République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Hassiba Benbouali de Chlef تعلي وزارة ال ــــ ملعــــالي ا و البحثعلمــــي الFACULTE DE GENIE CIVIL ET D’ARCHITECTURE DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL POLYCOPIE Par : KADA Abdelhak Octobre 2017 METHODES DES ELEMENTS FINIS Master 1 LMD Génie Civil = Par : KADA Abdelhak
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METHODES DES ELEMENTS FINIS Master 1 LMD Génie Civil · 2020. 11. 4. · FACULTE DE GENIE CIVIL ET D’ARCHITECTURE DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL POLYCOPIE Par : KADA Abdelhak Octobre
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R é p u b l i q u e A l g é r i e n n e D é m o c r a t i q u e e t P o p u l a i r e
M i n i s t è r e d e l ’ E n s e i g n e m e n t S u p é r i e u r
e t d e l a R e c h e r c h e S c i e n t i f i q u e
Université Hassiba Benbouali de Chlef
العلمــــيو البحث العــــاليم ــــوزارة التعلي
FACULTE DE GENIE CIVIL ET D’ARCHITECTURE
DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL
POLYCOPIE
Par : KADA Abdelhak
Octobre 2017
METHODES
DES ELEMENTS FINIS
Master 1
LMD Génie Civil
𝐾 𝑈 = 𝐹
Par : KADA Abdelhak
"Les lois fondamentales de la physique, qui sont la base de l’analyse statique et dynamique, sont vieilles de plusieurs centaines d’années. De ce fait, toute personne qui croit avoir découvert un principe fondamental de calcul des structures nouveau est tout simplement victime de sa propre ignorance."
[ Pr E. L. Wilson 1998 – Berkeley University]
A la mémoire de mon Père
AVANT- PROPOS
Le contenu de ce polycopié s’adresse en premier lieu aux étudiants de première année de
master de génie civil, leur permettant de s’imprégner des différents aspects théoriques et
approches de la méthode des éléments finis (MEF).
Il est question de présenter la MEF selon le programme de Master académique, unité
d’enseignement UEM 1.2 avec le but de faire comprendre à l’étudiant le déroulement de la
méthode pour pouvoir assimiler les procédures et les étapes souvent dissimulées dans les logiciels.
Le polycopié est organisé en quatre chapitres, d’abord une introduction avec des énoncés de base,
l’approximation par des éléments finis à une, deux et trois dimensions et enfin une partie réservée à
un certain nombre d’applications de la méthode. Ces derniers sont dédiées à la résolution de
problèmes de barres, de poutres et des problèmes d’élasticité plane dans le but de faciliter la
compréhension des étapes de la MEF pour le calcul des structures.
Ce polycopié représente un outil de travail pour les étudiants de master 1 et les chapitres
correspondent à des cours dispensés par l’auteur.
Je remercie, Pr Lamri Belkacem, Dr Benarous Abdellah (enseignants à l’Université Hassiba Benbouali
de Chlef) et Pr Kerdal Djamel (enseignant à l’Université des Sciences et de la Technologie d’Oran
Mohamed Boudiaf), pour la relecture du polycopié, ainsi que pour les nombreuses remarques
constructives qui m’ont été prodiguées.
L’auteur : KADA Abdelhak
Université Hassiba Benbouali de Chlef
Octobre 2017 .
TABLE DES MATIERES
Page
Chapitre1 Introduction
1.1. Introduction 1
1.2. Objectifs du cours de la MEF 1
1.3. Idée de base de la Méthode des Eléments Finis 1
1.4. Pourquoi la MEF ? 3
1.5. Domaines d’application de la MEF 3
1.6. Problèmes de conditions aux limites 4
A- Equations gouvernantes
B- Autre problème par comparaison
1.7. Un bref historique de la MEF 6
1.8. Concepts de base et procédures de la MEF 7
A- Concepts
B- Procédures
C- Support informatique et logiciels incorporant la MEF
D- Avantages de la MEF
1.9. Notion de modélisation et comparaison de la MEF à d’autres méthodes 13
A- Notion de modélisation - system continu et system discret
B- La MEF et les autres méthodes d’analyse
C- Illustration du principe de la modélisation par un exemple
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
2.1. Introduction 18
2.2. Méthode Directe pour les structures à éléments discrets 18
A- Elément ressort linéaire
B- Elément fini barre (Treillis plan de barres)
C- .Formulations pour les éléments finis
2.3. Application à des barres prismatiques uniformes 25
A. Hypothèses et position du problème
B. Formation du système d’équations d’équilibre
C. Transformation d’une base locale vers une base globale
D. Matrice de rigidité dans un espace bidimensionnel –2D
E. Contraintes et forces internes élémentaires
2.4 Application aux ossatures planes de poutres 31
A. Position du problème
B. Matrice de rigidité élémentaire
C. Matrice de rigidité d’un élément poutre à orientation arbitraire
2.5 Généralisation 35
A. Elément de poutre bidimensionnelle- 2D
B- Elément de poutre tridimensionnelle -3D
2.6 Influence de la numérotation des nœuds sur la largeur de la bande de K 37
A- Matrice de connectivité
C- Semi – bande
2.7 Méthode Formelle -Fonction d’Interpolation & Fonction de Forme 42
A. Introduction
B. Position du problème et définition
C. Approximation nodale
D. Choix de la fonction de déplacement
E. Principe de l’approximation par éléments finis
E- Types d’Eléments Finis à une dimension
2.8 Matrices Caractéristiques par minimisation de l’énergie potentielle 51
A. Energie potentielle totale minimum
B- Formulation de l’énergie potentielle stationnaire
C. Energie potentielle totale
2.9 Formulation de la matrice de rigidité et du vecteur charge équivalent 54
A. Déformation et contrainte moyenne dans un E.F unidimensionnel 1-D
B. Matrice de rigidité élémentaire
C. Vecteur de charges équivalentes aux nœuds
2.10 Construction des Fonctions de Forme 56
A. Principe de la méthode
B. La méthode des déterminants
Chapitre 3 Éléments finis à deux et trois dimensions
3.1 Idée de base 59
3.2 Types d’Eléments Finis 2D et 3D 59
A- Eléments bidimensionnels - 2D
B- Triangle de Pascal
3.3 Construction des fonctions de forme pour L’EF ‘T3’ 65
3.4 Transformation géométrique 66
A- Relation entre les variables généralisées et les variables nodales
B- Règles et propriétés de la matrice de transformation Te
3.5 Système de coordonnées de référence 72
A- Système de coordonnées locales normalisé
B- Système de coordonnées naturel
3.6 Cas de problèmes d’éléments finis bidimensionnels de classe C0 75
A- Rappel et formulation de la théorie de base
B- Contraintes planes et déformations planes
C- Relation contrainte- déformation
D- Formulation de la matrice de rigidité
E- Equations d’équilibre et conditions aux limites
3.7 Intégration numérique – Méthode de Gauss 84
A- Intégration dans un espace unidimensionnel 1-D
B- Intégration dans un espace à deux dimensions (2-D)
C- Intégration dans un espace à trois dimensions (3-D)
D- Transformation du domaine d’intégration (base globalebase locale)
3.8 Intégration de la matrice de rigidité 92
Chapitre4- Applications des éléments finis de base,
aux problèmes de classe C1 et C
0
4.1 Applications au problème ‘1D’ de barre 94
4.2 Applications au problème de classe C1 élément fini type Hermitien 99
4.3 Applications au problème ‘2D’ de Classe C0 103
E.F. Triangle linéaire à 3 nœuds (T3)
4.4 Applications au problème ‘2D’ élément fini rectangle linéaire à 4 nœuds – Q4 118
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
Chapitre 1
Introduction
Stade d’Oran (en réalisation) : Toiture réalisée par des barres tubulaires en acier
tubulaires
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
- 1 -
APERÇU
Ce chapitre, présente l’historique et la nécessité d’étudier la méthode des éléments
finis.Il énumère brièvement les différents types de problèmes pour lesquels elle est
appliquée ainsi que ses concepts de base.
