Mehanika fluida - 2.dio, Matijašić

MEHANIKA FLUIDA

Skripta s odabranim poglavljima

Mehanika fluida, 2. godina, Kemijsko inženjerstvo i Ekoinženjerstvo

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu, 2016.

Izv. prof. dr. sc. Gordana Matijašić

PREPORUČENA LITERATURA

1. B. S. Masey, Mechanics of Fluids, Butler & Tanner, London, 1976.

2. D. N. Roy, Applied Fluid Mechanics, J. Wiley, New York, 1989.

3. J. Ferguson, Z. Kembłowski, Applied Fluid Rheology, Springer, 1991.

4. I. H. Shames, Mechanics of Fluids, Mc Graw-Hill, New York, 2003.

5. M. Pečornik, Tehnička mehanika fluida, Školska knjiga, Zagreb, 1985.

6. I. P. Granet, Fluid Mechanics for Engineering Tehnology, Simon & Schuster,

New York, 1989.

7. B. R. Munson, D. F. Young, T. K. Okiishi, Fundamentals of Fluid Mechanics,

J. Wiley & Sons. Ltd., 2005.

8. V. Jović, Osnove hidromehanike, Element, Zagreb 2006.

9. F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2009.

10. Y. A. Çengel, J. M. Cimbala, Fluid Mechanics, Fundamentals and Application,

McGraw-Hill, 2006.

11. F. A. Holland, R. Bragg, Fluid Flow for Chemical Engineers, Hodder Headline

PLC, London, 1995.

12. Nastavni materijali na mrežnim stranicama FKIT-a.

SADRŽAJ

1. UVOD ................................................................................................................ 1

1.1. Povijesni razvoj mehanike fluida .................................................................. 1

1.2. Mehanika fluida oko nas .............................................................................. 3

1.3. Osnovni pojmovi i definicije .......................................................................... 4

1.3.1. Vrste tvari ............................................................................................. 4

1.3.2. Naprezanja ............................................................................................ 6

1.3.3. Pojam kontinuuma ................................................................................ 7

1.3.4. Svojstva fluida ....................................................................................... 9

1.3.5. Vrste strujanja .................................................................................... 12

2. MODELI REOLOŠKOG PONAŠANJA ................................................................. 16

2.1. Newtonove kapljevine ................................................................................. 17

2.2. Ne-Newtonove kapljevine ............................................................................ 18

2.2.1. Ostwald de Waeleove kapljevine ........................................................... 18

2.2.2. Viskoplastične kapljevine..................................................................... 19

2.3. Vremenska ovisnost viskoznosti ................................................................. 21

3. STRUJANJE NEKOMPRESIBILNIH NE-NEWTONOVIH FLUIDA ......................... 23

3.1. Opći izraz za protok ne-Newtonovih kapljevina ........................................... 23

3.2. Strujanje Ostwald de Waeleovih fluida ....................................................... 26

3.2.1. Protok ................................................................................................. 26

3.2.2. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi ............................. 27

3.2.3. Pad tlaka i faktor trenja ....................................................................... 29

3.3. Strujanje Binghamovih fluida .................................................................... 33

3.3.1. Protok ................................................................................................. 33

3.3.2. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi ............................. 34

3.3.3. Specifičnosti strujanja Binghamovih fluida .......................................... 35

4. DINAMIKA DVOFAZNIH SUSTAVA ................................................................... 38

4.1. Dvofazno strujanje plina i kapljevine .......................................................... 38

4.1.1. Oblici dvofaznog strujanja plina i kapljevine ........................................ 38

4.1.2. Mape dvofaznog strujanja .................................................................... 41

4.1.3. Modeli za procjenu pada tlaka ............................................................. 43

4.2. Dvofazno strujanje krutine i kapljevine (transport suspenzija) .................... 47

4.2.1. Reološki modeli homogenih suspenzija ................................................ 49

4.2.2. Viskoznost koncentriranih suspenzija .................................................. 50

4.2.3. Pad tlaka pri strujanju homogenih i heterogenih suspenzija ................. 52

4.3. Dvofazno strujanje krutine i plina (pneumatski transport) .......................... 55

4.3.1. Vrste sustava pneumatskog transporta ................................................ 56

4.3.2. Proračun pada tlaka ............................................................................ 57

1

1. UVOD

Mehanika fluida je znanost koja se bavi istraživanjem fluida u gibanju (dinamika

fluida) ili u mirovanju (statika fluida) i interakcijama fluida s čvrstim površinama ili

drugim fluidima.

S obzirom na vrstu fluida, mehanika se dijeli na AERODINAMIKU koja se bavi

stlačivim fluidima (plinovima) i HIDRODINAMIKU koja se bavi nestlačivim fluidima

(kapljevinama).

1.1. Povijesni razvoj mehanike fluida

Hidraulika dolazi od grčke riječi αὐλός (aulos) što znači cijev. Dio je hidromehanike

koji se bavi proučavanjem stanja ravnoteže i strujanja realne kapljevine kroz cijevi,

kanale i otvore. Hidraulika se razvila kao potpuno empirijska znanost, a svoju je

praktičnu primjenu pronašla još u prapovijesno doba. Jedan od prvih problema s

kojima su se susrele drevne civilizacije je opskrba vodom. Smatra se da je prvi

sustav za dopremu vode u grad imao Jeruzalem. Sustav se sastojao od spremnika

za vodu i zidanih kanala kojima je transportirana voda do Jeruzalema. Kanali za

dopremu vode konstruirani su u Grčkoj kao i u drugim mjestima. Međutim,

najpoznatijima se smatraju Rimski akvadukti za dopremu vode iz prirodnih tokova

u gradove (slika 1.1.). Ostaci akvadukata vidljivi su i danas širom Europe.

a) b)

Slika 1.1. Rimski akvadukt: a) shematski prikaz, b) ostaci akvadukta u Splitu

Drevne civilizacije imale su dovoljno znanja za rješavanje problema protjecanja ili

optjecanja. Arhimed (285. – 212. pr. Kr.) je dao prvi značajniji doprinos mehanici

fluida postavivši princip uzgona ispitivanjem zlatne krune kralja Hierona II. Nakon

toga slijedi period koji je rezultirao poboljšanjem dizajna brodova, cjevovoda i

kanala, ali malo je učinjeno po pitanju napretka analize strujanja fluida. Leonardo

da Vinci (1452. – 1519.) bio je slikar, arhitekt, izumitelj, glazbenik, kipar, mislilac,

matematičar i inženjer. Postavio je zakon očuvanja tvari za jednodimenzionalan

stacionaran tok i približnu raspodjelu brzina kod turbulentnog gibanja. Bio je

odličan eksperimentalist pa je izradio nacrte različitih hidrauličkih uređaja koji su

preteča današnjih centrifugalnih pumpi (slika 1.2.). Njegove zabilješke sadrže točne

opise valova, hidrauličkih skokova, stvaranja strujnica fluida i sl.

2

Slika 1.2. L. da Vincijeve skice uređaja za transport vode

1687. Isaac Newton (1642. – 1727.) postavlja zakon viskoznosti te zakon očuvanja

količine gibanja. Daniel Bernoulli (1700. – 1782.) i Leonard Euler (1707. – 1783.)

postavljaju zakon očuvanja mehaničke energije. Također, izvode brojne jednadžbe

temeljene na zakonu očuvanja količine gibanja, ali primjenjive za idealne,

neviskozne fluide. Euler je razvio osnovnu jednadžbu mehanike fluida u

diferencijalnom i integralnom obliku, danas poznatu pod nazivom Bernoullijeva

jednadžba. Smatra se osnivačem moderne hidromehanike.

U 18. i 19. st. dolazi do napretka u eksperimentalnoj mehanici fluida. Inženjeri su

počeli odbacivati teorije primjenjive za neviskozne fluide jer u realnim slučajevima

inženjerski problemi podrazumijevaju strujanje viskoznih fluida. Dolazi do razvoja

hidraulike na temelju eksperimenata. Eksperimentalisti (Chézy, Pitot, Borda, Weber,

Francis, Hagen, Poiseuille, Darcy, Manning, Bazin i Weisbach) uspješno opisuju

različite vrste tokova, otpor, protjecanje fluida, rad turbina, a podaci su

upotrebljavani bez osnovnih zakona fizike.

Krajem 19. st. započinje ujedinjenje eksperimentalne hidraulike i teorijske

hidrodinamike. William Froude (1810. – 1879.) i Robert Froude (1846. – 1924.)

razvijaju zakonitosti testiranja modela, Lord Rayleigh (1842. – 1919.) predlaže

dimenzijsku analizu, Osborne Reynolds (1842. – 1912.) donosi Reynoldsov pokus u

cijevi i pokazuje važnost Reynoldsove bezdimenzijske značajke. Navier (1785. –

1836.) i Stokes (1819. – 1903.) modificiraju Eulerovu jednadžbu strujanja te uvode

viskoznost. Izvode poznatu Navier-Stokesovu jednadžbu.

Njemački inženjer Ludwig Prandtl (1875. – 1953.) je pokazao da se fluid može

podijeliti u slojeve te je postavio teoriju graničnog sloja. Njegov pisani rad (1904.)

smatra se najznačajnijim radom ikad napisanim u području mehanike fluida pa se

Ludwig Prandtl smatra osnivačem mehanike fluida.

3

1.2. Mehanika fluida oko nas

Mehanika fluida može se naći u gotovo svakoj stvari koja nas okružuje. Budući da

smo okruženi zrakom (stlačivi fluid) te da je oko 70 % površine Zemlje prekriveno

vodom (nestlačivi fluid), teško je ne pronaći primjer mehanike fluida svakodnevno.

