1 Chapitre 1 Généralités 1.1 Centrale Thermique 1.1.1 Définition La centrale thermique est une centrale électrique qui produit de l'électricité à partir d'une source de chaleur (charbon, gaz, fioul, biomasse ou déchets municipaux). La source de chaleur chauffe un fluide (souvent de l'eau) qui passe de l'état liquide à l'état gazeux (vapeur). Cette vapeur entraîne une turbine couplée à un alternateur qui transforme l'énergie cinétique contenue dans la vapeur en énergie mécanique de rotation, puis en énergie électrique grâce à une génératrice de courant. 1.1.2 Principe de fonctionnement d’une centrale thermique Une centrale thermique fonctionne grâce à la combustion du gaz naturel, du charbon pulvérisé) ou du fuel dans une chaudière à vapeur. La chaleur des gaz de fumées et des flammes sert à chauffer la tuyauterie de la chaudière et transforme progressivement l'eau qui y circule en vapeur. Les gaz de fumées s’échappent par la cheminée. Dans les centrales à charbon, un électro filtre en retient d’abord les particules de poussière. La vapeur fait tourner la turbine à vapeur, qui à son tour entraîne l’alternateur pour produire l’électricité. Le transformateur élève la tension du courant produit, avant qu’il ne soit injecté dans le réseau de transport. Après son passage dans la turbine où elle libère son énergie, la vapeur se condense et retourne sous forme d’eau vers la chaudière. Dans le condenseur, la vapeur glisse sur des milliers de tubulures remplies d'eau froide pompée des eaux de surface (eau de refroidissement) et lui cède sa chaleur. La plupart des centrales refroidissent cette eau devenue relativement chaude, dans une tour de refroidissement, pour ensuite la réutiliser. Dans ces immenses tours de refroidissement, en forme d’hyperbole, l’eau entre en contact avec un courant d’air ascendant créé par le tirage naturel (effet de cheminée de la tour de refroidissement). Lorsque des ventilateurs créent ce flux d’air, la tour de refroidissement est plus petite, l’eau se refroidit et retombe sous forme de gouttelettes dans la tour de refroidissement ; L’air réchauffé saturé de vapeur d’eau, s’échappe de la tour de refroidissement en un nuage de vapeur blanc. Une grande partie de l’eau de refroidissement refroidie est pompée vers le condenseur et réutilisée et seul 1 à
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Chapitre 1
Généralités
1.1 Centrale Thermique
1.1.1 Définition
La centrale thermique est une centrale électrique qui produit de l'électricité à partir d'une
source de chaleur (charbon, gaz, fioul, biomasse ou déchets municipaux). La source de chaleur
chauffe un fluide (souvent de l'eau) qui passe de l'état liquide à l'état gazeux (vapeur). Cette vapeur
entraîne une turbine couplée à un alternateur qui transforme l'énergie cinétique contenue dans la
vapeur en énergie mécanique de rotation, puis en énergie électrique grâce à une génératrice de
courant.
1.1.2 Principe de fonctionnement d’une centrale thermique
Une centrale thermique fonctionne grâce à la combustion du gaz naturel, du charbon
pulvérisé) ou du fuel dans une chaudière à vapeur. La chaleur des gaz de fumées et des flammes
sert à chauffer la tuyauterie de la chaudière et transforme progressivement l'eau qui y circule en
vapeur. Les gaz de fumées s’échappent par la cheminée. Dans les centrales à charbon, un électro
filtre en retient d’abord les particules de poussière. La vapeur fait tourner la turbine à vapeur, qui
à son tour entraîne l’alternateur pour produire l’électricité. Le transformateur élève la tension du
courant produit, avant qu’il ne soit injecté dans le réseau de transport.
Après son passage dans la turbine où elle libère son énergie, la vapeur se condense et
retourne sous forme d’eau vers la chaudière. Dans le condenseur, la vapeur glisse sur des milliers
de tubulures remplies d'eau froide pompée des eaux de surface (eau de refroidissement) et lui
cède sa chaleur. La plupart des centrales refroidissent cette eau devenue relativement chaude,
dans une tour de refroidissement, pour ensuite la réutiliser. Dans ces immenses tours de
refroidissement, en forme d’hyperbole, l’eau entre en contact avec un courant d’air ascendant
créé par le tirage naturel (effet de cheminée de la tour de refroidissement). Lorsque des
ventilateurs créent ce flux d’air, la tour de refroidissement est plus petite, l’eau se refroidit et
retombe sous forme de gouttelettes dans la tour de refroidissement ; L’air réchauffé saturé de
vapeur d’eau, s’échappe de la tour de refroidissement en un nuage de vapeur blanc. Une grande
partie de l’eau de refroidissement refroidie est pompée vers le condenseur et réutilisée et seul 1 à
2
1,5 % s’évapore. Une centrale thermique transforme 35 à 40 % de l’énergie du combustible en
électricité. Elle fournit parfois aussi de la chaleur, sous forme de vapeur d’eau [1].
