MÉTHODES EXERCICES PROBLÈMES ECS - Decitre.fr · Ensembles et cardinaux – 5. Nombres complexes et polynômes – 6. Calcul ... et des exercices complémentaires. MATHS ECS 1 re

VUIBERT

MATHSECS•1re annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Activités numériques – 2. Calcul algébrique et étude de fonctions – 3. Logique 4. Ensembles et cardinaux – 5. Nombres complexes et polynômes – 6. Calcul matriciel – 7. Systèmes d’équations linéaires – 8. Espaces vectoriels – 9. Suites 10. Étude locale – 11. Étude globale – 12. Dérivation-Intégration – 13. Espaces vectoriels de dimension finie – 14. Applications linéaires – 15. Comportement asymptotique – 16. Séries numériques – 17. Intégrales impropres – 18. Dérivée - Convexité et fonctions réciproques – 19. Formules de Taylor - Développements limités 20. Probabilités discrètes – 21. Variables aléatoires discrètes – 22. Variables à densité 23. Convergences et approximations.

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.

François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.

ISBN : 978-2-311-40284-1

www. .fr

Des ouvrages pour faire la différence : – des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables

et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

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J.-P. Cortier

F. Delaplace

F. Fortain

M. Rossillon

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MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

MATHSECS•1re annéeM

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Table des matières

Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),

des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.

Chapitre 1. Activités numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31. Nombres : opérations 3 – 2. Nombres : comparaisons 4 – Exercices 5 – Corrigés 7

Chapitre 2. Calcul algébrique et étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171. Identités remarquables 17 – 2. Fonctions polynômes du second degré 17 – 3. Valeurs absolues 18– 4. Fonctions paires et impaires 18 – 5. Formules de dérivation des fonctions dérivables 19 –6. Dérivée en un extremum local 19 – 7. Primitives et intégrales 19 – 8. Primitives usuelles 20 –Exercices 21 – Corrigés 24

Chapitre 3. Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371. Valeurs de vérité des connectives 37 – 2. Méthodes de démonstration 38 – Exercices 39 –Corrigés 43

Chapitre 4. Ensembles et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471. Parties de E 47 – 2. k -listes d’éléments de E 47 – 3. Parties de P (E ) 47 – 4. Méthode 47 –Exercices 48 – 1. Ensembles 48 – 2. Cardinaux et dénombrement 49 – Corrigés 50

Chapitre 5. Nombres complexes et polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551. Nombres complexes : définitions et opérations 55 – 2. Polynômes : définitions et opérations 56 –Exercices 59 – Corrigés 63

Chapitre 6. Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731. Opérations dansMn ,m (K) 73 – 2. Calcul des puissances (ou de l’inverse) d’une matrice 74 –Exercices 76 – Corrigés 79

Chapitre 7. Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851. Transformations sur les lignes d’équations 85 – 2. Méthode de Gauss 85 – 3. Calcul d’une matriceinverse 86 – Exercices 87 – Corrigés 89

Chapitre 8. Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951. Espace vectoriel 95 – 2. Sous-espace vectoriel de E 95 – 3. Matrice d’une famille de vecteurs 96– Exercices 98 – Corrigés 100

Chapitre 9. Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051. Suites particulières 105 – 2. Suites convergentes 106 – Exercices 108 – Corrigés 112

Chapitre 10. Étude locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1231. Limites et continuité 123 – 2. Limites usuelles 124 – Exercices 125 – Corrigés 128

Chapitre 11. Étude globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1371. Généralités 137 – 2. Fonctions continues et continues par morceaux 137 – Exercices 140 –Corrigés 144

Chapitre 12. Dérivation - Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1551. Dérivée première 155 – 2. Fonctions dérivables sur un intervalle 155 – 3. Applications du calculdifférentiel 156 – 4. Primitives et intégrales de fonctions continues 157 – 5. Méthodes de calculdes intégrales 158 – Exercices 159 – Corrigés 163

1

Table des matières

Chapitre 13. Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751. Espace vectoriel engendré 175 – 2. Sommes directes 175 – 3. Changement de base 176 –Exercices 177 – Corrigés 180

Chapitre 14. Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1871. Applications linéaires 187 – 2. Matrice d’une application linéaire 188 – 3. Rang d’une applicationlinéaire 188 – 4. Isomorphisme entreL (E , F ) etMn ,m (K) 189 – 5. Hyperplan 189 – 6. Polynômesannulateur d’un endomorphisme ou d’une matrice 189 – Exercices 190 – Corrigés 193

