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MENT0SREVISTA CE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA-MEDIA
Año li Marzo - Abril 1965 N? 11—H
¿Exigencias sin estímulos?
Temas de nuestro tiempo: La matemática en el mundo
moderno.
por Richard COURANT
Panorama: Dos reuniones de la CIEMEM
Cuestiones didácticas: Medios y técnicas para expo
ner conceptos de matemática moderna:
por Gcorgcs PAPY
Teoría moderna y aplicación de las probabilidades.
por Joao MARTINS
Orientación:
Li'
Problemas: Una aplicación de ecuaciones diofán ticas.
por Raúl A. CHIAPPA■■
Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correoí
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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
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Por la simple razón de que la exportación argentina de máquinas
IBM aún no ha llegado los contados países del mundo occidental
cuyos nombres empiezan con algunas de esas letras. IBM produce
Clasificadoras e Intercaladoras de Tarjetas y Máquinas de
Contabilidad en su planta industrial de Martínez — Pcia. de Buenos
Aires — con personal argentino. Son productos nacionales que
testimonian la universal perfección IBM, informan al mundo de la
capacidad- industrial argentina y representan un valor sitivo en el
comercio exterior de Las cifras son elocuentes:Año 1963 - Se
exportaron 1175 máquinas por valor de u$s 3.098.448.-ARo 1964 - .Se
exportaron 1539 máquinas por valor de u$s 4.559.028.-
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FALTANELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA PARALA ENSEÑANZA MEDIA
SEIS* ;po-nuestro país.LETRAS ?
IBM WORLD TRADE CORPORATION
la IBM332!:rr- * Año IIsi Marzo - Abril 1965 N9 11
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Bellas palabras que no han perdido actualidad en absoluto. En
nuestros días, el profesor de matemática — por no decir el docente
en general mira a su alrededor'r advierte que por un lado se le
exige más esfuerzo y dedicación, mientras
desconsideradamente, disminuyendo cada vez mas su TEMAS DE
NUESTRO TIEMPO—
La Matemática en el Mundo Moderno' ’que por el otro se le
trato
status” social.. í»
A breve plazo habrá de constituirse —así lo esperamos la
Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática. Sus
integrantes no podrán sosia) ai este importante aspecto del
problema. El apoyo que la Comisión reciba de las autoridades
educativas no podrá limitarse a lo ñeramente formal. El profesoi,
de matemática se maneja en un mundo de abstracciones, pero aún no
ha logrado él mismo vertirse en una abstracción más.
Volviendo a Pizzumo. habrá que “despertar a los que fueron
buenos y activos y duermen sin aliento. empujar a los atrasados
para que abran los libros y se pongan al día. incitar a los reacios
a incorporarse al movimiento general \ Pero también habrá que
tratar a todos con justicia, rodeándolos de las merecidas
consideraciones y prestándoles el apoyo debido.
RICHARD COURANT {Nueva York: EE. UU.)con-
La teoría de grupos, un capítulo central de la matemática
contemporánea, ha evolucionado a través de de abstracción análogo.
Esta teoría ira su origen en un problema que ha fascinado a los
matemáticos desde la Edad Media: la resolución de las ciones
algebraicas de grado mayor que dos, por procedimientos algebraicos,
esto es,. por adición, sustracción, multiplicación, división y
extracción de raíces. La teona de las ecuaciones cuadráticas fue
conocida por los babilonios y la solución de ecuaciones de tercero
y cuarto grados fue realizada por los matemáticos renacentistas
Girolamo Cardano y Nicoló Tartaglia. Empero, la solución de
ecuaciones de grados superiores al cuarto, encontró obstáculos
insalvables.
A principio del siglo XIX, un nuevo y profundo ataque a estos
problemas fue lanzado por Joseph Louis Lagrange, P. Ruffini y Niels
Henrik Abel y, en la forma más original, por Evariste Galois. Estos
nuevos intentos partieron de los conocidos hechos de que una
ecuación algebraica de grado n de la forma xn + a„-i x"*1 -)- ...
+alx + a„ = 0 tienen raíces Ti, r2, . .., r„, y.de que este
conjunto ácr n raíces determina inequívocamente la ecuación (Por
ejemplo, si 1 y 3 son raíces de una ecuación cuadrática, entonces
(x — 1) (x — 3) = x2 — 4x + 3 = C es la ecuación determinada por
las raíces 1 y 3). Los coeficientes de la ecuación son funciones
simétricas de las raíces, esto es, ellos dependen del conjunto de
las raíces, prescindiendo de su orden. (Por ejemplo, en una
ecuación cúbica x,J + + ax2 + bx + c = 0 con raíces ri, r-_», t:{,
los coeficientes pueden escribirse: —a =
= ri -f- r2 -f- i’¿; b = Tir.j -}- r2 r3 '-p r3 r^- c ---= Ti r2
r3 y si ri,T«, r3 se permutan, a, b y c no varían).
Con los años, el trabajo con tales ecuaciones reveló que la
clave del problema de la expresión de las raíces mediante los
coeficientes reside, no sólo en el estudio de expresiones
simétricas, sino también más decisivamente, en el estudio de
expresiones no completamente simétricas y en el análisis de cuántas
simetrías poseyeran. La expresión E = n r2 -f- r3 r.t por ejemplo,
no permanece invariable para toda permutación arbitraria de los
símbolos Ti, r2, r:i, r.j. Si se intercambian los índices 1 y 2 con
3 y 4, E es invariante, esto es, permanece sin cambios. Empero, si
se intercambian 1 y 3, la expresión resultante no es E. Por otra
parte, la'sucesión de dos permutaciones que cambia y luego
resablece a E/ equivale a una permutación que claramente deja
invariante a E. El conjunto de estas permutaciones, llamado "grupo"
por Galois, representa las simetrías intrínsecas de la expresión E.
El conocimiento de los grupos de permutación fue reconocido por el
ingenioso Galois como la clave pare una teoría más profunda de las
ecuaciones algebraicas.
Después, los matemáticos fueron descubriendo rápidamente grupos
de permutaciones en otros campos. El conjunto de los seis
movimientos que transforman un triángulo equilátero en sí mismo,
por ejemplo, forma un grupo. Se han descubierto otros grupos como
elementos estructurales fundamentales en la mayoría de las ramas de
la matemática.
un proceso mues-
LOS EDITORES ecua-
C O
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una gran masa de dates y predecir la existencia de nuevas
partículas, muestra convincentemente cómo puede ayudar la
abstracción en la investigación de hechos difíciles.
La intuición, ese esquivo agenie vital, está actuando siempre en
la creación matemática, motivando y guiando aun al pensamiento más
abstracto. En su manifestación familiar, la intuición geométrica,
ha figurado en la mayoría de los más importantes piogresos de la
matemática que han ocurrido en trabajos geométricos o dimanado de
ellos. Con todo, en matemática existe una poderosa compulsión a
reducir el papel visible de la intuición, o acaso sería mejor
decir, a afianzarla con un razonamiento preciso y riguroso.
La topología, la rama más joven y vigorosa de la qeometiía,
ilustra en forma espectacular el resultado fructífero de esta
tensión entre intuición y razón. Con unos pocos descubrimientos
primitivos, aislados pero importantes, —-por ejemplo, la banda
unilateral de Mobius —como acervo inicial, la topología emsrqió
como terreno de estudio serio en el siglo XIX, Durante largo lapso
fue casi enteramente asunto de intuición geométrica, de cortar y
juntar superficies, en un. esfuerzo por visualizar la sustancia
matemática de la topología, esto es, las propiedades de las
superficies que no cambian bajo deformaciones continuas
arbitrarias. Sin embargo, ya a principios de la evolución de la
nueva disciplina, Georg Friediich Rie- mann atrajo la atención
sobre ella. En su sensacional trabajo sobre la teoría de las
funciones algebraicas de una varic- ble compleja (una variable que
incorpora el número imaginario V — 1 mostró que los hechos
topológicos concernientes a lo que ahora se llaman superficies de
Rie- mann son esenciales para un real entendimiento de esas
funciones.
Durante el siglo XIX, los investigadores descubrieron y
exploraron Sistemáticamente gran cantidad de proposiciones lo-
pológicas de supe’ficies de dos, tres y aun n dimensiones. Todavía
sobre una base más o menos intuitiva, a principios de este siglo el
gran Henri Poincaré y otros construyeron un fascinante edificio de
teoría topológica. Este trabajo prosiguió en estrecha relación con
el desarrollo de
la teoría de los grupos y se empleó en otros campos de la
matemática y en la evolución de las ciencias exactas a altos grados
de elaboración. Por ejemplo, fue empleado en mecánica celeste,
específicamente en la construcción de órbitas planetarias en
espacios curvados campos gravitatorios.
Rápidamente los topologistas ron a sentir la urgente necesidad
de
descubiertas, requirió la formulación del concepto subyacente de
grupo en los términos más abstractos. Esto se ha logrado llamando
grupo a un conjunto de objetos matemáticos si se da una regla para
"combinar" dos elementos de modo de obtener de nuevo otro elemento
S del conjunto; se requiere que esta regla sea asociativa, esto es,
(ST)U — S(TU). Además, el conjunto debe incluir un elemento
"unidad" I tal que, combinado con cualquier otro elemento S del
conjunto, dé por resultado S, esto es, SI = S. Finalmente, para
cada elemento S debe haber en. el conjunto un elemento "inverso"
S"1 tal que la combinación SS*1 reproduzca al elemento unidad I,
esto es, SS*1 = 1.
Por supuesto, la naturaleza específica "sustancial" del grupo es
dejada ampliamente abierta por esta definición abstracta. Los
elementos pueden ser números, rotaciones de cuerpos geométricos,
deformaciones del espacio (tales deformaciones pueden ser definidas
por transformaciones lineales o de otra clase de las coordenadas)
o, como más arriba, las permutaciones de n objetos.
En conjunto, el concepto de giupo, y el esclarecimiento y la
unificación, que aportó a las diversas ramas de la matemática,
deben ser reconocidos como la mayor conquista de los 150 años
pasados. Mucho del esfuerzo se ha concentrado en el sector
intermedio, más elevado, del arco del desarrollo, esto es, en el
análisis estructural de los conceptos abstractos. Sin embargo, el
trabajo ha contribuido en todo momento a iluminar áreas concretas
más específicas tales como la teoría de números y el álgebra. En
este aspecto, uno de los éxitos notables fue el de la famosa
clasificación de 1870 de Félix Klein de las diferentes ramas de la
geometría, de acuerdo con los grupos de transformaciones que
mantienen invariantes ciertas propiedades geométricas.
