Metoda wektorowych równań konturowych

Analiza kinematyczna mechanizmówMetoda wektorowych równań konturowych

Metoda wektorowych równań konturowych

AD

C

B

y

x

j (t)

AB=a BC=b CD=c AD=d

d

c

b

a

ra + rb - rd - rc = 0

Dane: j (t)

aay

ax


ax = a cos ay = a sin

x

y

AD

C

B

y

x

j(t)

AB=a BC=b CD=c AD=d

d

c

b

a

Dane: j (t)


3

2

rxa + rx

b - rxd - rx

c = 0ry

a + ryb - ry

d - ryc = 0

ra + rb - rd - rc = 0

a cos j + b cos 2 - d - c cos 3 = 0a sin j + b sin 2 - c sin 3 = 0

Szukane : 2 , 3

2 , 3

2

32

2

32

sinsinsin

coscoscos

cab

cdab

j

j

( )( )

2

32

22

2

32

22

sinsinsin

coscoscos

cab

cdab

j

j

( )( ) ( )2

3

2

3

2

2

2

22

sinsincoscos

sincos

cacda

b

jj

( )33

3

2222

coscossinsin2

cos2cos2

jj

j

ac

cdaddcab


ac

dcbak

c

dk

a

dk

2

2222

321

( )333231 coscossinsincoscos jjj kkk

Podstawienie:


( )33

32222

coscossinsin

cos/cos/2/)(

jj

j cdcdacdcab

A. Gronowicz: Podstawy analizy układów kinematycznych

Podstawienie:

21

21

cos

21

22

sin32

32

3

32

3

3

tg

tg

tg

tg

022

332

CBtgAtg

gdzie:

( ) 321

321

cos1sin2

coscos

kkkCB

kkkA

jj

jj

A

ACBBarctg

2

4

2

2

3 2 rozwiązania

Metoda wektorowych równań konturowychAlgorytmizacja - Matlab

A D

C

B

j(t)

d

c

b

a

3

2a cos j + b cos 2 - d - c cos 3 = 0a sin j + b sin 2 - c sin 3 = 0

Czworobok.m-------------------------------------------function F=czworobok(teta);global fia=0.1; b=0.8; c=0.85; d=0.6;

f1=a*cos(fi)+ b*cos(teta(1))- d-c*cos(teta(2));f2=a*sin(fi)+ b*sin(teta(1)) - c*sin(teta(2));F=[f1 f2];

Start.m----------------------------------------global fiteta0=[1 1.5];for i=1:100

fi=(i-1)*2*pi/100;teta=fsolve(@czworobok, teta0);fi1(i)=fi*180/pi;teta2(i)=teta(1)*180/pi;teta3(i)=teta(2)*180/pi;teta0=teta;

end

0 50 100 150 200 250 300 350 40060

70

80

90

100

110

120

130

fi

teta

2,

teta

3

teta2

teta3

A D

C

B

j(t)

d

c

b

a

3

2

a cos j + b cos 2 - d - c cos 3 = 0a sin j + b sin 2 - c sin 3 = 0

a=0.1; b=0.8; c=0.85; d=0.6;j = 0 - 360o (0 - 2*pi)

Analiza kinematyczna Metoda wektorowych równań konturowych

r1 + r2‘ + r2 - r3 - r0= 0

j1 j1

Analiza kinematyczna Metoda wektorowych równań konturowych

r1x + r2

x ’+ r2x - r3

x - r0x = 0

r1y + r2

y ’+ r2y - r3

y - r0y = 0

j1

j3

j2'

j2 Dane: j1(t)

Szukane: j2‘, r2

j2 j2‘ 270o

j3 j2‘

r1 cos j1 + r2‘ cos j2‘ + r2 cos(j2‘ 270o) - r3 cos j2

‘ - r0 = 0r1 sin j1 + r2‘ sin j2‘ + r2 sin(j2

‘ 270o) - r3 sin j2‘ = 0

r1 + r2‘ + r2 - r3 - r0= 0

r1 cos j1 + r2‘ cos j2‘ + r2 cos j2 - r3 cos j3 - r0 = 0r1 sin j1 + r2‘ sin j2‘ + r2 sin j2 - r3 sin j3 = 0

r2 , j2’

0rrrr

0rrrr

7865

4132

4 równania rzutów


r2

r3

r4

r1

r5

r6

r7

r8



Położenia prędkości przyspieszenia

AD

C

B

y

x

1(t)

d

c

b

a

Dane:

3

2

ra + rb - rd - rc = 0

Szukane :

2

12

111

111

1 )(

dt

d

dt

d

dt

d

t

3322

3322

32

,

,

,

Równanie położeń:

Szukane:

0sinsinsin

0coscoscos

321

321

cba

cdba

Równania rzutów:

Równania prędkości – pierwsza pochodna względem czasu

0sinsinsin 332211 cba

0coscoscos 332211 cba

ra + rb - rd - rc = 0

Równanie położeń:

rxa + rx

b - rxd - rx

c = 0ry

a + ryb - ry

d - ryc = 0

Dane: 1, Wyznaczone: 2 , 3

3322 , Dane: 11

Po uporządkowaniu:

0coscos

sinsin

cos

sin

3

2

32

32

1

1

1

cb

cb

a

a

11

11

3

2

cos

sin

a

aA

11

1

3

2

32

32

cos

sin

coscos

sinsin

a

a

cb

cb

32

32

coscos

sinsin

cb

cbA

11

1

3

2

cos

sin

a

aA


Prędkości – odwracanie macierzy A

32

32

coscos

sinsin

cb

cbA

Odwracanie macierzy:

A-1= 1/det(A) *ATdop

gdzie:

det(A) - wyznacznik macierzy

Adop - macierz dopełnień algebraicznych

adopij = (-1)i+j Mij

......

......

......ij

dopdop aA



0coscos

sinsin)det(

32

32

cb

cbA

)sin( )sincoscos(sin)det(

32

3232

bcbcA

T

dop

32

1 A )sin(

1

bcA

D=Metoda wektorowych równań konturowych


Warunek istnienia macierzy odwrotnej A-1 :

det(A) ≠ 0

)sin()det( 32 bcA

0)sin()det( 32 bcA ?, 32

Jeżeli det(A) = 0, macierz A-1 nie istnieje. Co to oznacza?


Położenia osobliwe

0)sin()det( 32 bcA

1) b = 0 lub c =0A D

C

B

1(t)

d

c

b

a

3

2

AC=D

B

1(t)

d

c=0

a b

AD

B =C

1(t)

d

b=0

a c

Układy zdegenerowane



0)sin()det( 32 bcA

A D

C

B

1(t)

d

c

b

a

3

22) 2 3

A

D

C

B

3

2

3 2

1(t)



0)sin()det( 32 bcA

A D

C

B

1(t)

d

c

b

a

3

2

3) 2 3 p 2 3 p

4) 2 3 p 3 2 p

A

D

C

B

3

2

2 3 p

1(t)

A

DCB

3

2

3 2p

1(t)



0)sin()det( 32 bcA

5) 2 p 3 2 0, 3 p

A

D

CB

3

2= 0

1(t)

A D

CB 3=p

2= 0

1(t)

A

D

CB

3

2= 0

1(t)A

D

C

B

3

2> 0

1(t)

Równania prędkości

Równania przyspieszeń – druga pochodna względem czasu

0sincos

sincossincos

0cossin

cossincossin

3

2

333

2

2

2221

2

111

3

2

333

2

2

2221

2

111

cc

bbaa

cc

bbaa

3,2,12

2

idt

d

dt

di

iii


Przyśpieszenia

0coscoscos

0sinsinsin

332211

332211

cba

cba

Dane napęd:Wyliczone położeniai prędkości:

Szukane:

0sinsin

coscos

coscos

sinsin

sincos

cossin

2

3

2

2

32

32

3

2

32

32

2

1

1

11

11

cb

cb

cb

cb

aa

aa

Po uporządkowaniu:

111 , ),( t

2

3

2

2

32

32

2

1

1

11

11

3

2

32

32

sinsin

coscos

sincos

cossin

coscos

sinsin

cb

cb

aa

aa

cb

cb

3232 , , ,

3322 ,

2

1

1

11

11

2

3

2

2

32

32

1

32

32

3

2

sincos

cossin

sinsin

coscos

coscos

sinsin

aa

aa

cb

cb

cb

cb

32

32

coscos

sinsin

cb

cbB

1

32

321

coscos

sinsin

cb

cbB

2

1

1

11

11

2

3

2

2

32

321

3

2

sincos

cossin

sinsin

coscos

aa

aa

cb

cbB

Metoda wektorowych równań konturowych

Documents