Il s’agit en particulier de discerner la différence entre les autres méthodes et la MEF
et d’examiner la notion de l’approximation par les éléments finis.
1.1. Introduction :
Des problèmes, qui dans un passé récent ont été considérés comme insolvables par les
méthodes analytiques classiques, sont maintenant aisément résolus par les méthodes
numériques dont la plus utilisée est la Méthode des Eléments Finis ou ‘MEF’. De ce fait,
la complexité des calculs n’est plus d’actualité scientifique, surtout par l’avènement de
l’ordinateur qui a amené les sciences de l’ingénieur au summum jamais atteint auparavant.
1.2. Objectifs du cours de la MEF :
Comprendre les idées fondamentales de la MEF.
Connaître le comportement et l’utilité et de chaque type d’élément.
Comprendre le comportement physique du problème.
Être capable de préparer un modèle EF convenable pour un problème donné.
Connaître les limites du modèle par la MEF (outil numérique !).
Avoir un bagage théorique, pour être à même de comprendre comment
fonctionnent les logiciels (Boites Noires), et de pouvoir réagir efficacement vis à vis
des messages d’erreurs sur ordinateur.
Pouvoir consulter sans difficulté les livres et les recueils sur le ‘Net’, concernant la
! Un logiciel commercial dont lequel la MEF est complètement dissimulée, est un système
CAE (Computer Aided Engineering) qui ne peut être utilisé comme un outil de dessin
autoCAD, donc une connaissance en la matière est nécessair.! Extrait de propos de BATH –MIT University
!.... bien que les logiciels de MEF peuvent rendre un bon ingénieur excellent, ils peuvent
cependant rendre un mauvais ingénieur dangereux ! Commentaire de Cook & Ass. dans son livre ″ Concepts and Applications of Finite Element
Analysis"
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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1.3. Idée de base de la Méthode des Eléments Finis:
On apprend comme ingénieur débutant à calculer les surfaces et volumes de corps de
forme quelconque en les décomposant en un ensemble de corps élémentaires de formes
connues pour ensuite l’appliquer au calcul de moments d’inertie ou de centres de gravité.
Ce mode de pensé à conduit à la Méthode des Eléments Finis (MEF), ou analyse par
élément finis (AEF), qui est basée sur l’idée de construire un objet compliqué avec des
blocks simples, c’est à dire diviser l’objet compliqué en un petit nombre de pièces
facilement manipulables.
On peut rencontrer l’application de cette idée simple aussi bien dans la vie de tous les
jours qu’en technologie et pour tous les problèmes de l’ingénieur.
Exemples :
- Lego (jeux d’enfants de construction)
- Bâtiments
- L’approximation de la circonférence et de la surface d’un cercle en est un simple
exemple :
La figure1.1(a) est une illustration du concept même des éléments finis par les mathématiques
anciennes, pour trouver la circonférence d’un cercle par approximation de polygones.
En utilisant l’appellation moderne on peut qualifier chaque côté du polygone d’élément finis.
On remarquera que lorsque le nombre de polygones augmente la valeur d’approximation
converge vers la valeur exacte.
La figure1 (b) illustre aussi l’idée bien ancienne d’un calcul approché bien avant que le
nom ‘’ élément finis’’ ne soit courant.
Figure1.1 (a) Limite supérieure et inférieure de la circonférence d’un cercle
(b) Approximation de l’aire d’un cercle par des triangles
S(sup)
S(inf)
)
S
i
R
Elément Si
(a) (b)
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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La surface d’un seul triangle est : ii RS sin21 2
La surface du cercle :
N
iiN SS
1RR N
N22
)2sin(21 lorsque N
N - nombre total des triangles considérés dans l’approximation (éléments).
On remarque que des objets compliqués peuvent être représentés par des parties
simples (éléments)
1.4. Pourquoi choisir la MEF ? :
Les procédés de conception de calcul et d’analyse reposent sur le calcul à la main,
l’expérience ou le calcul automatique et la simulation par ordinateur.
La MEF c’est la méthode de simulation par ordinateur la plus utilisée
par les ingénieurs. C’est une technique essentiellement numérique à partir de laquelle
les équations gouvernantes (systèmes d’équations différentielles), sont représentées
sous une forme matricielle très adaptée à une solution automatique par ordinateur.
Elle est intégrée dans toutes les applications de logiciels commerciaux de calcul
des structures à interface graphique (GUI).