Chapitre 15. Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011. Négligeabilité 201 – 2. Équivalents 202 – Exercices 203 – Corrigés 206

Chapitre 16. Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2151. Séries convergentes 215 – 2. Séries de référence 215 – 3. Séries à termes positifs 216 – 4. Sériesabsolument convergentes 216 – Exercices 217 – Corrigés 221

Chapitre 17. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235Exercices 237 – Corrigés 240

Chapitre 18. Dérivée - Convexité et fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2571. Dérivée d’ordre p , fonction de classeC p ,C∞ 257 – 2. Fonction convexe 258 – Exercices 259 –Corrigés 263

Chapitre 19. Formules de Taylor - Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2731. Formules de Taylor 273 – 2. Développements limités 274 – Exercices 275 – Corrigés 278

Chapitre 20. Probabilités discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289Exercices 293 – Corrigés 296

Chapitre 21. Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3091. Généralités 309 – 2. Moments d’une variable discrète 310 – Exercices 311 – Corrigés 314

Chapitre 22. Variables à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Exercices 327 – Corrigés 331

Chapitre 23. Convergences et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3511. Convergence en probabilité 351 – 2. Convergence en loi 351 – Exercices 353 – Corrigés 357

2

MÉTHODE

6Chapitre

Calcul matriciel

Dans ce chapitre,K désigne R ou C.

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres réels ou complexes. La taille d’une matriceA =

�

a i ,j

�

est le couple (n , m ) où n est le nombre de lignes et m le nombre de colonnes de A.

L’ensemble des matrices de taille (n , m ) est notéMn ,m (K) ; si m = n , l’ensemble est notéMn (K)et les éléments deMn (K) sont appelés des matrices carrées et n est souvent appelé l’ordre de lamatrice. Une matrice de taille (1, m ) est appelée matrice ligne et une matrice de taille (n ,1) unematrice colonne ; on identifie souvent les éléments deKn avec les matrices colonnes.

Soit A =�

a i ,j

�

une matrice carrée ; si tous les éléments a i ,j tels que i > j sont nuls, c’est-à-diresi tous les éléments sous la diagonale sont nuls, on dit que la matrice est triangulaire supérieure.Si tous les éléments a i ,j tels que i < j sont nuls, c’est-à-dire si tous les éléments au-dessus de ladiagonale sont nuls, on dit que la matrice est triangulaire inférieure. Une matrice triangulaireinférieure et triangulaire supérieure est appelée matrice diagonale.

On appelle transposée d’une matrice A ∈Mn ,m (K) la matrice tA obtenue en permutant la i ème

ligne avec la i ème colonne ; on obtient alors une matrice deMm ,n (K). On dit qu’une matrice carréeA est symétrique, si elle est égale à sa transposée ; une matrice symétrique est nécessairement unematrice carrée.

La matrice dont tous les termes sont nuls est appelée la matrice nulle ; on la note 0. La matricediagonale d’ordre n dont tous les termes de la diagonale sont égaux à 1 est appelée matriceidentité ; on la note In .

1. Opérations dansMn ,m (K)

Î

Somme

Soit A =�

a i ,j

�

et B =�

b i ,j

�

deux matrices d’un même ensemble Mn ,m (K) ; on définit leursomme A + B comme étant la matrice deMn ,m (K) de terme général a i ,j +b i ,jÎ

Multiplication par un scalaire

Soit A =�

a i ,j

�

une matrice de Mn ,m (K) et α ∈ K ; on note α · A ou αA la matrice�

αa i ,j

�

deMn ,m (K).Î

Produit de deux matrices

Le produit de deux matrices de taille (n , m ) par une matrice de taille (m , p ) est une matrice detaille (n , p ) obtenue en effectuant un sommeprod de chaque ligne de la première par toutes lescolonnes de la seconde.

73

Mathématiques ECS 1re année

Propriétés 6.1.