Gotovo sve na planetu je ili fluid ili se giba unutar ili pokraj fluida. Već sama

činjenica da dišemo nas navodi na primjenu zakonitosti kojima se definira protok

kompresibilnih fluida. Otkucaji srca pak predstavljaju rad pumpe koja transportira

kapljevinu (krv) do različitih mjesta (dijelova tijela) (slika 1.3.). Kada smo žedni i

otvorimo pipu iz nje počinje strujati voda. Transport vode kroz složeni cjevovod ne

bi bio moguć bez zakonitosti mehanike fluida; proračuna otpora, pada tlaka, snage

pumpe i sl. Isto se može primijeniti i na sustave grijanja kao i na sustav opskrbe

plinom.

Slika 1.3. Ilustracija srca kao pumpe

Prirodne pojave poput kiše, vjetra, valova ili struja u prirodnim vodama upravljane

su principima mehanike fluida. Dobar primjer primijenjenih znanja mehanike fluida

jest gradnja najviše zgrade u svijetu, Burj Khalifa u Dubaiju (slika 1.4.). Takozvani

Kalifov toranj visine je 828 m i sadrži 162 kata. Brzina lifta je oko 10 m s–1, što

znači da se do turističkog vidikovca na 525 m dolazi za otprilike 50 sekundi. Najviša

se točka tornja zbog naleta vjetra giba 2 m lijevo-desno.

Slika 1.4. Najviše zgrade svijeta

4

Prilikom gradnje zgrade provedene su brojne simulacije strujanja vjetra u

takozvanim aerodinamičkim tunelima. Toranj je u tlocrtu Y-oblika, a u dizajnu je

slijeđen prirodni oblik pustinjskog cvijeta (slika 1.5.). Kako se penje u visinu krila

se povlače prema središnjoj jezgri u spiralnom uzorku, koji naglašava visinu, sve

dok ne dosegnu središnju jezgru, odakle se središnja jezgra skida i otkriva jedan

šiljak. Arhitekti i inženjeri su zajedničkim radom razvili oblik i konstrukcijski

sustav zgrade koji učinkovito preuzima dominantno djelovanje vjetra. S obzirom da

je pri projektiranju ovako visokih zgrada dominantan utjecaj vjetra, toranj je

oblikovan tako da na najmanju moguću mjeru smanji utjecaj sile vjetra na njega.

a) b)

Slika 1.5. Kalifin toranj: a) Y-oblik tornja, b) pustinjski cvijet

1.3. Osnovni pojmovi i definicije

1.3.1. Vrste tvari

S gledišta mehanike fluida sve tvari se mogu svrstati ili u skupinu fluida ili u

skupinu čvrstih tvari. Razlika između čvrstih tvari i fluida je u njihovom svojstvu

da pružaju otpor, odnosno da se deformiraju uslijed smičnog naprezanja. Iako se

većina tvari može klasificirati kao čvrsta tvar ili fluid, postoje i neka granična stanja.

Prividna čvrsta tijela (plastična) su tijela koja pružaju otpor smičnom naprezanju

kratko vrijeme. Međutim, polako se deformiraju i poprimaju svojstva fluida kada su

dulje izloženi djelovanju naprezanja. Prestankom djelovanja naprezanja ne vraćaju

se u prvobitni oblik. Dobar primjer ovakvog tijela je asfalt te valovi koji nastaju na

njemu uslijed dugoročnog opterećenja vozilima.

Čvrsta elastična tijela se pod djelovanjem smičnog naprezanja deformiraju, ali se

prestankom djelovanja sile vraćaju u prvobitni oblik. Kod ovakvih tijela nema trajne

deformacije.

5

Slika 1.6. Vrste tvari

Fluid je tvar koja se pod djelovanjem i najmanjeg smičnog naprezanja deformira.

Fluid može biti plin ili kapljevina (slika 1.6.). Kod kapljevina se molekule relativno

slobodno gibaju, a volumen ostaje konstantan zbog velikih privlačnih sila između

molekula. Posljedično, kapljevina zauzima oblik posude u kojoj se nalazi tvoreći

slobodnu površinu (slika 1.7.a). Plin se širi dok ne stigne do površine posude i

svojim volumenom ispunjava cijelu posudu. Molekule su vrlo udaljene, a privlačne

sile između molekula male. Plinovi ne stvaraju slobodnu površinu (slika 1.7.b).

a) b)

Slika 1.7. Shematski prikaz posude ispunjene: a) kapljevinom, b) plinom

čvrsta tvar kapljevina plin

FLUID

međumolekulske sile

6

1.3.2. Naprezanja

Naprezanja koja djeluju na fluid mogu se podijeliti na normalna naprezanja i

smična naprezanja.

Normalno naprezanje djeluje jednoliko po poprečnom presjeku. Predstavlja

okomito djelovanje normalne sile na površinu dA (slika 1.8.). Može se izračunati na

temelju izraza:

nF

dA (1.1.)

gdje je normalno naprezanje (Pa), Fn je sila (N) okomita na površinu dA (m2).

Normalno naprezanje koje djeluje na fluid u mirovanju naziva se tlak.

Slika 1.8. Naprezanja u fluidu

Smično (posmično) naprezanje nije jednoliko raspodijeljeno po presjeku.

Predstavlja djelovanje tangencijalne sile na površinu poprečnog presjeka dA (slika

1.8.), a izračunava se iz izraza:

tF

dA (1.2.)

gdje je smično naprezanje (Pa), Ft je tangencijalna sila (N), a dA površina (m2).

7

1.3.3. Pojam kontinuuma

Koncept kontinuuma temelj je mehanike fluida. Fluid se promatra kao kontinuum,

odnosno neprekidna sredina, a njegova svojstva neprekinute su funkcije prostora i

vremena.

Uzmimo za primjer gustoću fluida. Gustoća fluida definirana je kao masa fluida po

jediničnom volumenu. Prosječna gustoća fluida volumena V će biti:

m

V (1.3.)

gdje je gustoća (kg m–3), m masa fluida (kg), a V njegov volumen (m3).

Gustoća fluida u pojedinim točkama prostora razlikuje se od prosječne gustoće

fluida. Promotri li se element fluida označen kao točka A s koordinatama (x0, y0, z0),

definiranje gustoće ovog dijela fluida podrazumijeva omeđivanje prostora oko točke

A, a čiji je volumen V (slika 1.9.).

Slika 1.9. Element fluida prikazan u koordinatnom sustavu

Postavlja se pitanje koliki smije biti volumen elementa fluida, V, da bi se fluid

mogao promatrati kao kontinuum. Njegova vrijednost mora biti dovoljno velika da

daje smislene i reproducibilne vrijednosti gustoće (ili nekog drugog svojstva), a opet

dovoljno mala da se može smatrati točkom. Granična vrijednost ovog volumena

označava se kao V*, a iznosi 10–9 mm3 za sve kapljevine i za plinove pri

atmosferskom tlaku. Kada je volumen manji od V*, on sadrži mali broj molekula, a

svojstva značajno variraju ulaskom i izlaskom molekule iz elementarnog volumena.

Veći volumeni predstavljaju makroskopsku razinu, a vrijednosti gustoće variraju

oko srednje vrijednosti. Smanjenjem volumena vrijednosti se asimptotski

približavaju srednjoj vrijednosti, uključujući samo homogeni prostor u neposrednoj

blizini točke A (slika 1.10.).

8

Slika 1.10. Promjene gustoće fluida elementarnog volumena V

Većina inženjerskih problema obuhvaća volumene puno veće od graničnog pa se

može smatrati da svojstva fluida kontinuirano variraju u prostoru. Takav fluid

naziva se kontinuum, a pojednostavljeno se može reći da su promjene svojstava

ujednačene što omogućuje primjenu diferencijalnih jednadžbi u proračunima.

Kriterij kontinuuma definiran je Knudsenovim brojem:

KnL

(1.4.)

gdje je Kn Knudsenov broj, je srednji slobodni put molekule (m), a L je

karakteristična dimenzija sustava (m).

Fluid se smatra kontinuumom kada je vrijednost Knudsenovog broja manja od 0,01.

Pojam kontinuuma i Knudsenovog broja ilustrirani su na primjeru navijača i igrača

na nogometnoj utakmici (slika 1.11.).

Slika 1.11. Ilustracija kontinuuma na primjeru nogometne utakmice

43

L

9

Označena mala skupina navijača na lijevoj tribini predstavlja molekulsku razinu

fluida. Volumen se može smatrati manjim od granične vrijednosti, a ulazak ili

izlazak samo jedne osobe (molekule) može značiti velike oscilacije u njihovim

svojstvima. Veća skupina navijača u središtu tribina ponaša se kao kontinuum.

Manje promjene u broju navijača uzrokuju neznatna odstupanja svojstava od

srednje vrijednosti svojstava skupine. Promotre li se pak igrači na nogometnom

terenu mogu se pojasniti pojmovi definirani u izrazu 1.4. Uzme li se da je prosječna

širina nogometnog terena za oko 50 m, a prosječna udaljenost igrača npr. 1,5 m,

Knudsenov broj bi iznosio 0,03 što znači da nije zadovoljen kriterij kontinuuma.

1.3.4. Svojstva fluida

Gustoća fluida izražava se u jedinicama kg m–3. Predstavlja masu tvari koja

zauzima jedinični volumen (jedn. 1.3.). Kapljevine se smatraju nestlačivima pa im je

gustoća konstantna u cijelom prostoru, a može se mijenjati samo uslijed promjene

temperature.

Gustoća plina mijenja se s tlakom i temperaturom, a u najjednostavnijem slučaju

opisuje se pomoću jednadžbe idealnog plina:

p V n R T (1.5.)

odnosno:

R Tp

m

(1.6.)

gdje je p tlak (Pa), V volumen (m3), n je broj molova plina (mol), R opća plinska

konstanta (8,314472 J mol–1 K–1), je gustoća (kg m–3), a m masa plina (kg).

Relativna gustoća nema mjernu jedinicu. Predstavlja gustoću tvari u odnosu na

gustoću neke referentne tvari (jedn. 1.7.). Referentna tvar za gustoću kapljevina je

voda pri 4 °C (1 000 kg m–3). Za plinove se kao referentna vrijednost uzima gustoća

zraka pri 20 °C i tlaku od 101 325 Pa (1,205 kg m–3).

fluida

referentne tvari

d

(1.7.)

Specifični volumen fluida definiran je kao recipročna vrijednost njegove gustoće.

Jedinica mu je m3 kg–1.

Viskoznost ima jedinicu Pa s. Mjera je unutarnjeg otpora fluida smičnoj deformaciji.

Sila u fluidu koja djeluje na tijelo u smjeru gibanja naziva se sila otpora (engl. drag

force). Relativno gibanje fluida u odnosu na tijelo rezultira silom otpora uslijed

trenja uzrokovanog viskoznošću. Sila otpora veća je u fluidima veće viskoznosti.

10

Viskoznost kapljevina smanjuje se povećanjem temperature dok viskoznost plinova

raste s temperaturom (slika 1.12.). Također, promjena će tlaka utjecati na

viskoznost plinova, ali ne i kapljevina.

Slika 1.12. Promjena viskoznosti fluida s temperaturom

Pojam viskoznosti prvi je uveo Isaac Newton (1642. – 1727.). Promotrimo

jednostavan pokus u kojem se fluid nalazi između dvije ravne ploče. Jedna ploča

miruje, a druga se giba konstantnom brzinom, v. Fluid se giba u obliku zamišljenih

slojeva koji se kreću različitim brzinama (slika 1.13.).

Slika 1.13. Gibanje fluida između dvije ploče i profil brzina

Sila koja je potrebna da se gornja ploča giba konstantnom brzinom v0

proporcionalna je površini ploče, A, i gradijentu brzine, dv/dy:

dvF A

dy

(1.8.)

11

Konstanta proporcionalnosti u izrazu 1.8. je dinamička viskoznost fluida. Smično

naprezanje može se izraziti kao tangencijalna sila primijenjena na površinu (jedn.

1.2.) pa se izraz 1.8. može pisati u obliku:

dv

dy

(1.9.)

gdje je smično naprezanje (Pa), a dv/dy gradijent brzine (s–1).

Izraz 1.9. poznat je kao Newtonov zakon viskoznosti. Gradijent brzine, dv/dy,

predstavlja brzinu kutne deformacije, a uvriježen je naziv smična brzina. Na slici

1.14. prikazan je element fluida koji se deformira uslijed smičnog naprezanja.

Slika 1.14. Deformiranje elementa fluida uslijed smičnog naprezanja

Gornja se ploča kreće brzinom v što ima za posljedicu deformiranje fluida. Točka A

pri tome prelazi put do točke A', a prijeđena udaljenost jednaka je umnošku brzine i

vremena.

Kut deformacije, , može se izraziti preko tangensa:

tanv t

y

(1.10.)

U slučaju infinitezimalnih promjena vrijedi:

000

limxyt

v d dv

y dt dy

(1.11.)

Newtonov zakon viskoznosti (jedn. 1.9.) sada se može pisati preko brzine kutne

deformacije:

dv d

dy dt

(1.12.)

12

Fluidi kod kojih je smično naprezanje proporcionalno brzini kutne deformacije

nazivaju se Newtonovi fluidi.

Kinematička viskoznost izražena je u m2 s–1. Ovisi o dinamičkoj viskoznosti, , i

gustoći fluida, :

(1.13.)

1.3.5. Vrste strujanja

Strujanje se može podijeliti u sljedeće skupine:

Viskozno i neviskozno područje strujanja

Unutarnje i vanjsko strujanje

Stlačivo i nestlačivo strujanje

Laminarno i turbulentno strujanje

Prirodno i prisilno strujanje

Stacionarno i nestacionarno strujanje

Viskozno i neviskozno područje strujanja. Prilikom gibanja fluida dolazi do

usporavanja slojeva uslijed trenja, odnosno viskoznosti fluida. Ne postoje neviskozni

fluidi. Oni se u razmatranju strujanja fluida smatraju idealnim fluidima. Postoje

odgovarajući dijelovi fluida (udaljeniji od mirujućih stijenki) u kojima su viskozne

sile zanemarive u odnosu na inercijske sile ili tlak. Takvo područje naziva se

područje neviskoznog strujanja (engl. inviscid region of flow). Strujanje uz stijenku

pod utjecanjem je viskoznosti fluida i u ovom području viskoznog strujanja (engl.

viscous flow region) dolazi do stvaranja gradijenta brzine (slika 1.15.).

Slika 1.15. Područje viskoznog i neviskoznog strujanja

Unutarnje i vanjsko strujanje. Vanjskim strujanjem može se smatrati svako

strujanje u kojem je fluid slobodan, neograničen i struji oko neke površine (slika

1.16.a) poput ploče, žice, cijevi i sl. Unutarnje strujanje je strujanje u kojem je fluid

omeđen čvrstim površinama, npr. strujanje u cijevi (slika 1.16.b). Tokovi rijeka

13

(slika 1.16.c) primjer su unutarnjeg strujanja, strujanja u kanalima koje se naziva

još i strujanje u otvorenim tokovima/kanalima.

a) b) c)

Slika 1.16. Primjeri strujanja: a) vanjsko strujanje, b) unutarnje strujanje u cijevi,

c) strujanje u otvorenim tokovima/kanalima

Stlačivo i nestlačivo strujanje. Strujanje se smatra nestlačivim kada je gustoća

fluida gotovo konstantna cijelim tokom. Kapljevine su nestlačive pa se njihovo

strujanje smatra nestlačivim. Plinovi su stlačivi, a njihovo strujanje naziva se

stlačivim strujanjem. Promjena tlaka od 0,01 atm uzrokuje promjenu gustoće zraka

čak do 1 %. Kriterij stlačivosti strujanja je Machov broj (Ma) koji predstavlja omjer

brzine strujanja, v i brzine zvuka u istom mediju (c = 346 m s–1 u zraku):

brzina strujanja

brzina zvuka

vMa

c (1.14.)

Stlačivim strujanjem se smatra ono u kojem je Machov broj veći od 0,3, a u

protivnom se utjecaj stlačivosti na strujanje može zanemariti.

Kada je Machov broj veći od jedan, strujanje se smatra nadzvučnim (engl.

supersonic), a za vrijednosti manje od jedan, strujanje je podzvučno (engl. subsonic).

Slika 1.17. Primjer podzvučnog i nadzvučnog leta aviona i širenja zvučnih valova

Čest je slučaj tzv. probijanja zvučnog zida prilikom leta letjelica brzinom većom od

brzine zvuka. Mjera njihove nadzvučne brzine je nenormirana jedinica mah, pa se

može reći da je brzina letjelice Ma maha. Npr. 2 maha označavaju brzinu dvostruko

14

veću od brzine zvuka u istom mediju, za letjelicu u zraku. Prilikom povećanja brzine

zrakoplova povećava se amplituda zvučnih valova (slika 1.17.). Dolazi do povećanja

tlaka zraka na isturenim dijelovima zrakoplova čime se povećava otpor. Što je

zrakoplov bliži brzini zvuka valovi se ne stignu širiti ispred njega. Zrak velikom

brzinom slijedi profil zrakoplova što ima za posljedicu povećanje tlaka, gustoće i

temperature zraka u vrlo kratkom vremenskom periodu. Prilikom prelaska na

nadzvučnu brzinu leta zrak na pojedinim dijelovima zrakoplova stvara zračne valove

koji putuju ispred zrakoplova i stvaraju prepreku koja se naziva zvučnim zid. U

trenutku tzv. probijanja zvučnog zida dolazi do naglog smanjenja tlaka zraka i

temperature oko repa zrakoplova te nastaje bijeli oblak kondenziranih kapljica.

Laminarno i turbulentno strujanje. Laminarno strujanje je gibanje fluida u

slojevima (lat. lamina – tanki sloj). Odvija se pri malim brzinama strujanja te pri

velikim viskoznostima fluida koje uzrokuju trenje između slojeva i međusobno

usporavanje slojeva. Turbulentno strujanje naziva se vrtložnim strujanjem.

Karakteristično je za fluide koji struje velikim brzinama i male su viskoznosti.

Hidrodinamički uvjeti određuju se na temelju Reynoldsove značajke:

v dRe

(1.15.)

gdje je v brzina strujanja fluida (m s–1), d je promjer cijevi u kojoj fluid struji (m),

je gustoća fluida (kg m–3), a je njegova dinamička viskoznost (Pa s).

Reynoldsova značajka ili Reynoldsov broj je bezdimenzijska veličina. Prilikom

strujanja Newtonovih fluida u cijevi, strujanje se smatra laminarnim kada je

Reynoldsova značajka manja od 2320. Pri optjecanju je kritična vrijednost 1.

Prirodno i prisilno strujanje. Podjela na prirodno i prisilno strujanje ovisi o

pokretačkoj sili i uzroku gibanja fluida. Fluid pokretan pomoću pumpe ili

ventilatora prisilno struji.

Slika 1.18. Prirodno strujanje zraka i strujanje kapljevine uslijed razlike u koncentraciji

15

Prirodno strujanje posljedica je razlike u svojstvima, toplini, gustoći, koncentraciji.

Prirodnim strujanjem smatra se strujanje zraka uslijed razlike u temperaturi (slika

1.18.).

Stacionarno i nestacionarno strujanje. Pri stacionarnom strujanju fluida ne

postoji promjena brzine s vremenom (dv/dt = 0) dok se kod nestacionarnog

strujanja brzina mijenja s vremenom (dv/dt 0).

16

2. MODELI REOLOŠKOG PONAŠANJA

Termin reologija prvi uvodi profesor Bingham (1928.) objasnivši ovu temu

Heraklitovom uzrečicom (izvorno je to uzrečica Simplicija iz Cilicije) panta rhei (grč.

παντα ρεϊ), odnosno „sve teče”. 1929. Američko društvo za reologiju prihvatilo je

definiciju reologije: The study of the deformation and flow of matter! Dakle, može se

reći da je reologija znanost koja se bavi proučavanjem deformacija materijala i

njihovog toka uslijed djelovanja sile.

Kako je navedeno u poglavlju 1.3.4., otpor fluida smičnoj deformaciji naziva se

dinamička viskoznost, koeficijent viskoznosti ili jednostavno viskoznost. Kada se

govori o viskoznosti nekog fluida misli se na dinamičku viskoznost Newtonovih

fluida. Ona ostaje nepromijenjena promjenom smične brzine. Kod određenih fluida,

koji se nazivaju ne-Newtonovi, viskoznost se mijenja promjenom gradijenta brzine

smicanja. Takva viskoznost naziva se prividna ili smična viskoznost.

Na slici 2.1. ilustrirane su viskoznosti različitih prehrambenih proizvoda, a koje se

mogu ocijeniti prema duljini kapi koju formiraju. Pri tome voda ima najmanju

viskoznost, a ispitani sirup čokolade najveću viskoznost. U istom smjeru raste i

jačina međumolekulskih veza u fluidu.

Slika 2.1. Ilustracija viskoznosti različitih kapljevina

Recipročna vrijednost viskoznosti naziva se fluidnost. Fluidnost se često opisuje

pomoću Deborinog broja (engl. Deborah number) koji je definirao profesor Markus

Reiner, a uključuje i elastičnost i viskoznost materijala. Deborin broj (jedn. 2.1.)

predstavlja omjer vremena potrebnog da materijal reagira na smično naprezanje, tc,

i ukupnog vremena promatrane pojave, tp.

17

c

p

tDe

t (2.1.)

Manje vrijednosti Deborinog broja ukazuju da se tvar ponaša kao fluid pokazujući

Newtonovo ponašanje. Veće vrijednosti ukazuju na izraženiju elastičnost fluida i

njegovo ne-Newtonovo ponašanje.

Profesor Reiner bio je inspiriran stihom pjesme proročice Debore iz Biblije: Planine

su tekle pred Gospodinom (engl. The mountains flowed before the Lord). Cjelokupna

reologija temelji se na premisi da sve teče ako mu damo dovoljno vremena.

Reološko ponašanje kapljevina prikazuje se modelima koji predstavljaju odnos

između smičnog naprezanja () i gradijenta brzine smicanja (dv/dy). Grafički prikaz

ovisnosti dan je reološkim dijagramom koji se naziva i reogram. S obzirom na

navedenu funkcionalnu ovisnost kapljevine se mogu podijeliti na Newtonove i ne-

Newtonove.

2.1. Newtonove kapljevine

Kapljevine kod kojih je smično naprezanje proporcionalno gradijentu brzine

smicanja nazivaju se Newtonove kapljevine, a njihovo ponašanje slijedi Newtonov

zakon viskoznosti (jedn. 1.9.). Viskoznost Newtonovih kapljevina ostaje konstantna

promjenom brzine smicanja, a iskazana je nagibom pravca u reološkom dijagramu

(slika 2.2.).

Slika 2.2. Prikaz Newtonovih kapljevina u reološkom dijagramu

Promotre li se kapljevine prikazane na slici 2.2., njihova viskoznost određuje se iz

nagiba pravaca, odnosno tangensa kuta. Slijedi da kapljevina oznake 1 ima veću

viskoznost od kapljevine oznake 2 jer je 1 > 2.

18

Viskoznost Newtonovih kapljevina mijenja se promjenom temperature, a može se

opisati izrazom:

expB

AT

(2.2.)

gdje su A i B konstante ovisne o svojstvima materijala, a T je temperatura (°C).

Povećanjem temperature doći će do smanjenja viskoznosti kapljevine (slika 1.12.).

Poznavanje funkcionalne ovisnosti viskoznosti o temperaturi vrlo je važno prilikom

mjerenja. Viskoznost vode mijenja se oko 3 % po 1 °C pri sobnoj temperaturi.

2.2. Ne-Newtonove kapljevine

Ne-Newtonove se kapljevine mogu podijeliti u dvije skupine. U prvu skupinu

spadaju Ostwald de Waeleove kapljevine koje mogu biti pseudoplastične ili

dilatantne. Drugu skupinu čine viskoplastične kapljevine koje mogu imati Herschel-

Bulkleyevo ili Binghamovo ponašanje (slika 2.3.)

Slika 2.3. Prikaz Newtonovih i ne-Newtonovih kapljevina u reološkom dijagramu

2.2.1. Ostwald de Waeleove kapljevine

Reološko ponašanje Ostwald de Waeleovih fluida opisuje se potencijskim modelom:

ndvK K

dy

(2.3.)

gdje je K koeficijent konzistencije (Pa sn), n je indeks ponašanja toka, a je oznaka

smične brzine (s–1).

19

S obzirom na indeks ponašanja toka, n, kapljevine se dijele na pseudoplastične (n <

1) i dilatantne (n > 1). Viskoznost ovih kapljevina mijenja se promjenom gradijenta

smične brzine i naziva se prividna viskoznost. Prividna viskoznost dobije se

izjednačavanjem Newtonovog modela (jedn. 1.9.) i potencijskog modela (jedn. 2.3.):

nK (2.4.)

Na temelju jednakosti slijedi da je prividna viskoznost:

1

anK (2.5.)

Prividna viskoznost predstavlja nagib tangente povučene na reološku krivulju u

određenoj točki smične brzine (slika 2.4.a). Prema indeksu ponašanja toka prividna

viskoznost dilatantnih kapljevina raste porastom smične brzine, a kod

pseudoplastičnih se smanjuje (slika 2.4.b).

a) b)

Slika 2.4. Prividna viskoznost: a) određivanje iz reološkog dijagrama, b) promjena sa

smičnom brzinom

2.2.2. Viskoplastične kapljevine

Viskoplastičnim kapljevinama smatraju se one kod kojih postoji granica tečenja, 0.

Do ove granice kapljevine se ponašaju kao elastično čvrsto tijelo, a počinju teći tek

kada je smično naprezanje veće od granice (slika 2.5.)

Ponašanje kapljevina nakon granice tečenja može se poistovjetiti s Newtonovim ili

Ostwald de Waeleovim kapljevinama, a opisuje se Binghamovim ili Herschel-

Bulkleyevim modelom.

20

Slika 2.5. Prikaz viskoplastičnih kapljevina u reološkom dijagramu

Binghamove kapljevine nakon postizanja granice tečenja imaju linearnu ovisnost

smičnog naprezanja o gradijentu smične brzine:

0 p (2.6.)

gdje je 0 granica tečenja (Pa), a p je plastična viskoznost (Pa s).

Primjeri ovakvih kapljevina su majoneza, kečap, senf, suspenzije gline, zubna pasta

i sl.

Herschel-Bulkleyeve kapljevine se nakon postizanja granice tečenja ponašaju kao

pseudoplastične ili dilatantne kapljevine:

0 HBnK (2.7.)

gdje je 0 granica tečenja (Pa), KHB je koeficijent konzistencije (Pa sn), a n je indeks

ponašanja toka.

Postoje i drugi matematički modeli kojima se može opisati reološko ponašanje

kapljevina, ali oni su specifični za određene materijale i izvedenice su spomenutih

modela. Jedan od takvih modela je Cassonov model koji se koristi za opis reološkog

ponašanja otopljene čokolade:

0,50,5 0,5

0 p (2.8.)

21

2.3. Vremenska ovisnost viskoznosti

Na slici 2.6. prikazana je podjela modela koji se koriste za opis ponašanja materijala

izloženog naprezanju, a koja uključuje i ponašanje čvrstih tijela tijekom naprezanja.

Slika 2.6. Podjela modela kojima se opisuje ponašanje materijala uslijed naprezanja

Ne-Newtonovi fluidi dijele se na vremenski ovisne i vremenski neovisne. Pri tome se

misli na vremensku ovisnost viskoznosti. U vremenski neovisne modele svrstavaju

se oni opisani u poglavlju 2.2. Njihova viskoznost mijenja se sa smičnom brzinom,

ali je tijekom vremena konstantna.

Česta je pojava kod ne-Newtonovih fluida promjena viskoznosti s vremenom pri

istom gradijentu smične brzine. Ova promjena vidljiva je u pojavi histereze u

reološkom dijagramu (slika 2.7.).

Slika 2.7. Pojava histereze zbog vremenske ovisnosti viskoznosti

22

Tiksotropija (engl. thixotropy) je pojava smanjenja viskoznosti s vremenom, a

reopeksija (engl. rheopexy) je obrnuta pojava, povećanje viskoznosti kapljevine s

vremenom. Ista kapljevina ponekad može pokazivati oba svojstva, ovisno o području

gradijenta smične brzine. Tiksotropija se uglavnom javlja kod pseudoplastičnih

kapljevina. Uslijed povećanja smične brzine dolazi do narušavanja strukture fluida

te dolazi do smanjenja viskoznosti. Smanjenjem smične brzine ponovno se

uspostavlja početna struktura, ali sporije nego što je narušena (slika 2.8.a). To ima

za posljedicu manju viskoznost pri istoj smičnoj brzini (slika 2.8.b).

a) b)

Slika 2.8. Tiksotropija i reopeksija: a) uspostavljanje početne strukture fluida, b) prikaz

promjene viskoznosti

Navedena svojstva često se susreću u biološkim kapljevinama poput sinovijalne

kapljevine koja je dilatantni fluid te ima svojstvo reopeksije. Ova kapljevina u

organizmu smanjuje trenje između zglobova, a zbog dilatantnog joj se ponašanja

povećava viskoznost uslijed povećane aktivnosti što omogućuje apsorpciju udara i

smanjenje ozljeda.

Pseudoplastično svojstvo lijeka koji se dozira putem intramuskularnih injekcija

smanjuje učestalost doziranja lijeka. Prolaskom kroz iglu, zbog velikih smičnih

brzina, dolazi do smanjenja viskoznosti kapljevine. U mišiću dolazi do sporijeg

formiranja izvorne strukture i stvaranja viskoznog sloja jer je kapljevina u

mirovanju. Viskozni sloj omogućuje otpuštanje lijeka tijekom dužeg perioda.

Kreme za sunčanje također pokazuju pseudoplastično ponašanje uz tiksotropiju,

Nanošenjem kreme na tijelo smanjuje se njezina viskoznost čime se ona lakše

razmazuje. Sporije vraćanje u prvobitni oblik, što je karakterstika tiksotropnih

kapljevina, omogućuje ravnomjerno nanošenje kreme i zaštitnog faktora.

Danas se sve češće u praksi radi na razvoju materijala koji pokazuju tiksotropiju ili

reopeksiju jer ova svojstva daju brojne prednosti proizvodima.

smanjenje gradijenta brzine

23

3. STRUJANJE NEKOMPRESIBILNIH

NE-NEWTONOVIH FLUIDA

Jednostavni odnosi koji vrijede za strujanje Newtonovih fluida ne mogu se

primijeniti za opis strujanja ne-Newtonovih fluida jer viskoznost ovih fluida ovisi o

gradijentu smične brzine:

dvfdr

(3.1.)

Zbog toga je potrebno opće izraze za protok, brzinu strujanja i pad tlaka prilagoditi

da vrijede za ne-Newtonove fluide.

3.1. Opći izraz za protok ne-Newtonovih kapljevina

Za potpuno razvijeni tok u cijevi vrijedi opći izraz za protok:

sr.V v A (3.2.)

gdje je V volumni protok (m3), vsr. je srednja brzina strujanja (m s–1), a A je površina

poprečnog presjeka cijevi.

Za cijev kružnog presjeka polumjera r, površina poprečnog presjeka definirana je

izrazom: 2

2

4

dA r

(3.3.)

Slika 3.1. Poprečni presjek cijevi i element fluida

Promotri li se element fluida debljine dr (slika 3.1.), njegova će površina biti:

2dA r dr (3.4.)

24

odnosno u integralnom obliku:

0

2

R

A r dr (3.5.)

Uvrštenjem izraza 3.5. u izraz za volumni protok (jedn. 3.2.) dobije se sljedeći oblik

kojim se opisuje volumni protok:

0

2

R

V v r dr (3.6.)

Da bi se dobio opći izraz za protok potrebno je jednadžbu 3.6. riješiti integriranjem.

Prvi korak je parcijalno integriranje jednadžbe 3.6.:

2 2

00

22 2

R Rr r dv

V v drdr

(3.7.)

odnosno skraćivanjem slijedi:

2 2

00

RR dv

V r v r drdr

(3.8.)

U drugom je koraku potrebno analizirati prvi član jednadžbe 3.8., izraz 2

0,

Rr v

kako je prikazano na slici 3.2.

Slika 3.2. Prikaz granica integrala u jednadžbi 3.8.

Granice i rješenje izraza 2

0

Rr v :

- uz stijenku cijevi r = R i v = 0 pa slijedi da je 2 0R v

- u središtu cijevi r = 0 i v = vmax pa slijedi da je 2max 0r v

25

Analiza prvog člana izraza 3.8. pokazala je da je njegova vrijednost nula. Izraz za

protok može se skratiti pa ostaje:

2

0

Rdv

V r drdr

(3.9.)

Kako bi se opći izraz za protok mogao upotrijebiti za analizu strujanja bilo koje

vrste fluida, potrebno je u izraz 3.9. uključiti funkcionalnu ovisnost smičnog

naprezanja. Izrazi li se gradijent smične brzine kao funkcija smičnog naprezanja:

dv

fdr

(3.10.)

izraz 3.9. može se napisati u sljedećem obliku:

2

0

R

V r f dr (3.11.)

Konačno, u trećem koraku je potrebno i r2dr izraziti kao funkciju smičnog

naprezanja.

Uzme li se činjenica da u cijevi na nekoj udaljenosti r, smično naprezanje ima

vrijednost , a na udaljenosti r = R, smično naprezanje poprima vrijednost R, vrijedi

odnos:

R

r

R

, odnosno,

R

r R

(3.12.)

Nadalje, kvadriranjem i deriviranjem gornjeg izraza dobit će se oblik r2dr:

2

2 2

2R

r R

(3.13.)

R

Rdr d

(3.14.)

Dobiveni izrazi (jedn. 3.14. i 3.15.) sada se uvrste u izraz za protok (jedn. 3.11.) te

se dobije konačni izraz općeg oblika jednadžbe za procjenu protoka ne-Newtonovih

fluida:

3

2

3

0

R

R

RV f d

(3.15.)

Izraz 3.15. temelj je za proučavanje strujanja svih ne-Newtonovih fluida. Prilagodbe

za pojedine vrste fluida uključuju se putem funkcionalne ovisnosti f .

26

3.2. Strujanje Ostwald de Waeleovih fluida

3.2.1. Protok

Izraz za protok Ostwald de Waeleovih fluida dobije se uvrštenjem potencijskog

modela (jedn. 2.3.) u opći izraz za protok (jedn. 3.15.). Iz izraza 2.3. slijedi:

nK

1

nf

K

(3.16.)

Protok sada ima oblik: 1

32

3

0

Rn

R

RV d

K

(3.17.)

što preuređenjem izraza prelazi u jednadžbu:

2 1

3

3 1

0

R

n

n

R n

RV d

K

(3.18.)

Rješenje ovog integrala daje izraz:

1

3

3 1

nRn

V Rn K

(3.19.)

Uzme li se u obzir da smično naprezanje na stijenci cijevi ovisi o promjeru cijevi i

gradijentu tlaka:

2R

R dp

dx

(3.20.)

dobije se konačan izraz kojim se izračunava protok Ostwald de Waeleovih fluida

prilikom strujanja u cijevi:

1

3 1

3 1 2

nn R dpV R

n K dx

(3.21.)

27

3.2.2. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi

Srednja brzina strujanja Ostwald de Waeleovih fluida dobije se dijeljenjem protoka

(jedn. 3.21.) s površinom poprečnog presjeka kružne cijevi (R2):

1 1

1

sr.

1

3 1 2

nn n

nn dp

v Rn K dx

(3.22.)

U slučaju kada je indeks ponašanja toka n = 1, a koeficijent konzistencije, K,

predstavlja viskoznost, model se pretvara u izraz za srednju brzinu strujanja

Newtonovih fluida u laminarnim uvjetima:

2sr.

1

8

dpv R

dx

(3.23.)

Raspodjela brzina u cijevi dobije se izjednačavanjem potencijskom modela (jedn.

2.3.) i općeg izraza za smično naprezanje:

2

ndv r dp

Kdr dx

(3.24.)

Izraz 3.24. potrebno je preurediti:

1 1

2

n ndv r dp

dr K dx

(3.25.)

11

1

2

nn

dpdv r dr

K dx

(3.26.)

Slijedi integriranje u granicama (slika 3.3.):

- uz stijenku cijevi r = R i v = 0

- na nekoj udaljenosti u cijevi r = r i v = v(r)


28

Dakle, integral izraza 3.26. može se pisati na sljedeći način:

11

0

1

2

v r rn

n

R

dpdv r dr

K dx

(3.27.)

ili zamjenom granica integrala:

11

0

1

2

v r Rn

n

r

dpdv r dr

K dx

(3.28.)

Rješenje integrala daje izraz za raspodjelu brzina pri strujanju Ostwald de

Waeleovih fluida u cijevi:

11 1

1

2 1

n nn

n ndp n

v r R rK dx n

(3.29.)


predstavlja viskoznost, model se pretvara u izraz za raspodjelu brzina strujanja

Newtonovih fluida u laminarnim uvjetima:

2 21

4

dpv r R r

dx

(3.30.)

Maksimalna brzina strujanja postiže se u središtu cijevi kada je r = 0. Izraz 3.29.

tada prelazi u jednadžbu kojom se definira maksimalna brzina strujanja Ostwald de

Waeleovih fluida: 1

1

max

1

2 1

nn

ndp n

v RK dx n

(3.31.)

Postave li se u omjer maksimalna brzina strujanja (jedn. 3.31.) i srednja brzina

strujanja (jedn. 3.22.) dobije se njihov odnos koji ovisi o indeksu ponašanja toka, n:

max

sr.

3 1

1

v n

v n

(3.32.)

Odnos između maksimalne i srednje brzine strujanja Newtonovih fluida iznosi 2. Za

pseudoplastične fluide ovaj odnos je manji od 2, što daje spljošteniji profil brzina u

odnosu na Newtonov fluid. Dilatantni fluidi pak stvaraju izduženiji profil, a odnos

između maksimalne i srednje brzine je veći od 2 (slika 3.4.).

29

Slika 3.4. Usporedba raspodjela brzina Newtonovih i Ostwald de Waeleovih fluida

3.2.3. Pad tlaka i faktor trenja

Pad tlaka pri laminarnom strujanju Ostwald de Waeleovih fluida izvodi se iz srednje

brzine strujanja (jedn. 3.22.), a uz preuređenje se dobije sljedeći izraz:

sr. 1

3 1 2n

n

n

dp n Kv

dx n R

(3.33.)

Uvrsti li se umjesto polumjera cijevi njezin promjer (R = d/2) dobije se izraz za

procjenu pada tlaka pri laminarnom strujanju Ostwald de Waeleovih fluida:

sr. 1

6 2 4n

n

n

p n Kv

l n d

(3.34.)


predstavlja viskoznost, model (jedn. 3.34.) se pretvara u poznatu Hagen-

Poiseuilleovu jednadžbu za pad tlaka pri laminarnom strujanju Newtonovih fluida u

cijevi:

sr.

2

32 l vp

d

(3.35.)

Hagen-Poiseuilleov zakon vrijedi samo za laminarno strujanje, dok se Darcy-

Weisbachova jednadžba može primijeniti za sva područja Reynoldsove značajke:

2sr.1

2

vp

l d

(3.36.)

Izjednačavanjem Darcy-Weisbachove jednadžbe (jedn. 3.36.) i izraza za srednju

brzinu strujanja, dolazimo do izraza za faktor trenja:

2sr.

sr. 1

1 6 2 4

2

n

n

n

v n Kv

d n d

(3.37.)