1.5. Domaines d’application de la MEF :
Les principaux domaines d’application de la MEF sont au nombre de trois :
Problèmes d’équilibre et statique : dans lequel le comportement du système ne
varie pas avec le temps,
Problèmes de dynamique et de stabilité (valeurs propres): ce sont des extensions
des problèmes d’équilibre pour lesquelles des valeurs spécifiques ou critiques de
certains paramètres sont déterminés,
Problèmes de propagation : ils concernent les problèmes où les phénomènes dont
le comportement est dépendant du facteur temps.
Le tableau 1 suivant résume ces types d’applications :
Spécialité Problèmes d’équilibre Problèmes
de valeurs propres
Problèmes
de propagation
Génie Civil -
structure
Analyse statique de
structures : treillis, portiques,
plaque, coques, voiles, ponts,
béton précontraint
Fréquences et modes
propres et stabilité
des structures.
Réponse des
structures à des
charges accidentelles
(séisme, incendie)
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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Géotechnique Analyse des excavations,
stabilité des talus,
murs de soutènement,
interaction sol-structure ,
analyse des contraintes dans
les sols
Fréquence et modes
propres des ouvrages
enterrés et semi-
enterrés ,
et problèmes
d’interaction sol-
structure
Problèmes de sol-
structure dépendant
du temps.
Propagation de
contraintes dans les
sols et les roches
Hydraulique Analyse d’écoulements
potentiels, d’écoulements à
surface libre, écoulement
visqueux.
Analyse de structures
hydrauliques et barrages, etc.
Périodes et modes
propres de bassins
superficiels, digues,
mouvements des
liquides dans des bacs
(conteneurs) rigides
ou flexibles
Analyse de
problèmes
d’écoulements
turbulents et
propagation d’ondes.
Ecoulements
hydrodynamiques
Génie
Mécanique
Problèmes de concentration
de contraintes.
Analyse de contrainte de
pistons, de matériaux
composites, etc.
Fréquences propres
de vibrations et
stabilité des machines
Problèmes de
fissures et de
fractures sous
charges dynamiques
Biomédical Analyse de contraintes dans
les os , les dents.
Capacité portante des
systèmes des implants et
prothèses.
Mécanique des valves du
cœur artificiel
-----_________------
Analyse d’impact
Sur le crane.
Dynamiques de
structures
anatomiques
1.6. Problèmes de conditions aux limites :
A- Equations gouvernantes
Les différents problèmes d’ingénieurs présentent tous une écriture en équations différentielles,
dont la solution dépend des conditions aux limites (problème à valeur initiale), qui pour un
ingénieur de génie civil, sont spécifiques aux appuis d’une structure quelconque.
Ces équations peuvent prendre plusieurs formes :
* l’exemple le plus simple est peut être celui de la barre tendue d’un système à treillis
figure 1.2:
x N
(a) (b)
Figure 1.2 : Barre tendue 0)()(
)1.1(0..
buau
bxadx
duEA
dx
d
Ndx
duAE
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
- 5 -
Le plus souvent les équations différentielles de ces problèmes sont identifiées, comme étant
de type équations de Poisson ou de type équations de Laplace à une ou deux dimensions.
* Un autre exemple étant celui de l’équation de mouvement harmonique simple :
bu
au
bxaudx
ud
/
2
2
2
)(
.
(1.2)
L’équation (1.2) définie un problème à valeurs initiales, unidimensionnel linéaire du second
ordre.
Le terme unidimensionnel fait référence au domaine qui est défini par un segment bxa .
Le terme "second ordre" tient de l’équation (1.2) dont laquelle l’ordre le plus élevé de la
dérivée est 2 (second ordre).
Le terme linéaire provient du faite que le degré de chaque terme faisant intervenir la variable
u est égal à 1.
Bien que la MEF possède des applications très larges, l’objet de notre cours traitera dans la
plus part des cas des problèmes à valeurs initiales linéaires du 2eme
et 4eme
ordre, qui sont
importants en génie civil, pour le calcul des structures.
* Un exemple d’un problème à valeurs initiales de 4eme
ordre est celui de la flexion
d’une poutre, figure 1.3.
0)()(
0)0()0(
0.2
2
2
2
ldx
dulu
dx
duu
lxxFdx
udEI
dx
d
(1.3)
* Un autre exemple de problème bidimensionnel linéaire est celui de torsion d’une
poutre (type équation de Poisson)
),0
)(,22
2
2
2
suryxu
domaineDyxy
u
x
u
(1.4)
* Un dernier exemple est celui de l’analyse de la flexion de plaque (dalle) simplement
appuyée sur ses côtés sous sollicitation F(x,y) :
L
Q
Figure 1.3 : Poutre encastrée aux extrémités
(limite du domaine D)
Chapitre1 Introduction
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suryuxuetu
DyxyxFy
u
x
u
yy
u
x
u
x
0)(0
,,
2222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1.5)
B- Autre problème par comparaison
Toutes les formules de calcul des structures possèdent leurs vis-à-vis dans d’autres domaines
proches de celui du génie civil, tel que le transfert thermique (conduction) largement utilisé
dans le bâtiment que ce soit pour le calcul incendie ou l’isolation thermique des parois.
Le tableau 2, ci-dessous dresse une comparaison des équations de base dans les deux
domaines :
Tableau 2 : variables de calcul et équations de base pour une analyse par les éléments finis
Paramètres structure Conduction thermique
Variables indépendantes
Variable dépendante(s)
Champ de gradient
Matrice de compatibilité
Champ induit
Charge de surface
Effort interne
Equation d’équilibre
Coordonnées x, y, z
Déplacements u, v, w
Déformations xyyx ,,
Constantes élastiques D
Contraintes = D.
Forces reparties en surface t
Forces internes Fx, Fy, Fz
0 FT
Coordonnées x, y, z
Température T
T=[ T,x T,y T,z]
Conductivité thermique k
Flux de chaleur f=-k. T
Flux normal fn aux limites
Chaleur interne diffusée Q
Fx,x+fy,y+fz,z – Q = 0
On notera au passage, que la conduction de chaleur est un problème scalaire car le paramètre
champ, qui est la température T, n’est associé à aucune direction. Par opposition au champ de
déplacement en structure qui est un champ de vecteur ayant des composantes orientées selon
un système de coordonnées.
1.7. Un bref historique de la MEF :
Quoi que le label Méthode des Eléments Finis fut utilisé pour la première fois en 1960(4)
,
lorsqu’il a été utilisé par Ray Clough dans une publication sur les problèmes d’élasticité
plane, l’idée de l’analyse par éléments finis date des années d’avant.
En effet, aux questions qui est à l’origine de le MEF ? et en quelle période ?, il existe trois
réponses selon que l’on s’adresse à un physicien( 1)
, mathématicien(2)
,ou un ingénieur ( 3)
. Le
Tableau 2 montre l’évolution chronologique de la méthode.
(2) Une approche similaire à la méthode des éléments finis, utilisant un développement de
fonctions continues (une approximation à un certain ordre) défini pour des régions
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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triangulaires a été pour la première fois proposé par Courant en 1943 dans la littérature des
mathématiques appliquées pour la solution au problème de torsion de St Venant.
(3)La méthode des éléments finis tel que reconnue aujourd’hui a été présentée par Turner,
Clough, Martin et Topp en 1956 dans ‘Journal of the aeronautical sciences), sous le titre
"Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures".
Tableau 3 : Publications et périodes ayant marquées l’évolution de la MEF
1941 (1)
Hrenikoff : Division d’un problème
d’élasticité au domaine
continue, en un certain nombres
d’éléments.
1943 (2)
Courant : Méthodes variationelles
1956 (3)
Turner,Clough,Martin, Topp :
Rigidité-Methode Directe
1960 (4)
Clough : Finite Element,
problèmes plans
(le terme Elément Fini
utilisé pour la 1er fois)
1970 (années
70)
Applications sur gros ordinateurs
1980
(années 80)
Applications sur micro-ordinateurs
1990
(années 90)
Possibilité d’analyse de gros systèmes de
structures
La publication est une représentation systématique de la méthode des déplacements.
C’est une contribution clé pour la solution aux problèmes de contraintes planes tel quelle se
présente aujourd’hui en utilisant des éléments finis dit "triangulaires" dont les propriétés sont
déterminé à partir des équations de la théorie de l’élasticité .
L’ordinateur a offert un moyen très rapide pour tous les calculs multiples et divers
(essentiellement numériques) qu’exige la MEF, ce qui a fait que la méthode est devenue très
intéressante dans sa pratique.
En même temps que le développement d’ordinateurs de plus en plus rapides, l’application de
la MEF a aussi progressée à grands pas.
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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1.8. Concepts de base, procédures de la MEF:
A- Concepts
C’est l’intuition physique qui pour la première fois, a mis en évidence les concepts de
la MEF, pour les ingénieurs.
Pour un ingénieur de structure, le problème d’un treillis par exemple figure 5 (a), sera un
ensemble de barres dont il combine les caractéristiques individuelles selon les lois d’équilibre
pour ensuite résoudre le système d’équations pour tout le système.
Cette procédure marche bien pour un certain nombre de points de connections (nœuds), mais
qu’en est il cependant d’une structure continue comme la plaque figure 5 (b) qui possède un
nombre infini de points de connexion (nœuds) ?
Le problème aurait été plus difficile sans l’intuition de Hrenikoff ((1)
Tableau 2) qui proposa
de diviser la structure continue en un certain nombre d’éléments de sections de structure
(barres ou poutres) interconnectés à un nombre fini de points nodaux, figure 1.4 .
Concept 1
Les problèmes d’ingénieurs sont le plus souvent exprimés en terme :
d’équations gouvernantes (différentielles essentiellement) et
des conditions aux limites
Exemple : Barre en traction (figure 1.5)
0)()(
)6.1(..
buau
bxaCstNdx
duEA
(b)
Charge
(a)
Charge
Figure 1.4 : Exemple (a) d’un treillis et (b) d’une plaque de forme
similaire supportant la même charge
Plus généralement :
(u)
x (a)
1
(b)
2
N
Figure 1.5 : Barre tendue
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
- 9 -
L et B sont des opérateurs : d2( . )/dx
2 ; . [d
2( . )/dx
2+. d
2( . )/dy
2] ; d/dx
Concept 2
On connaît toutes les équations mais on ne peut pas résoudre manuellement.
Concept 3
La nature des différents paramètres pour certaines applications est décrite dans le tableau 3.
Tableau 4 : Matrices et vecteurs caractéristiques pour certaines applications
Propriété de K
Comportement U Sollicitation F
Elasticité Rigidité
Déplacement Force
Transfert de chaleur Conductivité
thermique
Température Source de chaleur
Fluide Viscosité
Vitesse Force interne
Problèmes d’Elasticité
Problèmes de transfert de chaleur
Ecoulement hydraulique
Etc.…
L(u) + f = 0 eqt. diff.
(1.7)
B(u)+ g =0 Condition aux limites
Propriété Comportement Sollicitation
K . U = F Résolution U = K-1
. F (1.9)
L(u) + f = 0 Eqt. Diff.
B(u)+ g =0 Condition aux limites
MEF (Système d’équations
algébriques)
K . U = F (1.8)
-Approximation-
(Géométrie du domaine
compliquée….)
K – Matrice de rigidité du système
U – Vecteur de déplacement
F – Vecteur force
Chapitre1 Introduction
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Concept 4
Il est difficile d’obtenir un système d’équations pour la totalité du domaine.
Diviser le domaine en un nombre d’éléments petits et simples,
Choisir un paramètre de champ (déplacement, température, vitesse) représentant les degrés de liberté (d.d.ls.) via une interpolation (approximation) polynomiale sur
chaque élément,
Les éléments adjacents partagent les mêmes degrés de liberté aux points d’intersection (nœuds).
Un exemple de plaque est présenté dans la figure 1.9
Concept 5
Obtenir les équations algébriques pour chaque élément (Facile !)
Mettre tous les éléments ensembles (processus d’assemblage de tous les éléments,
FUKFUK eee .. (1.10)
Concept 6
Résoudre le system d’équations pour obtenir les variables inconnues (déplacements) aux
nœuds.
B- Procédures
Diviser la structure en un certain nombre de pièces (formant des éléments avec des
nœuds)
Décrire le comportement des quantités physiques pour chaque élément
(champs de déplacement - choix d’une forme d’approximation)
Relier (assembler) les éléments aux nœuds pour former un système d’équations
approximatif pour toute la structure.
Résoudre le system d’équations comportant les inconnues aux nœuds
(en génie civil les inconnues sont en général des déplacements).
Calculer les quantités désirées (en génie civil, il s’agit de contraintes et
déformations) pour des éléments choisis.