L’ensembleMn ,m (K) doté de l’addition vérifie les propriétés suivantes :

Associative : ∀ (A, B ,C )∈Mn ,m (K)3, (A + B )+C = A +(B +C )

Neutre : ∀A ∈Mn ,m (K) , A +0= 0+A = A

Symétrique : ∀A ∈Mn ,m (K) ,∃B ∈Mn ,m (K) , A + B = B +A = 0 ; on a : B =−A

Commutative : ∀ (A, B )∈Mn ,m (K)2, A + B = B +A

De plus :

• ∀A ∈Mn ,m (K) , 1 ·A = A• ∀A ∈Mn ,m (K) ,∀

�

α,β�

∈K2,α ·�

β ·A�

=�

αβ�

·A• ∀A ∈Mn ,m (K) ,∀

�

α,β�

∈K2,�

α+β�

·A =α ·A +β ·A• ∀ (A, B )∈Mn ,m (K)2,∀α∈K,α · (A + B ) =α ·A +α · B

Sous réserve d’existence du produit des matrices, c’est-à-dire que le nombre de lignes de laseconde soit égale au nombre de colonnes de la première, on a :

• Associativité : ∀ (A, B ,C )∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K)×Mp , q (K) , (A B )C = A (BC )• Distributivité : ∀ (A, B ,C )∈Mn ,m (K)×Mn ,m (K)×Mm ,q (K) , (A + B )C = AC + BC

∀ (A, B ,C )∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K)×Mm , p (K) , A (B +C ) = A B +AC

• On a aussi la propriété suivante :

∀ (A, B )∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K) ,∀ α∈K, (α ·A)B =α · (A B ) = A (α · B )

Attention

• En général, A B 6= BA, c’est-à-dire, la proposition«∀ (A, B )∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K) , A B = BA » est fausse.

• En général, A B = 0 n’implique pas A = 0 ou B = 0 c’est-à-dire, la proposition «∀ (A, B )∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K) , A B = 0⇒ A = 0 ou B = 0 » est fausse.

• En général, A B = AC n’implique pas B = C c’est-à-dire, la proposition « ∀ (A, B ,C ) ∈Mn ,m (K)×Mm ,p (K)2 , A B = AC ⇒ B =C » est fausse.

2. Calcul des puissances (ou de l’inverse) d’une matrice

Les méthodes 1 et 3 peuvent être appliquées pour le calcul d’une matrice inverse.

Méthode

Calcul de Am dans le cas où A2 est une combinaison linéaire de A et de In .

Supposons qu’il existe deux scalaires a et b tels que :

A2 = a A +b In .

• On montre par récurrence sur m la proposition :

∀m ∈N, Am = a m A +bm In .

• On écrit une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 vérifiée par les termes de la suite(a m ).

• On exprime a m puis bm en fonction de m .

74

Chapitre 6 – Calcul matriciel

MÉTHODE

Méthode

Calcul de Am dans le cas où A = D +N où N k = 0 pour k ∈ {2, 3} et D diagonale telle queDN =N D.

Par la formule du binôme, on montre que :

Am =Dm +m Dm−1N +m (m −1)

2Dm−2N 2.

On montre par récurrence que pour tout entier naturel k ,

D =�

d i ,j

�

⇒Dk =�

d ki ,j

�

.

Méthode

Il existe une matrice P inversible telle que A = PDP−1 où D diagonale.

• On montre par récurrence que pour tout entier naturel k ,

D =�

d i ,j

�

⇒Dk =�

d ki ,j

�

.

• On montre par récurrence que, pour tout entier naturel k , Ak = PDk P−1.

75

ExercicesCalcul matriciel

K désignera R ou C.

Exercices guidés

Exercice A Utilisation de la formule du binôme ou d’un polynôme annulateur (5 min.)

Soit A =

1 1 10 1 10 0 1

.

Calculer de deux manières An pour n ∈N.

Exercice B Inverse à gauche, inverse à droite d’une matrice, calcul d’un inverse. (5 min.)

1) Soit A et B deux éléments inversibles deMn (K) telles que A + B soit inversible.Montrer que : A(A + B )−1 B = B (A + B )−1A = (A−1+ B−1)−1.

2) Soit A et B deux éléments deMn (K) telles que A + B = A B .Montrer que : A B = BA. (indication : calculer (In −A)(In − B )).

Exercice C Commutateur d’une matrice, utilisation des matrices élémentaires. (15 min.)