30

2sr.

6 28

n

n n

K n

nv d

(3.38.)

Kako bi se faktor trenja mogao dovesti u poznatu ovisnost o Reynoldsovoj značajci

potrebno je prvo definirati ovu značajku za Ostwald de Waeleove fluide. Poznato je

da viskoznost Ostwald de Waeleovih fluida ovisi o smičnoj brzini. Prema tome, u

izraz za Reynoldsovu značajku (jedn. 1.15.) potrebno je uvrstiti prividnu viskoznost:

1 1

a

n ndv v

K Kdy d

(3.39.)

Reynoldsova značajka sada će imati oblik:

PS 1n

v dRe

vK

d

(3.40.)

Sređivanje gornjeg izraza daje Reynoldsovu značajku za strujanje Ostwald de

Waeleovih fluida: 2

PS

n nv dRe

K

(3.41.)

Pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida uvodi se i modificirana Reynoldsova

značajka:

*PS PS 8

6 2

nn

Re Ren

(3.42.)

Poveže li se sada faktor trenja (jedn. 3.38.) s Reynoldsovom značajkom (jedn. 3.41.),

slijedi:

PS

1 6 28

nn

Re n

(3.43.)

Množenje i dijeljenje izraza 3.43. brojem osam daje sljedeći oblik jednadžbe:

PS

64 1 6 2

8

nn

Re n

(3.44.)

Konačno, uzme li se u obzir modificirana Reynoldsova značajka (jedn. 3.42.) izraz

3.44. prelazi u jednadžbu koja daje ovisnost faktora trenja o Reynoldsovoj značajci

za laminarno strujanje Ostwald de Waeleovih fluida:

*PS

64

Re (3.45.)

31

Izraz 3.45. podsjeća na poznatu ovisnost faktora trenja o Reynoldsovoj značajci pri

laminarnom strujanju Newtonovih fluida:

64

Re (3.46.)

a) b)

Slika 3.5. Ovisnost faktora trenja o: a) Reynoldsovoj značajci,

b) modificiranoj Reynoldsovoj značajci

Faktor trenja grafički se prikazuje u ovisnosti o Reynoldsovoj ili modificiranoj

Reynoldsovoj značajci. Slika 3.5. ilustrira linearnu ovisnost faktora trenja u odnosu

na Reynoldsovu i modificiranu Reynoldsovu značajku. Svaka vrijednost indeksa

ponašanja toka rezultirat će svojom linearnom ovisnošću ukoliko se faktor trenja

prikazuje u odnosu na Reynoldsovu značajku (slika 3.5.a). S druge strane, kada se

faktor trenja prikazuje u odnosu na modificiranu Reynoldsovu značajku postoji

samo jedan pravac (slika 3.5.b) koji ilustrira jednadžbu 3.45.

Faktor trenja pri turbulentnom strujanju ovisi o modificiranoj Reynoldsovoj značajci,

ali i o relativnoj hrapavosti cijevi.

*PS, ,f Re nd

(3.47.)

Prikazuje se Moodyjevim dijagramom koji u slučaju Ostwald de Waeleovih fluida

vrijedi za određenu vrijednost indeksa ponašanja toka, n (slika 3.6.).

32

a)

b)

Slika 3.6. Primjer Moodyjevog dijagrama za Ostwald de Waeleove fluide: a) n = 0,4, b) n = 0,6

Hidrodinamički uvjeti pri strujanju Ostwald de Waeleovih fluida definiraju se prema

kritičnoj vrijednosti Reynoldsove značajke. Za razliku od Newtonovih fluida pri

čijem strujanju kritična Reynoldsova značajka ima vrijednost približno 2x103, pri

strujanju Ostwald de Waeleovih fluida kritičnu vrijednost potrebno je izračunati jer

ovisi o indeksu ponašanja toka, n:

2

1*PS 2krit.

6464 2

3 1

n

nn nRe

n

(3.48.)

Na slici 3.7. grafički je prikazana ovisnost kritične vrijednosti Reynoldsove značajke

o indeksu ponašanja toka.

33

Slika 3.7. Grafički prikaz ovisnosti kritične Reynoldsove značajke o indeksu ponašanja toka

Kada indeks ponašanja toka ima vrijednost 1, dobije se kritična vrijednost

Reynoldsove značajke za strujanje Newtonovih fluida. Vrijednosti manje od 1

prikazuju područje pseudoplastičnih fluida i kritične vrijednosti uglavnom veće od

onih kod Newtonovih fluida što je i očekivano budući da se viskoznosti ovih fluida

smanjuju s povećanjem smične brzine. Područje većih vrijednosti indeksa

ponašanja toka (n > 1) odnosi se na dilatantne fluide koji imaju niže vrijednosti

kritične Reynoldsove značajke u odnosu na Newtonove fluide.

Pri utvrđivanju hidrodinamičkih uvjeta potrebno je usporediti modificiranu

Reynoldsovu značajku (jedn. 3.42.) i modificiranu kritičnu Reynoldsovu značajku

(jedn. 3.48.) za Ostwald de Waeleove fluide. Kada je * *PS PS

krit.Re Re strujanje je

laminarno, a za * *PS PS

krit.Re Re strujanje se smatra turbulentnim.

3.3. Strujanje Binghamovih fluida

3.3.1. Protok

Izraz za protok Binghamovih fluida dobije se uvrštenjem reološkog modela (jedn.

2.6.) u opći izraz za protok (jedn. 3.15.). Iz izraza 2.6. slijedi:

0 p 0

p

f

(3.49.)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 0,5 1 1,5 2 2,5

(Re P

S*) k

rit.

n

34

Uvrštenjem izraza 3.49. u opći izraz za protok, slijedi:

0

320

3p

R

R

RV d

(3.50.)

Važno je napomenuti da se granice integrala izražene smičnim naprezanjem kreću

od 0 kada počinje tečenje, do R uz stijenku cijevi. Za sve vrijednosti < 0 nema

tečenja.

Integral (jedn. 3.50.) se može rastaviti na dva dijela:

0 0

33 2

03p

R R

R

RV d d

(3.51.)

Rješenje integrala daje konačnu jednadžbu za protok Binghamovih fluida poznatu

kao Buckingham-Reinerovu jednadžba:

430 0

p

1 1 1

4 3 12R

R R

RV

(3.52.)

3.3.2. Srednja brzina strujanja i raspodjela brzina u cijevi

Srednja brzina strujanja Binghamovih fluida dobije se dijeljenjem protoka (jedn.

3.52.) s površinom poprečnog presjeka kružne cijevi (R2):

4

0 0sr.

p

1 1 1

4 3 12R

R R

Rv

(3.53.)

Raspodjela brzina kod strujanja Bighamovih fluida može se dobiti izjednačavanjem

modela za Binghamov fluid (jedn. 2.6.) i općeg izraza za smično naprezanje:

02

p

dv r dp

dr dx

(3.54.)

Izraz 3.54. sređivanjem prelazi u izraz pogodan za integriranje:

0

p p2

r dpdv dr dr

dx

(3.55.)

35

Slijedi integriranje u granicama (slika 3.8.):

- uz stijenku cijevi r = R i v = 0

- na nekoj udaljenosti u cijevi r = r i v = v(r)


Integral izraza 3.55. može se pisati u sljedećem obliku:

0

0

p p

1

2

R R

v r r r

dpdv r dr dr

dx

(3.56.)

Rješenje integrala daje izraz za raspodjelu brzina pri strujanju Binghamovih fluida

u cijevi u području gdje je r > Rp (polumjer čepa):

2 2 0

p p

1

4

dpv r R r R r

dx

(3.57.)

3.3.3. Specifičnosti strujanja Binghamovih fluida

Zbog svojih viskoplastičnih svojstava Binghamovi fluidi počinju teći tek nakon što

se dostigne granica tečenja. Zbog toga se u jednom dijelu cijevi odvija laminarno

strujanje te postoji gradijent brzine, a u središnjem dijelu cijevi, fluid se giba

jednoličnom brzinom. Koncentrični dio fluida u sredini cijevi naziva se još i čep

(engl. plug) (slika 3.9.). Unutar radijusa čepa nema gradijenta brzine jer je smično

naprezanje malo u odnosu na granicu tečenja pa nema ni razlike u brzinama

strujanja zamišljenih slojeva. Strujanje dijela fluida radijusa Rp (polumjer čepa)

naziva se strujanje čepa (engl. plug flow).

Raspodjela brzina koja nastaje u dijelu cijevi od polumjera čepa (Rp) do polumjera

cijevi (R) opisuje se izrazom 3.57.

36

Brzina gibanja čepa postiže se na udaljenosti koja odgovara polumjeru čepa (r = Rp).

Iz izraza za raspodjelu brzina (jedn. 3.57.) slijedi jednadžba kojom se izračunava

brzina strujanja čepa:

2 2 0p p p

p p

1

4

dpv R R R R

dx

(3.58.)

Ovo je ujedno i maksimalna brzina strujanja Binghamovog fluida.

Slika 3.9. Profil brzina pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi

Opći izraz za smično naprezanje može se napisati za naprezanje koje odgovara

polumjeru čepa, a ima vrijednost granice tečenja (slika 3.9.):

p

02

R dp

dx

(3.59.)

Slika 3.10. Raspodjela brzina i naprezanja pri strujanju Binghamovih fluida u cijevi

Na slici 3.10. prikazana je raspodjela brzina i naprezanja pri strujanju Binghamovih

fluida u cijevi. U središnjem dijelu cijevi, koji odgovara promjeru čepa, naprezanje je

minimalno i ima vrijednost granice tečenja. Ispod ove vrijednosti fluid ne teče.

Usporedi li se to s Newtonovim fluidima, naprezanje u osi cijevi, gdje je maksimalna

brzina strujanja, ima vrijednost nula.

37

Iz izraza 3.59. slijedi da je polumjer čepa definiran jednadžbom:

0p

2R

dp

dx

(3.60.)

