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Clculo del rea por coordenadas aplicando la determinante de Gauss y la aplicacin de matrices en estructuras

Clculo del rea por coordenadas aplicando la determinante de Gauss y la aplicacin de matrices en estructuras

PRESENTACION

La Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera Civil, de la Facultad de Ingeniera de la Universidad Nacional HERMILIO VALDIZAN; mediante el curso de topografa II, a cargo del Ingeniero Civil Carlos Alberto Saenz Flores, tiene el agrado de presentar el siguiente trabajo monogrfico LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO CON TEODOLITO DE DEL MALECON ALOMIA ROBLES (desde puente san sebastian hasta el puente calicanto) de la Provincia y Regin Hunuco, correspondiente al curso, a fin de que sea utilizado como referencia por los estudiantes.

INTRODUCCIONDe qu manera podra unConstructorCivil llevar a cabo un proyecto de camino si ste no conoce la extensin, las construcciones existentes, los hitos naturales presentes, ni la forma o el relieve del terreno donde se realizara? Del mismo modo, le sera factible a un arquitecto disear un edificio sin conocer las dimensiones del terreno donde llevarlo a cabo, o sin saber si el terreno es completamente plano y horizontal o se trata de laladerade un cerro con fuerte pendiente?Ante stas y otras innumerables interrogantes se haceevidentela necesidad de contar con una ciencia que se ocupe de la medicin del terreno, tanto en la planimetra, es decir, las dimensiones horizontales de ste, como en la altimetra o diferencias de altura o cotas. He ah la Topografa, ciencia que responde a estas interrogantes llevando las dimensiones del terreno, en una forma sorprendentemente precisa, arepresentacionesgrficasque sonde gran utilidad, y ms an, de vital importancia, para el desarrollo de la ingeniera, ya que de los resultados de las medidas topogrficas depende directamente la ubicacin, tanto en el plano como en la cota, de cualquier obra civil que se haya estudiado correctamente.Con lo mencionado anteriormente, queda en claro que es deber de un Constructor Civil tener un amplio conocimiento y manejo de esta ciencia; para as ser capaz de interpretar el significado de una nivelacin, de un levantamiento o de una curva de nivel, por ejemplo, y valerse de stos conceptos para elaborar correcta y lo ms ptimamente posible un proyecto.ste es el objetivo que se ha perseguido a lo largo del curso de topografa, en el cual se han conocido los fundamentos y alcances ms significativos de esta ciencia, como tambin se ha aprendido a utilizar los instrumentos de medicin propios de la ya mencionada, teniendo as la oportunidad de aplicar cabalmente la teora aprendida.Sin embargo es esencialmente en la prctica final, de la cual trata el presente informe, donde se da la posibilidad de poner en prctica todos los conocimientos adquiridos y los objetivos alcanzados a lo largo del desarrollo de la asignatura. Esta prctica consta de un levantamiento topogrfico completo de un sector del campus de la Universidad de Concepcin, el cual contempla tanto los hitos naturales y obras civiles existentes en terreno, como una proyeccin vertical del relieve del suelo a travs de curvas de nivel.Un levantamiento topogrfico es una representacin grfica que cumple con todos los requerimientos que necesita un constructor para ubicar un proyecto y materializar una obra en terreno, ya que ste da una representacin completa, tanto del terreno en su relieve como en las obras existentes. De sta manera, el constructor tiene en sus manos una importante herramienta que le ser til para buscar la forma ms funcional y econmica de ubicar el proyecto. Por ejemplo, se podr hacer un trazado de camino cuidando que ste no contemple pendientes muy fuertes ni curvas muy cerradas para un trnsito expedito, y que no sea de mucha longitud ni que se tengan excesivas alturas de corte o terrapln, lo que elevara considerablemente el costo de la obra; por otro lado, un arquitecto podr ubicar una urbanizacin de manera que las casas se encuentren todas en terrenos adecuados, no en riscos o acantilados, que tengan buena vista, que estn en armona con el sector, etc.En las siguientes pginas el lector encontrar las tablas de datos medidos en terreno, las correcciones realizadas y los clculos efectuados posteriormente, todo esto para poder llevar a cabo correcta y felizmente el levantamiento que se pretende. Dentro del informe tambin se encontrarn varias definiciones de conceptos bsicos de la topografa, as como planificaciones detalladas de las tomas de datos y clculos posteriores a realizar, queriendo de esta forma servir de modesta ayuda a futuros estudiantes del ramo.