Déterminer les matrices A ∈Mn (K), telles que, pour tout S ∈Sn (K), AS =SA.(Sn (K) désigne l’ensemble des matrices symétriques deMn (K)).Indications : on pourra introduire les matrices E i ,j ∈Mn (K) définies par :tous les coefficients de E i ,j sont nuls sauf le terme situé à la i ème ligne et la j ème colonne qui vaut

1.

1) Montrer que, pour (i , j , k , l )∈ {1, . . . , n}4, E i ,j Ek ,l =δj ,k E i ,l où δj ,k =�

0 si j 6= k1 si j = k

(δ s’appelle le symbôle de Kronecker). Montrer que∑

1≤i ,j≤n

a i ,j E i ,j = 0⇒∀(i , j )∈ {1, . . . , n}2, a i ,j = 0

2) En remarquant que E i ,i et E i ,j +E j ,i sont dansSn (K) pour (i , j )∈ {1, . . . , n}2, conclure.

Exercices

Exercice 1 (5 min.)

Déterminer les matrices X telles que X = AX + B où

A =

0 −1 00 0 −10 0 0

, B =

1 22 13 3

∈M3,2(K).

76


Exercice 2 (10 min.)

Soit A =�

1 11 0

�

∈M2(R).

1) Montrer que An =�

a n cn

bn d n

�

où a n , bn , cn et d n sont des entiers naturels.

2) On pose P =X 2−X −1 ; montrer que P(A) = A2−A − I2 = 0.On note α et β les racines de P .Calculer An , pour n ∈N, en fonction de α et β .

Exercice 3 (3 min.)

Soit A =

1 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −11 −1 1 −1

∈M4(R)

Montrer que A3−6A +4I4 = 0. En déduire que A est inversible et donner l’expression de A−1.


Soit A ∈Mn (K) telle que In −A soit inversible.

Montrer que A(In −A)−1 = (In −A)−1A.


Soit n ∈N, n ≥ 2, etω= cos2π

n+ i sin

2π

n.

Soit X = (xr,s ) et Y = (yr,s ) deux éléments deMn (C) définies par :

xr,s =ω(r−1)(s−1), yr,s =ω−(r−1)(s−1).

1) Calculer X Y .2) Qu’en déduit-on pour X ? Que vaut, sans calculs, Y X ?


Soit A = (a i ,j )∈ E =Mn (C) ; on appelle matrice conjuguée de A, notée A, l’élément de E défini

par A =�

a i ,j

�

, enfin on note A∗ =t A.

1) Montrer que A∗ = (t A).2) Montrer que : ∀(M , N )∈ E 2, ∀α∈C, (αM +N )∗ =αM ∗+N ∗.3) Pour M = (m i ,j ) ∈ E , on appelle trace de M , notée tr M , le nombre complexe défini par

tr M =n∑

k=1

mk ,k .

Soit A = (a i ,j )∈ E , montrer que :tr A∗A = 0 si, et seulement si, A = 0.


Soit x1, . . . ,xn n éléments de R non tous égaux.

On pose M =

x1 1...

...xn 1

∈Mn ,2(R).

On pose A = tM M . Déterminer A et résoudre l’équation AX = 0 où X ∈M2,1(R).

77

EXERCICES



Soit A ∈Mn (R), inversible telle que A +A−1 = In .

On pose, pour k ∈N, M k = Ak +A−k .

Déterminer M k par deux méthodes.


Soit n ∈N∗, on noteAn (R) l’ensemble des matrices antisymétriques deMn (R).On se propose de déterminer les polynômes P de R[X ] vérifiant la propriété (R) :

∀n ∈N∗, ∀A ∈An (R), P(A)∈An (R).

Soit donc P vérifiant cette propriété.

1) Montrer que : ∀A ∈An (R), P(−A) =−P(A). Donner un exemple de P vérifiant cela.2) On écrit P =H + L où H et L sont respectivement la partie paire et impaire de P .

a) Montrer que : ∀A ∈An (R), H (A) = 0.

b) Comme la propriété (R) est vraie pour n = 2, en considérant B =�

0 −bb 0

�

montrer que H = 0.3) Conclure.

78

CORRIGÉS

CorrigésCalcul matriciel

Corrigés des exercices guidés

Exercice A

Méthode 1

Lorsqu’une matrice est triangulaire et que tous les éléments de la diagonale sont égaux, onpeut l’écrire comme la somme d’une matrice nilpotente N et d’une matrice de la forme a I ,où I désigne la matrice identité.

