BAB I TEGANGAN DAN REGANGAN 1.1. Tegangan D al am me ka nika ba han en ert ian te an an t idak s ama de n an vektor tegangan. Teganganme r upa ka n t en sor der aj at dua , s edang ka nvektor , vektor apa pun, me r upaka n t ens or de raj at s atu. Besaran skalar merupakan tensor deraj at nol. Tensorialah bes aran f isik yang keadaannya pada suat u t itik dalam ruang , t ig a dimensi, dapat dideskripsikan dengan3 n komponennya, deng an n ialah deraj at t ensor tersebut . Deng an demiki an, unt uk pe rs oa lan t eg ang an t i g a dimensi pa da suatu t t a am ruang apat es r ps an eng an 3 omponennya. Pada si s t em koordi na t sumbu silan g , t eg an g an t er s ebut adalah σ xx , σ yy , σ zz , t xy , t yx , t xz , t zx , t yz , dan t zy s eper t i di t unj ukka n pada G amba r . . , xy = yx , xz = zx yz = zy , maka ke ada an t egangan t ersebu t da pat dinyat aka n dengan enam komponennya, σ xx , σ yy , σ zz , t xy , t xz , t yz . S eda ng kan unt uk tegan g an 2 , , komponennya , G amba r 1. 1(b), da n ka r ena t i j = t j i unt uk maka t ig a kompon en t elah dapa t mendeskri ps i kan t eg ang an bidang pada t i t ik itu.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Dalam mekanika bahan en ert ian te an an t idak sama den an
vektor tegangan. Tegangan merupakan t ensor deraj at dua, sedangkan vektor , vekt or apapun, merupakan t ensor deraj at sat u . Besaran skalarmerupakan tensor deraj at nol. Tensor ial ah besaran f isik yang keadaannya pada suat u t it ik dalam ruang, t iga dimensi, dapat dideskripsikan dengan 3n komponennya , dengan n ialah derajat t ensor
tersebut . Dengan demikian, untuk persoalan tegangan t iga dimensi padasuatu t t a am ruang apat es r ps an engan 3 omponennya.Pada sistem koordinat sumbu silang, tegangan tersebut adalah σxx , σyy ,σzz , t xy , t yx , t xz , t zx , t yz , dan t zy sepert i ditunjukkan pada Gambar
. . , xy = yx , xz = zx yz = zy ,maka keadaan tegangan tersebut dapat dinyatakan dengan enamkomponennya, σxx , σyy , σzz , t xy , t xz , t yz. Sedangkan untuk tegangan
2, ,komponennya, Gambar 1.1(b), dan karena t ij = t j i untuk maka t iga
komponen telah dapat mendeskripsikan tegangan bidang pada t it ik itu.
pembebanan. Sedangkan t egangan geser ialah t egangan yang bekerj a
se a ar den an bidan embebanan. Jadi keenam te an an anmendeskripsikan tegangan pada suatu t it ik terdiri atas t iga tegangan
normal, σxx , σyy , dan σzz , serta t iga tegangan geser, t xy , t yz , dant zx. Nilai tegangan bisa posit if dan bisa pula negat if . Tegangan
ber nil ai posit if bila tegangan tersebut bekerj a pada bidang posit ifdengan arah posit if , atau bekerj a pada bidang negat if dengan arahnegat if . Selain itu, nilainya negat if .
Besar tegangan rata-rata pada suatu bidang dapat didefinisikan sebagaiintensitas gaya yang bekerj a pada bidang tersebut. Sehingga secara
matemat is tegangan normal rata-rata dapat dinyatakan sebagai
i = j (1a)ijnF
Aσ =
= tegangan normal rata-rata (N/ mm 2 = M Pa )
Fn = gaya normal yang bekerj a (N )
ijσ
A = luas bidang (mm 2)
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z
Sedangkan tegangan geser rata-rata dapat dinyatakan sebagai
(1b)ij
tF
Ai jτ = ≠,
= tegangan geser rata-rata (N/ mm 2 = M Pa )
Ft = gaya tangensial atau sejaj ar bidang yang bekerj a (N )
= 2
ijτ
i , j = x, y, z
akhirnya mendekat i nol, dalam art ian limit maka akan didapat teganganpada suatu t it ik. Sehingga secara matemat is tegangan normal padasuatu t it ik dapat dinyatakan
Sepert i halnya tegangan, r egangan j uga mer upakan t ensor
dera at dua . Den an demikian keadaan re an an ruan t i a dimensipada suatu t it ik dapat dideskripsikan dengan kesembilan komponennya.Pada sistem koordinat sumbu silang, regangan tersebut adalah exx , eyy
, ezz , gx , g x , gxz , gzx , g z , dan gz , sebagaimana dit unjukkan padaGambar 1.2(a). Regangan j uga dapat diklasif ikasikan menjadi dua,yakni regangan normal , dengan notasi eij , i = j , serta regangan geser dengan simbul γij , . Sebagaimana dengan tegangan, gxy = gyx ,gxz = gzx dan gyz = gzy , maka keadaan regangan ruang pada suatut it ik dapat dinyatakan oleh enam komponen, yakni exx , eyy , ezz , gxy ,
gyz , gzx. Sedangkan regangan bidang, dua dimensi, dapat dideskripsikan, ij = j i
pada suatu t it ik dapat dideskripsikan dengan hanya t iga komponen,Gambar 1.2(b).
