-
Mehanika tla i stijena str. 1
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
POSMINA VRSTOA TLA
1. Slom tla
1.1. Uvod
Posmina vrstoa tla povezuje se sa slomom tla. Slom tla je stanje
nestabilnosti popraeno velikim posminim deformacijama i s njima
povezanim velikim pomacima. Obino se oituje kao klizanje jedne mase
tla po drugoj preko jasno izraene klizne plohe ili manje izraene
klizne zone. Na kliznoj plohi ili u kliznoj zoni posmino naprezanje
je dosegnulo posminu vrstou tla, a daljnji rast posminih
deformacija vie nije popraen poveanjem otpora u vidu poveanja
posminih naprezanja kao prije sloma. Slom moemo poistovjetiti s
poputanjem tla. Primjerice, ako pretpostavimo da se tlo ponaa
linearno elastino idealno plastino, kao to je prikazano na slici
7-1, do toke A je ponaanje tla linearno elastino, a nakon dosezanja
toke A, idealno plastino. Elastino ponaanje znai da su deformacije
povratne, odnosno, kada bi se tlo, na putu do toke A, rasteretilo,
ostvarena bi se deformacija ponitila (bila bi nula). Linearni odnos
znai da se elastini odnos izmeu efektivnih naprezanja i deformacije
moe prikazati ravnom linijom. Nakon dosezanja toke A, u kojoj
dolazi do poputanja (sloma) tla, deformacije se poveavaju pri
konstantnom efektivnom naprezanju. Deformacije su sada plastine, to
znai nepovratne (trajne), odnosno, kada bi se tlo, u nekoj fazi
plastinog ponaanja rasteretilo, deformacija bi ostala ista kao
prije rastereenja.
idealno plastino
linearno elastino
s
e
'
A
Slika 7-1. Linearno elastian idealno plastian odnos efektivnih
naprezanja i deformacija
Tlo se ne ponaa kao to je prikazano na slici 7-1, iako se ponaa
elasto-plastino. Meutim, potrebno je definirati neki kriterij
(zakon) sloma, kako bi se slom u tlu mogao
-
Mehanika tla i stijena str. 2
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
jednoznano odrediti, pa tako i vrijednost posmine vrstoe tla. U
mehanici tla najee koristimo Mohr-Coulombov (ita se Mor-Kulonov)
zakon sloma.
1.2. Mohr-Coulombov zakon sloma
Mohr-Coulombov zakon sloma definira posminu vrstou tla f prema
izrazu:
f n tanc (7.1)
gdje je c kohezija, kut unutarnjeg trenja, a n je normalno
efektivno naprezanje, koje
djeluje na istu ravninu kao i posmino naprezanje f . Ova se
ravnina zove ravninom sloma.
Parametri tla c i su efektivni parametri (posmine) vrstoe
tla.
Jednadba (7.1) definira pravac, kojemu je c odsjeak na ordinati,
a mu je nagib u odnosu na horizontalu. Ovaj se pravac naziva
anvelopom sloma, kao to je prikazano na slici 7-2. Linearna
anvelopa sloma je Coulombov doprinos ovom zakonu sloma. Mohr je
definirao
da slom u tlu nastupa kada anvelopa sloma tangira Mohrovu
krunicu naprezanja, kao to je
to sluaj s krunicom naprezanja na slici 7-2. Ta krunica sijee
apscisu u tokama 3 i 1 ,
to su glavna efektivna naprezanja pri slomu. Kao to se vidi na
uzorku tla sa slike 7-2, vee
glavno efektivno naprezanje 1 djeluje na horizontalnu povrinu
uzorka, a manje glavno
efektivno naprezanje 3 djeluje na vertikalnu povrinu uzorka. Na
ovim su ravninama
posmina naprezanja nula i to su glavne ravnine naprezanja.
Vee glavno naprezanje 1 prikazano na uzorku tla na slici 7-2,
djeluje na horizontalnu
ravninu, a posmino je naprezanje nula. Ovo stanje naprezanja
odgovara toki 1, 0 na
Mohrovoj krunici. Kroz ovu se toku provue horizontalni pravac
paralelan s ravninom na koju ta naprezanja djelujui dobijemo pol
Mohrove krunice (toka P) Sada povuemo pravac kroz pol Mohrove
krunice i toku A u kojoj anvelopa sloma tangira krunicu. Ovaj je
pravac
pod nagibom f u odnosu na horizontalu. Toka A definira
naprezanja n f, koja djeluju
na ravninu pod nagibom f u uzorku, kao to je prikazano na slici
7-2. Ordinata toke A
predstavlja posminu vrstou tla f . Ravnina na koju djeluje f ,
pod nagibom f u odnosu
na horizontalu, je ravnina sloma.
Za kut f se moe pokazati da je
o of f'
2 90 ' 452
(7.2)
-
Mehanika tla i stijena str. 3
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
ravnina sloma
anvelopa sloma
sq
t
j
2q
ts
s
s
s s
q
13
f
n
1
3
n
f
f
f
tf
c'
'
'
'
'
'
' ' s 'P
A
Slika 7-2. Mohr-Coulombov zakon sloma
2. Ispitivanje efektivnih parametara vrstoe u ureaju za direktni
posmik
Ureaj za direktni posmik (izravno smicanje) najjednostavniji je
ureaj za ispitivanje vrstoe tla u dreniranim uvjetima. Pomou tog se
ureaja uzorak tla podvrgava prisilnom smicanju po horizontalnoj
ravnini, koja dijeli dvije usporedne kutije u kojima se nalazi
uzorak. Slika 7-3
prikazuje poeljnu konfiguraciju ureaja prema ISSMGE (1998), koja
je samo poboljana verzija ureaja koji je prije vie od dva stoljea
Coulombu posluio za odreivanje njegovog izraza za vrstou tla. U tom
se ureaju ispituju neporemeeni uzorci sitnozrnatih tala ili se
utvruje ovisnost vrstoe o zbijenosti krupnozratnih tala. Visina
uzorka mora biti barem pet puta vea od veliine najveeg zrna u
uzorku.
Veliina kvadratne kutije za smicanje ne smije biti manja od 6 cm
6 cm. Odnos visine i irine uzorka ne smije biti vei od 1/3.
upljikavi kameni trebaju biti hrapavi kako bi omoguili to bolji
prijenos posminog naprezanja. upljine trebaju biti dovoljno malog
promjera da sprijee prodiranje sitnozrnatog tla u kamen, ali takve
da kamen ima barem za red veliine veu propusnost od uzorka. Ureaj
treba omoguiti najvei boni relativni pomak izmeu dviju kutija od
barem 20% irine uzorka. Mjerilo vertikalnog i bonog pomaka treba
biti odgovarajue preciznosti (0,002 mm za vertikalni, a 0,02 mm za
boni pomak).
U pravilu se provode tri pokusa pri razliitim vertikalnim
optereenjima. Veliine vertikalnih naprezanja treba birati tako da
obuhvate mogui raspon normalnih naprezanja koja se u razmatranom
problemu mogu javiti u tlu. Treba paziti da su tri uzorka koji
se
podvrgavaju ispitivanju uzeta iz istog tla, to se najbolje
provjerava mjerenjem prirodne vlanosti i klasifikacijskih svojstava
iz ostataka tla izvaenog iz buotine na terenu, koji su preostali
nakon oblikovanja uzoraka.
-
Mehanika tla i stijena str. 4
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
Slika7-3. Ureaj za direktni posmik (izravno smicanje) (1- ureaj
za nametanje vertikalne sile V, 2-vodilice ureaja za vertikalno
optereenje koje sprjeavaju naginjanje gornje ploe, 3- mjerilo
vertikalnog pomaka gornje ploe, 4- gornja ploa, 5-nazubljeni
upljikavi kamen, 6- uzorak tla, 7- pomina posuda na leajevima, 8-
gornji (nepomini) i donji (pomini) okvir za uzorak potopljen u
vodi, 9- mjerilo horizontalne sile H, 10- ureaj za nametanje
jednoliko rastueg horizontalnog pomaka, 11- ploha na kojoj se
pretpostavlja da e doi do posminog sloma uzorka tla)
0 1 2 3 4 5 6relativni pomak, posmik (mm)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
od
no
s n
apre
za
nja
/
' (-
)
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
ve
rtik
aln
i p
om
ak k
ap
e (
mm
)
0 1 2 3 4 5 6relativni pomak, posmik (mm)
zbijeni jednolikipijesak (e0 = 0.53)
rahli jednolikipijesak (e0 = 0.79)
Slika 7-4. Tipini rezultati pokusa u direktnom posmiku
-
Mehanika tla i stijena str. 5
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
Svaki od tri pokusa smicanja provodi se u dvije faze. Prvu fazu
ini konsolidacija pod vertikalnim optereenjem, a drugu fazu
smicanje. Nakon nanoenja vertikalnog optereenja treba pratiti i
biljeiti slijeganje gornje kape uzorka s vremenom slino kao u
edometarskom pokusu. S drugom fazom se moe zapoeti tek kada je
utvreno da je konsolidacija u prvoj
fazi zavrena. Iz dobivene konsolidacijske krivulje treba
odrediti 50t ili 90t , vremena potrebna za postizanje stupnja
konsolidacije od 50% odnosno 90%. Ovi e podaci posluiti za
odreivanje najmanje brzine smicanja u drugoj fazi. Brzina smicanja
vana je kako bi se osiguralo da se viak tlaka vode u uzorku
praktiki zadri na nuli tijekom smicanja. U tom e sluaju efektivna
naprezanja u uzorku biti jednaka nametnutim ukupnim naprezanjima. U
sluaju ispitivanja krupnozrnatih tala dobre propusnosti, pokus se
moe provoditi na suhim uzorcima u kojima nema konsolidacije, ali
svejedno treba mjeriti smanjenje volumena uzorka
uslijed vertikalnog optereenja.
Tipine rezultate smicanja za zbijeni i za rahli pijesak
prikazuje slika 7-4. Posmino
naprezanje na ravninu smicanja (horizontalna ravnina) rauna se
kao /V A , gdje je V vertikalno optereenje uzorka, a A je povrina
presjeka uzorka. Na gornjem se dijagramu slike 7-4 jasno uoava
porast posminog naprezanja s porastom relativnog posminog pomaka do
postizanja najveeg posminog naprezanja (vrna vrstoa). Iza toga,
daljnjim porastom pomaka, posmino naprezanje pada, to je naroito
izraeno za zbijeni pijesak. Nakon dovoljno velikog pomaka, posmino
se naprezanje stabilizira na nekoj manjoj vrijednosti (rezidualna
vrstoa).
Iz rezultata pokusa smicanja koje prikazuje donji dijagram slike
7-4 uoava se i promjena visine uzorka tijekom smicanja, putem
pomaka gornje kape na uzorku. Zbijeni pijesak pri
smicanju poveava volumen, dok rahli pijesak blago smanjuje
volumen. Ova se pojava naziva dilatacijom i bitno utjee na mnoge
vidove ponaanja tla. Poveanje volumena tijekom smicanja tipina je
pojava zbijenih pijesaka i ljunaka te prekonsolidiranih
sitnozrnatih tala, dok je smanjenje volumena tijekom smicanja
karakteristino za rahle pijeske i ljunke te za normalno
konsolidirana tla.
Interpretaciju triju pokusa direktnog smicanja na uzorcima istog
tla te odreivanje
efektivnih parametara vrstoe c i prema Mohr-Coulombovom zakonu
sloma prikazuje slika 7-5.
Usprkos svojoj jednostavnosti, ureaj za direktno smicanje ima
vie nedostataka. Meu
glavnim su potekoa oko ugradnje neporemeenog uzorka, razvoj
nehomogenih deformacija
Slika 7-5. Odreivanje efektivnih parametara vrstoe iz direktnog
smicanja
vrs
toa
, t f
normalno efektivno naprezanje, s'
relativni pomak, posmik, s'I
s'II
s'III
tf I
tf II
tf III
po
smi
no
nap
reza
nje
, t
c'
j'
-
Mehanika tla i stijena str. 6
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
u zoni smicanja te nametnuti smjer plohe (horizontalna ploha) na
kojoj se smicanje odvija.
3. Ispitivanje u troosnom (triaksijalnom) ureaju
Troosni (triaksijalni) ureaj slui za odreivanje odnosa
efektivnih naprezanja i deformacija tla u uvjetima osne simetrije.
On je po svojoj konstrukciji i postupcima ispitivanja
najsloeniji, ali i najsvestraniji, od standardnih ureaja
geotehnikog laboratorija (slika 7-6). U troosnom pokusu valjkasti
se uzorak tla, obavijen gumenom tankom membranom,
postavlja na postolje s filtarskim kamenom. Ugradnja uzorka
zavrava postavljanjem gornje kape na uzorak, brtvljenjem gumene
membrane i punjenjem elije ureaja vodom, koja
tijekom pokusa uzorku namee zadani izotropni (jednak u svim
smjerovima) tlak c .
Gumena membrana slui za sprjeavanje prodora vode iz elije ureaja
u uzorak. Nametanje izotropnog optereenja (poveanog tlaka vode u
eliji) na uzorak, ujedno je prva faza standardnih troosnih
pokusa.
Poveanjem tlaka vode u eliji, a zbog znatno vee krutosti vode od
skeleta tla, raste i tlak vode u porama uzorka, za istu veliinu
koliko je povean tlak vode u eliji. Moemo zamisliti da je ventil
vezan uz uzorak, a moe biti otvoren ili zatvoren. Ovaj ventil
nazivamo drenom. Ako je dren zatvoren, uzorak e biti u nedreniranim
uvjetima. Ako je dren otvoren, voda e poeti istjecati iz uzorka dok
viak tlaka vode ne padne na nulu (drenirani uvjeti), to predstavlja
proces konsolidacije za sitnozrnata tla.
Nakon prve, nedrenirane ili drenirane faze pokusa, prelazi se na
drugu fazu. Ta faza
zapoinje dodavanjem inkrementa vertikalnog naprezanja 1 . Novo
vertikalno optereenje
na uzorak opet izaziva promjenu tlaka vode u uzorku (sada vie ne
za iznos inkrementa vertikalnog optereenja, jer imamo
trodimenzionalno stanje naprezanja u uzorku). Ako je u drugoj fazi
pokusa dren zatvoren, uzorak je u nedreniranim uvjetima. Ako
otvorimo dren i
dopustimo da se efektivna naprezanja izjednae s ukupnima, uzorak
je u dreniranim uvjetima. Budui da u ovoj fazi pokusa postoji
razlika glavnih ukupnih naprezanja (vertikalna su
ukupna naprezanja vea od horizontalnih ukupnih naprezanja za 1
), ovdje govorimo o
smicanju uzorka, jer se u uzorku pojavljuju posmina naprezanja.
Smicanje se, dodatnim inkrementima vertikalnog optereenja, provodi
do sloma uzorka, pri emu ukupnu razliku vertikalnog optereenja i
elijskog tlaka (horizontalnog, konstantnog optereenja tijekom
smicanja) oznaavamo s 1f . Obje faze standardnih troosnih pokusa
prikazane su na slici
7-7.
Troosni ureaj omoguuje provoenje razliitih programa optereenja
i/ili rastereenja uzorka. Uglavnom su standardizirane tri vrste
pokusa: izotropno konsolidirani drenirani
pokus (CID), izotropno konsolidirani nedrenirani pokus (CIU) i
nekonsolidirani nedrenirani
pokus (UU). Ove tri vrste pokusa imaju dvije faze, kao to je
prikazano na slici 7-7, a meusobno se razlikuju po tome je li dren
u pojedinoj fazi zatvoren ili otvoren. Slova CI odnose se na prvu
fazu pokusa s otvorenim drenom (izotropna konsolidacija Isotropic
Consolidation). Prvo slovo U u UU pokusu oznaava prvu fazu pokusa
sa zatvorenim drenom (nedrenirani uvjeti, tlo ne konsolidira
Unconsolidated). Slovo D u CID pokusu oznaava da se smicanje
provodi s otvorenim drenom, to znai da e, nakon to viak tlaka vode
postane priblino nula, uzorak biti u dreniranim uvjetima (Drained).
Slovo U u CIU pokusu i drugo slovo U u UU pokusu oznaavaju da se
smicanje provodi sa zatvorenim drenom (nedrenirani
-
Mehanika tla i stijena str. 7
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
uvjeti Undrained).
CID pokusi na uzorcima istog tla omoguavaju odreivanje
efektivnih parametara
vrstoe c i prema Mohr-Coulombovom zakonu sloma (slika 7-8).
Obino se provode tri CID pokusa na uzorcima istog tla (na slici 7-8
prikazani su rezultati dvaju CID pokusa), s tim
da se u ova tri pokusa razlikuju veliine elijskoga tlaka c , a
smicanje se provodi do sloma.
Budui da su u prvoj fazi CID pokusa u uzorku dosegnuti drenirani
uvjeti (nakon konsolidacije tla), efektivna su se naprezanja
poveala za vrijednost elijskog tlaka. Horizontalno efektivno
naprezanje ostaje konstantno tijekom dreniranog smicanja (uz
odgovarajuu brzinu smicanja pri kojoj viak tlaka vode padne na
nulu), a vertikalno se efektivno naprezanje poveava do sloma. U
drugom je pokusu sa slike 7-8 elijski tlak vei
nego u prvom pokusu, pa je i (II) (I)3f 3f . Zato je u drugom
pokusu potreban vei
inkrement vertikalnog optereenja do sloma nego u prvom pokusu,
to daje Mohrovu krunicu veeg promjera. Tangenta na ove dvije
Mohrove krunice daje anvelopu sloma, iz
koje se odrede efektivni parametri vrstoe c i .
Slika 7-6. Suvremeni troosni ureaj (proba = uzorak)
-
Mehanika tla i stijena str. 8
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
sc
sc
sc
sc
1. faza pokusa: izotropno
(elijsko) optereenje
sc
sc
sc
sc
Ds1
2. faza pokusa: smicanje
Slika 7-7. Faze standardnih troosnih pokusa
t
s'
c'
j'
ssss3f 3f 1f1f(I) (II)(I) (II)' '''
Slika 7-8. Odreivanje efektivnih parametara vrstoe iz rezultata
dva CID pokusa
Sa slike 7-9, promatrajui trokut ABC, vrijedi
sinctg
r
c s (7.3)
gdje je r radijus Mohrove krunice, a s je njeno sredite.
1 3 1 3
2 2r s
-
Mehanika tla i stijena str. 9
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
pa iz jednadbe (7.3) slijedi
1 3
1 3
sin2 ctg ( )c
(7.4)
c
c ctg j 0 s
r
B
CA
j
t
3 1
Slika 7-9. Odnosi iz Mohrove krunice
Tek se smicanjem u drugoj fazi pokusa realizira razlika glavnih
naprezanja, to omoguava crtanje odgovarajue Mohrove krunice.
Radijus Mohrove krunice se s poveanjem inkrementa vertikalnog
optereenja na uzorak poveava, sve dok anvelopa sloma ne tangira
Mohrovu krunicu, kada dolazi do sloma tla. Toka u kojoj anvelopa
sloma tangira Mohrovu krunicu pri slomu definira naprezanja na
ravninu sloma. To su normalno
naprezanje n i f, pri emu je f posmina vrstoa tla (slika
7-10).
t(kPa)
(kPa)
tmaxtf
n
j qfP
3 1
Slika 7-10. Naprezanja pri slomu za CID pokus
Obzirom da vee glavno naprezanje nakon smicanja djeluje na
horizontalnu ravninu, na
slici 7-10 je u skladu s tim oznaen pol Mohrove krunice i
ravnina sloma pod kutom f.
Treba uoiti da posmina vrstoa nije najvee posmino naprezanje
koje u uzorku tla
djeluje pri slomu. Naime, ravnina koja prolazi kroz pol za
troosni pokus u toki ( 3, 0) i
Mohrovu krunicu sijee pod kutom od 45 u toki s koordinatama (s,
max) ima max = r > f (slika 7-10).
UU pokusi na uzorcima istog tla omoguavaju odreivanje
nedreniranih parametara
vrstoe uc i u 0 (slika 7-11), pri emu je uc nedrenirana vrstoa
tla. Obino se
provode tri UU pokusa na uzorcima istog tla (na slici 7-11
prikazani su rezultati dvaju UU
pokusa), s tim da se u ova tri pokusa razlikuju veliine
elijskoga tlaka c , a smicanje se
provodi do sloma. Treba posebno obratiti pozornost na to da su
na apscisi dijagrama sa slike
-
Mehanika tla i stijena str. 10
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
7-11 ukupna, a ne efektivna naprezanja, jer se u UU pokusu ne
mjeri tlak vode u porama
uzorka.
Dva UU pokusa sa slike 7-11 provedena su za dva razliita elijska
tlaka, s tim da je (II) (I)c c . Pokazuje se da je, neovisno o
veliini primijenjenog elijskog tlaka, pri
nedreniranom smicanju potreban isti inkrement vertikalnog
optereenja do sloma, tako da je (II) (I)1f 1f . Time se dobiju
dvije Mohrove krunice ukupnih naprezanja jednakih
promjera. Anvelopa sloma je sada horizontalna, pa se zato i
postavlja da je u 0 .
Nedrenirana vrstoa uc jednaka je radijusu dviju Mohrovih
krunica, odnosno 1f/2 .
c
t
s
anvelopa sloma
ssss
Ds Ds
u
c
1f
c
1f
1f1f
(I) (II)
(I)
(I)
(II)
(II)
Slika 7-11. Odreivanje nedrenirane vrstoe iz rezultata dva UU
pokusa
U CIU pokusima mjeri se tlak vode u porama uzorka tijekom
nedreniranog smicanja. Ovi
pokusi omoguavaju odreivanje efektivnih i nedreniranih
parametara vrstoe. Na kraju izotropne konsolidacije u uzorku
vladaju drenirani uvjeti. Ako zanemarimo porni tlak
potpuno saturiranog, ali niskog uzorka te smatramo da je porni
tlak na poetku pokusa nula, tada e se, nakon primjene izotropnog
elijskog tlaka, za istu veliinu pojaviti viak tlaka vode, koji e
disipirati tijekom procesa konsolidacije. Na kraju procesa
konsolidacije, u dreniranim uvjetima, porni je tlak opet nula, pa
su sva glavna naprezanja (vee i manje, ukupno i efektivno) u jednoj
toki dijagrama s apscisom normalnih naprezanja (horizontalna
je koordinata c) i s ordinatom posminih naprezanja (vertikalna
je koordinata nula). Zatim se
uzorak smie u nedreniranim uvjetima. Pri tome ukupno manje
glavno naprezanje 3 ostaje u
toki na apscisi s koordinatom c, a ukupno se vee glavno
naprezanje poveava do sloma. Treba naglasiti da anvelopa sloma ne
tangira Mohrovu krunicu ukupnih naprezanja pri slomu, ve Mohrovu
krunicu efektivnih naprezanja pri slomu. Pri nedreniranom smicanju
normalno konsolidirane gline ili rahlog pijeska, porni tlak u
uzorku raste. To znai da se
efektivno manje glavno naprezanje smanjuje od c do sloma, pri
emu je
3 = 3 uf
a uf je porni tlak pri slomu (slika 7-12).
-
Mehanika tla i stijena str. 11
Vlasta Szavits-Nossan 7. predavanje
uf
j
= ,
t
c ( )
3 c3 1 1
u c
Slika 7-12. Rezultati CIU pokusa pri slomu za rahli pijesak
(kohezija je nula)
Mohrove krunice za ukupna naprezanja (puna krunica) i za
efektivna naprezanja (crtkana krunica) pri slomu imaju jednaki
radijus, jer je
1 3 1 3 1 3( ) ( )
2 2 2
u ur
-
Mehanika tla i stijena str. 1
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
PRIMJENA METODE PLASTINOSTI
1. Uvod
Kada smo govorili o slomu tla, kliznoj plohi, zoni klizanja i
deformacijama koje se
nastavljaju bez promjene efektivnih naprezanja, treba rei da su
deformacije u zoni klizanja (plastine deformacije) obino bar za red
veliine vee od onih koje se u normalnoj uporabi konstrukcije
toleriraju. U mnogim, ali ne svim, sluajevima nepoeljne su u
geotehnici.
Dok se u laboratoriju uzorak tla smicanjem dovodi u stanje sloma
radi odreivanja parametara vrstoe na nain koji omoguuje relativno
jednostavnu interpretaciju rezultata, slom tla u prirodi ili pri
nekom, obino nesretnom, geotehnikom zahvatu obino je sloena pojava
koja zahtijeva neku teoretsku podlogu kako bi se mogla
interpretirati, predvidjeti ili
pravilnim projektiranjem izbjei. Takvih je teorija i s njima
povezanim metodama rjeavanja problema do danas razvijeno vie, od
kojih se u praksi najvie koristi neka od teorija plastinosti ili
metoda granine ravnotee.
Ovdje e se samo u kratkim crtama opisati neke od jednostavnijih
metoda rjeavanja problema sloma koje se u praksi najee koriste.
Poevi od najjednostavnijeg sluaja pritiska tla s horizontalnom
povrinom na vertikalne glatke zidove, koji e se rijeiti bez potrebe
za nekom sloenom teorijom, razmatranja e se nastaviti preko prikaza
metode plastinosti za prognozu nosivosti tla ispod plitkih
temelja.
2. Rankineov sluaj pritiska na vertikalne zidove
Ako pretpostavimo da je povrina tla horizontalna, u njemu je
geostatsko stanje
naprezanja za koje vrijedi da se vertikalna efektivna naprezanja
raunaju iz izraza v0 y
a horizontalna efektivna naprezanja iz izraza h0 0 v0K . Dakle,
koeficijent tlaka
mirovanja je omjer horizontalnog i vertikalnog efektivnog
naprezanja, koja smo dodatno
oznaili indeksom nula kako bismo naglasili da se radi o poetnom
stanju naprezanja na
terenu. Ovo stanje naprezanja esto zovemo 0K - stanjem. Dalje
pretpostavimo da provodimo
CID troosni pokus u kojem je elijski tlak jednak h0 . Nakon
izotropne konsolidacije,
horizontalno efektivno naprezanje u uzorku tla e biti h0 .
Smicanje provodimo s takvim
inkrementom vertikalnog optereenja da e u dreniranom stanju
ukupno efektivno vertikalno
naprezanje u uzorku biti v0 . Time smo doli do poetnog stanja
naprezanja u tlu na terenu,
na dubini s koje je uzorak izvaen. U treoj fazi troosnog pokusa
vertikalno optereenje ostaje konstantnim, a horizontalno se
optereenje smanjuje (uz otvoreni dren). Budui da se radi o
rastereenju uzorka, volumen uzorka raste. Horizontalno rastereenje
uzorka provodi se do sloma tla. To znai da anvelopa sloma tangira
odgovarajuu Mohrovu krunicu naprezanja, kao to je prikazano na
slici 8-1 manjom, lijevom krunicom. Efektivno
horizontalno naprezanje pri slomu oznaeno je s ap i naziva se
Rankinevim aktivnim tlakom.
-
Mehanika tla i stijena str. 2
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
To je minimalno efektivno horizontalno naprezanje za dano
efektivno vertikalno naprezanje
v0 .
Ako sada ponovimo isti CID pokus, ali u treoj fazi pokusa
poveavamo horizontalno optereenje, s konstantnim vertikalnim
optereenjem (uz otvoreni dren), doi e do smanjenja volumena uzorka.
Horizontalno optereenje uzorka provodi se do sloma tla. To znai da
anvelopa sloma tangira odgovarajuu Mohrovu krunicu naprezanja, kao
to je prikazano na slici 8-1 veom, desnom krunicom. Efektivno
horizontalno naprezanje pri slomu oznaeno
je s pp i naziva se Rankinevim pasivnim otporom. To je
maksimalno efektivno horizontalno
naprezanje za dano efektivno vertikalno naprezanje v0 . Navedena
granina naprezanja ap i
pp nazvana su prema kotskom inenjeru Rankineu koji ih je prvi
utvrdio (Rankine 1857, vidi
Skempton 1979).
'v0
p'a
'
c'
aktivno
stanje
naprezanja
pasivno
stanje
naprezanja'
120.00p'p
a'
'v0+ p'a)/2 + a'
93.70'v0+ p'p)/2 + a'
'v0 p'a)/2
p'p'v0)/2
Slika 8-1. Mogua stanja naprezanja pri slomu, aktivno i pasivno,
za dano efektivno vertikalno naprezanje na
horizontalnu ravninu.
Iz geometrijskih odnosa prikazanih na slici 8-1 slijedi
v0 a
v0 asin
2p
p a (8.1)
odnosno
p v0
v0 p
sin2
p
p a (8.2)
Preureenjem gornjih izraza slijedi za aktivni tlak
-
Mehanika tla i stijena str. 3
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
a a v0 a2p K c K (8.3)
odnosno za pasivni otpor
p p v0 p2p K c K (8.4)
gdje su aK i pK koeficijenti aktivnog tlaka odnosno pasivnog
otpora i dani su izrazima
2 0a1 sin
tg 45 21 sinK (8.5)
odnosno
2 0pa
1 sin 1tg 45 21 sin
KK
(8.6)
Izrazi (8.3) i (8.4) mogu se iskoristiti za proraun efektivnih
horizontalnih naprezanja tla (horizontalna ukupna naprezanja
jednaka su efektivnim uveanim za tlak vode u porama tla) na
vertikalni glatki zid, kod kojeg je trenje izmeu zida i tla
zanemarivo, a tlo iza i ispred zida ima horizontalnu povrinu, ako
se zid moe zaokretati oko svoje stope (slika 8-2). Zaokretanje zida
oznaava deformaciju tla koja se odvija s promjenom poetnog
efektivnog horizontalnog naprezanja do aktivnog tlaka (zid se odmie
od tla, poveava se volumen tla), odnosno do pasivnog otpora (zid se
utiskuje u tlo, smanjuje se volumen tla). Ako zid ne
rotira, dakle ostaje nepomian, u tlu dalje vlada 0K -
stanje.
Na slici 8-2 oznaene su i ravnine sloma za aktivno i pasivno
stanje naprezanja. Za
krunicu naprezanja u aktivnom stanju, pol Mohrove krunice je u
toki ( ap ,0), a ravnina
sloma prolazi kroz pol i nagnuta je pod kutom o45 /2 u odnosu na
horizontalu. Za
krunicu naprezanja u pasivnom stanju, pol Mohrove krunice je u
toki ( pp ,0), a ravnina
sloma prolazi kroz pol i nagnuta je pod kutom o45 /2 u odnosu na
horizontalu.
Na donjem dijagramu slike 8-2 naznaeni su kutovi zaokreta
potrebni za dosezanje aktivnog tlaka i pasivnog otpora. Budui da je
inkrement horizontalnog optereenja do pasivnog otpora puno vei od
dekrementa horizontalnog optereenja do aktivnog tlaka, potreban kut
zaokreta za postizanje pasivnog otpora puno je vei od potrebnog
kuta zaokreta za postizanje aktivnog tlaka. Za realna tla tangens
tog kuta zaokreta je reda veliine 5 % ili vei, dok je za aktivni
tlak on oko 10 puta manji, tj. oko 5 ili manji.
U praksi se potporni zidovi, ako im zakretanje nije ogranieno,
upravo dimenzioniraju na aktivni tlak (i tlak vode u porama tla,
ako je prisutan). To je mnogo ekonominije nego ih
dimenzionirati na efektivno horizontalno naprezanje 0K - stanja.
Pri tome su ostvarena
efektivna horizontalna naprezanja na zid izmeu 0K - stanja i
aktivnog, odnosno pasivnog
stanja.
-
Mehanika tla i stijena str. 4
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
'v0
'v0
'h0
'h0
'v0
'v0
p'a
p'a
'v0
'v0
p'p
p'p
'v0
'h0
p'a
'
c'
'/2
poetno
stanje
naprezanja
aktivno
stanje
naprezanja
pasivno
stanje
naprezanja
'h
'h0
p'a
p'p
'h
'
'/2
120.00p'
p
Slika 8-2. Rankineovo aktivno i pasivno stanje plastine
ravnotee
Slika 8-3 prikazuje raspodjelu efektivnih horizontalnih
naprezanja du vertikalnog glatkog zida, od tla s horizontalnom
povrinom za aktivno i pasivno stanje. Tlo ima koheziju, zbog koje
se, do neke dubine, u aktivnom stanju javljaju vlana efektivna
horizontalna naprezanja. Prema izrazu (8.3) vlano efektivno
horizontalno naprezanje javlja se do dubine za koju vrijedi
a 0p (8.7)
odnosno
v0a
2cK
(8.8)
-
Mehanika tla i stijena str. 5
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
ap
A B
C045 /2 045 /2
) aktivno stanjea ) pasivno stanjeb
A B
C
pp
Slika 8-3. Pritisci tla na vertikalni zid za Rankineova stanja
naprezanja (tlo ima horizontalnu povrinu, nema trenja izmeu tla i
zida)
Budui da je v0 y , dubina cy do koje se javljaju vlana
horizontalna efektivna
naprezanja iznosi
ca
2cy
K (8.9)
Kako tla imaju zanemarivu vlanu vrstou, ak i u sluaju da imaju
koheziju, do dubine
cy javit e se iza zida vertikalne vlane pukotine. Do te dubine
zid nee biti pod efektivnim horizontalnim naprezanjem, ali moe biti
pod hidrostatikim tlakom vode uslijed kie koja lako napuni vlane
pukotine. Aktivni se tlak uzima u obzir samo za njegove
pozitivne
vrijednosti, ispod dubine cy .
3. Teorija plastine ravnotee i priblino rjeenje za nosivost tla
ispod plitkog temelja
Teorija plastinosti bavi se problemima raspodjele naprezanja u
tijelu koje je djelomino ili potpuno u stanju sloma, tj. stanjima
naprezanja i pripadnim rubnim uvjetima koji
zadovoljavaju zakon sloma. Metoda plastine ravnotee polazi od
Mohr-Coulombova zakona sloma i diferencijalnih jednadbi ravnotee
neprekidne sredine. Polazei od diferencijalnih jednadbi ravnotee za
naprezanja i Mohr-Coulombovog zakona sloma, Ktter (1888) je izveo
diferencijalne jednadbe ravnotee za dvodimenzionalno stanje
naprezanja koje moraju biti zadovoljene ako se razmatrane zone
tijela nalaze u slomu.
Prandtl i Reissner rijeili su diferencijalne jednadbe tijela u
slomu za tijelo bez vlastite teine. Prandtl je pri tome uzeo u
obzir samo koheziju materijala, a Reissner samo njegov kut
unutarnjeg trenja. Njihovo se rjeenje moe primijeniti za temeljno
tlo optereeno plitkim temeljem. Do sloma u temeljnom tlu dolazi
kada optereenje temelja dosegne nosivost tla
fq . Prandtl-Reissnerovo rjeenje za nosivost besteinskoga tla
ispod plitkog temelja je
f c 0 qq c N q N (8.10)
-
Mehanika tla i stijena str. 6
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
gdje su cN i qN faktori nosivosti, koji ovise o kutu unutarnjeg
trenja, dani izrazima
tg tg2 0
q1 sin
tg 4521 sin
N e e (8.11)
q
c1
tg
NN (8.12)
a 0q je efektivno vertikalno naprezanje od vlastite teine tla na
razini osnovice temelja, tj. na
razini dubine ukopavanja temelja 0d (slika 8-4). Naime, smatra
se da temeljno tlo poinje od
razine osnovice temelja, a 0q je optereenje temeljnoga tla koje
osigurava poveanje njegove
nosivosti. To je razlog zato se plitki temelji ukopavaju u
tlo.
Na slici 8-4 prikazane su klizne plohe iz Prandtl-Reissnerovog
rjeenja za trakasti temelj. Pri slomu temelj gura prema dolje klin
(u dvodimenzionalnom prikazu trokut) tla ispod osnovice temelja,
pri emu dolazi do poveanja volumena klina (Rankineovo aktivno
stanje naprezanja). Time ovaj klin gura dva klina tla (lijevo i
desno) pri povrini temeljnoga tla, koja smanjuju volumen
(Rankineovo pasivno stanje naprezanja). Izmeu prvog klina i druga
dva, klizne plohe imaju oblik logaritamske spirale.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
-4
qf
qOqO
Legenda
karakteristike karakteristike
Slika 8-4. Zone sloma u plastinom poluprostoru optereenom
trakastim jednolikim optereenjem qf (Prandtl-Reissnerovo
rjeenje)
Danas se smatra dovoljno dobrim priblino rjeenje za nosivost tla
zapreminske teine ,
u obliku
1f c 0 q2q bN c N q N (8.13)
gdje se dodatni faktor nosivosti N odreuje iz izraza
q2( 1)tgN N (8.14)
a b je irina temelja.
-
Mehanika tla i stijena str. 7
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
U izrazu (8.13) treba obratiti pozornost na u prvom lanu i na q0
u treem lanu. Ako
je, naime, razina podzemne vode ispod osnovice temelja, umjesto
koristi se . se koristi
ako je voda na razini osnovice temelja ili iznad nje. Ako voda
struji kroz tlo na razini
osnovice temelja, pod hidraulikim gradijentom i, tada umjesto
treba koristiti ( i w), ovisno o smjeru strujanja vode. Ista
pravila vrijede za odreivanje q0.
Prema izrazu (8.13), nosivost tla ovisi, izmeu ostalog o
efektivnim parametrima
vrstoe. U nedreniranim uvjetima ( u 0 ) je
0N , q 1N , c 2N (8.15)
pa je
f u 0(2 )q c q (8.16)
Kao to je ve reeno, nedrenirani se uvjeti pojavljuju u
sitnozrnatim potpuno saturiranim tlima nakon brze primjene
optereenja na takvo tlo. Ovdje brza primjena znai relativno brza u
odnosu na vrijednost koeficijenta propusnosti tla. U krupnozrnatim
potpuno
saturiranim tlima (najee rahli saturirani pijesci) nedrenirani
se uvjeti obino javljaju prilikom potresa, to predstavlja izrazito
brzo optereenje u odnosu na koeficijent propusnosti takvih tala. U
takvim sluajevima moe doi do likvefakcije krupnozrnatoga tla, to
znai da tlo iz rahlog stanja prelazi u tekue stanje. Pri
likvefakciji tla, zgrade i ostali objekti temeljeni na tome tlu vie
nemaju oslonac te se rue (slika 8-5).
Slika 8-5. Posljedice likvefakcuije pri potresu u Niigati
(Japan) 1964. Godine.
Izrazi (8.13) i (8.16) mogu se u praksi koristiti samo pri
dimenzioniranju trakastih temelja
s vodoravnom temeljnom plohom, optereenih silama ija je
rezultanta vertikalno linijsko optereenje, koje djeluje u uzdunoj
osi trake, dakle centrino u odnosu na popreni presjek trakastog
temelja. U praksi se javlja potreba za dimenzioniranjem i drugaije
oblikovanih temelja, posebno pravokutnih, kvadratnih ili krunih
temelja samaca, kao i drugaije optereenih temelja, posebno onih s
kosim i ekscentrinim optereenjem. Za tako oblikovane temelje i
takvu vrstu optereenja nije izvedeno ope rjeenja teorije
plastinosti, ve su
-
Mehanika tla i stijena str. 8
Vlasta Szavits-Nossan 8. predavanje
naena priblina rjeenja za neke posebne sluajeve. Odreivanje
nosivosti plitkih temelja za ove kompleksnije sluajeve bit e
naknadno obraeno prema Eurokodu 7.
Zbroj sile od vlastite teine temelja i sile optereenja na
temelj, podijeljen s povrinom osnovice temelja, mora biti manji od
nosivosti tla.
-
Mehanika tla i stijena str. 1
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
EUROKOD 7
1. Uvod
U zadnjih se dvadesetak godina u Europi razvija jedinstveni
sustav normi za projektiranje
graevinskih konstrukcija pod skupnim nazivom Eurokodovi. U njima
je skupljeno vrlo iroko svjetsko iskustvo suvremenog projektiranja,
a projektiranje graevinskih konstrukcija obuhvaeno je kroz
jedinstveni pristup.
2. Osnovni principi projektiranja prema eurokodovima
2.1. Bitni zahtjevi na graevinu
Eurokodovi trae da svaka graevina tijekom njene izgradnje i
tijekom njenog koritenja zadovolji bitne zahtjeve. Ti su zahtjevi
nosivost, uporabivost, otpornost na poar, robusnost, trajnost i
pouzdanost. Nosivost je sposobnost konstrukcije da izdri sva
predvidiva mehanika optereenja, bez da doivi oteenja koja izazivaju
njezino ruenje ili gubitak integriteta. Ili, nosivost je svojstvo
mehanike otpornosti i stabilnosti konstrukcije u odnosu na
predvidiva mehanika optereenja. Uporabivost predstavlja zahtjev da
konstrukcija za normalna optereenja zadri svoju bitnu funkciju
kojoj je namijenjena, to jest da ostane uporabiva. Otpornost na
poar je sposobnost konstrukcije da zadri nosivost za predvidivo
djelovanje poara, to je za geotehnike konstrukcije manje znaajan
zahtjev. Robusnost je zahtjev da oteenje jednog manjeg dijela
konstrukcije ne ugrozi nosivost veeg dijela konstrukcije. Trajnost
je zahtjev da konstrukcija zadovolji ostale bitne zahtjeve za
vrijeme
njenog zahtijevanog vijeka trajanja. Pouzdanost je zahtjev da
planirana svojstva konstrukcije
tijekom njene izgradnje i koritenja budu ostvarena. Ovaj
posljednji zahtjev trai da se pri izgradnji konstrukcije primijene
metode osiguravanja kvalitete i da se konstrukcija koristi na
nain kako je planirano.
2.2. Projektiranje prema graninim stanjima, projektne
situacije
Pod graninim stanjima podrazumijevaju se granini sluajevi izmeu
prihvatljivog i neprihvatljivog ponaanja konstrukcije. Projektom
treba dokazati da e konstrukcija zadovoljiti sve bitne zahtjeve u
sluaju dosezanja bilo kojeg od moguih graninih stanja. Razlikuju se
dvije grupe graninih stanja, prema karakteru tete koja moe nastati
prelaskom u neprihvatljivo ponaanje konstrukcije: granina stanja
nosivosti i granina stanja uporabivosti.
Provjera dosezanja graninih stanja konstrukcije ili njenog
dijela poinje izborom odgovarajuih projektnih situacija. Projektna
situacija je jedan trenutak ili period u ivotu
-
Mehanika tla i stijena str. 2
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
konstrukcije, ukljuivo i faze izgradnje, definiran njenim
oblikom i smjetajem u prostoru, pripadnim optereenjima i utjecajima
te pripadnim svojstvima materijala i svojstvima ugraenih proizvoda.
Izbor projektnih situacija treba biti sveobuhvatan to znai da ne
postoji mogua projektna situacija koja bi bila nepovoljnija po
pitanju dosezanja nekog od graninih stanja od ve izabranih
situacija. U graevinskom projektu izabrane projektne situacije
treba jasno imenovati i opisati. Projektne situacije razvrstavaju
se na trajne, prolazne, sluajne (obino tetne) i potresne. Ove
posljednje obrauju se u Eurokodu 8. Karakter pojedine situacije
odnosi se prvenstveno na trajanje optereenja u odnosu na ivotni
vijek konstrukcije, ali i na vjerojatnost njihove pojave.
2.3. Model konstrukcije
Provjera zadovoljavanja bitnih zahtjeva na graevinu ili na njene
dijelove provodi se pomou modela, koji vie ili manje idealiziraju
stvarnost. Vana je zadaa inenjera izbor odgovarajueg modela
primjerenog rjeavanju njegovog problema. Model po svom karakteru
moe, izmeu ostalog, biti empirijski (koriste se korelacije za
odreivanje svojstava tla), teoretski (analitiko rjeenje) ili
numeriki (numeriko rjeenje). Zbog neizbjenog pojednostavljenja
stvarnosti, model mora obuhvatiti one vidove ponaanja konstrukcije
koji su bitni za razmatranu projektnu situaciju i za razmatrano
granino stanje. Na modelu e se provjeriti uinci optereenja ili
drugih vrsta djelovanja i odrediti otpornosti konstrukcije ili
njenih dijelova na te uinke optereenja. Uvijek je dobro drati se
modela koji su se pokazali uspjenim u praksi.
2.4. Osnovne varijable modela i njihove karakteristine
vrijednosti
Osnovne varijable u analizi zadovoljenja bitnih zahtjeva na
graevinu su djelovanja, F, u to spadaju optereenja, zadani pomaci,
temperatura i slino, zatim parametri materijala, X, i
geometrijski podaci, a. Osnovne vrijednosti tih varijabli
nazivaju se karakteristinim ( , , ), gdje indeks k oznaava da je
veliina karakteristina.
Djelovanja koja se prenose iz konstrukcije u tlo odreuje
projektant konstrukcije na osnovi pravila koja daje Eurokod 1.
Karakteristina djelovanja kojima je uzrok tlo i karakteristine
vrijednosti parametara tla obrauje Eurokod 7 i ona su odgovornost
geotehniara. Kako su djelovanja uzrokovana tlom uglavnom funkcije
karakteristinih geotehnikih parametara, to e se problem njihovog
odreivanja svesti uglavnom na problem odreivanja karakteristinih
parametara tla.
Djelovanja se dijele na trajna (oznaka G) kao to je vlastita
teina, pritisak vode, pritisak tla i slino; djelovanja
prednapinjanja (oznaka P); prolazna djelovanja (oznaka Q), kao to
su prometna optereenja, optereenja vjetrom, optereenja od
temperature, i slino; udesna djelovanja (oznaka A) kao to je
eksplozija, pad kamenja, udar broda u stup mosta, i slino; te
djelovanja od potresa (oznaka ). Pojedina se djelovanja mogu
javiti u kombinacijama s
drugim djelovanjima (prvenstveno Q djelovanja) pa se u tom
sluaju mnoe kombinacijskim faktorima . Umnoak karakteristine
vrijednosti djelovanja s kombinacijskim faktorom daje
reprezentativnu vrijednost djelovanja
-
Mehanika tla i stijena str. 3
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
(10.1)
gdje indeks i oznaava i-to djelovanje koje se moe pojaviti u
kombinaciji s dugih n djelovanja istovremeno. Kombinacijski faktor
kvantificira udio nekog optereenja u kombinaciji s drugim
optereenjima, kada je malo vjerojatno da e se karakteristine
vrijednosti razliitih optereenja javiti istovremeno u punom iznosu.
Zbog toga su kombinacijski faktori jednaki ili manji od 1. Neka se
djelovanja ne pojavljuju kao sile (mada
ih izazivaju) kao to je temperatura ili nametnuti pomak.
Mehanika svojstva materijala pokazuju odreeni rasap oko neke
srednje vrijednosti. Taj se rasap obino vlada po zakonu sluajnih
brojeva i moe se statistiki opisati normalnom raspodjelom, koju
karakteriziraju simetrinost oko srednje vrijednosti i standardna
devijacija. Pri tome srednja vrijednost ima znaenje najvjerojatnije
ili oekivane vrijednosti, dok se svakom odstupanju sluajne
varijable od srednje vrijednosti, pridruuje odreena vjerojatnost.
Sustav eurokodova pod karakteristinom vrijednou nekog parametra
materijala , openito smatra onu vrijednost tog parametra za koju
je vjerojatnost pojave nepovoljnije vrijednosti manja od 5 %.
Provjera ovog zahtjeva u sluaju tla i stijena rijetko je u praksi
izvediva, pa je odreivanje karakteristinih vrijednosti parametara
tla u Eurokodu 7 rijeeno na drugi nain. Taj drugi nain doputa
odreenu dozu subjektivnosti projektanta, ali od njega zahtijeva i
odgovarajuu strunost.
Karakteristine vrijednosti geometrijskih varijabli uglavnom su
nazivne veliine geometrijskih karakteristika konstrukcije (veliine
naznaene u projektu konstrukcije) i njihovo odreivanje nije poseban
problem. Primjerice, karakteristine vrijednosti razine tla i razine
podzemne vode mora se mjeriti ili njihove vrijednosti treba
procijeniti kao gornje ili
donje vrijednosti, ve prema tome koja vrijednost je kritinija za
dosezanje razmatranog graninog stanja.
