MehTek 2-3 [1,1 MiB]

FIZIKALNE VELIČINE I NJIHOVE OSOBINEFIZIKALNE VELIČINE I NJIHOVE OSOBINE

Osnovna podjela tekućina je prema agregatnom stanju:

A)Kapljevine (imaju svojstvo formiranja slobodne površine)

B)Plinovi (širenje sve do potpunog ispunjavanja raspoloživog ograničenog prostora)

U mehanici tekućina zamišlja se kontinuirano raspodijeljena masa tvari po prostoru - hipoteza kontinuuma (u svakoj prostornoj koordinati postoji masa).

Kontinuum je moguće dijeliti na beskonačno male volumene, a da se pri tome ne izgube njegove fizikalne karakteristike.

Suprotno krutom tijelu, tekućine su karakterizirane i sa pomakom njezinih djelića bez obzira koliko bila mala sila i rad koji se primjenjuju pri njezinu deformiranju.


Tekućine se također dijele na homogene i nehomogene. Homogene su one koje u svakoj točci prostora imaju iste vrijednosti pojedine fizikalne veličine.

Kapljevina čak i pri vrlo visokim tlakovima ostvaruje vrlo malu promjenu volumena. U većini praktičnih inženjerskih problema tretiraju se kao nestišljive (promjena tlaka od 1bar pri sobnoj temperaturi rezultira sa promjenom volumena vode za samo 0,005%).

U pojedinim inženjerskim problemima (vodni udar) igra važnu ulogu te se ne može zanemariti.


Plinovi se generalno (npr. zrak) ne mogu tretirati kao nestišljivi.U pojedinim inženjerskim problemima (strujanje zraka pri atmosferskom tlaku i sobnim temperaturama sa brzinama <50 m/s) mogu se tretirati kao nestišljive tekućine.

Gustoća se po definiciji odnosi na masenu gustoću u volumenu V u kojem je kontinuirano rasprostranjena masa tekućine m.

(dimenzija M/L3 odnosno jedinica kg/m3)(U općem slučaju je ovisan o tlaku p (N/m2) i temperaturi T (K) odnosno = f(p,T)).


0

1limV

V

masa m dmvolumen V dV v

;

Ukupna promjena gustoće tekućina može se opisati sa parcijalnim promjenama pri konstantnoj temperaturi i konstantnom tlaku:

T – izotermni koeficijent stišljivosti (1/Pa)P – toplinski koeficijent izduženja (1/K)

Za nestišljive tekućine vrijede odnosi T = P = 0.

T Pd dp dT

1 1T p

PTp T'


Između modula elastičnosti tekućine EF i koeficijenta stišljivosti (kompresibilnosti) vrijedi EF = 1/T .Za vodu EF 2*109 Pa u rješavanju većine inženjerskih problema.

Barotropne tekućine - stišljive tekućine u kojima gustoća ovisi samo o tlaku = f(p).

Adijabatski proces - proces u kojem je točno određena masa tekućine toplinski izolirana od okoline pa sa njom nema ni toplinske izmjene.


Iz iskustva je poznato u slučaju opstrujavanja tekućine oko nekog tijela ili kretanja tijela kroz tekućinu, postoji sila tekućine na tijelo i obratno.

Ta sila je posljedica viskoznosti odnosno unutarnjeg trenja kao temeljnog svojstva realne tekućine.

Uslijed međusobnog djelovanja susjednih djelića tekućine dolazi do deformacije djelića tekućine kao posljedica naprezanja uzrokovanih trenjem.


Trenje je uzročnik nastalih gubitaka mehaničke energije.

U nekim slučajevima tečenja utjecaj trenja može se zanemariti (idealna ili bezviskozna tekućina).

Realne tekućine se dijele na Newton-ove tekućine i anomalno viskozne tekućine.

Reologija se bavi proučavanjem odnosa između brzine deformacija i naprezanja u tekućinama uslijed pojave trenja.


Reološki dijagram tekućina definira odnose između tangencijalnih naprezanja i promjene brzine po normali za tekućine.

Newtonove tekućine (1a), Bingman-ova tekućina (1b), strukturno viskozne tekućine (2a,b), dilatacijske tekućine (3a,b).


Pri gibanju tekućine postoji unutarnje trenje (viskoznost) između susjednih djelića tekućine. To trenje je približno neovisno o prisutnim normalnim naprezanjima i proporcionalno je razlici brzina između susjednih djelića tekućine.

Profil brzina u tekućini koja se nalazi između podloge u mirovanju i vrlo duge paralelne ploče na vrlo bliskoj udaljenosti h koja se pomiče jednolikom brzinom v0 (tlak konstantan u cijelom prostoru, brzina čestice uz podlogu v = 0, brzina čestica ispod ploče v = v0).