LOGISTICAGastos :SEMANA 1SEMENA 2SEMANA 3

ALQUILER DEL INSTRUMENTO505050

PASAJES 888

REFRIGERIO 161624

AEROSOL808

REHIDRATANTES161616

HORAS DE INTERNET 864

IMPRESIN1008

ANILLADO 222

ESCANEO 708

PLOTEOS707

ALUQUILER DE GPS202020

COMPRA DE PILAS RECARGABLES800

CARGADOR1500

SUBTOTAL175118155

TOTAL448

RECOMENDACIONES

Recomendamos a los Verificar antes de realizar un Levantamiento Topogrfico que los instrumentos a utilizar estn operativos o en perfecto funcionamiento. El trabajo en equipo es muy importante para la culminacin del proyecto porque cada uno aporta ideas, dudas que podemos indagar para luego resolverlas.

Cuidar los equipos topogrficos, manejando con cuidado y responsabilidad.

Hacer bien los apuntes de la libreta de campo, ya que en la exportacin de puntos podr traer problemas.

Antes de realizar cualquier tipo de levantamiento topogrfico es necesario y de suma importancia realizar un reconocimiento de terreno para discutir un plan de trabajo, con estrategias y recomendaciones previas.

Para realizar este tipo de trabajos, un levantamiento compuesto en especfico, es sumamente necesario conocer los conceptos bsicos de un levantamiento topogrfico( topografa I) y tener un buen manejo de los instrumentos tales como: nivel, altmetro y teodolito (lo bsico). Para realizar un trabajo eficaz, rpido y obtener buenos resultados.

Tambin es importante precaver que todos los instrumentos que se van a utilizar el da del trabajo (teodolito, mira, pintura, estacas, GPS, cmara fotogrfica, conos de seguridad, etc.) estn listos y preparados para comenzar las actividades. Esto ayudar a mantener la responsabilidad y posteriormente llegar a al lugar de trabajo y no perder tiempo en buscar o acordarse de algn instrumento olvidado.

Los integrantes de la brigada tendrn que utilizar la indumentaria correcta; los chalecos, para la distincin y los cascos para la proteccin.

En nuestro caso, por lo que trabajamos en un lugar donde existe un trnsito vehicular constante, utilizar conos de seguridad para que se haga ms fcil el levantamiento y se evite algn accidente.

Tener en cuenta que el levantamiento topogrfico se realice en condiciones climticas normales, para un buen trabajo sin interrupciones. En caso de lluvia disponer el tiempo para dar una solucin inmediata y continuar con el trabajo.

Por ultimo pedir a nuestro docente que se acerque a monitorear, verificar y dar el visto bueno a nuestro trabajo, como lo vino haciendo desde el primer da; hecho que agradecemos mucho al docente y reconocemos su trabajo.

Recomendamos a las autoridades de nuestra facultad, al decano: Jorge Zevallos y al jefe de departamento: Antonio Domnguez Magino, que en unin con los alumnos representantes de la facultad, el docente del curso de topografa II, Carlos Alberto Senz Flores, y a los alumnos en general que llevan dicho curso, que realicemos un informe en la cual pidamos a la Universidad la implementacin de nuestro laboratorio, desde un aula adecuado hasta instrumentos: teodolitos, niveles, estacin total, miras, etc. Para alcanzar un nivel de educacin superior adecuada; con la implementacin de nuestro laboratorio alcanzaremos una estabilidad econmica considerable y posteriormente obtendremos un mejor aprendizaje.

Lo expuesto anteriormente, con la facilidad de trasladar los instrumentos fuera de la Universidad para realizar otros tipos de trabajos, sera la mejor opcin para nuestro beneficio y de las dems brigadas de trabajo del curso de topografa II.

