M M ETODA ETODA E E LEMENTÓW LEMENTÓW S S KOŃCZONYCH KOŃCZONYCH Na podstawie: Na podstawie: J. J. Zielnica Zielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996 Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996 M M ETODA ETODA E E LEMENTÓW LEMENTÓW S S KOŃCZONYCH KOŃCZONYCH Na podstawie: Na podstawie: J. J. Zielnica Zielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996 Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996
22
Embed
METODA ELEMENTÓW ELEMENTÓW SKO SKOŃCZONYCH · 2012. 9. 24. · Numeryczna metoda przybliżonego rozwiązywania zadań brzegowych (brzegowo-początkowych) • Podział (dyskretyzacja)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MMETODAETODA
EELEMENTÓWLEMENTÓW
SSKOŃCZONYCHKOŃCZONYCH
Na podstawie:Na podstawie:J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996
MMETODAETODA
EELEMENTÓWLEMENTÓW
SSKOŃCZONYCHKOŃCZONYCH
Na podstawie:Na podstawie:J. J. ZielnicaZielnica „Wytrzymałość materiałów” „Wytrzymałość materiałów” Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996Wyd. Pol. Poznańskiej, 1996
Problem opisany równaniem lub układem równań różniczkowych, zwykle o pochod-nychcząstkowych z warunkami jednoznaczności:
• warunki geometryczne
• warunki fizyczne
• warunki brzegowe
• warunki początkowe
Numeryczna metoda przybliżonego rozwiązywania zadań brzegowych
(brzegowo-początkowych)
• Podział (dyskretyzacja) układu na pewną ilość elementów skończonych.
• Zastąpienie układu równań różniczkowych układem równań algebraicznych (zmienne ciągłe wyraża się za pomocą wartości węzłowych oraz funkcji kształtu).
MES:MES:
Przykłady elementów skończonychPrzykłady elementów skończonych•Element skończony – prosta figura geomet-ryczna (płaska lub przestrzenna), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami,
•Liczba funkcji kształtu w pojedynczym elemencie skończonym jest równa liczbie jego węzłów.
• Węzły - w wierzchołkach elementu skończonego;- mogą być również na bokach i we wnętrzu.
• Węzły tylko w wierzchołkach - element liniowy.W innych przypadkach - elementy wyższych rzędów.
• Funkcje kształtu są zawsze tak zbudowane, aby w węzłach których dotyczą ich wartości wynosiły „1”, a pozostałych węzłach przyjmowały wartość „0”.
0)( =+∂∂ xqxN
F2=F1
L
F1
x dx
1 2
dx
N dxxNN∂∂+
q(x)
Element Element prętowyprętowy::
xε
∂∂= u σε
E1=
xEAN
∂∂= u
AN=σ
0)( =+∂∂ xqxN 0)(
2
2
=+∂∂ xqx
EA u
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
121
uu
NNu2211 uNuN +=u
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=funkcje kształtu
dla el. prętowego:
[ ] 0)(
2
1212
2
=+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂ xq
uu
NNx
EA
FFunkcjeunkcje kształtukształtu::
[ ] 0)(N
N
0 2
1
2
1212
2
0 2
1 =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫∫ dxxqN
dxuu
NNx
EAN LL
tw. Greena: dxxN
xNdx
xN
N jiji ∫∫ ∂
∂∂∂−=
∂∂
2
2
0N
)(
0 2
1
2
1
0 2212
2111
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∫∫⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
dxN
xquu
dxEALL
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
x
N
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Metoda Metoda GalerkinaGalerkina::
Po scałkowaniu:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
00
)(
2
2
1 1
1 1
2
1
L
L
LL
LLxq
uu
EA
Uwzględniając siły skupione F1 i F2:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
1 1
1 1
FF
uu
EA
LL
LLKeu=F
,1 21 LxN
LxN =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
KeU=FKe - globalna macierz sztywności układu
U - wektor przemieszczeń węzłowych
F - wektor sił węzłowych
Globalną macierz sztywności uzyskuje się poprzez „zszywanie” macierzy sztywności dla poszczególnych elementów (agregacja).
Dla układów liniowoDla układów liniowo--sprężystych:sprężystych:
...
Agregacja macierzy:Agregacja macierzy:
• Układ nie może tworzyć mechanizmu.
• Obciążenia ciągłe zastępujemy obc. skupionymi;
• Podparcia ciągłe zastępujemy podparciami w węzłach;
• Odległości między węzłami przyjmujemy w miaręrównomierne;
• Różnica między numerami węzłów w elemenciepowinna być minimalna;
• Elementy mogą się łączyć tylko w węzłach;
• Siły i momenty można zadawać tylko w węzłach;
• Podpory można umieszczać tylko w węzłach;
Tworzenie modelu:Tworzenie modelu:
1
2L
y
x
v1
v2
u2
u1
1’
2’
L+∆L
x1 x2
y1
y2
212
212 )y(y)x(xL −+−= L
yysin ,L
xxcos 1212 −==−== αα sc
2 1 2 1L ( ) ( )u u c v v s∆ = − + −
Macierz sztywności dla Macierz sztywności dla elel. prętowego:. prętowego:
α1
2L
N
N V1
V2H2
H1
[ ]svvcuu )()(L
EANEANLL 1212 −+−=⇒=∆ Bu=ε
] [1 sc-scL−=B
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
1
vuvu
u
B - macierz geometryczna
CuBu=== EAEAN ε
scHsVcH NV ,N ,N ,N 2211 ==−=−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
2
1
1
VHVH
F
C - macierz sił węzłowych
Zależność między siłą wewnętrzną Ni siłami węzłowymi Vi i Hi: