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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
MTHODES SISMIQUES1 - Les ondes sismiques
Bernard Giroux([email protected])
Institut national de la recherche scientifiqueCentre Eau Terre
Environnement
Version 1.0.3Automne 2011
[email protected]
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Gnralits
Les mthodes sismiques sont des techniques dimageriebases sur la
mesure de la propagation des ondessismiques.Les ondes sismiques
sont de nature mcanique.On peut dire dune onde que
cest une perturbation du milieu qui se propage dans lespaceet le
temps ;sa propagation est fonction des proprits physiques
dumilieu.
On peut dcrire le phnomne de la propagation des ondessismiques
partir de
la loi de Hooke : reliant contrainte et dformation ;la 2e loi de
Newton : reliant force et acclration.
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Caractristiques lastiques des solides
Les relations entre contrainte et dformation pour unmatriau
permettent de dcrire les proprits lastiques dece matriau, ainsi que
les caractristiques (tel que lavitesse) des ondes qui sy
propagent.Dfinitions :contrainte : force par unit de surface (F/A)
en N/m2 ;dformation e : dformation unitaire Ll ou
VV .
lintrieur des limites dlasticit, la contrainte
estproportionnelle la dformation (loi de Hooke).
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Introduction
DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Module dYoung ou module dlasticit (E)
E =F/Al/l
=contrainte uniaxiale
dformation parallle la contrainte
avec F/A = P.
Module dlasticit volumique, ou bulk modulus (K)
Une contrainte hydrostatique P dans les trois axes
orthogonauxentrane une changement de volume V.
K =contrainte volumique
dformation volumique=
F/AV/V
=P
V/V
1/K est appel compressibilit.
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Introduction
DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Module (dlasticit) de cisaillement ou rigidit ()
Mesure du rapport contrainte/dformation dans le cas
duncisaillement simple tangentiel. Dformation sans changementde
volume.
=P
l/l=
P
;
est langle de dformation.
2e constante de Lam (incompressibilit du fluide)
= K 2/3
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Introduction
DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Coefficient de Poisson ()
est la mesure du changement gomtrique dans la forme ducorps
lastique (dans les directions orthogonales la directionde la
contrainte)
=dformation transversale
dformation longitudinale=
W/Wl/l
est toujours infrieur 0.5. Pour la plupart des roches, 0.25. Le
coefficient de Poisson est reli au module dYoungpar la 2e constante
de Lam :
=E
(1 + )(1 2) .
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dfinitions
Les constantes lastiques sont indpendantes deux par deux.
K =E
3(1 2) ;
=E
2(1 + );
E =9K
3K + ;
=3K 26K + 2
.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
La contrainte est dfinie comme le rapport de la force sur
lasurface
~ =~FA
.
Lorsque A tend vers zro,
~ =~FA
.
La contrainte normale (compression ou dilatation) sexprimepar
Fn/A, la contrainte de cisaillement par Ft/A.
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Introduction
DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
Fn
F
Ft
A
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
En 3D avec systme de rfrence x1, x2, x3 et une surfacedu2 du3
dont la normale est selon x1, les composantes de lacontrainte
seront en compression selon 11 et encisaillement selon 21 et
31.Notation : le premier indice reprsente la direction de
lacontrainte, et le deuxime indice est la direction de lanormale au
plan sur lequel la contrainte agit.Ainsi, on trouvera neuf
composantes totales possibles,soient :
trois contraintes de compression (ou dilatation) : 11, 22
et33six contraintes de cisaillement : 12, 21, 13, 31, 23 et 32
;avec 12 = 21, 13 = 31 et 23 = 32.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Contrainte
x3
x2x1
E
F
GD
A
B
CO
11
31
21
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
O A A' B B'u1
dx1 u1+u1x1dx1
Dfinition : variation du dplacement subie par A et B sur
lasparation originale entre A et B, i.e.
dformation =AB AB
ABou encore
e11 =(dx1 u1 + u1 + u1x1 dx1) dx1
dx1=
u1x1
,
et de manire gnrale
eii =uixi
, i = 1, 2, 3.
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
La variation selon les trois dimensions de lespace est
initialement sous contraintedxi dxi (1 + eii)
Le volume rsultant initial est donc V = dx1 dx2 dx3 et levolume
sous contrainte est
V = dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33).
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en compression/dilatation
Le coefficient de dilatation sera
=(V V)
V=
VV
=dx1 dx2 dx3 (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) dx1 dx2 dx3
dx1 dx2 dx3= (1 + e11)(1 + e22)(1 + e33) 1= 1 + (e11 + e22 +
e33) + (e11e22 + e11e33 + e22e33
+e11e22e33) 1.
En ngligeant les produits des e11, e22 et e33, on a
= e11 + e22 + e33.
Lquation de londe P est exprime en fonction de .
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en cisaillement
+
22
x2
x1(a) (b)
u2x1dx1
u1x2dx2
u1x1dx1
u2x2dx2
dx1
dx2
/2 + tan(/2 + ) =u1x2
dx2dx2
=u1x2
/2 = u2/x1
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DfinitionsContrainte
Dformation encompression/dilatation
Dformation encisaillement
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Dformation en cisaillement
On dfinit e12 comme la dformation de cisaillement
e12 =u1x1
+u2x2
Langle de rotation autour de laxe x3 est
=12
(u2x1 u1
x2
) 3.
En trois dimensions, on a
e12 = e21 =u2x1
+u1x2
,
e23 = e32 =u3x2
+u2x3
,
e31 = e13 =u1x3
+u3x1
.
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Introduction
Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Soit une contrainte agissant sur un matriau lastique
etprovoquant une dformation e.Suite cette contrainte, le matriau
est hors dquilibre.Les forces scrivent comme
11x1
dx1,21x1
dx1,31x1
dx1;
Voyons comment ces forces peuvent tre relies unequantit
mesurable.Dfinissons le vecteur de dplacement dune particule
(oulment de volume) par
u = u1x1 + u2x2 + u3x3.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
u (ou sa drive dans le temps) est la quantit mesure
ensismique.
La deuxime loi de Newton relie 2u
t2 (lacclration) laforce exerce
2u1t2
= Forces agissant sur le volume selon x1
=11x1
+12x2
+13x3
o est la densit (constante) du matriau.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Par ailleurs, les dformations sont exprimes en termes
descomposantes de u, i.e.
eij =12
(uixj
+ujxi
).
La loi de Hooke relie contraintes et dformations.La forme gnrale
de la loi de Hooke scrit
ij = cijpqepq, (1)
o cijpq est un tenseur dordre 4 21 coefficientsindpendants.Pour
un milieu isotrope, on a ii = + 2eii, etij = 2eij, (i 6= j) ; et
sont les constantes de Lam.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
On arrive ainsi a
2u1t2
= x1
+ 2e11x1
+ e12x2
+ e13x3
= x1
+
[2
2u1x21
+
(2u2
x1x2+
2u1x22
)
+
(2u3
x1x3+
2u1x23
)]
= x1
+ 2u1 +
x1
(u1x1
+u2x2
+u3x3
)= ( + )
x1
+ 2u1. (2)
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quations dondes
Selon les axes x2 et x3, on obtient
2u2t2
= ( + )x2
+ 2u2 (3)
et
2u3t2
= ( + )x3
+ 2u3. (4)
On peut exprimer les quations (2), (3) et (4) sous la
formevectorielle comme
2ut2
= ( + ) + 2u. (5)
Cette quation permet de dcrire le mouvement desparticules dans
un milieu lastique, homogne et isotrope.
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Introduction
Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde P
La forme gnrale de lquation donde est
1V2
2
t2= 2 (6)
avec V la vitesse de londe.En effectuant la divergence de (5) on
obtient
12
2t2
= 2 (7)
qui dcrit la propagation dune perturbation se dplacantavec une
vitesse =
( + 2)/.
(7) est lquation de londe P, qui se propage avec unevitesse
.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde P
L. Braille
onde_P.movMedia File (video/quicktime)
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quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
Sil y a un mouvement de rotation, londe est dcrite par
lerotationel de (5).Lquation vectorielle pour les ondes S scrit
alors
12
2
t2= 2 (8)
en utilisant la dfinition des angles de rotation de ladformation
tels que
1 =12
(u3x2 u2
x3
), 2 =
12
(u1x3 u3
x1
),
3 =12
(u2x1 u1
x2
).
et = 1x1 + 2x2 + 3x3 =
u2
.
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Dfinitions
quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
Le terme dcrit le cisaillement que subit le volume
derfrence.Londe S se propage avec une vitesse =
/.
Les constantes dlasticit sont toujours positives lavitesse <
.
Lexpression reliant et est =
12
(2
), ou alors
=
(0.5 1
)1/2,
o est le coefficient de Poisson.
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quations dondesOnde P
Onde S
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde S
L. Braille
onde_S.movMedia File (video/quicktime)
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
Lquation (5) nest pas toujours pratique pour dcrirecertains
phnomnes, en particulier le partitionnement delnergie une
interface.Par ailleurs, on sintresse souvent aux ondes
Puniquement.Partant de lquation (6), considrons le cas o
estfonction de x1 et de t seulement.Toute fonction = f (x1 Vt) est
alors une solution delquation donde, en autant que est ses deux
premiresdrives soient finies et continues.Le choix dune fonction
donne par rapport une autredpend principalement des conditions aux
frontires duproblme rsoudre.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
y = f(x1)
y = f(Vt - x1)
Vt - x1 = 0donc x1 = Vt
t = 0
x
x
A
A
t = t
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Onde plane
La quantit x1 Vt est appele la phase de londe.Les surfaces sur
lesquelles la phase est constante sont lesfronts donde.Dans le cas
o la propagation se fait uniquement selon x1,ces surfaces sont
planes et perpendiculaires x1, et on aalors affaire une onde
plane.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Il est possible de trouver des solutions pour (7) et (8)
enfonction de la dilatation et du cisaillement .Cependant, il est
plus intressant davoir une expressionpour le dplacement (u) ou la
vitesse (u/t) des particulesconstituants le milieu, ces quantits
tant plus facilementmesurables.On introduit deux fonctions de
potentiel (x1, x2, x3, t) et(x1, x2, x3, t), solutions de lquation
donde (6), et partirdesquels le dplacement u peut tre obtenu.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Si lon pose et tel que
u = (
+
x3
)2x3, (9)
on peut montrer que
= u = 2 (10)2 = u = 2x2. (11)
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Considrons maintenant le cas simple o le potentiel estnul et que
le potentiel ne varie que dans la direction x1(c.--d. = (x1, t)).Le
dplacement des particules en un point sera dcrit par
u = =(
x1, 0, 0
).
Ce dplacement se fait donc dans la mme direction que
lapropagation de londe.Cette onde est donc une onde P.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Potentiels de dplacement
Si est nul en tout point et que varie seulement dans ladirection
x1 (c.--d. = (x1, t)), le dplacement desparticules est dcrit
par
u = =(
0,3x1
,2x1
).
Les particules se dplacent perpendiculairement ladirection de
propagation de londe et nous sommes enprsence dune onde S.Londe S
est souvent dcompose en une composanteverticale par rapport la
direction de propagation (SV) eten une composante horizontale (SH),
c.--d. londe estpolarise.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Quelle forme peuvent prendre les potentiels dedplacement ?Les
ondes harmoniques constituent la solution la plussimple pour
rsoudre (9).Une onde harmonique monochromatique de vitesse V
estdcrite par
= A sin k(lx1 + mx2 + nx3 Vt)
ou bien = A expj[{lx1+mx2+nx3)/V}t] . (12)
Cette onde se propage selon le cosinus directeur (l, m, n) eta
une longueur donde gale = 2/k.La longueur donde est relie la
vitesse et la frquence f(f = /2) par
V = f . (13)
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Soit le cas simple dune onde P incidente la surfacesparant deux
demi-espaces.
11
'1
A0 A1
B1
x3
x1
2
2
A2B2
2, 2, 2, 2, 2
1, 1, 1, 1, 1
onde Sonde P
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes harmoniques
Les fonctions de potentiel peuvent scrire
1(x1, x3, t) = A0 expi(
x1 sin 11
+x3 cos 1
1t)
+A1 expi(
x1 sin 1
1+
x3 cos 1
1t)
(14)
1(x1, x3, t) = B1 expi(
x1 sin 11
x3 cos 11 t)
x2 (15)
2(x1, x3, t) = A2 expi(
x1 sin 11
+x3 cos 1
1t)
(16)
2(x1, x3, t) = B2 expi(
x1 sin 22
+x3 cos 2
2t)
x2. (17)
Ces quations permettent de calculer le coefficient derflexion en
fonction de langle dincidence : 1er pas pourune interprtation
quantitative.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les ondes de Rayleigh sont dues linteraction des ondes Pet SV
une surface libre.Soit x3 laxe vertical et la surface libre dans le
plan x1-x2 x3 = 0, les contraintes 13, 23 et 33 y sont
nulles.Considrons les potentiels de dplacement
= A exp [i(px1 + x3 t)]= A exp [x3] exp [i(px1 t)] ;
= B exp[i(px1 + x3 t)
]= B exp
[x3
]exp [i(px1 t)] .
o p = 1/c est la lenteur (inverse de la vitesse)
horizontale.