On remarque A = I3+N où l’on a posé :

N =

0 1 10 0 10 0 0

0 0 10 0 00 0 0

, N 2 = 0, N 3 = 0 donc N n =N n−3, N 3 = 0 pour n ≥ 3.

On applique la formule du binôme car N I3 = I3N .

An =n∑

k=0

�

n

k

�

N k = I3+nA +n (n −1)

2A2 =

1 nn (n +1)

20 1 n0 0 1

.

Méthode 2

On recherche un polynôme annulateur P de la matrice A ; on recherche le reste R de ladivision euclidienne de X n par P (par exemple, en donnant à X des valeurs particulières). Ona An =R(A).

P = (X −1)3 est un polynôme annulateur de A, c’est-à-dire (A − In )3 = 0.

On effectue la division euclidienne de X n par P : X n = PQ +R où deg R < 3 ; on a

An = P(A)Q(A)+R(A) et P(A) = 0, donc An =R(A).

On pose R = a X 2+b X + c . Comme 1 est une racine de multiplicité 3 de P , on calcule X n , ainsique ces dérivées (X n )′ et (X n )′′ en 1.

1= a+b+c ; n = 2a+b , n (n−1) = 2a . Ce qui donne a =n (n −1)

2, b = 2n−n 2, c =

(n −1)(n −2)2

.

Alors An = a A2+b A + c In =

1 nn (n +1)

20 1 n0 0 1

.

79


Exercice B

Méthode

Soit E un ensemble et f une bijection de E dans E ; pour montrer que deux éléments a et bde E sont égaux, il suffit de montrer que f (a ) = f (b ).Dans le cas présent, on utilisera l’application (bijective) qui, à toute matrice inversible, associeson inverse.

On rappelle que (A B )−1 = B−1A−1 et on effectue les opérations.

1) Soit A et B deux éléments inversibles deMn (K ) telles que A + B soit inversible.C = A(A + B )−1 B est inversible comme produit de matrices inversibles et d’après le cours C−1 =

B−1(A + B )A−1 = B−1 + A−1 ce qui assure B−1 + A−1 inversible et(B−1+A−1)−1 =C .

Donc A(A+B )−1 B =C = (A−1+B−1)−1. On procède de même avec D = B (A+B )−1A et on obtient :A(A + B )−1 B = B (A + B )−1A = (A−1+ B−1)−1.

Méthode

On utilise la propriété :

A B = In implique B et A commutent : BA = A B = In .

2) Soit A et B deux éléments deMn (K ) telles que A+B = A B . (In−A)(In−B ) = In+A B−A−B =In donc I −A est inversible et d’après le cours on a (In − B )(In −A) = (In −A)(In − B ) = In d’oùIn + BA −A − B = In +A B −A − B , donc A B = BA.

Exercice C

Méthode

Toute matrice A = (a i ,j ) s’écrit A =∑

1≤i ,j≤n

a i ,j E i ,j .

1) Le calcul donne immédiatement pour (i , j , k , l )∈ {1, . . . , n}4, E i ,j Ek ,l =δj ,k E i ,l (laissé au soindu lecteur).

Il est clair que :∑

1≤i ,j≤n

a i ,j E i ,j = (a i ,j ) donc∑

1≤i ,j≤n

a i ,j E i ,j = 0⇒∀(i , j )∈ {1, . . . , n}2, a i ,j = 0.

Alors on a :∑

1≤i ,j≤n

a i ,j E i ,j =∑

1≤i ,j≤n

b i ,j E i ,j ⇒∀(i , j )∈ {1, . . . , n}2, a i ,j =b i ,j .

2) Soit A ∈Mn (K), telle que, pour tout S ∈Sn (K), AS =SA. On pose A =∑

1≤k ,l≤n

a k ,l Ek ,l

AE i ,j =∑

1≤k ,l≤n

a k ,l Ek ,l E i ,j = a k ,i Ek ,j , (∗) ; donc AE j ,i =∑

1≤k ,l≤n

a k ,l Ek ,l E j ,i = a k ,j E k ,i

Pour (i , j )∈ {1, . . . , n}2 et i 6= j , A(E i ,j +E j ,i ) = (a k ,i Ek ,j +a k ,j Ek ,i ).De même (E i ,j +E j ,i )A = (a j ,l E i ,l +a i ,l E j ,l ).Donc, pour (i , j )∈ {1, . . . , n}2 et i 6= j , (a k ,i Ek ,j +a k ,j Ek ,i ) = (a j ,l E i ,l +a i ,l E j ,l ).L’égalité des termes en E i ,j donne en identifiant, cf. 1, ∀(i , j )∈ {1, . . . , n}2 et i 6= j , a i ,i = a j ,j .

