Méthodes d'éléments finis d'ordre élevé pour la simulation ...

HAL Id: tel-00188739https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00188739v2

Submitted on 3 Dec 2007

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

Larchive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestine au dpt et la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publis ou non,manant des tablissements denseignement et derecherche franais ou trangers, des laboratoirespublics ou privs.

Mthodes dlments finis dordre lev pour lasimulation numrique de la propagation dondes

Sbastien Jund

To cite this version:Sbastien Jund. Mthodes dlments finis dordre lev pour la simulation numrique de la propaga-tion dondes. Mathmatiques [math]. Universit Louis Pasteur - Strasbourg I, 2007. Franais. .

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00188739v2https://hal.archives-ouvertes.fr

INSTITUT DE RECHERCHE MATHMATHIQUE AVANCEUniversit Louis Pasteur et CNRS (UMR 7501)

7, rue Ren Descartes67084 Strasbourg Cedex

Mthodes d'lments nis d'ordre levpour la simulation numrique de la

propagation d'ondes.par

Sbastien Jund

Thse soutenue le 28 novembre 2007 devant le jury compos de

Patrick Ciarlet ExaminateurGary Cohen Rapporteur externePhilippe Helluy Rapporteur interneSerge Piperno Rapporteur externeStphanie Salmon ExaminateurJacques Segr Invitric Sonnendrcker Directeur de thse

Remerciements

Je tiens remercier en tout premier lieu mon directeur de thse Eric Sonnendrcker,pour m'avoir encourag me lancer dans cette thse alors que j'prouvais moi-mme lesplus grands doutes quant mes capacits mener bien de tels travaux de recherche. Poursa disponibilit, ses conseils clairs et sa gentillesse je lui suis extrmement reconnaissant.

Merci galement Stphanie Salmon qui a encadr l'ensemble de mes travaux. Depuisles premiers codes d'lments nis qu'elle m'a fournis, jusqu'a la relecture de ce mmoire,elle n'a jamais t avare de son temps et je prote de ces quelques lignes pour lui signierma gratitude.

Je remercie mes rapporteurs d'avoir accept cette tche. Un merci tout particulier Gary Cohen d'avoir accept de rapporter sur des travaux qui sont fortement inspirs dessiens et de ses collaborateurs, Serge Piperno pour ses remarques et conseils ayant permisl'amlioration du prsent document et Philippe Helluy pour son enthousiasme par rap-port mes travaux et sa sympathie de manire plus gnrale. Merci galement aux autresmembres du jury, Patrick Ciarlet et Jacques Segr pour l'intrt qu'ils ont port mestravaux.

Un trs grand merci Claus-Dieter Munz, Michael Dumbser et Jens Utzmann del'Institut fr Aerodynamik und Gasdynamik de Stuttgart pour leur collaboration dansle cadre de la comparaison lments nis conforme - Galerkin discontinus. Merci pour leuraccueil plus que chaleureux pendant mon sjour Stuttgart dont je garde un trs bonsouvenir.

Merci l'agrable Hyam Abboud et au sympathique Hamdi Zorgati pour leur collabo-ration, durant le CEMRACS'05, aux travaux portant sur la mthode de rsolution deuxchelles. Ils m'ont permis de reprendre got la recherche au moment o j'tais srementle plus dmotiv.

Merci mes collgues de bureau, Isabelle Metzmeyer-David dont la gentillesse, la bonnehumeur et l'enthousiasme qu'elle peut exprimer en particulier par rapport l'enseignementsont des raisons plus que susantes pour mriter mon admiration et mes remerciements,et Alexandre Mouton que je remercie tout particulirement pour avoir fait plus que sa partde travail dans le cadre du cours de T.A.N., me dchargeant ainsi d'une part du mien, et

i

ii REMERCIEMENTS

de m'avoir ainsi permis de m'adonner plus librement la rdaction de ce mmoire.

Merci tout les membres de l'quipe EDP et merci l'IRMA pour les conditions detravail plus que favorables dont j'ai bnci. Merci notamment au personnel administratifet technique pour leur ecacit.

Mes derniers remerciements iront ma famille et mes amis, que je remercie simplementpour tout.

Notations

Sauf mention contraire les notations suivantes valent pour l'ensemble de ce document.Soit un ouvert rgulier de R2 de frontire = , n le vecteur unitaire normal sortantde sur et le vecteur unitaire tangent sur faisant de (n , ) une base directedu plan. Notons (x, y) R2 un point du plan.Les oprateurs direntiels sont dnis par

pour u : R2 R, 4u = 2u

x2+

2u

y2,

pour u : R2 R, u =

u

xu

y

,

pour u =(

u1u2

): R2 R2, u = u2

x u1

y,

pour u =(

u1u2

): R2 R2, u = u1

x+

u2y

,

pour u : R2 R, u =

u

y

ux

.

Les espaces fonctionnels (voir [2] ou [8]) sont dnis par L2() =

{u : R mesurable sur |

u2 dxdy <

},

H1() ={u L2() | u (L2())2},

H(rot,) ={u (L2())2 | u L2()},

H(div,) ={u (L2())2 | u L2()}.

Les espaces H1(), H(rot,) et H(div,) pouvant tre munis des applications respectivestrace, trace tangentielle et trace normale (voir [53]) nous dnissons

H10 () ={u H1() | u| = 0

},

H0(rot,) ={u H(rot,) | u | = 0

},

H0(div, ) ={u H(div,) | u n | = 0

}.

iii

iv NOTATIONS

Table des matires

Remerciements i

Notations iii

Introduction ix

1 quations rgissant la propagation d'onde 11.1 L'quation d'onde scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Les quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Introduction la mthode des lments nis 92.1 Rappel de la mthode de Ritz-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dnition d'un lment ni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Construction pratique de l'espace de discrtisation Vh . . . . . . . . . . . . . 122.4 Quelques exemples d'lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 lments nis d'ordre arbitrairement lev 213.1 lments nis adapts l'quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Mise en oeuvre des lments nis de Lagrange sur l'quation des ondes 213.1.2 Gnration automatique des matrices de masse et de raideur . . . . . 243.1.3 Sur l'inuence de la localisation des points auxquels sont associes

les formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 lments nis adapts la propagation d'ondes lectromagntiques . . . . . 30

3.2.1 Discrtisation conforme dans le cas d'lments nis d'arte rectan-gulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 Discrtisation conforme dans le cas d'lments nis d'arte triangulaires 383.2.3 Couplage conforme des lments nis d'arte rectangulaires et trian-

gulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4 Condensation de la matrice de masse 474.1 Principe de la condensation de la matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . 48

v

vi TABLE DES MATIRES

4.2 Le cas 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Condensation de la matrice de masse issue des lments nis de Lagrange

triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.1 Quelques remarques prliminaires sur les formules de quadrature sy-

mtriques dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Construction pratique des lments nis condenss . . . . . . . . . . 574.3.3 L'exemple de P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.4 L'exemple de P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.5 L'exemple de P3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.6 L'exemple de P4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.3.7 L'exemple de P5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.3.8 L'exemple de P6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4 De nouveaux lments nis conformes dans H1() partiellement condenss . 804.5 Condensation des lments nis d'arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.5.1 Condensation des lments nis d'arte rectangulaires sur maillagergulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.5.2 Cas particulier de la condensation des lments nis d'arte de pre-mier ordre : Schma de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5 Discrtisations en temps 955.1 Discrtisation explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.1.1 Discrtisation d'ordre arbitrairement lev : procdure Cauchy-Kowalewski 965.1.2 Application l'quation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.1.3 Application aux quations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.4 Stabilisation de ces discrtisations en temps . . . . . . . . . . . . . . 1045.1.5 Discrtisation symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.2 Discrtisation implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6 Ecacit des schmas 1116.1 Schmas adapts la rsolution de l'quation des ondes . . . . . . . . . . . 111

6.1.1 Stabilit et ordre de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.1.2 Quantication de la dissipation et de la dispersion numrique . . . . 1196.1.3 Rapport cot/prcision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.1.4 Cas test des tourbillons co-rotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.2 Schmas adapts la rsolution des quations de Maxwell . . . . . . . . . . 1356.2.1 lments nis rectangulaires sur maillage structur . . . . . . . . . . 1356.2.2 lments nis triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.2.3 Couplage conforme des lments nis rectangulaires et triangulaires . 1416.2.4 Comparaison lments nis conformes-Galerkin discontinus . . . . . 145

TABLE DES MATIRES vii

7 Rsolution deux chelles des quations de Maxwell 1497.1 Problme continu : le cas stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.2 Problme discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.3 Algorithme de rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.4 Application au problme dpendant du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . 1557.5 Simulations numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.5.1 Cas test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.5.2 Cas test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.5.3 Cas test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.5.4 Cas test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.5.5 Cas test 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.5.6 Cas test 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.5.7 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Conclusions et perspectives 169

Quelques rappels sur les formules de quadrature de Gauss-Lobatto 173

Sur l'imposition de conditions aux limites de Dirichlet 175

Routine MAPLE c pour la gnration des fonctions de base et des matrices179

viii TABLE DES MATIRES

Introduction

La modlisation des phnomnes de propagation d'ondes est un problme que l'on re-trouve dans de nombreuses applications physiques telles que la propagation d'ondes acous-tiques ou lectromagntiques. Malgr plusieurs dcennies de recherches actives, la simula-tion numrique de ces phnomnes reste un problme dlicat.

La mthode des dirences nies fait partie des mthodes qui se sont imposes de parsa robustesse et sa facilit d'implmentation. Les tudes de ce type de schmas (voir parexemple [3] ou [31] dans le cadre gophysique, [50] dans le cadre lectromagntique, ou en-core [66] dans le cadre de l'acoustique) ont montr l'intrt non ngligeable de l'utilisationde mthodes d'ordre lev, celles-ci ayant de bien meilleures proprits de dissipation etde dispersion, ce qui permet une propagation d'onde plus prcise moindre cot, tant dupoint de vue du temps de calcul que du stockage de donnes.