EL TEODOLITOEs porttil y manual; est hecho con finestopogrficoseingenie riles, sobre todo en las triangulaciones. Con ayuda de unamiray mediante lataquimetra, puede medir distancias. Un equipo ms moderno y sofisticado es elteodolito electrnico, y otro instrumento ms sofisticado es otro tipo de teodolito ms conocido comoestacin total.Bsicamente, el teodolito actual es un telescopio montado sobre un trpode y con dos crculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ngulos con ayuda de lentes.Teodolitos repetidoresEstos han sido fabricados para la acumulacin de medidas sucesivas de un mismo ngulo horizontal en ellimbo, pudiendo as dividir el ngulo acumulado y el nmero de mediciones. Teodolitos reiteradoresLlamados tambindireccionales, los teodolitos reiteradores tienen la particularidad de poseer unlimbofijo y slo se puede mover laalidada.

Teodolito - brjulaComo dice su nombre, tiene incorporada una brjula de caractersticas especiales. ste tiene una brjula imantada con la misma direccin alcrculo horizontal. Sobre el dimetro0 a180 grados de gran precisin.

Teodolito electrnicoEs la versin del teodolito ptico, con la incorporacin de electrnica para hacer las lecturas del crculo vertical y horizontal, desplegando los ngulos en una pantalla, eliminando errores de apreciacin. Es ms simple en su uso, y, por requerir menos piezas, es ms simple su fabricacin y en algunos casos su calibracin.Las principales caractersticas que se deben observar para comparar estos equipos que hay que tener en cuenta: la precisin, el nmero de aumentosen lalentedelobjetivoy si tiene o no compensador electrnico.

PARTES PRINCIPALES

Niveles:- Elniveles un pequeo tubo cerrado que contiene una mezcla de alcohol y ter; una burbuja de aire, la tangente a la burbuja de aire, ser un plano horizontal. Se puede trabajar con los niveles descorregidos. Precisin:Depende del tipo de Teodolito que se utilice. Existen desde los antiguos que varan entre elminutoy medio minuto, los modernos que tienen una precisin de entre 10", 6", 1" y hasta 0.1". Nivel esfrico:Caja cilndrica tapada por un casquete esfrico. Cuanto menor sea elradiode curvatura menos sensible sern; sirven para obtener de forma rpida el plano horizontal. Estos niveles tienen en el centro un crculo, hay que colocar laburbuja dentro del crculo para hallar un plano horizontal bastante aproximado. Tienen menorprecisinque los niveles tricos, su precisin est en 1 como mximo aunque lo normal es 10 o 12.

Nivel terico:Si est descorregido nos impide medir. Hay que calarlo con los tornillos que lleva el aparato. Para corregir el nivel hay que bajarlo un ngulo determinado y despus estando en el plano horizontal con lostornillosse nivela el ngulo que hemos determinado. Se puede trabajar descorregido, pero hay que cambiar la constante que nos da el fabricante. Para trabajar descorregido necesitamos un plano paralelo. Para medir hacia el norte geogrfico (medimosacimutes, si no tenemos orientaciones) utilizamos el movimiento general y el movimiento particular. Sirven para orientar el aparato y si conocemos el acimutal sabremos las direcciones medidas respecto alnorte Plomada:Se utiliza para que el teodolito est en la misma vertical que el punto del suelo. Plomada de gravedad: Bastante incomodidad en su manejo, se hace poco precisa sobre todo los das deviento. Era el mtodo utilizado antes aparecer laplomada ptica. Plomada ptica: es la que llevan hoy en da los teodolitos, por elocularvemos el suelo y as ponemos el aparato en la misma vertical que el punto buscado.

Limbos:Discos graduados que nos permiten determinar ngulos. Estn divididos de0 a360grados sexagesimales, o de0 a400grados centesimales. En los limbos verticales podemos ver diversas graduaciones (limbos cenitales). Los limbos son discos graduados, tanto verticales como horizontales. Los teodolitos miden en graduacin normal (sentidodextrgiro) o graduacin anormal (sentidolevgiroo contrario a las agujas del reloj). Se miden ngulos cenitales (distancia cenital), ngulos de pendiente (altura de horizonte) y ngulos nadirales. Nonius:Mecanismo que nos permite aumentar o disminuir la precisin de un limbo. Dividimos las n - 1 divisiones del limbo entre las n divisiones del nonio. La sensibilidad del nonio es la diferencia entre la magnitud del limbo y la magnitud del nonio. Micrmetro:Mecanismo ptico que permite hacer la funcin de los nonios pero de forma que se ve una serie de graduaciones y unrayo pticomediante mecanismos, esto aumenta laprecisin.