1: Chaudière à vapeur 5 : Transformateur 2: Electro filtre 6 : Condenseur 3: Turbine à vapeur 7 : Tour de refroidissement 4: Alternateur
Fig.1.1 Schéma d’une centrale thermique [1]
1.2 Turbine à vapeur
1.2.1 Définition
La turbine à vapeur est un moteur thermique rotatif qui convertit l’énergie d’un courant de
vapeur d’eau ou en énergie mécanique. Plus généralement c’est un organe qui permet la
détente d’un fluide en transformant son énergie sous forme mécanique [2].
1.2.2 Historique
La turbine à vapeur est le fruit du travail de nombreux chercheurs et ingénieurs, à la fin du
XIX e siècle. Parmi les contributions notoires au développement de ce type de turbine, on peut
mentionner celle du Britannique Charles Algernon Parsons et celles du Suédois Carl Gustav
Parsons fut à l’origine du principe de la séparation des étages, selon lequel la vapeur se dilate dans
un certain nombre d’étages, produisant à chaque fois de l’énergie. De Laval fut le premier à
concevoir des jets et des augets adaptés à une utilisation efficace de la vapeur en expansion [3].
1.2.3 Différents catégories des turbines
3
Les turbines sont classées selon leur mode de fonctionnement ainsi qu’a leurs modes
de constructions. On distingue trois grandes catégories de turbines :
� turbines hydrauliques ou à eau.
� turbines à gaz.
� turbines à vapeur.
Dans cette étude, on se limite à l’étude des turbines à vapeur.
1.2.4 Description de la turbine à vapeur
La turbine à vapeur comprend une partie fixe appelée stator qui porte des aubages directeurs.
La vapeur en provenance de l’évaporateur est admise dans un collecteur. Elle s’écoule ensuite dans
des canaux fixes (c’est là où l’énergie thermique se transforme en énergie cinétique) et dans des
canaux mobiles (les énergies thermiques et cinétiques sont transformées en énergie mécanique). Les
canaux fixes et mobiles se succèdent les uns à la suite des autres dans le sens de l’écoulement. La
vapeur en provenance du générateur de vapeur est introduite dans les premiers étages de la turbine à
travers des vannes d’admission et des soupapes de réglage asservies aux dispositifs de sécurité et de
réglage de la turbine. La vapeur est détendue adiabatiquement en produisant un travail mécanique.
La détente de la vapeur à travers les divers étages de la turbine se fait de façon différente selon qu’il
s’agisse de turbines à action ou à réaction.
Fig.1.2 Schéma de turbine à vapeur (Parsons) [4] Fig.1.3 Rotor d’une turbine à vapeur [5]
Aubage fixe
Aubage mobile
L’arbre
4
1.2.5 Principe de fonctionnement
Bien que les turbines à vapeur soient construites selon deux configurations différentes (à
action ou à réaction), leurs éléments essentiels sont similaires. Elles se composent de tuyères ou de
jets, et d’ailettes (aubes). La vapeur s’écoule dans les tuyères, dans lesquelles elle se dilate, ainsi, sa
température diminue et son énergie cinétique augmente. La vapeur en mouvement exerce une
pression contre les aubes, entraînant leur rotation. La disposition des jets et des aubes, fixes dépend
du type de turbine. À la sortie du dernier condenseur, l’eau peut être de nouveau vaporisée et
surchauffée, l’eau ou la vapeur récupérée en sortie est ramenée vers la chaudière par des pompes.
La turbine à vapeur utilise les principes de la thermodynamique, lorsque la vapeur se dilate, sa
température et donc son énergie interne diminuent. Cette diminution de l’énergie interne
s’accompagne d’une augmentation de l’énergie cinétique sous forme d’une accélération des
particules de vapeur (une réduction de 100 kJ de l’énergie interne, due à la dilatation, peut
provoquer un accroissement de la vitesse des particules de vapeur de l’ordre de 2 800 km/h), à de
telles vitesses, l’énergie disponible est très importante. Lorsque la pression de la vapeur d’eau en
sortie de la turbine est égale à la pression atmosphérique, la turbine est dite à condensation.