Ces mthodes ne sont toutefois bien adaptes qu' des domaines gomtrie simple (rec-tangulaires par exemple), et ne s'adaptent que trs dicilement des domaines gomtriecomplexe. Pour ce type de domaine, la mthode des lments nis semble naturellementplus adapte et plus maniable. Parmi les avantages de la mthode des lments nis quinous ont pouss nous intresser particulirement celle-ci, outre sa souplesse d'utilisationdans le cadre d'un domaine de calcul gomtrie complexe via l'utilisation d'une discrtisa-tion de ce domaine par un maillage non-ncessairement structur, il faut souligner que sonutilisation nous permet naturellement une discrtisation conforme des quations entranten jeu, c'est--dire une rsolution des quations dans des espaces de discrtisation inclusdans les espaces continus dans lesquels vivent leur solution. Cette notion de conformitest d'une importance toute particulire dans le cadre de la propagation d'ondes lectro-magntiques dcrite par les quations de Maxwell. En eet, une discrtisation conformede ces quations nous permet de vrier automatiquement l'quation de conservation dela charge, et par consquent la troisime quation constituant les quations de Maxwelldite loi de Gauss. Nous pourrons donc rsoudre les quations de Maxwell en ne rsolvantque les deux premires lois constituant ces quations, dites lois d'Ampre et de Faraday.Les travaux que l'on a mens sur la rsolution des quations de Maxwell dans le cadre decette thse sont aussi intgrer dans le cadre du projet nanc par l'Agence National dela Recherche High Order Finite Element Particle-In-Cell Solvers on Unstructured GridsHOUPIC (ANR-06-CIS6-013-01). Ce projet vise dvelopper des mthodes numriquespour la simulation de phnomnes issus de la physique des acclrateurs et des plasmasincluant les plasmas de fusion modliss par les quations de Vlasov-Maxwell. Dans le

ix

x INTRODUCTION

cadre d'une rsolution numrique des quations de Vlasov couples avec les quations deMaxwell, les densits de charge et de courant n'tant connues que numriquement partirdes positions et vitesses des particules charges, l'quation de conservation de la charge(faisant intervenir ces densits) n'est en gnral pas automatiquement vrie, ce qui peutmener des solutions non physiques des quations de Vlasov-Maxwell (voir [5]). L'utilisa-tion d'lments nis conformes pour la rsolution des quations de Maxwell apparat donctout naturellement dans ce contexte comme une alternative intressante.

La mthode des lments nis est mettre en opposition, par rapport cette notionde conformit, aux mthodes de type Galerkin discontinus, introduites par W. H. Reed[62] dans le cadre du transport de neutrons en 1973 et qui connaissent un regain d'intrtdepuis les travaux de B. Cockburn et al. [22]-[21] du dbut des annes 90. Parmi les travauxsur les lments nis de type Galerkin discontinus citons ceux de G. Cohen et al. [24], J.S. Hesthaven et T. Warburton [49], et notamment ceux de C.-D. Munz et M. Dumbserqui ont adapt l'approche ADER de E. F. Toro et V. A. Titarev [69] la rsolution desquations d'Euler (linarises ou non) pour obtenir des schmas d'ordre arbitrairementlev (qu'ils ont test jusqu' l'ordre 10) en espace et en temps sur des maillages triangu-laires non structurs [35]. C'est dans cet tat d'esprit qu'ont t mens les travaux dontles rsultats sont consigns dans ce manuscrit : le but de ces travaux est la constructionde schmas numriques pour la rsolution de phnomnes de propagation d'onde bass surdes discrtisations en espace par lments nis conformes, ces schmas ayant pour vocation tre d'ordre arbitrairement lev et aussi ecaces que possible.

Si l'on parle d'ecacit des schmas discrtisation en espace par lments nis, c'estqu'il faut tre conscient que la mthode des lments nis un dsavantage majeur : celuide ncessiter l'inversion d'une matrice, dite matrice de masse, chaque pas de temps (voireplusieurs fois par pas de temps pour les discrtisations en temps d'ordre lev). L'ide quivient alors naturellement pour rendre la mthode des lments nis plus attractive, est doncde rendre cette matrice de masse diagonale. On parle alors de condensation de la matricede masse (ou, sans ambigut possible, de condensation de l'lment ni). La condensationde la matrice de masse est un problme qui n'est rsolu que dans un certain nombre de casparticuliers. Considrant les lments nis adapts la rsolution de l'quation des ondesscalaire, le cas des lments nis de Lagrange en une dimension d'espace est un cas quel'on peut rsoudre l'aide de la thorie des polynmes orthogonaux. En eet, la condensa-tion de la matrice de masse issue de l'utilisation d'lments nis de Lagrange passe par ladtermination de formules de quadrature ayant des proprits bien prcises, et il se trouveque les formules de quadrature de Gauss-Lobatto ont toutes les proprits ncessaires. Lecas des lments nis en dimensions d'espace suprieures construits par produit tensorielde ces lments nis 1D (c'est--dire les lments nis quadrilatraux en 2D ou hexadrauxen 3D) est alors naturellement rgl. L'utilisation de ces lments nis n'est toutefois pasadapte toute gomtrie de domaine : l'ecacit des mthodes d'lments nis est lie la qualit du maillage, or la gnration de bon maillages quadrangulaires (en deuxdimensions d'espace), c'est--dire de maillage dont les lments sont peu dforms, est trsdlicate, beaucoup plus en tout cas que la gnration de maillages triangulaires. Le cas dela condensation de la matrice de masse issue des lments nis de Lagrange triangulaires

xi

n'a t rsolu que pour les sept premiers ordres (voir les travaux de G. Cohen et al. [26][70]pour la condensation de la matrice de masse issue des lments nis P1 P3, de W. A.Mulder et al. [14][56] pour la condensation de la matrice de masse issue des lments nisP4 et P5, et plus rcemment de F. X. Giraldo et M. A. Taylor [42] pour la condensationde la matrice de masse issue des lments nis P6 et P7). Parmi la classe des lmentsnis d'arte que nous allons considrer, seule la condensation de la matrice de masse issuedes lments nis d'arte triangulaires de plus bas degr [51] et des lments nis d'arterectangulaires sur maillages cartsiens [23][37] ont t traits. Notons qu'il existe une autreclasse d'lments nis d'arte pour lesquels il est possible de condenser la matrice de masse(plus prcisment de remplacer la matrice de masse par une matrice diagonale par bloc,ce qui est numriquement aussi ecace que la condensation dcrite plus haut), mais queceux-ci ne sont pas adapts la rsolution des quations de Vlasov-Maxwell, dans la me-sure o leur utilisation fait apparatre des ondes parasites [36].

Aux problmes lis la discrtisation en espace viennent s'ajouter ceux lis la discr-tisation en temps, l'ordre d'un schma dpendant non seulement de l'ordre de sa discrtisa-tion en espace mais aussi de celui de sa discrtisation en temps. D'un point de vue pratiqueil est assez dicile de trouver dans la littrature des discrtisations en temps d'ordre lev(c'est--dire au-del de l'ordre 4). Cela est essentiellement d au fait que la dterminationdes paramtres de discrtisation en temps ecaces d'ordre lev, devient trs complexe.Parmi les mthodes trs populaires citons notamment les mthodes de Runge-Kutta, dontla classe des mthodes diagonalement implicite [9][43][44] nous intressera particulirementet les discrtisation en temps symplectiques [73]. Pour rester dans cet esprit de constructionde schmas d'ordre arbitrairement lev, nous avons dvelopp nos propres discrtisationsen temps, dont la monte en ordre, se fait de manire itrative.

Le dernier problme auquel nous allons tre confronts est le suivant : dans un certainnombre d'applications, la simulation d'une propagation d'ondes ncessite une rsolutionplus prcise des quations rgissant cette propagation dans certaines rgions du domainede calcul. C'est dans cette optique qu'ont t introduites les mthodes de dcompositionde domaine. L'ide de ces mthodes est de dcomposer le domaine de calcul en plusieurssous-domaines, avec ou sans recouvrement suivant les mthodes, et de dnir des espacesde discrtisation propres chacun des sous-domaines. Ainsi il est possible d'ajuster lanesse de l'espace de discrtisation, a priori, en fonction des donnes du problme (parrapport la rgularit du terme source impos gnrant une onde par exemple). Notonsque lorsque l'on parle de nesse de l'espace de discrtisation il faut notamment entrevoirla possibilit d'un ranement local du maillage mais aussi la possibilit d'utiliser locale-ment des espaces d'lments nis d'ordre plus lev. On voit alors apparatre la dlicatequestion de la conformit de la mthode au niveau des frontires communes plusieurssous-domaines, question qui a motiv le dveloppement de la plupart des mthodes dedcompositions de domaine. Parmi les mthodes classiques citons notamment la mthodeitrative de Schwarz [54], et plus particulirement les mthodes dites directes, utilisant desmultiplicateurs de Lagrange dont direntes variantes sont proposes par exemple par P.Le Tallec et T. Sassi [68] ou par C. Bernardi, Y. Maday et A. T. Patera [7]. Dans le cadrede la propagation d'ondes lectromagntiques, des mthodes de dcomposition de domaine

xii INTRODUCTION

ont t dveloppes notamment par N. Canouet, L. Fezoui et S. Piperno [12][11] pourdes discrtisations en espace par des mthodes de type Galerkin discontinus ou encore parF. Collino, T. Fouquet et P. Joly [29] pour des discrtisations en temps par dirences nis.

Dans le premier chapitre de ce manuscrit nous exposons les quations rgissant les pro-pagations d'ondes que nous allons considrer, savoir l'quation des ondes scalaire et lesquations de Maxwell. Nous explicitons notamment leur formulation variationnelle et lesconditions aux limites qui leur seront respectivement associes. Nous en protons aussipour donner certaines contraintes lies la rgularit des espaces de discrtisation associsaux quations de Maxwell, ncessaires au caractre bien pos de ces quations.

Le second chapitre n'a pour vocation que de rappeler brivement ce qu'est la mthodedes lments nis, notamment la construction des espaces de discrtisation partir dela dnition d'un lment ni, et de mettre en vidence, par une approche intuitive, lesmcanismes et contraintes lies l'utilisation de cette mthode. Nous en protons pourexpliciter un certain nombre d'lments nis classiques, notamment les lments nis deLagrange standards en une et deux dimensions d'espace qui nous intresseront plus parti-culirement par la suite.

Le troisime chapitre rsume de manire exhaustive les outils permettant une discr-tisation en espace par lments nis d'ordre arbitrairement lev, tant dans le cadre del'quation des ondes scalaire que dans le cadre des quations de Maxwell. Dans le cadredes quations de Maxwell nous considrerons deux types d'lments nis : les lments nisd'arte triangulaires et les lments nis d'arte rectangulaires. S'il est possible d'utiliserces derniers en toute gnralit sur une quadrangulation du domaine de calcul, nous limi-tons volontairement leur champ d'application dans le cadre d'un maillage cartsien de cedomaine. Cette limitation sera toutefois compense, comme nous le montrons la n dece chapitre, par le fait que la dnition des lments nis d'arte rectangulaires et triangu-laires nous permet d'envisager un couplage conforme de ces lments nis sur des maillageshybrides (c'est--dire cartsiens sauf dans les rgions du domaine qui ne le permettent pas,au voisinage des frontires par exemple, o l'on maille par une triangulation).