Partes Accesorias Trpodes:Se utilizan para trabajar mejor, tienen la misma X e Y pero diferente Z ya que tiene unaaltura; el ms utilizado es el de meseta. Hay unos elementos de unin para fijar el trpode al aparato. Los tornillos nivelantes mueven la plataforma del trpode; la plataforma nivelante tiene tres tornillos para conseguir que el eje vertical sea vertical.

Tornillode presin(movimiento general):Tornillo marcado en amarillo, se fija el movimiento particular, que es el de los ndices, y se desplaza el disco negro solidario con el aparato. Se busca el punto y se fija el tornillo de presin. Este tornillo acta en forma ratial, o sea hacia el eje principal. Tornillo de coincidencia(movimiento particular o lento):Si hay que visar un punto lejano, con el pulso no se puede, para centrar el punto se utiliza el tornillo de coincidencia. Con este movimiento se hace coincidir la lnea vertical de la cruz filar con la vertical deseada, y este acta en forma tangencial. Los otros dos tornillos mueven el ndice y as se pueden medir ngulos o lecturas acimutales con esaorientacin.

MOVIMIENTOS DEL TEODOLITOEste instrumento, previamente instalado sobre eltrpodeen un punto del terreno que se denominaestacin, realiza los movimientos sobre los ejes principales.Movimiento de la alidadaEste movimiento se realiza sobre el eje vertical(S-S), tambin presente en los instrumentos de todas las generaciones de teodolito. Permite al operador girar el anteojo horizontalmente, en un rango de 360.Movimiento del anteojoEste movimiento se lo realiza sobre el eje horizontal(K-K)y permite al operador girar desde el punto de apoyo hasta elCenit, aunque estos casos son muy raros ya que mayormente se abarca un rango promedio de 90.El cnit es el punto que se encuentra por encima de la cabeza del observador.

INSTALACION DEL TEODOLITO

PRIMERO:Instalacindel trpode:El trpode debe colocarse para montar encima el teodolito. Las tres piernas deben colocarse a una distancia suficiente como para que tenga estabilidad. Pero esta distancia tampoco debe ser lo suficientemente grande como para que afecte la movilidad de los observadores.

DESPUES: Montado del teodolito:

El teodolito se enrosca en la parte superior del trpode hasta que quede firme. En algunas ocasiones va a ser necesario contar con un adaptador ya que no todos los trpodes tienen roscas compatibles con las de los teodolitos.LUEGO: Nivelacin del teodolito:Inicialmente debe verificarse que laplataformateodolito-trpode est lo ms horizontal posible (como se mencion anteriormente). Luego se procede a nivelar el teodolito manipulando los tornillos que se encuentran en la parte inferior. El objetivo es que las burbujas de los dos niveles ubicados en laplataformadel teodolito se localicen en elcentrode lostubos.

POR ULTIMO: Alineamiento del teodolito:Cuando el teodolito est completamente nivelado debe alinearse, es decir, orientarse con respecto alos puntoscardinales. Para ello debe conocerse el ngulo acimut de algn punto del horizonte, ya sea un punto de referencia conocido o un punto cardinal (porejemplo, el norte geogrfico tiene un ngulo acimut de 0 mientras el sur de 180).

TIPOS DE MEDICION DE ANGULOS:El levantamiento porradiacines el mtodo ms simple en el cual se emplea el teodolito y la cinta.OBJETIVOS: Capacitar al estudiante en el manejo del teodolito. Adquirir habilidad en el proceso de armada, centrada y nivelada del mismo. Aplicar el uso del teodolito en medicin de reas. Conocer la aplicacin de coordenadas en el dibujo de planos y en el clculo de reas.