Aujourd’hui, les turbines à vapeur sont généralement limitées à une température maximale de
580 °C dans le premier étage, et à une pression maximale d’admission de 170 à 180 bars [3].
Fig.1.4 Principe de fonctionnement d’une turbine à vapeur [6]
1.2.6 Différents types de turbines à vapeur
En fonction de leur utilisation, on distingue quatre grandes catégories de turbines à
vapeur :
� Les turbines à condensation
Dans les quelles la vapeur est complètement détendue jusqu'à une pression voisine de
0,02 à 0,04 bar, puis liquéfiée dans un condenseur refroidi soit par l'air ambiant, soit par de l'eau
. Ce type de turbine est surtout utilisé dans les installations de production de force motrice.
Source d’énergie
(Combustible,
Fossile,….)
Production de la chaleur
Alternateur Turbine Chaudière
Vaporisation Forte Température haute pression Couple
(L’énergie Calorifique) (Énergie de pression) (Énergie mécanique) (Énergie électrique)
5
La pression de sortie de la vapeur étant basse, ce qui fait apparaître des condensats dans la tur
bine qu’il faut évacuer par le biais de purgeur. Le rendement global est de l’ordre de
30% (Fig1.5.a).
� Les turbines à contre-pression
Dans les quelles la vapeur est détendue de la pression HP (> 40 bars) jusqu'à une pression B
P (de l'ordre de 4 bars). Ce type de turbine permet de produire de la puissance mécanique ou de
l'électricité grâce aux hautes températures et pressions que l'on peut obtenir dans une
chaudière. Dans ce type de turbine, la vapeur reste strictement en phase gazeuse,
après détente, l’intérêt est de délivrer de la vapeur à un niveau enthalpique suffisant pour
qu’elle soit utilisable (exemple : séchage). L’inconvénient de ce type de turbines
c’est qu’avec une pression de sortie de 3 bars, il est difficile d’atteindre un rendement
thermodynamique supérieur à 18 %. (Fig1.5.b).
� Les turbines à soutirage et condensation :
Dans les quelles la vapeur subit une détente partielle jusqu’ à une moyenne pression
(environ 20 bars) dans un corps haute pression. Ensuite une partie est dirigée vers un réseau
d’utilisation, tandis que le reste de la vapeur est détendu dans un corps basse pression, comme dans
une turbine à condensation. Ce type de turbine trouve un champ d’application important dans les
usines de cogénération dont les demandes de chaleur sont susceptibles de varier fortement au cours
du temps (Fig1.5.c).
� Les turbines à soutirage et contre-pression :
la seule différence par rapport à la précédente, est que la vapeur d’eau s’échappe à
basse pression dans un réseau BP au lieu d’être condensée. (Fig1.5.d) [2].
6
Fig.1.5 Différents types de turbines à vapeur [2]
1.2.7 Classification des turbines à vapeur
On peut classer les turbines à vapeur selon leurs mode de fonctionnement en :
� Turbine à action
La forme la plus simple de turbine à vapeur est la turbine à action, dans la quelle les jets
sont fixés sur la partie intérieure de l’enveloppe de la turbine, les aubes sont placées sur le bord
des roues tournantes montées sur un arbre central. La vapeur qui se déplace dans une tuyère
fixe passe sur ces ailettes incurvées, qui absorbent une partie de l’énergie cinétique de la vapeur
dilatée, faisant ainsi tourner la roue et l’arbre sur lesquels elles sont montées. Cette turbine est
conçue de manière à ce que la vapeur entrant par une extrémité de la turbine se dilate à travers
une succession de tuyères jusqu’à ce qu’elle ait perdu la majeure partie de son énergie interne
[3].