Dans le quatrime chapitre nous traitons le problme de la condensation de la ma-trice de masse. Dans un premier temps, en une dimension d'espace pour les lments nisde Lagrange, nous exposons l'approche qui nous a permis de retrouver les formules dequadrature de Gauss-Lobatto, sur lesquelles sont base la condensation de la matrice demasse. En deux dimensions d'espace, sur des triangles, cette approche est gnralise pardes considrations que l'on a trouv dans les travaux de N. Tordjman [70], notammentsur les questions de symtrie. Nous reprenons alors ces travaux en gnralisant toutefoisla description des espaces fonctionnels permettant la ralisation de la condensation de lamatrice de masse. Nous dcrivons alors un algorithme nous permettant de dterminer lesformules de quadrature ncessaires la ralisation de la condensation de la matrice demasse issue des lments nis de Lagrange triangulaires. L'algorithme dcrit nous a permisnon seulement de retrouver les lments nis de Lagrange condenss P1 P5, mais aussi deconstruire un nouvel lment ni condens P6. tant donn que la dtermination eective

xiii

de ces formules de quadrature passe par la rsolution de systmes polynomiaux dont ledegr augmente avec l'ordre des lments nis que l'on cherche condenser, il ne nous apas t possible pour le moment d'aller au-del de cet lment ni condens P6. Dans dercents travaux, F. X. Giraldo et M. A. Taylor [42] construisent un autre lment ni detype P6 avec condensation de masse et russissent mme aller un rang au del en endterminant un de type P7. Nous introduisons ensuite de nouveaux lments nis qui nouspermettent une condensation partielle de la matrice de masse. L'ide est d'orthogonaliserun maximum de fonctions de bases de manire optimiser le prol de la matrice de masse.Nous terminons alors par le cas de la condensation des lments nis rectangulaires surmaillage cartsien.

Le cinquime chapitre traite des discrtisations en temps. Nous exposons en premierlieu les discrtisations en temps que nous avons dveloppes. Celles-ci sont explicites etd'ordre arbitrairement lev. Bases sur une procdure connue sous le nom de procdurede Cauchy-Kowalewski, qui s'apparente l'approche de l'quation modie de Dablain[31] dans l'ide de remplacer les drives successives apparaissant dans un dveloppementde Taylor en temps par des drives en espace, nous montrons que ces discrtisations nesont stables que pour certains ordres de discrtisations (dans le cadre de l'quation desondes scalaire, tout comme celui des quations de Maxwell), et comment les stabiliser lors-qu'elles sont instables. Nous en protons pour exposer deux autres types de discrtisationsen temps qui nous ont paru attrayantes pour la rsolution de nos problmes et auxquellesil nous a paru intressant de comparer nos discrtisations en temps : les discrtisations entemps symplectiques et les discrtisations en temps de type Runge-Kutta diagonalementimplicites.

Dans le sixime chapitre nous faisons une tude comparative des schmas que nousavons dvelopps. Les critres de stabilit, convergence, dissipation, dispersion et rapportcot/prcision sont autant de critres qui nous permettront de prfrer l'utilisation de l'unou l'autre des schmas. Si la supriorit des schmas d'ordre lev, en terme purement depropagation d'onde, sera mise en valeur dans un premier temps, nous mettrons aussi envidence les limites de la monte en ordre des schmas, dans le cadre de la rsolution del'quation des ondes, sur un cas test plus physique dit des tourbillons co-rotatifs.

Le septime chapitre expose une mthode de rsolution deux chelles que nous avonsdveloppe dans le cadre de la rsolution des quations de Maxwell. Nous avons adaptune mthode propose par R. Glowinski et al. [41] dans le cadre de la rsolution d'unlaplacien, qui peut s'interprter comme une mthode de type mortier avec recouvrementtotal de sous-domaines (voir [6]), dans un premier temps dans le cas stationnaire puisinstationnaire.

xiv INTRODUCTION

Chapitre 1

quations rgissant la propagationd'onde

1.1 L'quation d'onde scalaireConsidrons un domaine ouvert Rd. Sauf mention contraire nous ne considrerons

que des sous-domaines du plan, c'est--dire que nous ne considrerons que le cas particuliero d = 2.Sous les termes d'quation d'onde scalaire (ou plus simplement quation des ondes) nousdsignerons l'quation suivante :

2t u4u = fo u(x, t) : R+ R est une fonction inconnue que l'on cherche dterminer etf(x, t) : R+ R est une donne du problme.La fonction f du second membre de l'quation des ondes sera appele force impose outerme source, et dans le cas o cette fonction est identiquement nulle au cours du tempsl'quation des ondes sera dite homogne.De manire tre bien pose il faut adjoindre cette quation les conditions initiales

u(x, 0) = u0(x) et tu(x, 0) = u1(x) x ,

et des conditions de bord (encore appeles conditions aux limites) portant sur la frontire = de dans le cas o celui-ci est strictement inclus dans Rd.Par condition de bord de Dirichlet nous dsignerons la contrainte

u(x, t) = g(x, t) (x, t) R+,

et par condition de bord de Neumann nous dsignerons la contrainte

u

n (x, t) = h(x, t) (x, t) R+,

o n dsigne le vecteur normal unitaire sortant du domaine sur la frontire . Ceci n'abien entendu de sens que si cette frontire est assez rgulire, ce qui est une hypothsencessaire au caractre bien pos de l'quation des ondes. Nous dsignerons alors comme

1

2 CHAPITRE 1. QUATIONS RGISSANT LA PROPAGATION D'ONDE

un ouvert rgulier sans plus de dtails.Nous considrerons aussi deux autres types de conditions aux limites : les conditions auxlimites priodiques pour simuler des domaines non borns, et les conditions aux limitesabsorbantes, qui s'crivent

tu(x, t) +u

n (x, t) = 0 (x, t) R+,

senses simuler le caractre sortant du domaine de la propagation d'onde, et ont fait l'objetd'une recherche intensive depuis les premiers travaux de B. Engquist et A. Majda [38] etE.L. Lindmann [52]. Nous ne considrerons que cette condition aux limites absorbante,dite condition aux limites absorbante d'ordre 1, exacte pour les ondes d'incidence normale .

Formulation variationnelle du problme

Dans l'optique de rsoudre l'quation des ondes par une mthode d'lments nis il nousfaut driver une formulation variationnelle de cette quation.On se donne donc une fonction H1(), on multiplie l'quation des ondes par cettefonction et on intgre sur :

2t u dx

4u dx =

f dx.

Rappelons alors la formule de Green portant sur le laplacien :

4u dx =

u dx

u

n dx,

que l'on applique au second terme du premier membre de l'quation pour obtenir

2t u dx +

u dx

u

n dx =

f dx. (1.1)

Les conditions aux limites sont alors directement intgres cette formulation varia-tionnelle.

Dans le cas de conditions aux limites de Dirichlet homognes (u(x, t) = 0 (x, t) R+), il convient de considrer H10 () et l'quation (1.1) devient

2t u dx +

u dx =

f dx,

la trace de tant identiquement nulle sur . Le traitement d'un point de vue thoriquedes conditions aux limites de Dirichlet non homognes est plus dlicat et est trait large-ment dans [53]. Du point de vue du numricien disons simplement que l'on se ramne aucas homogne par un relvement de la fonction inconnue.

1.2. LES QUATIONS DE MAXWELL 3

Dans le cas de conditions aux limites de Neumann, l'quation (1.1) devient

2t u dx +

u dx =

f dx +

h dx.

Finalement dans le cas de conditions aux limites absorbantes, l'quation (1.1) devient

2t u dx +

u dx +

tu dx =

f dx.

1.2 Les quations de MaxwellLa propagation d'ondes lectromagntiques est modlise par les quations de Maxwell.

Considrons un domaine R2. Sous certaines conditions il est possible de dcoupler lesquations de Maxwell en deux jeux d'quations appels mode transverse lectrique, faisantintervenir les champs (Ex, Ey, Bz), et mode transverse magntique, faisant intervenir leschamps (Bx, By, Ez). Nous ne considrerons ici que le premier mode, le second pouvantse traiter de manire analogue. Nous considrons donc le mode transverse lectrique quis'crit :

E

t B = J , (1.2)

B

t+E = 0, (1.3)

E = , (1.4)

o les composantes sont dnies par E =(

ExEy

), B = Bz et les oprateurs par

B =( B

y

Bx

)et E = Eyx Exy . ces quations il faut bien entendu ajouter des

conditions de bord et conditions initiales. Par souci de simplication nous ne considreronspour le moment que des conditions de bord de type conducteur parfait, ce qui se traduitpar E n = 0, o n dsigne le vecteur normal unitaire sortant de sur = . Noussupposerons de plus que E n = 0 et J n = 0.Remarquons ds prsent que l'quation (1.4) du systme (dite loi de Gauss) est uneconsquence directe de la loi de conservation de la charge :

t+ J = 0.

En eet, en supposant que E et B vrient la loi d'Ampre (1.2) et en considrant demanire formelle la divergence de cette quation nous obtenons :

t E B

=0

= J .

Si de plus l'quation de conservation de la charge est aussi vrie nous obtenons :

t E =

t.


Il sut alors que l'quation (1.4) soit vrie initialement pour que celle-ci soit auto-matiquement vrie au cours du temps.

Formulation variationnelle du problme

La rsolution des quations de Maxwell par la mthode des lments nis passe parla drivation d'une formulation variationnelle de ces quations. Soient donc , et susamment rgulires. On multiplie (1.2) par , (1.3) par et (1.4) par et on intgresur :

d

dt

E dX

( B) dX =

J dX, (1.5)

d

dt

B dX +

(E ) dX = 0, (1.6)

( E ) dX =

dX. (1.7)

Rappelons alors les formules de Green portant sur le rotationel et sur la divergence :

(G)F dX =

G(F ) dX

(Gn )F dS , F H(rot,) et G H1()

(1.8)et

(F )G dX =

F (G) dX +

(F n )G dS , F H(div,) et G H1().

(1.9)En appliquant la formule de Green sur le deuxime terme de l'quation (1.5) nous

obtenons :

( B) dX =

B( ) dX

(B n ) dS. (1.10)

Nous en protons pour introduire les deux types de conditions aux limites que nousutiliserons (en dehors des conditions limites priodiques) : les conditions limites du typeconducteur parfait qui s'crivent

E n = 0,et les conditions aux limites absorbantes d'ordre 1 de Silver-Mller (voir [15]) qui s'crivent

(E n + B)n = 0.

L'intgration des conditions limites de conducteur parfait se fait alors de manire natu-relle en imposant la contrainte n = 0 sur , de sorte que le second terme du secondmembre de l'quation (1.10) s'annule :

( B) dX =

B( ) dX

(B n ) dS

=

B( ) dX +

B( n ) dS

=

B( ) dX,

(1.11)


ce qui nous transforme l'quation (1.5) end

dt

E dX

B( ) dX =

J dX.

L'intgration des conditions limites de Silver-Mller se fait elle aussi partir de l'qua-tion (1.10) :

( B) dX =

B( ) dX

(B n ) dS

=

B( ) dX +

((E n )n ) dS

=

B( ) dX

(E n )( n ) dS,

(1.12)

ce qui nous transforme cette fois l'quation (1.5) end

dt

E dX

B( ) dX +

(E n )( n ) dS =

J dX.