K . U = F Résolution U = K-1
. F (1.11)
Chapitre1 Introduction
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil"
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Exemples :
Elément typique
Nœud typique (a) (b)
Figure 1.8 Plaque rectangulaire avec ouverture
(a) Model de base (b) Discrétisation par EF de tailles différentes
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 42 -
2.6 Méthode formelle -fonction d’interpolation & fonction de forme
A. Introduction
Les formulations de matrices de rigidité des éléments discrets étudiés au chapitre 2 par la
méthode directe, peuvent être déterminées par la construction d’un champ de déplacement par
le biais de "fonction d’interpolation".
L’application de la méthode qui représente l’essence même de la MEF, sera mise en décrite
dans un premier temps, pour les problèmes d’élasticité unidimensionnels, afin de confirmer
les écritures des matrices de rigidité de l’élément barre et de l’élément poutre, adoptées lors
de l’utilisation de la méthode directe.
Son champ d’application sera ensuite étendu, à des éléments finis plans pour une
approximation des domaines continus.
On procède dans un premier temps, à la discrétisation du domaine ou structure en éléments
finis de forme géométriques simples figure 2.15.
Chaque élément est décrit par un champ de déplacement représenté par des fonctions
approchées dites "d’interpolation".
B. Position du problème et définition
Une fonction d’interpolation défini la variation du déplacement sur l’élément fini et doit
constituer une approximation raisonnable de la réalité (comportement structural)
Les questions à poser sont les suivantes:
Quelle fonction choisir ?
Comment construire cette fonction ?
La réponse par la MEF à la première question est de définir une fonction de déplacement
approchée u pour représenter le champ de déplacement réel v, qui n’est pas difficile à trouver
dans la plupart des problèmes complexes.
Cette fonction est dite d’interpolation car v, est égale à u au niveau des nœuds des éléments
finis seulement ce qui représente pour la MEF une forme d’approximation dite nodale.
x=a x=a x
Domaine Elément
x=b Noeuds
Figure 2.15 : Représentation de domaines pour un problème unidimensionnel -1D
x=b x
(a)
Ω
(Domaines Ωe)
(1D)
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 43 -
Il existe un grand nombre de fonctions possible toutefois on préfère les polynômes pour les
raisons suivantes :
Ils sont très maniables pour la programmation.
Ils donnent la possibilité d’augmenter la précision en augmentant l’ordre du
polynôme.
On considère pour une raison de simplicité de l’illustration, une fonction approchée
unidimensionnelle u(x) qui peut être définie comme suit :
Polynôme simple : u(x)= a1+a2.x+a3.x2+……. +an.x
n-1 (2.36)
C. Approximation nodale
La fonction u(x) (2.36), construite sur la base de fonctions polynomiales peut-être écrite sous
forme de vecteurs:
u(x)=<1 x x2………….. x
n-1>
na
a
a
.
.
.
2
1
(2.37)
Les coefficients ai, sont les paramètres de l’approximation et à ce stade, ils n’ont aucune
signification physique, sauf si on coïncide u(x) avec la solution exacte v(x) au niveau des
nœuds.
On aura alors, le système d’équation suivant en tenant compte de la position (coordonnées)
des nœuds:
11
1
1
2
131211 )(.......)( VxVxaxaxaaxu n
n
22
1
2
2
232212 )(.......)( VxVxaxaxaaxu n
n (2.38)
… … … … … … …
nn
n
nnnnn VxVxaxaxaaxu )(.......)( 12
321
Ecriture matricielle :
nnn
nnn
n
n
V
V
V
a
a
a
xxx
xxx
xxx
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...1
.......
.......
.......
.......
...1
...1
2
1
2
1
12
1
2
2
22
1
1
2
11
Soit A . a = V (2.39)
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 44 -
Si A n’est pas singulière a = A-1
.V (2.40)
En remplaçant a dans la relation (2.35) on obtient l’écriture de la fonction sous la forme
suivante :
u(x)=<1 x x2………….. x
n-1>A
-1.V
Ou encore sous l’écriture suivante :
u(x) = < N1(x) N2(x) …………………… Nn(x) > V (2.41)
Ni(x) pour i=1,....,n sont appelées fonctions de forme
Soit u(x) = < N > V (2.42)
avec < N > = < 1 x x2 .............x
n-1 >. A
-1
Cette forme d’approximation est dite approximation nodale, avec comme variables nodales
les déplacements Vi, et comme fonctions d’interpolations nodales les fonctions de formes
Ni(x).
Remarque 1 :
Sachant que u(xi) = Vi on peut déduire une des propriétés les plus importantes de la fonction
de forme à partir de la relation (3.3) qui est la suivante :
ji
jisixN ij
1
0)( (2.43)
C’est-à-dire que la fonction de forme possède une valeur égale à 1 au nœud considéré et elle
est nulle sur les autres nœuds.
La fonction de forme possède des propriétés intrinsèques, qui sont utilisées lors de la
simplification des calculs intégrales, dans l’étape de construction de la matrice de rigidité
(voir chapitre 4).
D. Choix de la fonction de déplacement:
La réponse à la deuxième (P42) question représente une étape importante de la MEF, car elle
détermine la performance de l’élément fini dans l’analyse des structures.
Le choix est fait avec précaution pour la sélection de cette fonction qui :
doit avoir le nombre de coefficients inconnues (ai) égal au nombre total de degrés de
liberté de l’élément,
ne doit privilégier aucun sens ou direction,
doit permettre un mouvement de corps rigide (sans déformation interne).
doit être capable de représenter des états de contraintes planes et de déformations
planes,
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 45 -
doit satisfaire la compatibilité des déplacements (continuité) le long des limites
d’interconnections entre les éléments finis.
Remarque 2:
Le polynôme d’approximation doit comporter autant de termes (ai) de la série que de nombre
de nœuds par élément.
E. Principe de l’approximation par éléments finis:
La construction d’une fonction de déplacement pour la totalité du domaine continu, conduit à
un nombre très élevé de points xi et la solution qui en découle est dite "instable".
Pour contourner ce problème, on construit la fonction u(x) par morceaux.
On procède à la division du domaine Ω en un nombre fini de sous domaines Ωe, figure 2.15,
sur lesquels la construction de la fonction u est plus simple.
Le procédé est donc le suivant :
Discrétisation du domaine Ω en sous domaines Ωe (éléments).
