• PRAKATA Laporan ini kami susun setelah mempelajari dari li teratur-li terat.ur yang kami kumpulkan • Pada kesempatan iai kami mengucapkaa terima ltasih yuc aebesar-besar-. nya kepada Bapak Drs.R.Soemantri yang telah beraedia menjad:i pembim- bing dalam peneli tian /ini. Juga kami ucapkan teriraa kaaih kepada para senior di FMIPA UGM, khusuanya di Jurusan Matematika, ataa segala sa- ran dan petunjuk yang diberikan kepada kami. Tak lupa pula kami ucap- kan terima kasih kepada Sdr.R.Sutadi B.A. ·yang telah membantu menger- jakan pengetikannya. Tent.u saja laporan ini, khususnya basil penelitian,.raasih jauh dari sempurna karena keterbatasan yang kami miliki. Oieh karena "_ - ·_ \7_: itu, segala kritik dan saran akan kami terima densan ••nang hati . ',1. 1 Yogyakarta, Juni 1987 Penyusun . . Y .. M.Sri Daru Unonincaih , . • -··.
48
Embed
repository.ugm.ac.id · mempelajari Analisis Real dan Kompleks • ii . ... fungsi kontinu dan himpunan terhubuns. Berdaaarkan pengertian-pengertian di ataa, dicoba untuk menyeleaaikan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
•
PRAKATA
Laporan ini kami susun setelah mempelajari mater~
dari li teratur-li terat.ur yang ber~asil kami kumpulkan •
Pada kesempatan iai kami mengucapkaa terima ltasih yuc aebesar-besar-.
nya kepada Bapak Drs.R.Soemantri yang telah beraedia menjad:i pembim
bing dalam peneli tian /ini. Juga kami ucapkan teriraa kaaih kepada para
senior di FMIPA UGM, khusuanya di Jurusan Matematika, ataa segala sa-
ran dan petunjuk yang diberikan kepada kami. Tak lupa pula kami ucap-
kan terima kasih kepada Sdr.R.Sutadi B.A. ·yang telah membantu menger-
jakan pengetikannya.
Tent.u saja laporan ini, khususnya basil penelitian,.raasih
jauh dari sempurna karena keterbatasan yang kami miliki. Oieh karena "_ - ·4~-· ·_ \7_:
itu, segala kritik dan saran akan kami terima densan ••nang hati ~ . ',1.
1
Yogyakarta, Juni 1987
Penyusun . . Y .. M.Sri Daru Unonincaih
, . •
-··.
'-·~.
I •
II •
III •
IV •
PRAKATA
INTISARI
PENGAN'l'AR
CARA PENELI'l'IAN
DAFTAR ISI
HASIL DAN PEMBAHASAN
III.1. Ruang Topologi
III.2. Himpunan Terhubung
IIt.3. Himpunan Terhubung Path
III.4. Himpunan Terhubung Lokal
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
hal a man
i
ii
iii
iv
1
1
9
2.5
39
42
43
INTISARI
Sifat himpunan dalam ruang metrik dapat dilihat dengan
cara melihat sifat himpunan itu dalam ruang topologi, eebab
ruang metrik selalu bisa dipandang sebagai ruang topologi.
Demikian pula halnya tentans sifat himpunan terhubung dalam
ruang metrik •
Penelitian ini dilakukan dengan cara etudi literatur
dan hasilnya berupa uraian tentang hiapunan terhubung dalam
ruang tipologi. Selain pengertian terhubung suatu himpunan,
dikembangkan pula pengertian terhubung path dan t'erhubung lo
kal. Semua pengertian tadi ternyata sangat bermanfaat untuk
mempelajari Analisis Real dan Kompleks •
ii
I. PENGANTAR
Himpunan tak terhubuns adalah suatu himpunan yang terdiri
atas gabungan paling aedikit dua himpunan yang aaling terpiaah.