Par la suite et sauf mention contraire nous ne considrerons que les quations de Max-well avec des conditions aux limites de conducteur parfait.

Pour l'quation (1.7) nous utilisons la formule de Green portant sur la divergence pourobtenir la forme variationnelle de l'quation de Gauss

E () dX =

dX.

Pour nir drivons une formulation variationnelle de l'quation de conservation de lacharge

d

dt

dX +

( J ) dX = 0,

qui devient aprs utilisation de la formule de Green (1.9)d

dt

dX

J () dX = 0.

Ne faisant pas de traitement particulier sur l'quation de Faraday (1.6), celle-ci estnaturellement bien pose ds que L2().Nous obtenons donc le problme suivant :Trouver E H0(rot, ) et B L2() tels que H0(rot,), L2() et H1() :

d

dt

E dX

B( ) dX =

J dX, (1.13)

d

dt

B dX +

(E ) dX = 0, (1.14)

E () dX =

dX. (1.15)


Il est alors important de remarquer que sous sa forme variationnelle aussi, l'quation deGauss est automatiquement vrie au cours du temps si celle-ci est initialement vrieet que l'quation de conservation de la charge

d

dt

dX

J () dX = 0 H1() (1.16)

est vrie au cours du temps. En eet, pour tout H1() on a () = 0, ce quisignie en particulier que H(rot, ) et que l'on peut donc valuer l'quation (1.13)pour = :

d

dt

E dX

B() dX =

J dX

c'est--dired

dt

E dX =

J () dX,

puis en utilisant l'quation (1.16)

d

dt

E dX + d

dt

dX = 0,

il sut alors que l'quation (1.15) soit vrie initialement pour que celle-ci soit automa-tiquement vrie au cours du temps.Il est important de souligner que tout ceci ne tient que parce que la suite

H1() H(rot, ) L2()

est exacte, ce qui signie en particulier que l'image de H1() par l'oprateur est nonseulement incluse dans H(rot,) mais aussi dans le noyau de l'oprateur . C'est unpoint qui, s'il est respect d'un point de vue discret, nous permettra de ne rsoudre que lesformes variationnelles des quations d'Ampre (1.13) et de Faraday (1.14) pour rsoudre lesquations de Maxwell. Plus prcisment il nous faudra introduire des sous-espaces vectorielsde dimension nie X H1(), W H(rot,) et V L2() vriant aussi

X W V,

pour obtenir une approximation de la bonne solution des quations de Maxwell.Des tudes mathmatiques bien plus compltes des quations de Maxwell ont t menespar exemple dans [55], [32] ou [4].

Remarque 1.2.1. Pour driver une formulation variationnelle des quations de Maxwell,nous aurions pu, plutt que d'intgrer par partie le deuxime terme de l'quation (1.5),intgrer par partie le deuxime terme de l'quation (1.6) en utilisant la formule de Greensuivante :

(G)F dX =

G (F ) dX

(Gn )F dS , G H(rot,) et F H1()

(1.17)


de manire obtenir le problme suivant rsoudre pour H0(rot,), H1(), H1() :

d

dt

E dX

( B) dX =

J dX, (1.18)

d

dt

B dX +

E ( ) dX = 0, (1.19)

E () dX =

dX. (1.20)

La suite exacte nous permettant de ne rsoudre que les quations d'Ampre et Faraday(1.18) et (1.19) pour obtenir la bonne solution des quations de Maxwell (l'quation deGauss (1.20) tant nouveau une consquence de l'quation de conservation de la chargequi est vrie) considrer est alors la suivante :

H1() H(div,) L2().

Les raisons qui nous ont pousses ne pas considrer cette approche seront motivespar la suite dans la section 3.2.

Chapitre 2

Introduction la mthode deslments nis

2.1 Rappel de la mthode de Ritz-GalerkinLa mthode de Ritz-Galerkin repose sur la formulation variationnelle d'une quation

aux drives partielles. Pour se xer les ides nous prendrons pour exemple le problme dulaplacien dans un domaine de frontire , avec condition de bord de Dirichlet homogne :Trouver u : R tel que { 4u = f dans ,

u = 0 sur .

Sous forme variationnelle ce problme s'crit :Trouver u H10 () tel que

u v dx =

fv dx v H10 ().

Cette formulation peut tre vue comme le cas particulier d'un problme du type suivant :Trouver u V tel que

a(u, v) = l(v) v V, (2.1)avec a(, ) une forme bilinaire symtrique, et l() une forme linaire. Rappelons que lelemme fondamental de Lax-Milgram [17] nous donne l'existence et l'unicit de la solutiond'un tel problme sous certaines conditions de rgularit sur a et l :

Lemme 2.1.1. Soit V un espace de Hilbert muni d'une norme V . Soit a(, ) uneforme bilinaire continue et coercive sur V V , i.e.

Continuit : il existe une constante C telle que pour tout u, v V

|a(u, v)| C u V v V ,

Coercivit : il existe une constante > 0 telle que pour tout u V

|a(u, u)| > u 2V .

9

10 CHAPITRE 2. INTRODUCTION LA MTHODE DES LMENTS FINIS

Soit l() une forme linaire et continue sur V , i.e. Il existe une constante C telle que pour tout u V

|l(u)| C u V .Alors il existe un unique u V tel que

a(u, v) = l(v) v V.

La mthode de Ritz-Galerkin consiste alors chercher une solution approche uh duproblme (2.1) dans un sous-espace de dimension nie de V . L'approximation uh de u seraalors d'autant meilleure que l'espace de discrtisation Vh sera proche de l'espace V . Leproblme (2.1) se rcrit alors naturellement :Trouver uh Vh tel que

a(uh, vh) = l(vh) vh Vh, (2.2)o Vh V est un sous-espace vectoriel de V de dimension nie N . Il n'est alors bienentendu pas ncessaire de rsoudre le problme (2.2) pour tout vh Vh mais uniquementsur une base (1, . . . ,N ) de Vh. Reste alors remarquer qu'un lment uh Vh s'crituh(x) =

Ni=1 uii(x) et d'utiliser la linarit de l'oprateur a par rapport sa premire

composante pour rcrire nalement le problme sous la forme :Trouver (u1, . . . , uN ) RN tel que

N

i=1

uia(i, j) = l(j) j = 1, . . . , N. (2.3)

Ainsi le problme rsoudre n'est rien d'autre qu'un systme linaire de dimensionN N que l'on crit :

AUN = L, (2.4)o A = (a(i,j))1i,jN , L est le vecteur colonne de composantes l(i) et U est le vec-teur colonne contenant les coecients ui de uh dans la base (1, . . . , N ) de Vh.

Il reste maintenant expliciter la construction des espaces Vh inclus dans V . Dans lapratique c'est l'aide d'lments nis que l'on construit ces espaces fonctionnels.

2.2 Dnition d'un lment niOn considre un triplet (K, P,) o(i) K est un sous-ensemble ferm de Rd d'intrieur non vide,(ii) P est un espace vectoriel de dimension nie de fonctions dnies sur K,(iii) est un ensemble de formes linaires sur P de cardinal ni N .

Remarque 2.2.1. Dans la pratique les formes linaires de sont appels degrs de libertde l'lment ni.

2.2. DFINITION D'UN LMENT FINI 11

Dnition 2.2.2. On dit que est P -unisolvant si pour tout N -uplet (1, . . . , N ), ilexiste un unique lment p P tel que i(p) = i pour i = 1, . . . , N .

Ce qui nous amne la dnition d'un lment ni :

Dnition 2.2.3. Le triplet (K, P,) est appel lment ni de Rn s'il satisfait (i), (ii)et (iii) et si est P -unisolvant.

Remarque 2.2.4. Comme application il est possible de montrer que pour qu'un ensemble de formes linaires puisse tre P -unisolvant il faut que son cardinal soit gal la dimensionde P, i.e.

Card() = Dim(P ).

Remarque 2.2.5. Il est bon de remarquer le lien entre l'unisolvance et l'interpolation :dire qu'un ensemble est P -unisolvant, c'est exactement dire que pour tout N -uplet(1, . . . , N ) il existe un unique interpol dans P , l'interpolation ce faisant via les formeslinaires de . Cela signie en particulier que toute fonction de P peut tre reconstruite(c'est--dire aussi reprsente en machine) de manire unique par un N -uplet (1, . . . , N ).

Le lemme suivant, dont la preuve peut se trouver dans [17] par exemple, est d'uneimportance fondamentale dans la mise en oeuvre des lments nis.

Lemme 2.2.6. L'ensemble est P -unisolvant si et seulement si les deux proprits sui-vantes sont vries :

Il existe N fonctions pi P telles que j(pi) = ij, Dim(P ) = N .

La famille {p1, . . . , pN} est alors une base de P .

Ainsi si la dimension de P est gale au cardinal de , devient P -unisolvant si etseulement si on est capable d'exhiber une famille {1, . . . ,N} de P vriant

i(j) = ij i, j = 1 . . . N. (2.5)

Toute fonction p P sera alors dcompose sur la base (1, . . . , N ) de la maniresuivante :

p(x) =N

i=1

i(p)i(x). (2.6)

Il sut ensuite de dnir un maillage (pour l'instant le terme de maillage dsigne unequelconque partition) de par des lments Ki du mme type que K (c'est--dire quechaque Ki est l'image de K par une transformation bijective) et de dnir l'espace Vh dela manire suivante :

Vh = {v V / v|Ki P}. (2.7)Cette dnition de Vh nous assure automatiquement la conformit de la mthode, c'est-

-dire que Vh est inclus dans V . Dans la pratique il est prfrable d'exhiber la rgularitncessaire pour vrier cette condition et de l'expliciter directement dans la dnition de


l'espace Vh. Par exemple sur le problme du laplacien, nous avons V = H10 (). Or dansl'espace H1() nous avons le thorme suivant :Thoreme 2.2.7. Soit et (i)i=1,...,N des ouverts de Rn tels que i j = et = Ni=1i. Soit (u1, . . . , uN ) Ni=1H1(i) et u la fonction dnie par u|i = ui.On suppose que ui|ij = uj |ij sur l'interface

ij entre les domaines i et j pour tout

i, j = 1, . . . , N . Alors u H1().

