-
BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN1.1. TeganganDalam mekanika bahan,
pengertian tegangan tidak sama dengan vektor tegangan. Tegangan
merupakan tensor derajat dua, sedangkan vektor, vektor apapun,
merupakan tensor derajat satu. Besaran skalar merupakan tensor
derajat nol. Tensor ialah besaran fisik yang keadaannya pada suatu
titik dalam ruang, tiga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3n
komponennya, dengan n ialah derajat tensor tersebut. Dengan
demikian, untuk persoalan tegangan tiga dimensi pada suatu titik
dalam ruang dapat dideskripsikan dengan 32 komponennya. Pada sistem
koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah xx , yy , zz , txy
, tyx , txz , tzx , tyz , dan tzy seperti ditunjukkan pada Gambar
1.1(a). Namun demikian, karena txy = tyx , txz = tzx dan tyz = tzy
, maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan enam
komponennya, xx , yy , zz , txy , txz , tyz. Sedangkan untuk
tegangan bidang, dua dimensi, pada suatu titik dapat dideskripsikan
dengan 22 komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena tij = tji untuk
maka tiga komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada
titik itu.
-
Pada dasarnya, tegangan secara garis besar dapat
diklasifikasikan menjadi dua, yakni tegangan normal, dengan notasi
sij , i = j, serta tegangan geser dengan notasi tij , . Perhatikan
penulisan pada paragrap di atas. Karakter indek yang pertama
menyatakan bidang tempat bekerjanya gaya, sedangkan karekter indek
yang kedua menyatakan arah bekerjanya vektor tegangan tersebut.
Tegangan normal ialah tegangan yang bekerja tegak lurus terhadap
bidang
-
pembebanan. Sedangkan tegangan geser ialah tegangan yang bekerja
sejajar dengan bidang pembebanan. Jadi keenam tegangan yang
mendeskripsikan tegangan pada suatu titik terdiri atas tiga
tegangan normal, xx , yy , dan zz , serta tiga tegangan geser, txy
, tyz , dan tzx. Nilai tegangan bisa positif dan bisa pula negatif.
Tegangan bernilai positif bila tegangan tersebut bekerja pada
bidang positif dengan arah positif, atau bekerja pada bidang
negatif dengan arah negatif. Selain itu, nilainya negatif.Besar
tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagai
intensitas gaya yang bekerja pada bidang tersebut. Sehingga secara
matematis tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai i =
j(1a)
= tegangan normal rata-rata (N/mm2 = MPa)Fn = gaya normal yang
bekerja (N)A = luas bidang (mm2)i, j= sumbu koordinat pada sistem
sumbu silang, x, y, z
-
Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai
(1b)
= tegangan geser rata-rata (N/mm2 = MPa)Ft = gaya tangensial
atau sejajar bidang yang bekerja (N)A = luas bidang (mm2)i, j= x,
y, zBila bidang yang menerima pembebanan tersebut dipersempit
sampai akhirnya mendekati nol, dalam artian limit maka akan didapat
tegangan pada suatu titik. Sehingga secara matematis tegangan
normal pada suatu titik dapat dinyatakan
i = j(2a)
-
Sedangkan tegangan geser pada suatu titik, secara matematis
dapat dinyatakan sebagai
(2b)
1.2. Regangan
-
Seperti halnya tegangan, regangan juga merupakan tensor derajat
dua. Dengan demikian keadaan regangan ruang, tiga dimensi, pada
suatu titik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.
Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx ,
eyy , ezz , gxy , gyx , gxz , gzx , gyz , dan gzy , sebagaimana
ditunjukkan pada Gambar 1.2(a). Regangan juga dapat
diklasifikasikan menjadi dua, yakni regangan normal, dengan notasi
eij , i = j, serta regangan geser dengan simbul ij , . Sebagaimana
dengan tegangan, gxy = gyx , gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan
regangan ruang pada suatu titik dapat dinyatakan oleh enam
komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy , gyz , gzx. Sedangkan
regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan dengan 22
komponennya, dan karena gij = gji maka regangan bidang pada suatu
titik dapat dideskripsikan dengan hanya tiga komponen, Gambar
1.2(b).