Što je veća vrijednost granice tečenja to će polumjer čepa biti veći, a njegova brzina

strujanja manja. Na slici 3.11. prikazana je odnos između brzine strujanja i

promjera čepa za različite vrijednosti granice tečenja. Gornja krivulja predstavlja

fluid bez granice tečenja npr. Newtonov fluid. Krivulje ispod toga rastu u smjeru

veće vrijednosti granice tečenja. Na x-osi prikazan je omjer između polumjera čepa i

polumjera cijevi. Kako je prikazano, veća granica tečenja rezultirat će čepom većeg

promjera i znatno majom brzinom strujanja (y-os).

Slika 3.11. Odnos između brzine strujanja i polumjera čepa

0 0

R

max

v

v

r

R

38

4. DINAMIKA DVOFAZNIH SUSTAVA

Višefazno strujanje uključuje sve kombinacije strujanja u kojima postoje najmanje

dvije faze: čvrsta, kapljevita ili plinovita. Ovakav tip strujanja čest je u mnogim

industrijama, a najviše u naftno-petrokemijskoj industriji. Posebno su značajni

cjevovodi kojima se transportira plin i nafta od naftnih bušotina do kopna.

Primjer ovakvog cjevovoda je Nam Con Son cjevovod u Vijetnamu. Najduljom linijom

cjevovoda, duljine oko 400 km, transportira se plin i kondenzat od Lan Tay

platforme do kopna (slika 4.1.) Dvofazno strujanje kondenzata i plina u cjevovodu

dovodi do značajnih ušteda jer nema separacije na platformi, osim separacije vode

što je znatno jednostavnije i jeftinije, a umjesto dva cjevovoda, postoji samo jedan

kojim se transportiraju obje faze. Separacija se naknadno provodi na kopnu.

Slika 4.1. Nam Con Son cjevovod u Vijetnamu

S obzirom na kombinaciju faza dvofazno se strujanje može podijeliti u sljedeće

kategorije:

1. plin-kapljevina (engl. gas-liquid),

2. krutina-kapljevina (engl. solid-liquid),

3. krutina-plin (engl. solid-gas) i

4. kapljevina-kapljevina (engl. liquid-liquid).

4.1. Dvofazno strujanje plina i kapljevine

4.1.1. Oblici dvofaznog strujanja plina i kapljevine

Prisustvom plinovite faze u toku strujanja kapljevine znatno se mijenjaju svojstva

prvobitnog jednofaznog strujanja kapljevine. To je posljedica međudjelovanja dviju

faza te različitih fizikalnih svojstava svake faze. Plinovita faza u pravilu struji brže

od kapljevite, pa dolazi do vremenske promjene udjela faza obzirom na poprečni

presjek cijevi.

39

Obje faze mogu strujati turbulentno i laminarno. Turbulentni režim dvofaznog

strujanja započinje kod nižih vrijednosti Reynoldsove značajke nego što je to kod

jednofaznog strujanja Newtonove kapljevine (Re = 2320). Kod dvofaznog strujanja

smatra se da se već za Re > 1000 može govoriti o turbulentnom strujanju. Razlog

tome je što prisustvo druge faze uvijek remeti ustaljeno pravocrtno gibanje

kapljevine.

S obzirom na omjere i brzine strujanja plinovite i kapljevite faze nastaju različiti

pojavni oblici u horizontalnom (slika 4.2.) i vertikalnom (slika 4.3.) dvofaznom

strujanju.

Slika 4.2. Pojavni oblici u horizontalnom dvofaznom strujanju plina i kapljevine

Na slici 4.2. prikazani su pojavni oblici dvofaznog strujanja u horizontalnoj cijevi.

Smjer strelica označava povećanje brzine plinovite faze. Međutim, nastanak ovih

oblika nije slijedan i znatno ovisi o brzini strujanja kapljevine. Neki od ovih oblika

strujanja mogu se odvijati pri istim brzinama strujanja plina, ali uz različitu brzinu

kapljevine. Za točan slijed oblika potrebno je analizirati mape oblika dvofaznog

strujanja.

Mjehurasto strujanje karakterizirano je malim brzinama strujanja plina te se ova

faza pojavljuje u gornjem dijelu cijevi u obliku mjehurića.

U slojevitom strujanju obje faze struje malim brzinama. Fluid veće gustoće, u

ovom slučaju kapljevina, uvijek je na dnu cijevi. Fluidi su međusobno odvojeni u

slojevima, a međufazna površina je ravna. Slikovito se može opisati kao mirna

površina mora iznad koje lagano struji zrak. Poveća li se brzina strujanja plina,

dolazi do stvaranja valova na površini kapljevine, ali fluidi su i dalje razdvojeni u

slojevima. Takvo strujanje naziva se valovito.

Čepoliko strujanje zapravo se javlja nakon mjehurastog strujanja kada se smanji

brzina strujanja kapljevine, a poveća brzina strujanja plina. Mjehurići plina sada se

spajaju u veće te nastaju tzv. čepovi koji struje u gornjem dijelu cijevi.

Udarno strujanje nastaje kada plinovita faza struji znatno brže od kapljevite što

uzrokuje podizanje valova do gornje stijenke cijevi. Stvoreni valovi mogu izazvati

Mjehurasto

Slojevito

Valovito

Čepoliko

Udarno

Prstenasto

Raspršeno

plin

kapljevina

40

značajne udare u stijenku pa se ovo strujanje smatra vrlo nestabilnim. Udari valova

mogu rezultirati oštećenjem cjevovoda pa se ovaj oblik strujanja izbjegava u praksi.

Daljnjim povećanjem brzine strujanja plinske faze slijedi prstenasto strujanje. To

je oblik u kojem kapljevina struji uz stijenku cijevi stvarajući prsten, a plin i

raspršena kapljevina struje u središnjem dijelu cijevi. I konačno, znatno povećanje

brzine strujanja plina dovodi do najvećeg udjela plinovite faze. Zbog velike brzine

strujanja, plin raspršuje kapljevinu u sitne kapljice pa se takav oblik strujanja

naziva raspršeno strujanje.

Slični oblici strujanja pojavljuju se i prilikom vertikalnog transporta dvofaznog

sustava plina i kapljevine (slika 4.3.). U vertikalnom transportu nije moguće

ostvariti slojeviti i valoviti oblik strujanja.

Slika 4.3. Pojavni oblici u vertikalnom dvofaznom strujanju plina i kapljevine

Englesko nazivlje vrlo je maštovito u opisu oblika dvofaznog strujanja pa se za

navedene oblike strujanja mogu naći različiti nazivi:

- mjehurasto – engl. bubbly, bubble flow

- slojevito – engl. stratified-smooth flow, stratified flow

- valovito – engl. stratified-wavy flow, wavy flow

- čepoliko – engl. plug flow

- udarno – engl. slug flow

- prstenasto – engl. annular flow

- raspršeno – engl. dispersed flow, spray

- uzmiješano – engl. churn flow

- trakasto-prstenasto – engl. wispy annular flow

Mjehurasto Čepoliko UzmiješanoTrakasto-

prstenastoPrstenasto

plin

kapljevina

povećanje protoka plina

41

4.1.2. Mape dvofaznog strujanja

Prijenos količine gibanja i energije između plinovite i kapljevite faze ovisi o

geometriji sustava, međufaznoj površini i obliku/režimu dvofaznog strujanja. Pad

tlaka ili količina prenesene topline razlikovat će se za mjehurasto strujanje (plin

raspršen u kapljevini) i za prstenasto strujanje (kapljevina uz stijenku, plin u

sredini). To dovodi do različitih modela kojima se opisuje prijenos tvari, količine

gibanja i energije. Najvažniji zadatak kod dvofaznog strujanja je upravo predviđanje

režima strujanja kao i karakteristika fluida pri kojima se dolazi u prijelazna

područja.

Dakle, navedene je oblike dvofaznog strujanja potrebno na neki način kvantificirati

kako bi se moglo predvidjeti njihovo nastajanje. Tome služe mape oblika

dvofaznog strujanja (engl. flow regime maps). Mape oblika dvofaznog strujanja

način su grafičkog prikazivanja rezultata vizualnog utvrđivanja oblika strujanja. S

obzirom da su ključne veličine u formiranju oblika strujanja same brzine strujanja

faza i njihovi udjeli, mape oblika dvofaznog strujanja konstruiraju se na temelju

ovih veličina. Kada su sve vrijednosti zabilježene, ucrtavaju se linije koje

predstavljaju granice između različitih oblika strujanja.

Najjednostavniji način prikaza je mapa koja sadrži površinske brzine strujanja dviju

faza na osima (slika 4.4.). Vrijedi za horizontalno strujanje.

Slika 4.4. Najjednostavnija mapa dvofaznog strujanja

Površinska brzina strujanja kapljevite faze definirana je na sljedeći način:

LL L s

Vv v

A (4.1.)

42

gdje je vL brzina strujanja kapljevine (m s–1) , L je površinski udio kapljevite faze,

odnosno udio površine poprečnog presjeka cijevi koji zauzima kapljevina, LV je

volumni protok kapljevine (m3 s–1), a A je površina poprečnog presjeka cijevi koju

zauzima kapljevina (m2).

Na isti se način može izraziti i površinska brzina strujanja plina. Iako je ovo

najjednostavnija mapa dvofaznog strujanja, njezin je nedostatak što ne uzima u

obzir mogućnost promjene površinskog udjela faza.

Češće korištena mapa dvofaznog horizontalnog strujanja je Bakerov dijagram

(slika 4.5.). U Bakerovom dijagramu se oblik strujanja određuje na temelju masenih

flukseva obje faze i Bakerovih faktora koji ovise o svojstvima obje faze.

Slika 4.5. Bakerov dijagram – mapa oblika horizontalnog dvofaznog strujanja

Na osima Bakerovog dijagrama veličina G,Am označava maseni fluks plinovite faze

(kg m–2 s–1), a L,Am maseni fluks kapljevite faze (kg m–2 s–1). Bakerovi faktori

izračunavaju se na sljedeći način: 1

2G L

A W

(4.2.)