7
Fig.1.6 Turbine à action [7]
� Turbine à réaction
Dans la turbine à réaction, une partie de l’énergie mécanique est obtenue par l’impact de la
vapeur sur les aubes. La partie la plus importante est obtenue par l’accélération de la vapeur lors de
son passage dans la roue de la turbine, où elle se dilate. Une turbine de ce type se compose de deux
jeux d’aubes, l’un fixe l’autre mobile. Ces aubes sont disposées de telle façon que chaque paire joue
le rôle de tuyère, à travers laquelle la vapeur se dilate lors de son passage. Dans chaque étage, une
faible quantité d’énergie thermique est convertie en énergie cinétique. La vapeur se détend dans les
aubes fixes, puis entraîne les aubes mobiles disposées sur la roue ou le tambour de la turbine. Les
aubes d’une turbine à réaction sont en général montées sur un tambour. Les turbines à réaction
nécessitent en général davantage d’étages que les turbines à action. Il a été démontré que, pour le
même diamètre et la même gamme énergétique, une turbine à réaction à besoin de deux fois plus
d’étages pour obtenir un rendement maximal. Les grosses turbines, qui sont généralement à action,
utilisent une certaine réaction à la base du trajet de vapeur pour assurer un débit efficace à travers
les aubes un certain nombre de turbines, qui sont normalement à réaction, disposent d’un premier
étage de commande d’impulsion, qui permet d’envisager la réduction du nombre total d’étages
Fig2.3 Vrillage d’une aube depuis le pied jusqu’au sommet
(a) (b)
17
Lors du fonctionnement de la turbine, le courant de vapeur provient du distributeur avec une
vitesse →V et arrive au niveau des aubes mobiles tournant avec une vitesse périphérique donnée. De
la combinaison de ses deux vitesses absolue et périphérique est déduite la vitesse relative.
UVWrrr
−= (2.1)
Les directions et les valeurs des ces vitesses à l’entrée et la sortie des aubes mobiles sur
toutes la hauteur, sont données grâce aux triangles de vitesses (figure 2.4).
Fig.2.4 Triangles de vitesse à l’entrée et à la sortie de l’aube
Indice1 : entrée du rotor
Indice 2 : sortie de l’aube
L’équation vectorielle simple donne les relations entre les différentes vitesses :
UWVrrr
+= (2.2)
En en déduit la relation algébrique :
V� � W� U� � 2. U. W. cos�� �2.3�
Puisque les triangles de vitesses peuvent être construits depuis le pied jusqu’au sommet de
l’aube, on pourra généraliser cette équation si on maintient la vitesse absolue de la vapeur à l’entrée
ou à la sortie de l’aube constante ; on obtient ainsi la relation suivante indiquant la variation des
angles )k(i
β depuis le pied de l’aube jusqu’à son sommet.
V�� � W�� U�� � 2. U�. W�. cos��� �2.4�
k= 1 : entrée de l’aube
k= 2 : sortie de l’aube
i: pas de variation sur la hauteur de l’aube
18
Ainsi, pour les différentes vitesses périphériques (Ui) des aubes mobiles et pour différentes
valeurs du rayon sur la hauteur de l’aube, on obtient différentes valeurs des vitesses relatives (Wi),
pour une vitesse absolue constante. Si on superpose les triangles des vitesses depuis le pied d’aube
jusqu’à son sommet, on constate clairement la variation des angles )k(i
β ce qui conduit à une
variation obligatoire de la géométrie de l’aube. Cette variation n’est en fait qu’une torsion du sommet de l’aube par rapport à sa base dite Vrillage dans le domaine des turbines (figure2.5).
Fig2.5 Vrillage conditionné par un écoulement à vitesse absolue constante
2.4 Vrillage conditionné par une vitesse absolue d’entrée constante
Les aubes longues droites sont exposées à des conditions de travail pénible vu leur
dimension et volumes importants (forces centrifuges excessivement grandes contraintes thermique,
etc.…) [ ].Ceci nous oblige à prévoir certaines conditions que l’on impose au préalable pour
atténuer les qu’elles subissent. Un écoulement de vapeur uniforme sur toute la hauteur de l’aube
permet une meilleure régularité des efforts tout au long de sa hauteur ce qui offre la possibilité de
bien contrôler les problèmes mécaniques et vibratoires. On peut obtenir cet écoulement en
choisissant la vitesse absolue de la vapeur l’entrée du pied au sommet de l’aube [ ].
Fig2.6 Aube vrillée
19
2.5 Exemple de validation
2.5.1. Application & calculs
Pour bien interpréter le phénomène du vrillage on a réalisé un calcul type pour un étage à basse
pression (BP) d’une turbine à vapeur munie d’aubes longues, et qui sera par la suite généralisé
numérisé par à un programme de calcul que nous avons complètement développé, afin d’éliminer
les répétitions de calcul à travers les différents étages, en partant d’un cas pratique d’une turbine à
vapeur à contre pression avec les données de départ [ ] et [ ]:
1. vitesse de rotation du rotor : N = 3000 tr/min.
2. hauteur de l’aube : L= 0.36 m.
3. vitesses absolues V1et V
2 à l’entrée et à la sortie de l’aube, respectivement :V1 = 315.75
m/s V2 = 68.93 m/s.