Dans le cadre plus restrictif o l'on ne considre pas en toute gnralit (u1, . . . , uN ) Ni=1H

1(i) mais (u1, . . . , uN ) Ni=1C0(i), la condition ui|ij = uj |ij devient aussincessaire pour que u H1(). Ainsi pour des fonctions polynomiales par lment dumaillage, c'est dire si P est un espace vectoriel de fonctions polynomiales dnies sur K(nous ne considrerons que ce cas), u H1() si et seulement si u C0(). De sorte quel'espace Vh soit dcrit plus prcisment par :

Vh = {v C0() / v|Ki P}. (2.8)

Le choix de l'lment ni n'est donc pas anodin, puisqu'il doit permettre d'assurernaturellement la condition de continuit l'interface de deux lments adjacents de manire ce que la rsolution du systme linaire (2.4) nous donne une solution qui a dj largularit ncessaire la conformit de la mthode. Ceci n'est bien entendu possible quesi deux lments adjacents partagent un nombre susant de degrs de libert. Nous allonsprciser cette notion de partage de degrs de libert, mais avant tout il nous faut terminerd'expliciter la construction de l'espace Vh.

2.3 Construction pratique de l'espace de discrtisation VhUne fois que l'on s'est x un lment ni (K, P, ) il convient d'expliciter plus en dtail

la construction de l'espace de discrtisation Vh que l'on a dni jusqu' prsent par :

Vh = {v V / v|Ki P}, (2.9)o les Ki sont les lments dnissant un maillage du domaine .Il sut bien entendu d'expliciter une base de Vh pour que celui-ci soit entirement dter-min. La dnition de l'espace Vh dans (2.9) nous laisse penser qu'il faut construire pourchacun des lments du maillage une base de l'espace P restreint Ki, ce qui est le cas,mais qui se fait de manire totalement transparente ds lors que l'on voit chaque lment dumaillage comme l'image de l'lment K, dit lment de rfrence, par une transformationbijective, et que l'on transporte par la mme transformation les formes linaires dniessur l'lment de rfrence vers chacun des lments Ki.De manire plus prcise, notons {i}i=1,...,N l'ensemble des formes linaires de et {i}i=1,...,Nl'ensemble des fonctions de base associes (c'est--dire les N fonctions de P dterminesde manire unique par i(j) = ij). Fixons-nous un lment Kl du maillage et notons lla transformation bijective transportant l'lment de rfrence K vers l'lment Kl.Nous dnissons alors un nouvel ensemble de formes linaires {li}i=1,...,N par

li(f) = i(f l),

2.3. CONSTRUCTION PRATIQUE DE L'ESPACE DE DISCRTISATION VH 13

c'est--dire que nous transportons les formes linaires dnies sur l'lment de rfrenceK vers l'lment Kl. ce nouvel ensemble de formes linaires il faut associer un nouvelensemble de fonctions de bases {li}i=1,...,N vriant li(lj) = ij , de sorte que l'on auraexplicit une base de Vh localement sur chaque lment Kl du maillage, ce qui est ncessaireet susant la description de Vh. Un calcul lmentaire nous donne alors

li(lj) = i(

lj l) = ij .

Or, la dnition mme de j et l'unisolvance de sur P , nous dit que ceci n'est possibleque si

lj l = j ,ou de manire totalement quivalente

lj = j 1l .

Remarque 2.3.1. Il est important de se rendre compte que la donne explicite des degrsde libert, tout comme de l'expression locale sur chaque lment constituant le maillage dudomaine des fonctions de base, est indispensable la projection sur l'espace Vh d'unefonction et la reconstruction d'une fonction Vh qui n'est connue que par les valeurs prisespar l'ensemble des degrs de liberts .

Remarque 2.3.2. La souplesse de la mthode des lments nis vient exactement de cequi vient d'tre crit ; s'il n'est donc qu'une chose retenir c'est bien celle-ci : chaquelment Kl du maillage est vu comme l'image par une transformation bijectivel d'un lment de rfrence K. Chaque fonction de base lj de l'espace Vh d-nie localement sur l'lment Kl comme tant l'unique solution de li(lj) = ij(i = 1, . . . , dim(P ) = card()), o li(f) = i(f l) n'est autre que l'image de laiime forme linaire de transporte sur l'lment Kl et est donne explicite-ment par lj = j 1l , o j dsigne la jime fonction de base dnie commetant l'unique solution de i(j) = ij (i = 1, . . . , dim(P ) = card()).

Maintenant que l'on a donn un sens prcis aux degrs de libert dnissant les fonctionsde base de l'espace Vh, il nous est possible de prciser la notion de partage de degrsde libert assurant la conformit de la mthode. Dans l'ensemble {li(f) = i(f l)}dni pour i = 1, . . . , card() et l parcourant les lments du maillage, il est tout faitenvisageable de faire correspondre deux formes linaires, c'est--dire que pour certainscouples (l1, l2) et (i, j) il peut y avoir l'galit :

l1i = l2j ,

de sorte qu'il est possible d'imposer la conformit de l'espace Vh en imposant l'galit desvaleurs prises par ces degrs de libert partags par plusieurs lments (ou de manireoptimale en ne considrant qu'un seul degr de libert dans chaque classe de degrs delibert partags) ds lors que ces degrs de libert portent eectivement sur la contraintede conformit.Il faut alors remarquer que la contrainte de conformit porte sur l'espace des traces, aux


interfaces des lments, des fonctions de P (la notion de trace dont on parle ici prend unsens dirent suivant le problme que l'on considre et donc aussi de l'lment ni). Eneet sur l'ouverture de chaque lment du maillage les fonctions de Vh sont des fonctionsde P , c'est-dire aussi rgulires que l'on veut (P tant en gnral un espace polynomial).Les seuls problmes qui peuvent apparatre sont donc localiss aux interfaces d'lmentsvoisins (points, artes ou facettes suivant que l'on se place en une, deux ou trois dimen-sions d'espace). L'ide est alors de matriser entirement cet espace de trace en s'assurantqu'un certain nombre des degrs de libert dnissant l'lment ni, dnissent aussi, enparticulier un lment ni dans l'espace des traces, et que ces mmes degrs de libert sontpartags par des lments voisins. Cela implique en particulier un recollement conforme desinterfaces de deux lments voisins, c'est pourquoi partir d'ici et sauf mention contrairenous dsignerons par maillages les maillages conformes :

Dnition 2.3.3. On appelle maillage conforme d'un domaine toute partition de ce do-maine tel que les frontires d'lments voisins de cette partition se recouvrent exactement.

Par exemple en deux dimensions d'espace les lments Ki doivent former une partitionde , tel que l'intersection de deux artes de deux lments distincts est soit vide, soitrduite un sommet commun aux deux lments, soit une arte pour chacun des deuxlments.

Remarque 2.3.4. La condition d'unisolvance d'un sous-ensemble de sur l'espace fonc-tionnel des traces de fonction de P aux interfaces des lments peut apparatre comme unevraie dicult la construction d'un lment ni ; c'est pourquoi dans la pratique on prendle problme l'envers : une fois que l'on s'est x un espace P , on regarde la nature de latrace d'une fonction de P aux interfaces de K et l'on dnit un certain nombre de degrsde libert unisolvants sur cet espace. Ensuite il sut de chercher un ensemble de formeslinaires unisolvant sur le sous-espace de P constitu des fonctions dont la trace est nulleaux interfaces. Ce dernier espace tant exactement le complmentaire du premier dans P ,on a trivialement que la runion des deux ensembles de formes linaires est unisolvant surl'espace P .

2.4 Quelques exemples d'lments nisCette section a pour objectif non seulement de donner titre d'exemple quelques l-

ments nis classiques, mais aussi d'en expliquer la construction. Commenons dans unpremier temps par les lments nis de Lagrange en une dimension d'espace. On appellelments nis de Lagrange tout lment ni dont les formes linaires constituant ne sontque des valuations de fonctions en des points de K, c'est--dire

i(p) = p(ai) p P,

o {ai}i=1,...,N est un ensemble donn de points de K = [0, 1]. On note gnralement Pkl'lment ni de Lagrange d'ordre k, c'est--dire l'lment ni dont l'espace fonctionnelP n'est autre que l'espace des polynmes de degr infrieur ou gal k, que l'on noteraPk. Cet espace tant de dimension k + 1, l'ensemble est automatiquement constitu

2.4. QUELQUES EXEMPLES D'LMENTS FINIS 15

0 1a a0 1

Elment fini P1

0 1a a0 21a

0.5

Elment fini P2

0 1a a0 31a

1/3 2/32a

Elment fini P3

0 1a a0 k1a

1/k 3/k

3a a22/k

...

...

Elment fini Pk

Fig. 2.1

de k + 1 formes linaires qui sont les valuations de fonctions de P en k + 1 points ai deK = [0, 1]. Ces lments ayant pour vocation tre conformes dans H1(), il est ncessaireet susant qu'au moins les extrmits du domaine K soit incluses dans l'ensemble des {ai}pour assurer la continuit des fonctions de Vh l'interface des lments partitionnant (et par l mme l'inclusion Vh V ). La localisation de ces points pour les lments nisde Lagrange standards, reprsente dans la gure 2.1, est donne par

ai =i

ki = 0, . . . , k.

Remarquons que toute autre localisation de k + 1 points donnera un lment ni dumoment que ces points sont distincts (pour l'unisolvance) et que les bords de l'intervalleen font partie (pour la conformit).

Un autre exemple classique d'lment ni en une dimension d'espace est l'exemple deslments nis d'Hermite. Ceux-ci font non seulement apparatre, en tant que formes li-naires, l'valuation de fonctions en certains points de K mais aussi l'valuation de drivesde fonctions en ces points. Par exemple l'lment ni d'Hermite de plus bas degr est dni


comme suit : K = [0, 1], P = P3 (l'ensemble des polynmes de degr infrieur ou gal 3)et = {1, . . . , 4} o p P on dnit

1(p) = p(0) 2(p) = p(1) 3(p) = p(0) 4(p) = p(1).

Cet lment ni a la particularit d'imposer non seulement la continuit de la solutionmais aussi sa drivabilit et la continuit de sa drive. En eet, les fonctions de l'espace dediscrtisation Vh ainsi dni tant polynomiales l'intrieur de chaque lment partition-nant le domaine , il sut d'assurer l'galit des valeurs des fonctions et de leur nombredriv l'interface de chaque lment partitionnant le domaine , ce qui est garanti parla dnition mme des degrs de libert, pour que ces fonctions soient C1().

Remarque 2.4.1. Bien que pour les lments nis de Lagrange P3 et de Hermite de plusbas degr, les espaces polynomiaux P dnissant ces lments nis sont les mmes, c'est--dire P3 ; les espaces de discrtisation Vh rsultant, pour un domaine et un maillagedonn, sont clairement dirents.

