Metales: Modelo de electrones libres - fceia.unr.edu.armatcon/cap5.pdf · Metales Los electrones se mueven libremente a través del material Modelo : Gas de electrones libres Potencial

Metales: Modelo de electrones Metales: Modelo de electrones libres

ky

dk

Metalk

kx

L2π/L

L

Covalente

vdWCov. +vdW

unión metálica

Covalente

unión metálica

Metales Los electrones se mueven libremente a través del materialtravés del material

Modelo : Gas de electrones libresModelo : Gas de electrones libres

Potencial cristalino

Drude (1900) Sommerfeld (1927)Drude (1900) Sommerfeld (1927)

Aplicó la estadística de Fermi Dirac

Considero un gas clásico para

Potencial del modelo

Fermi-Diracgas clásico para estudiar conductividad

Na: 1s2 2s2 2p6 3s1

LSodio metálico

densidad l t ó i electrónica

(e/cm3) ?

Z: valenciaA: masa atómica (gr/mol)A: masa atómica (gr/mol)ρm = densidad (gr/cm3)

Otra forma de expresar la densidad:

(N ) 2 08 A (N +) 0 98Ars(Na) = 2.08 A rionico(Na+) = 0.98A

Modelo de Sommerfeld

Para un gas de Ne electrones :

Si despreciamos la interacción e-e, resolvemos el problema de 1 electrón:

Ll l i l d í l N lLlenamos los niveles de energía con los Ne electrones

Ej.: 1D

L

Condiciones de contorno

= k = n π / L n=1,2,…

Números cuánticos: n = 1, 2, 3, 4,…. ms = + ½ , - ½ (↑ , ↓ )

Lleno los niveles con los N electrones

Ej.: N = 6

nF: n correspondiente al último nivel ocupado

En general, si N es par se tiene: nF = N/2 en un cristal N ≈1023

Definimos la Energía de Fermi como la energía del ultimo nivel ocupadop

La energía de Fermi es función de N/L (densidad electrónica del gas)

Para el gas en 3D

ni=1,2,3,..

F

Estas condiciones de contorno no son adecuadas para t di l i d d d b lk d t i lestudiar las propiedades de bulk de un material

Condiciones periódicas de contorno (Born-von Karman)

Lz

LLxLy

Las soluciones son:

Las funciones de onda son autofunciones

del operador momento

Poseen momento lineal definido

Valores posibles de k ?

nii

entero

Ne electrones: Energía de

ky

gFermi

kVelocidad de Fermi

kx

kFde Fermi

estados ocupados

2π/Ly

2π/Lx

Superficie de Fermi

= εF

superficie en el espacio superficie en el espacio k (esfera)

Separa los estados ocupados de los vaciosocupados de los vacios

La energía total del estado fundamental del gas se calcula:

Para una muestra macroscópica, los valores permitidos de k llenan densamente el espacio

densidad de estados (k) ( )g(k) o g(E)

1d3d

2dg g g

Calor específico de los metales

La energía interna de un gas clásico de N e- es:

E(T) = 3/2 N KB T (1/2 KB T por grado de libertad)

Cv(clas) = ∂E/∂T = 3/2 N KB

Si N N (6 023 1023) l l ífi l Si N = NA (6.023 1023), el calor específico molar es:

c (clas) = 3/2 NA KB = 3/2 Rcv(clas) 3/2 NA KB 3/2 R

Este término debería sumarse a la contribución proveniente de las ib i d l d l d l bi vibraciones de la red. El cv de un metal a temperatura ambiente

sería c 3/2 R + 3 R 9/2 R cv = 3/2 R + 3 R = 9/2 R

Recordemos que ocurre en aisladores:

A bajas temperaturas

C = α T3Cv = α T

Cv / T = α T2Cv / T α T

En un metal ?

T T 3 R 3/2 R 9/2 R ?

cv = cvfonones+ 3/2 R ?

T=Tamb cv = 3 R + 3/2 R = 9/2 R ?

L ib ió d l l d d ió l l ifi La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal es pequeña a temperatura ambiente, comparada con la contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones) contribución proveniente de las vibraciones de la red (fonones)

A muy bajas temperaturas :

Tratamiento cuántico - Gas de Sommerfeld

La energía total del estado fundamental del gas :

E(T) Cv = ∂E/∂T Cómo calculamos la energía interna E(T) ?interna E(T) ?

donde Distribución de Fermi-Dirac

T = 0T = 0

T ≠ 0

EF = lim μEF = lim μT 0

Estimación de la contribución electrónica al Cv

g(ε)

No e- excitados

V ≈ g(EF) KB T

V

Energía de excitación ≈ K TEnergía de excitación ≈ KB T

E E

V ≈ g(EF) (KB T)2

cv≈ g(EF) KB2 T

Su muestra que para un gas de e- en 3D :Su muestra que para un gas de e en 3D :

g(EF) = = 3 n 3 n

g( F)2 EF 2 KBTF

cv≈ g(EF) KB2 T = 3/2 n KB T/TF

c(clas) = 3/2 n KB T=Tamb

cv

c(clas)

≈ T/TF ≈ 10-2

c(clas)

La contribución de los electrones de conducción al calor especifico La contribución de los electrones de conducción al calor especifico de un metal a Tamb es ~ 1% del valor clásico

P t l Para un metal a bajas temperaturas

C = C e + C phCv = Cv + Cvp

= γ T + α T3

C / T = γ + α T2Cv / T = γ + α T2

γ es proporcional a g(EF)

Limite clásico ????