4. diamètre au pied de l’aube : d = 1.2 m.
5. angles α1, α
2 respectivement à l’entrée et à la sortie de l’aube, déduits des triangles de
vitesse au pied de l’aube α1= 14°, α
2= 130.75°
On peut alors calculer les valeurs des angles )k(i
β du vrillage sur toute la hauteur de l’aube pour
un pas de variation fixe et choisi. Les vitesses périphériques de l’aube sont données par la relation
suivante: U� � ω�. r� � ω�. ��� �2.5�
Pour cet exemple, on utilise un pas de variation constant ∆r = 4 cm tout au long de la hauteur de
l’aube. On pourra calculer pour chaque pas de variation les vitesses périphériques (Ui), les vitesses
relatives (Wi) et cela grâce aux triangles de vitesses (figure 2.7):
• Entrée de l’aube
W�� � V�� U�� � 2. U�. V�. cos� � � � �2.6�
V1
: vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube
• Sortie de l’aube
W�� � V�� U�� � 2. U�. V�. cos� � � �2.7�
V2
: vitesse absolue de la vapeur à l’entrée de l’aube
20
Fig.2.7 Triangles de vitesse (entrée et sortie de l’aubage mobile [ ].
Pour un pas de variation ∆r = 4 cm, on peut déterminer les différentes valeurs des vitesses Ui
correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube en utilisant la relation (2.5), les
Tableau 5 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °) a la sortie de l’aube.
22
2.6 Modélisation du vrillage des aubes de turbine
2.6.1 La méthode des moindres carrées
2.6.1.1 Introduction
Les résultats obtenus décrivant le vrillage peuvent être généralisés et mieux présentés sous
forme d’une seule fonction analytique compacte et très pratique. Pour déterminer le modèle
mathématique qui lie les différentes valeurs (ri) aux �β��� on propose d’utiliser la méthode des
moindres carrés.
2.6.1.2 Démarche de la méthode
La méthode des moindres carrés a été développée par Gauss et Legendre à la même époque
de façon indépendante [ ]. Elle permet de relier un ensemble de points expérimentaux à une
équation mathématique en lissant les erreurs de mesures. Cette méthode est applicable à un grand
nombre des problèmes différents. Elle peut par exemple servir pour filtrer les erreurs de mesures.
En général les moindres carrés sont utilisés pour représenter grâce à une famille de fonction
f (xi) d'une ou plusieurs variables muettes xi indexées par un ou plusieurs paramètres inconnus. La
méthode permet de trouver une fonction qui peut représenter le mieux les donnés expérimentales,
c'est-à-dire la fonction qui minimise la somme quadratique des déviations des mesures par rapport à
la prédiction de f (xi) [ ]. Par exemple pour une série de n mesure yi, (i allant de 0 à n) , les
paramètres a optimiser au sens de la méthode des moindres carrés sont ceux qui minimisent la
quantité:
φ � ∑ �∆y���4�56 � ∑ 7y� � P�x��:�4�56 �2.14�
y� : représentent les valeurs de la fonction aux points x�. P�x�� : représentent les valeurs à partir du polynôme d’interpolation.
n : indice indiquant le nombre de couple de points choisis (x� La méthode des moindres carrés est très utilisée en science expérimentale car elle permet de calculer facilement des paramètres théoriques qui n'apparaissent pas directement. Dans ce travail pour modélisé les fonctions donnant les angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube :
β� � f�r� �2.15. a�
Et
β� � f�r� �2.15. b�
23
On utilise la méthode de moindre carrée, forme polynomiale. On à intérêt à ce que la forme de cette fonction soit la plus simple possible pour cela on se propose de choisir pour notre cas le polynôme du 4eme degré suivant :
P�x� � a6 a�x a�x� a>x> a?x? �2.16�
Dans notre cas d’étude :
• à l’entrée l'aube
�r� � a6 a�r a�r� a>r> a?r? �2.17�
• à la sortie l'aube
�r� � a6 a�r a�r� a>r> a?r? �2.18�
β@ : Angles de vrillage à l’entrée (k=1) et à la sortie de l’aube (k=2).
Une condition nécessaire pour que la quantité φ�a6, a�, a�, a>, a?� soit minimale localement en �a6, a�, a�, a>, a?, aC� est que les dérivées de φ sont nulles par rapport �a6, a�, a�, a>, a?, aC�.