80

CORRIGÉS


Donc ∀i ∈ {1, . . . , n}, a i ,i =λ.AE i ,i = a k ,i Ek ,i , cf. (∗) ; de même E i ,i A = a i ,l E i ,l .AE i ,i = a k ,i Ek ,i = E i ,i A = a i ,l E i ,l = a i ,k E i ,k implique (en utilisant 1), ∀k 6= i , a k ,i = 0.Conclusion : si A ∈Mn (K), vérifie pour tout S ∈Sn (K), AS =SA, alors A =λIn .Remarque : {A ∈Mn (K), AM =M A pour tout M ∈Mn (K)}= {λIn , λ∈K }.

Corrigés des exercices

Exercice 1L’écriture de l’équation nécessite X ∈M3,2(K). On pose :

X =

a bc de f

, où a , . . . , f sont dansK.

X = AX + B si, et seulement si, (I3−A)X = B ;

X = AX + B si, et seulement si,

1 1 00 1 10 0 1

a bc de f

=

1 22 13 3

;

X = AX + B si, et seulement si, a + c = 1 ; b +d = 2 ; c + e = 2 ; d + f = 1 ; e = f = 3

X = AX + B si, et seulement si, X =

2 4−1 −23 3

.

Remarque : on pouvait prévoir l’existence et l’unicité de la solution car

1 1 00 1 10 0 1

est inver-

sible.

Exercice 21) Soit la propriété P définie sur N par :

P(n ) : An =�

a n cn

bn d n

�

où a n , bn , cn et d n sont des entiers naturels.

A0 = I2 donc on a P(0) avec a 0 = d 0 = 1 et b0 = c0 = 0.

Soit P(n ) ; An+1 = An A =�

a n+1 cn+1

bn+1 d n+1

�

où

a n+1 = a n +bn , bn+1 = a n , cn+1 = cn +d n et d n+1 = cn .Comme a n , bn , cn et d n sont des entiers naturels, a n+1, bn+1, cn+1 et d n+1 sont aussi des entiers

naturels, d’où P(n +1).2) On pose P =X 2−X −1 ; P(A) = A2−A − I2 = 0. (Calculs)

On note α et β les racines de P ; α=1+p

5

2et β =

1−p

5

2.

On effectue la division euclidienne de X n par P : X n = PQ +R où R = a X +b .En remplaçant X par α puis par β on obtient : αn = aα+b et βn = aβ +b ;

d’où a =αn −βn

α−βet b =

αβn −βαn

α−β.

An = P(A)Q(A)+a A +b I2 =αn −βn

α−βA +

αβn −βαn

α−βI2.

81


Exercice 3

A2 =

4 0 0 −20 4 0 20 0 4 2−2 2 2 4

, A3 =

2 6 6 66 2 −6 −66 −6 2 −66 −6 −6 −10

On vérifie que A3−6A +4I4 = 0. On écrit A(A2−6I4) =−4I4, donc A est inversible et

A−1 =1

4(6I4−A2) =

1

2

1 0 0 10 1 0 −10 0 1 −11 −1 −1 1

.

Exercice 4D’après le cours on a (In −A)(In −A)−1 = (In −A)−1(In −A) = In .

Donc (In −A)−1−A(In −A)−1 = (In −A)−1− (In −A)−1A, d’où A(In −A)−1 = (In −A)−1A.

Exercice 51) On note Z =X Y = (z r,s ) ; z r,s = xr,k yk ,s =ω(r−s )(k−1) =ω′(k−1) oùω′ =ωr−s .Si r = s alorsω′ = 1 et z r,r = n .

Si r 6= s alors on a−n+1≤ r − s ≤ n−1, r − s 6= 0, donc z r,s =ω′(k−1) =1−ω′n

1−ω′= 0 carω′ est une

racine n ième de l’unité. Donc X Y =Z = n In .