La teoría abstracta de grupos ha hallado significativa
aplicación en los problemas todavía más concretos de las partículas
físicas. Aquí, la oportunidad es proporcionada por el intrincado
grupo de simetrías abiertas y ocultas que prevalecen en la
configuración e interacción de las partículas nucleares. El éxito
de la teoría de grupos al poner orden en
remos, por ejemplo, el famoso teorema de C. Jordán que establece
que toda curva plana, cerrada y continua, que no se corta consigo
misma, limita dos dominios separadosCulaquier científico, ingeniero
o estudiante, con su ingenua honradez mental, considerará el
esfuerzo para probar un teorema tal como un ejercicio innecesario,
autoimpuesto, casi masoquista. Sin embargo, al escribir su clásico
texto de análisis, Jordán sintió fuertemente la necesidad de una
demostración y la presentó. Una prueba de lo delicado del problema
es el hecho de que la demostración de Jordán resultó no ser
completamente correcta. Similarmente, nadie dudará de que la
dimensión de una figura bi o tridimensional se mantiene invariable
frente a cualquier deformación continua. Empero, la prueba precisa
de este hecho, con la hipótesis general de una mera continuidad
abstracta, se tiene como una de las mayores conquistas de
Brouwer.
Es posible, por supuesto, evadirse.de algunas de las
dificultades en la noción de continuidad restringiendo el grupo de
deformaciones coniinuas —exigiendo, por ejemplo, "suavidad" o
diferenciabi- lidad en lugar de continuidad pura. Ésto se hizo con
gran, éxito. La topología diferencial, como se la llama, ha
alcanzado recientes resultados sorprendentes. Investigaciones de
deformaciones conducidas bajo el requerimiento de suavidad
"razonable" han producido clasificaciones significativamente
diferentes de estructuras topológicas que estarían sometidas a un
régimen de continuidad completamente general.
no
1 interior y el exterior—.
por
empeza- agu-
zar sus herramientas para engarzar los productos de la intuición
geométrica en vista de la precisión de la matemática moderna —sin
destruir su convincente belleza.
Esta tarea fue realizada casi individualmente en las primeras
décadas de este siglo por el matemático holandés L. E. J. Brouwer.
Gracias a su gigantesco esfuerzo, la topología es ahora tan
accesible al tratamiento riguroso como la geometría de Euclides, y
sus avances prosiguen en el sólido terreno de un razonamiento
lógico impecable.
En el centro de las dificultades que debió enfrentar Brouwer
estaba el dilema presentado por el concepto de continuidad.
Cualquiera tiene una firme idea intuitiva de lo que es continuidad,
por ejemplo, la suavidad de una curva. Pero el estudiante
principiante de análisis pierde muy pronto su seguridad cuando
intenta encerra - la continuidad en una formulación matemática
precisa. La dificultad es inherente a la tarea porque la intuición
geoméirica de continuidad y el concepto matemático lógico no se
equiparan perfectamente. La definición rigurosa lleva a la
superficie todo un conjunto de casos, quizás marginal, en que con
oaradojas se confunde a la intuición. Es fácil construir, por
ejemplo, curvas continuas (en el exacto sentido de la definición)
que no tienen longitud, que en ningún punto tienen tangente o que
se encellan sin cortarse dentro de un cuadrado. de modo que lleqan
a encerrar arbitrariamente a cualquier punto dado del cuadrado.
Tales extrañas- consíruccio-
destacan la necesidad de un cuida-
!
I
Estos desarrollos deben también- ser recibidos como indicadores
de una saludable desviación de la tendencia hacia una generalidad
ilimitada. Desde las conquistas de Cantor en la teoría de los
conjuntos, en las últimas décadas del siglo XIX, esta tendencia ha
estado ocupando muchas mentes matemáticas. Algunos grandes
matemáticos, especialmente Poincaré, la han combatido agudamente
como
amenaza para la matemática, en
I
nesdoso razonamiento en las demostraciones de las propiedades
topológicas de las superficies o de otros objetos sometidos a
deformaciones complejas continuas.
A esa necesidad no es intuitivamente visible para el no
topologisia. Conside-
unapariieular, porque conduce a paradojas insolubles. Si el
criticismo militante de Poincaré ha probado ser excesivamente
restrictivo y *aun reaccionario, no fue
118 - - 119-
-
tinciones de clase de esta índole son en el mejor de los casos
el síntoma de las limitaciones humanas que evitan que muchos
individuos vaguen a voluntad sobre vastos campos de interés.
Aunque la sustancia de la matemática es indivisible, deben
reconocerse claras diferencias en las actitudes que el mismo
científico o diferentes científicos pueden aportar a un problema.
La actitud del purista, que cada mente científicamente inclinada
adoptará por lo menos alguna vez, exige perfección intransigente.
No se puede tolerar ninguna laguna ni deficiencias en la solución
de un p’oblema y el resultado debe fluir de una cadera
ininterrumpida de razonamientos sin tacha. Si el intento encuentra
obstáculos insalvables, entonces el purista se inclina a replantear
su problema o reemplazarlo con ofc'o cuya dificultad pueda ser
capaz de dominar. Puede aun "resolver" su problema volviendo a
definir lo que él entiende por solución, esto es, en realidad, un
paso preliminar no fuera de lo común hacia una verdadera solución
del problema original.
En el caso de la investigación aplicada, la situación es
diferente. En prime- lugar ,el problema no puede ser libremente
modificado o evitado; lo que se desea es una respuesta aceptable,
humanamente confiable. Por tanto, si es necesario, el matemático
debe aceptar componendas; debe estar dispuesto a interpolar
suposiciones en el curso del razonamiento y a hacer concesiones
frente a la inseguridad de la evidencia numérica. Pero aun el
estudio de motivaciones más prácticas —el análisis, por ejemplo,
del flujo con discontinuidades de choque— puede requerir una
investigación matemática fundamental para descubrir cómo plantear
la cuestión. Pruebas teóricas de existencia pueden, también ser
importantes en la investigación aplicada; justificar que una
solución existe puede dar la seguridad necesaria de la pertinencia
del modelo matemático. Por fin, la matemática aplicada está
dominada por la aproximación; no puede escaparse de ésta cuando se
intenta reflejar los procesos físicos en modelos matemáticos.
Dirigir el traslado de la irealidad a los modelos matemáticos
abstractos y apre-
(Sigue en la pág. 130)
menos saludable porque alentó a los matemáticos constructivos
interesados en temas específicos y asibles.
Variadas motivaciones, en ios mismos individuos o en personas
diferentes, inspiran la actividad matemática. Por cierto que por
tener grandes partes de la matemática, especialmente el análisis,
raíces en la realidad física, proporcionan poderosa motivación e
inspiración. La situación con respecto a otros dominios de la
realidad no es muy diferente. En la teoría de números y el álgebra,
la actividad matemática es la intrigante realidad del mundo de los
números, tan profundamente inherente a la mente hu mana. Todavía
más apartada de la realidad física, podría pensarse, es la realidad
de los procesos lógicos implicados en el pensamiento matemático.
Sin embargo, las ideas básicas del trabajo esotérico en la lógica
matemática han probado su utilidad para la comprensión y aún para
el diseño de las máquinas computadoras automáticas.
En resumen, la matemática debe Inspirarse en la sustancia
específica concreta y apuntar de nuevo a algún, estrato de
"realidad". El vuelo hacia la abstracción debe ser algo más que una
mera evasión; la partida desde el suelo y el regreso son ambos
indispensables, aun si el mismo piloto no puede cumplir siempre
todas las etapas de la trayectoria. A menudo la sustancia de la
empresa matemática más pura puede ser provista por la realidad
física tangible. Que la matemática, una emanación de la mente
humana, sirva tan eficazmente para la descripción y la comprensión
del mundo físico, es un hecho estimulante que con justicia ha
atraído el interés de los filósofos. Sin embargo, dejando de lado
las cuestiones filosóficas, el ocuparse de cuestiones físicas o el
no ocupa.-se de ellas, no puede ser adoptado como criterio para
distinguir entre las clases de matemáticas o de matemáticos.
Ninguna línea nítida puede, en realidad, trazarse entre la
matemática "pura" y la “aplicada". No debe haber una clase de
supremos sacerdotes de una belleza matemática sin adulteraciones,
exclusivamente responsables de sus propias inclinaciones, y una
clase de trabajadores que sirven a otros amos. Las dis-
panorama—Dos reuniones de la CIEMEM
La Reunión de Digne (*)sus
Fue la XVÜ* Reunión de la CIEMEM y se celebró en agosto de 1963.
El tema de la convocatoria era: "Reconstrucción de la matemática en
la enseñanza a alumnos de 10 a 18 años". Asistieron representantes
de Alemania Occidental, Bélgica. Congo, Dinamarca, España, Francia,
Luxemburgo, Italia, Marruecos, Suecia, Suiza y la Unesco, presidió
el profesor G. Papy.
De acuerdo con el tema establecido, los participantes procuraron
determinar los principios para la elección y la agrupación de los
asuntos que deben considerarse básicos en una enseñanza
reconstruida, procediendo después a la fección de una lista de
tales asuntos y a la elaboración de una metodología adecuada.
El debate fue iniciado por el profesor A. Revuz; hubo
asentimiento unánime en colocar el estudio de los conjuntos y de
las relaciones en la base de la enseñanza, y se reconoció la
importancia fundamental de los espacios vectoriales y del álgebra
lineal. Se convino en la necesidad de que desde el principio y en
forma continuada el alumno se acostumbre a percibir las grandes
estructuras de modo que al llegar a los 18 años piense
“linealmente". La estructura del espacio vectorial deberá ser la
meta de un esfuerzo comenzado con el reconocimiento de grupos
familiares como el* de los enteros o el de las traslaciones.
También se concordó en que las primeras nociones sobre
probabilidades deberían impartirse en la escuela primaria.
En cuanto a la geometría, si bien ha perdido su puesto de
privilegio, sigue
siendo un dominio importante de la actividad matemática que da
ocasión para la observación del espacio físico y constituye además
un campo de aprendizaje del razonamiento. Pero ahora se la
estudiará como un modelo matemático después de otros modelos más
sencillos, y ayudará eficazmente a enriquecer el proceso de
matematización.
Se quiere dar al curso de matemática en una escuela secundaria
moderna el papel que le impone el mundo científico en que vivimos;
se quiere, por tanto, que los programas no sólo reflejen las demás
observaciones matemáticas, sino que, además, estén concebidos
basándose en ellas.
A esta altura el debate se ubica en el problema didáctico: ¿cómo
reacciona la mente y la voluntad del alumno ante la enseñanza de la
asignatura? ¿Cómo debe conducírsele para encontrar en la
inteligencia y en las reacciones afectivas de los muchachos de 10 a
18 años a sus mejores aliados en lugar de obstáculos insalvables? O
mejor todavía, ¿a qué condiciones debe satisfacer esa enseñanza
para que responda adecuadamente a la curiosidad intelectual, al
ansia de actividad y a los deseos afectivos del alumno1?
Hasta ahora los trabaos sistemáticos de los psicólogos, aunque
muy concienzudos, y ocasionalmente muy detallados, no arrojan
resultados que puedan aceptarse sin reservas, porque casi siempre
se refieren a conocimientos adquiridos por un alumno de cierta edad
con una pedagogía determinada. Hay que contentarse con resultados
aislados y provisionales debidos a comprobaciones empíricas
extraídas de la propia enseñanza, a la espera de que se haga
realidad la deseada colaboración entre psicólogos y
matemáticos.