Passons maintenant au cas des lments nis de Lagrange en deux dimensions d'espace.Soit K = [0, 1] [0, 1], le carr unit et P = Qk =< xmyn / 0 m,n k >. Qk tant unespace polynomial de dimension (k+1)2, l'ensemble doit ncessairement tre compos de(k+1)2 formes linaires, qui sont des valuations de polynmes de Qk en (k+1)2 points. Ilest important de remarquer que la trace (dans ce contexte il ne s'agit que de la restriction)de n'importe quel polynme de Qk une ligne horizontale ou verticale (c'est--dire enxant la premire ou la seconde composante) est un polynme univari de degr k. Bienentendu tout polynme de ce type est dtermin de manire unique par k + 1 valeurs qu'ilprend en k + 1 points distincts. Ceci signie qu'en aucune manire une ligne horizontaleou verticale ne doit faire apparatre plus de k + 1 points auxquels sont associs les degrsde libert sous peine de perdre l'unisolvance de l'lment ni (la k + 2ime valeur d'unpolynme tant xe par les k+1 premires, il est impossible que quelles que soit les (k+1)2valeurs i des degrs de libert, il existe un polynme de p Qk tel que p(ai) = i). Cetteremarque s'appliquant aussi en particulier aux artes de K, la condition de conformitnous impose de mettre exactement k + 1 points par arte (les degrs de libert associs des points localiss sur une arte commune deux lments voisins tant partags par cesdeux lments, ceux-ci doivent dnir un unique polynme univari de degr k). Suivantces conditions il est possible de construire un bon nombre d'lments nis. Donnons parexemple l'lment ni standard Qk : les points auxquels sont associs les formes linairessont localiss l'intersection de deux fois k+1 lignes (k+1 horizontales et k+1 verticales)quirparties, dont les artes du carr K (voir gure 2.2).

Il est important de noter que ces lments nis respectent une contrainte qu'il ne vautmieux pas contourner d'un point de vue pratique : la rpartition barycentrique des pointsauxquels sont associs les degrs de libert est symtrique et identique sur chaque arte.Cela signie que si un point est localis sur l'arte [S1, S2] dnie par les sommets S1 etS2 de K (voir gure 2.2), par les coordonnes barycentriques ((S1, ), (S2, 1 )) avec0 1 ; alors il est ncessaire de dnir ((S1, 1 ), (S2, )) et aussi ces mmes pointssur les trois autres artes [S2, S3], [S3, S4] et [S4, S1] . La raison ceci est la suivante :l'utilisation de la mthode des lments nis passe par un maillage du domaine de calcul


(0,0) (1,0)

(1,1)(0,1)

...

...

...

...

...

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

S

S S

S1 2

34

Fig. 2.2 Localisation des points auxquels sont associs les degrs de libert de l'lmentni de Lagrange standard Qk.

par des lments qui sont des transformations d'un lment de rfrence (transformationbilinaire dans le cas prsent). En particulier chaque arte du maillage est l'image d'unearte de l'lment de rfrence. Maintenant, chaque arte tant en gnral commune deuxlments voisins, et les degrs de libert devant tre partags sur ces artes (pour respecterla conformit de l'lment ni) ; il faut, soit que la numrotation locale des sommets dechaque lment soit cohrente de manire ce que chaque arte (oriente) du maillage,commune deux lments, soit l'image d'une unique arte de l'lment de rfrence, qu'ellesoit vue comme arte de l'un ou l'autre lment (ce qui est srement possible sur unmaillage rgulier d'un domaine rectangulaire par des lments rectangulaires, mais quis'avre impossible en toute gnralit), soit que la localisation des points sur les artesauxquels on associe les degrs de libert respecte les symtries dcrites prcdemment.

Nous illustrons ces propos par l'utilisation d'un lment ni de type Q2 non standard (ence sens que l'on a modi la localisation des points auxquels on associe les degrs de libert) l'aide de la gure 2.3 : l'lment de rfrence (en noir) est transform en deux lmentsvoisins du maillage (lments en rouge et en bleu) de manire ce que ces deux lmentsaient une arte en commun sur laquelle les degrs de liberts sont partags. Sachant que larestriction cette arte de toute fonction de l'espace polynomial Q2 ( partir duquel nousavons construit cet lment ni) est un polynme univari de degr deux, nous disposons detrois valeurs prises par les degrs de libert pour dnir de manire unique ce polynme. Orsur la gure de gauche il est clair qu'il est impossible d'assurer en toute gnralit l'galitdeux deux de trois couples de formes linaires associes deux lments voisins, celles-citant l'valuation de fonctions en des points qui ne sont pas confondus. Ceci entrant enconit avec la condition de conformit, cet lment ni n'est utilisable dans la pratique quedans les cas trs particuliers o le maillage permet une numrotation relative des sommetsdes lments le composant cohrente (gure de droite). La force des lments nis rsidantdans sa souplesse d'utilisation sur des maillages non-structurs, tous les lments nis de


S

S

S

S

1 2

34

S

S

SS S

S S

S

12

3 4

1

2 3

4

S

S

S

S

1 2

34

S

S

SS S

S S

S

1

23

41

2 3

4

Fig. 2.3 Localisation de points non symtrique pour un lment ni Q2 non standard.

Lagrange standards respectent les contraintes de symtrie de localisation des points surles artes auxquels sont associs les degrs de liberts, et la construction d'autres lmentsnis de Lagrange passe, de la mme faon, par le respect de ces conditions.

Terminons par les lments nis de Lagrange triangulaires. Pour ces lments nis endeux dimensions d'espace nous considrons K comme tant le triangle dlimit par lessommets (0, 0), (1, 0) et (0, 1) ; P = Pk =< xmyn / 0 m,n k et m + n k > et un ensemble de (k+1)(k+2)2 formes linaires qui sont les valuations de fonctions auxintersections d'une grille rgulire compose de k + 1 lignes horizontales et k + 1 lignesverticales (voir gure 2.4).

Remarquons que cette fois la restriction de toute fonction de P = Pk n'importe quelledroite (et plus seulement aux droites horizontales et verticales) est un polynme univaride degr k. Aucun lment de type Pk ne sera unisolvant ds lors que strictement plus dek + 1 points auxquels sont associs les degrs de libert seront aligns.


(0,0) (1,0)

(0,1)

...

...

...

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

S

S

S1 2

3

Fig. 2.4 Localisation des points auxquels sont associs les degrs de libert de l'lmentni de Lagrange standard Pk.

Chapitre 3

lments nis d'ordre arbitrairementlev

3.1 lments nis adapts l'quation des ondesSoit R2 un ouvert rgulier. Nous allons considrer la formulation variationnelle de

l'quation des ondes homogne soumise des conditions aux limites de Dirichlet homo-gnes. Le problme que l'on se propose de rsoudre est donc le suivant :

Trouver u H10 () tel qued2

dt2

u dx +

u dx = 0 H10 ().

En suivant la mthode de Ritz-Galerkin il nous faut introduire un sous-espace de di-mension nie de H10 (). Soit Th une triangulation du domaine . Notons {Ki, i = 1, . . . , n}l'ensemble des lments de cette triangulation et

Vh = { C0() / |Ki Pk i = 1, . . . , n et | = 0}

le sous-espace de discrtisation subordonn Th associ l'lment ni de Lagrange(K,Pk, ) dni la n de la section (2.4). Le problme devient alors :Trouver uh Vh tel que

d2

dt2

uh vh dx +

uh vh dx = 0 vh Vh.

3.1.1 Mise en oeuvre des lments nis de Lagrange sur l'quation desondes

Dsignons par {ai} l'ensemble des points du domaine auxquels on associe les degrs delibert et {i} l'ensemble des fonctions de base associes. Si Uh dsigne le vecteur dont lescomposantes sont les coordonnes de uh dans la base {i}, alors le problme est quivalentau systme d'quations direntielles ordinaires suivant :

21

22 CHAPITRE 3. LMENTS FINIS D'ORDRE ARBITRAIREMENT LEV

d2

dt2MUh(t) + KUh(t) = 0,

o les matrices de masse et de raideur, respectivement M et K, sont dnies par

Mij =

i(x)j(x)dx,

Kij =

i(x) j(x)dx.

Dans la pratique il est prfrable d'crire que ces matrices valent

Mij =n

l=1

Kl

i(x, y)j(x, y)dxdy,

etKij =

n

l=1

Kl

i(x, y) j(x, y)dxdy.

Ce petit jeu d'criture a pour consquence de ne plus calculer d'intgrale sur le domaine tout entier mais sur chaque lment de la triangulation, sur lequel chaque fonction i estsoit nulle soit entirement dtermine en fonction d'une des fonctions i associe l'lmentde rfrence K et de la transformation ane transportant cet lment vers l'lment Kl,de sorte que la matrice de masse Mij est entirement dtermine partir d'une matricede masse dite matrice lmentaire calcule sur l'lment de rfrence. Plus exactementconsidrons un lment K quelconque de sommet Si, i = 1..3 ayant pour coordonnes(xi, yi) et l'lment de rfrence K qui a pour coordonnes respectives (0, 0), (1, 0) et(0, 1). L'application ane

(x, y) = A(

xy

)+ B

avecA =

(x2 x1 x3 x1y2 y1 y3 y1

), B =

(x1y1

),

transforme K en K. On a donc en eectuant le changement de variable (x, y) = 1(x, y)

Ki(x, y)j(x, y) dxdy =

Ki(

1(x, y))j(1(x, y)) dxdy

= (detA)

Ki(x, y)j(x, y) dxdy.

D'autre part il nous faut calculer

Ki(x, y) j(x, y) dxdy =

K(i(1(x, y))) (j(1(x, y))) dxdy. (3.1)

Pour cela nous dterminons

3.1. LMENTS FINIS ADAPTS L'QUATION DES ONDES 23

(i(1(x, y))) =(

x(i(1(x, y)))

y(i(1(x, y)))

)

=(

xi(1(x, y))x11 (x, y) + yi(

1(x, y))x12 (x, y)xi(

1(x, y))y11 (x, y) + yi(1(x, y))y12 (x, y)

)

o

1(x, y) =(

11 (x, y)12 (x, y)

)=

1detA

((y3 y1)(x x1) (x3 x1)(y y1)(y2 y1)(x x1) + (x2 x1)(y y1)

),

ce qui donne aprs calculs

(i(1(x, y))) =1

det A

((y3 y1)xi(1(x, y)) (y2 y1)yi(1(x, y))(x3 x1)xi(1(x, y)) + (x2 x1)yi(1(x, y))

)

=1

det A(tA)1i(1(x, y)).

En injectant ceci dans (3.1) nous obtenons

Ki(x, y) j(x, y) dxdy

=1

(detA)2

K(tA)1i(1(x, y)) (tA)1i(1(x, y)) dxdy

=1

detA

K(tA)1i(x, y) (tA)1i(x, y) dxdy,

puis nalement en dveloppant

Ki(x, y).j(x, y)dxdy =

1det A

{((y3 y1)2+(x1 x3)2)

Kxixj dxdy

+((y1 y2)2+(x2 x1)2)

Kyiyj dxdy

+((y3 y1)(y1 y2)+(x1 x3)(x2 x1))

Kxiyj + yixj dxdy}.

On remarque alors que le calcul des matrices M et K se fait partir d'un certain nombrede matrices lmentaires calcules sur l'lment de rfrence, savoir

Ki(x, y)j(x, y)dxdy,

Kxixjdxdy,

Kyiyjdxdy,

Kxiyj + yixjdxdy.