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les constantes et sont
=
12 p2 = i
= i
p2 1
2= i
1c2 1
2.
=
12 p2 = i
= i
p2 1
2= i
1c2 1
2.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
En appliquant les conditions aux frontires, on trouve
u1 = Ap sin[(px1 t)][ex3
+12
(c2
2 2)
ex3]
(18)
et
u3 = Ap cos[(px1 t)][cex3
+1
2c
(c2
2 2)
ex3]
. (19)
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
Les dplacements ci-dessus ont une dpendanceharmonique en x1, et
exponentielle en x3.Lamplitude dcrot exponentiellement en fonction
de laprofondeur, londe est dite vanescente.Les dplacements selon x1
et x3 sont dphass de 90, et secombinent pour produire un mouvement
ellipsoidal.En sismique dexploration, les ondes de Rayleigh
sontsouvent appeles ground roll.On peut par ailleurs montrer que c
(la vitesse de londe deRayleigh) est toujours infrieure .En gnrale,
c vaut entre 0.9 et 0.95.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations dondeOnde plane
Potentiels de dplacement
Ondes harmoniques
Ondes de Rayleigh
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Ondes de Rayleigh
L. Braille
onde_Rayleigh.movMedia File (video/quicktime)
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rais sismiques
Le rai sismique constitue unefaon simple de se reprsenter
latrajectoire de propagation delonde.
0 2 4 6
15
10
5
0
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
Onde S rchie
Onde P rchie
Onde
incidente
A
B
C
x
x
xVS1VP1
VS1VP11
VS2VP22
i
rs
rp
Diagramme quivalent
Principe de Huygens-Fresnel
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
Soit une front donde AB incident avec un angle i ;Le point A est
la source dune onde P et dune onde SVconvertie ;Le temps requis
pour aller de B C est gal au rayon xpour londe P et VS1VP1 x pour
londe S ;
Si on trace une tangente du point C au front donde P, onvoit que
langle de rflexion rp est gal langle i ;Pour londe S, langle de
rflexion rs est donn par
sin rs =VS1VP1
sin i. (20)
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rflexion dune onde plane
On a ainsi que
sin iVP1
=sin rpVP1
=sin rsVS1
= p, (21)
o p est le paramtre du rai.Lorsque i = 0, le rapport entre
lnergie rflchie etlnergie incidente est donn par
ErEi
0=
(2VP2 1VP1)2
(2VP2 + 1VP1)2 . (22)
Ce rapport dpend de limpdance acoustique (V). Si2V2 = 1V1, il ny
a pas de rflexion.
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
VS1VP11
VS2VP22
xVS2VP1
xVP2VP1
A B
D
C
Onde
incidente
Onde S
rfracte
Onde P
rfracte
x
i
Rs
Rp
Diagramme quivalent
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Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
Le temps requis pour aller de B C dans le milieu 1 est gal
VP2VP1 x pour londe P dans le milieu 2, et
VS2VP1
x pour londeS.La gomtrie du problme nous dit galement que
sin i =BCAB
=x
ABet sin Rp =
ADAB
=VP2VP1
xAB
do on tire la loi de Snell
sin isin Rp
=VP1VP2
. (23)
Pour londe de cisaillement, on a
sin isin Rs
=VP1VS2
. (24)
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Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfraction dune onde plane
Lorsque sin i = VP1VP2 , sin Rp = 1 et Rp = 90, londe ne
pntre pas dans le deuxime matriau mais voyage linterface entre
les deux milieux.Langle critique est dfini par
ic = sin1(
VP1VP2
). (25)
Pour tout angle dincidence i plus grand que ic, il ny a pasde
rfraction et londe est totalement rflchie.Les lois de la rflexion
et de la rfraction peuvent tresynthtiss en statuant qu une
interface, le paramtre durai (quation (21)) a la mme valeur pour
londe incidente,londe rflchie, et londe rfracte. Il sagit de la
formegnrale de la loi de Snell.
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Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Point de dpart : propagation dune perturbationdiscontinue dans
un milieu homogne.Cette discontinuit est dfinie comme le produit de
deuxfonctions, lune du temps et lautre de la position :
u(x, t) = U(t T)f (x) (26)
o T correspond au temps de parcours (travel time) etdpend de la
position, c.--d. T = T(x) (problme nonlinaire).
