadrul acestei operaii , s nu depeasc
puterea maxim a mainii:
(1.10)2. S fie respectat condiia de rezisten a sculei:
(1.11)3. S nu fie depit ncrcarea maxim admis de ctre mecanismul
de avans al mainii:
(1.12)4. S nu fie depit temperatura maxim admis n zona de
achiere:
(1.13)
S fie respectate condiiile legate de cinematica
mainii-unelte:
(1.14a)
(1.15b)
c. Restricii impuse n cazul optimizrii organelor de mainiPrin
restricii se definesc condiiile ce se impun organelor de maini
privind:portana, care implic limitarea rezistenei n seciune (la
contact i la oboseal), limitarea rigiditii privind deformaiile
liniare i unghiulare, limitarea privind vibraiile pentru evitarea
turaiilor critice sau a uzurii cuplelor cinematice cu ntregul
complex tribologic de protecie, ungere i rcire;structura, care
implic satisfacerea dezideratelor referitoare la: gabarit impus de
structura cinematic, montaj n lanul cinematic astfel nct s asigure
accesul, toleranele i operaiile necesare legrii organului n
ansamblu, tehnologia de fabricaie i transportul intern i extern al
uzinei.Aceste restricii se exprim matematic prin inecuaii de
forma:
i = 1,2,3,
7. Definii funcia obiectiv
Funcia obiectiv exprim dependena criteriului de optimizare de
variabilele de decizie i se obine pe baza ecuaiilor modelului
matematic al sistemului supus optimizrii:
mpreun cu sistemul de restricii, funcia obiectiv formeaz
reprezentarea analitic a problemei de optimizare.
8. Care sunt proprietiile funciei obiectiv
Din punctul de vedere al metodologiei de optimizare, adic de
determinare a extremului, cele mai importante proprieti ale funciei
de performan (obiectiv) sunt:a. Continuitatea sau discontinuitatea
funcieib.Funcii unimodale i multimodalec.Domeniul admis pentru
cercetare funciei de performand. Variaia aleatoare a funciei de
performan
9. Definii criteriile de optimizare
Esena optimizrii unui sistem const n alegerea din mulimea de
soluii posibile ale sistemului pe cea care este cea mai bun n
raport cu un criteriu de optimizare definit iniial. Acest criteriu
se numete criteriu de optimizare. Soluia problemei este dependent
de optimizare ales. Dac se schimb criteriul, se va schimba i soluia
de optimizare.ntr-o problem de optimizare se pot definii o mulime
de criterii de optimizare. Criteriile de optimizare se pot grupa n
dou grupe:criterii de natur tehnic;criterii de natur economic;
10. Care sunt principalele criterii de optimizare utilizate n
mod frecvent la ora actual
Principalele criterii economice folosite n optimizare
sunt:beneficiul definit ca diferena dintre preul de producie i
costurile de producie, raportai la o durat de un an.Acest criteriu
se aplic n cazul sistemelor existente, la care investiia este
fixat, cerndu-se maximizarea lui. n cazul particular n care preul
produciei anuale este fix, maximizarea beneficiului anual revine la
minimizarea costurilor anuale de producie.durata de recuperare a
investiiei, definit ca raportul dintre valoarea investiiei i
beneficiul anual.Acest criteriu se folosete n faza de proiectare,
adic atunci cnd investiia este o variabil i se cere minimizarea
acestui criteriu. O form echivalent a acestui criteriu este
raportul dintre beneficiul anual i valoarea investiiei, raport care
se cere maximizat.investiia total care reprezint suma cheltuielilor
ce se fac pentru crearea de noi capaciti de producie sau pentru
modernizarea celor existente.Investiia total sau componentele
acesteia pot fi utilizate drept criteriu de optimizare i acestea
pot fi: volumul cheltuielilor pentru utilaje; volumul cheltuielilor
necesare pentru montaj.Din acest motiv un element important l
constituie calculul i estimarea costurilor utilajelor i a
costurilor de montaj.Pe lng aceste criterii mai pot fi utilizate i
urmtoarele: investiia de minimizat; cheltuieli materiale - de
minimizat; costuri de exploatare de de minimizat.
Criterii de optimizare de natur tehnic
Criteriile tehnice n ingineria mecanic sunt foarte multe i se
pot referi la:greutatea unui organ de main minim;volumul unui
recipient dintr-o instalaie maxim;timpul pentru realizarea unei
prelucrri prin achiere minim;Alegerea unui criteriu tehnic sau
economic este dependent de scopul urmrit. Practic, ns, orice
criteriu tehnic i are corespondent n optimizarea unui criteriu
economic.
11. Care sunt elementele de care se ine cont atunci cnd se ine
cont atunci cnd se decide asupra unei metode de optimizare
Etapa de alegere a metodei de optimizare implic identificarea
unei metode sau a unei tehnici de optimizare care poate fi aplicat
innd cont de urmtoarele:numrul variabilelor de decizie;forma
funciei obiectiv;forma i numrul restriciilor.
12. Precizai principalele categorii de metode de optimizare i n
ce situaii pot fi aplicate?