Se analizaron las reacciones de los alumnos y, en particular,
las causas del.
i
mo-
con-
(*) Para la redacción de esta nota :nos hemos valido de la
crónica de Juan M. Nachtergaele, S. J., aporecida en el Bulletin de
la A.P.M., de febrero de 1964. (N. de los E.)
- 120 -- 121
-
i
ción, función, permutación. Cardinales. Análisis
combinatorio.
D. Estructuras algebraicas
VI, Probabilidadesbloqueo afectivo, muchas veces comprobado,
frente al etudio de la matemática. Frecuentemente, la reacción
negativa del profesor ante los errores de razonamiento y las
imperfecciones del lenguaje del alumno, al mismo tiempo que
desarrolla en él un sentimiento de impotencia, un complejo de
inferioridad ante situaciones presentadas prematuramente o tratadas
con excesiva precipitación porque erróneamente se suponen
adquriidas y dominadas.
La ausencia del concepto dé probabilidad, del suceso aleatorio,
en la formación del alumno, proporciona un esquema mutilado de la
realidad física y humana. Por lo demás, las nociones básicas de
esta teoría son perfectamente accesibles a los alumnos secundarios.
;
Finalmente, la teoría de la medida es' una aplicación inmediata
y muy sugestiva del álgebra de Boole; integrada en este contexto
pierde su aspecto misterioso y, sin embargo, es perfectamente
rigurosa.
El punto de partida para el estudio de una noción será siempre
una noción familiar convenientemente elegida de la cual el alumno
procurará extraer la estructura correspondiente. Este proceso de
matematización de situaciones constituye la etapa fundamental del
aprendizaje. Uno de los resultados será la definición correcta del
objeto a partir del cual puede desarrollarse el estudio matemático
en sentido estricto mediante teoremas y demostraciones rigurosas.
Se comprende que la corrección y el rigor admiten diferentes
niveles en correspondencia con la edad mental de los alumnos.
La última etapa de la enseñanza consistirá en un retorno a lo
concreto aplicando los resultados obtenidos a los problemas que lo
reclaman.
Definición. Repartición discreta de la unidad. Espacio de
pruebas. Inter
sección, reunión, complementación. Probabilidad condicionada.
Producto de espacios de prueba. Distribución binomial. Algunos
ejemplos de estadística.
Es importante insistir sobre la interdependencia del estudio de
las estructuras y la edificación de la geometría. Aquéllas serán
empleadas a medida que se elaboren los elementos de la geometría y
de las probabilidades; la introducción progresiva de las nociones
geométricas proporcionará situaciones concretas de las que se
extraerán algunas estructuras.
Se observa que los temas se reparten en dos sectores: en el
primero se recogen las estructuras; en el segundo se presentan tres
dominios matemáticos importantes.
La geometría ofrece estructuras muy ricas. Sigue ocupando, como
se ha dicho, un lugar destacado por su relación con las estructuras
cuya creación por el alumno se logra a partir de una base menos
especializada. Además, es fundamental para la percepción del
espacio físico.
Por su parte, el estudio de la probabilidad va logrando el
puesto que por sus abundantes aplicaciones y por su papel en la
formación mental, le corresponde.
masaLeyes de composición.Grupos: grupo de las permutaciones de
conjunto. Ejemplos de grupos: grupos
de las permutaciones; grupos cíclicos; Z, +; R, -f; R'o. •; Q.+;
Q«. •;P A; grupo
un
(E)de las traslaciones y grupo del plano puntual, grupo de las
isometrías, grupo de los movimientos; grupo de las traslacio-
homotecias. Subgrupos. Cálculo yPor último se trataron dos
factores de
poderosa influencia en el terreno escolar: libros de texto y
exámenes. Se reconoció que los manuales no pueden ser perfectos
poique, por una parte, deben contener definiciones y enunciados
claros y precisos y, por otra parte, aproximaciones y rodeos
necesarios para la captación progresiva de los conceptos. En cuanto
a los exámenes, es indudable que contribuyen en gran medida al
bloqueo afectivo del alumno; pero todavía no se ha encontrado el
sistema ideal.
Al margen de la discusión se escucharon informes de los
profesores Ibarra (España), Christiansen (Dinamarca) y Hasta- ad
(Suecia) sobre renovación de programas y experiencias realizadas en
sus respectivos países. La señora F. Papy expuso una introducción a
los números reales y los profesores Delmotte y Liévens, la
enseñanza de la geometría a alumnos de 13 a 14 años, tal como ellos
la han practicado en Bélgica. Además, se decidió consagrar
ulteriores trabajos a la enseñanza primaria, merecedora de la mayo"
atención.
Como síntesis de la reunión se concretó la siguiente lista de
temas que la CIE- MEN aconseja para alumnos de 11 a 16 años,
entendiéndose .que el orden en que se exponen no corresponde a una
jerarquía de valores ni responden a ,una exigencia pedagógica.
nes yecuaciones en un grupo. Isomoifismo.
Anillo. Factoreo en Z y en R(x).Espacio vectorial sobre R.
Ejemplos.:
espacio vectorial de los polinomios, del plano y del espacio; de
las compras; de las funciones; de las ecuaciones lineales.
Combinaciones lineales. Subespacios vectoriales. Partes
generatrices. Base. Cálculo en un espacio vectorial.
Transformaciones. Formas lineales. Sis temas de ecuaciones
lineales.
III. Espacios métricos
Distancias. Bolas. Continuidad. Normas y distancias en Rn.
Diferencial y derivada.
IV. Geometría
Plano. Punto. Recta. Paralelas. Orden sobre la recta.
Proyecciones y orden. Equipolencia. Grupo de las traslaciones y
grupo del plano puntual. Grupo de las traslaciones y de las
simetrías centrales. Graduación y subgraduación de la recta.
Primera aparición del concepto de número real. Teorema de Tales.
Grupo aditivo ordenado de los números reales. Homo- tecias. Grupo
multiplicativo de los reales no nulos. Cuerpos de los reales y
espacio vectorial del plano puntual.
Perpendicularidad. Simetrías axiales; composición. Grupo de las
isometrías. Grupo de los movimientos. Grupo de las rotaciones de
centro dado. Distancia. Angulo. Producto escalar. Teorema de Pi-
tágoras. Elementos de trigonometría, Semejanza.
V. Elementos de la teoría de la medidaArea. Volumen.
ooo
OberwolfachLa Reunión deM. VAN BLEYENBERG (Gcmbloux;
Bélgica)
Fue la XVIII9 reunión de la CIEMEM y la presidió el profesor G.
Papy.
Los trabajos fueron expuestos del 9 al 16 de agosto de 1964. Los
participantes, en su mayoría profesores de enseñanza secundaria,
provenían de distintos países europeos: Francia, Suiza, Italia,
Alemania Federal, Dinamarca, Holanda, Luxemburgo y Bélgica.
Originalmente, esta reunión fue organizada para profesores de
enseñanza secundaria, pero se vio realzada por la participación de
profesores universitarios, matemáticos o psicólogos. Fue a la
vez
una reunión de personas —fuente de fructíferos y numerosos
contactos— y uña reunión entre la psicología y la matemática.
He aquí los temas desarrollados en el transcurso de las
jornadas:
—Importancia de la contribución de la psicología en la enseñanza
de la matemática moderna.
—Datos actuales de la psicología de la inteligencia.
—Estructuras perceptivas y estructuras operatorias.
—Aspectos psicológicos del aprendí-
I. Conjuntos
Pertenencia. Conjunto de las partes de un conjunto. Producto
cartesiano. Intersección, reunión, diferencia. Enlace con la
lógica. Partición.
Relacion.es. Recíproca de una relación Composición de
relaciones. Relaciones particulares: equivalencia, orden,
aplica-
- 122 - - 123
-
s.
cebir esa transacción según su propia situación, pero se ha
recalcado la necesidad de cada profesor de estar al corriente y de
conservar o modificar su enseñanza según su criterio, en el marco
de grama no necesariamente demasiado restrictivo.
Es necesario descargar al profesor de tareas administrativas a
veces fastidiosas e inútiles (problemas de organización, de
horarios,. ) para que pueda seguir ala matemática en plena
evolución.
—Al lado de ramas tradicionales y temas clásicos, deben
introducirse, cada vez más, materias nuevas, a menudo en reemplazo
de otras menos adecuadas, como la trigonometría esférica; nos
referimos el cálculo de probabilidades y la estadística, el álgebra
de Boole (numeración binaria,. ), las funciones lógicas, etc.
—La estadística tiene importancia en el enálisis de los
resultados de “tests" (para una apreciación aproximada del papel de
los diversos tipos de cuesiiones, corrélacicn entre esos tipos,. .,
en las indicaciones para el dominio de las estructuras mentales y
ulteriormente para el empleo de esos conocimientos en
pedagogía).
—La psicología del profesor tiene tanta impo'tancia corr.o la de
los alumnos; ése es el papel de una psicolo- aía “sociológica".
* Retomando a la importancia de les rociones de estructuras
algebraicas (ampo, anillo, cuerpo, campo, ^señalemos en el alumno
la frecuente confusión de las estructuras aditivas v
multiplicativas. Ocurre incluso en loa candidatos a bachilleres que
la adición y la multiplicación son mol empleadas, sobre todo si
esas dos operaciones aparecen simultáneamente (mal empleo de los
pa'énte- sis, por ejemplo). Un buen conocimiento de las estructuras
algebraicas consideradas fundamentales, que el método moderno trata
a la vez de hacer muy accesible y muy profundo, evitaría tales
situaciones.
—Parece que la “matemática mode-- na" recurriera más a las bases
psi- colóaicas propias del alumno aue la 'matemática clásica"; esta
última emplea algunas veces, sin tener la intención, bases físicas
o de forma. Por
—En la enseñanza clásica sucedía frecuentemente que ciertos
alumnos fracasaban únicamente en matemática. La experiencia belga
hecha con unas 200 clases, muestra que el alum-
flojo en matemática (moderna) lo es también en otras
asignaturas; lo mismo ocurre con los alumnos brillantes. En esto no
parece haber prácticamente ninguna excepción.
—La “matemática moderna" aparece en general como netamente menos
desagradable a los alumnos que la antigua. Los buenos resultados se
explican también por una participación más inmediata de los alumnos
en la materia enseñada.
—La estructura algebraica de grupo corresponde a una disposición
fundamental en el dominio mental. Esta noción se enseña con éxito
a'alum- nos de 12 años con el método moderno y no es en absoluto
considerada con el método clásico.
—Se haría un buen control mediante• “tests" matemáticamente
isomorfos,
pero de aspectos y presentación muy diferentes.
—La enseñanza moderna parece despertar en algunos la
inteligencia, de manera explosiva.
—Parece preferible dar una enseñanza moderna de la matemática
antes que una enseñanza de la “matemática moderna".
Cuardo se examina un ciclo completo de humanidades, el método
clásico y el método moderno debieran dar los mismos conocimientos
con pocas excepciones, por más que los puntos de vista sean muy
diferentes: las escuelas superiores y la vida corriente lo exigen.
La adquisición por los métodos modernos parece más profunda.