Kroz unutarnji otpor gornji djelić se usporava, a donji ubrzava (deformiraju se).

Odgovarajuće tangencialno naprezanje je definirano konstitutivnom jednadžbom Newton-ove tekućine :

Koeficijent proporcionalnosti naziva se dinamički koeficijent viskoznosti i ima jedinicu Pas.

Dijeljenjem dinamičkog koeficijenta viskoznosti sa gustoćom dobiva se kinematski koeficijent viskoznosti (neovisan o gustoći) = / sa pripadnom jedinicom m2/s .

0lim (Newton)n

v vn n


Na kontaktnoj površini dviju nemješajućih kapljevina ili kapljevine i plina djeluju molekularne privlačne sile obje tekućine.

Ukoliko se jedna kapljica tekućine manje gustoće položi na tekućinu veće gustoće, tekućina manje gustoće će zadržati svoj oblik kapljice ili će se razliti u obliku tankog filma po površini gušće tekućine (nafta na vodi ili voda na živi).


Na molekule kapljevine, koje se nalaze u mirovanju, djeluju međusobno privlačne sile sa radijusom djelovanja rM =10-7 cm. Privlačne sile molekula plina na molekule kapljevine su zanemarive male.


Molekula tekućine na udaljenosti a > rM od kontaktne površine sa plinom - sile na molekulu djeluju istim intenzitetom u svim smjerovima (rezultantna sila FM = 0).

Na udaljenosti a < rM sile nisu uravnotežene (rezultantna FM 0).

FM raste kada udaljenost a pada.

Zaključno, na kontaktnoj površini ostaje onaj broj molekula koji je minimalno potreban za formiranje slobodnog vodnog lica.


Formom kapljice se postiže minimalna površina potrebna za obuhvat volumena tekućine.

Zadržavanje forme kapljice moguće samo ukoliko postoji određeno stanje naprezanja u kontaktnoj površini sa plinom (površinska napetost).

Naponi na kontaktnoj plohi nazivaju se kapilarni naponi N/m.

Tanke cjevčice u kojima je efekt kapilarnosti vrlo izražen nazivaju se kapilare.


Naponi na zakrivljenom segmentu kontaktne plohe dA imaju rezultantu dFn koja predstavlja silu okomitu na taj segment.

Rezultanta dFn proporcionalna je zakrivljenosti segmentne plohe.

Rezultantni tlak pK Pa definiran je odnosom pK = dFn /dA i izrazom:


1 21 2

1 1 2K K K

K

p p r r rr r r

,

Kada kapljevina dodiruje stjenku krutog tijela njezine molekule su pod utjecajem obje kontaktne tekućine (plina i kapljevine) i «krute» granice (adhezivne sile).

Ukoliko su privlačne sile između čvrste stjenke i molekula tekućine znatno veće nego privlačne sile između molekula tekućine, tekućina će u blizini čvrste stjenke imati tendenciju širenju po njoj.

a) voda i staklo b) živa i staklo


T ρ η ν

0 0,999840 1,7921 1,7924 0,06

5 0,999964 1,5108 1,5189 0,09

10 0,999700 1,3077 1,3081 0,12

15 0,999101 1,1404 1,1414 0,17

20 0,998206 1,0050 1,0068 0,24

30 0,995650 0,8007 0,8042 0,43

40 0,992219 0,6560 0,6611 0,75

50 0,988050 0,5494 0,5560 1,25

60 0,983210 0,4688 0,4768 2,02

70 0,977790 0,4061 0,4153 3,17

80 0,971830 0,3565 0,3668 4,82

90 0,965320 0,3165 0,3279 7,14

100 0,958350 0,2838 0,2961 10,33

dd

phρg

3

gcm

3

210 Nsxm

2610 mx

s C m


Ravnotežna stanja, kao i u slučaju promatranja krutog tijela, vežu se uz tekućinu u apsolutnom ili relativnom mirovanju. Tada nema pojave posmičnih naprezanja, već samo normalnih, odnosno tlakova.

Tlak je skalarna veličina koja ovisi o položaju p(x,y,z).

Analiziramo raspodjelu tlaka na djelić tekućine u mirovanju (ravnoteža vanjskih sila).

HIDROSTATIKAHIDROSTATIKA

U z smjeru na promatrani djelić djeluju masene sile (težina) i površinske sile (tlak) :

Ravnoteža je ostvarena ukoliko su sve vanjske sile u ravnoteži:

Usvajanjem razlike tlaka p između “gornje” i “donje” plohe dobiva se:

Δ Δ ΔmF m g g x y z ρ Δ Δdp dF p x y Δ Δ

gp gF p x y

Σ 0izF 0

d gm p pF F F

Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0d gg x y z p x y p x y ρ

Δ Δ Δ Δ Δ Δ 0d dg x y z p p p x yρΔ Δ 0g z p ρ


Prelaskom na z0 dobiva se jednakost :

Prema tome, u hidrostatskim uvjetima i u vertikalnom smjeru postoji gradijent tlaka koji djeluje suprotno od smjera djelovanja sile teže. Stoga se tlakovi povećavaju s povećanjem dubine, s intenzitetom ovisnim o gustoći tekućine .