2.5. Provjera zadovoljavanja bitnih zahtjeva na graevinu
primjenom metode parcijalnih koeficijenata
Provjera zadovoljavanja bitnih zahtjeva na graevinu metodom
parcijalnih koeficijenata je
postupak kojim se provjerava da proraunski uinak djelovanja
(npr. moment savijanja u presjeku elementa konstrukcije ili
optereenje temelja na tlo) ne ugroava proraunsku otpornost graevine
ili njenih dijelova (npr. otpornost presjeka elementa konstrukcije
na savijanje, ili pak nosivost tla). Indeks d za gornje dvije
varijable dolazi od engleske rijei design proraun. Za granina
stanja nosivosti navedeni se zahtjev matematiki moe izraziti
kao
(10.2)
dok se za granina stanja uporabivosti on izraava obino kao
(10.3)
-
Mehanika tla i stijena str. 4
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
gdje je najvei doputeni uinak djelovanja koji jo osigurava
uporabivost konstrukcije. To na primjer moe biti dozvoljeno
slijeganje temelja ili dozvoljeno naginjanje potpornog zida.
Naelno se proraunski uinci djelovanja odreuju kao uinci
proraunskih djelovanja , a proraunska otpornost graevine kao
otpornost za proraunske vrijednosti
parametara materijala
(10.4)
(10.5)
Proraunska djelovanja i proraunski parametri materijala odreuju
se iz odgovarajuih karakteristinih vrijednosti tih varijabli i
odgovarajuih parcijalnih koeficijenata
(10.6)
(10.7)
Parcijalni koeficijenti za djelovanje i za parametre materijala
odraavaju mogue nepovoljno odstupanje odgovarajue varijable od
njene karakteristine vrijednosti u pojedinom graninom stanju za
neku dogovorenu vrlo malu vjerojatnost. Time se metoda parcijalnih
koeficijenata pribliava zahtjevima suvremenih teorija i analiza
pouzdanosti konstrukcija. Njihove su veliine odreene odredbama
eurokodova i obino su jednake ili vea od 1. U sluaju graninih
stanja uporabivosti parcijalni koeficijenti su obino jednaki 1.
Proraunske vrijednosti geometrijskih veliina odreuju se kao
(10.8)
Veliina a odraava mogue odstupanje geometrijske veliine od njene
karakteristine (nazivne) veliine. Tako, na primjer, u analizi
stabilnosti potporne konstrukcije, otpornost tla, koja dri tlo oko
graevne jame, ovisi o dubini iskopa te jame. Tijekom grubih
zemljanih radova na iskopu jame treba pretpostaviti da u nekom
trenutku stvarna dubina iskopa moe odstupiti od njene predviene,
karakteristine, vrijednosti. Eurokod 7 propisuje veliinu
mogueg odstupanja, a, koju u raunima treba uzeti u obzir.
Budui da djelovanja mogu ovisiti i o parametrima materijala, kao
to je, primjerice, pritisak tla na konstrukciju, a otpornosti mogu
ovisiti i o djelovanjima, kao to je, primjerice, sluaj kod
nosivosti tla ispod plitkih temelja, funkcije proraunskih uinaka
djelovanja i funkcije proraunskih otpornosti mogu ovisiti o svim
vrstama varijabli, kao na primjer
-
Mehanika tla i stijena str. 5
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
(10.9)
(10.10)
Umjesto primjene parcijalnih koeficijenata na izvoru
nesigurnosti, tj. neposredno
mnoenjem reprezentativnih djelovanja, odnosno dijeljenjem
karakteristinih parametra materijala, mogu se prvo odrediti
reprezentativne vrijednosti djelovanja i karakteristini parametri
materijala, da bi se nakon toga odredile njihove proraunske
vrijednosti mnoenjem odnosno dijeljenjem s odgovarajuim parcijalnim
koeficijentima:
(10.11)
(10.12)
gdje su i parcijalni koeficijenti za uinak djelovanja i za
otpornost.
Veliine parcijalnih koeficijenata za djelovanja, osim za
geotehnika, odreuje Eurokod 1. Veliine parcijalnih koeficijenata za
materijale i za geometrijske karakteristike, za geotehniku odreuje
Eurokod 7.
3. Projektiranje prema Eurokodu 7
3.1. Sadraj i pretpostavke
Izabrani prostorni model rasporeda slojeva u tlu, zajedno s
izabranim parametrima tla koji e se koristiti u raunima, naziva se
geotehnikim modelom tla. Utvrivanje geotehnikog modela tla jedan je
od najznaajnijih koraka u geotehnikom projektiranju, jer e se na
njemu temeljiti svi kasniji rauni i zakljuci o nosivosti i
uporabivosti konstrukcije. Utvrivanje geotehnikog modela tla, za
kompleksnije se geotehnike probleme oslanja na geoloki model.
Geolokim se modelom utvruju zone tla slinog geolokog porijekla, za
koje se oekuje da imaju slina mehanika svojstva.
Za utvrivanje vjerodostojnog, pouzdanog i upotrebljivog
geotehnikog modela tla, potrebno je provesti primjerene i opsene, a
ujedno i ekonomine terenske istrane radove. Drugi dio Eurokoda 7
posveen je istraivanju i ispitivanju tla.
Eurokod 7 trai da se karakteristina vrijednost geotehnikog
parametra (parametra tla ili stijene) mora odrediti na temelju
rezultata i izvedenih veliina laboratorijskih i terenskih pokusa,
uzimajui u obzir usporedivo iskustvo, te se mora izabrati kao
oprezna procjena veliine koja utjee na pojavu graninog stanja.
Usporedivo iskustvo znai da okolnosti gradnje u razmatranom sluaju,
kao to su vrsta tla ili stijena te njihova svojstva ili
-
Mehanika tla i stijena str. 6
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
vrsta konstrukcije i njen nain izgradnje, imaju jasno izraene
slinosti koje omoguavaju usporedbu s ranije izvedenim geotehnikim
konstrukcijama i da je argumentiranost tog iskustva dobro
dokumentirana i objavljena u dostupnoj literaturi.
Eurokod 7 dalje trai da se pri izboru karakteristine vrijednosti
geotehnikog parametra uvae:
geoloke i druge informacije, kao to su podaci iz prethodnih
projekata;
varijabilnost mjerenih veliina i drugih relevantnih informacija,
kao to je postojee znanje;
opseg terenskih i laboratorijskih pokusa;
vrsta i broj uzoraka;
veliina zone tla ili stijene koja bitno utjee na ponaanje
geotehnike konstrukcije za razmatrano granino stanje;
sposobnost geotehnike konstrukcije da prenese optereenje iz
slabijih na jae zone u tlu ili stijeni.
Pri tome karakteristine vrijednosti mogu biti manje ili vee od
najvjerojatnijih vrijednosti, a u svakoj analizi treba raunati s
najnepovoljnijom kombinacija manjih i veih vrijednosti. Ako se
koristi statistika metoda pri izboru karakteristine vrijednosti
geotehnikog parametra (kad broj i raspored uzoraka te broj
ispitivanja to opravdavaju), izbor karakteristine vrijednosti
slijedi njenu standardnu definiciju za industrijski proizvedene
materijale.
U svakom sluaju, u Eurokodu 7 se izriito navodi da je izbor i
pouzdanost geotehnikih parametara za neki projekt esto vaniji od
samog geotehnikog modela te izbora parcijalnih koeficijenata
djelovanja i parcijalnih koeficijenata materijala.
Eurokod 7 trai da se u projektu dokumentira i obrazloi nain
izbora karakteristinih vrijednosti parametra tla i stijena.
Rezultate svih geotehnikih ispitivanja treba dokumentirati u izvjeu
o geotehnikim istranim radovima, dok dobivanje izvedenih veliina i
obrazloeni izbor karakteristinih vrijednosti parametara tla treba,
zajedeno s obrazloenim izborom projektnih situacija, graninih
stanja i pripadnim dokazima nosivosti i uporabivosti, dokumentirati
u geotehnikom projektu.
3.2. Pet vrsta graninih stanja nosivosti
Eurokod 7 uvodi pet graninih stanja nosivosti:
EQU: gubitak ravnotee konstrukcije ili tla razmatranog kao kruto
tijelo, u kojem vrstoa konstruktivnog materijala ili tla znaajno ne
doprinosi otpornosti (primjerice, prevrtanje gravitacijskog
betonskog zida na podlozi od vrste stijene);
STR: slom ili velika deformacija betonske, metalne, drvene ili
zidane konstrukcije ili njenog elementa, ukljuivo temelje, pilote,
sidra i potporne zidove, u kojima vrstoa konstruktivnog materijala
bitno pridonosi otpornosti (primjerice, slom pri jakom
savijanju armirano-betonske dijafragme, izvijanje pilota u jako
mekom tlu, klizanje
blokova obalnog zida na vodoravnim rekama meu blokovima,
poputanje eline ipke geotehnikog sidra pod vlanim optereenjem,
propadanje podlone ploe sidra kroz sloj prskanog betona zatitne
potporne konstrukcije, slom pilota od vodoravnog optereenja);
-
Mehanika tla i stijena str. 7
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
GEO: slom ili velika deformacija tla pri kojoj vrstoa tla ili
stijene bitno pridonosi otpornosti (primjerice, slom tla ispod
temelja, slom tla oko vodoravno optereenog pilota, veliko
slijeganje pilota, naginjanje potpornog zida, upanje sidra iz tla,
slom i propadanje tla iznad tunelskog iskopa, klizanje i odron tla,
znaajno poputanje oslonca luka mosta, izdizanje i slom dna graevne
jame u mekom tlu);
UPL: gubitak ravnotee konstrukcije ili tla uslijed uzgona vode
ili drugih vertikalnih sila (primjerice, izdizanje lagane podzemne
konstrukcije pod pritiskom uzgona
podzemne vode, izdizanje i probijanje slabo propusnog sloja tla
na dnu graevne jame od uzgona podzemne vode u niem vodonosnom
sloju, upanje temelja dalekovodnog stupa);
HYD: hidrauliko izdizanje (hidrauliki slom), interna erozija tla
uzrokovana hidraulikim gradijentima (primjerice, hidrauliki slom u
pjeskovitom dnu graevne jame uslijed vertikalnog strujanja vode
prema dnu jame, interna erozija pjeskovitog
tla od strujanja vode u nasipu i stvaranje erozijskih
kanala).
Oznake EQU, STR, GEO, UPL i HYD dolaze od engleskih rijei
equilibrium (ravnotea), structural (kostrukcijski), geotechnical
(geotehniki), uplift (uzgon) i hydraulic (hidrauliki). Parcijalni
koeficijenti za djelovanja i za svojstva materijala razlikuju se za
pojedina od ovih
pet graninih stanja. Forma provjere zadovoljenja bitnih zahtjeva
za graevinu za ovih pet graninih stanja nosivosti metodom
parcijalnih koeficijenata prikazuje tablica 10-1.
Iako naoko razliitih formi, provjere otpornosti za sva granina
stanja nosivosti mogu se svesti na ono za granina stanja STR/GEO.
Razlika meu graninim stanjima nosivosti se uvodi radi mogunosti
primjene razliitih parcijalnih koeficijenata. Ove parcijalne
koeficijente popisuju tablice 9-2 do 9-6. Za granina stanja STR i
GEO koeficijenti su grupirani u grupu A za djelovanja, grupu M za
materijale ukljuivo tlo, i grupu R za otpornosti. Za ostala granina
stanja nosivosti parcijalni koeficijenti za materijale i otpornosti
su zajedniki. Za STR i GEO, grupe su podijeljene na podgrupe,
ovisno o proraunskom pristupu za provjeru otpornosti. Opi izraz za
provjeru otpornosti za to granino stanje nosivosti, prema grupama
parcijalnih koeficijenata, tada glasi
(10.13)
Ovim izrazom obuhvaeni su svi mogui sluajevi postavljanja
parcijalnih koeficijenata, bilo neposredno uz uzorke uinaka
(djelovanja) i uzroke otpornosti (parametri tla), bilo neposredno
na same uinke ili same otpornosti. U tablici 9-2 dane su
vrijednosti parcijalnih
koeficijenata za djelovanja ( ) i uinke djelovanja ( ), pri emu
su, uz uporabu jednih, drugi jednaki 1, a njihova uporaba ovisi o
proraunskom pristupu za provjeru otpornosti.
Eurokod 7 navodi tri projektna pristupa za provjeru otpornosti,
koji se odnose na granino stanje STR i GEO, dok za ostala granina
stanja navodi jedinstven pristup. Ta se tri projektna pristupa
uglavnom razlikuju po fazi rauna u kojoj e se primijeniti
parcijalni koeficijenti: da li na izvorne podatke (djelovanja i
svojstva materijala) ili na rezultate prorauna (uinke djelovanja i
otpornosti).