—Debe señalarse un peligro cuya incidencia práctica no puede
escapársenos: es el pasaje de un alumno de un sistema a otro en el
curso de los estudios. El alumno se hallará completamente
desconcertado, sino definitivamente, ante un cambio tan
radical.
Conviene, pues, en la enseñanza de la matemática, llegar a una
transacción justa entre lo clásico y lo moderno. Se ha dejado a
cada uno la tarea de con-
zaje matemático. Papel de la afec-‘‘ tividad.—Psicología interna
dé la matemática
' de hoy.—Problemas psicológicos planteados
por el estudio activo dé las estructuras matemáticas.
—Investigaciones psicológicas importantes para la enseñanza.
Los trabajos se presentaron bajo dos aspectos:
a) Una información y, por tanto, un mejor conocimiento recíproco
de las disciplinas psicológica y matemática. El estudio de la
matemática produce incontestablemente “impresiones" en el cerebro;
de ahí la importancia del aspecto psicológico.
b) Una actualización del psicólogo, por una parte, en cuanto a
los “tests" que debe emplear para el registro de las nociones
matemáticas (se ha aconsejado el rechazo de ciertos “tests" en
desuso o inadaptados); del matemático, por otra, especialmente del
pedagogo de la maiemática, en cuanto a los métodos de enseñanza a
la luz de los datos psicológicos.
Hubo igualmente cierta “oposición" entre los partidarios de la
"matemática moderna" y los de una matemática más clásica. Se
hicieron diversas observaciones aue intentaremos sintetizar:
—Ninguno de los dos sistemas es rigurosamente perfecio.
—La “maiemática moderna" parece más cercana a las estructuras
psicológicas del individuo.
—El desarrollo del pensameinto matemático en el niño es muy
diferente del desarrollo histórico de esa disciplina que la
enseñanza “clásica" tiende demasiado a seguir.
—No debe haber “matemáticas antiguas" y una “matemática moderna"
sino una sola disciolina. El oroble- ma consiste en si debe
enseñársela “a la manera clásica" o “a la manera moderna” o según
ambas.
Observemos que la tendencia general es usar el vocablo
“matemática" en sin- aular, como lo hacen por ejsmplo los alemanes:
“die Mcdhematík": es*o se h'-'ce oara destacar la unidad de dicha
ciencia del mismo modo que la física, la química...
ejemplo, una figura bien trazada sugerirá ur.a demostración o
propiedades, geométricas; en seguida, empleada erróneamente, ese
género de sugerencias puede volverse peligroso y hacer deducir de
una figura algo menos bien trazada propiedades inexistentes. Por el
método moderno, este tipo de error está totalmente excluido;
parece, pues, más seguro (el empleo de los diagramas de Venn
ilustra esta idea).
La “maiemática moderna" se separa más del dominio perceptivo
(“gestalt") para llegar más rápidamente a lo abstracto Un ejemplo
típico es el de los “tests" basados en "ilusiones ópticas", en que
dos segmentos iguales y paralelos, vecinos, provisto uno de flechas
divergentes en sus extremos y el otro de flechas convergentes,
serán considerados no paralelos por la persona que base su
afirmación en su percepción directa. Es peligroso “prolongar" en el
nivel del pensamiento lo que vale en el nivel de la forma, como lo
hacen los psicólogos de la escuela “gestaltista" (“la inteligencia
es la continuación mediaia de lo perceptivo").
Es necesario llegar, y como lo dice el psicólogo suizo Piaget, a
“relaciones conservativas" y no a contentarse con “relaciones
deformantes", las que modifican los términos que vinculan.
Relaciones conservativas del tipo lógico-matemático, que el método
moderno enseña de manera mucho más directa desde el comienzo.
—Los psicólogos subrayan que las estructuras matemáticas están
en parte ligadas a las estructuras psicológicas. Debe hacerse una
distinción en el dominio de la psicología entre el aspecto
neurológico, y químico-fisiológico, por una parte, y el aspecto
fenomenolóaico, ñor otra parte, de la adquisición del
conocimiento.
El aspecto fisiológico está. en la hora catual mucho menos
desarrollado que el aspecto fenomenológico. Sólo este últi-
fue examinado en la reunión; se citaron referencias sobre el
aspecto fisiológico y se subrayó su importancia, que ciertamente es
también arande.
—Papel de la memoria: tiene su importancia, pero parece menor en
el mé-
}
un prono
i
mo
124 - - 125 -
-
/;/
spresenta peligros si no se tienen en cuánta las aplicaciones,
sea en la vida corriente, sea en los estudios ulteriores. Conviene,
en la enseñanza de la matemática, tener en cuenta en gran medida
los aspectos positivos de lo clásico y de lo moderno. Un justo
equilibrio parece ser la mejor solución.
Si se desea una mejor enseñanza de la matemática, la psicología
tiene que desempeñar un doble papel: en la escala individual, para
indicar lo que es más "natural'', más próximo a nuestras
estructuras mentales, para indicarnos la forma más racional de
hacer adquirir la matemática a la luz del doble aspecto psicológico
y fenomenológico del pensamiento; en la escala social, para
establecer las relaciones entre alumnos y con el profesor.
Como se ve, en esta reunión, numerosas cuestiones han sido
planteadas de una parte y otra, por el matemático y el pedagogo, al
psicólogo, y recíprocamente.
todo moderno, que, en alguna manera, muestra a la matemática en
forma "más natural", más próxima a la misma constitución del
pensamiento.
—Papel del condicionamiento: queda, como siempre, subyacente.
Es, pues, primordial evitar los condicionamientos "nefastos" así
como las reacciones automáticas ante el sólo aspecto de las figuras
geométricas, por ejemplo.
A manera de conclusión, diremos que la "matemática clásica" no
toma suficiente conciencia de las estructuras "fundamentales" y
eventualmente se pierde en detalles repetidos para dominios
diferentes que la "matemática moderna" permite reconocer como
isomorfos. Toma de conciencia y economía de pensamiento son dos
caracteres importantes de la matemática de hoy. Más natural, se la
adquiere más fácilmente y se fija de manera más profunda.
Sin embargo, la enseñanza de una matemática moderna", muy bello
ideal,
CUESTIONES DIDACTICASMedios y técnicas para conceptos de
matemática moderna'*1
i
exponer
GEORGE PAPY(Bruselas, Bélgica)
9.- — BASE GEOMETRICA DE LA TEORIA DE LOS GRUPOS
alumnos que se calcula con los objetos más diversos y no sólo
con números. En nuestro curso de matemática moderna, se calcula en
realidad mucho más que en los cursos tradicionales. Los cálculos
son mucho más variados en él, más inteligibles y muy a menudo
enriquece- dores. Este fenómeno del cálculo evita el fenómeno de
regresión que se comprueba, |ay!, tan grandemente después de las
ejercitaciones tradicionales.
3. — Después de haber definido la suma de dos partes A y B de
x0, -r, se hará construir la suma en las situaciones más diversas y
entretenidas (Ver, p.e., "Mathématique Modeme I", págs. 415/7, y
"Groupes", págs. 71, 86, 102 y 103).
4. — Presentar subgrupos y partes estables de ;r„, ~r (Ver,
p.e., "Groupes".. págs. 46/7).
5. — ¿Cuál es el subgrupo de :r0, 4- engendrado por una parte de
;t„? (Ver "Groupes", Págs. 54, 55, 70, 87).
6. — La misma cuestión para las partes estables de 3t0,+.
7. — La misma cuestión para los grupos estables de tc0, —.
8. — Comparar las nociones de partes estables de . zi0, +, de
partes estables de jr0, — y de subgrupos de jt„, +.
9. — ¿Cuál es el subgrupo de Jt0, + engendrado por -j A, B }■?
En particular, cuando O,A y B están alineados (Este problema está
vinculado con la noción de número irracional y la fórmula de Bézout
para el M.C.D.).
10. — Después de haber definido la noción de grupo-cociente,
dibujar algunos elementos de jt0/S, donde S es subgrupo de 3t0*
(Cf. "Groupes", Pág. 110).
<Desde Klein, la importancia de los gru
pos en geometría es reconocida como un hecho fundamental.
Mientras los grupos no aaprezcan mas que como medio de- iluminar de
manera grandiosa el edificio de la geometría, corren el riesgo de
aparecer ante los alumnos como un lujo no indispensable.
Hoy conviene emplear los grupos desde el principio como elemento
fundamental en la construcción de la geometría.O O O Una vez
designado un punto O de un plano, lodo punto del plano representa
un vector y el plano se estructura como grupo que designamos
inteligiblemente con rr0 ,’ + .
Jamás podrá destacarse bastante la riqueza pedagógica de la
situación :t0, + . Proporciona a los alumnos una base geométrica de
la teoría de los grupos que podrá usar durante mucho tiempo. Esta
situación plantea problemas interesantes en todos los niveles,
desde los cálculos elementales en un grupo hasta los problemas que
hacen íniervenir al M.C.D. o al m.c.m., o aun a la noción de número
irracional.
Limitémonos aquí a enunciar algunos problemas que no constituyen
una lista exhaustiva:
1. — En jr0, +, construir a+b.2. ^— En 7t0, +, resolver la
ecuación
a-!-x=:b (Se calcula con puntos).Es esencial hacer comprender a
los
PROBLEMAS NUMERICOS
La araña y la mosca. La araña dijo a la mosca: “Pasa a mi sala y
a menos que quieras morir, contesta por favor a una pregunlita. He
comido naturalmente muchas moscas, pero díme si le atreves: si las
hembras tuvieran dos patas más y los machos, la mitad de las que
ahora tienen, ¿cuántas moscas de esa clase crees que necesitaría
para obtener el número de patas de moscas que deseo, es decir,
28?
Un milagro en la municipalidad. Víctor se detuvo bruscamente
provocando el disgusto de un anciano que le seguía muy de cerca.
Pero, era demasiada su emoción ante semejante milagro como para
preocuparse de un hombre.
Al llegar a su casa, Víctor se apresuró a contar la novedad a su
esposa. Un poco más tarde, al relatar la historia con toda la calma
de que era capaz, recordó que el minutero estaba tres divisiones de
minuto adelantado con respecto al horario y que ambas agujas
enfrentaban exactamente a divisiones de minuto.
Miró su reloj y luego, nuevamente, el gran reloj de la
Municipalidad. Por increíble que pareciera no cabía la duda, era
cierto: ¡el reloj municipal señalaba Ja hora exacta!
(*) Véase ELEMENTOS, Año II, pp. 99/104. (N. de los E.).¿A qué
hora presenció Víctor este milagro moderno?
- 126 - - 127 -
-
I/
I/
centrales y las iraslac'ones). Se trata, '• pues, de una
situación puramente afín,
pero que, por su simplicidad, es una excelente preparación para
estudiar el
de las. isometrías.
El producto de varias simetrías será representado
análogamente.
Se examina especialmente el caso en que:
S es el subgrupo engendrado por un punto;
S es una recia que contiene a O;S es el subgrupo engendrado po:
dos
puntos no alineados con O.11 — Gracias a los ejercicios
prece
dentes, estructurar como grupo a un neumático, uno de cuyos
puntos set designa con O.