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Lquation (26) est une solution de lquation (5) valide entout
point lexception de la position de la source,considre
ponctuelle.Considrons la composante selon x1, on a que
2U1t2
f = ( + )
x1
(U1fx1
+U2fx2
+U3fx3
)+ 2U1f .
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
En distribuant les drives partielles et le Laplacien,
onobtient
2U1t2
f = ( + )
[f
2U1x21
+f
x1U1x1
+ U12fx21
+f
x1U1x1
+ f2U2
x1x2+
fx1
U2x2
+ U22f
x1x2+
fx2
U2x1
+ f2U3
x1x3+
fx1
U3x3
+ U32f
x1x3+
fx3
U3x1
]
+
[f
2U1x21
+f
x1U1x1
+ U12fx21
+f
x1U1x1
+ f2U1x22
+f
x2U1x2
+ U12fx22
+f
x2U1x2
+ f2U1x23
+f
x3U1x3
+ U12fx23
+f
x3U1x3
].
(27)
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Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Or, U dpend de T qui son tour dpend de la position.On trouve
ainsi une relation du type suivant pour lescomposantes de U
x2
(Uix1
)=
2Uit2
Tx1
Tx2 Ui
t2T
x1x2. (28)
Il faut maintenant combiner les composantes U1, U2 et U3,ce qui
donne une expression complexe reliant les drivessecondes
temporelles de U, les drives premires spatialeset temporelles de U,
U ainsi que f et ses gradients.
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Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
Or, au voisinage du front donde, U fluctue plusrapidement que f
, ce qui fait que Ut et
2Ut2 fluctuent
dautant plus vite.On peut alors dgager la condition
suivante(
T T + 2
)(T T
)= 0. (29)
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Rais sismiquesRflexion dune ondeplane
Rfraction dune ondeplane
quation de leikonal
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
quation de leikonal
De lquation prcdente, on peut extraire lquation deleikonal
T T (
Tx1
)2+
(Tx2
)2+
(Tx3
)2= s2
o s = s(x) est la lenteur (inverse de la vitesse).Cette quation
est la base de plusieurs algorithmes de tracde rai, trs utiliss en
inversion/tomographie.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Zone de Fresnel
Une rflexion est en ralit constitu dnergie rflchie parune aire
relativement tendue.La zone de Fresnel est la surface partir de
laquelle lnergierflchie nest pas dphase de plus dun quart de
cycle,i.e. lnergie interfre de faon constructive.
source
hn
h1hh0
Pn
P0
R1
Rn
P1
P
R
dR
1re zone
1
2e R5e4e3e
Am
pli
tud
e
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Zone de Fresnel
Pour une onde de longueur donde , lamplituderetourne au point
source en fonction du rayon estmaximum R1 = (h0/2)1/2 ;La
contribution principale provient de la surface dfiniepar le cercle
de rayon R1, que lon nomme premire zonede Fresnel, ou simplement
zone de Fresnel.La premire zone de Fresnel est souvent utilise
commemesure de la rsolution horizontale.Si le rflecteur est de
dimension infrieure cette zone, sarponse est essentiellement celle
dun point diffractant.
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Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Longueur donde
Le signal mesur est une ondelette, de frquencedominante f donne
(bande passante donne) ;Pour une vitesse de propagation V donne, la
longueurdonde est = V/f ;
Longueur donde (m)Frquence Vitesse (m/s)
(Hz) 1000 2000 3000 4000 50001 1000 2000 3000 4000 5000
40 25 50 75 100 125100 10 20 30 40 50500 2 4 6 8 10
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Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Vitesses sismiques des roches
Nature des terrains Vp [m/s] Vs [m/s] [g/cm3]boulis, terre
vgtale 300-700 100-300 1.7-2.4sable sec 400-1200 100-500
1.5-1.7sable humide 1500-4000 400-1200 1.9-2.1argiles 1100-2500
200-800 2.0-2.4marnes 2000-3000 750-1500 2.1-2.6grs 3000-4500
1200-2800 2.1-2.4calcaires 3500-6000 2000-3300 2.4-2.7craie
2300-2600 1100-1300 1.8-2.3sel 4500-5500 2500-3100 2.1-2.3anhydrite
4000-5500 2200-3100 2.9-3.0dolomie 3500-6500 1900-3600
2.5-2.9granite 4500-6000 2500-3300 2.5-2.7basalte 5000-6000
2800-3400 2.7-3.1charbon 2200-2700 1000-1400 1.3-1.8eau 1450-1500 -
1glace 3400-3800 1700-1900 0.9huile 1200-1250 - 0.6-0.9
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rsolution et dtection
Pouvoir de rsolutioncapacit de sparer en profondeur deux
horizons ;de lordre de /4 /2 selon la largeur de bande et leniveau
de bruit.