Si on minimalise la quantité φ�a6, a�, a�, a>, a?, aC� par rapport aux inconnues a6, a�, a�, a>, a?, aC on obtient :
On se propose de tracer les courbes β�� � f�r�� ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé)
qui represante les angles de vrillage à l’entrée de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.
26
Fig. 2.8. Angle de vrillage β�� à l’entrée de l’aubage
On remarque la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le modèle
proposé ce qui permet de valider le modèle proposé.
• Cas sortie de l’aube
Comme pour la cas précédant, pour trouver le polynôme d’interpolation, on exploite les 10 valeurs
des �β��� (angles de vrillage à la sortie de l’aube) et les 10 valeurs � r�� (différentes valeurs sur la
hauteur de l’aube) portés sur le tableau suivant :
On se propose de tracer les courbes β�� � f�r�� ( d’après les calculs et d’après le modèle proposé)
qui represante les angles de vrillage à la sortie de l’aube en fonction en fonction de la distance radiante sur la hauteur de l’aube pour pouvoir effectuér une comparaison dans le but de valider le modèle proposé.
Fig. 2.9. Angle de vrillage β�� à la sortie de l’aubage
On remarque là aussi la grande concordance entre les courbes, d’après les calculs et d’après le
modèle proposé ce qui permet de valider le modèle proposé.
Enfin pour une meilleure illustration, on superpose toutes les courbes d’après les calculs et d’après les modèles proposés pour les deux situations, entrée et sortie de l’aube.
79
79,5
80
80,5
81
81,5
82
82,5
83
83,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
an
gle
be
tta
2 (
°)
distance sur la hauteur de l'aube en (m)
betta 2 calculs
batta 2 modèle
28
Fig.2.10.angle de vrillage β1i et β2i ( entrée et sortie de l’aube)
2.7 Présentation du programme de calcul
Un programme de calcul a été élaboré et réalisé en utilisant le langage scientifique Matlab dans
le but de déterminer les angles de vrillage β1i et β2i à l’entrée et à sortie de l’aube et cela dans le but
de réduire le temps de calculs ainsi que les calculs long et répétitifs . Un algorithme simple de ce
programme est présenté avec tous les détails au paragraphe 2.5.1. Pour valider ce programme de
calcul on se propose de recalculer l’exemple précédant .
Vitesse du rotor (tr/min) 3000
Hauteur de l’aube (m) 0.24
vitesses absolues V1(m/s) 303.5
vitesses absolues V1(m/s) 94.22
diamètre au pied de l’aube (m) 1.5
angle d’attaque α1 (°)
25
Angle d’attaque α2 (°)
122.45
Pour un pas de variation ∆r = 1 cm, on peut déterminer à l’aide du programme de calcul, les
différentes valeurs des vitesses Ui correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
an
gle
s d
e v
rill
ag
e e
n (
°)
distance sur la hauteur de l'aube (m)
betta 1 calculs
betta 1 modèle
betta 2 calculs
betta 2 modèle
29
Rayons r�[m] vitesses Ui[m/s]
0.75 235.6194
0.76 238.7610
0.77 241.9026
0.78 245.0442
0.79 248.1858
0.80 251.3274
0.81 254.4690
0.82 257.6106
0.83 260.7522
0.84 263.8938
0.85 267.0354
0.86 270.1770
0.87 273.3186
0.88 276.4602
0.89 279.6017
0.90 282.7433
0.91 285.8849
0.92 289.0265
0.93 292.1681
0.94 295.3097
0.95 298.4513
0.96 301.5929
0.97 304.7345
0.98 307.8761
0.99 311.0177
Tableau 6 : Différentes valeurs des vitesses d’entrainements (Ui).
30
On peut aussi grâce au programme de calcul déterminer, les différentes valeurs des vitesses W1i et
W2i correspondant aux variations du rayon r sur la hauteur de l’aube.
• A l’entrée et sorite de l’aube on trouve :
Rayons r�
vitesses W1i[m/s] vitesses W2i[m/s]
0.75 295.3204 319.1978
0.76 296.4776 322.3002
0.77 297.6633 325.4034
0.78 298.8774 328.5074
0.79 300.1195 331.6120
0.80 301.3892 334.7174
0.81 302.6862 337.8234
0.82 304.0101 340.9300
0.83 305.3606 344.0373
0.84 306.7374 347.1452
0.85 308.1400 350.2537
0.86 309.5681 353.3628
0.87 311.0214 356.4725
0.88 312.4996 359.5827
0.89 314.0022 362.6935
0.90 315.5289 365.8048
0.91 317.0795 368.9166
0.92 318.6534 372.0289
0.93 320.2504 375.1417
0.94 321.8702 378.2550
0.95 323.5124 381.3687
0.96 325.1766 384.4829
0.97 326.8625 387.5975
0.98 328.5699 390.7126
0.99 330.2983 393.8281
Tableau 7 : Différentes valeurs des vitesses relatives �W��� à l’entrée et à la sortie de l’aube.