Kako u horizontalnom smjeru nema masenih sila (ubrzanja) nema ni promjene tlaka u tom smjeru.

Za dobivanje apsolutnog iznosa tlaka potrebno je integrirati gornji izraz po varijabli z.

p ρgz


Za konstantu integracije moguće je odabrati apsolutnu nulu tlaka p0= 0 Pa (vakum) ili relativnu nulu patm koja odgovara atmosferskom tlaku, te se najčešće upotrebljava u tehničkoj praksi (prel= paps - patm ).

Standardni atmosferski tlak definira se za 15 0C, iznad površine mora, te iznosi paps = 1,013 bar = 1,013*105 Pa.

U većini inženjerskih problema debljina sloja tekućine je toliko mala da se gustoća može usvojiti kao konstantna po vertikali. Stoga je prirast tlaka po vertikali linearan:

0 0

z z

z z

pdz ρgdzz

0 0p z p ρg z z

0 0p z p ρg z z


Uz rubni uvjet da na slobodnoj površini djeluje atmosferski tlak (konstanta integracije p0= patm) dobiva se dijagram raspodjele tlaka po konturi.


Dijeljenjem tlaka p sa g dobiva se tzv. tlačna visina koja u zbroju s članom geodetske visine z rezultira piezometarskom visinom.

Piezometarska visina (razina) je konstantna, bez obzira na položaj promatranog djelića tekućine u mirovanju.

00

0 10 1

.pp z z konstg g

p ph z zg g

ρ ρ

ρ ρ


Ukoliko gustoća nije homogena po vertikali stupca tekućine potrebno je provesti integraciju na način:

0 0

1 2

0 1

1 2

0 1

1 2

z z

z z

z z

z z

z z

z z

pdz ρ z gdzz

p pdz dzz z

ρ gdz ρ gdz


Tlak je prema definiciji infinitezimal sile dF koja djeluje na infinitezimalnu površinu dA. Ukupna sila tlaka dobiva se integracijom po ukupnoj površini A sačinjenoj od infinitezimala dA.

Osim intenziteta sile hidrostatskog tlaka u praksi nas interesira i položaj hvatišta te sile.

Analiziramo opći slučaj proizvoljne površine A koja se nalazi u ravnini pod kutem u odnosu na ravninu vodnog lica. Sa h označavamo dubinu (udaljenost) od vodnog lica do neke točke, a sa koordinatu u ravnini u kojoj se nalazi i promatrana površina.

0d F p d A g z z d A ρ


Dubina vode definira se kao funkcija koordinate :

Ukupna sila dobiva se integracijom:

Moment površine izražen je integralom:

0 sinh h ζ α

0 sin

konst.

pA A A A

F pdA ghdA g hdA gh A g dA ρ ρ ρ ρ α ζ

TA

dA A ζ ζ


Time je dobiven i izraz za ukupnu silu tlaka:

pri čemu je: T koordinata težišta, hT dubina težišta promatrane površine A; pT tlak u točki težišta površine A na dubini hT.

Hvatište ukupne sile FP izvodi se iz uvjeta ravnoteže momenata.

p T TF p A gh A ρ


Suma infinitezimalnih momenata dM (umnožak infinitezimalnih sila tlaka dF i pripadnih krakova) jednaka je rezultantnom momentu (umnožak ukupne sile tlaka FP i rezultantnog kraka):

2

2

2

sin

sin

sin

1

P H PA

H PA

HT A

HT TA

M dF F

dF gh dA g dA

F g dA

g dAgh A

IdA

A Aζ

ζ ζ

ρ ρ ζ α

ζ ρ ζ α

ρ αζ ζρ

ζ ζζ ζ

sinP T

T T

F gh Ah

ρζ α


Primjenom Steinerovog pravila:

dobiva se:

pri čemu je: moment tromosti površine A oko osi – ishodište koordinatnog sustava IT moment tromosti površine oko osi – kroz težište površine A

2T TI I Aζ ζ

2T T T

H TT T

I A IA Aζζ ζ

ζ ζ

Iζ ζ

ζ


U mnogim praktičnim primjerima pojavljuje se potreba za primjenom komponentni sile tlaka:

Ukupna sila tlaka u horizontalnom smjeru FPx dobiva se umnoškom tlaka pTx = ghTx u točki težišta površine projekcije AX i same površine projekcije AX

2 2

x

y

z

x y

FF F

F

F F F

xx T xF gh Aρ


Na gornjoj stranici uronjenog tijela djeluje tlak s intenzitetom gh dok sa donje strane tijela djeluje tlak g(h + h).