-
Regangan normal merupakan perubahan panjang spesifik. Regangan
normal rata-rata dinyatakan oleh perubahan panjang dibagi dengan
panjang awal, atau secara matematis dapat dituliskan,i = j(3)
-
= regangan normal rata-rataDl = u = perubahan panjang pada arah
(mm)l = panjang awal pada arah (mm)i, j = sumbu koordinat pada
sistem sumbu silang, x, y, z.Sedangkan regangan geser merupakan
perubahan sudut dalam radial. Regangan geser bernilai positif bila
sudut pada kuadran I dan atau kuadran III pada sistem koordinat
sumbu silang mengecil, Gambar 1.3(a), sedangkan selain itu bernilai
negatif.
1.3. Transformasi Tegangan BidangTegangan dapat ditransformasi
dari suatu set sumbu koordinat ke set sumbu koordinat lainnya.
Dengan transformasi pula dapat dicari set sumbu koordinat pada
suatu titik yang memberikan tegangan utama dari kondisi tegangan
yang telah diketahui di titik itu. Yang dimaksud dengan tegangan
utama ialah tegangan yang hanya memiliki nilai tidak nol untuk
tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol. Dengan
demikian juga dimungkinkan transformasi tegangan dari sistem
koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem
koordinat polar (r, q, z), Gambar 1.4(b).
-
Transformasi tegangan bidang berdasarkan pada keseimbangan
gaya-gaya yang bekerja pada elemen. Perhatikan Gambar 1.5(b)
berikut.
-
(1.4a)
-
Dengan memasukkan harga (90o + q) untuk harga q pada persamaan
(1.4a), sehingga dengan identitas-identitas:
=akan didapat(1.4b)
(1.4c)
-
Dengan substitusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c)
bisa ditulis (1.5a)(1.5b)(1.5c)
1.4. Transformasi Regangan BidangPerhatikan Gambar 1.6(a) pada
halaman berikut. Elemen OABC pada keadaan awal tanpa beban, lalu
mengalami deformasi dan distorsi menjadi OABC akibat mendapat beban
sxx , syy dan txy. Analisis transformasi regangannya ditunjukkan
pada Gambar 1.6(b, c, d) yang berturut-turut untuk regangan normal
arah sumbu x, regangan normal arah sumbu y serta regangan geser
pada bidang xy. Dari Gambar 1.6(b) didapat
-
Dari Gambar 1.6(c) akan didapatDan dari Gambar 1.6(d)
diperoleh
-
Dengan demikian total perubahan panjang dx akibat adanya
regangan pada sistem koordinat awalnya adalahDx = Dx1 + Dx2 +
Dx3Sedangkan
-
Sehingga
(1.6a)Selanjutnya, ey dapat diperoleh dengan mensubstitusikan
harga (90o + q) untuk harga q pada persamaan (1.6) di atas,
kemudian menerapkan identitas trigonometri. Sehingga akan
didapat
Analisis transformasi regangan gesernya ditunjukkan pada Gambar
1.7 di bawah. Sebagaimana pada regangan normal, dalam hal ini
perubahan regangan geser oleh masing-masing regangan yang terjadi
ditinjau satu per satu. Pada analisis ini, panjang dx dibagi dua
oleh sumbu y menjadi dx1 dan dx2.(1.6b)
-
Dari Gambar 1.7 didapat dan
Selanjutnya perhatikan Gambar 1.7(a), akibat terjadinya
deformasi normal pada arah sumbu x saja.