Metodele de optimizare se pot grupa n trei categorii:Metode
analitice sau clasice de optimizare care se pot aplica la funcii
obiectiv definite, continue i variabile. Aceste metode devin
imposibil de aplicat pe msur ce variabilele de decizie sunt
restricii de tip egalitate sau inegalitate i crete dimensiunea
problemei. Din acest motiv, metodele analitice se aplic doar pentru
rezolvarea problemelor simple de optimizare cu numr mic de
variabile de decizie.Metode numerice de optimizare sau metode de
cutare direct sunt aplicabile pentru probleme de optimizare cu
funcii obiectiv i restricii de forme complexe i numr mare de
variabile de decizie. Metodele din aceast clas se bazeaz pe
experimente numerice planificate prin care se nainteaz pas cu pas
spre extremul cutat al funciei obiectiv, prin mbuntiri succesive
ale valorilor funciei.La rndul lor aceste metode se mpart n dou
categorii:metode de eliminare - sunt metode numerice pentru funcii
obiectiv de o variabil;metode de urcare-coborre - sunt metode
numerice pentru funcii obiectiv de dou sau mai multe variabile de
decizie.Metode de programare sunt metode care se aplic n situaia n
care funcia obiectiv i restriciile au forme de prezentare
specifice. Principalele metode de programare sunt: programarea
liniar se aplic n cazul n care funcia obiectiv i restriciile au
expresii liniare n raport cu variabilele de decizie;programarea
neliniar- se aplic n cazul n care funcia obiectiv i restriciile au
expresii neliniare n raport cu variabilele de decizie.
13. Ce informaii ne ofer soluia optim a unei probleme de
optimizare
Odat ce metoda de optimizare adecvat funciei obiectiv din
problema de optimizare a fost identificat, etapa urmtoare este cea
de aplicare a algoritmului respectiv i de identificare a soluiei
optime.n cazul metodelor analitice de optimizare nu este necesar
utilizarea calculatorului IBM PC, pe cnd n toate celelalte metode
calculatorul este indispensabil.n cazul utilizrii calculatoarelor
IBM PC etapele necesare n rezolvare sunt:pregtirea i introducerea
datelor;apelarea funciei de rezolvare;preluarea rezultatelor
furnizate de funcii.Mediile de programare care sunt utilizate n
cadrul problemelor de optimizare sunt: Matlab
http://www.mathworks.com mediu de calcul numericMathematica -
http://www.wolfram.com - mediu de calcul numericMatchcad -
http://www.mathsoft.com - mediu de calcul numericGAMS -
http://www.gams.com aplicaie dezvoltat direct pentru
optimizarePrograme dedicate de calcul cu module de optimizare care
sunt utilizate n probleme de proiectare optimal: Catia, Cosmos,
Algor etc.Aplicarea soluiei optime: Dei aceast etap reprezint
finalizarea procesului de optimizare al unui sistem, nu ntotdeauna
soluia matematic gsit poate fi aplicat practic. Chiar n cazul n
care soluia matematic nu poate fi aplicat, ea ne d informaii despre
potenialul maxim al sistemului i putem aprecia ct de aproape sau ct
de departe ne aflm de acest ideal.
14. Definii modelarea matematic i precizai care este rolul
acesteia
Modelarea matematic este o etap important n cadrul algoritmului
procesului de optimizare.Modelarea matematic are drept scop
identificarea unor relaii matematice care descriu procesul ce
urmeaz a fi optimizat. Etapa de modelare matematic nu este necesar
atunci cnd se face o optimizare experimental prin modificarea dup
un anumit plan a factorilor care influeneaz parametrii sistemului
ce este optimzat cu scopul identificrii soluiei optime.Necesitatea
elaborrii unui model matematic al sistemului n cazul rezolvrii unei
probleme de optimizare deriv din faptul c, indifferent de criteriul
de optimizare ales, expresia acestuia depinde de variabilele
sistemului. Variabilele sistemului pot fi grupate, din punct de
vedere al problemei de optimizare n variabile de decizie i
variabile de stare care nu apar n expresia funciei obiectiv.
Eliminarea variabilelor de stare nu este posibil dect pe baza
modelului mathematic al procesului, model ce reprezint legturi
funcionale dintre aceste variabile.
15. Precizai care sunt mrimile care caracterizeaz structura unui
sistem mecanic
Sistemele mecanice sunt caracterizate prin:mrimi de
intrare;mrimi de stare;mrimi de ieire.
16. Definii factori de influen i precizai care sunt criteriile
care stau la baza alegerii lor
Factorii de influen reprezint metode i mijloace de influen a
funciilor obiectiv.Criteriile care se impun factorilor de influen i
care stau la baza alegerii lor ca variabile independente sunt:s
poat fi influeni asupra sistemului analizat, adic prin schimbarea
valorii lor numerice, sistemul s fie schimbat;s fie compatibili,
adic aducerea valorilor factorilor dintr-un sistem la orice nivel
de variaie s asigure funcionalitatea sistemului n condiii de
securitate deplin;s aib influen univoc i direct asupra funciilor
obiectiv;s poat fi meninui la o valoare dorit cu o precitie
suficient de mare;
17. Scopul ntocmirii modelelor matematice i domeniile de
utilizare
Modul n care are loc modelarea sitemului este dependent de
scopul pentru care respectivul model matematic va fi utilizat. n
funcie de acest scop nivelul de descriere al sistemului pe care
dorim s l modelm va fi complet diferit.Principalele scopuri i
domenii de utilizare ale modelelor matematice n ingineria mecanic
sunt:Proiectare pentru determinarea parametrilor modelului cunoscnd
intrrile sistemului i impunnd ieirile dorite (dimensionarea
utilajelor, determinarea valorilor parametrilor de lucru, etc.