Définition d’une fonction de déplacement ue par la méthode d’approximation
nodale, qui peut être différente sur chaque élément.
La fonction u pour l’ensemble du domaine Ω sera :
u(x)=∑ue(x) (2.44)
Les points où ue(x) =V (solution exacte) sont les nœuds d’interpolation.
Les coordonnées xi représentent les coordonnées nodales.
Les valeurs Vi = u(xi) représentent les valeurs nodales.
Remarque 3:
La fonction approchée ue(x) sur chaque élément, doit être continue sur Ω
e et doit satisfaire la
condition de continuité entre les différents éléments finis.
Approximation par élément fini unidimensionnel linéaire à 2 nœuds:
Pour illustration, on considère une approximation linéaire, figure 2.16, applicable aux
problèmes de barres,
Figure 2.16 : Approximation d’un champ de déplacement inconnu
par un polynôme du 1er
ordre.
V1
V2
x [e] x=x1 x=x2
solution exacte
v(x)-inconnue
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 46 -
En considérant que la solution exacte est approchée par un polynôme de premier ordre, on a
une représentation sur l’élément par la fonction suivante :
u(x) = a1 + a2.x (2.45)
Les coefficients a1 et a2 définissent le segment de droite et si celui-ci passe par (x1, u1) et (x2,
u2) alors :
u1= a1 + a2.x1
u2= a1 + a2.x2 (2.46)
Après résolution du système d’équations (2.46) et en substituant dans (2.45) on obtient :
xxx
uu
xx
xuxuxu ).()(
12
12
12
1221
(2.47)
Cette écriture est la plus simple, cependant en éléments finis on complique un peu la chose en
mettant en évidence les valeurs nodales (déplacements nodaux) u1 et u2, de la fonction u(x),
qui sont plus importants dans l’analyse des structures. On réarrange (2.47) sous une forme
équivalente :
)(.)(.)(12
1
2
12
2
1xx
xxu
xx
xxuxu
(2.48)
Les fonctions de formes et leurs propriétés :
Du point de vu mathématique, le choix du couple de paramètres a1, a2 ou u1, u2, dans
l’approximation linéaire, importe peu.
On remarquera qu’au lieu de multiplier a1, a2 par les termes des polynômes ‘1’ et ‘x’
respectivement pour obtenir (2.45), on doit multiplier u1 et u2 par les polynômes
12
1
12
2
xx
xxet
xx
xx
pour enfin définir deux polynômes linéaires suivants :
et
12
1
2
12
2
1
)(
)(
xx
xxxN
xx
xxxN
(2.49)
N1(x) et N2(x) sont appelées fonctions de forme et possèdent des propriétés, dont la plus
importante a été citée en remarque 1.
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 47 -
Propriété évidente :
)(0
1
ailleurnoeudsautresaux
inoeudauN i (2.50)
Autres propriétés moins évidentes :
N1+N2=1 21 xxx (2.51)
et x1.N1+x2.N2=x
Remarque 4:
Les identités (2.51) confirment par leurs existences, la présence des deux termes, le terme
constant " 1 " et, le terme linéaire " x ", de l’expression polynomiale (2.45).
Interprétation géométrique:
La relation entre u(x), N1(x) et N2(x) est explicité montrée dans la figure 2.17
On déduit de cette relation, une interprétation géométrique, à savoir qu’une ligne droite
u(x)=a0+a1.x, peut être considérée comme une combinaison linéaire de lignes standards
N1(x) et N2(x) avec des valeurs nodales comme facteurs poids.
Généralisation :
Une fonction de déplacement v (exacte) qui est définie sur un domaine Ω :[x1,xn] et
représenté dans la figure 2.18, est déterminée par éléments finis, par le biais d’une fonction
approchée u.
1
u1
u2
N1(x) N2(x)
u(x)=a0+a1.x
u2.N2(x) u1.N1(x)
x1 x2
x
Figure 2.17 : Relation entre u(x), N1(x) et N2(x)
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 48 -
On définit d’abord la géométrie des éléments et leurs topologies comme suit :
Nœuds : 1, 2, ………………, n-1, n
Coordonnées des nœuds : x1, x2, ……………., xn-1, xn
Domaine complet : nxxx 1
Topologie des éléments : :1
e <x1, x2>
:2
e <x2, x3>
:1
e
n <xn-1, xn>
Déplacements nodaux V1, V2, ………………, Vn-1, Vn
En prenant comme modèle l’élément fini barre à deux nœuds, les fonctions approchées ue(x)
doivent être linéaires en x et leurs fonctions de forme doivent satisfaire les propriétés cités
auparavant. L’ensemble est présenté dans le tableau ci-après.
Tableau2.5 : Construction de fonction de forme par morceau dans un domaine 1D
Elément Fonction approchée ue(x) Fonctions de forme Propriété évidente
1
u1(x)=N1(x).V1+N2(x).V2
12
1
2
12
2
1
)(
)(
xx
xxxN
xx
xxxN
N1(x1)=1 ; N2(x1)=0
N1(x2)=0 ; N2(x2)=1
x
ue(x)
Ve
x1 x2 x3 x4 xn-1 xn
V1
V2
V3
Vn-1
Vn
[1] [2] [n-1]
1 2 3 4 n-1 n
Figure 2.18 : Approximation par éléments finis unidimensionnels linéaires
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 49 -
2
…..
n-1
u2(x)=N1(x).V2+N2(x).V3
……………
un-1(x)=N1(x).Vn-1+N2(x).Vn
23
2
2
23
3
1
)(
)(
xx
xxxN
xx
xxxN
…………
1
1
2
1
1
)(
)(
nn
n
nn
n
xx
xxxN
xx
xxxN
N1(x2)=1 ; N2(x2)=0
N1(x3)=0 ; N2(x3)=1
..................
N1(xn-1)=1 ; N2(xn-1)=0
N1(xn)=0 ; N2(xn)=1
La MEF n’est pas restreinte à l’utilisation d’éléments finis linéaires, et la majorité des
logiciels commerciaux disponibles, permettent de choisir entre les éléments finis à fonctions
d’interpolation linéaires, quadratiques ou cubiques correspondant à des domaines à une, deux
ou trois dimensions.