-
Gambar. 1.7. Transformasi Regangan GeserAkibat deformasi normal
arah sumbu y saja seperti ditunjukkan pada Gambar 1.7(b) akan
diperoleh
-
Sedangkan dari Gambar 1.7(c), akibat terjadinya regangan geser
saja, akan didapat
-
Dengan demikian akan diperoleh besarnya regangan geser pada set
sumbu koordinat yang baru, sebagai berikut
...(1.6c)Selanjutnya, dengan menggunakan identitas trigonometri
persamaan-persamaan (1.6a, b, c) dapat ditulis dalam bentuk lain
sebagai berikut
(1.7a)
(1.7b)
(1.7c)
-
1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal Stress and Strain)
serta Tegangan dan Regangan Geser MaksimumTegangan Utama (Principal
Stress) dan Tegangan Geser MaksimumTegangan Utama (principal
stress) adalah tegangan normal yang terjadi pada set sumbu
koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan tegangan
geser nol. Tegangan-tegangan tersebut ditunjukkan sebagai s1 dan s2
pada Gambar 1.10. Perlu dicatat bahwa s1 selalu diambil lebih besar
dari s2. Sudut transformasi yang menghasilkan tegangan utama
tersebut dengan sudut utama (principal angle). Secara analitik,
besar tegangan utama dan sudut utama dapat diturunkan dari
persamaan-persamaan (1.5a, b, c).Menurut pengertian tentang
tegangan utama, dari persamaan (1.5c) akan didapat
-
atau(1.8)Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya
sebagai berikut
Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di
atas ke persamaan (1.5a) akan didapat
-
Sehingga Substitusi dan penerapan prosedur yang sama terhadap
persamaan (1.5b), akan didapatDengan mengingat bahwa secara
matematik haruslah 1 2 , maka kedua persamaan tersebut di atas
dapat dituliskan menjadi satu dengan
-
(1.9)Selanjutnya, perhatikan persamaan (1.5c). Untuk suatu titik
dan jenis pembebanan tertentu dari suatu bagian konstruksi,
harga-harga sxx , syy dan txy adalah tetap atau konstan, sehingga
txy merupakan suatu fungsi q, atau txy = f(q). Harga ekstrim fungsi
tersebut akan diperoleh bila turunan pertama fungsi tersebut
terhadap q sama dengan nol. Jadi
atau(1.10)Dari persamaan di atas dapat dilukiskan segitiganya
sebagai berikut:
-
Dengan substitusi harga-harga sin 2q dan cos 2q pada gambar di
atas ke persamaan (1.5c) akan didapat
-
SehinggaPersamaan (1.10) juga dipenuhi bila panjang sisi di
depan sudut 2q adalah (sxx - syy) dan panjang sisi di sampingnya
adalah -2txy. Kondisi ini akan memberikan
Dengan demikian kedua persamaan tersebut dapat dituliskan
menjadi satu sebagai
(1.11)Regangan Utama dan Regangan Geser Maksimum
-
Sebagaimana pengertian tentang tegangan utama, maka regangan
utama (principal strain) adalah regangan normal yang terjadi pada
set sumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan
setengah regangan geser nol. Regangan-regangan tersebut ditunjukkan
sebagai e1 dan e2 pada Gambar 1.11. Demikian juga, e1 selalu
diambil lebih besar dari e2 , serta sudut transformasinya juga
disebut sudut utama (principal angle). Secara analitik, dengan
penerapan prosedur yang sama dengan yang diterapkan untuk
persamaan-persamaan (1.7a, b, c), maka akan didapat hasil-hasil
berikut.
(1.12a)
(1.12b)
qp = sudut utamae1,2 = regangan-regangan utamagxy = 2exy =
regangan geser
-
(1.13a)
(1.13b)qmax = sudut regangan geser maksimumgxy = 2exy = regangan
geser 1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan
BidangLingkaran Mohr diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman,
Otto Mohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis
transformasi tegangan maupun regangan, baik untuk
persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi. Yang perlu
dicatat adalah bahwa perputaran sumbu elemen sebesar q ditunjukkan
oleh perputaran sumbu pada lingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu
tegangan geser positif adalah menunjuk ke arah bawah. Pengukuran
dimulai dari titik A, positif bila berlawanan arah jarum jam, dan
negatif bila sebaliknya. Pada bagian ini kita hanya akan membahas
lingkaran Mohr untuk tegangan dan regangan dua dimensi.
-
Lingkaran Mohr untuk Tegangan BidangPada persamaan (1.5a), bila
suku dipindahkan ke ruas kiri dan kemudian kedua ruasnya
dikuadratkan, maka akan didapat(1.14a)Sedangkan pada persamaan
(1.5c), bila dikuadratkan akan didapat
(1.14b)Penjumlahan persamaan-persamaan (1.14a) dan (1.14b)
menghasilkan
(1.15)Persamaan (1.15) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
st yang pusatnya di dengan jari-jari . Lingkaran tersebut
ditunjukkan pada Gambar 1.8 di bawah ini, yang dilukis dengan
prosedur sebagai berikut:
-
1.Buatlah sumbu sij , horisontal.2.Periksa harga tegangan
normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih kecil. Bila
bernilai negatif jadikanlahtegangan tersebut sebagai titik yang
mendekati tepi kiri batas melukis, sedangkan bila positif maka
titik yang mendekati batas kiri adalah titik sij = 0.3.Periksa
harga tegangan normal, sxx atau syy , yang secara matematis lebih
besar. Bila bernilai positif jadikanlah tegangan tersebut sebagai
titik yang mendekati tepi kanan batas melukis, sedangkan bila
negatif maka titik yang mendekati batas kanan adalah titik sij =
0.4.Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisa
memuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelah
kiri dan kanannya. Tentukan titik-titik batas tersebut sesuai
dengan skala yang telah ditentukan.