)Simulare static determinarea comportrii sistemului n regim
staionar, determinat de punctul de operare nominal a
sistemului;Simulare dinamic descrierea comportrii n timp a
sistemului i evaluarea dinamicii lui;Conducere sistem determinarea
structurii sistemului de reglare a procesului, identificarea
comportrii procesului, etc.
18. Proprietiile modelului matematic
Proprietile modelului matematic sunt:Nonsimetria: Modelarea se
face ntr-un singur sens, astfel dac A modeleaz B, atunci B nu poate
modela A.Reflexivitatea: Orice sistem este propriul su model
(proprietate rezultat din cele patru condiii ale
modelului);Tranzitivitatea: Dac A este un model a lui B i B este un
model a lui C, atunci A este un model i a lui
C;Nontransferabilitatea (neidentificarea) modelelor :Dou sau mai
multe modele ale unei baze nu sunt n mod obligatoriu echivalente
sau comparabile, ele putnd s reprzinte diferite aspecte ale
bazei;Reducerea complexitii se face fie prin grupare unor elemente
similare sau cu aceleai proprieti, fie prin eliminarea elementelor
irelevante sau a proprietilor irelevante.Nonpartiionarea: un sistem
nu poate fi divizat n subsisteme fr a ine cont, pe de o parte de
conexiunile stabilite ntre aceste subsisteme i, pe de alt parte de
conexiunile ntre subsisteme i sistemul n ansamblu. Un model al unui
subsistem nu este un model al ntregului sistem.
19. Principalele tipuri de modele matematice utilizate n
optimizare. Avantaje. Dezavantaje
Principalele tipuri de modele utilizate n optimizare sunt:Modele
analitice bazat pe ecuaii corespunztoare sistemului;Modele
statistice bazate exclusiv pe observaii i msurtori efectuate n
cadrul sistemului modelat;Modele mixte bazat pe ecuaii analitice
dar i pe ecuaii rezultate din msurtori experimentale efectuate n
sistemFiecare dintre aceste modele prezint avantaje i
dezavantaje.Avantajele modelelor matematice analitice:domeniu de
valabilitate restrns;flexibilitate sprit, adic poate fi aplicat i
la modelarea sistemelor similare cu sistemul optimizat
iniial.Dezavantajele modelelor matematice analitice:necesit o bun
cunoaterea a fenomenelor, proceselor i a funcionalitii sistemului
modelat;necesit o pregtire special pentru scrierea ecuaiilor
specifice sistemului modelat;modelul matematic obinut este complex
i greu de utilizat n optimizare;necesit o etap de
validare/verificare a modelului ce implic obinerea unor date
experimentale pe sistemul modelat. Avantajele modelelor matematice
statistice:sunt simple din punct de vedere matematic;nu necesit
cunotine despre sistem dau despre fenomenele i procesele ce au loc
n interiorul lui;necesit cunoaterea unui algoritm de calcul
minimal.Dezavantajele modelelor matematice:necesit un set estins de
date experimentale rezultate din msurtori efectuate pe sistemul
pentru care se elaboreaz modelul matematic;modelele matematice
obinute nu sunt valabile dect pe domeniul datelor experimentale
utilizate n elaborarea lor.Modele matematice mixte preia din
avantajele celorlalte dou modele.
20. Modele matematice analitice. Dai exemple de o ecuaie care
poate fi folosit n obinerea unui model matematic analitic
Modelele matematice analitice se bazeaz pe aplicarea
principiilor de conservare a masei, energiei i a momentului.
Conform acestor principii ale fizicii, masa, energia i momentul nu
pot fi niciodat distruse i nici create, ci doar i schimb forma.
Aplicarea acestor principii duce la obinerea unor relaii ce includ
conservarea masei, a energiei i a momentului.Ecuaii de conservare a
energiei
Ecuaia de conservare a energiei ntr-un sistem poate fi redat sub
forma:Viteza de acumulare a energiei n sistem = fluxul de energie
intrat n sistem - flux de energie ieit din sistem
viteza de consum sau de formare a energiei Energia total a unui
sitem este alctuit din trei componente:energie intern, U;energie
cinetic, KE;energie potenial, PE.
Astfel putem scrie: Fluxurile de energie pot intra sau iei din
sistem prin trei componente distincte:fluxul de energie
convectiv;fluxuri termice convective i radiante;lucru mecanic.
21. Ce este un model matematic statistic? Ce implic obinerea
unui model matematic statistic? Cnd se realizeaz un model matematic
statistic?