31
De même à l’aide du programme de calcul on peut calculer les angles caractérisant le vrillage à l’entrée et à
la sortie de l’aube.
Rayons r�Angles �β��� (°) Angles �β��� (°)
0.75 21.2944 80.8981
0.76 21.8602 80.9864
0.77 22.4216 81.0731
0.78 22.9785 81.1581
0.79 23.5308 81.2416
0.80 24.0785 81.3234
0.81 24.6216 81.4038
0.82 25.1600 81.4827
0.83 25.6936 81.5602
0.84 26.2226 81.6363
0.85 26.7467 81.7111
0.86 27.2661 81.7845
0.87 27.7806 81.8567
0.88 28.2904 81.9276
0.89 28.7953 81.9973
0.90 29.2953 82.0658
0.91 29.7905 82.1331
0.92 30.2808 82.1994
0.93 30.7663 82.2645
0.94 31.2469 82.3285
0.95 31.7227 82.3915
0.96 32.1936 82.4535
0.97 32.6598 82.5145
0.98 33.1211 82.5745
0.99 33.5776 82.6336
Tableau 10 : Différentes valeurs des angles de vrillage (β1 °), (β2 °) à l’entrée et à la sortie de l’aube
32
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 120
22
24
26
28
30
32
34
Rayon de pied d'aube(r)
Ang
le d
e vr
illag
e (B
etta
1)
Betta1 calculs
Betta1 modéle
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
81
81.2
81.4
81.6
81.8
82
82.2
82.4
82.6
82.8
Rayon de pied d'aube(r)
Ang
le d
e vr
illag
e (B
etta
2)
Betta2 calculs
Betta2 modéle
0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 120
30
40
50
60
70
80
90
Rayon de pied d'aube(r)
Ang
les
de v
rilla
ge (
Bet
ta1&
Bet
ta2)
Betta1 calculs
Betta1 modéleBetta2 calculs
Betta2 modéle
Le programme de calcul permet aussi de tracer les différentes courbes permettant de déterminer les valeurs des angles de vrillage à l’entrée et à la sortie de l’aube sur toute sa hauteur.
Fig. 2.11. Angle de vrillage β1 à l’entrée de l’aubage Fig. 2.12. Angle de vrillage β2 à la sortie de l’aubage
Les vitesses relatives �W��� (l’entrée de l’aube) en [m/s]
Les vitesses relatives �W��� (sortie de l’aube) en [m/s]
Les angles de vrillage (β1 ) (l’entrée de l’aube) en [°]
Les angles de vrillage (β2 ) (sortie de l’aube) en [°]
Les courbes :
Les angles du vrillage en fonction de rayon β1( r) (l’entrée l’aube)
Les angles du vrillage en fonction de rayon β2( r) (l’entrée l’aube)
End program aub_vrill
34
35
Chapitre 3
Vrillage et résistance à la flexion
3.1 Introduction
Dans ce chapitre nous allons effectuer des simulations numériques avec le logiciel ’ABAQUS, pour
différentes configurations d’aubes, longues et extra-longues, droites et vrilles, affin d’étudier la
rigidité à la flexion des aubes droite et vrillées.
3.2 Notions sur la résistance des matériaux
Définition1
La résistance des matériaux, aussi appelée RDM, est une discipline particulière de
la mécanique des milieux continus permettant le calcul des contraintes et déformations dans les
structures des différents matériaux (machines, génie mécanique, bâtiment et génie civil).
Définition 2
La résistance des matériaux est l'étude de la résistance et de la déformation des solides
(arbres de transmission, bâtiments, fusées,) dans le but de déterminer ou de vérifier leurs
dimensions afin qu'ils supportent les charges dans des conditions de sécurité satisfaisantes et au
meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions, des matériaux. . .)
3.3 Buts de la résistance des matériaux
La résistance des matériaux a deux objectifs principaux :
1. La connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (Comportement sous l’effet
d’une action mécanique) l'étude de la résistance des pièces mécaniques. (résistance
ou rupture)
2. L’étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le
matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation
et de résistance requises.