3.1.2 Gnration automatique des matrices de masse et de raideur

La question que l'on se pose est comment gnrer automatiquement les matrices qui sontncessaires l'assemblage des matrices lmentaires globales. Il sut alors de remarquerque pour calculer les matrices dont nous avons besoin la seule connaissance des fonctionsde base {i} sur l'lment de rfrence K nous sut. Une fois ces fonctions connues, lesmatrices dont nous avons besoin le seront aussi l'aide de n'importe quel logiciel de calculformel (Maple c par exemple [74]). Il s'avre qu'il est possible d'expliciter ces fonctionsdans le cas des lments nis de Lagrange triangulaires standards. Pour cela il nous fautdans un premier temps se xer une numrotation des points auxquels sont associs lesdegrs de libert. Soit {S(i) R2}i=1...3 l'ensemble des coordonnes des trois sommets dutriangle de rfrence, auquel on ajoute les points S(0) = S(3) et S(4) = S(1). En notant{ai}i=1... (k+1)(k+2)

2

l'ensemble des points auxquels on associe les degrs de libert, et k lapartie entire de k3 , nous avons que :

pour m de 0 k,pour j de 0 k (3m + 1),

pour i de 1 3,le ime de ces points, en suivant une numrotation qui n'a rien de standard mais qui ap-parat naturellement en localisant les points en terme de coordonnes barycentriques (voirgure 3.1), a pour coordonne :

a =mS(i 1) + (k 2m j)S(i) + (j + m)S(i + 1)

k

o l'indice est lui-mme une fonction de (k,m,j,i) donne par

(k, m, j, i) =(

3k 9(m 1)2

)m + 3j + i.

Les (k+1)(k+2)2 fonctions de base sont alors dnies suivant les mmes modalits par

(1, 2, 3) =(1, 2, 3)

(1(a), 2(a), 3(a)),

o

(1, 2, 3) =m1

l=0

3

n=1

(n l

k

) k2m(j+1)

l=m

(i l

k

) j+m1

l=m

(i+1 l

k

)

et {i}i=1...3 dsigne l'unique ensemble de polynmes de P1 vriant i(S(j)) = ij i, j =i = 1 . . . 3 (c'est aussi en particulier la base associe l'lment ni P1).

Remarque 3.1.1. Si k 0[3], il ne faut considrer que m de 0 k et dnir les coordon-nes du dernier point, qui n'est autre que le centre de gravit du triangle par

a (k+1)(k+2)2

=S(1) + S(2) + S(3)

3,


. . .

.

.

.

.

.

.

1 2

3

a

a

a

a

aaa

a

a

a

a

a

a

aa

4

5

6

7

8

9

3k+1 3k+2

3k+3

3k+4

3k+5

3k+6

..

.

..

.

. . .

Fig. 3.1 Numrotation des noeuds de l'lment ni Pk standard.


et la dernire fonction de base qui lui est associe par

(k+1)(k+2)2

(1,2,3) =k1

l=0

3n=1

(n lk

)(k

l=1

(lk

))3 .

On a alors eectivement explicit les (k+1)(k+2)2 fonctions de base de l'espace Pk associ l'lment ni Pk standard. La procdure Maple c gnrant ces fonctions de base et lesmatrices lmentaires est donne en Annexe 7.5.7.Dans le cas o l'on souhaite utiliser des lments nis de Lagrange Pk non standards, c'est dire si l'on souhaite modier la localisation des points auxquels sont associes les formeslinaires, il faudra rsoudre au cas par cas les (k+1)(k+2)2 systmes linaires dnissantcette base. Ces systmes, seront bien entendu rsolus par une procdure Maple c, qui pourun espace fonctionnel et un jeu de points donns renvoie les fonctions de base dont lescoecients seront crits dans un chier lu par le code de calcul.

3.1.3 Sur l'inuence de la localisation des points auxquels sont associesles formes linaires

Dans cette sous-section nous abordons un problme qui apparat lorsque l'on veut aug-menter l'ordre des discrtisations en espace par lments nis. Dans la sous-section pr-cdente (3.1.2) nous avons explicit les fonctions de base associes des degrs de libertlagrangiens sur des points quirpartis. Typiquement, si une telle rpartition de points estviable des ordres bas, cela peut mener des phnomnes indsirables une fois que l'onmonte en ordre : d'une part la projection sur le sous-espace de discrtisation sera de mau-vaise qualit, d'autre part la matrice de masse sera de plus en plus mal conditionne.

Les problmes de qualit de projection sont bien connus dans le cadre de l'interpola-tion de Lagrange (puisque la projection sur un sous-espace d'lments nis de Lagrangecorrespond une interpolation de Lagrange localement sur chaque lment du maillageaux points auxquels sont associs les degrs de libert) sous les termes de phnomne deRunge : par exemple en une dimension d'espace, approcher une fonction par son interpolede degr N en N +1 points quirpartis, peut se rvler tre une trs mauvaise ide, c'est--dire que l'interpole sera une mauvaise approximation de la fonction, si les variationsde gradient de la fonction sont trop leves. La gure 3.2 reprsente la gaussienne centrenormalise et son interpole de degr dix sur les onze entiers quirpartis dans [5, 5].

Nous remarquons que l'interpole a une fcheuse tendance osciller aux bords de l'in-tervalle. Cela est d au fait que les fonctions de la base lagrangienne sont elles-mmes for-tement oscillantes lorsque les points d'interpolation sont quirpartis. Ce qui nous amneau second problme : la matrice de masse, c'est--dire la matrice constitue des intgralesdes produits de fonctions de base, sera mal conditionne.

Pour formaliser tout ceci il est bon d'introduire un certain nombre de notations. Consi-drons (K,Pk, ) l'lment ni de Lagrange standard, f une fonction continue sur K et p


0.0

2.5

0.25

0.0

0.75

2.5

x

5.0

1.0

0.5

5.010

2.0

3

0.0

34 1

0.5

5

x

2

1.0

542

1.5

Fig. 3.2 La gaussienne centre normalise et son interpole sur les onze entier quirpartisdans [5, 5].

la meilleure approximation de f en norme L(K), c'est--dire la fonction de Pk ralisantle minimum

min{f(x) p(x) , p Pk},qui existe dans la mesure o f est continue sur K (voir [33]), mme si sa dterminationest un problme encore ouvert. Notons la projection naturellement associe l'lmentni sur l'espace polynomial Pk :

(f) =N

i=1

i(f)i

o N dsigne la dimension de Pk et {1, . . . , N} la base lagrangienne associe aux formeslinaires de . En dnissant nalement

= supf 6=0

(f)f ,

il est possible de montrer le lemme

Lemme 3.1.2. = max

xK

N

i=1

|i(x)|

et le thorme suivant, d Lebesgue nous dit que

Thoreme 3.1.3. Sous l'hypothse de continuit de f sur K,

f(x)(f)(x) (1 + ())f(x) p(x)o

() = = maxxK

N

i=1

|i(x)|


0.0

2.5

0.25

0.0

0.75

2.5

x

5.0

1.0

0.5

5.0 4

x

102 3

0.0

0.75

5 1 4 5

0.5

0.25

1.0

23

Fig. 3.3 La gaussienne centre normalise et son interpole sur les onze points de qua-drature de la formule de Gauss-Lobatto rapports [5, 5].

est appele la constante de Lebesgue.

La projection sur le sous-espace d'lment ni est donc d'autant meilleure que laconstante de Lebesgue, qui ne dpend que de la localisation des points auxquels sontassocies les formes linaires, est petite.

Pour amliorer l'interpolation il est bon de ne pas utiliser des points quirpartis maisd'utiliser une localisation de ces points aux points de quadrature de formules de quadraturede type Newton-Cotes. Ceci n'est bien videmment pas d au hasard puisque les formulesde quadrature de type Newton-Cotes sont bases sur l'ide que pour approcher l'intgraled'une fonction il sut d'intgrer l'interpole de Lagrange de cette fonction, du momentque cette interpole est une bonne approximation de la fonction. La localisation des pointsde quadrature de ce type de formule est donc optimise de manire minimiser l'erreurde projection, ou en d'autres termes de minimiser la constante de Lebesgue associe ces points. La gure 3.3 reprsente l'interpol de degr dix de la mme gaussienne, l'in-terpolation se faisant cette fois aux points de quadrature de la formule de quadrature deGauss-Lobatto (voir annexe 7.5.7 pour plus de dtails sur ces formules de quadrature).

Le problme de la localisation des points auxquels sont associes les formes linaires, quiest mis en vidence ici en une dimension d'espace, reste vrai en deux dimensions d'espace etest d'autant plus compliqu pour l'interpolation sur des triangles, gomtrie pour laquellenous ne disposons pas d'une thorie aussi aboutie pour la construction de formules dequadrature que pour les segments en une dimension d'espace ou tout produit tensoriel dece type de domaine en dimension suprieure. Nous renvoyons le lecteur aux travaux de P.Silvester [65], S. Wandzurat et H. Xiao [71] ou plus particulirement de J. S. Hesthaven[46] dont nous utilisons la localisation de points reprsents dans les gures 3.4 3.6.

Nous insistons sur le fait que, mme si la relocalisation des points n'est quasiment pasvisible jusqu'aux lments nis P5, celle-ci le deviendra de plus en plus mesure que l'on


1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a10

a9

1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a10

a9

Fig. 3.4 Relocalisation des points associs l'lment P3.

1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a

a9

10

11

a

1213 14

aa a

a15

1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a

a9

10

11

a

12

13 14a

a a

a15


1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a

21

a9

a

a

10

11

a a

a

12

13

14

aa a a

a

a

1516 19 17

20

18

1 2

8

a a a

a

4a

a

5

6

a3

a

7

a

21

a9

a

a

10

11

aa

a

12

13

14

aa a a

a

a

1516 19 17

20

18



localisation quirpartie P3 P4 P5 P6 P7conditionnement

constante de Lebesgue67.662.27

114.413.47

239.445.45

548.008.7

1340.7714.3

localisation optimise P3 P4 P5 P6 P7conditionnement

constante de Lebesgue68.732.12

101.322.63

134.773.19

218.734.06

329.314.75

Tab. 3.1 Conditionnement en norme L2 de la matrice de masse et constante de Lebesguecalculs sur l'lment de rfrence pour les lments nis P3 P7.

augmente l'ordre des lments et qu' ce titre, le problme de la localisation des pointsauxquels seront associs les degrs de libert n'aura plus rien d'anecdotique.

titre d'exemple, pour illustrer les problmes de projection et de conditionnement dela matrice de masse issus d'une mauvaise localisation des points auxquels sont associsles degrs de libert, nous donnons dans le tableau 3.1 la constante de Lebesgue et leconditionnement en norme L2 de la matrice de masse calculs sur l'lment de rfrencepour les lments nis P3 P7 pour la localisation quirpartie et la localisation proposepar J. S. Hesthaven dans [46].