Caracteristica cea mai important a unui model matematic este
aceea de a putea reda corect interdependena variabilelor procesului
n domeniu dorit.Elaborarea unui model statistic implic efectuarea
unor msurtori cu scopul acumulrii de date experimentale suficiente
pentru obinerea unui model utilizabil. Astfel, un model matematic
statistic nu poate fi obinut n situaia n care nu se pot face
msurtori experimentale. Realizarea unui model statistic se face
atunci cnd:sistemul este suficient de bine cunoscut, acest fapt
duce la imposibilitatea creerii unui model analitic;sistemul este
foarte complex.Un model matematic statistic se compune sintr-un
numr de ecuaii egal cu numrul variabilelor dependente, existente n
sistem. Fiecare dintre aceste relaii trebuie s exprime dependena
observat funcie de variabilele independente.Algoritmul matematic
utilizat pentru determinarea acestor ecuaii poart numele de analiz
de regresie, iar ecuaiile se numesc ecuaii de regresie.
22. Definii analiza de regresie. Cerine impuse analizei de
regresie. Structura analizei de regresie
Analiza de regresie reprezint un algoritm pe baza creia se poate
determina o ecuaie de corelaie a unui parametru (variabil dependent
n cadrul sistemului) n funcie de variabilele independente ale
sistemului. Pentru a putea aplica analiza de regresie, trebuie
ndeplinite urmtoarele cerine:variabila dependent exprimat prin
ecuaia de regresie trebuie s fie o variabil aleatoare de repartiie
normal, iar variabilele independente s nu fie aleatoare;s nu fie
interdependene ntre variabilele independente;sistemul modelat s fie
n regim staionar.Schema de baz a analizei de regresie este
prezentat n fig.2.2.
Fig.2.2 Structura algoritmului analizei de regresie
23. Forma generala a ecuaiei analizei de regresie. Coeficenii de
regresie.
Forma general a ecuaiei de regresie este:
x1, x2, ...xn variabile independente n sistemul studiat;y mrimea
independentDeci coeficienii dreptei de regresie sunt:
, (2.21)
. (2.22)n practic, cunoscnd expresiile mediilor de selecie i a
abaterilor medii ptratice de selecie
,, (2.23)
,, (2.24)coeficienii dreptei de regresie se calculeaz utiliznd
formulele echivalente:
, (2.25)
, (2.26)
unde este coeficientul de corelaie dintre variabilele x i y.
Coeficientul de corelaie exprim intensitatea dependenei liniare
dintre cei doi parametrii.Acest coeficient de corelaie variaz ntre
-1 i +1. O valoare pozitiv a coeficientului de corelaie indic o
legtura direct ntre cei doi parametrii, adic la o cretere a
parametrului independent parametrul dependent crete, sau invers, o
valoare negativ a coeficientului de corelaie indic o relaie invers
ntre cei doi parametrii, adic la o cretere a parametrului
independent, parametrul dependent va scdea liniar .
Cu ct valorile coeficienilor de corelaie sunt mai apropiate de 1
interdependena dintre cei doi parametrii este mai puternic din
punct de vedere statistic. Pentru stabilirea valorii absolute a
acestei legturi se utilizeaz coeficientul de determinare
. (2.27)Formula de calcul a coeficientului de corelaie este
, (2.28)sau
.(2.29)
24. Principiul metodei celor mai mici ptratePentru a msura
mprtierea punctelor n jurul dreptei de regresie se utilizeaz
abaterea medie ptratic de la dreapta de regresie:
, (2.30)care rezult din metoda celor mai mici ptrate. Aceasta
formul este echivalent cu:
. (2.31)
25. Etapele procesului de modelare
Indiferent de tipul modelului care se elaboreaz etapele
procesului de modelare sunt: formularea modelului; stabilirea
ecuaiilor modelului i a funciei obiectiv; verificarea modelului
26. Care sunt paii parcuri n formularea unui model matematic
Formularea modelului cuprinde urmtorii pai:a) stabilirea
scopului modelului, Scopul modelului condiioneaz alegerea
variabilelor care vor fi luate n considerare, precizia care va fi
impus modelului i metodele de stabilire a ecuaiilor modelului.b)
delimitarea procesului analizat deriv din scopul modelului i va
condiiona parametrii (variabilele) de intrare i de ieire luate n
considerare.c) stabilirea parametrilor independeni i dependeni luai
n considerare d) stabilirea tipului de model necesare) formularea
unui model preliminar ce const n formularea, pe baz teoretic i a
unor cunotine experimentale anterioare, unui set de presupuneri
necesare explicrii procesului i obinerii unor concluzii preliminare
care se refer, n general, la natura calitativ a relaiilor ntre
paramatrii procesului.
27. Care sunt etapele de verificare a unui model matematic?
Etapele verificrii modelului sunt:a) Analiza erorilor n cadrul
creia se va stabili influena preciziei de msur a diferitelor
variabile asupra precizei modelului determinat.b) Testarea
preliminar a modelului care const n testarea modelului utiliznd
aceleai date care au fost utilizte la stabilirea modelului.
Probabilitatea invalidrii modelului n acast etap este relativ
redus, fiind posibil doar n cazul unor erori grosolane aparute n
stabilirea procesului. Totui aplicarea acestei testri preliminare
poate economisi timp, prin modficarea i retestarea imediat a
modelului. Deci, n aceast etep sunt eliminate erorile grosolane.c)
Simularea procesului - n aceast etap se introduc date de intrare
din proces i se compar ieirile reale cu cele ce sunt stabilite din
model, n cazul unor neconcordane se efectueaz corecii n model. n
aceast etap vor fi eliminate erorile mari.d) ncercarea modelului n
aceast etap sunt eliminate micile erori ale modelului i se
stabilete forma final a modelului.
