Mekanika Lagrangian
Bab II. Mekanika Lagrangian dan Formalisme Hamilton
Bab II. Mekanika Lagrangian
Bab II. Mekanika Lagrangian dan Formalisme Hamilton
Pada bagian awal (Bab I) kita telah menggunakan hukum-hukum
Newton untuk menganalisis gerak sebuah benda. Dengan menggunakan
hukum ini kita dapat menurunkan persamaan gerak benda. Hukum Newton
dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda
diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi
terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika
gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda
yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang
dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi
penggunaan koordinat, baik cartesian maupun koordinat lainnya sudah
tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya
diketahui.
Dalam bab ini akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih
efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama
dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang
disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat
pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya
terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton
menggunakan posisi dan kecepatan sebagai koordinat rampatan yang
menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme
Hamilton posisi dan momentum digunakan untuk koordinat rampatan
yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang
diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil
yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.A. KOORDINAT
RAMPATAN (UMUM)
Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan
menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian,
koordinat bola atau koordinat silinder. Jika partikel bergerak pada
sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya
dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan
untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada
lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.
Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan
paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel.
Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan
untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut
dinyatakan dengan
q1, q2, ..qn (1)
yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized
coordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat dan papan
Koordinat qk dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat
dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem tersebut
dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut
dengan derajat kebebasan sistem tersebut.
Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak
dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa
banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum
koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem.
Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang
dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat
diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat
untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk
menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat
tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola
tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah.
Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem
holonomic.
Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah
diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius:
x = x(q)
(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva). x =
x(q1,q2)
(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah permukaan).
x = x(q1,q2,q3)
y = y(q1,q2,q3)
z = z(q1,q2,q3)
(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)
Misalkan q berubah dari harga awal (q1,q2, .) menuju harga
(q1+(q1,q2+(q1 ..). Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian
adalah :
(2)
(3)
(4)
Turunan parsial (x/(q1 dan seterusnya adalah fungsi dari q.
Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang.
Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi
sistem, maka dalam hal ini :
q1 = r
q2 = ( (5)Selanjutnya :
x = x(r,() = r cos( y = y(r,() = r sin( (6)
dan = cos ( (r - r sin ( (( (7)
= sin ( (r + r cos ( (( (8)
Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n
partikel; dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta
koordinat rampatannya dinyatakan dengan :
q1, q2, ..qn (9)
Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q1, q2, ..qn) ke
konfigurasi di dekatnya (q1+(q1, q2+(q2, qn+(qn) menyatakan
perpindahan partikel ke i dari titik (xi,yi,zi) ke titik di
dekatnya (xi+(xi,yi+(yi,zi+(zi) dimana:
(10)
(11)
(12)
Persamaan (1012) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan
fungsi q. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan
koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan koordinat
rampatan. Simbol xi kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat
rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat
berharga antara 1 dan 3N.
B. GAYA RAMPATAN
Jika sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh (r dibawah
pengaruh sebuah gaya aksi F, gaya yang bekerja padanya dinyatakan
dengan
(13)
Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat dinyatakan dengan
(14)
Tampak bahwa persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk
partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk
satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel,
harga i adalah dari 1 sampai 3N.
Jika pertambahan (xi dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka
diperoleh
(15)
Persamaan di atas juga dapat ditulis
(16)
dimana: (17)
Besaran Qk yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut
dengan gaya rampatan. Oleh karena perkalian Qk(qk memiliki dimensi
kerja/usaha, maka dimensi Qk adalah gaya jika qk menyatakan jarak,
dan dimensi Qk adalah torka, jika qk menyatakan sudut.
C. GAYA RAMPATAN UNTUK SISTEM
KONSERVATIF
Jika sebuah gaya bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan
gaya konservatif, besarnya gaya tersebut dinyatakan oleh
persamaan
(18)
dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena
itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan
(19)
Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan
parsial fungsi V terhadap qk. Oleh karena itu
(20)
Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, q1 = r ; q2 = (,
maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan Qr = -(V/(r ; Q( =
-(V/((. Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus gaya sentral),
maka Q( = 0.
D. PERSAMAAN LAGRANGE
Untuk mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang
dinyatakan dalam koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan
persamaan berikut: (21)
dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan persamaan tersebut
dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari
persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam
bentuk koordinat Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam
koordinat rampatan dan turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T
dari sebuah sistem yang mengandung N partikel dapat dinyatakan
dengan
(22)
atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis sebagai berikut
(23)
Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara koordinat x dan q
yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat
misalkan
(24)
dan selanjutnya
(25)
Dalam pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah
1,2, ..3N dimana N menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan
harga k adalah 1,2, . .n; dimana n menyatakan jumlah koordinat
rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena itu kita dapat
melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan,
turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak
hal, waktu t tidak secara eksplisit terkait hubungan antara xi dan
qk, sehingga (xi/(t = 0. Jelaslah bahwa energi kinetik T merupakan
fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan .
Dari persamaan
(26)
Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan) dengan dan
diferensialkan terhadap t, akan diperoleh:
(27)
atau
(28)
Jika selanjutnya kita kalikan mi dan kita gunakan hubungan ,
kita dapat peroleh
(29)
Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh :
(30)
Dari definisi gaya rampatan kita peroleh
(31)Ini adalah persamaan diferensial gerak yang dinyatakan dalam
koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk
gerak.