Les éléments finis quadratiques ou cubiques, peuvent aussi représenter des frontières
curvilignes ; il suffit que le nombre de nœuds géométriques sur chaque frontière soit
compatible avec la forme de la courbe correspondant à la frontière du domaine.
Il est donc important d’être capable de choisir le type d’élément qui est le plus approprié au
problème étudié et de déterminer les fonctions de forme pour ce type d’élément choisi.
Les fonctions de formes du tableau modélise un élément fini barre à deux nœuds et sont un
cas particulier des fonctions d’interpolation dite de Lagrange à n points (nœuds) tel que la
fonction de déplacement :
ijlorsque
ijpourxNavecuxNxu ji
n
i
ii1
0)().()(
1
(2.52)
et
n
ijj ji
j
ixx
xxxN
1 )(
)()( (2.53)
On notera que les fonctions )(xN i sont des polynômes d’ordre (n-1).
A la question : est-ce que
n
i
i xN1
1)( ? , la réponse est oui pour toutes les fonctions de
forme de classe C0 avec :
0)(0)(1)( 11211 xNxNxN n
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 50 -
0)(1)(0)( 22221 xNxNxN n
1)(0)(0)( 21 nnnn xNxNxN
Le développement de l’équation (3.11a) donne la relation suivante:
)(][))((
)(][))((
21
21
nkkkkk
nk
kxxxxxxxx
xxxxxxxxN
(2.54)
On ne tient pas compte des termes qui se trouvent à l’intérieur de l’intervalle [….] de
l’équation (2.54) pour obtenir la k-ieme fonction de forme, ce qui nous permet de retrouver
tous les cas particuliers suivant :
Pour l’élément fini linéaire à deux nœuds (figure 2.9), les N(s) et les x(s) ayant un
indice supérieur à 2 ne doivent pas apparaître et on déduit :
21
21
)(
xx
xxN
et 12
12
)(
xx
xxN
ce qui confirme les équations (3.9)
avec
2
1.)(
u
uNxu
Pour l’élément fini quadratique à trois nœuds figure 2.19(i-b), les N(s) et les x(s) ayant
un indice supérieur à 3 ne doivent pas apparaître.
))((
))((
3121
32
1xxxx
xxxxN
))((
))((
3212
31
2xxxx
xxxxN
))((
))((
2313
213
xxxx
xxxxN
(2.56)
(2.55)
x
1 2
x1 x2
u1
u2
1
1
Figure 2.19 : Interpolation linéaire et fonctions de forme
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 51 -
E- Types d’éléments finis à une dimension :
Les éléments unidimensionnels - 1D les plus courants, figure 2.20:
2.8 Matrices caractéristiques par minimisation de l’énergie potentielle
A. Energie potentielle totale minimale:
Une fois la fonction de déplacement définie, il est possible d’obtenir, toutes les déformations
et contraintes dans l’élément fini et de formuler sa matrice de rigidité et celui du vecteur de
charges équivalentes (concentrées aux nœuds).
Dans le chapitre précédent, la matrice de rigidité élémentaire a été introduite par le biais d’un
argument physique direct (méthode directe) et peut être aussi élaborée par la puissante
méthode, plus familière aux ingénieurs de génie civil, qu’est le principe des travaux virtuels,
qui cependant ne peut être un cadre pour produire des approximations par éléments finis plus
générales.
La formulation de ces matrices dites "caractéristiques des éléments finis", représente l’étape
la plus importante de l’analyse par la MEF, et repose sur le principe fondamental de la
mécanique des structures qui est le principe de l’énergie potentielle minimum.
C’est Courant (cité au Chapitre 1) qui a développée en 1943 la première application basée sur
ce principe pour la solution du problème de torsion de Saint-Venant.
On introduit dans un premier temps, les concepts de l’énergie de déformation et de l’énergie
potentielle totale et on déduit les équations gouvernantes pour les problèmes d’élasticité.
B- Formulation de l’énergie potentielle stationnaire :
Les charges externes appliquées à un élément de structure provoque sa déformation et
résultent en un travail qui est stocké dans le matériau sous forme d’énergie élastique, appelée
énergie de déformation.
Pour sa simplicité, prenons l’exemple d’une barre de section constante A, soumise à une
charge axiale N, représentée par un ressort linéaire figure 2.21.
a-Linéaire
b-Quadratique
- c-Cubique
Figure 2.20 : Eléments finis 1D
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 52 -
La figure 2.21 (c ), montre aussi un élément de volume sous l’effet de contrainte normale
agissant sur ses facettes.
L’énergie potentielle totale, comporte deux parties, (a) l’énergie de déformation et (b) le
potentiel des charges appliquées. Parce que les forces internes et les forces externes sont les
deux conservatives il en est de même pour l’élément de structure.
L’énoncé du principe est comme suit: Parmi toutes les configurations possibles d’un système
conservatif, celle qui satisfait les équations d’équilibre donne une énergie potentielle
stationnaire par rapport à des petites variations de déplacements. Si la condition de l’état
stationnaire est minimum, l’équilibre est stable.
Si le ressort ne dissipe pas d’énergie alors le travail des forces interne (énergie de déformation
dans le ressort), dépend seulement de l’allongement L et non pas de son passage par le
chemin I ou le chemin II (figure 2.21(b)). De la même manière si la charge externe N possède
une valeur et une orientation constante, son travail est égal à N L indépendamment du
chemin choisi pour aller de PI(configuration initiale) à PF (configuration finale) (figure
2.21(b)).
L’effort N s’écrit comme suit :
'. ykLL
AEP
(2.57)
Et l’énergie emmagasinée id dans le matériau pour une déformation infinitésimale /y :
/
2/
0
/////
0
/ )2
1(
2
1.
yy
i ykykydykydyPd (2.58)
On peut écrire l’équation (2.53) en fonction des contraintes et des déformations normales :
Figure 2.21 : Comportement élastique d’une barre sous sollicitation horizontale (a) structure barre ; (b) élément ressort ; (c) état de contrainte sur un élément de volume
dx
dy
dz
dy'
Y
Y
x
z
y
P
L L
y'
y
P
Longueur non
Déformée
(Pas de charge)
I
II
(a)
PI PF
k (b)
(c)
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 53 -
dvdxdzyykd yi ..2
1).(
2
1)(
2
1 // (2.59)
Avec dxdzyk y .. / : Force élastique
et dyy ./
D’où l’écriture de l’énergie de déformation di à partir de la figure 2.22, pour l’élément de
structure sous sollicitation axiale, est la suivante :
dVE
dVdVV
i
e
i .2
..