-
5.Tentukan letak titik-titik sij = 0 dan sumbu t, serta sij
terkecil dan sij terbesar bila belum terlukis pada sumbu sij
.6.Bagi dua jarak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.7.Tentukan letak titik A pada
koordinat (sij terbesar , txy ).8.Lukis lingkaran Mohr dengan pusat
P dan jari-jari PA.9.Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong
lingkaran Mohr di B. Maka titik B akan terletak pada koordinat (sij
terkecil , txy ). Garis AB menunjukkan sumbu asli, q = 0, elemen
tersebut.
Contoh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konstruksi yang dibebani,
menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa, tegangan
tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan geser pada
bidang tersebut sebesar 120 MPa.
-
Diminta: a. Lukisan lingkaran Mohr.b. Besar rotasi mengelilingi
sumbu z untuk mendapatkan tegangan geser maksimum, menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).c.
Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil
tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang didapat pada b. di
atas.d.Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
tegangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil
ini dengan persamaan (1.8).e.Besar tegangan-tegangan utama menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan
(1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.
-
Penyelesaian:a. Lingkaran Mohr:1)Buat sumbu sij ,
horisontal.2)Tegangan normal terkecil, syy = -40 MPa, negatif,
sehingga digunakan sebagai titik di dekat batas kiri.3)Tegangan
normal terbesar sxx = 280 MPa, positif, sehingga digunakan sebagai
titik di dekat batas kanan.4)Diambil skala 1cm = 40 MPa. Kemudian
ditentukan titik syy = -40 MPa di sebelah kiri, dan sxx = 280 MPa
di sebelah kanan yang berjarak (sxx + syy) dari titik syy di
sebelah kiri.5)Lukis sumbu t yang berjarak 40 MPa di sebelah kanan
titik syy .6)Dengan membagi dua sama panjang jarak syy ke sxx akan
didapat titik P.7)Menentukan letak titik A pada koordinat (sxx ,
txy ) = (280,120).8)Dengan mengambil titik pusat di P dan jari-jari
sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat dilukis.9)Dengan menarik garis
dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B, akan didapat
kedudukan titik (syy , txy ) = (-40,120).
-
Gambar 1.8. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidangb.Besar rotasi
mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr, dengan mengukur,
didapatqmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o 30.Sedangkan
menurut persamaan (1.10) didapattan 2qmax = - (280 + 40) / (2 x
120) = - 4/32qmax = - 53o 08atauqmax = - 26o 34
-
c.Besar tegangan geser maksimum menurut lingkaran Mohrtmax = 5 x
40 MPa = 200 MPa.Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan
didapat
d.Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapatqp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o
30.Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapattan 2qp = (2 x 120) /
(280 + 40) = 3/42qp = - 36o 52atauqmax = - 18o 26e.Besar
tegangan-tegangan utama menurut lingkaran Mohrs1 = 8 x 40 MPa = 320
MPa.s2 = -2 x 40 MPa = -80 MPa.Sedangkan menurut persamaan (1.11)
akan didapat
-
Lingkaran Mohr untuk Regangan Bidang
Pada persamaan (1.7a), bila suku dipindahkan ke ruas kiri
dan kemudian kedua ruasnya dikuadratkan, maka akan didapat
(1.16a)Sedangkan pada persamaan (1.7c), bila dikuadratkan akan
didapat
(1.16b)Penjumlahan persamaan-persamaan (1.16a) dan (1.16b)
menghasilkan
-
(1.17)
Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang
yang pusatnya di dengan jari-jari
Lingkaran tersebut ditunjukkan pada Gambar 1.9 di bawah ini,
yang dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr
untuk tegangan dengan mengganti sxx , syy dan txy berturut-turut
menjadi exx , eyy dan gxy / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada
halaman 21.