2) X admet donc un inverse à droite1

nY ; X est donc inversible et X−1 =

1

nY . Enfin Y X = n In .

Exercice 61) Pour A = (a i ,j )∈ E =Mn (C), A∗ = (a j ,i ) = (t A).2) Soit (M , N )∈ E 2, soit α∈C, M = (m i ,j ), N = (n i ,j ), αM +N = (αm i ,j +n i ,j ) donc (αM +N )∗ =

(αm j ,i +n j ,i ) =αM ∗+N ∗.3) Soit A = (a i ,j )∈ E , B = A∗ = (b i ,j ), C = A ∗A = (c i ,j ) ; b i ,j = a i ,j .On a, pour tout (i , j )∈ {1, . . . , n}2, c i ,j =b i ,k a k ,j = a k ,j , d’où c i ,i = a k ,i = a 2

k ,i .

tr A∗A = 0 si, et seulement si, c i ,i = 0= a 2k ,i .

tr A∗A = 0 si, et seulement si, ∀(i , k )∈ {1, . . . , n}2, a k ,i = 0.tr A∗A = 0 si, et seulement si, A = 0.

Exercice 7

A =�

ρ ss n

�

∈M2(R) où ρ =n∑

i=1

x 2i et s =

n∑

i=1

x i .

Méthode 1

Soit X =�

xy

�

tel que AX = tM M X = 0 ; alors tXAX = tX t M M X = t (M X )M X = 0.

Or, si l’on pose Y =

y1

...yn

∈Mn ,1(R), t Y Y = y 2i et t Y Y = 0 si, et seulement si, Y = 0.

Ici AX = 0 implique M X = 0, or M X =

x1x + y...

xn x + y

. ...

82

CORRIGÉS


D’après l’hypothèse il existe (i , j )∈ {1, . . . , n}2 tel que x i 6= x j ; pour ce couple (i, j) on obtient :

x i x + y = x j x + y = 0 d’où x (x i −x j ) = 0, puis x = 0 et enfin X = 0 qui est bien solution.

Méthode 2

(Utilise la structure euclidienne deRn ; demande la connaissance de l’inégalité de Cauchy-Schwarz et du cas de l’égalité)

Soit X =�x

y

�

tel que AX = 0.

AX = 0 si et seulement si

�

ρx + s y = 0s x +ny = 0

;

AX = 0 si et seulement si

(

y =−s

nx

(ρn − s 2)x = 0.

Étude de l’égalité ρn − s 2 = 0

On considère E = Rn muni de sa structure euclidienne canonique, x = (x1, . . . ,xn ) et u =(1, . . . ., 1) deux éléments de E . ρ = x 2

i = ‖x‖2 et s 2 = (x i )2 = (x u )2.

D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz : (x u )2 ≤ ‖x‖2 ‖u ‖2, c’est-à-dire s 2 ≤ nρ.

D’autre part, le cas d’égalité, ρn − s 2 = 0 correspond à x et u colinéaires ce qui ne se peut carx1, . . . ,xn sont n éléments de R non tous égaux. Donc ρn − s 2 6= 0 et on obtient :

AX = 0 si, et seulement si, X = 0.

Exercice 8

Méthode 1

(A +A−1)2 = A2+A−2+2In = In : M 2 = A2+A−2 =−In . On obtient donc M 0 = 2In , M 1 = In ,M 2 =−In .

Remarquons que

M k = Ak +A−k = (Ak +A−k )In = (Ak +A−k )(A +A−1) = Ak+1+A−k−1+Ak−1+A−k+1.

Donc M k+1 =M k −M k−1 ; avec ce qui précède on peut conjecture

M k = a k In où a k ∈R. (démonstration par récurrence forte) ;

M k+1 =M k −M k−1 = (a k −a k−1)In = a k+1In où a k+1 = a k −a k−1.

On dispose d’une suite (a k ) définie par une récurrence double

(u k+1 = a u k +b u k−1)

où a 0 = 2 et a 1 = 1.

D’après le cours, l’équation caractéristique est r 2−r +1= 0 dont les racines sont r1 =1+ i

p3

2

et r2 =1− i

p3

2, a k =α

�

1+ ip

3

2

�k

+β

�

1− ip

3

2

�k

ce qui donne avec les conditions initiales

pour k = 1 et k = 2, α+β = 2 et α=β , d’où α=β = 1 ;

a k =

�

1+ ip

3

2

�k

+

�

1− ip

3

2

�k

= 2 cos

�

kπ

3

�

.