13. — Representar los puntos del grupo precedente por medio de
un reloj de dos agujas.
14. — Estudiar la situación determi-
M1 0)
grupoComo las simetrías son involutivas,
el grupo engendrado por simetrías es simplemente el conjunto de
sus productos. Se trata, pues, de representar de entrada cualquier
producto de simetrías centrales.
Al principio se utilizarán, entiéndase bien, los gráficos,
gracias a los cuales se pn hará, apoyándose en el teorsma de
Tales ,que S».SA = 2AB (Cf. "Mathéma- tique Moderne I". Cap.
23). Muy rápidamente, los gráficos se vuelven embarazosos cuando se
trata de componer muchas simetrías centrales y de formular en forma
gráfica llamativa los principales resultados obtenidos.
El alumno se colocará a un nivel su-
l tí]
to CUA
o
&
nada por un reloj de ti es agujas.Etcétera.Para terminar este
párrafo, limitémo
nos a subrayar que la situación ;t0, + permite introducir de
manera correcta y simultánea el cuerpo de los reales y el plano
vectorial (A este propósito, ver una exposición dirigida a los
profesores en "Frederique 1“).
Figuro I Utilizaremos simultáneamente las convenciones
introducidas en simetrías centrales y ortogonales.
Ejemplos:
£ W-fiM 2]-[í]=a-m=A-Ai• 0)
perior una vez que se haya habituado a representa: el producto
S17.S10.S1r,.. .Si por el simple esquema: El- 0 - M10. — SIMETRIAS
CENTRALES Y SIME
TRIAS ORTOGONALES.Atrayentes exposiciones de la geome
tría métrica, esencialmente fundadas sobre la noción de simetría
ortogonal, han sido hechas por diferentes expositores,
singularmente por Bachmann y Choquet. Hoy es posible enseñar los
elementos de geometría métrica a los alumnos de 13 á 15 años,
adoptando las ideas maestras de esas exposiciones.
Un grupo de trabajo del Centro Belga de Pedagogía de la
Matemática, publicará en breve, dirigida a los profesores, una
exposición de la geometría métrica plana fundada en axiomas
intuitivos y con indicaciones acerca de los métodos didácticos que
deben emplearse con los alumnos. Durante dos años se ha
experimentado con éxito una enseñanza así encauzada. Aquí nos
limitaremos ñalar un medio didáctico eficaz.
Antes de abordar el grupo de las isometrías engendrado por las
simetrías ortogonales del plano y el subgrupo de los movimientos (o
grupo de relaciones y traslaciones) presentaremos la situación más
simple proporcionada por el grupo engendrado por las simetrías
trales del plano (o grupo de las simetrías
• 6. 13• 4 •5 • 12•3 • 10 • 17
(iM2Mo=(i]-0-0=©•15 •7• 11 Figura II
El grupo engendrado por las simetrías centrales es el grupo de
las simetrías y traslaciones.
Con júbilo se reencuentra el ya conocido teorema: El producto de
dos traslaciones es una traslación; pero podemos agregar: El
producto de una traslación y una simetría central es una simetría
central.
Verdaderamente, hemos ascendido un peldaño en la comprensión.
Las demostraciones son con Vicentes, pero demasiado alejadas del
proceso de construcción de la imagen de un punto por el producto de
las simetrías centrales. Se conservará el contacto con éste y se
permitirá a los alumnos construir las imágenes sucesivas de un
punto por las 17 simetrías centrales. Los alumnos, como los
matemáticos, quieren tales confirmaciones.
•/.2
De la fórmula citada más arriba se deduce la proposición
claramente ilus- tada por el esquema de la Fíg. I.
Se sobrentiende que con los alumnos emplearemos el color en
lugar de los signos O, [ ], □, A, O-
En particular
1í
1a se-
2representa la transformación idéntica del plano, e
inmediatamente se ve que el producto de tres simetrías centrales es
una simetría central (Fig. II).
Resultados fundamentales están ahora al alcance de la mano:
. Todo producto de un número par de simetrías centrales es una
traslación.
cen-
128 - - 129 -
-
Iii
11l
2) Iniclation aux spaces vectoriels, 1963:3) Grcupoides (a
aparecer);4) Algébres (a aparecer);5) Matrices el déterminanls (en
preparación);6) Géometrie métrique plañe, con la colabo
ración de un grupo de trabajo del Centro Belga de Pedagogía de
la Matemática (a aparecer).
5. — Artículos aparecidos en “MathemaUca et PedE&ogia";
Papy: Anályse combinatoire; Le produit en géometrie; Suggestions
pour un nouveau programme de mathématique dans la classe ce sixiéme
(12 a 13 años); Suggestions pour un programme experimental de
dnquiéme (13 a 14 oños): de quatriéme (14 a 15 años); pour un
programme de mathématique a l’école nórmale* ¿ardienn-s (15 a 17
añcs); per un programme de mathémntique pour les régents en secMon
mathématique-physique (18 a 20 años): R. Holvcet. Relations,
fonction, elements d’ana- lyse combinatoire; Vtcteurs propes d’une
trans- íormation linéaire; Y. Roch: Un chapitre d’a- ritmétíque en
sixiéme (12 años).
/De esta manera se introducen muy naturalmente las rotaciones y
los retornos. La exposición del método seguido excedería
ampliamente los límites de este informe. Remitimos al lector
interesado a "Frédérique 6".
ORIENTACION—Teoría moderna y aplicaciones
de las probabilidadesREFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS;1. — Premisrs
Eléments de Mathématiques
Mcdcrnes (PAPY). Berkendael. Bruxelles, 1959. Hay versión
alemana.
2. — Gioupes. Presses Universitaires de Bruxelles, 1961.
Ve.siones inglesa e italiana.
3. — Mathématique Moderne*. I. Didier, París, Bruxelles, 1963.
En preparación, versiones en español, inglés y holandés.
4. — Colección “Frédérique’*. Gauthiers, Vi- llars, París;
Presses Universitario de Bruxelles.
1) Géométrie affine plañe et nomb es réeis, con la colaboración
de Debbaut; 1962;
JOAO MARTINS (Sun Pablo: Brasil)!
La presente introducción al estudio cíe las probabilidades
constituye la primera parte de un curso de Física Estadística
dictado en el Instituto Tecnológico de Aeronáutica de Sao José dos
Campos, en San Pable, Brasil. Constituye el fruto de tres años
consecutivos de experiencia didáctica, en cuya elaboración, el
autor procura presentar clara y brevemente: a) las nociones que
caracterizan el comportamiento estadístico; b) las bases
axiomáticas de la teoría moderna, c) el análisis probabilístico
como un método de modelos que consiste en un formalismo matemático
asociado a un criterio de aplicabilidad basado en la noción de
frecuencia relativa.
2. Comportamiento estadístico.
La noción de desorden como ausencia completa de correlación
(idea de caos) que motiva el acto de barajar los naipes y también
la noción de acaso (o comportamiento o estado caótico) que se
presupone en el lanzamiento de dos dados, en la detención de la
ruleta o en la salida de una baraja durante un juego, fueron
ganando terreno como nociones primitivas que habrían de
caracterizar al proceso estadístico.
Naturalmente, la idea de que un cierto resultado ocurriría al
acaso al tirarse una carta, al lanzarse los dados o el pararse la
ruleta espontáneamente, implicaba que:
a) los naipes fuesen indistinguibles cuando se los observara por
el dorso
t
i
O O O
CRUCINUMEROROSARIO RUSSO (h.)
(Santiago dol Estero)
CUADROS VACIOS: le. Id. 3b. 3c. 4a, 4f, 5c. 5d, ób, 6e.
I - NOCIONES PRIMITIVASDIAGONALES: la, seis primeras cifras de
ST;.'lf, seis primeras .cifras de e. .
1. Origen del cálculo de probabilidades. y estuviesen bien
mezclados; esto es, no se tuviese ninguna idea delHORIZONTALES: la,
el producto es 15; le, 11 F log
10; 2a, la suma es 20; 3c, número primo: 4b, la suma es potencia
de 2; 5a, log 10 ’; 5e, número primo; 6c, raíz de la ecuación 8x —
100“7x — 18.
De acuerdo con la historia de las ciencias, el cálculo de
probabilidades se originó en Europa a mediados del siglo XVIII. En
la sociedad de esa época —particularmente en Francia—, el juego
movilizaba a muchas personas y una cantidad considerable de dinero.
El enorme interés en tomo de los llamados juegos de azar, tales
como los de naipes, de dados o de la ruleta, desafiaba a los
espíritus agudos a descubrir un método racional para prever las
posibilidades de
cierto juego de azar, un ju-
orden en que se encontraban en el mazo;
b) los dados estuviesen bien balanceados;
c) la ruleta tuviese perfecta simetría, de forma y de
comportamiento, con respecto a su eje de rotación.
i
VERTICALES: la, derivada de y~3ó,5.x'0 para x=l; Ib, raíces de
la ecuación x2—6x + 5=0 en orden decreciente; le, el séptimo número
primo, lí, tres primeras potencias sucesivas de 2x-hl:í; 2c, doce
docenas y un tercio; 2d, lím 422 para x—►0,5; 4b, quinta potencia
de 2; 4e, factor común de 9x—180y-f- 135z,- 5a, m.c.m. de 2, 3, 6 y
9; 5f, 20-f-cos‘^\
El problema de una satisfactoria uniformidad en el dorso de las
cartas era realizable y un examen visual minucioso podría controlar
suficientemente esa cualidad en los mazos. Entretanto, en los
de los dados y de la ruleta, ¿cómo
i
i que, en un gador predeterminado —la banca, por ejemplo—
ganase. Refiere la historia que De Meré, un apasionado por el
juego, habría llevado a Pascal algunos problemas relacionados con
esos juegos. Entre los matemáticos amigos de Pascal destacóse
Fermat por los estudios que realizó al respecto.
ficas disponibles. Tal es, en parte, la naturaleza de la
aventura intelectual y la satisfacción experimentada por el
matemático que trabaja con ingenieros y naturalistas para dominar
los problemas 'reales" que surgen en tantos lugares a medida que el
hombre extiende su conocimiento y su dominio de la naturaleza.
casosse podría controlar la cualidad exigida? Saber si un dado
estaba bien balanceado, si una ruleta era satisfactoriamente
simétrica envolvería un nuevo método de análisis: el método
estadístico. En ri-
saber si un dado está bien
(Viene de la página’ 120)
ciar el grado de aproximación alcanzable reclama sensibilidad
intuitiva aguzada por la experiencia. A menudo puede también
implicar el planteo de problemas matemáticos genuinos que son
demasiado difíciles de resolver con las técnicas cientr
gor, parabalanceado hay que recurrir a la expe-i
- 131- 130 -
-
No verá , nada tiene que ver con la noción científica de
probabilidad. Hay que tumbrar, pues, al estudiante a las
implicancias intuitivas que llevan en sí naturalmente las nociones
primitivas sobre las cuales se asienta el método proba-
bilístico.
ases", "cada jugador con un siete", ‘un jugador con cuatro
cartaq de trébol", etc., son ejemplos de eventos.