Razlika tlakova prisutna je po cijeloj površini, pa se njihovom integracijom (po cijeloj površini) dobiva tzv. sila uzgona:

u gF gV Fρ


Vertikalna komponenta sile tlaka jednaka je težini vodenog stupca od promatrane površine do slobodnog vodnog lica:

Rasap ukupne sile tlaka na horizontalnu i vertikalnu komponentu je inženjerska prilagodba rješavanju problema u kojima se pojavljuju zakrivljene površine.

ρz zF gV


Iako zvuči paradoksalno, gibanje u sustavu relativnog mirovanja tematski pripada poglavlju hidrostatike.

Opažač koji se kreće s tekućinom u sustavu relativnog mirovanja oko sebe opaža tekućinu koja se ne giba u odnosu na njega. Prema tome, vanjske sile na elementarni djelić tekućine i u ovom slučaju se nalaze u ravnoteži.

Vanjske sile ponovno su sadržane od sile tlaka (uslijed razlike tlakova po površinama promatranog djelića tekućine) i težine.


Parcijalna promjena tlaka u x-smjeru izražena je sa:

Analogno, za 3-D problem vrijedi:

Ukoliko se kroz prostor krećemo po liniji istog tlaka (izobare) totalni diferencijal tlaka je jednak nuli:

ρ ρ

x x

p pdF dm a a ax x

ρ

x

y

z

ap a

a

0p p pdp dx dy dz

x y z


Stoga u relativnom sustavu, koji se giba u odnosu na apsolutni sustav u mirovanju, vrijedi:

Slobodna površina uvijek predstavlja jednu plohu istog tlaka (p=konst.=p0 = patm), a vektor ubrzanja uvijek je okomit na tu plohu (3D) odnosno na liniju-izobaru (2D vertikalni presjek).

Primjerice, u posudi u kojoj se nalazi tekućina u apsolutnom mirovanju vodno lice je horizontalno a jedini vektor ubrzanja je gravitaciono ubrzanje s vertikalnim smjerom djelovanja.

ρ ρ ρ 0x y za dx a dy a dz


Pri konstantnoj promjeni brzine vozila u vremenu i po pravcu osim djelovanja masene sile u vertikalnom smjeru (gravitaciono ubrzanje aZ = g) prisutna je i horizontalna komponenta (aX 0).

Za slobodnu površinu primjenjuje se izraz:

pa slobodna površina ima formu definiranu jednadžbom: . 0xa x g z konst


0xa dx gdz

Postavljanjem ishodišta koordinatnog sustava u točku sredine vozila i u razini vodnog lica (presjecište linija vodnog lica u potpunom i relativnom mirovanju) jednadžba vodnog lica glasi:

Za određivanje tlaka u proizvoljnoj točki prostora, na vertikalnoj udaljenosti h od površine vodnog lica, koriste se izrazi:

0xa x g z

ρ p g h ρ α

cosp a h


Slučaj posude koja se okreće oko svoje osi s konstantnom kutnom brzinom logično je vezati uz cilindrični koordinatni sustav.

Funkcija vodnog lica se ponovno dobiva iz uvjeta da je rezultantni vektor masenih sila na nju okomit.

ω

ω

2

2

0

0

r z

z

r

a dr a dza g

a r

r dr g z


Integracijom se dobiva:

Dijeljenjem s g te usvajanjem integacijske konstante z2 :

Konstanta z2 definira se izborom pozicije ishodišta koordinatnog sustava, i to na poziciji vodnog lica u osi posude prije početka rotacije. To znači da pri nastupu rotacije volumni integral:

poprima vrijednost 0.

ω

2 2

. 02

r g z konst

ω

2 2

22rz z

g

1

2

2

0 0

0z R

z

V rdr d dz


Usvajanjem z1 – z2 = z dobiva se:

Konačno, jednadžba vodnog lica tekućine u posudi koja rotira s konstantnom kutnom brzinom oko simetrale definirana je jednadžbom:

2

0 0

2 3

20

2 4 22

0

02

08 2

R

R

V z r d dr

r z r drg

R z Rg

ωπ

ω

ω

2 2

20

2 4 22

0

2 2

2

2 02

08 2

4

R

R

r z rdrg

r z rg

Rzg

ω ω

2 2 2 2

2 4r Rzg g

Δ ω

2 2

2 1 2Rh z z

g


MehTek 2-3 [1,1 MiB]

Documents