This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Definiţie. Perechea ordonată de puncte (A,B) se numeştesegment orientat şi se notează cuAB.Definiţie. Segmentele orientate AB şi CD sunt echipo-lente (se notează cuAB∼CD), dacămijlocul segmentului[AD] coincide cu mijlocul lui [BC].Observaţie. DacăAB∼CD, atunci există o translaţie caretransformă segmentulAB în segmentulCD.Proprietăţi. Pe mulţimea segmentelor orientate relaţia deechipolenţă este o relaţie de echivalenţă:
.. AB∼AB (∼ este reflexivă),
.. dacă AB∼CD, atunci CD∼AB (∼ este sime-trică),
.. dacăAB∼CD şi CD∼EF , atunciAB∼EF (∼este tranzitivă).
.Segmente orientate
..A .
B
.
D
.C
AB şi CD sunt echipolente dacăşi numai dacă ABDC este para-lelogram sau punctele A,B,C,Dsunt coliniare şi mijlocul lui [AD]coincide cu mijlocul lui [BC].
..A
.B
.C
.
D
1
..
Definiţie. Se numeşte vector mulţimea tuturor segmente-lor orientate echipolente cu un segment dat.Notaţie. Vectorul determinat de segmentul orientatAB se notează cu
−−→AB (sau cu litere mici):
−−→AB={
CD|CD∼AB}.
Observaţie. Dacă AB∼CD, atunci−−→AB=
−−→CD. Dacă−→u=
−−→AB=
−−→CD, atunci spunemcă segmentulAB (sauCD) este
un reprezentant al vectorului−→u .Definiţie. Lungimea (saumodulul) unui vector este lungi-mea oricărui reprezentant al său şi se notează cu |−→u |.Definiţie. Vectorul de lungime nulă
−→AA se numeşte vecto-
rul nul şi se notează 0.
.Vectori
..
Definiţie. Vectorii−−→AB şi
−−→CD sunt egali (
−−→AB=
−−→CD), dacă
segmentele orientateAB şiCD sunt echipolente.Observaţie. Doi vectori sunt egali dacă au acelaşi modul,aceeaşi direcţie şi sens.Teoremă. (Existenţa reprezentantului cu origine dată)Pentru orice vector−→u şi orice punctM , există un unic seg-
ment orientatMM ′ pentru care−→u=−−−→MM ′.
Consecinţă. Dacă−−→MA=
−−→MB, atunciA=B.
..
Mulţimea segmentelor
.
orientate
.
A
.
B
.
C
.
D
.
−→u
.
=
.
F
.
E
.
H
.
G
.
−→v
.=
−→u=−−→AB=
−−→CD=...,
−→v =−−→EF=
−−→GH=...,
CD este un reprezentant al vecto-rului−→u ,z EF este un reprezentant al lui−→v ,−−→AB=
−−→CD.
2
2. Geometrie analitică..
Fie xx′ şi yy′ două axe perpendiculare care se intersec-tează în punctulO.Definiţie. Sistemul (xOx′,yOy′) se numeşte reper carte-zian sau reper ortonormat. PunctulO se numeşte origineareperului. Semidreapta [Ox este semiaxa pozitivă, [Ox′
este semiaxa negativă.Notaţie. Reperul (xOx′,yOy′) se notează (xOy). Vecto-rii unitate (versorii) pentru axele [Ox respectiv [Oy suntnotate cu i, j.
.Reper cartezian în plan
..
Fie M un punct oarecare în planul reperului cartezianxOy. Fie xM coordonata proiecţiei punctului M pe axaOx, yM coordonata proiecţiei punctuluiM pe axaOy.Definiţie. Numărul real xM se numeşte abscisa, iar numă-rul yM se numeşte ordonata punctului M şi se foloseştescriereaM(xM ,yM ). Perechea ordonată de numere reale(xM ,yM ) se numeşte coordinatele punctuluiM .
O altă definiţie (echivalentă) este:Definiţie. Vectorul de poziţie −→rM=
−−→OM al punctului M
se descompune în mod unic după vectorii i şi j:−−→OM=
xM ·i+yM ·j, xM ,yM∈R. Numerele xM , yM sunt coor-donatele punctuluiM .Notaţie. Formal, putem scrie−→rM=(xM ,yM ).
.Coordonate carteziene
..
ţa dintre punctele A(xA,yA) şi B(xB ,yB) este dată deformula
AB=√
(xB−xA)2+(yB−yA)2.
.Distanţa a două puncte
18
Problemă. Să se determine perimetrul triunghiului AOB,undeA(3,4),B(12,5).S. OA=
√32+42=5, OB=
√122+52=13, AB=
√92+12=√
82, deci PAOB△=18+√82.
Problemă. Să se determine valoarea numărului m∈Rastfelîncât distanţa punctelorA(2;m) şiB(m;−2) să fie egală cu 4.S.AB=
√(m−2)2+(−2−m)2=4⇔2m2+8=16⇔m=±2.
..
Fie −→u=(a1,b1) şi −→v =(a2,b2) doi vectori şi λ un număreal.Proprietăţi. (Egalitatea a doi vectori)−→u=−→v ⇔(a1=a2 ésb1=b2).Proprietăţi. (Suma a doi vectori) −→u+−→v =(a1+a2,b1+b2).Proprietăţi. (înmulţirea unui vector cu un număr real)λ·−→u=(λ·a1,λ·b1).Proprietăţi. (Produsul scalar a doi vectori) −→u ·−→v =a1·a2+b1·b2∈R.Proprietăţi. Lungimea vectorului−→u ∥−→u ∥=
√a21+b21.
Consecinţă. Din definitţia produsului scalar
cos(u,v)=a1a2+b1b2√
a21+b21·
√a22+b22
.
Consecinţă. Vectorul−→u este perpendicular pe vectorul−→v -re dacă şi numai dacă a1a2+b1b2=0.Teoremă. Vectorii−→u şi−→v sunt paraleli dacă şi numai dacăa1
a2
=b1
b2, a1,a2,b1,b2 =0 sau a1=a2=0 sau b1=b2=0.
.Operaţii cu vectori în coordonate carteziene
19
Problemă. Fie vectorii −→a =−→i +
−→j ,
−→b =
−→i −−→
j şi−→u=6
−→i +2
−→j . Să se determine numerele reale p,r∈R
astfel încât−→u=p−→a +r−→b !
S. −→u=(1,1), −→v =(1,−1), −→u=(6,2). p−→a +r−→b =
Consecinţă. Coordonatele mijlocului M al segmentului[AB]:
M
(xA+xB
2,yA+yB
2
).
Consecinţă. Coordonatele centrului de greutate al triun-ghiuluiABC:
G
(xA+xB+xC
3,yA+yB+yC
3
).
Problemă. În triunghiul ABC fie G centrul de greutate.Ştiind că vectorul de poziţie al unctului A, B, G este −→rA=
4−→i +7
−→j , −→rB=2
−→i −−→
j respectiv −→rG=4−→i +4
−→j , să se deter-
mine vectorul de poziţie al punctuluiC.
S. (4,4)=(
4+2+xC
3,7−1+yC
3
)⇔xC=6,yC=6⇔C(6,6).
21
3. Trigonometrie
3.1. Elementele trigonometriei
..
Definiţie. Raportul dintre semiperimetrul şi raza unui cerceste constant şi se notează prin π (valoarea aproximativăeste π≈3,1415).Definiţie. Măsura unui unghi la centrul unui cerc cuprin-zând un arc de cerc a cărui lungime este egală cu raza cer-cului este de 1 radian.Observaţie. Dacăα este măsura unui unghi în grade iar xr
este măsura unghiului în radiani, atunci este adevărată re-laţia
α
xr
=180
π.
.Măsura unghiurilor în radiani
..O. A.
P0
.
Pπ/6
.
Pπ/3
.
Pπ/2
.
P2π/3
.
P5π/6
.Pπ
.
P7π/6
.
P4π/3
.
P3π/2
.
P5π/3
.
P11π/6
.
I.
.
II.
.
III.
.
IV.
27
..
Definiţie. Fie xOy un reper cartezian. Cercul cu centrulîn O şi cu raza egală cu 1 pe care este indicat sensul tri-gonometric direct (invers acelor ceasornicului) se numeştecercul trigonometric.Notaţie. Fie t∈R un număr real. Atunci există un unicpunctPt pe cercul trigonometric pentru carem(AOPt)=t.
.Cercul trigonometric
..
Fie t un număr real şiPt punctul pentru carem(AOPt)=t.Definiţie. Ordinata punctului Pt se numeşte sinusul nu-mărului real t şi se notează prin sint.Definiţie. Abscisa punctului Pt se numeşte cosinusul nu-mărului real t şi se notează prin cost.
.Sinusul şi cosinusul
..O.
A.
Pt
. t.cost.
sint
..O.
A.
Pt
. t.tgt
.
T
.
ctgt
.
T ′
..
Definiţie. Fie dtg dreapta verticală de ecuaţiex=1 şi fie dctgdreapta orizontală de ecuaţie y=1.
Definiţie. Fie t∈R\{
π
2+kπ| k∈Z
}şi T intersecţia drep-
telor OPt şi dtg. Ordinata punctului T se numeşte tan-genta numărului t şi se notează prin tgt.Definiţie. Fie t∈R\{kπ| k∈Z} şi fie T ′ intersecţia drep-telor OPt şi dctg. Abscisa punctului T ′ se numeşte cotan-genta numărului real t şi se notează prin ctgt.
.Tangenta şi cotangenta
28
..
x 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6π
sinx 0 12
√2
2
√3
2 1√
32
√2
212 0
cosx 1√
32
√2
212 0 − 1
2 −√
22 −
√3
2 −1
tgx 0√
33 1
√3 | −
√3 −1 −
√3
3 0
ctgx |√3 1
√3
3 0 −√
33 −1 −
√3 |
.Valori remarcabile
..
x∈C2 x∈C3
sinx=sin(π−x) sinx=−sin(x−π)
cosx=−cos(π−x) cosx=−cos(x−π)
tgx=−tg(π−x) tgx=tg(x−π)
ctgx=−ctg(π−x) ctgx=ctg(x−π)
x∈C4
sinx=−sin(2π−x)
cosx=cos(2π−x)
tgx=−tg(2π−x)
ctgx=−ctg(2π−x)
.Reducerea la primul cadran
..
x 0 C1π
2C2 π C3
3π
2C4 2π
sinx 0 + 1 + 0 − −1 − 0
cosx 1 + 0 − −1 − 0 + 1
tgx 0 + +|− − 0 + +|− − 0
ctgx |+ + 0 − −|+ + 0 − −|
.Semnul funcţiilor trigonometrice
29
..
x 0 C1π
2C2 π C3
3π
2C4 2π
sinx 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0
cosx 1 ↘ 0 ↘ −1 ↗ 0 ↗ 1
tgx 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0 ↗ +∞|−∞ ↗ 0
ctgx |+∞ ↘ 0 ↘ −∞|+∞ ↘ 0 ↘ −∞|
.Monotonia funcţiilor trigonometrice
..
sin2x+cos2x=1 (formula fundam.) tgx=sinxcosx
=1
ctgx
sin(
π
2−x
)=
cosx
sin(−x)=−sinx sin(x+2π)=sinx
cos(
π
2−x
)=
sinx
cos(−x)=cosx cos(x+2π)=cosx
tg(
π
2−x
)=ctgx tg(−x)=−tgx tg(x+π)=tgx
ctg(
π
2−x
)=tgx ctg(−x)=−ctgx ctg(x+π)=ctgx
.Formule trigonometrice fundamentale
30
2. Şiruri de numere reale
2.1. Şiruri reale
..
Definiţie. Se numeşte şir real o funcţie f :{k,k+1,k+2,...}→R (k∈N). Şirul se notează prin (an), unde an=f(n).Definiţie. Şirul (an)n≥k este
.. crescător, dacă an+1≥an, ∀n≥k;
.. descrescător, dacă an+1≤an, ∀n≥k;
.. mărginit, dacă ∃m,M∈R astfel încâtm≤an≤M ,∀n≥k;
.. periodic, dacă∃t∈N∗ astfel încât an+t=an, ∀n≥k
..
Definiţie. Limita şirului (an)n≥k este numărul α, dacă şinumai dacă în afara oricărei vecinătăţi V a lui α există celmult un număr finit de termeni ai şirului:limita şirului (an)=α⇔∀V=V (α), ∃nV ∈N astfel încâtan∈V , ∀n≥nV .Notaţie. Dacă limita şirului (an) este α, se scrie:lim
n→∞an=α.
Teoremă. Fie (an)n∈N un şir de numere reale, α∈R... lim
n→∞an=α⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât |an−
α|<ε, ∀n≥n0... lim
n→∞an=∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an>
ε, ∀n≥n0.
.Limita unui şir
46
..
.. limn→∞
an=−∞⇔∀ε>0, ∃n0∈N astfel încât an<
−ε, ∀n≥n0.Definiţie. Şirul (an) este convergent, dacă are limită finită.Un şir care nu este convergent este divergent.Teoremă. Dacă un şir are limită, atunci limita şirului esteunică.Teoremă. lim
n→∞an=α⇒ lim
n→∞|an|=|α|.
Teoremă. limn→∞
an=0⇔ limn→∞
|an|=0.
Teoremă. Dacă (an) este convergent, atunci (an) estemărginit.
.Limita unui şir - continuare
Problemă. Să se demonstreze că limn→∞
2n+1
3n−1=
2
3.
S. Trebuie arătat că pentru orice ε>0 există n0 astfel încât pen-
tru orice n≥n0,∣∣∣∣an−
2
3
∣∣∣∣<ε, unde an=2n+1
3n−1.∣∣∣∣ 2n+1
3n−1−
2
3
∣∣∣∣<ε⇔5
3(3n−1)<ε⇔
5
3ε<3n−1⇔
53ε+1
3<n,
deci se poate alege n0=
[5+3ε
15
]+1 ([A] este partea întreagă
număruluiA).
Problemă. Să se demonstreze că limn→∞
n2
n+1=∞.
S. Trebuie arătat că ∀ε>0, există n0 astfel încât pentru orice
n≥n0,n2
n+1>ε⇔n2−εn−ε>0⇔n∈
(−∞,
ε−√
ε2+4ε2
)∪(
ε+√
ε2+4ε2 ,∞
).
Fie n0=
[ε+
√ε2+4ε2
]+1, atunci an>ε, ∀n≥n0.
47
2.2. Operaţii cu şiruri reale
..
Definiţie. Fie şirurile (an)n∈N şi (bn)n∈N... Suma şirurilor este şirul (cn)n∈N, unde ck=ak+
bk , ∀k∈N;.. Produsul şirurilor este şirul (dn)n∈N, unde dk=
ak·bk , ∀k∈N;.. Câtul şirurilor este şirul (en)n∈N, unde ek=
ak
bk,
∀k∈N, dacă bk =0, ∀k∈N.Definiţie. Produsul şirului (an) cu numărul real λ este şi-rul (pn), unde pk=λ·ak , ∀k∈N.Teoremă. Dacă şirul (an) are limită, λ∈R∗, atunci şirul(λ·an) are limită şi
limn→∞
(λ·an)=λ· limn→∞
an.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar suma li-mitelor are sens, atunci şirul (an+bn) are limită şi
limn→∞
(an+bn)= limn→∞
an+ limn→∞
bn.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar produsullimitelor are sens, atunci şirul (an·bn) are limită şi
limn→∞
(an·bn)= limn→∞
an· limn→∞
bn.
Teoremă. Dacă şirurile (an) şi (bn) au limite iar câtul li-
mitelor are sens, atunci şirul(
an
bn
)are limită şi
limn→∞
(an
bn
)=
limn→∞
an
limn→∞
bn.
Nedeterminări: ∞+(−∞), 0·∞, 0·(−∞),±∞±∞
,0
0.
.Operaţii cu şiruri care au limită
48
Exemplu. limn→∞
2n+3
3n2+5n+2= lim
n→∞
n
(n+
3
n
)n
(3n+5+
2
n
)=
=limn→∞
n
(n+
3
n
)n
(3n+5+
2
n
)=
limn→∞
(n+
3
n
)lim
n→∞
(3n+5+
2
n
)=
=lim
n→∞n+ lim
n→∞
3
n
limn→∞
3n+ limn→∞
5+ limn→∞
2
n
=1+0
∞+5+0=
1
∞=0.
Exemplu. limn→∞
√3n2+n+1−
√n2+2n+3=‘‘∞−∞′′
=
= limn→∞
n·(√
3+1
n+
1
n2−√
1+2
n+
3
n2
)=
= limn→∞
n·(
limn→∞
√3+
1
n+
1
n2− lim
n→∞
√1+
2
n+
3
n2
)=
∞·(√3−
√1)=∞.
Exemplu. limn→∞
√n2+4n+3−
√n2+3n+1=‘‘∞−∞′′
==
limn→∞
√n2+4n+3+
√n2+3n+1)
√n2+4n+3−
√n2+3n+1
1=
= limn→∞
(√n2+4n+3)2−(
√n2+3n+1)2
√n2+4n+3+
√n2+3n+1
=
= limn→∞
n+2√n2+4n+3+
√n2+3n+1
=
limn→∞
=1+
2
n√1+
4
n+
3
n2+
√1+
3
n+
1
n2
=1
√1+
√1=
1
2.
49
Exemplu. limn→∞
1+1
3+...+
1
3n= lim
n→∞
1−(
1
3
)n+1
1−1
3
=
limn→∞
3
2
(1−
1
3n+1
)=
3
2.
Exemplu. limn→∞
7n
7n+11= lim
n→∞
1
1+11
7n
=1
1+0=1.
Problemă. Să se calculeze: limn→∞
n∑k=1
arctg1
k2+k+1.
S. Pentru k∈N∗ oarecare fie arctg1
k=α, arctg
1
k+1=β. Atunci
arctg1
k2+k+1=arctg
1
k−
1
k+1
1+1
k·
1
k+1
=arctgtgα−tgβ1+tgα·tgβ
=
=arctgtg(α−β)=α−β=arctg1
k−arctg
1
k+1,
astfel limn→∞
n∑k=1
arctg1
k2+k+1=
limn→∞
(arctg1−arctg
1
2+arctg
1
2−arctg
1
3+...+arctg
1
n−
1
n+1
)=
= limn→∞
(π
4−arctg
1
n+1
)=
π
4−0=
π
4.
50
4. Funcţii continue
4.1. Continuitatea funcţiilor
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0∈D, dacă şi numai dacă pentru orice vecinătate V (f(x0)) alui f(x0) există o vecinătate U(x0) a punctului x0 pentrucare ∀x∈D∩V (x0)⇒f(x)∈V (f(x0)).Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctulx0∈Ddacă şi numai dacă sau x0 este un punct izolat al luiD saulim
x→x0f(x)=f(x0).
Teoremă. (Criteriul lui Heine) Funcţia f :D→R este con-tinuă în punctul x0∈D dacă şi numai dacă pentru orice şir(xn), xn∈D, cu lim
n→∞xn=x0 avem lim
n→∞f(xn)=f(x0).
Teoremă. Funcţia f :D→R este continuă în punctul x0
dacă şi numai dacă ∀ε>0, ∃δ(ε)>0 astfel încât ∀x∈D,|x−x0|<δ(ε)⇒|f(x)−f(x0)|<ε.Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă pe mulţimea Ddacă f este continuă în fiecare punct al luiD.Teoremă. Funcţiile elementare sunt continue pe tot dome-niul lor de definiţie.
Problemă. Să se arate că funcţia
f :R→R, f(x)={
x2−2x , dacă x∈Qx−2 , dacă x∈R\Q
nu este continuă în punctul x0=3!S. Fie (an) un şir cu termeni raţionali şi an→x0, iar (bn) un şirde termeni iraţionali, bn→x0. Atunci lim
n→∞f(an)= lim
n→∞a2n−
2an=32−2·3=3, lim
n→∞f(bn)= lim
n→∞bn−2=3−2=1. Con-
form criteriului lui Heine f nu este continuă în x0=3.
67
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la stânga în punc-tul x0∈D, dacă x0 este un punct izolat al mulţimiiD saulim
x→x0x<x0
f(x)=f(x0).
Definiţie. Funcţia f :D→R este continuă la dreapta înpunctul x0∈D, dacă x0 este punct izolat al mulţimiiD saulim
x→x0x>x0
f(x)=f(x0).
.Continuitate laterală
..
Definiţie. Funcţia f :D→R este discontinuă în punctulx0∈D dacă şi numai dacă f nu este continuă în x0.Definiţie. Dacă ∃ lim
x→x0x<x0
f(x)=lb∈R, ∃ limx→x0x>x0
f(x)=lj∈R,
dar lb =lj , atunci f are discontinuitate de prima speţă înx0.Definiţie. Dacă f nu este continuă în punctul x0 şi discon-tinuitatea nu este de prima speţă, atunci f are discontinu-itate de speţa a doua.
.Puncte de discontinuitate
Exemplu. f :R→R,
f(x)=
2x−1 , dacă x<10 , dacă x=1x2 , dacă x∈(1,2)x+1 , dacă x∈[2,3]1
x−3, dacă x∈(3,∞)
f cont. pe (−∞,1)∪(1,2)∪(2,3)∪(3,∞).limx↗1
f(x)= limx↘1
f(x)=1, f(1)=0⇒f are discontinuitate în
x0=1.
68
limx↗2
f(x)=4, limx↘2
f(x)=3⇒f are discont. de prima speţă în
x1=2.limx↗3
f(x)=4, limx↘3
f(x)=+∞⇒f are discont. de speţa a doua
în x2=3.
Problemă. Să se verifice continuitatea funcţiei
f :R→R, f(x)=
sinxx
, dacă x<0
1 , dacă x=0
x2−2x+2 , dacă x>0
în punctul x0=0.S. Verificăm dacă lim
x↗x0f(x)= lim
x↘x0f(x)=f(x0).
limx↗x0
f(x)= limx↗0
sinxx
=1
limx↘x0
f(x)= limx↘0
x2−2x+2=1
f(x0)=f(0)=1
⇒lb(x0)=lj(x0)=
f(x0)⇒f este continuă în punctul x0=0.
Problemă. Să se determine valoarea lui a∈R ast-fel încât f să fie continuă pe R, unde f :R→R,
f(x)=
{ax2+x+a+1 , dacă x<1
x2+ax−2 , dacă x≥1.
S. Funcţia f este continuă pe (−∞,1) şi pe (1,∞) (funcţiileelementare sunt continue), deci verificăm continuitatea înpunctul x0=1.