-
Mehanika tla i stijena str. 8
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
Hrvatska je, za sve geotehnike proraunske situacije, prihvatila
proraunski pristup 3 (PP3), s tim da se za vertikalnu nosivost
pilota i za nosivost sidara, kao alternativa, moe koristiti
proraunski pristup 2 (PP2). Za PP3 vrijedi sljedea kombinacija
vrijednosti parcijalnih koeficijenata iz tablica 9-2 do 9-4:
(10.14)
pri emu su djelovanja direktno na konstrukciju i teina
konstrukcije (primjerice, temelja), a su djelovanja koja se prenose
kroz tlo i teina tla (primjerice, sile od aktivnoga tlaka).
Ilustracija projektnog pristupa 3 prikazana je na slici 9-1.
Tablica 9-1. Provjera stabilnosti za pet graninih stanja
nosivosti metodom parcijalnih koeficijenata
-
Mehanika tla i stijena str. 9
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
Tablica 9-2. Granino stanje STR i GEO: parcijalni koeficijenti
za djelovanja i uinke djelovanja
Tablica 9-3. Granino stanje STR i GEO: parcijalni koeficijenti
za parametre tla
-
Mehanika tla i stijena str. 10
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
Tablica 9-4. Granino stanje STR i GEO: parcijalni koeficijenti
za otpornosti
Tablica 9-5. Granina stanja EQU, UPL i HYD: parcijalni
koeficijenti za djelovanja
-
Mehanika tla i stijena str. 11
Vlasta Szavits-Nossan 9. predavanje
Tablica 9-6. Granina stanja EQU, UPL i HYD: parcijalni
koeficijenti za geotehnike parametre i otpornosti
Slika 9-1. Proraunski pristup 3 (PP3) za granino stanje
nosivosti tla ispod temelja potpornog zida
(presjek A-A)
1.25
1.25
1.4
-
Mehanika tla i stijena str. 1
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
PLITKI TEMELJI
1. Uvod
Temelji su dijelovi konstrukcije preko kojih se ona oslanja o
tlo. Preko njih se djelovanja na
konstrukciju prenose na tlo. Kako je tlo u pravilu bitno meki i
slabiji materijal od uobiajenih materijala iz kojih je izgraena
konstrukcija, temelji su prijelazni dijelovi u kojima se
preraspodjeljuju unutranje sile iz vitkih i tankih elemenata
konstrukcije u masivne i iroke zone tla.
Vrste temelja su mnogobrojne i mogu se razvrstati na razliite
naine od kojih je uobiajen onaj po nainu prijenosa optereenja u
tlo: plitki i duboki temelji te njihova kombinacija. Plitki temelji
prenose optereenja u plitke slojeve tla, dok duboki prenose
optereenje ili u dublje slojeve ili u sve slojeve du njihove
visine. Granica izmeu plitkih i dubokih temelja nije strogo
odreena, ali se kao gruba podjela moe prihvatiti ona po kojoj je
dubina ukopavanja temelja u temeljno tlo manja od irine temelja.
Plitki se, pak, temelji dalje dijele na temelje samce, temeljne
trake, temeljne rotilje, temeljne ploe te kombinaciju ploe i
rotilja. Duboki se temelji dijele na pilote, bunare, kesone te neke
druge manje zastupljene vrste (slika 12-1).
Slika 12-1. Jedna od klasifikacija temelja
Temelji samci su manji masivni kvadri ili manje ploe, iji je
odnos irine i debljine takav da im je progib od savijanja zanemariv
u odnosu na slijeganje (slika 12-2 lijevo). Zbog toga
se u proraunima pretpostavlja da su kruti. Prenose optereenja
pojedinanih stupova konstrukcije. esto se koriste kao temelji
stupova tvornikih i drugih hala, strojeva i stupova mostova kad to
nosivost i krutost temeljnog tla omoguuje. Nekad su se gradili od
kamena i opeke, a danas od nearmiranog i armiranog betona.
Najjeftiniji su nain temeljenja.
Temeljne trake su izdueni plitki temelji, obino ispod zidova
zgrada (slika 12-2 desno). Obzirom na krutost u ravnini zidova,
progib tih temelja u odnosu na njihovo slijeganje je
zanemariv kao i kod samaca pa se takoer svrstavaju u krute
temelje. Grade se na slian
-
Mehanika tla i stijena str. 2
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
nain i iz istog materijala kao temelji samci. Uz temelje samce
najjeftiniji su nain temeljenja.
Slika 12-2. Temelj samac (lijevo) i temeljna traka (desno)
Temeljni rotilji su mrea temeljnih traka, ali uglavnom prenose
optereenja stupova pa savijanje traka vie nije ogranieno zidovima
(slika 12-3 lijevo). Zato obino njihov progib u odnosu na
slijeganje vie nije zanemariv pa se svrstavaju u savitljive
temeljne konstrukcije. Izvode se u pravilu od armiranog betona.
Koriste se u sluajevima kad nosivost i krutost temeljnog tla u
odnosu na optereenje konstrukcije ne omoguuje izbor temelja samaca
i od njih su zbog poveanog utroka materijala skuplji.
Temeljne ploe su plone temeljne konstrukcije, kojima progib u
odnosu na slijeganje nije zanemariv pa se svrstavaju u savitljive
temeljne konstrukcije. Grade se u pravilu od
armiranog betona. Prenose optereenja stupova i zidova
konstrukcije, a koriste se kad nosivost i krutost tla ne omoguuju
izbor temeljnog rotilja, a zbog poveanog utroka materijala od njih
su skuplji (slika 12-3 desno).
Slika 12-3. Temeljni rotilj (lijevo) i temeljna ploa (desno)
Kombinacija temeljne ploe i rotilja koristi se u sluajevima veih
optereenja stupova kad bi zbog lokanih koncentracija unutarnjih
sila u ploi oko stupa, potrebna debljina ploe postala nerazumno
debela. Grade se od armiranog betona. Sam se rotilj moe izvesti ili
na gornjoj ili na donjoj plohi ploe.
Piloti su tapni elementi koji se ugrauju u tlo buenjem,
zabijanjem ili utiskivanjem (slika 12-4), a prenose optereenje
gornje konstrukcije trenjem po svom platu i preko donjeg kraja ili
stope (gornji kraj pilota se ponekad naziva glavom pilota). Grade
se od razliitih materijala: nekad od drveta, a danas u pravilu od
elika, armiranog ili prednapetog betona. Obino se rade u grupi te
spajaju s naglavnom ploom (ili gredom ako su tlocrtno poredani u
pravcu) na mjestu prikljuenja stupa gornje konstrukcije. Koriste se
kad temeljenje nije mogue izvesti plitko jer su znatno skuplji od
plitkog temelja.
-
Mehanika tla i stijena str. 3
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
Slika 12-4. Grupa pilota s naglavnom ploom (lijevo) i temeljna
ploa s pilotima (desno)
Kombinirani temelj od ploe s pilotima koriste se kod jako
optereenih temelja, kao to su na primjer neboderi, na tlu
nedovoljne nosivosti (slika 12-4). Mada naoko slini temeljima na
pilotima, po mehanizmu prijenosa optereenja u tlo od njih se bitno
razlikuju. Dok temelji na pilotima prenose optereenje u tlo
prvenstveno preko pilota pa se utjecaj naglavne ploe na njihovu
nosivost i slijeganje obino zanemaruje, kombinirani temelji prenose
optereenje u tlo podjednako preko ploe i preko pilota. Dok se
temelji na pilotima trebaju dimenzionirati tako da njihovo
optereenje bude znatno manje od njihove nosivosti, kod kombiniranih
temelja, kod kojih ukupna nosivost obino nije upitna, piloti se
mogu iskoristiti do krajnosti to znai da se mogu opteretiti i do
sloma.
Bunari su velike, sloene i zahtjevne temeljne konstrukcije
oblika sanduka otvorenog s gornje i s donje strane ili oblika
upljeg valjka koje slue za prijenos vrlo velikih optereenja stupova
velikih mostova u dublje i bolje nosive slojeve tla ili na temeljnu
stijenu. Sanduk
bunara obino se izvodi od armiranog ili prednapetog betona,
ponekad u elinoj oplati. Izvode se iskapanjem tla u otvorenom iz
njihove unutranjosti uz istovremenu dogradnju konstrukcije na
povrini ime se oni istovremeno grade i sputaju u dubinu. Da bi se
ostvarilo njihovo sputanje u tlu, teina im mora biti vea od trenja
sanduka s okolnim tlom.
Kesoni su slini bunarima, ali su s gornje strane zatvoreni kako
bi se u njihovoj unutranjosti tijekom izgradnje i iskopa tla mogao
nametnuti poveani tlak zraka radi spreavanja prodora tla i vode
kroz donji otvoreni dio sanduka. Zbog zatvorenosti sanduka kesona s
gornje strane potrebno je predvidjeti posebne prelazne komore kroz
koje mogu
komunicirati ljudi i oprema te kroz koje se moe iznositi
iskopano tlo. To su vrlo zahtjevne konstrukcije koje nameu izuzetno
oteane uvjete rada pri iskopu (kesonska bolest) pa se izbjegavaju
gdje god to mogue.
Osim opisanih vrsta temelja, geotehnika praksa poznaje niz
drugih, posebnih i rjee koritenih temeljnih konstrukcija koje
zadovoljavaju neke posebne uvjete nametnute okolnostima gornje
konstrukcije i uvjetima u tlu. Jedan primjer takve konstrukcije je
duboki
temelj na vertikalnim zidovima izvedenim u tlu, koji se koristi
kad je potrebna izuzetna
nosivost temelja na vodoravna optereenja, na primjer zbog bonog
pritiska kliznog tijela u klizitu na duboki temelj stupa mosta.
-
Mehanika tla i stijena str. 4
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
2. Interakcija konstrukcija-temelj-tlo
Konstrukcija, temelj i tlo ine jedan jedinstveni sustav koji
zahtijeva zajednike pomake, rotacije, deformacije i kontaktna
naprezanja na njihovim meusobnim sueljima. To meu-djelovanje
konstrukcije, temelja i tla naziva se interakcijom.
Proraunski modeli i prorauni potpune interakcije konstrukcije
temelja i tla pri raznim sluajevima i kombinacijama optereenja,
koja se javljaju tijekom gradnje i koja se mogu pojaviti za vrijeme
koritenja konstrukcije, oito su vrlo sloen, zahtjevan i obiman
problem koji se u praksi vrlo rijetko provodi u svojoj potpunosti.
Vrlo su esta razliita pojednostavljenja proraunskih modela i samih
prorauna, kako bi se problem pojednostavio i uinio praktiki
provedivim. Openito se preputa projektantu da se odlui na izbor
prihvatljivih pretpostavki pojednostavljenja koje vode k
jednostavnijim proraunskim modelima i jednostavnijim proraunima.
Nemogue je openito klasificirati te pretpostavke niti je mogue dati
openite preporuke koje bi obuhvatile sve sluajeve u praksi.
U sluaju temelja zgrada, mostova i potpornih zidova na kruem
tlu, kada se oekuju manja slijeganja pa se koriste temelji samci
ili temeljne trake ispod krutih zidova, ili piloti
ispod takvih temelja, optereenja temelja se obino odreuju u
proraunu konstrukcije uz pretpostavku da su temelji nepomini. Tako
proraunate sile koje optereuju temelje unose se u proraun
stabilnosti i uporabivosti temelja kao zadane te o pomacima i
deformacijama temelja neovisne veliine. Proraunom stabilnosti i
uporabivosti temelja s tako izraunatim optereenjem dokazuje se da
je rizik od dosezanja graninog stanja nosivosti dovoljno mali te da
su pomaci temelja za granino stanje uporabivosti u granicama
pretpostavljeno malih veliina.
U sluaju da se mora temeljiti na mekem tlu, na temeljnim
rotiljima ili temeljnoj ploi, opet se proraun gornje konstrukcije
provodi kao da su temelji nepomini, ali se provodi proraun
interakcije temelja i tla (bez sudjelovanja konstrukcije) s
prethodno izraunatim i o pomacima temelja neovisnim optereenjima od
konstrukcije. Time je proraun interakcije samo djelomino proveden
jer se zanemario utjecaj konstrukcije na optereenje sustava
temelj-tlo.