Dalam kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange
dapat ditulis sebagai berikut:
(32)
Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk yang lebih singkat
dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
L = T - V (33)
Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T dan V dalam
koordinat rampatan. Oleh karena V = V(qk) dan , kita peroleh
dan (34)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
(35)
Persamaan diferensial gerak untuk suatu sistem konservatif dapat
dicari jika kita ketahui fungsi Lagrangian dalam bentuk koordinat
tertentu. Di sisi lain, jika gaya rampatan tidak konservatif,
misalkan nilainya adalah , maka kita dapat menuliskan
(36)
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi Lagrangian L
= T - V, dan menuliskan persamaan diferensial gerak dalam
bentuk
(37)
(37)
Bentuk di atas lebih mudah dipakai jika gaya gesekan
diperhitungkan.
E. BEBERAPA CONTOH PEMAKAIAN PERSAMAAN
LAGRANGE
Berikut ini akan dibahas beberapa kehandalan persamaan Lagrange
untuk menyelesaikan masalah-masalah gerak. Prosedur umum yang
dipakai untuk mencari persamaan diferensial gerak dari sebuah
sistem adalah sebagai berikut:
1. Pilih sebuah kumpulan koordinat untuk menyatakan konfigurasi
sistem.
2. Cari energi kinetik T sebagai fungsi koordinat tersebut
beserta turunannya terhadap waktu.
3. Jika sistem tersebut konservatif, cari energi potensial V
sebagai fungsi koordinatnya, atau jika sistem tersebut tidak
konservatif, cari koordinat rampatan Qk.
4. Persamaan deferensial gerak selanjutnya dapat dicari dengan
menggunakan persamaan di atas.
Beikut ini adalah beberapa contoh pemakaiannya :1. Pandanglah
sebuah partikel bermassa m yang bergerak akibat pengaruh gaya
sentral pada sebuah bidang. Rumuskan persamaan gerak partikel
tersebut.Misalkan koordinat polar (r,() digunakan sebagai koordinat
rampatan. Koordinat Cartesian (r,() dapat dihubungkan melalui :
x = r cos ( y = r sin (Energi kinetik partikel dapat
ditulis:
Energi potensial oleh gaya sentral
Persamaan Lagrange untuk sistem ini:
Dari persamaan Lagrange:
Substitusi q1 = r dan q2 = (, diperoleh:
Dari kedua persamaan di atas diperoleh:
Untuk partikel yang bergerak dalam medan konservatif :
Jadi :
Dari persamaan Lagrange :
atau:
Hal ini berarti bahwa J merupakan momentum sudut yang nilainya
konstan. Integrasi persamaan di atas menghasilkan
= konstanBerdasarkan persamaan di atas dapat dikatakan bahwa
dalam medan konservatif momentum sudut J, merupakan tetapan
gerak.2. Osilator Harmonik
Pandanglah sebuah osilator harmonik 1-dimensi, dan misalkan
padanya bekerja sebuah gaya peredam yang besarnya sebanding dengan
kecepatan. Oleh karena itu sistem dapat dipandang tidak
konservatif. Jika x menyatakan pergeseran koordinat, maka fungsi
Lagrangiannya adalah
L = T - V = (38)
dimana m adalah massa dan k adalah tetapan kelenturan pegas.
Selanjutnya:
dan (39)
Oleh karena pada sistem bekerja gaya yang tidak konservatif yang
harganya sebanding dengan kecepatan; dalam hal ini Q' = -c,
sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
(40)
Ini tak lain adalah persamaan gerak osilator harmonik satu
dimensi dengan gaya peredam yang sudah kita kenal.
3. Partikel yang berada dalam medan sentral.
Mari kita rumuskan persamaan Lagrange gerak sebuah partikel
dalam sebuah bidang di bawah pengaruh gaya sentral. Kita pilih
koordinat polar q1 = r, q2 = (. Maka
(41)
(42)
(43)
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Lagrange, diperoleh
:
(44)
(45)
Oleh karena sistemnya tidak konservatif, maka persamaan geraknya
adalah :
(46) (47)
4. Mesin Atwood
Sebuah mesin Atwood yang terdiri dari dua benda bermassa m1 dan
m2 dihubungkan oleh tali homogen yang panjangnya l dan dilewatkan
pada katrol (lihat gambar). Sistem ini memiliki satu derajat
kebebasan. Kita ambil variabel x untuk menyatakan konfigurasi
sistem, dimana x adalah jarak vertikal dari katrol ke massa m1
seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Gambar 2. 1Mesin atwood tunggalKecepatan sudut katrol adalah ,
dimana a adalah jari-jari katrol. Energi kinetik sistem ini adalah
: (48)
dimana I adalah momen inersia katrol. Energi potensial sistem
adalah :
(49)
Anggap bahwa pada sistem tidak bekerja gaya gesekan, sehingga
fungsi Lagrangiannya adalah
(50)dan persamaan Lagrangenya adalah
(51)
yang berarti bahwa :
(52)
atau
(53)adalah percepatan sistem. Nampak bahwa jika m1>m2, maka
m1 akan bergerak turun, sebaliknya jika m1