6 ) Una caja contiene un gran número de tornillos buenos.
Mezclados con ellos existen algunos defectuosos. Se retiran diez al
acaso (operación estadística). Eventos son: "todos los tornillos
ietirados son pertectos", ."entre los diez hay dos deiectuosos",
etc..
79) Un contador de partículas cargadas es empleado para examinar
una radiación cósmica. Los impulsos se presentan distribuidos al
ocaso en el tiempo. "Por lo menos un impulso en un segundo, después
de un impulso cualquiera", "ningún impulso en un segundo, después
de un impulso cualquiera", etc., son también ejemplos de
eventos.
La noción de aventó, por lo ianto, implica la caracterización de
un hecho, pero no su ocurrencia. El hecho en sí caracteriza al
evento, ocurra o no.
rienda: lanzarlo un gran número de veces y anotar los resultados
respectivos.
Designando con: N„, el número total de lanzamientos; Nt, el
número de veces que sale la cara "uno"; N>_. el número de veces
que sale la cara "dos"; y así siguiendo, se tiene
necesariamente:
Nu ~ Ni y N: -f ... + IMo For ouo laao, se nene tamoien.
Ni ---------b di*' Nj = — ~b d-_.; ... Ny =
presión Ni — — -j~ ^í, ^ • b
. 0. acos-N0
se pueda despreciar di frente a —6
En la práctica puede establecerse uno graduación para la
equivalencia estadística. Entonces se dice que las seis caars del
dado —o las dos caras de una moneda o los números de una ruleta—
son estadísticamente equivalentes dentro del desvío AN, si
3. Evento.
La noción de evento es también primitiva. En la teoría de
probabilidades, EVENTO no itene el significado vulgar de algo que
ocurre, de algo que sucede. No. EVENTO es un. elemento que deriva
de un proceso estadístico. Es un posible resultado o conjunto de
resultados de una operación de naturaleza estadística, realizable o
simplemente idealizable con fines de análisis. Algunos ejemplos
caracterizarán mejor el sianificado de EVENTO
l9) Al lanzamiento de un dado —operación estadística— están
asociados va-
D uN0 ¡~J + dú < | AN ¡
N„/6El comportamiento estadístico encierra
la noción de ACASO, que es considerada como elemento
primitivo.
Como la teoría de las probabilidades constituye un método formal
de tratamiento aplicable a problemas o al estudio de fenómenos, que
se dicen de naturaleza estadística, no podría ser concebida sino en
términos de elementos abstractos. Así como el raciocinio geométrico
euclidiano se desenvuelve en términos de abstracciones, como el
punto, la recta, el plano, también la teoría de probabilidades se
desarrolla a partir de abstracciones. Aliada al raciocinio
matemático sólo se desenvuelve a través de entes formales;
constituye un método de tratamiento de ciertos modelos de
comportamiento llamado estadístico, a partir de elementos
ideales.
Habituados tempranamente a las formes geométricas, vamos
gradualmente adquiriendo las nociones de geometría y, cuando
adultos, casi nunca nos damos cuenta de las dificultades —muchas
veces inadvertidas— con que nos enfrentamos en su elaboración
mental. Estamos, por decir así, familiarizados con la abstracción
geométrica. No es de sorprender, pues, que el estudiante encuentre,
desde el principio, alguna dificultad en acostumbrarse al
razonamiento, probabilístico, a la noción de comportamiento
estadístico. De hecho, en nuestro estilo de cultura, el
razonamiento científico probabilístico está mucho menos presente en
nuestra vida cotidiana que la geometría eucli- diana.
Ordinariamente, la idea vulgar de pro- oabilidad, contenida en
la expresión típica "probablemente mañana no lb-
áonde N¡ ^ 0 y d¡ es un número relativo
0
N0tal que: —
6De hecno, una cara "i" puede: a) No aparecer nunca en los N„
lan-
N0zamientos. Por eso, Ni = 0 = —
i
oNo+ d¡ .’. db
rios eventos: "Cara uno", "cara dos", ..., “cara seis", "cara
impar", "cara par", "cara de número divisible por 3", "cara de
número primo", etc.
2°) Al lanzamiento de una moneda una única vez están asociados
dos eventos: "cara" y "cruz". (Una moneda ideal nunca queda de
canto.)
39) A la operación o experimento de lanzar tres veces
consecutivas una moneda, de caras "a" y "b", están asociados ocho
eventos, que representan todos los resultados posibles:
Con el primer lanzamiento: "a" o "b"; con el segundo- "aa",
"ab", "ba" o "bb";
el tercero: "aaa", "aab",
4. Evento simple y evento compuesto.
Una experiencia estadística idealizada —cuyos resultados no
presenten ambigüedades— comprende un cierto conjunto de resultados
indescomponibles que se denominan EVENTOS SIMPLES.
Ejemplos: El lanzamiento de un dado comprende seis resultados
indescomponibles representados por las seis caras. El lanzamiento
de un dado por dos veces consecutivas comprende 36 eventos simples
representados por los sub-índices dobles de los elementos de la
matriz cuadrada A = ;ia,j|| (i = 1, 2, ... 6; j = 1, 2, ... 6).
Pero en esa experiencia, el evento "suma 5" contiene los cuatro
eventos simples siguientes: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Se dice
que el evento “suma 5" es descomponible en cuatro eventos simples,
constituyendo así un EVENTO COMPUESTO.
Ejemplos: En el juego de "poker" —con 52 cartas—, cada jugador
recibe cinco cartas el evento "cinco cartas de trébol" comprende
tantos eventos simples como combinaciones se pueden hacer con trece
cartas tomándolas de cinco en cinco;, por lo tanto "cinco cartas de
trébol" es un evento compuesto. "Cinco personas
b) Aparecer en todos los N0 lanza
mientos, lo que da: Ni No= N = — 6
- -i Nc 6 6N„
d^ .’. d = Nn -
Como necesariamente ^ N, = N,„i = i
resulta:
2 (—°'+ di) = N„ + 2 di = N.„¡ = i 5 i = l
1 = !de donde Ü dj = 0.
"aba",i = i con"abb", "boa", "bab", "bba" y "bbb",
todos los resultados posibles.Estar bien balanceado el dado
signi
fica que todas las caras son equivalentes en ese proceso. En tal
caso se dicen que son estadísticamente equivalentes.
La equivalencia ideal sería satisfecha
si: límN0 - GO No
En la práciica hay que contentarse con el criterio de
"satisfactorio". El hecho de estar el dado satisfactoriamente
balanceado se traduce por la desigual-dad ¡ d¡ | <
bN0 represenia un número natural suficientemente grande para que
en la ex-
que son4o) Por una carretera pasan vehículos
de carga y de pasajeros en los dos sentidos. Desde el punto de
vista estadístico constituyen eventos: "el pasaje de "x" vehículos
de pasajeros y "y" de carga
sentido dado y en un intervalo el pasaje de
lo menos dos vehículos de pasajeros
Ni 1— , i = 1. 2, ... 66 en un
de tiempo también dadopordespués de uno de carga, en cualquier
sentido"; y así siguiendo.
59) En una mesa de "poker" hay cuatro jugadores y cada uno
recibe cuatro cartas (operación de naturaleza estadística). "Dos
jugadores con un par de
, i = 1, 2, ... 6; donde:
- 133 -- 132 -
¡
-
daltónicas" en una nómina de 50 hombres y 50 mujeres cuyos
nombres fueran tomados al azar de la guía telefónica, constituye un
evento compuesto que contiene como eventos simples: 5 hombres; 4
hombres, 1 mujer; 3 hombres, 2 mujeres; 2 hombres, 3 mujeres; 1
hombre, 4 mujeres; 5 mujeres.
En fin, se dice que un evento compuesto es un conjunto de
ciertos eventos simples.
Si las cajas no de distinguiesen, lo& casos posibles serían
apenas cuatro:-
I. "a", “b" y “c" en una misma caja.II. “a" y “b" en una caja y
“c" en
la otra.III. “a" y “c" en una caja y “b" en
la otra.IV. “b" y “c" en una caja y "a" en
la otra.Si tanto bolas como cajas fueran in
distinguibles, se tendrían apenas dos modos posibles de
distribución:
I. Las tres bolas en una misma caja.II Dos bolas en una caja y
la ter
cera en otra.
7 Punto de ocurrencia. - Espacio de eventos.
“espacio de eventos" que contiene los seis puntos representados
por las seis caras. 2?) Al experimento de disponerse 3 bolas
distinguibles en 2 cajas también distinguibles, está asociado el
“espacio de eventos" que contiene los 8 puntos de ocurrencia vistos
antes. En este espacio, el evento “exactamente dos bolas en la caja
A" tiene los puntos: “ab" en A, “c" en B; “ac" en A, “b" en B; “be"
en A, “a" en B. Son tres y solamente tres, por tanto. Pero el
evento “dos bolas en ua caja" contiene seis puntos: “ab" en A, “c"
en B; “ac" en A, “b" en B; “be" en A, “a" en B, “a" en A, “be" en
B; “b" en A, “ac" en B; “c" en A, “ab" en B. 39) Al experimento de
disponer tres bolas indistinguibles en dos cajas distinguibles A y
B, corresponde el “espacio de eventos" con cuatro puntos: 3 bolas
en A; 3 bolas en B; 2 bolas en A y 1 en . B; 2 bolas en B y 1 en A.
4o) Al experimento de disponerse 3 bolas indistinguibles entre sí,
en dos cajas también indistinguibles, corresponde el “espacio de
eventos" con dos puntos apenas: 3 bolas en una caja; 2 bolas en una
caja y 1 en la otra.
La teoría de probabilidades se inicia con las nociones
primitivas de:
a) punto de ocurrencia (“sample point" en inglés);
b) espacio de eventos (“sample space" en inglés).
Observación: “Sample point", literalmente traducido al español
'sería “punto muestral", como aparece a veces en el lenguaje de la
estadística del control de calidad. Para servir de modo general a
la teoría de probabilidades, que apenas se aplica a las técnicas
del mues- treo, me parece conveniente la adopción de' un término
que no sugiera aspectos particulares del método probabilístico.
“Punto de ocurrencia" parece prestarse bién, en términos de
representación de conjuntos, para asumir el significado de
“resultado posible de un experimento de naturaleza estadística".
Podría llamarse también “punto de evento"; mas esta denominación
tendría el defecto de aportar’ una idea de algo singular. En la
mayoría de las veces, entretanto, “punto de ocurrencia" se referirá
a un resultado posible perteneciente simultáneamente a más de un
evento. Por ejemplo, el resultado “cara seis" en el lanzamiento de
un dado, pertenece simultáneamente a los eventos: “cara seis",
“cara par", “cara divisible por 3", ;.. En tales circunstancias, me
parece, sería mejor “punto de eventos" en lugar de “punto de
evento". El complemento “de ocurrencia" aparenta ser menos sensible
al número gramatical; de ahí su adopción: se habla tanto de
“ocurrencia" de un hecho, co-
de “ocurrencia" de varios hechos.Punto de ocurrencia. Se admite
que
cada resultado posible de un experimento está completamente
descrito por un único punto de ocurrencia. Por definición, cada
evento simple está representado por un punto de ocurrencia, y
solamente uno.
Espacio de eventos: A todo experimento de naturaleza estadística
está asociado
“espacio de eventos" constituido por el conjunto de todos sus
puntos de ocurrencia.
Ejemplos: l9) Al lanzamiento de un dado una única vez está
asociado el
5. Modelos teóricos. (Técnica de aplicación.)
Como la teoría de probabilidades constituye un formalismo,
trabaja con elementos formales; las inferencias teóricas se
refieren a elementos ideales. La aplicación del método de
probabilidades a una situación problemática implica un análisis de
esa situación y consecuentemente su formalización o reducción a
elementos formales, lo que conduce al enunciado de la situación sin
ambigüedades.
Es muy fecundo el empleo de modelos teóricos en la discusión de
problemas de naturaleza estadística. Un modelo teórico es,
esencialmente una experiencia idealizada, de naturaleza
estadística, que describe un: cierto conjunto de eventos
Muchos problemas, referentes a las situaciones más diversas,
pero que presentan una misma estructura esencial, pueden ser
examinados en términos de un mismo modelo.
Un modelo clásico muy importante por la utilidad que ha
presentado es el de distribuir al acaso un cierto número de objetos
en un número dado de celdas. Por ejemplo, imaginemos tres bolas
distinguibles entre sí, designadas por “a", “b" y “c", distribuidas
al acaso en dos cajas, también distinguibles, designadas por A y B.
Se trata de saber de cuántos modos se puede realizar esa operación.
Esos modos se indican en el cuadro siguiente:
A | abc | ab ] ac | be | — | c | b | a B i — ] c | b
Como cada bola puede ser colocada, o bien en A, o bien en B, hay
2.2.2 = 8 modos posibles de colocar las tres bolas en las dos
cajas.
6 Ejemplos de problemas tratables por el modelo de bolas y
cajas.
I9) De la guía telefónica de una gran ciudad se toman al acaso
10 nombres de abonados. ¿De cuántos modos posibles los natalicios
de esas personas pueden estar distribuidos en el año? (Se supone
que el año tiene 365 días.) En este caso, los días corresponden a
las cajas v los natalicios a las bolas.
29) En el caso genético en que un gene puede presentar n formas
distintas, siendo r el número de descendientes, los n aenotipos
corresponden a cajas y los r descendientes a bolas, siendo
distinguibles tanto las cajas como las bolas.
39) Considerando el orden de nacimiento, ¿de cuántos modos
pueden sucederse seis hijos en cuanto al sexo? En este caso, los
números de orden del nacimiento de los hijos corresponden a bolas y
los sexos, a cajas. Se tienen pues, bolas numeradas —distinguibles—
para ser distribuidas en dos cajas —los sexos— también
distinguibles.
49) Un grupo de r individuos es clasificado según la profesión
de cada Los individuos corresponden a las bolas —distinguibles— y
las profesiones, a las cajas —distinguibles—.
59) Un libro tiene 30 capítulos y se sabe que contiene 20
errores. ¿De cuántos modos pueden estar distribuidos los errores en
los diferentes capítulos? Los errores son las bolas
—indistinguibles—; los capitules son las cajas —distinguibles—.
í
8. Puntos de intersección. Intersecciónde eventos.
Por “intersección de n eventos" Ai, A-,. . . A„, descritos en un
mismo espacio, E, se entiende el subconjunto de los puntos de E que
son comunes a los n eventos. Ejemplos:
19) Experimento: lanzamiento de un dado una sola vez. Espacio de
eventos: contiene los seis puntos de ocurrencia representados por
las seis caras del dado. Consideremos los siguientes eventos
contenidos en ese espacio: A,, cara divisible por 2; Ao, cara
divisible por 3; At A-, intersección de Ai y A-_». Los eventos Aj,
A- y Ai A;, contenidos en ese espacio son descritos por
subconjuntos como sigue: puntos de Ai: caras “dos", "cuatro",
“seis"; puntos de A-¡: caras "tres", “seis"; único punto de
AyA->: cara “seis".
20) Experimento: tres lanzamientos consecutivos de una moneda.
Espacio de eventos: tiene ocho puntos de ocurrencia, según el
ejemplo 39 del-párrafo 3. En ese espacio, al evento Ai —consistente
en “cara (a) por lo menos dos. veces"—
f mo
! uno.
.i a | abe | ab | ac \ be
unI
i134 - - 135 -
-
■i
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1), evento tí3 —
cara uno por lo menos una vez"— con(1¿), (1. b), (2, 1), (3, 1),
(4, 1), (b. t), (b, 1); evento B3 —"suma impar"— con los puntos (1,
2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 6),
(4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6,
5). Se tienen entonces intersecciones dobles: BiBo —'cara uno por
lo menos una vez y suma no superior a 5"— con los puntos (1, 1),
(1. 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (3, 1) (4, 1); BoB.j—"cara uno por
lo menos una y suma impar"—, con los puntos (1, 2), U. 4), (1, 6),
(2, 1), (4, 1), (6, 1); BíB3 — suma impar no superior a 5"—, con
los puntos (1, 2), (1, 4), (2, 3)( (2, 1), (4, 1), (3, 2). La
intersección triple B^.Bs —"cara uno por lo menos una vez en suma
impar no superior a 5"— tiene los puntos (1, 2), (1, 4), (2, 1),
(4, 1).
9. Unión de eventos.
corresponden los puntos "aaa", "aab", "aba", "baa", solamente;
al evento A3 consistente en "cara (b) por lo menos dos veces"—
corresponden los puntos "bbb", "bba", "bab", "abb", solamente. Esos
dos eventos Ai y A2, no tienen ningún punto en común; se dice que
su intersección es vacía. En el mismo espacio, el evento A:;
—consistente en "cara (b) precedida por cara (a)"— tiene los puntos
"aab", "aba", "abb", "bab", solamente; el evento Ai —consistente en
"cara (a) precedida por cara (b)"— tiene los puntos "aba", "baa",
"bba", "bab", solamente. Se observa que los puntos "bab" y "aba"
pertenecen simultáneamente a A3 y Aj; representan la intersección
de esos dos eventos. En este caso se dice que la intersección de A»
con A i, que se representa por A3A.,, tiene dos puntos. En el mismo
espacio, el evento A.-, —"cara (a) una sola vez"— contiene los
puntos "abb", "bab", "bba"; el evento A,; —"cara (b) una sola vez"—
contiene los puntos "baa", "aba", "aab"; y su intersección,
A.-.A«•„ es vacía. Asimismo, el evento A7 —"cara (a) por lo menos
una vez"— tiene los siguientes siete puntos: "aaa", "aba", "aab",
"baa", "bba", "bab", "abb"; el evento Ar —"cara (b) por lo menos
una vez"—, los puntos: "bbb", "aab", "aba", "baa", "bba", "bab",
"abb"; el evento A7AS —"cara (a) y cara (b) por lo menos una vez"—,
los puntos: "aab", "aba", "baa", "bba", "bab", "abb". Finalmente,
el evento An —"una misma cara tres veces consecutivas"— tiene
apenas dos puntos: "aaa" y "bbb"; por tanto, el evento (A7A„) A„
intersección de A7As con A¡,— no puede tener ningún punto: es
intersección vacía.
3°) Experimento: lanzamiento simultáneo de dos dados
distinguibles. Espacio de eventos: contiene los 36 puntos de
ocurrencia representados por los subíndices dobles de los elementos
de la mat'iz ! lajj! | (1 = 1,2,... 6; j = 1,2, ...6). En este
espacio En se tienen, por ej.: evento B, —"suma no superior a 5"—
con los puntos de ocurrencia (1, 1), (1, 2), (1, 3). (1, 4),
PROBLEMAS -Una aplicación de ecuaciones
diofánticas
!los puntos (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),
RAUL A. CHIAPPA(Universidad del Sur)
vezEl llamado problema dioíántico, con
siste en resolver, dentro del conjunto de los números naturales,
una ecuación algebraica con una o varias incógnitas 0).
Un famoso problema dioíántico es el conocido como "último
teorema de Fer- mat", según el cual se afirma que la ecuación xn
-f- yn = zn no admite soluciones naturales si n>2.
Nos limitaremos al caso de la ecuación diofántica lineal, es
decir, de la ecuación algebraica lineal (polinomio de primer grado
igualado a cero) con una o más incógnitas, con coeficientes
naturales y de la cual sólo interesa determinar las soluciones
naturales.
x = x„ bt(a)
(t = 0, 1, 2.. )y = y„ + at La solución x,„ y„ puede
determinarse
por el algoritmo de los cumulantes partiendo de 0, 1 y aplicado
a los coeficientes que se obtienen por el algoritmo de Euchdes
empleado para la determinación del M. C. D. de los coeficientesde
la incógnita.
Así, por ejemplo, sea Ax — By = C. Al determinar el M. C. D. de
A y B por
el algoritmo de Euclides obtendremos: qi q-j q.'t
El conjunto de todos los puntos de ocurrencia de dos eventos Ai
y A¿ de un espacio dado EA, constituye un tercer evento que se
denomina "unión de A¿ con Aj". Así, en el último ejemplo del
párraío precedente, se tienen los eventos Bi, B- y B3 en el espacio
Eü; pues bien, el evento B.j —"cara uno por lo menos una vez, o
suma impar, uno en suma impar"— evento que resulta de la unión de
B3 y B3.
Adviértase nezca a
q.ú• • q»i-iA B ri r-_. rn»-11*111-3 I*,,,-'
r»,=0Se demuestra que la ecuación diofántica lineal con dos
incógnitas Ax + By = C admite solución sólo si C es divisible por
el máximo común divisor de A y B. En tal caso, dividiendo la
ecuación dada por el M. C. D. hallado, se obtiene la ecuación ax ±
by = c, donde a y b son primos entre sí.
No hay, en consecuencia, pérdida de generalidad si nos limitamos
a estudiar las ecuaciones diofánticas lineales donde los
coeficientes de las incógnitas son primos entre sí.
La resolución exige considerar por separado los casos:
ax 4- by = c ax — by = c
Consideramos el segundo caso, pues es el que aplicaremos en la
resolución del problema enunciado más adelante.
Dada la ecuación ax — by = c (a y b son primos entre sí) se
demuestra que si x,„ y0 es la solución formada por el par de
números naturales menores, toda otra solución natural se obtiene
(si existe) por las igualdades:
r,„-iTj r» r3El M. C. D. de A y B es r,„-l (siendo
r,„ = 0).La solución (x0, y„) de Ax — By = C
está dada por(b) x0 = (—l)"1 Q, C
y. = (-l)m Q. • Cdonde Q» (cumulante hasta q_.) y Q; (cumulante
hasta qi) se obtienen por la siguiente ley recursiva:Qi = q¡ .
Q
o cara es un nuevo
que un punto que perte- la unión de dos eventos, perte
nece por lo menos a uno de ellos. Los puntos de la intersección
de dos eventos pertenecen a la unión de los mismos, pues la unión
contiene a la intersección.