i, j = sumbu koordinat pada sistem sumbu silang, x, y, z.
Sedangkan regangan geser merupakan perubahan sudut dalam radial.Regangan geser bernil ai posit i f bil a sudut pada kuadran I dan atau
,1.3(a), sedangkan selain itu bernilai negatif.
1.3. Transformasi Tegangan Bidang
Tegangan dapat dit ransformasi dari suatu set sumbu koordinat keset sumbu koordinat lainnya. Dengan transformasi pula dapat dicari setsumbu koordinat pada suatu t it ik yang memberikan tegangan utama dari
kondisi tegangan yang telah diketahui di t it ik it u. Yang dimaksuddengan t egangan ut ama ialah t egangan yang hanya memil iki nilai t idaknol untuk tegangan normal saja, sedangkan nilai tegangan gesernya nol.
koordinat sumbu silang (x, y, z), Gambar 1.4(a), ke sistem koordinatpolar (r, q, z), Gambar 1.4(b).
Dengan subst itusi identitas trigonometri, persamaan (1.4a, b, c) bisa
ditulis
(1.5a)θ τ θ σ σ σ σ
σ 2sin2cos22
'' xy
yy xx yy xx
x x +−
++
=
(1.5b)θ τ θ σ σ σ σ
σ 2sin2cos22
'' xy
yy xx yy xx
y y −−
−+
=
σ σ −(1.5c)τ τ coss n
2'' xy y x
+−=
1.4. Transformasi Regangan Bidang
Perhat ikan Gambar 1.6(a) pada halaman berikut. Elemen OABCada keadaan awal tan a beban lalu men alami deformasi dan
distorsi menjadi O’ A’ B’ C’ akibat mendapat beban sxx , syy dan t xy.Analisis t ransformasi regangannya ditunjukkan pada Gambar 1.6(b, c,d) yang berturut-turut untuk regangan normal arah sumbu x, regangannormal arah sumbu y sert a regangan geser pada bidang xy. Dari
1.5. Tegangan dan Regangan Utama (Principal St ress and St rain)
serta Te an an dan Re an an Geser Maksimum
Tegangan Ut ama (Pr i nci pal St r ess) dan Tegangan Geser Maksimum
Tegangan Ut ama (pri ncipal st ress ) adalah tegangan normalyang terj adi pada set sumbu koordinat baru setelah t ransformasi yangmenghasilkan t egangan geser nol . Tegangan-tegangan tersebutditunj ukkan sebagai s1 dan s2 pada Gambar 1.10. Perlu dicatat
bahwa s1 selalu diambil lebih besar dari s2. Sudut t ransformasi yang
angle ). Secara analit ik, besar tegangan utama dan sudut utama dapatditurunkan dari persamaan-persamaan (1.5a, b, c).
Sebagaimana pengert ian tentang tegangan utama, maka regangan
ut ama rinci al st rain adalah re an an normal an ter adi ada setsumbu koordinat baru setelah transformasi yang menghasilkan set engah regangan geser nol . Regangan-regangan tersebut ditunjukkan sebagai
ε1 dan ε2 pada Gambar 1.11. Demikian j uga, ε1 selalu diambil lebih besar dari ε2 , sert a sudut t ransformasinya j uga disebut sudut ut ama
(pri ncipal angl e ). Secara analit ik, dengan penerapan prosedur yangsama dengan yang diterapkan untuk persamaan-persamaan (1.7a, b, c),maka akan didapat hasil-hasil berikut.