Il faut remarquer non seulement que la relocalisation des points permet de diminuer cesconstantes, mais aussi que le rapport entre ces constantes crot fortement (c'est--dire quela relocalisation montrera d'autant plus son intrt que l'ordre des schmas sera lev).

Remarque 3.1.4. Dans la pratique nous n'avons pas sensiblement ressenti le gain dela relocalisaton des points auxquels sont associs les degrs de libert jusqu'aux schmas discrtisation en espace par lments nis de Lagrange d'ordre 6. Mais il ne fait aucundoute que pour des discrtisations d'ordre plus lev la question de la localisation des pointsinuera plus fortement sur l'ecacit des schmas.

3.2 lments nis adapts la propagation d'ondes lectro-magntiques

Nous avons vu dans la section (1.2) qu'il nous faut construire des espaces X, W et Vvriant

H1() H(rot,) L2() X W V

. (3.2)

Nous allons supposer pour l'instant de tels espaces construits.Soit { i}i=1...N une base de W H(rot,) et {k}k=1...M une base de V L2(). Enrcrivant les quations (1.13) et (1.14) notre but est maintenant de rsoudre le problmesuivant :

3.2. LMENTS FINIS ADAPTS AUX QUATIONS DE MAXWELL 31

Trouver (E , B) W V vriant

d

dt

E i dX

B(i) dX =

J i dX, i = 1 . . . N,

d

dt

Bk dX +

(E )k dX = 0, k = 1 . . . M,

(3.3)

ce qui se traduit, une fois E et B dcomposs sur les bases respectives de W et V enE =

N

j=1

ej j et B =

M

l=1

bll, par :

Trouver (e1, . . . , eN ) et (b1, . . . , bM ) vriant

d

dt

N

j=1

ej

j i dX

M

l=1

bl

l(

i) dX =

J i dX, i = 1 . . . N,

d

dt

M

l=1

bl

lk dX +

N

j=1

ej

(j)k dX = 0, k = 1 . . .M.

(3.4)ou encore sous forme matricielle :

{MwE KB = J

MvB + tKE = 0(3.5)

avec

(Mw)1i,jN =

j i dX,

(Mv)1i,jM =

ij dX,

(K) 1 i N1 j M

=

j(i) dX.

Remarque 3.2.1. Il est important de remarquer que si {i}i=1,...,N est une base d'lmentni, c'est--dire une base uniquement dtermine par N formes linaires {Wi }i=1,...,N etla relation i(

i) = ij ; alors dans la dcomposition

E =

Nj=1 ej

j de E sur la base

{i}i=1,...,N , les ej ne sont autres que les Wj (E ). De la mme manire si {k}k=1,...,M

est la base associe M formes linaires {Vk }k=1,...,M , alors dans la dcomposition B =Ml=1 bll de B sur cette base, on a clairement bl = Vl (B) l = 1, . . . , M .

Dans la formulation variationnelle de l'quation de Faraday (c'est--dire la deuximequation du systme (3.3)), il apparat un E que l'on dcompose naturellement dansle systme (3.4) sur les rotationnels de la base {i}i=1,...,N , c'est--dire par E =N

j=1 ej(j). Or si les proprits de suite exacte dcrites plus haut sont vries, on

a en particulier que E V , et l'on peut donc dcomposer le rotationnel de E sur la


base {k}k=1,...,M de V . Ceci nous donne :

E =M

l=1

Vl (E )l

=M

l=1

Vl (N

j=1

ej(j))l

=M

l=1

Vl (N

j=1

Wj (E )(j))l

=M

l=1

N

j=1

Vl (Wj (E )(j))l

=M

l=1

N

j=1

Wj (E )Vl (

j)l.

En particulier nous obtenons que Vl (E ) =

Nj=1

Wj (E )Vl (

j), puis en rcrivant

le terme concern dans l'quation de Faraday (1.14)

(E )k dX =

M

l=1

N

j=1

Wj (E )Vl (

j)lk dX

=M

l=1

N

j=1

lk dX

Vl (

j) Wj (

E ).

Cette dernire quantit est alors vue comme la kime ligne (pour k de 1 M) du vecteur

MvRE

o R est la matrice dnie par

(R) 1 i M1 j N

= Vi (j),

de sorte que le systme (3.5) se rcrive de manire totalement quivalente sous la formesuivante : {

MwE KB = JB + RE = 0

. (3.6)

L'intrt d'une telle manipulation tient bien entendu dans le fait que la discrtisationde la forme variationnelle de l'quation de Faraday est maintenant explicite, c'est--direque le calcul de la drive de B ne ncessite plus l'inversion de la matrice Mv.Remarque 3.2.2. Si nous avions choisi d'utiliser la formulation variationnelle alternativepropose dans la remarque 1.2.1, consistant intgrer par partie l'quation de Faraday(1.6), plutt que l'quation d'Ampre (1.5), et d'ainsi obtenir le systme suivant :

d

dt

E i dX

( B) i dX =

J i dX, i = 1 . . . N,

d

dt

Bk dX +

E ( k) dX = 0, k = 1 . . . M,

(3.7)


o { i}i=1...N est une base de W H(rot,) et {k}k=1...M est une base de V H1(),nous aurions pu faire la mme manipulation pour exprimer cette fois B sur la base{ i}i=1...N pour obtenir un systme du type

{E RB = J

MvB + KE = 0, (3.8)

avec(K) 1 i M

1 j N=

i ( j) dX

et(R) 1 i M

1 j N= Wj (

i).

En anticipant les problmes de condensation de masse que nous allons aborder dans lechapitre 4, il est bon de se demander laquelle de ces deux approches alternatives est la plusecace. En eet il faut remarquer que dans la deuxime approche, l'quation d'Ampreest explicite, c'est--dire que la rsolution des quations du systme (3.8) ne ncessite plusd'inversion de la matrice de masse Mw issue de l'utilisation d'lments nis conformesdans H(rot, ). L'utilisation d'lments nis de Lagrange triangulaires nous permettant decondenser la matrice de masse Mv (jusqu'aux lments nis d'ordre 6, tout du moins. . .),le systme (3.8) devient entirement explicite. Nous avons toutefois prfr la premireapproche dans la mesure o la rsolution des quations de Maxwell en trois dimensionsd'espace nous demandera de toute faon une rexion sur l'optimisation de l'inversion dela matrice de masse issue de l'utilisation d'lments nis d'artes. Cette optimisation a tfaite ici par condensation des lments nis rectangulaires sur maillage cartsien (lmentsnis que nous avons dvelopps et dont la gnralisation en trois dimensions d'espace estimmdiate) et couplage conforme avec des lments nis triangulaires dans le cadre dedomaines gomtrie complexe (voir sous-section 4.5.1 et sous-section 3.2.3).

3.2.1 Discrtisation conforme dans le cas d'lments nis d'arte rec-tangulaires

Il nous faut prsent construire des espaces de discrtisation conformes, c'est--direconstruire X H1(), W H(rot,) et V L2(). Bien entendu, cette construc-tion passe par un maillage du domaine . Nous ne considrons pour l'instant que desdomaines rectangulaires que l'on quadrille par des lignes horizontales et verticales quir-parties dnissant un maillage rgulier de par un ensemble de rectangles {Ki}i=1,...,r.Nous introduisons alors les espaces fonctionnels suivants :

X = { H1() | |Ki Qk(Ki) , i = 1, . . . , r},

W = { H(rot, ) | |Ki (Qk1,k(Ki)Qk,k1(Ki)

), i = 1, . . . , r}

oQm,n =< xiyj / 0 i m, 0 j n >,

V = { L2() | |Ki Qk1(Ki) , i = 1, . . . , r}.


Le choix de ces espaces n'est pas trivial et a t orient non seulement par notre volontd'utiliser des lments nis conformes (d'o la forme trs particulire de l'espace W ), maisaussi par notre volont de respecter d'un point de vue discret les proprits de suite exactedes espaces continus.Les proprits suivantes se dmontrent de manire immdiate :

X W, (X) = {0}, W V,ce qui sut pour armer que la suite

X W V,

est exacte.S'il est notable qu'une fonction qui est polynomiale par morceaux est dj dans L2(),notre attention est porte sur le fait que tout comme dans H1() il ne sut pas d'trepolynomial par morceaux pour tre dans H(rot,). En eet le thorme suivant, dont ladmonstration se trouve dans [55] par exemple, nous dit que :Thoreme 3.2.3. (Recollement dans H(rot)) Soit 1 et 2 deux ouverts disjoints de R2.On note = 1 2, et un vecteur unitaire tangent . Soit E1 H(rot, 1) etE2 H(rot, 2). Si E1. = E2. sur alors E11 +

E22 H(rot,1 2).

Remarque 3.2.4. Si le thorme prcdent ne nous donne qu'une condition susantepour que le recollement de deux fonctions soit conforme dans H(rot,), celle-ci devientncessaire ds lors que l'on ne considre plus en toute gnralit des fonctions qui sontH(rot) par morceaux mais des fonctions polynomiales par morceaux.

nouveau c'est la dnition mme de l'lment ni qui doit assurer la continuit de latrace tangentielle sur chaque arte du maillage.Soit donc (K, P, ) o

(i) K = [0, 1]2 le carr unit,

(ii) P =(Qk1,k(K)Qk,k1(K)

), espace polynomial de dimension 2k(k + 1),

(iii) est un ensemble de formes linaires sur P de cardinal ni 2k(k + 1).

Pour expliciter l'ensemble nous dnissons yi = ik , i = 0, . . . , k et nous dsignonspar yi le segment horizontal passant par yi inclus dans K, yi le vecteur unitaire tangentassoci et de manire similaire les xi, xi et xi (voir gure 3.7).Proposition 3.2.5. L'ensemble des 2k(k + 1) degrs de libert dcrits comme suit :

mi (p ) =

i

lm()p i d, = x ou yi = 0, . . . , km = 0, . . . , k 1

,

o lm dsigne le mime polynme de Legendre normalis sur [0, 1], est P -unisolvant etassurent la conformit de l'lment ni dans H(rot).


y1

xk

yk

x1

y1

xk

yk

x1

K

0

0

1

1

y0y0

x0

x0 . . . .

.

.

^

y0

y1

x0

x1 xk

yk

-

-

-

Fig. 3.7

Dmonstration. Pour la conformit il sut de se rendre compte que la composante tan-gentielle d'un lment de P est, sur chacune des quatres artes, un polynme univari dedegr k 1.Soit p =

(p1p2

)

(Qk1,k(K)Qk,k1(K)

).

Sur y0 (resp.yk) la composante tangentielle de p vautp y0 |y=0 = p1|y=0 (resp. p yk |y=1 = p1|y=1 ),

et sur x0 (resp.x

Méthodes d'éléments finis d'ordre élevé pour la simulation ...

Documents