Conclusion : pour k ∈N, M k = Ak +A−k = 2 cos

�

kπ

3

�

In .

83


Méthode 2

Comme A +A−1 = In , A2−A + In = 0 donc P =X 2−X +1 est un polynôme annulateur de A.

On effectue la division euclidienne de X k par P : X k = PQ +R où deg R < 2 donc R = a X +b .

En posant r1 =1+ i

p3

2, r2 =

1− ip

3

2on obtient r k

1 = P(r1)Q(r1)+a r1+b = a r1+b , de même

r k2 = a r2+b ;

on exhibe alors a et b en fonction de r1 et r2,

puis Ak = P(A)Q(A)+a A +b In = a A +b In .

On trouve a =r k

1 − r k2

r1− r2=

2p

3sin

�

kπ

3

�

, b = cos

�

kπ

3

�

− sin

�

kπ

3

�

.

A−k = (A−1k or, en posant B = A−1, B +B−1 = A−1+A = In . Donc on a aussi A−k = a A−1+b In .

Ak +A−k = a (A +A−1)+2b In = (a +2b )In = 2 cos

�

kπ

3

�

In .

Exercice 91) ∀A ∈An (R), t P(A) = P(t A) car la fonction transposée vérifie les propriétés suivantes :∀(M , N )∈Mn (K), ∀α∈K, t(αM +N ) =αtM + tN , ∀k ∈N, t (M k ) = (t M )k .Donc ∀A ∈An (R), P(tA) = tP(A) et donc P(−A) =−P(A).

Si P est polynôme impair (P =d∑

k=0

a k X 2k+1) et A ∈An (R),

t P(A) = t (d∑

k=0

a k A2k+1) =d∑

k=0

a k (tA)2k+1 =d∑

k=0

a k (−A)2k+1 =−P(A) : P(A)∈ An (R).

Donc tous les polynômes impairs conviennent.2) On écrit P =H + L où H et L sont respectivement la partie paire et impaire de P .a) ∀A ∈An (R), P(−A) =−P(A) =H (−A)+ L(−A) =H (A)− L(A) =−(H (A)+ L(A)).∀A ∈ An (R), H (A) = 0.

b) Comme la propriété (R) est vraie pour n = 2, on considère B =�

0 −bb 0

�

.

B 2i = (B 2)i =�

−b 2 00 −b 2

�i

=

�

�

−b 2�i 0

0�

−b 2�i

�

; on pose H =d∑

k=0

a k X 2k .

H (B ) = 0 si, et seulement si, a k B 2k = 0.H (B ) = 0 si, et seulement si, a k (−b 2)k = 0. Donc, en posant a =−b 2, on doit avoir :

∀a < 0,d∑

k=0

a k a k = 0 donc en posant Q =d∑

k=0

a k X k on obtient ∀a < 0, Q(a ) = 0 ce qui assure

Q = 0, tous les a k sont nuls d’où H = 0 et P = L.Si P vérifie les hypothèses alors P est impair.3) Conclusion : les polynômes P de R[X ] vérifiant la propriété (R) sont les polynômes impairs.

84

VUIBERT

MATHSECS•1re annéeMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Activités numériques – 2. Calcul algébrique et étude de fonctions – 3. Logique 4. Ensembles et cardinaux – 5. Nombres complexes et polynômes – 6. Calcul matriciel – 7. Systèmes d’équations linéaires – 8. Espaces vectoriels – 9. Suites 10. Étude locale – 11. Étude globale – 12. Dérivation-Intégration – 13. Espaces vectoriels de dimension finie – 14. Applications linéaires – 15. Comportement asymptotique – 16. Séries numériques – 17. Intégrales impropres – 18. Dérivée - Convexité et fonctions réciproques – 19. Formules de Taylor - Développements limités 20. Probabilités discrètes – 21. Variables aléatoires discrètes – 22. Variables à densité 23. Convergences et approximations.

En ligne :• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab• Exercices complémentaires

Les auteurs :Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.

François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.

Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.

ISBN : 978-2-311-40284-1

www. .fr

Des ouvrages pour faire la différence : – des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables

et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes,– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab

et des exercices complémentaires.

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F. Fortain

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OD

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