3. Kriteriji prihvatljivosti temelja
Za granina stanja nosivosti temelja najee su kritina stanja GEO
i STR. Granina stanja GEO odnose se na pojavu sloma ili velikih
deformacija u tlu ili na suelju tla i temelja, dok se granina
stanja STR odnose na pojavu sloma ili velikih deformacija u samom
tijelu temelja. Od graninih stanja GEO, u sluaju temeljnih
konstrukcija najvanija je nosivost temeljnog tla. To je optereenje
koje u tlu izaziva slom, a time i velike i neprihvatljive pomake
temelja i openito gubitak njegove stabilnosti.
Granina stanja uporabivosti temeljnih konstrukcija proizlaze iz
posljedica gubitka uporabivosti gornje konstrukcije (konstrukciji
koju pridravaju) koju pomaci, rotacije i deformacije temelja mogu
izazvati bez da dosegnu neko od graninih stanja nosivosti. Eurokod
7 definira slijedee pojmove vezane za vertikalne pomake temelja
(slijeganja), njihove rotacije i deformacije koje treba pri analizi
prihvatljivosti temelja uzeti u obzir:
slijeganje, , diferencijalno slijeganje, , rotaciju, , kutnu
deformaciju, , relativni progib,
, kvocijent progiba, , naginjanje, , te relativnu rotaciju ili
kutnu distorziju, (slika 12-
-
Mehanika tla i stijena str. 5
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
5). Za neke od tih veliina Eurokod 7 preporua granine
vrijednosti, koje ne bi trebalo premaiti za neko od graninih stanja
uporabivosti (tablica 12-1). Treba naglasiti da vrijednosti u ovoj
tablici nisu striktno zahtijevane, ve slue projektantu za snalaenje
i orijentaciju u nedostatku nekih drugih zahtjeva. Vrijednosti se
mogu premaiti ako projektant, uz odgovarajuu analizu, sagleda sve
posljedice na konstrukciju, opremu i strojeve, instalacije i njene
prikljuke na zgradu, udobnost i prihvatljivost za ljude te neke
druge mogue kriterije, te na temelju toga argumentirano zakljui da
je, usprkos premaenim vrijednostima, konstrukcija ipak
uporabiva.
Granine vrijednosti iz tablice 12-1 vrijede za ulegnuti oblik
deformacija temelja, dok za grbljenje (slika 12-6) ove vrijednosti
treba prepoloviti.
Slika 12-5. Definicije: (a) slijeganja , diferencijalnih
slijeganja , rotacije i kutnih deformacija temelja;
(b) relativnih progiba i kvocijenta progiba ; (c) naginjanja i
relativne rotacije ili kutne distorzije
(EN 1997-1:2004).
Slika 12-6. Ulegnuti (lijevo) i pogrbljeni (desno) oblik
deformacije konstrukcije ili temelja
-
Mehanika tla i stijena str. 6
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
Tablica 12-1. Granine vrijednosti deformacija konstrukcija i
pomaka temelja za obine konstrukcije s ujednaenim optereenjima na
temelje (EN 1997-1:2004) za ulegnuti oblik deformacija (slika
12-6)
Opis graninog pomaka, kuta ili deformacije
oznaka vrijednost napomena
najvea dozvoljena relativna rotacija otvorenih
okvirnih konstrukcija,
ispunjenih okvira i nosivih
zidova od opeke
do
obino
izazvat e
najvjerojatnije granino stanje nosivosti u gornjoj
konstrukciji
prihvatljivo najvee slijeganje
50 mm
vrijedi za obine konstrukcije na temeljima samcima ili
trakama;
vea slijeganja su prihvatljiva ako relativne rotacije ostanu
u
prihvatljivim granicama i ako
ukupna slijeganja ne izazivaju
probleme s instalacijskim
prikljucima na zgradu, komunikaciju s okolinom,
prevelika naginjanja i slino.
4. Opi izraz za nosivost tla ispod plitkog temelja
Autori Eurokoda 7 odluili su da se nosivost tla ispod plitkog
temelja s pravokutnom temeljnom plohom izrazi za drenirano stanje
kao
(12.1)
a za nedrenirano stanje kao
(12.2)
pri emu je vertikalna otpornost tla pri slomu (sila), i su
vertikalne komponente efektivnog, odnosno ukupnog prosjenog
kontaktnog naprezanja na temeljnoj plohi u
trenutku sloma za drenirane, odnosno nedrenirane uvjete u tlu, a
varijable , i , s indeksima
c, q i su koeficijenti kojima se u obzir uzima nagnutost
osnovice temelja (b), oblik temelja (s) i ekscentricitet optereenja
(i).
U izrazu (12.1), umjesto irine temeljne trake b, pojavljuje se
b' i povrina A' (slika 12-7). Na slici 12-7 prikazana je pravokutna
povrina plitkog temelja dimenzija b l, s teitem u toki T. Zbog
ekscentrinosti djelovanja rezultanti vertikalnog i horizontalnog
optereenja (ekscentricitet eb u odnosu na stranicu b i
ekscentricitet el u odnosu na stranicu l), definira se
ekvivalentna temeljna ploha A' , povrine
(12.3)
-
Mehanika tla i stijena str. 7
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
kojoj je teite T' u toki u kojoj djeluju rezultante vertikalnih
i horizontalnih sila.
Vrijednosti svih faktora i varijabli iz izraza (12.1) i (12.2 ),
za nedrenirane i drenirane
uvjete, dane su u tablici 12-2.
Slika 12-7. Ekscentrino optereen plitki temelj s ekvivalentnom
temeljnom plohom povrine , mjerodavnom
za proraun nosivosti temeljnog tla, i dubinom temeljenja ( );
prema Eurokodu 7 (EN 1997-1:2004)
-
Mehanika tla i stijena str. 8
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
Tablica 12-2. Izrazi za lanove u (12.3) i (12.4) za nosivost tla
prema EN 1997-1:2004
lan Izraz
Nedrenirano Drenirano
1
1 ; izraeno u radijanima
1
1
kad H djeluje u smjeru b
kad H djeluje u smjeru l;
kad H djeluje pod kutom u odnosu na l, tada je
0
-
-
- ; m kao za
5. Otpornost na klizanje
Plitke temelje optereene znaajnijom komponentom tangencijalne
sile na temeljnoj plohi (sili koja lei u ravnini temeljne plohe)
treba provjeriti na opasnost od klizanja temelja po tlu na koje
temelj prenosi optereenje. Do klizanja temelja dolazi kad sila koja
izaziva klizanje dosegne otpornost na klizanje na suelju izmeu
temelja i tla. Ova otpornost ovisi o karakteru tog suelja. Neka
ispitivanja i iskustvo upuuju na odrivost pretpostavke da e zbog
uobiajenog naina izvedbe temelja, lijevanjem svjeeg betona
neposredno na pripremljenu podlogu od tla, prianjanje izmeu temelja
i tla biti toliko dobro da u potpunosti aktivirana otpornost na
klizanje priblino odgovara onoj koja proizlazi iz punog aktiviranja
posmine vrstoe tla. Kako je vrstoa tla izraena preko
Mohr-Coulombovog zakona, mjerodavni
parametri za proraun otpornosti na klizanje su parametri vrstoe
i te normalno kontaktno naprezanje na temeljnoj plohi.
Otpornost na klizanje, izraena kao sila koja se pri klizanju
temelja opire tangencijalnoj komponenti optereenja na temelj, na
razini temeljne plohe, moe se izraziti kao
(12.6)
-
Mehanika tla i stijena str. 9
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
gdje se integracija vrstoe na suelju tla i temelja provodi preko
onog dijela temeljne
povrine preko kojeg se prenosi normalno optereena, a to je
ekvivalentna temeljna ploha .
Kao i u tlu, na suelju izmeu temelja i tla prisutni su bilo
drenirani bilo nedrenirani uvjeti. Ovi posljednji praktino mogu
biti mjerodavni samo u sitnozrnatim tlima. U dreniranim se uvjetima
pri procjeni vrstoe u praktinoj primjeni u pravilu zanemaruje
utjecaj efektivne kohezije zbog mogue poremeenosti tla pri
iskopu i izgradnji temelja, pa je vrstoa izraena kao , dok u
nedreniranim uvjetima ona iznosi ,
gdje je nedrenirana vrstoa temeljnog tla. U dreniranim uvjetima
treba uzeti u obzir da vrstoa ovisi o efektivnom normalnom
naprezanju na kontaktu temelja i tla, pa u raun vrstoe treba uzeti
u obzir, osim normalnog naprezanja i mogui tlak porne vode ako je
osnovica temelja ispod ili na razini podzemne vode. U zoni
kapilarne podzemne vode
na negativni tlak vode, koji bi poveao normalno naprezanje , ne
treba raunati.
esto se u praksi temelj izvodi lijevanjem svjeeg betona u
pripremljenu jamu u tlu. Pri tome se, naroito za sitnozrnato tlo,
dno jame pripremi tako da se na svjee iskopano tlo nasipa i zbije
tanji sloj pijeska, ljunka ili lomljenog kamena. To se izvodi kako
se svjei beton ne bi lijevao na razmoenu i mekanu izloenu povrinu
tla te kao bi se dobila uredna ravna povrina. Klizanje tako
izvedenog temelja moe se ostvariti na suelju izmeu betona temelja i
nasutog krupnozrnatog tla ili na suelju nasutog krupnozrnog tla i
originalnog temeljnog tla, ovisno o tome na kojem je suelju manja
posmina vrstoa. U oba sluaja
otpornost na klizanje treba raunati samo po efektivnoj temeljnoj
plohi .
6. Provjera pouzdanosti prema Eurokodu 7
6.1. Granina stanja nosivosti i uporabivosti
Oblik i dimenzije temelja prema Eurokodu 7 treba izabrati tako
da rizik od dosezanja bilo
kojeg mogueg graninog stanja bude dovoljno mali. To se postie
raunskim provjerama primjenom odgovarajuih parcijalnih
koeficijenata.
Eurokod 7 popisuje najea mogua granina stanja za plitke temelje
te trai da se za svaki posebni sluaj u geotehnikom projektu izradi
lista onih graninih stanja koja se mogu za taj sluaj predvidjeti.
Najea mogua granina stanja nosivosti za plitke temelje su:
gubitak ope stabilnosti pri kojem neki dio temeljnog tla zajedno
s temeljom i konstrukcijom postaje klizno tijelo, a mehanizam
klizanja odgovara onom kod
nestabilnih kosina (granino stanje GEO); ovakvi se sluajevi
javljaju kad je temelj na kosini ili blizu ruba kosine;
slom tla ispod temelja izazvan prevelikim pritiskom kojim temelj
optereuje tlo (granino stanje GEO); kontaktni pritisak ili
kontaktno naprezanje izmeu temelja i tla koje izaziva slom u tlu je
nosivost tla;
gubitak stabilnosti klizanjem pri kojem dolazi do klizanja
temelja po temeljnoj plohi zbog prevelikog bonog optereenja temelja
(granino stanje GEO);
kombinirani slom konstrukcije, temelja i tla (granino stanje
STR/GEO);
-
Mehanika tla i stijena str. 10
Vlasta Szavits-Nossan 10. predavanje
slom konstrukcije uslijed pomaka temelja, pri emu u tlu ne mora
doi do sloma (granino stanje STR); ovaj se sluaj moe javiti kod
temelja na mekom tlu u kojem su deformacije i pomaci tla veliki i
prije sloma;
Najea granina stanja uporabivosti su:
prevelika slijeganja ili diferencijalna slijeganja unutar
temelja ili meu susjednim temeljima;
preveliko izdizanje temelja uslijed bujanja tla, djelovanja
mraza i drugih uzroka;
neprihvatljive vibracije koje se mogu javiti kod temelja
strojeva;
preveliko naginjanje temelja.
-
Mehanika tla i stijena str. 1
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
SLIJEGANJE PLITKIH TEMELJA
1. Uvod
Iz razloga ekonominosti plitke temelje treba ih oblikovati
tedljivo, ali da jo uvijek dovoljno sigurno zadovolje bitne uvjete
svoje namjene. Najvaniji meu tim uvjetima je ogranienje pomaka
izazvanih optereenjem konstrukcije, a uvjetovanim krutou temeljnoga
tla.