Análogamente, el evento B.-, —"por lo menos, o suma no superior
a 5, o cara uno por lo menos una vez, o suma impar"— se obtiene por
la unión de Bi, B-j y B3. Se advierte que basta que un punto
pertenezca por lo menos a uno de los eventos que constituyen la
unión, que pertenezca a ésta.
!
+ Ql+o a < i < m-ui + 1O . = 1 Q . = o
in-r lUna forma nrcctica de obtener los
sucesivos cumulantes puede indicarse en el siguiente cuadro:
Qiu-1 Qm-"
r
1)2) C;i a- O’
i. . . Orí Qi Qn 1 Q
Con lo visto podremos resolver el si- auiente PROBLEMA:
Determinar los dígitos que. en numeración de base 10. puedan
darse respectivamente a las letras A, B. C, D, E, F, para que se
satisfaga la suma.
para m-**
(Continuará)io o o
La convergencia de la matemática y la realidad se ha producido
generalmente en el dominio de la teoría de grupos, los que han
aparecido común al pensamiento y a la experiencia.
■
como una estructura
Jean Ullmo 137 -- 136 -
L
-
x == x„ -h 157 t y = Yo -i- 1427 t
A B C D E F
F A B_ C DE
D E F A B C
dondex0 = (—l)3 . (56) (14143 F) y0 = (—1)" . (509) . (14143
F)
En consecuenciax - —792008 F + 157 t y = 7198787 F + 1427t
Solución: Suouesto aue las letras representen dígitos, es claro
que se verifica:
A B C D E F = 10" .DEFABC-I- + DEF(1- 10")
F A B C D E == 10- DEFABC + + DE (1 —10")
(6)Tendances Nouvelles de L'Enseignement des
Mathématiques. - Edición previa de la UNESCO, abril de 1965.
su valor por la forma inconexa en que los mismos están
presentados. Consideramos que sería mucho más útil preparar
desarrollos de programas completos —aún cuando se detallaran temas
parciales— con clara especificación de la edal de los alumnos a que
se estima podría estar destinada su enseñanza.
Consideramos peligroso dar ejemplos de cómo debe introducirse en
la escuela media la enseñanza de las estructuras algebraicas
básicas, sin abundar en ejemplos de aplicaciones prácticas.
Creemos, no sólo posible sino necesario, enseñar en el ciclo
medio las nociones de conjunto, relación, función, estructura,
grupo, espacios vectoriales, etc. Creemos posible y necesario dar
la axiomática del número natural y enseñar el principio de
inducción dándole toda la importancia aue tiene como fundamento de
un método matemático de razonamiento; pero pensamos que se insinúa
demasiado claramente, en todas partes, una tendencia a confundir
modernización con abstracción y teorización, cuando se habla de
enseñanza de la matemática, como para que sea necesario ponerse en
guarlia. No puede olvidarse la importancia que debe seguir teniendo
en el ciclo medio el adiestramiento de los alumnos en el cálculo
numérico y el manipuleo algebraico. El dar todo el valor que tienen
a las formulaciones lógicas, por ejemplo, tiene precisamente, su
mayor interés si se tiene en vista que los alumnos deben prepararse
para que sean capaces de comprender las modernas técnicas de
computación.
En el libro "Algebra para escuelas secundarias", de O.
Varsavsky, donde se hace un desarrollo completo del programa de
álgebra que se propone, para alumnos de 14 años, en el 29 año del
ciclo medio, el autor hace abundante y apropiado uso de los
diagramas de flujo, en forma tal que pone en evidencia la
posibilidod y ventaja de su enseñanza en ese nivel. Creemos que ese
libro puede ser una importante contribución de nuestro país a la
discusión internacional a que invita la UNESCO a través de la
publicación que comentamos.
Las soluciones positivas de (5) se obtienen para valores de t
que verifiquen:
t > 5044,70 FEn nuestro caso sólo consideraremos
valores naturales de t.Analizaremos la existencia de
solución
del problema dado, para los distintos valores admisibles de F (0
^ F ^ 9), recordando que per ser x — D E , y = A B C, deben
satisfacerse: 0^x 99 , 0 ^ y< 999.
Consecuencias inmediatas de (6) y (7) y las acotaciones
anteriores, resulta que el problema dado no admite solución si F
toma cualquiera de los siguientes valores: 2, 3, 5, 6, 8, 9.
En cambio, admite solución única cuando F toma cualquiera de los
siguientes valores: 0, 1, 4, 7.
Las soluciones correspondientes están indicadas en el siguiente
cuadro, donde cada línea corresponde a una de ellas:
(1)
(7)(2)De (1) y (2) resulta:
DE F ABC = 1100 . DEFABC ++ DE [11 (1 — 10")] + F (1 — 10")
o equivalentemente: .0 = 1099 ABC + [11 (1 — 10") +
f 1099.10‘] D E + (1 — 10" + 1099.10‘) F de donde
Con el objeto de exponer las tendencias y resultados del
movimiento Internacional realizado para provocar cambios
importantes en la enseñanza de la matemática", la UNESCO ha
publicado un extenso volumen (510 páginas) en el cuál se compilan
no sólo las consideraciones de orden matemático y pedagógico que
han impulsado el movimiento de reforma sino también algunos
ejemplos de tratamiento, en el nivel medio, de algunos temas
importantes. Se incluyen informes y experiencias de distintos
países y algunos proyectos de programas.
La dirección del trabajo, que ha dado por fruto la publicación,
ha estado a cargo de los profesores W. Serváis, de Bélgica, y T.
Varga, de Hungría.
Por el momento, se trata de un texto provisorio que se promete
en una redacción definitiva una vez que se hayan considerado los
comentarios y críticas que se solicita sean dirigidas a:
"Depcrtement de l'enseignement scolaire et superieur, UNESCO, Place
de Fon- tenoy, París 7e.".
.El trabajo es importante, por cuanto reúne gran cantidad de
información, opiniones autorizadas y algunos ejemplos sobre la
manera posible de presentar temas hasta ahora excluidos en el nivel
medio. Tiene, a nuestro juicio, el defecto de la falta de
elaboración. En lo que a consideraciones generales se refiere, se
dan varias, sin dar pros ni contras ni siquiera comparaciones entre
ellas. Evidentemente, el lector debe formar su propio juicio pero,
en este punto, surge el interrogante: ¿a quién está destinada la
publicación? Para matemáticos que se han ocupado del proble-
de la reforma de la enseñanza en la escuela media, el material
presentado no aporta casi nada nuevo. Para los profesores de
enseñanza media que se interesan en el problema, sería mucho más
útil presentar material más abreviado y elaborado.
Sobre todo, la parte más interesante del volumen, que es la que
contiene ejemplos de desarrollo de algunos temas, pierde mucho
de
1099 ABC — 9989 DE + 99001 F = 0 (3) El problema quedará
resuelto si se
conocen las soluciones de la ecuación diofántica9989 DE— 1099
ABC = 99001 F
Verifiquemos si el término independiente de (4) es divisible por
el M. C. D. de los coeficientes, condición que sabemos es necesario
para que haya solución.
El algoritmo de Euclides da
(4)
9 11 4'9989 1099 98 21 14 7
98 . 21 14 7 0
El término independiente es divisible por 7 (M. C. D. de 9989 y
1099) y la ecuación (4) es equivalente (si x = D E, y = = A B C) a:
1427 x — 157y = 14,143 F (5)
El algoritmo de los cumulantes da:
______ _ 1 4 11-9
0 1 1 5 56 509
2
A B C D E F0 0 04 2 8 5 72 8 5 7 1, 4
4 2 8 5 7
• 0 0 0 i1
1
BIBLIOGRAFIA
(1) Elementos de Análisis Algebraico, de Julio Rey Pastor.
(2) Análisis Matemático (vol. 1) de J. Rey Pastor - P. Pi
Calleja - C. Trejo.
?Las soluciones de (5), supuesto que exis
tan, están dadas según (a) y (b), por:
O o Oma
Un homomorjismo establece una correspondencia entre los
elementos de conjunto y los de otro conjunto. Cuanto existe
reciprocidad, el homomorjismo se convierte en isomorjismo. Cuando
se puede aplicar un conjunto sobre sí mismo tenemos un
automorjismo. Cuando se puede aplicar sobre una parte de sí mismo,
se trata de un endomorjismo. El homeomorjismo es un homomorjismo
que conserva la continuidad y es la aplicación característica de la
topología.
! an
cora R. de Sadosky.F. LE LIONNA1S
- 138 - - 139 -
-
J. KLEIN y G. REEB. Formules commentées de mathématiques.
(Programme M. P. C.) Fascículo A. Gauthiers-Villars, París,
1964.
Emile BOREL: Les nombres premiers. PRES- SES UNIVERSITAIRES DE
FRANCE; París, 1958 (2éme édition).
Jean ITARD: Arithmétique et Théorie des nombres. PRESSES
UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963.
Ambos son tomífos de la difundida colección francesa "Que
sais-je-", que ya excede holgadamente el millar de títulos, de los
cuales una treintena están dedicados a la matemática.
Borel se ocupó de los números primos, sus propiedades
elementales, su distribución, las congruencias y los restos
cuadráticos, los teoremas de Fermat y de Wilson, las sumas de
cuadrados, los imaginarios enteros; en sendas notas agregadas como
apéndice trató los divisores enteros de los polinomios y —según un
método elemental - la ley asintótica de distribución de números
primos, con las respectivas verificaciones estadísticas de las
conclusiones deducidas.
Itard complementa este trabajo de Borel —aparecido inicialmente
en 1953— desarrollando en el otro volumen temas clásicos como el de
los divisores de un número y el de los descubrimientos de Fermat,
el estudio de las formas cuadráticas / el de las fracciones
continuas, la ecuación de Fermat —mal llamada de Pell,
"aparentemente porque Peíl ni fue el primero en discutirla ni el
primero en resolverla", escribe Beiler en sus "Recreations of
Theory of Numbers"— y las proposiciones negativas del mismo Fermat
—entre ellas la célebre conjetura, "muy probablemente exacta", en
el margen de su ejemplar de Diofanto. Finalmente procura, en el
último capítulo, dar una somera idea de las tendencias modernas de
la teoría y del estado actual de los problemas no resueltos.
Sin desmerecer el aporte de Borel —carecemos en absoluto de
autoridad para hacerlo—, es indudable que el de Itard es más ágil y
moderno; predomina en él un espíritu de síntesis que lo hace
sumamente provechoso para adquirir rápidamente una visión de
conjunto sobre la teoría elemental de los números. Por otra parte,
matizan la exposición repetidas referencias históricas y hasta
algunas transcripciones —como la de un extracto de la carta de
Fermat, de agosto de 1959, dirigida a Carcavi, calificada como el
"testamento matemático" de aquel francés genial— qje dan al
pequeño, pero valioso, volumen, un toro especialmente
atrayente.
I
SI
Los autores —profesores universitarios de Grenoble y Estraburgo,
respectivamente— se proponen facilitar a los estcdiantes franceses
de las clases de M.P.C. (Matemática-Física-Qui- mica) lo esencial
del programa oficial de matemática, manteni