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan ReganganUntuk deformasi
normal, geser maupun gabungan keduanya, hubungan antara tegangan
dan regangan untuk bahan-bahan isotropis pada pembebanan dalam
batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke. Jadi hukum Hooke
tidak berlaku untuk pembebanan di luar batas proporsional. Hukum
Hooke diturunkan dengan berdasarkan pada analisis tentang energi
regangan spesifik.
-
Apabila besar tegangan-tegangannya yang diketahui, maka hukum
Hooke untuk persoalan-persoalan tiga dimensi, hubungan antara
tegangan normal dengan regangan normal dapat dituliskan secara
matematis sebagai berikut:
(1.18)
Dengan E dan v berturut-turut adalah modulus alastis atau
modulus Young dan angka perbandingan Poisson. Sedangkan pada
deformasi geser untuk G adalah modulus geser , hubungannya
adalah:
(1.19)
-
Sedangkan untuk mencari tegangan normal yang terjadi bila
regangan normal dan sifat-sifat mekanis bahannya diketahui,
digunakan persamaan-persamaan:
(1.20)
Selanjutnya untuk deformasi geser, bentuk hukum Hooke
adalah:
(1.21)
-
Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat juga
diberlakukan untuk persoalan-persoalan dua dan satu dimensi, yakni
dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensi
yang dimaksud.
Contoh 2: Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengan
sifat-sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angka
perbanding-an Poisson, n = 0,29. Modulus geser ditentukan dengan, G
= E / 2(1 + n).Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang
terjadi.b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terjadi.c.
Besar rotasi mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan regangan geser
maksimum, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dari
persamaan (1.10).d.Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) dan hasil yang
didapat pada b. di atas.
-
e.Besar perputaran mengelilingi sumbu z untuk mendapatkan
regangan geser bernilai nol, menurut lingkaran Mohr. Periksa hasil
ini dengan persamaan (1.8).f. Besar regangan-regangan utama menurut
lingkaran Mohr. Periksa hasil tersebut dengan persamaan-persamaan
(1.9) dan dari hasil pada pada d. di atas.Penyelesaian:a)Dari
persamaan (1.18) dan (1.19) akan didapat:
b. Lingkaran Mohr:1) Buat sumbu eij horisontal.2) Regangan
normal terkecil, eyy = -606me, sehingga merupakan titik di dekat
batas kiri.
-
3) Regangan normal terbesar exx = 1458me, sehingga merupakan
titik di dekat batas kanan.4)Diambil skala 1cm = 250me. Kemudian
ditentukan titik eyy = -606me di sebelah kiri, exx = 1458me di
sebelah kanan dan berjarak (exx + eyy) dari titik eyy di sebelah
kiri.5) Lukis sumbu t yang berjarak 606me di sebelah kanan titik
eyy .6)Dengan membagi dua sama panjang jarak eyy ke exx akan
didapat titik P.7)Menentukan letak titik A pada koordinat (exx ,
exy ) = (1458,774).8) Dengan mengambil titik pusat di P dan
jari-jari sepanjang PA, lingkaran Mohr dapat di-lukis.9) Dengan
menarik garis dari A lewat P yang memotong lingkaran Mohr di B,
akan di dapat kedudukan titik (eyy , exy ) = (-606,-774).
-
c.Besar rotasi mengelilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapatqmax = 0,5 x 2 qmax = 0,5 x (-53o) = 26o
30.Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapattan 2qmax = - (1458 +
606) / (2 x 774) = - 4/32qmax = - 53o 08atauqmax = - 26o 34d.Besar
regangan geser maksimum menurut lingkaran Mohrexy-max = 5,2 x 250me
= 1300me.Sedangkan menurut persamaan (1.11) akan didapat
e.Besar rotasi mengellilingi sumbu z menurut lingkaran Mohr,
dengan mengukur, didapatqp = 0,5 x 2qp = 0,5 x 37o = 18o
30.Sedangkan menurut persamaan (1.10) didapattan 2qp = (2 x 120) /
(280 + 40) = 3/42qp = - 36o 52atauqmax = - 18o 26
-
f.Besar regangan-regangan dasar menurut lingkaran Mohre1 = 6,9 x
250me = 1725me.e2 = -3,5 x 250me = -875meSedangkan menurut
persamaan (1.11) akan didapat