Akan tetapi untuk melihat apakah auatu himpunan itu terhubung
atau tidak kadang-kadang sangat aulit, meskipun himpunan tadi
dapat disajikan cara geometri. Dengan bantuan pengertian him -
punan terhubung dalam ruang topologi, keaulitan ini dapat di -
atasi •
Dalam buku " Topology A Firat Course ", tuliaan James H.
Munkres yang diterbitkan tahun 1978, diuraikan tentang himpunan
terhubung beserta macam-macam"keterhub.ungan" dalam ruang topo
logi. Selain pengertian terhubung, dikemukakan juga terhubung
path dan terhubung lokal. Juga Sze-Taen-Hu dalam bukunya
" Element of General Topology " yang terbit tahun 1964, selain
menguraikan hal-hal di ataa menguraikan pula keterkaitan antara
fungsi kontinu dan himpunan terhubuns.
Berdaaarkan pengertian-pengertian di ataa, dicoba untuk
menyeleaaikan beberapa contoh himpunan terhubung, terhubung path
maupun terhubung lokal •
iii
II. CARA.PENELITIAN
Penelitian dilakukan dengan cara etudi literatur.
Langkah pertama adalah mengumpulkan materi penelitian
yang diambil dari enam judul buku tentang Topologi dan Analisis
Kompleks, seperti yang tercantum dalam Daftar Puetaka.
Langkah kedua mempelajari materi penelitian dan meng
olahnya dengan bantuan teori-teori daear dalam Matematika, se
perti Logika, Teori Himpunan, Topologi dan Alalisie. Hasil
penelitian ini berupa uraian tentang "Himpunan Terhubung Dalam
Ruang Topologi " yang tersueun dalam euatu urutan berjenjang
dalam bentuk definisi, lemma dan teorema. Dicoba pula untuk me
mecahkan beberapa contoh aoal, terutama soal yang banyak muncul
dalam Analisis.
Langkah ketiga menyusun basil penelitian ini dalam ben
tuk laporan penelitian •
iY
III. HASIL· DAN PEMBAHASAN
III.1. Ruang Topologi •
Dalam III.1 ini cli_beriku pencertian-pencertian daaar dalu
topoloci yanc nantinya ~icunakan untuk meaahami pembicaraan ten•
tanc himpunan terhubunc. Selain detiniai ruanc topoloci, sekitar
dan topologi relatif, diberik.D pula pengertian titik limit dan
tipe-tipe himpunan dalam ruanc topologi. Ruane aetrik yang di -
kenal dalam Analiaia aelalu biaa dipandanc aebacai ruanc topolo-
gi, khuausnya nanti diperkenalku tentanc topoloci usual dalam
ruang Euclid S\ n • Selanjutnya diberikan pengertian fungai kon
tinu dan dua ruang topoloci yang homeomorfik.
Definiai 1.1. :
Ruane topolosi adalah pasancan ( X, T ) dencan X himpunan
tak kosong dan T keluarca dari himpunan-himpunan bagaian X
yang memenuhi :
1). ¢ e T clan X 6 T .-
2). Bila u1, 1:(2 E. T ' maka u1 () U.2 € T •
3). Bila u1, u2, . ' . e. T ' maka u ui e T • i& I
Definisi 1.2. :
Dalam Definisi 1.1., anggota-angsota T disebut himpunan
terbuka , dan komplemellllya diaebut himrunan tertutup. T disebut
topologi pada X •
Contoh 1.1 :
X • { a, 'b, c, d, • } •
1
T1 = { x, -' fa} ' . { c, cl J , { a, c, d } , { lt, c, d, e J l . T2 • t x, ¢ t [a j ' ( ..• l t {a, c, cl J, { lt, c, d} }
ciengan tp ( a ) • p untuk aetiap a c (a, b) . dan auatu
p t X acialah kontinu. Maka tp path yang konatan •
Contoh }.2. :
Bila f : ta, b) ---• X auatu path dari x ke y , .. maka f : [a,b) ---~ X yang didefiniaikan dengan ... f ( s ) = f (b + a - a ) untuk aetiap s ~ ta,b] adalah path
dari 1 ke x •
Contoh }.}.
Bila f : [a, b] ---• X path dari x ke y dan
g : La, b) ___ ,. X path ciari y ke a, maka
f + g : [a, b] ---• X dengan aturan :
{ f(2s - n) untuk a~ a ~ b +a
(f • c )(a) 1: 2
g(2a - b) untuk b+a ~a -<: b - ...... 2
acialah path ciari X ke. z •
Lemma }.1.
Bila ( X, T ) ruanc terhubunc path, maka ( X, T ) ter
hubung •
Bukti :
Ambil p ~ X • Karena ( X, T ) terhubung path, maka
untuk aetiap x e X ada path fx : [ a, b J ---· X dari
. 26
p ke X • Juga X e fx ((a,bJ.) G X, maka
X = u fx ( (a,b1 ). Karena p E fx ( l. a, b 1 ) X E; X
untuk setiap x ~ X, maka n f ( [a,b 1 ) .; ¢ • X~ X X
Karena fx ( [ a, b 1 ) terhubung untuk setiap x 6- X, maka
X • U fx ( [a,b1) terhubung. X t X
Akibat
Bila A himpunan terhubung path, maka A terhubung •
Kebalikan lemma ini tidak berlaku artinya suatu himpunan
yang terhubung belum tentu terhubung path. Hal ini bisa dilihat
pada beberapa contoh di bawah •
Contoh 3.4.
1
t
i
i-
. •
Pandang himpunan-himpunan dalam~ 2
~ <x,y > X A • I 0 ~X ~1 • 1 = ii • n ~ N 1 •
B • t <x,O) I i ~X ~ 1 } •
Maeing-maeing A dan B terhubung
path, maka menurut lemma di atas juga
ter~ubung •
Karena B memuat titik limit dari A, maka A U B terhubung.
Tetapi A 0 B tidak terhubung path, sebab bila diambil sembarang
p f A dan sembarang q E B, tidak ada path yang bisa dibuat
dari p ke q •
27
Contoh 3•5• :
Himpunan X = F lJ Y eeperti dalam contoh 2.6. adalah
terhubung tetapi tidak terhubung path •
Untuk biea mamahami contoh berikut ini, lebih dahulu
akan diberikan pengertian himpunan dengan urutan"lexicographic"
Definisi 3.3. :
Bila X dan Y dua himpunan dengan urutan par sial, maka
himpunan hasilkali karteeiue X x Y dieebut mempunyai urutan
lexicographic bila untuk eetiap
( a, b > dan < c , d ) dalam X x Y :
< a,b) ( (c,d) bila dan han7a bila a < c atau a == c dan
b < d •
Contoh 3.7. :
Karena ~ mempun7ai urutan pareial, maka pada ~ x ~
dapat didefinisikan urutan lexicographic •
Mi salnya (1 , 3 > dan < 2, 5 > keduan7a dalam 1R x '\R • Maka < 1 , 3 > < (2, 5) ee bab komponen pertama 1 < 2 •
Sedangkan (1,3) < (1,5> , sebab 1 • 1 dan 3 < 5
Contoh 3.6. • •
Ruang I X I dengan urutan lexicographic adalah ter-
hubung tetapi tidak terhubuns path terhadap topologi-usual dalam 2
TR .. 28
Ruang C· disebut ruans aiair (comb-apace), sesuai dengan
geometrisnya •
p •
-
0
Jelas subruans ( c, ~) dari ruang topologi-usual T )
terhubung path, jadi juga terhubung •
Bila D c C "{(0~ x ( 0,1 ) } t maka ( D, 'i ) dengan ~ topologi relatif adalah eubruang dari ( 1R 2, T ) •
( D, ~ ) terhubung, tapi akan dibuktikan tidak terhubung path.
Dibentuk himpunan
A • ( [ O, 1) X . { 01 ) U ( K X [0, 11 ) •
Titik p c < o, 1) adalah titik limit dari A •
Misalkan t : (·a, b] ---)t D adalah path dengan ti tik
awal p • Karena ~ p} tertutup dalam ( D, Cij" ) dan f kontinu,
maka f-1 ( { p J ) juga tertutup dalam (a, b ] • Ambil suatu
sekitar terbuka V dari p dalam U\ 2 yang tidak memuat titik
pada sumbu x •
}0
1
Bukti . •
Karena I terhubung , maka I x I terhubung.
Ambil p = ( 0,0) dan q • (1,1). Andaikan ada path
f * [a, b] --->- I x I dari p ke q • Menurut Teorema
Nilai Menengah f ( [a,b1 ) memuat aemua titik ( x,y )
anggota I x I • Jadi untuk aetiap x ~ I, hilllpunan
tidak
maka
u X = f -1
koaong dan termuat
ux terbuka dalam
( f X l dalam
[ a,b)
f
X ( 0,1 ) )
[a, b) • Karena f kontinu,
. . 'l.
~ fx) X ( 0,1 )
u l (; ,c) J
p Untuk aetiap x e I , pilib bilangan raaional dalam U
X
Karena himpunan-himpunan Ux dengan x G I aaling asing,
•
maka pemetaan g : I ___ .,.. Q dengan g( x) • <lx untuk x . £: I
adalah injektif • Karena I uncountable, maka ~ juga
uncountable • Kontradikai karena ~ countable • Jadi tidak
ada path dari <o,o) ke (1, 1} •
Contoh 3.8.
K = {
• . 1 11
I n E: N } •
Dibentuk himpunan dengan urutan lexicographic :
C = ( [0,1l X fo} ) U ( K X [0,1)) U ( £01 X (0,11 ).
29
t.)
a·, ( • l •b X
0
I
x =* r D
Untuk sembarang x0
E f-1 ( { p 1 ) selalu bisa dipilih seki tar
terbuka u dari X sedemikian hingga f( u ) c. v t sebab f 0
kontinu • Karena lj terhubung, maka f(U) juga terhubung.
Ambil t.i tik dalam D, 1 to> dengan ~ Pilih r q • <- t q p • n
sehingga 1 < < 1 r - • n + 1 n
Kemudian pandang dua himpunan terbuka dalam ~ 2 :
(-(1) 1 r)x1R dan ( r, + en) x ~-Karena f( u ) c D dan tak memuat titik pada sumbu x,
f ( u ) tak berserikat dengan titik pada garis X = r •
f( u ) c ( -~. r ) X ft<.. U ( r t +00) X 1R. Karena p c f( u ) dan f( u ) terhubung, maka
q 4 f( U ) • Jadi f ( U ) • f p } , atau
U C f-1 ( [ p 'j ) • Kesimpulan yang dapat diambil adalah
r-1 ( { p 1 ) sekaligus tertutup dan terbuka •
Karena [a, b) terhubung, maka f-\ { p J ) = t a, b]
31
•
maka
Jadi:
Jadi setiap path dalam D dengan titik awal p tak menghubung-
kan titik p den,;an titik J&ng lain dalam D • D tidak ter
hubung path. D sering diaebut ruang aisir ter•hapus ( deleted
comb apace ).
Teorema 3.1.
Bila f funsai kontinu dari ( X, T ) dan ( Y, ~ )
dan A terhubung path dalam ( X, T ), maka f ( A ) terhubuns
path dalam ( Y, [' ) •
Bukti :
Ambil p, q ~ f ( A ) • Maka ada p' dan q' dalam A
den,; an f ( p' ) = p dan f ( q' ) :II q • Karena A ter-
hubung path, maka ada path s . [a,b] ___ ,.
X dengan •
g(a)·= p' dan s ( b ) = ,. dan ,. ( \:a, b) ) c. A •
Fungsi kompoaiai f•g • [a, b) ____ ,..
y juga kontinu •
dan fo g ( a ) = f { S (a) } = f (p') = p dan
f • s ( b ) = f { g (b) l = f f ,. J = q dan
f 0 I ( (a,b) ) = f { s ( ta,b) ) } (. f ( A ) . Jadi f ( A ) terhubung path •
Teorema 3.2.
Bila ~ keluarsa himpunan - himpunan terhubunt; path
dala.m ruans topologi ( x, T ) dan n £ A I A E; _F } • ¢ t maka
u {A I A e J } juga terhubuns path •
32
Bukti • •
Misalka.D D • U { A / A e jd. } daD x, '1 e D •
Maka ada A dan A dalam ~ dengan X E. A dan Jf. A • X '1 X '1
Ambil p 6 n {A/A~~1 • M&ka p E: A dan ada path X
f . (a,b J ---"' A c D dari X ke p • Juga p € A . X '1
dan ada path g [a, b 1 ___ .,.
A dalam D dari p ke '1 • '1
Menurut contoh 3.3., dapat di .. buat path f • g t:a,b] --· D
dari x ke 1 • Jadi D terhubung path •
Lemma 3.2. :
Setiap bola terbuka B dalam ftt 2 adalah terhubung path.
Bukti
dalam
• •
Misalkan p = < x1, 1 1 > B • Didefinisikan tungsi
dall q :a: < x2 , 12 ) keduanya
t : [a, b) .... ,. fR.2
dengan t (t) < x1 t
: ( x2 - x1 ), t :cy2-'~1>> = + 71+
b - b -
adalah suatu path dalam B dari p ke q • Jadi B terhubung path. /
Berikut·ini teorema tentang region, Jaitu daerah terbuka
dan terhubung, dalam bidang kompleks, Jang merupakan aplikasi
dari pengertian terhubung path •
Teorema 3.3. :
Setiap himpunan Jang terbuka dan terhubung yang tidak ko-
song dalam ~ 2 adalah terhubung path •
33
Bukti
Misalkan E ~ ¢ , terbuka dan terhubung dalam tR 2•
Ambil p e E dan dibentuk himpunan
G = { q c E I ~ path dari p ke q dalam E ) •
Akan ditunjukkan G terbuka dalam E. Ambil q E G • Karena
E terbuka, ada bola terbuka B dalam E dengan pusat q •
Karena B terhubung path menurut Lemma 3.2., maka setiap titik
x e B dapat dihubunskan dengan q oleh suatu path. Sedangkan
q dapat dihubungkan dengan p • Jadi ada path dalam B dari x
ke p, sehingga q €. B C G • Jadi G terbuka •
Dibentuk H = E '\. G , yaitu H terdiri atas titik -
titik dalam E yans tidak dapat dihubungkan dengan p oleh
path dalam E •
Akan ditunjukkan H terbuka dalam E •
Ambil q' e H C E • Karena E terbuka, ada bola terbuka B'
dalam E dengan pusat q' • Karena B' terhubuns path, maka
setiap x € B' tak dapat dihubungkan dengan p melalui path
dalam
lam
E • Jadi q • E B' C H • Ini berarti H terbuka da
E • Akibatnya G dan B juga tertutup dalam E •
Karena E terhubung dan G ~ ¢ , yaitu paling sedikit
p ~ G , maka G = E • Jadi E terhubuns path.
Selanjutnya akan dibicarakan pengertian dua path yang
" homotopik " du pemetaan " hoaotopi " •
Def'inisi }.4. :
Misalkan t. : (a, b J ___ ,_ X dan g
adalah dua path dalam X dengan titik awal p & X dan titik
akhir q ~ X • Misalkan pula A • Ca,b) X t a,b 1
Path t disebut homotopik dengan q , ditulis f ~
ada f'ungsi kontinu H • A ___ ,.