28. Criterii de evaluare a modelelor matematice
Cele mai importante criterii de evaluare a modelelor sunt:1)
Valoarea ateptat a modelului arat ct de valoros se ateapt s fie
modelul i beneficiile pe care urmeaz s le aduc implementarea
modelului, prin creterea rapiditii i corectitudinii deciziilor ce
se iau pe baza modelului.2) Costul modelului reprezentat de costul
de proiectare, costul de implementare i costul de exploatare.
29. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la
testarea funciilor obiectiv cu restricii de tip egalitate
Metoda substituiei
Fie funcia obiectiv cu restricia (3.6)Dac din restricia
anterioar explicitm una din variabilele funciei, obinem:
(3.7)nlocuind variabila de de decizie x2 din funcia obiectiv cu
expresia anterioar substituit obinem:
(3.8)
Se obine o problem echivalent cu cea iniial, n sensul c are
aceeai soluie i este o problem de optimizare fr restricii. Prin
rezolvarea ei obinem soluia i cu aceasta din substituia fcut putem
determina . Se obine astfel soluia problemei iniiale.n afar de
eliminarea restriciilor, metoda substituiei permite reducerea
dimensiunii problemei de optimizare, prin reducerea numrului
variabilelor de decizie. Aceast metod este aplicabil doar n situaia
n care numrul de restricii este mai mic.
3.2.2 Metoda multiplicatorilor lui Lagrange
Fie o funcie real definit pe o mulime i un sistem de ecuaii:
, (3.9)
funciile reale fiind definite pe mulimea . Fie mulimea soluiilor
sistemului (3.9). Extremele funciei cnd se numesc extremele funciei
condiionate de sistemul (2.4) sau extremele funciei supuse la
legturile (3.9). Punctele staionare ale funciei cnd se numesc
puncte staionare cu legturi sau puncte staionare condiionate ale
funciei . Punctele de extrem condiionat sau punctele staionare
condiionate se definesc la fel ca punctele de extrem sau punctele
staionare obinuite (libere) cu condiia ca punctele respective s
aparin mulimii .
n continuare se presupune c funciile sunt independente i
derivabile pe , cu determinantul funcional, de exemplu:
pe .n cele ce urmeaz se prezint metoda de determinare a
extremelor legate, numit metoda multiplicatorilor lui Lagrange:1)
se formeaz funcia ajuttoare
, (3.10)
cu parametri.
2) se anuleaz derivatele pariale ale funciei n raport cu ; (n
numr de )
, , , , (3.11)
i se rezolv acest sistem de ecuaii cu necunoscute ; .
3) dac este o soluie a acestui sistem, punctul este un punct
staionar legat al funciei .
Punctele de extrem legat ale funciei se gsesc printre punctele
staionare legate.
Se nlocuiesc cu i se calculeaz difereniala a doua a funciei
astfel obinut, n punctul . Difereniind sistemul legturilor
, (3.12)i innd cont c prin ipotez
,
fiind independente, din sistemul (2.5) se obine, cu ajutorul
regulii lui Cramer, n funcie de . Dac se nlocuiesc n , rezult, fcnd
formal o schimbare de indici:
.
Metoda Iacobianului
Metoda se bazeaz pe faptul c, n punctul de tangent dintre
hipersuprafata functiei de performant si hipersupra fata
restrictiilor de tip egalitate, acestea au aceeasi pant. Un astfel
de punct din hiperspatiu corespunde optimului si poate fi stabilit
prin metoda iacobianului. n figura 2.1 e reprezentat familia de
curbe F(x1,x2) = const. si o restrictie de tip egalitate g(x1,x2) =
0. n punctul de tangent T se poate spune c pantele celor dou curbe
sunt egale
30. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la
testarea funciilor obiectiv cu restricii de tip inegalitate
Metoda bazat pe ignorarea inegalitilor
n cadrul acestei metode, abordarea identificrii soluiei se face
parcurgnd urmtoarele etape:Se trateaz funcia obiectiv ca o funcie
fr restricii;Se verific dac punctele staionare gsite astfel sunt n
interiorul domeniului admis, respectiv dac verific sistemul de
restricii;Dac acest lucru este adevrat, soluia problemei cu
restriciile inegalitate este identic cu soluia problemei fr
restricii;Dac acest lucru este fals, optimul cutat se poate gsi pe
frontiera impus de restricii. Identificarea soluiei n acest caz are
loc prin impunerea respectrii la limit a inegalitilor ce nu sunt
satisfcute prin transformarea lor n restricii de tip egalitate. n
acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul punct al
algoritmului, ncluznd n calcul i restriciile egaliate obinute
astfel.