PROCEDIMIENTO: Hacer un reconocimiento de la zona a levantar, materializando los vrtices que constituyen la poligonal cerrada. Se ubica dentro de la zona a levantar un punto tal que desde el puedan verse todos los vrtices del polgono. Punto que se denomina estacin. Se arma el trpode sobre la estacin, procurando que la mesilla quede verticalmente encima de la estaca o placa y, adems, que quede aproximadamente horizontal, para lo cual se juega con la longitud variable de las patas del trpode. Se saca el aparato del estuche y se coloca sobre la mesilla del trpode, sujetndolo a esta por medio de una rosca. Se coloca la plomada al gancho que para tal fin tiene el THEO, se procede a accionarla para saber en qu momento el aparato est centrado. Una vez que la plomada nos indique que estamos dentro de un radio menor de unos 2cms del punto estacin, procedemos a nivelar el aparato con los tornillos de nivelacin. Con el aparato nivelado, observamos que tan lejos qued el eje vertical (o sea la plomada) del punto estacin. est a una distancia menor de 2cms podemos soltar el aparato y deslizndolo sobre la mesilla, hacemos que el eje vertical pase por el punto estacin (direccin plomada). Despus de esta operacin es necesario ajustar el aparato para que no se deslice sobre la mesilla. Al hacer la operacin indicada en el numeral anterior es probable que se haya desnivelado el aparato, por lo tanto es necesario volverlo a nivelar, ya con bastante exactitud. Es conveniente que las patas del trpode queden perfectamente ancladas en el terreno. La escala angular horizontal se coloca en 00'0'' con respecto al norte.METODO DE REITERACIONLa medida de un ngulo por reiteracin puede ejecutarse con un teodolito repetidor o con un reiterador. El mtodo se basa en medir varias veces un ngulo horizontal por diferencia de direcciones y en diversos sectores equidistantes en el limbo, para evitar, principalmente errores de graduacin.En una misma reiteracin se pueden medir varios ngulos colaterales. El ngulo de reiteracin es 200 dividido por el nmero de reiteraciones.A continuacin se presenta en detalle la operatoria para una medida angular por reiteracin y su correspondiente registro. Se supone que hay que medir los ngulos P1AP2, P1AP3 Y P1AP4.Se empezar por instalar perfectamente el teodolito reiterador sobre la estacin A y, una vez puesto en condiciones de observar, se proceder de la siguiente manera: Se dirige el anteojo del teodolito en posicin directa hacia el punto P1, con el instrumento calado en cero o cerca de cero. Se fija el tornillo de presin y se afina la puntera con el tornillo de tangencia. Se suelta el tornillo de presin de la alidada, se busca el punto P2 girando hacia la derecha, se fija el tornillo de presin y se afina la puntera con el tornillo de tangencia. Se anota el ngulo resultante que acusa el limbo. Se repite la operacin para P3, despus para P4 y todos los dems puntos (o vrtices) hasta volver a apuntar sobre P1, girando siempre hacia la derecha y anotando el ngulo observado en cada oportunidad. Se transita el teodolito y el anteojo se vuelve a apuntar sobre P1 mediante el tornillo de tangencia. Se anota el ngulo observado. Se repiten en trnsito las operaciones 2 y 3, registrando los valores angulares observados, con lo cual se tiene la primera reiteracin. La segunda reiteracin se inicia fijando en el limbo el ngulo de reiteracin y apuntando en directa hacia P1, fijando el limbo y soltando despus el anteojo para mirar sucesivamente a P2, P3, P4, etc., hasta volver a P1, girando siempre el anteojo hacia la derecha. Se anota el valor angular que efectivamente se observe para cada punto hasta volver sobre P1. Se repiten en trnsito las operaciones 4 y 5. Se vuelve a apuntar sobre P1 con el respectivo ngulo de reiteracin, repitiendo el ciclo hasta la ltima reiteracin.Este mtodo elimina errores instrumentales promediando valores. El anteojo se debe rotar siempre en el sentido de los punteros del reloj. Si hay error de arrastre entre la alidada y el limbo, el error para todos los ngulos es en el mismo sentido y se puede compensar, modificando los valores en forma de anular la diferencia de la ltima lectura con 0. La exactitud de los resultados aumenta con el nmero de reiteraciones.Para el clculo del registro se procede de la siguiente manera: Se calcula el promedio de los valores obtenidos para cada direccin correspondientes a las punteras que sobre los diversos puntos se efectuaron, tanto en directa como en trnsito. Para los efectos del promedio, deber considerarse el orden de magnitud real del ngulo, lo que equivale a restar el ngulo de reiteracin y tener en cuenta los giros completos realizados. El promedio reducido se calcula sumando algebraicamente a la primera direccin la que sea necesario para que su promedio quede en 0. Este valor angular se suma, con su signo, a cada una de las dems direcciones del promedio. El promedio ponderado se obtiene haciendo que la ltima direccin cierre un giro completo, 400 , las dems direcciones se corrigen con el mismo signo, en proporcin a la magnitud de su promedio reducido.