Zbog prevladavajueg vertikalnog trajnog optereenja graevinskih
konstrukcija, koje izaziva i prevladavajue vertikalne pomake
temelja, najvea se pozornost posveuje odreivanju upravo vertikalnih
pomaka temelja. Ti se vertikalni pomaci nazivaju slijeganjem. Tako
je proraun slijeganja temelja prisutan gotovo u svakom graevinskom
projektu.
Iako je proraun slijeganja u praktinoj provedbi relativno
jednostavan, pouzdanost prognoze slijeganja temelja u praksi je
esto problematina. Osnovni razlog toj problematinosti obino nisu
neminovna pojednostavljenja izazvana idealizacijom problema koji se
rjeava, ve nepouzdanost u utvrivanju profila tla sa svim njegovim
geometrijskim karakteristikama kao i nepouzdanost u odreivanju
parametara mehanikih svojstava tla koji bi trebali biti dovoljno
vjerna slika mehanikih svojstva realnog tla na razmatranoj lokaciji
budue graevine. Izvori tih nepouzdanosti su brojni i seu od
prirodne heterogenosti tla, koju je ponekad teko detaljno utvrditi,
preko sastava i svojstava tla, koji ograniavaju tehnoloke postupke
za njihovo utvrivanje, zatim financijskih i vremenskih ogranienja
nametnutih posebnostima svakog graevinskog zahvata, pa do naeg jo
uvijek ogranienog znanja o nekim bitnim vidovima ponaanja nekih
vrsta tla. Razumno sagledavanje ovog stanja namee potrebu da se
predvianju slijeganja temelja u praksi pristupi odmjereno:
preciznost postupka prorauna slijeganja prilagoditi razumnoj
mogunosti odreivanja mehanikih svojstava tla na svakoj pojedinoj
lokaciji, a odreivanju mehanikih svojstava tla pridati najveu moguu
pozornost.
2. Primjena teorije elastinosti u mehanici tla
Tradicionalno se u mehanici tla za proraun slijeganja temelja
koriste rjeenja teorije elastinosti. Osnovna je zadaa teorije
elastinosti rjeavanje elastinih diferencijalnih jednadbi za zadane
rubne uvjete. Za neke jednostavnije sluajeve rubnih problema naena
su analitika rjeenja, dok se za sloenije sluajeve koristi princip
superpozicije ili se rjeenja trae numerikim postupcima, kao to je
na primjer metoda konanih elemenata. Princip superpozicije praktiki
se svodi na to da je rjeenje za dva razliita optereenja istog
-
Mehanika tla i stijena str. 2
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
elastinog tijela s istim rubnim uvjetima pomaka jednako zbroju
rjeenja za svako optereenje posebno. Mnoga su rjeenja sloenijih
problema tako dobivena iz poznatih rjeenja nekoliko temeljnih
rjeenja. Jedno takvo temeljno rjeenje, od posebne vanosti u
mehanici tla, je Boussinesqovo rjeenje (Boussinesq 1885) za
vertikalnu koncentriranu silu na povrini linearno elastinog
izotropnog i homogenog poluprostora. Elastini poluprostor je
elastino tijelo s jedne strane omeeno horizontalnom ravninom, a
neprekidno u svim ostalim smjerovima. Taj poluprostor moe posluiti
kao idealizacija tla na terenu s horizontalnom povrinom. U okviru
linearne teorije elastinosti, poluprostor moe biti izotropan, kad
su svojstva elastinog materijala u svim smjerovima jednaka, a moe
biti i homogen, kad su mu mehanika svojstva u svim tokama tijela
jednaka.
Optereenje na povrini deformira elastini poluprostor i u njemu
izaziva dodatna (dodatna u odnosu na mogua postojea naprezanja od
ve postojeeg optereenja) naprezanja. Slika 9-1 prikazuje jedan
takav primjer. Temeljna traka irine B jednoliko optereuje temeljno
tlo optereenjem p. Pretpostavlja se da je temeljno tlo homogen i
izotropan linearno elastian poluprostor. Na horizontalnim
presjecima kroz poluprostor
amplituda dodatnog vertikalnog naprezanja y pada, a njegova se
raspodjela iri, to je
presjek dublje od povrine. To je tipino za raspodjelu dodatnih
naprezanja u poluprostoru od povrinskog optereenja. Priblino se ova
pojava moe opisati irenjem dodatnog vertikalnog naprezanja po
osnovicama zamiljenih piramida, ije su stranice nagnute pod nagibom
V:H=2:1. Prosjeno dodatno vertikalno naprezanje na osnovici
zamiljene piramide, na promatranoj dubini, jednako je optereenju na
povrini p podijeljenom s povrinom osnovice piramide.
Slika 9-1. Raspodjela vertikalnih dodatnih naprezanja y / p na
horizontalnim presjecima poluprostora od jednolikog optereenja na
trakastoj povrini (optereenje i naprezanja prikazana su u istom
mjerilu)
Drugi nain prikaza irenja normaliziranih dodatnih vertikalnih
naprezanja u dubinu i irinu linearno elastinog izotropnog i
homogenog poluprostora ilustriraju slike 9-2 i 9-3, za jednoliko
optereenu trakastu plohu i rezultantno linijsko optereenje (slika
9-2) te za jednoliko optereenu kvadratnu plohu i rezultantnu
koncentriranu silu (slika 9-3), na povrini poluprostora. Iz ovih se
slika, bez obzira to se odnose samo na jednu od est komponenti
dodatnih naprezanja, mogu izvesti sljedei zakljuci:
Dodatno se naprezanje iri u irinu i dubinu elastinog
poluprostora. Pri tome mu veliina pada s porastom udaljenosti od
njegova izvora na povrini poluprostora.
-
Mehanika tla i stijena str. 3
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
Dodatna naprezanja od optereenja temeljne trake, odnosno
linijskog optereenja na povrini poluprostora manje opadaju s
dubinom od naprezanja izazvanih optereenjem na kvadratnoj plohi,
odnosno od koncentrirane sile.
Slika 9-2. Linije jednakih dodatnih vertikalnih naprezanja y / p
ispod jednolikog normalnog optereenja na trakastoj povrini irine B
(desno) i ispod rezultantnog linijskog optereenja (lijevo) na
povrini linearno elastinog izotropnog i homogenog poluprostora
-
Mehanika tla i stijena str. 4
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
Slika 9-3. Linije jednakih normaliziranih dodatnih vertikalnih
naprezanja y / p ispod jednolikog normalnog optereenja na
kvadratnoj povrini irine B (desno) i ispod rezultantne
koncentrirane sile (lijevo), na povrini linearno elastinog
izotropnog i homogenog poluprostora
Veina projektnih profila tla u prirodi karakterizira uslojenost
pa se ne moe opisati kao homogeni poluprostor. Meutim, istraivanja
su pokazala da, za mnoge praktine sluajeve, uslojenost najvie utjee
na raspodjelu deformacija, a time i na pomake, dok je njen utjecaj
na raspodjelu dodatnih naprezanja esto mogue zanemariti. Ovaj
zakljuak najvie doprinosi praktinoj primjeni teorije elastinosti u
mehanici tla.
-
Mehanika tla i stijena str. 5
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
3. Neka osnovna rjeenja teorije elastinosti za homogeni i
izotropni poluprostor
U prikazima koji slijede, koriste se Kartezijev i cilindrini
koordinatni sustav, kako prikazuje slika 9-4.
y
y
x
r
z
O
re
ye
e
r
Slika 9-4. Kartezijev (x, y, z) i cilindrini (r, , y)
koordinatni sustav te jedinini vektori (er, e, ey) cilindrinog
sustava
Jedno od temeljnih rjeenja teorije elastinosti je ranije
spomenuto Boussinesqovo rjeenje za koncentriranu vertikalnu silu na
povrini linearno elastinog, homogenog i izotropnog, elastinog
poluprostora. Pripadne izraze za naprezanja i pomake (sy i sr)
prikazuje slika 9-5. Rjeenje ima singularnu toku na mjestu
djelovanja koncentrirane sile gdje naprezanja i pomaci tee u
beskonanost.
Integracijom Boussinesqovog rjeenja po raznim konturama na
povrini poluprostora, a koristei princip superpozicije, dobivena su
mnoga druga praktina rjeenja. Tako je prikazano rjeenje za linijsko
vertikalno optereenje na povrini poluprostora (slika 9-6), za
optereenje krunog temelja (slika 9-7) i za optereenje pravokutnog
temelja (slika 9-8).
Koncentrirana sila V
y
r
2 2R r y
R
( , )r y
V
3
5
2
2 3
2
2
5
2
y2
2
32
3 (1 2 )2
(1 2 )2
32(1 )
2(1 )2
(1 ) (1 2 )2
yy
rr
ry
r
VyRV r y RR R R y
V R yR R y R
VryR
V ys
ER R
V ry rs
ER R R y
Slika 9-5. Boussinesqovo rjeenje za koncentriranu vertikalnu
silu na povrini linearno elastinog, izotropnog i homogenog
poluprostora (Boussinesq 1885)
-
Mehanika tla i stijena str. 6
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
Linijsko optereenje p (sila po jedinici duine)
y
x
2 2R x y
R
( , )x y
p
3
4
2
4
2
2
4
12
2
max2
2
2
2
2
2(glavno naprezanje u smjeru )
0 (glavno naprezanje okomito na )
yy
xx
zz
xy
pyRpx yRp yRpxyRpy
RR
R
pyR
Slika 9-6. Rjeenje za linijsko vertikalno optereenje na povrini
linearno elastinog, izotropnog i homogenog poluprostora
Kruno optereenje p (sila po jedinici povrine)
y
r
2a D p
y
A
ispod sredita krunog optereenja ( 0r ):
3/22
2
1/22
3
3/22
2 2
2
( / )1
1 ( / )
2(1 )( / )(1 2 )
1 ( / )
( / )2
1 ( / )
2 (1 )1 / /
/1
2(1 ) 1 /
za / 0
yy
rr
y
y ap
y a
y a
y apy a
y a
pas y a y a
E
y a
y a
y a22 (1 )
: ypa
sE
Slika 9-7. Rjeenje za vertikalno jednoliko optereenje na krunoj
plohi na povrini linearno elastinog, izotropnog i homogenog
poluprostora za toke ispod sredita krune plohe
Treba uoiti da je na slici 9-7, za y = 0, vertikalni pomak
2y (1 )pD
sE
(9.1)
Na osnovi izraza (9.1), vertikalni pomak ispod sredita jednoliko
optereenog krunog temelja (za y > 0) moe se izraziti u
obliku
-
Mehanika tla i stijena str. 7
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
2y sy(1 )pD
s IE
(9.2)
gdje je Isy utjecajni koeficijent za slijeganje. Prikaz tih
utjecajnih koeficijenata, za tri
vrijednosti Poissonovog koeficijenta, dan je na slici 9-8.
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
norm alizirani vertikalni pom ak toke A , Isy = (sy /D ) (E /p)
[1/(1 -
10
1
0.1
0.01
2
3
5
0.2
0.3
0.5
0.02
0.03
0.05
no
rma
liz
ira
na
du
bin
a,
y /
D
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
10
1
0.1
0.01
Slika 9-8. Utjecajni koeficijent Isy za proraun vertikalnih
pomaka ispod sredita jednoliko optereene krune plohe na povrini
linearno elastinog, izotropnog i homogenog poluprostora
-
Mehanika tla i stijena str. 8
Vlasta Szavits-Nossan 11. predavanje
Pravokutno
optereenje p (sila po jedinici povrine)
y
x
p
y
blz
ispod vrha pravokutnika ( 0x , 0z ): 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
(1 2 )arctan
2 (1 )( ) 1 1
arctan2 ( ) 1 1
1 12(1 2 ) arctan arctan
2 (1 ) 12
yy
xx
zz
p mn m n m
n m n m n n m nmn m
p m n m n n m n
m n
m mn
mn
p n m
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1arctan
1(1 2 ) arctan arctan
1 1
2 (1 ) 1
1 1
2 1 ( ) 1
11 1
2
yz
xy
xz
n m n
mn
m m nm
n
pn m
n m n n m n
pnn n m n m n
n n n
p n m n 2 22 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 1(1 2 ) ln ln
11 2
(1 )( )1
1 (1 1 ) ( 1 )ln
2 (1 )( )
arctan , / , /2 1
za 1 i 0 : 0,561
y
m
m
y
m nn