Pouvoir de dtectionla plus petite couche qui puisse donner
naissance unerflexion ;se situe entre /30 et /10.
Rsolution latralecapacit dindividualiserlatralement deux
vnements ;relie la zone de Fresnel ;
Zone de Fresnel
/4
Bref : plus la longueur donde est courte (et la frquenceleve),
meilleure est la rsolution.
-
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Frquence centrale et largeur de bande
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
Enveloppe spatiale
0 50 100 150 2001.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Signal
0 100 200 300 400 50010
15
1010
105
Spectre de puissance
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
Distance0 50 100 150 200
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
Temps0 100 200 300 400 500
1015
1010
105
Frequence
fc
B
-
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Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Origine et cause
Lattnuation peut tre dfinie comme la diminution delamplitude et
une perte prfrentielle des hautesfrquences du signal sismique, en
fonction de la distancede propagation ou du temps.Cest un phnomne
aux causes multiples.Un des facteurs principaux en est labsorption,
cest--direla transformation de lnergie sismique en chaleur
parfriction interne ou granulaire dans un milieu inlastique,ou
entre un fluide et la matrice poreuse le contenant.Un autre facteur
important est la diffusion (scattering) delnergie sismique
occasionne par des htrognits defaibles dimensions.
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Le facteur de qualit sismique Q
Le facteur de qualit Q (adimensionnel) est gnralementutilis pour
quantifier lattnuation propre un matriau ;Le facteur Q est
inversement proportionnel lnergieabsorbe par le milieu lors dun
cycle doscillation delonde
Q = 2/(fraction dnergie perdue par cycle)= 2/(E/E) (30)
Plus le matriau est de pitre qualit du point de vuesismique,
plus lnergie de londe sismique dissipe (E)est grande, plus le
facteur de qualit sera faible.
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quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondesOrigine et cause
Le facteur de qualitsismimque
Divergence gomtrique
Rfrences
Divergence gomtrique
Phnomne du une redistribution de lnergie enfonction de la
surface occupe par le front donde.Son effet varie selon le type
donde se propageant, soitquelle est plane, cylindrique ou
sphrique.Dcrite par un rapport dintensit, lintensit I tant
laquantit dnergie se propageant travers une surfacenormale la
direction de propagation par unit de temps.Onde sphrique : surface
= 4r2 dcroissance delintensit par linverse du carr de la distance
la source.Onde plane : divergence nulle et intensit constante.
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfrences
Rfrence gnrale
Sheriff, R. E. and Geldart, L. P. (1995). ExplorationSeismology.
Cambridge University Press, 2nd edition
Pour aller plus loinAki, K. and Richards, P. G. (2002).
Quantitative Seismology.University Science Books, Sausalito, CA,
2nd editionCarcione, J. M. (2007). Wave Fields in Real Media :
WavePropagation in Anisotropic, Anelastic, Porous
andElectromagnetic Media, volume 38 of Handbook of
GeophysicalExploration : Seismic Exploration. Elsevier, 2nd
editionCerven, V. (2005). Seismic Ray Theory. CambridgeUniversity
Press
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Introduction
Dfinitions
quations dondes
Solutionsparticulires auxquations donde
Rais sismiques
Rsolution
Attnuation desondes
Rfrences
Rfrences
Dahlen, F. A. and Tromp, J. (1998). Theoretical
GlobalSeismology. Princeton University PressMavko, G., Mukerji, T.,
and Dvorkin, J. (2009). The RockPhysics Handbook. Cambridge
University Press, 2 editionLay, T. and Wallace, T. C. (1995).
Modern Global Seismology,volume 58 of International Geophysics
Series. AcademicPress, San Diego
IntroductionDfinitionsContrainteDformation en
compression/dilatationDformation en cisaillementquations
d'ondesOnde POnde SSolutions particulires aux quations d'ondeOnde
planePotentiels de dplacementOndes harmoniquesOndes de RayleighRais
sismiquesRflexion d'une onde planeRfraction d'une onde planequation
de l'eikonalRsolutionAttnuation des ondesOrigine et causeLe facteur
de qualit sismimqueDivergence gomtriqueRfrences