X dengan •
H ( < a,a > ) . t(s) H ( < a,t > ) ='
H ( <a, b > ) • g(a) H ( < b, t > ) • Fungsi H di ataa diaebut homotopi dari f ke g •
(Perhatikan gambar di bawah ).
a f
Contoh
p
q
g
•
,bila
Miaalkan X adalah himpunan titik-titik di antara dua
lingkaran sepusat • Maka dua path f dan g pada gambar di
bawah ini homotopik, aedangkan t • dan g' tidak homotopik.
35
----·-----.....
Teorema 3·'· . •
Bila ~ adalah himpunan aemua path dalam
titik X ke titik '1 , maka relaai homotopi pad a
relasi ekuivalensi •
Bukti :
1). Misalkan t : (a,b] ---~
A = [a, b] x [a, b J • X auatu path dan
X dari
~ adalah
Maka fungai B : A ---~ X yans didefiniaikan dengan
H ( < a, t > ) = t( a) •
adalah homotopi dari f ke f • Jadi f ~ t , atau ber-
laku sifat reflekai t •
2). Misalkan t ~ s dan B : A X homotopi dari A
f ke g • MaKa tungai B : A ---~ X yans dide-
finisikan dengan .. H ( < a,t > ) • H ( <a, b + a - t > )
adalah homotopi dari 1 ke f •
Jadi g ~ f , atau aitat aimetria berlaku •
3). Misalkan t '::::::! s dan s ~ dengan F : A --~ X
homotopi dari t ke s dan G : A . ., . .,. X homotopi
dari g ke h • Maka tunge1 H : A ___ ,.
X JUS dide-•
finisikan dengan • • . r ( < a,2t -a>) untuk a~ t ~ b + a
2 H(<s,t))= b + a f G ( < s,at - b > ) untuk 2 t ~ b.
adalah homotopi dari f ke h • Jadi f~ h, atau berlaku
sifat transitif •
Interpretasi geometris dari homotopi H adalah " menekan "
dom in F dan G ke dalam satu bujur sangkar dengan panjang
sisi-sisinya b - a, aeperti gambar di bawah ini •
h
domin ct-+
domin F~
t
Definisi 3.5. :
Suatu path f : [a, b] ---).
bila f ( a ) • f ( b ) •
37
h
•• ~---~ domin B
IUlJl t
X disebut path tertutuR
. I
Khuausnya path yans konatan
f (s) • p untuk setiap p
Definiai ,.6. :
t p
s E:-. C a, b 1
___ ..,. X dengan
adalah path tertutup •
Suatu path tertutup t : [a,b) ----~ X disebut
menguncup ke satu titik ( contractable to a point ) bila t
homotopik dengan suatu path konstan •
Definisi '·7• . •
Suatu ruang topologi ( X, T ) ~iaebut terhubung aederhana
(simply connected ) bila setiap path tertutup dalam X menguncup
ke satu ti tik •
Contoh ,.10. : Suatu bola terbuka dalam fR 2 adalah terhubung sederhana.
sedangkan daerah di antara dua lingkaran sepusat , tidak terhubuns
sederhana, sebab ada path tertutup yang tak menguncupke satu titik.
terhubung sederhana tak terhubung sederhana
III. 4. Himpunan Terhubuns Lokal •
Pengertian hiapunan terhubung sangat berguna dalam ruang
topologi, tetapi kadang-kadang diperlukan pengertian keterhubunsan
yang bersifat " lokal " , seperti yang akan dibahas dalam bagian
ini •
Definisi 4.1. :
Ruang topologi ( X, T ) diaebut terhubuns lokal di titik x
bila untuk setiap sekitar U dari x , ada suatu sekitar terhubung
V dari x yang termuat dalam U •
Bila ( X, T ) terhubung lokal di setiap titik dalam X,
maka ( X, T ) disebut terhubung lokal •
Contoh 4.1.