36
3.4 Flexion Une poutre est sollicitée à la flexion plane simple lorsque le système des forces extérieures se réduit
à un système plan et que toutes les forces sont perpendiculaires à la ligne moyenne.
L’ensemble des efforts de cohésion se réduit à deux composantes.
Un effort tranchant (Ty) porté par l’axe Gy, exprimé en (Newton).
• Un moment de flexion (Mfz) porté par l’axe Gz , exprimé en (Newton. mètre).
(figure 3.1).
Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la
flexion plane simple.
Fig. 3.1 Eléments de réduction : tranchantes et moment fléchissant 3.5 Contraintes
Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des
contraintes normales. Les contraintes de cisaillement sont négligeables. La contrainte normale σmax
en un point M d'une section droite (s) est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan
moyen passant par G. figure (3.2)
σ � Mg�x�I . y �3.1�
I : le moment quadratique calculé par rapport à l’axe qui passe par le centre de gravité de la section perpendiculairement au chargement. Mf(x) : la valeur maxi du moment fléchissant dans la section étudiée.
y : variable représentant la cote algébrique entre la fibre neutre et les fibres extrêmes (supérieure et inférieure) de la
section.
T
M f G
z
y
37
Fig3.2 la tendues et la comprimées des fibres
3.6 Conditions de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite
appelée contrainte pratique à l'extension σpe.
On a :
σij � σjs �3.2�
s : Coefficient de sécurité
La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le
seuil précédent, soit :
σkéjmmj � Mg�x�Iy n σij �3.3�
3.7 Etude de la déformée Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est
principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :
Mg � E. I. y" �3.4�
y
x G
σσσσmax
Zone des fibres tendues
Zone des fibres comprimées
38
Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce
aux conditions aux limites (appuis, encastrements...). Pour un appui simple y = 0 et pour un
encastrement y = 0 et y' = 0.
3.8 Etude de la flexion d'une poutre rectangulaire
En flexion simple, pour le cas d'une poutre rectangulaire lorsque la section est symétrique, la fibre neutre passe par le centre de gravité. Ainsi, (y) variera toujours de la valeur � q� à la valeur q�.
Fig. 3.3 Caract2ristiques géométriques du profil de la poutre
Pour une section rectangulaire l'expression de la contrainte normale maximale est donnée par la
relation :
σrQs � t6. Mguvwb. h� t �3.5�
Avec :
Iys � b. h>12 �3.6�
Et :
|y| � h2 �3.7�
Pour le cas d'un profil quelconque l'expression de la contrainte normale est :
σrQs � {MguvwIv { �3.8�
z x
y
+h/2
G
b
h
y
-h/2
0
39
3.9 Etude analytique de la de la flexion d'une poutre rectangulaire
3.9.1 Cas d'une poutre encastrée libre charge concentrée
On se propose d’étudier la flexion d'une poutre encastrée par une de ses extrémités et libre de
l'autre, soumise à une charge concentrée P=180 N, de langueur L = 0.25 m, de section rectangulaire
avec les caractéristiques géométriques b =0.004 m, h= 0.005 m (figures)
Fig. 3.4 poutre encastrée avec une force concentrée
Solution analytique
Schémas équivalent de la poutre :
Fig. 3.5 Schémas équivalent de la poutre
Pour 0 } x } L 1. Moment fléchissant
Mf = -P.x
x=0 M f =0
x=L M f = -P.L = -180.x
RA
B M
A B
P
A B
L
P
40
2. Courbe de moment fléchissant
Fig.3.6 diagramme de Mg�x� poutre avec une force concentrée
3. Equation de la flèche : Mg � E. I. y" � �P. x
E. I. y� � �P x�2 A
E. I. y � �P x>6 A. x B
Les constantes A et B sont déterminées à partir des conditions aux limites.
Au niveau de l'encastrement x = L
y��L� � 0 � P L�2 A � 0 A � P L�2
y�L� � 0 � P L>6 A. L B � 0 � P L>6 A. L B � 0 B � � P. L>3
Alors:
y � 1EI �� P. x>6 P. L�. x2 � P. L>3 �
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Mo
me
nt
flé
chis
san
t (N
,m)
x(m)
41
4. Courbe de la déformée
Fig.3.7 Diagramme de y�x� poutre avec une force concentrée
5. Contrainte de flexion :
σ�més � 6. M�mjsb. h� � �6. P. xb. h�
6. Courbe de la contrainte de flexion
Fig.3.8 Diagramme de y�x� poutre avec une force concentrée