1.6. Lingkaran Mohr untuk Tegangan Bidang dan Regangan Bidang
Lin karan Mohr di erkenalkan oleh seoran insin ur Jerman Ot toMohr (1835-1913). Lingkaran ini digunakan untuk melukis transformasitegangan maupun regangan, baik untuk persoalan-persoalan t iga dimensimaupun dua dimensi. Yang perlu dicatat adalah bahwa perputaran
sumbu el emen sebesar q dit unj ukkan ol eh perput aran sumbu pada l ingkaran Mohr sebesar 2q, .dan sumbu t egangan geser posit i f adal ah menunj uk ke arah bawah. Pengukuran dimulai dari t it ik A, positif bila berl awanan arah j arum am, dan negat if bil a sebal iknya. Pada bagianini kita hanya akan membahas lingkaran Mohr untuk tegangan danregangan dua dimensi.
. , xx yy ,matemat is lebih kecil. Bila bernilai negat if j adikanlahtegangan tersebut sebagai t it ik yang mendekat i tepi kir i batasmelukis sedan kan bila osit if maka t it ik an mendekat i
batas kiri adalah t it ik σij
= 0.
3. Periksa harga tegangan normal, σxx atau σyy , yang secara.
tersebut sebagai t it ik yang mendekat i tepi kanan batas melukis,sedangkan bila negat if maka t it ik yang mendekat i batas kanan
adalah t it ik σ = 0.
4. Tentukan skala yang akan digunakan sehingga tempat melukis bisamemuat kedua titik tersebut dan masih tersisa ruangan di sebelahkiri dan kanann a. Tentukan t it ik-t it ik batas tersebut sesuai
5. Tentukan letak t it ik-t it ik σij = 0 dan sumbu τ, serta σij terkecil
dan σ terbesar bila belum terlukis ada sumbu σ .6. Bagi dua j arak antara tegangan terkecil dan tegangan terbesar
sehingga diperoleh pusat lingkaran, P.
. ij , xy .
8. Lukis lingkaran Mohr dengan pusat P dan j ari -j ari PA.9. Tarik garis dari A melalui P sehingga memotong lingkaran Mohr di
B. Maka t it ik B akan terletak pada koordinat (σij terkecil , τxy ).Garis AB menunjukkan sumbu asli, θ = 0, elemen tersebut.
Cont oh 1.1: Sebuah elemen dari bagian konst ruksi yang dibebani,menerima tegangan tarik pada arah sumbu x sebesar 280 MPa,tegangan tekan pada arah sumbu y sebesar 40 MPa serta tegangan
Persamaan (1.17) merupakan persamaan lingkaran pada bidang εγ2
2 2
yang pusatnya di dengan j ari-j arixx yy−
⎝
⎜
⎠
⎟2
0,
2 2
xx yy xyε ε−
⎝
⎜
⎠
⎟ +
⎝
⎜
⎠
⎟
. ,dilukis dengan prosedur sebagaimana melukis lingkaran Mohr untuktegangan dengan mengganti σxx , σyy dan τxy berturut-turut menjadi
ε , ε dan γ / 2. Penerapannya, lihat Contoh 1.2 pada halaman 21.
1.7. Hubungan Antara Tegangan Dengan Regangan
Untuk deformasi normal, geser maupun gabungan keduanya, hubunganantara tegangan dan regangan untuk bahan-bahan isot ropis padapembebanan dalam batas proporsional diberikan oleh hukum Hooke .Jadi hukum Hooke t idak berlaku untuk pembebanan di luar batasproporsional. Hukum Hooke diturunkan dengan berdasarkan padaanalisis tentang energi regangan spesifik .
Persamaan-persamaan (1.18) sampai dengan (1.21) dapat j uga
- ,dengan memasukkan harga nol untuk besaran-besaran di luar dimensiyang dimaksud.
Cont oh 2 : Pembebanan seperti pada Contoh 1, untuk bahan dengansifat -sifat mekanis: modulus Young, E = 200 GPa dan angkaper an ng-an o sson, n = , . o u us geser tentu an engan,G = E / 2(1 + n).
Diminta: a. Hitunglah regangan-regangan yang terj adi.b. Lukisan lingkaran Mohr untuk regangan yang terj adi.
c. Besar rotasi mengeli lingi sumbu z untuk mendapatkanregangan geser maksimum, menurut lingkaran Mohr.
Periksa hasil tersebut dari persamaan (1.10).d. Besar regangan geser maksimum menurut lingkaran
Mohr. Periksa hasil tersebut dengan rumus (1.11) danhasil yang didapat pada b. di atas.