3.3.2 Metoda transformrii variabilelor
Transformarea variabilelor se utilizeaz pentru restrictiile de
forma :
sau :
(3.16) sau :
n cazul restrictiilor (3.16) se foloseste una din transformrile
de variabile care s asigure ca variabila xk s ia valori pozitive
:
(3.17)
(3.18)Pentru restrictiile (3.16) se poate folosi una din
urmtoarele schimbri de variabile:
Pentru restrictiile (3.18) se prefer transformarea de variabil
:
(3.20)
2.3.3. Metoda transformrii restrictiilor
Transformarea restrictiilor inegalitate n restrictii egalitate
se realizeaz prin introducerea n fiecare restrictie de tip
inegalitate a unei variabile fictive pozitive de compensare, astfel
nct restrictia inegalitate gk(x1, x2,..., xn) 0 devine o restrictie
egalitate gke(x1, x2,..., xn, xn+1) = 0.Astfel se obtine o problem
de optim cu restrictii egalitti.
31. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la
testarea funciilor obiectiv de o singur variabil
3.1.1 Metoda testrii echidistante
Metoda testrii echidistante const din mprtirea intervalului de
cutare (restrictie: a x b) prin N puncte, rezultnd N+1 intervale
egale, puncte n care se testeaz optimul.Metoda testrii echidistante
se poate utiliza prin mai multe variante, cea mai cunoscut fiind
metoda njumttirii sau metoda celor 5 puncte. Ea const din mprtirea
intervalului de testare n 4 subintervale, deci plasarea a 5 puncte
echidistante din care dou la capetele intervalului. Se calculeaz
valorile functiei de performant n cele 5 puncte F(xi); i = 1 5. Din
cele 5 puncte se alege optimul (maxim sau minim) mpreun_ cu
subintervalele care-l delimiteaz.
Fig.3.1 Reprezentarea grafic a
De exemplu n figura 3.1, dac F(x1) este maximul (sau minimul) se
alege in continuare intervalul [x1, x3] care se mparte la rndul lui
n 4 subintervale, se calculeaz functia de performant n fiecare din
cele 5 puncte rezultate. Se continu pn la obtinerea unei erori de
aproximare acceptabile.
3.2.2. Metoda testrii bazat pe sirul lui Fibonacci
Metoda const din mprtirea intervalului de cutare n 3
subintervale prin plasarea a 4 puncte, din care dou la capetele
intervalului, celelalte dou puncte plasate n interior la distanta
:
unde:i - numrul pasului (i = 1 n);n - numrul total de pasi;a -
al n-lea numr din sirul lui Fibonacci :
n cele 4 puncte se calculeaz functia de performant, se alege
punctul de maxim (sau minim) mpreun cu intervalele alturate ce
formeaz noul interval de testare de lungime di. Se continu pn la
pasul n propus (fig.3.2). Dup pasul n rezult c optimul se gseste
ntre punctele xn1 si xn4 fcnd media acestora se poate aproxima
punctul de optim.
3.2.3. Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur
Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur este asemntoare metodei
anterioare cu precizarea c distantele de divizare sunt
Fig.3.2 Reprezentarea grafic a metodei seciunii de aur
unde 0.618 este sectiunea de aur sau raportul (1 - x) / x = x /
1 care conduce la ecuatia x2 + x - 1 = 0.Numrul n de pasi de
testare nu trebuie predeterminat, testarea oprindu-se dac se obtine
o eroare de aproximare acceptabil.
32. Care sunt metodele analitice de optimizare utilizate la
testarea funciilor obiectiv de n variabile
Toate metodele opereaz asemntor. Se porneste de la un punct de
start format dintr-un set de conditii initiale, cu care se
calculeaz valoarea de start a functiei de performant, apoi prin una
din metode se testeaz o nou valoare a functiei de performant, dup
care se compar valoarea curent cu cea anterior. Dac valoarea curent
este mai bun se continu cu testarea de la punctul curent, dac nu,
se reia testarea din punctul anterior.Testarea se opreste cnd s-a
atins extremul functiei de performant cnd, pentru 1 si 2 suficient
de mici, trebuie s fie indeplinite conditiile lui Himmelblau :
Metodele de testare difer ntre ele, mai ales prin alegerea
directiei si pasului de testare care se includ n vectorul xk :
unde indicii k-1 si k evidentiaz dou secvente succesive de
testare.3.3.1. Metoda testrii succesive a variabilelor3.3.5. Metode
de gradient3.3.6. Metode de tip Newton
33. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie
obiectiv de o variabil s admit un optim
Fie o funcie obiectiv unidimensional, continu i de mai multe ori
derivabil pe un domeniu D. Pentru aceast funcie obiectiv de o
singur variabil y = f(x), condiia necesar ca funcia s prezinte un
maxim sau un minim n punctul x = a este ca derivata de ordinul nti
s fie nul:
(3.1)Aceast condiie nu este ns suficient i din acest motiv este
necesar s fie evaluate i un numr de derivate de ordin superior.
Dac: 0, punctul a este un minim local;
Dac 0 , punctul a este un maxim local;
Dac , i 0, atunci punctul a nu este optim local , ci un punct de
inflexiune ( ordinul primei derivate nenule fiind impar).Dac
ordinul primei derivate este par, punctul a este un punct extrem i
anume un maxim dac derivata este negativ sau un minim dac derivata
este pozitiv.
34. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie
obiectiv de o variabil s admit un minim local, respectiv un maxim
local
Fie o funcie obiectiv unidimensional, continu i de mai multe ori
derivabil pe un domeniu D. Pentru aceast funcie obiectiv de o
singur variabil y = f(x), condiia necesar ca funcia s prezinte un
maxim sau un minim n punctul x = a este ca derivata de ordinul nti
s fie nul:
(3.1)Aceast condiie nu este ns suficient i din acest motiv este
necesar s fie evaluate i un numr de derivate de ordin superior.
Dac: 0, punctul a este un minim local;
Dac 0 , punctul a este un maxim local;
35. Care sunt condiiile conform crora o funcie obiectiv de o
variabil nu admite un punct de optim
Dac , i 0, atunci punctul a nu este optim local , ci un punct de
inflexiune ( ordinul primei derivate nenule fiind impar).
36. Care sunt condiiile conform crora o funcie obiectiv de 2
variabile s admit un optim
37. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie
obiectiv de 2 variabile s admit un minim local, respectiv un maxim
local
Dac funcia obiectiv este o funcie real de dou variabile definit
pe o mulime , avem urmtoarele situaii:
Un punct se numete punct de minim al funciei dac exist o
vecintate a lui astfel nct pentru orice , are loc ;
Un punct se numete punct de maxim al funciei dac exist o
vecintate a lui astfel nct pentru orice are loc .Maximele sau
minimele unei funcii, aa cum sunt definite, sunt maxime sau minime
locale sau relative i se mai numesc i extreme relative.
38. Care sunt condiiile necesare i suficiente ca o funcie
obiectiv de n variabile s admit un minim local, respectiv un maxim
local
Teorem. Fie o funcie definit pe , derivabil parial de ori pe .
Fie un punct staionar al funciei .1. Dac numerele
,, , ,unde
,
sunt pozitive, atunci funcia are n punctul un minim.
1) Dac numerele , , , sunt pozitive atunci funcia are n punctul
un maxim.
39. n ce const metoda substituiei
Fie funcia obiectiv cu restricia (3.6)Dac din restricia
anterioar explicitm una din variabilele funciei, obinem:
(3.7)nlocuind variabila de de decizie x2 din funcia obiectiv cu
expresia anterioar substituit obinem:
(3.8)
Se obine o problem echivalent cu cea iniial, n sensul c are
aceeai soluie i este o problem de optimizare fr restricii. Prin
rezolvarea ei obinem soluia i cu aceasta din substituia fcut putem
determina . Se obine astfel soluia problemei iniiale.n afar de
eliminarea restriciilor, metoda substituiei permite reducerea
dimensiunii problemei de optimizare, prin reducerea numrului
variabilelor de decizie. Aceast metod este aplicabil doar n situaia
n care numrul de restricii este mai mic.
40. n ce const metoda iacobianului
Metoda se bazeaz pe faptul c, n punctul de tangent dintre
hipersuprafata functiei de performant si hipersupra fata
restrictiilor de tip egalitate, acestea au aceeasi pant. Un astfel
de punct din hiperspatiu corespunde optimului si poate fi stabilit
prin metoda iacobianului. n figura 2.1 e reprezentat familia de
curbe F(x1,x2) = const. si o restrictie de tip egalitate g(x1,x2) =
0. n punctul de tangent T se poate spune c pantele celor dou curbe
sunt egale :
(3.13)Se mai poate scrie :sau :
(3.14)
Fig.3.2 Reprezentarea grafic a funciei obiectiv i a
restriciilor
care se numeste determinant functional sau iacobian. Conditia
anterioar se scrie concentrat :
care, mpreuna cu restrictia g(x1,x2) = 0, permite determinarea
valorilor punctelor stationare (x10,x20).Pentru cazul general n
care functia de performant are n variabile F = F(x1, x2,...,xn) la
care se ataseaz m restrictii de tip egalitate gk(x1, x2,...,xn) = 0
; k = 1 m trebuie s se anuleze un numr de n - m determinani
funcionali :
(3.15)la care se adaug cele m ecuatii ale restrictiilor de tip
egalitate. Se formeaz un sistem de n ecuatii cu n necunoscute din
care, prin rezolvare, rezult punctele stationare
(x10,x20,...,xn0).
41. n ce const metoda multiplicatorilor lui Lagrange
Fie o funcie real definit pe o mulime i un sistem de ecuaii:
, (3.9)
funciile reale fiind definite pe mulimea . Fie mulimea soluiilor
sistemului (3.9). Extremele funciei cnd se numesc extremele funciei
condiionate de sistemul (2.4) sau extremele funciei supuse la
legturile (3.9). Punctele staionare ale funciei cnd se numesc
puncte staionare cu legturi sau puncte staionare condiionate ale
funciei . Punctele de extrem condiionat sau punctele staionare
condiionate se definesc la fel ca punctele de extrem sau punctele
staionare obinuite (libere) cu condiia ca punctele respective s
aparin mulimii .
n continuare se presupune c funciile sunt independente i
derivabile pe , cu determinantul funcional, de exemplu:
pe .
1) se formeaz funcia ajuttoare
, (3.10)
cu parametri.