Setiap interval'dalam garis real selalu terhubung dan juga
terhubung lokal • Sedangkan sub ruans X = [ -1,0) \J (0, 1 J dengan topologi relatif' dari ruang topologi usual ( ~ , T )
tidak terhubung, tapi terhubung lokal •
Contoh 4.2. :
Perhatikan kembali ruang siair terhapus
contoh 3.8. Ruang ini terhubung lokal di titik
39
D seperti dalam
< o,o > •
Contoh 4.3. :
Setiap ruang topologi diskrit ( X, T ) selalu terhubung
lokal, sebab untuk setiap x E: X, \X) adalah sekitar dari x
yang terhubung •
Teorema 4.1. :
Bila E komponen dalam ruang terhubung lokal ( X, T ),
maka E terbuka •
Bukti :
Ambil p ~ E sembarans • Karena
lokal, maka ada suatu sekitar V dari p
E komponen, maka E terhubung dan memuat
Ini berarti · E terbuka •
Teorema 4.2. :
( X, T ) terhubung
yang terhubung. Karena
p • Jadi V ~ E •
Hasilkali kartesius ruans-ruans terhubung lokal juga ter
hubung lokal •
Bukti :
1). Misalkan ( X, T ) dan ( Y, 17 ) dua ruang terhubung
lokal. Akan dibuktikan X x Y juga terhubung lokal.
Ambil < x,y ) 6 X x Y • Karena x & X dan ( X, T ) ter
hubuns lokal, maka ada sekitar terhubung V dari Y • Sedang
kan U x V terhubuns dan merupakan sekitar dari < x 1y;>.
40
Jadi X x Y terhubung lokal •
2). Untuk hasilkali kartesius berhingga dapat dibuktikan
dengan induksi •
3). Misalkan { xi I i E: I J keluarga ruang-ruang ter
hubung lokal dan X • ll Xi • Ambil x 6 X t maka i' I
X = < xi > dengan xi E:- Xi • Karena setiap Xi terhubung
lokal, maka ada sekitar terhubung Ui dari Menurut
Teorema 2.5., 1\ u i ~I i
juga terhubung • Jadi u • rr ui ibi
adalah sekitar terhubung dari x • Jadi X terhubung lokal •
41
IV • KESIMPULAN
Dari pembahasan, dengan jelas dapat dilihat perbedaan
antara himpunan terhubuns dan himpunan tak terhubung, terutama
pada garis real dan dalam bidang datar. Ada himpunan yang ke
lihatannya tak terhubung dalam bidang datar, tetapi ternyata
dengan pengertian himpunan terhubung dalam ruang topologi dapat
dibuktikan bahwa himpunan itu terhubung •
Aplikasi himpunan terhubung banyak dijumpai dalam
Analisis Real dan Kompleks, seperti Teorema Nilai Menengah dan
Teorema Titik Tetap. Juga pengertian terhubung path ternyata
mempunyai andil dalam Analisis Kompleks • Sedangkan terhubung
lokal ada kaitannya dengan pengertian komponen •
42
..... , •• 1
DAFTAR PUS'$KA I
[~ • Bushaw D., 1963, Elements of General Topology, terbitan
ke - 1, halaman 91 - 101, John Wiley & Sons, Inc.,
New-York London.
[2] • Conway John B., 1973, Functions of One Complex Variable,
terbitan ke- 1, halaman 226 - 235, Springer Verlag Berlin
Heidelberg New Topan Company Fte Ltd, Singapore.
[3] • Kelley, John L., 19.5.5 1 General Topology, terbitan ke- 1,
halaman .53 - 61, D.Van Nostrand Company Inc., New York
Toronto London.
[4] . Lipschutz, Seymour, 1981, General Topology, terbitan ke- 2,