2
. 2)(
(2.60)
avec V : volume de l’élément
et E : Module de Young
C. Energie potentielle totale :
L’énergie potentielle totale s’écrit comme suit :
eiP W (2.61)
L’application pour notre exemple figure 4.1 donne :
2/.2
1yki et /.yPWe
La charge en se déplaçant sur une distance y/ produit un travail et en conséquence perd un
potentiel de même valeur, justifiant ainsi l’existence du signe négative dans l’expression :
/.yPWe
L’énergie potentielle totale
/2/ ..2
1yPykP (2.62)
Peut être considérée comme le travail interne et externe effectué pour un changement de
configuration de l’état de référence 0/ y à l’état de déplacement 0/ y .
id
Figure 2.22 : Représentation de l’énergie de déformation
comme un volume de contrainte
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
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Elle est représentée graphiquement pour notre exemple dans la figure 2.23.
La position d’équilibre /
eqy obtenue à partir de la valeur stationnaire de P :
0)( // dyPkyd eqP d’où kPyeq // (2.63)
2.9 Formulation de la matrice de rigidité et du vecteur charge équivalent
A. Déformation et contrainte moyenne dans un E.F unidimensionnel 1-D
On utilise les fonctions de formes étudiées au chapitre 3 pour l’écriture du déplacement d’un
élément fini aux nœuds i et j soit :
aNuNuNuNu jjiiii
e ....)( (2.64)
Avec comme Fonctions de Forme : L
yNi 1 et
L
yN j (2.65)
y est la référence de coordonnée locale de l’élément ayant pour origine le nœud i.
TT
jiL
y
L
yNNN 1 et
j
i
u
ua (2.66)
La déformation dans chaque élément peut être calculée selon la relation :
aBaNLaNdy
d
dy
du.).().( (2.67)
Avec L : opérateur dit de Laplace dans le cas général
et )(NLB =
T
LL
11 : dérivées des fonctions de formes (2.68)
Enfin la contrainte dite moyenne dans chaque élément s’écrit comme suit :
aBEE . (2.69)
Energie
y/
k
Nyeq
/ /.yNWe
Valeur stationnaire
eiP W
2/.2
1ykWe
Figure 2.23: Représentation graphique
des relations d’énergie
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 55 -
B. Matrice de rigidité élémentaire
L’énergie de déformation pour un élément fini barre quelconque (e) peut être déduite à partir
de l’équation (2.60) :
V V
TTTe
i dVaBEBadV ..)(2
1.
2
1)( (2.70)
L’énergie potentielle s’écrit comme suit :
dVaBEBaV
TT
P .).(2
1 - Fa
TFaaKa
TT...
2
1 (2.71)
Où F : le vecteur de charges appliquées aux nœuds
et on pose :
dVBEBKV
T... ; la matrice de rigidité élémentaire (2.72)
La minimisation de l’énergie de déformation par rapport à a s’écrit :
)()()(
.0eeeP FaK
a
(2.73)
On retrouve l’écriture familière de la matrice de rigidité élémentaire d’une barre de section
uniforme A, sous sollicitation uni-axiale :
dyA
L
LELL
KLe
..1
1
..11
0
)(
=
L
dyL
AE
02 1
111. (2.74)
=
11
11
L
AE=
kk
kk (2.75)
Où L
EAk
.
C. Vecteur de charges équivalentes aux nœuds
En minimisant le travail produit par les charges externes pour un élément fini quelconque (e),
le second terme de l’équation (2.66) résulte en un vecteur chargee
F , dit de charges
ponctuelles (concentrées aux nœuds i et j) pour un problème 1D:
j
iee
P
PpaF
a
)()().( (2.76)
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 56 -
D’une manière générale, pour des cas de charges de types quelconques, on distingue en plus
des forces concentrées ponctuelles p , des forces de volume b (forces de gravité, poids propre)
et des forces de traction de surface t .
Le travail de ces forces externes s’écrit comme suit :
A i
i
tt
V
t
e pudAtudVbuW ..... (2.77)
D’où l’expression générale du vecteur force équivalente sur chaque élément fini en tenant
compte de (2.64) et en minimisant We (2.77) par rapport à a:
A i
i
tt
V
tpNdAtNdVbNF ...... (2.78)
On constate que la distribution des charges aux nœuds sur un élément fini quelconque pour
l’obtention d’un vecteur de charges équivalentes se fait par le biais des fonctions de forme N.
2.10 Construction des Fonctions de Forme :
A. Principe de la méthode
Une fois les termes de la fonction de déplacement choisis d’une façon précise à partir du
Triangle de Pascal, il convient de construire ensuite les fonctions de forme.
Il existe deux procédés possibles :
i) Procédé direct en utilisant les propriétés évidentes des Fonctions de Forme.
ii) Méthode des déterminants
La méthode (i), est beaucoup plus rapide pour un calcul manuel, pour des éléments finis
simples et prend en compte les propriétés déjà citées auparavant à savoir :
Pour chaque élément, la fonction de forme est égale à 1 au nœud considéré et 0
ailleurs.
Chaque fonction de forme est un polynôme du même degré que celui de la
fonction d’interpolation.
Ce procédé est mieux expliqué par un l’exemple d’élément fini unidimensionnel (1D)
quadratique figure 2.24 :
Figure 2.24 : Elément fini 1D quadratique
1
2
3
L /2 L /2
x
Chapitre2 Éléments finis à une dimension
A.KADA – "Introduction à la Méthode des Eléments Finis – Master de Génie Civil" - 57 -
On cherche trois fonctions de forme Ni(x), i=1, 2, 3 et on exprime chacune d’elles comme le
produit de deux fonctions :
Ni(x)= Fi.Gi ; i=1, 2, 3 (2.79)
Fi est fonction qui nulle aux nœuds autre que le nœud considéré i.
Gi est choisie tel que Ni est un polynôme quadratique.
Les positions des nœuds : 1: 0 ; 2: L/2 ; 3: L
Nœud 1 : N1(x) = (x -L/2).(x -L).G1 ;car N1(x)=0 aux nœuds 2 et 3.
Et F1= (x -L/2).(x -L) est quadratique donc G1=C1 (constante)