2) se anuleaz derivatele pariale ale funciei n raport cu ; (n
numr de )
, , , , (3.11)
i se rezolv acest sistem de ecuaii cu necunoscute ; .
3) dac este o soluie a acestui sistem, punctul este un punct
staionar legat al funciei .
Punctele de extrem legat ale funciei se gsesc printre punctele
staionare legate.
Se nlocuiesc cu i se calculeaz difereniala a doua a funciei
astfel obinut, n punctul . Difereniind sistemul legturilor
, (3.12)i innd cont c prin ipotez
,
fiind independente, din sistemul (2.5) se obine, cu ajutorul
regulii lui Cramer, n funcie de . Dac se nlocuiesc n , rezult, fcnd
formal o schimbare de indici:
.4) n continuare se aplic consideraiile privitoare la extremele
libere ale unei funcii de mai multe variabile.
42. n ce const metoda inegalitiilor
n cadrul acestei metode, abordarea identificrii soluiei se face
parcurgnd urmtoarele etape:Se trateaz funcia obiectiv ca o funcie
fr restricii;Se verific dac punctele staionare gsite astfel sunt n
interiorul domeniului admis, respectiv dac verific sistemul de
restricii;Dac acest lucru este adevrat, soluia problemei cu
restriciile inegalitate este identic cu soluia problemei fr
restricii;Dac acest lucru este fals, optimul cutat se poate gsi pe
frontiera impus de restricii. Identificarea soluiei n acest caz are
loc prin impunerea respectrii la limit a inegalitilor ce nu sunt
satisfcute prin transformarea lor n restricii de tip egalitate. n
acest caz rezolvarea problemei se reia de la primul punct al
algoritmului, ncluznd n calcul i restriciile egaliate obinute
astfel.
43. n ce const metoda transformrii variabilelor
Transformarea variabilelor se utilizeaz pentru restrictiile de
forma :
sau :
(3.16) sau :
n cazul restrictiilor (3.16) se foloseste una din transformrile
de variabile care s asigure ca variabila xk s ia valori pozitive
:
(3.17)
(3.18)Pentru restrictiile (3.16) se poate folosi una din
urmtoarele schimbri de variabile:
Pentru restrictiile (3.18) se prefer transformarea de variabil
:
44. n ce const metoda transformrii restriciilor
Transformarea restrictiilor inegalitate n restrictii egalitate
se realizeaz prin introducerea n fiecare restrictie de tip
inegalitate a unei variabile fictive pozitive de compensare, astfel
nct restrictia inegalitate gk(x1, x2,..., xn) 0 devine o restrictie
egalitate gke(x1, x2,..., xn, xn+1) = 0.Astfel se obtine o problem
de optim cu restrictii egalitti.
45. Cnd se utilizeaz procedeele numerice de optimizare
Procedeele numerice de optimizare se folosesc cnd procedeele
analitice sunt fie inoperante (lipsesc conditiile analitice de
continuitate pentru functia de performant si derivatele ei), fie
laborioase si dificile (rezolvarea unui numr mare de ecuatii
implicate). De asemenea, procedeele numerice de testare a optimului
sunt utile cnd nu se cunoaste expresia analitic a functiei de
performant, dar exist posibilitti experimentale, putndu-se msura
functia de performant n prezenta unor restrictii cunoscute.Testarea
numeric a optimului conduce la localizarea aproximativ a punctului
de optim, eroarea de aproximare fiind dependent de expresia
functiei de performant, de pasul de testare si de metoda de testare
care implic diferite grade de convergent.
46. n ce const metoda testrii echidistante
Metoda testrii echidistante const din mprtirea intervalului de
cutare (restrictie: a x b) prin N puncte, rezultnd N+1 intervale
egale, puncte n care se testeaz optimul.Metoda testrii echidistante
se poate utiliza prin mai multe variante, cea mai cunoscut fiind
metoda njumttirii sau metoda celor 5 puncte. Ea const din mprtirea
intervalului de testare n 4 subintervale, deci plasarea a 5 puncte
echidistante din care dou la capetele intervalului. Se calculeaz
valorile functiei de performant n cele 5 puncte F(xi); i = 1 5. Din
cele 5 puncte se alege optimul (maxim sau minim) mpreun_ cu
subintervalele care-l delimiteaz.
Fig.3.1 Reprezentarea grafic a
De exemplu n figura 3.1, dac F(x1) este maximul (sau minimul) se
alege in continuare intervalul [x1, x3] care se mparte la rndul lui
n 4 subintervale, se calculeaz functia de performant n fiecare din
cele 5 puncte rezultate. Se continu pn la obtinerea unei erori de
aproximare acceptabile.
47. n ce const metoda de optimizare bazat pe seciunea de aur
Metoda testrii bazat pe sectiunea de aur este asemntoare metodei
anterioare cu precizarea c distantele de divizare sunt
Fig.3.2 Reprezentarea grafic a metodei seciunii de aur
unde 0.618 este sectiunea de aur sau raportul (1 - x) / x = x /
1 care conduce la ecuatia x2 + x - 1 = 0.Numrul n de pasi de
testare nu trebuie predeterminat, testarea oprindu-se dac se obtine
o eroare de aproximare acceptabil.
48. Care este scopul programrii matematice