METODO DE REPETICIONPara poder aplicar este mtodo se necesita un teodolito repetidor, es decir, un instrumento que permite repetir la medida del ngulo horizontal acumulando lecturas sucesivas sobre dicho limbo. El valor acumulado se divide por el nmero de repeticiones. Estos instrumentos, que se usan para este sistema de medicin, tiene un eje vertical de rotacin que permite girar el instrumento arrastrando el limbo horizontal, lo que se denominamovimiento general,y un eje vertical de la alidada o anteojo que permite girar el instrumento manteniendo fijo el limbo horizontal, con lo que se produce un movimiento relativo del anteojo respecto del limbo. Ambos sistemas de rotacin estn dotados de sendos tornillos de presin y de coincidencia o tangencia.Lo que se trata de aprovechar en ste mtodo es la ventaja de poder multiplicar un ngulo en forma mecnica, obteniendo la lectura del producto de esa multiplicacin con la misma precisin que la lectura de un ngulo simple.La precisin del mtodo de repeticin aumenta con el nmero de veces que se multiplica o repite el ngulo. En las primeras repeticiones, la precisin aumenta notoriamente para ir descendiendo despus, por lo que se recomiendan 5 0 6 repeticiones. Si se requiere mayor precisin, es preferible hacer el trabajo con un teodolito de mayor resolucin angular.

Se empezar por instalar perfectamente el instrumento sobre la estacin la que llamaremos E, y una vez puesto en condiciones de medir, se proceder de la siguiente manera: Se busca el ngulo horizontal 0 soltando el tornillo de precisin de giro sobre el eje de la aliada; se aprieta el tornillo de precisin sobre el eje da la aliada y se cala exactamente el ngulo 0 con el tornillo de tangencia de la alidada. Se suelta el tornillo de precisin del movimiento general de rotacin y se apunta el anteojo aproximadamente sobre el punto origen, que llamaremos A y est a la izquierda. Se bloquea el movimiento general y con su tornillo de tangencia se apunta exactamente sobre A. Se suelta el movimiento sobre el eje de la alidada y se apunta el anteojo otro punto que llamaremos B, el que se encuentra a la derecha de A s giramos en sentido horario, se aprieta el tornillo de presin y se lleva la visual, con el tornillo de tangencia de la aliada, exactamente sobre B. Se anota la lectura del ngulo horizontal que se observe. Se suelta el movimiento general y, rotando el instrumento siempre en sentido horario, se vuelve a apuntar hacia A por segunda vez, se aprieta el tornillo de presin y se apunta exactamente sobre el punto A mediante el tornillo de tangencia del movimiento general. Se suelta el tornillo de presin de alidada y se apunta el anteojo hacia B, se aprieta el tornillo de presin y se apunta exactamente con el tornillo de tangencia de la alidada. Con esto se completa la segunda repeticin. Se repiten las operaciones 5 y 6, cuantas veces sea necesario hasta completar el nmero de repeticiones para finalmente, anotar el ngulo horizontal que se observa. Se transita el instrumento y se repiten las operaciones1 a7. En este caso se est midiendo un ngulo suplementario respecto de 400, por lo que se cala con 0 hacia B y se mide el ngulo BEA ahora exterior, luego se gira sobre la alidada cuando se va de B hacia A y se gira sobre el movimiento general cuando se va de A hacia B. En ambos casos los giros se realizan en el sentido de los punteros del reloj.Esta forma de operar permite eliminar los errores instrumentales compensables. Se debe girar siempre en el sentido de los punteros del reloj, ya se gire sobre la alidada o sobre el movimiento general. Si hay error de arrastre entre la alidada y el limbo, el error es siempre en el mismo sentido, tanto para el ngulo como para su suplemento; ste se puede compensar en proporcin al ngulo. Se calcula el Angulo Provisorio dividiendo por n los valores del Angulo Total. Se suman los valores del Angulo Provisorio en directa y en trnsito, debiendo determinarse un ngulo prximo a 400. La diferencia que se tenga (discrepancia) se reparte entre los dos valores del Angulo Provisorio proporcionalmente a su magnitud, para completar la suma de 400. El Angulo Definitivo es el valor final de la medicin.

Topografa II E.A.P. de Ingeniera Civil Pgina 23