12 3

W L W

L W L

(4.3.)

gdje je gustoća (kg m–3), površinska napetost (N m–1), a viskoznost (Pa s).

Indeks G označava plinsku fazu, L kapljevitu fazu, A zrak pri temperaturi od 20 °C i

tlaku 101 325 Pa, a W vodu pri temperaturi od 20 °C.

43

Za procjenu oblika vertikalnog dvofaznog strujanja koristi se Hewitt-Robertsov

dijagram (slika 4.6.). Na osima se dijagrama nalaze maseni fluksevi obje faze i

njihove gustoće.

Slika 4.6. Hewitt-Robertsov dijagram – mapa oblika vertikalnog dvofaznog strujanja

4.1.3. Modeli za procjenu pada tlaka

Modeli za procjenu pada tlaka dvofaznog strujanja plina i kapljevine mogu se

svrstati u tri skupine:

- modeli homogenog strujanja,

- modeli odvojenog strujanja i

- fenomenološki modeli.

Modeli homogenog strujanja najjednostavniji su način izračuna pada tlaka.

Najpoznatiji model iz ove skupine je tzv. McAdamsova metoda. Proračun se temelji

na srednjoj vrijednosti svojstava sustava (gustoća, viskoznost, itd.), a pad tlaka

izračunava se kao i pri strujanju jednofaznih sustava. Pretpostavka je ove metoda

da se obje faze gibaju istom brzinom. Viskoznosti i gustoća dvofaznog sustava

procjenjuju se na temelju sljedećih izraza:

DS G L

1 1x x

(4.4.)

DS G L

1 1x x

(4.5.)

44

gdje je indeksom DS označena viskoznost i gustoća dvofaznog sustava, indeksom G

plinska faza, a indeksom L kapljevita faza. Veličina x predstavlja količinu plinske

faze, npr. njezin maseni udio.

Volumni protok dvofaznog sustava izračunava se na temelju volumnog protoka obje

faze:

DS G L(1 )V x V x V (4.6.)

Pad tlaka može se procijeniti na temelju poznate Darcy-Weisbachove jednadžbe za

strujanje jednofaznih sustava:

2

DS

DS

1

2

vp

l d

(4.7.)

Faktor trenja očita se iz Moodyjevog dijagrama na temelju Reynoldsove značajke

dvofaznog sustava i relativne hrapavosti cijevi (slika 4.7.).

Slika 4.7. Moodyjev dijagram

Modeli heterogenog toka zasnivaju se na pretpostavkama da u presjeku cijevi

svaka faza zauzima određenu površinu te da su moguće razlike u brzinama faza.

Postoji niz predloženih modela u literaturi, a najjednostavnijim se smatra „klasični”

Lockhart-Martinellijev postupak (1949.). Prema ovoj se metodi ukupni pad tlaka

dobije tako da se pad tlaka jedne faze pomnoži s Lockhart-Martinellijevim faktorom,

za tu istu fazu. Slijede izrazi za pad tlaka izračunatog na temelju kapljevite i

plinovite faze:

2L

DS L

p p

l l

(4.8.)

fakto

r tr

enja

,

5x10– 4

2x10– 4

5x10– 5

5x10– 6

Reynoldsova značajka, Re

Prijelazno područje

Laminarno

strujanje

Razvijeno turbulentnore

lativn

a hra

pav

ost

, /d

Potpuna turbulencija, hrapave cijevi

Apsolutna hrapavost

površine ovisi o

materijalu, ali i o

karakteristikama

površine. (Tablica)

Hidraulički glatke cijevi

45

2G

DS G

p p

l l

(4.9.)

Lockhart-Martinellijev faktor, , ovisi o tzv. Lockhart-Martinellijevom pokazatelju

dvofaznog strujanja, X, koji se može izračunati na temelju pada tlaka pojedinih

faza:

0,5

L

G

p

lX

p

l

(4.10.)

Izrazi li se pad tlaka pomoću Darcy-Weisbachove jednadžbe slijedi:

0,5

L, GL

G, G L

A

A

mX

m

(4.11.)

gdje je L,Am maseni fluks kapljevite faze (kg m–2 s–1), G,Am maseni fluks plinovite faze

(kg m–2 s–1), je faktor trenja s obzirom na Reynoldsovu značajku kapljevite ili

plinovite faze, a je gustoća kapljevite ili plinovite faze (kg m–3).

Uz poznatu vrijednost Lockhart-Martinellijevog pokazatelja dvofaznog strujanja, X,

vrijednost Lockhart-Martinellijevog faktora, , može se izračunati na temelju

sljedećih izraza:

2L 2

11

C

X X (4.12.)

2 2G 1 C X X (4.13.)

gdje je C konstanta koja ovisi o hidrodinamičkom režimu strujanja faza (tablica

4.1.).

Tablica 4.1. Vrijednosti konstanti

Kapljevina Plin Oznaka C

Turbulentno Turbulentno tt 20

Laminarno Turbulentno vt 12

Turbulentno Laminarno tv 10

Laminarno Laminarno vv 5

46

Uzevši u obzir vrijednosti konstante C (tablica 4.1.) izrazi 4.12. i 4.13. mogu se

prikazati i grafički (slika 4.8.).

Slika 4.8. Ovisnost Lockhart-Martinellijevog faktora o Lockhart-Martinellijevom pokazatelju

dvofaznog strujanja

S obzirom na dvofazno strujanje u kojem je jedna faza stlačiva, uobičajeno je u

izrazima za pad tlaka i Reynoldsovu značajku koristiti maseni protok ili maseni

fluks tvari umjesto brzine.

Bilanca tvari za dvofazno strujanje može se pisati u sljedećem obliku:

uk L Gm m m (4.14.)

gdje je m maseni protok (kg s–1).

Maseni protoci faza mogu se izraziti s obzirom na njihov udio:

L uk1m x m , odnosno G ukm x m (4.15.)

gdje je x maseni udio plina, a (1 – x) maseni udio kapljevine.

Brzina strujanja sada se može izraziti preko masenog protoka:

uk,ukL

L L

11 Ax mx mv

A

(4.16.)

47

uk,ukG

G G

Ax mx mv

A

(4.17.)

gdje je uk,Am ukupni maseni fluks tvari (kg m–2 s–1), odnosno maseni protok

podijeljen s površinom poprečnog presjeka cijevi ukm A .

Reynoldsova značajka za kapljevitu fazu može se izraziti preko masenog protoka ili

fluksa na sljedeće načine:

uk ukL

L L

1 4 1x m d x mRe

A d

(4.18.)

uk,

L

L

1 Ax m dRe

(4.19.)

4.2. Dvofazno strujanje krutine i kapljevine (transport suspenzija)

Dvofazno strujanje krutine i plina često se nalazi pod pojmom transport suspenzija.

Suspenzija je mješavina kapljevine i čvrstih čestica. U engleskom se koristi naziv

slurry, a kada se radi o gustim suspenzijama tada se one nazivaju sludge (mulj).

Ovaj oblik transporta čest je u proizvodnji fosfata, vađenju ugljena i minerala i sl.

Kapljevita faza najčešće je voda, ali može biti i neka druga kapljevina. Jaružanje,

iskapanje pijeska i mulja, najčešće radi produbljenja plovnog puta, je također

primjer u kojem nastaju suspenzije koje je potrebno transportirati.

Kako bi se suspenzije mogle uspješno i ekonomično transportira cjevovodom,

trebaju biti zadovoljeni sljedeći uvjeti:

1. Čvrsta faza ne smije reagirati s fluidom ili stijenkom.

2. Trenje tijekom transporta mora biti zanemarivo.

3. Maksimalna veličina čestica mora biti takva da se mogu koristiti standardne

pumpe, cijevi i ostala oprema.

4. Čvrste čestice i suspenzija moraju biti lako mješljive i lako se razdvajati.

5. Čvrsta tvar ne smije biti korozivna sama za sebe ili u kontaktu sa fluidom.

Gustoća dvofazne mješavine čvrstih čestica i kapljevine može se izračunati na

temelju pojedinačnih gustoća i udjela faza:

m d L1V V (4.20.)

m d L

11 mm

(4.21.)

gdje je m gustoća mješavine (kg m–3), d gustoća čvrste faze (kg m–3), L gustoća

kapljevine (kg m–3), V je volumni udio čvrste faze, a m je maseni udio čvrste faze.

48

Pri transportu suspenzija mogu se javiti različiti oblici strujanja koji se nazivaju

režimi strujanja. Oni ovise o brzini strujanja, promjeru cijevi, svojstvima čvrste faze,

veličini čestica i gustoći čestica i kapljevine.

Režimi strujanja ilustrirani su na slikama 4.9. i 4.10.

Slika 4.9. Režimi strujanja koji nastaju pri transportu suspenzija s obzirom na brzinu

strujanja

Slika 4.10. Režimi strujanja koji nastaju pri transportu suspenzija s obzirom na veličinu

čestica i brzinu strujanja

49

Homogeni tok je onaj u kojem su čestice ujednačeno raspoređene po presjeku

cijevi. Čestice su vrlo sitne (< 50 m) pa sporo talože. Čvrsta faza značajno utječe na

tok kapljevine. Homogene suspenzije često se nazivaju i netaložeće suspenzije.

Primjeri takvog transporta su suspenzije kanalizacijskog mulja, detergenta, ugljena,

papirne pulpe, vapnenca i sl.

Kod heterogenog toka postoji koncentracijski gradijent u presjeku cijevi. Čestice

su veće od onih kod homogene suspenzije (> 50 m) pa su sklone taloženju. Zbog

toga dio čestica struji nešto manjom brzinom od brzine kojom struji kapljevina.

Heterogena suspenzija i klizajući sloj. Ovaj režim javlja se kada su brzine

strujanja čestica znatno manje od brzine strujanja kapljevine. Velike čestice talože

na dnu, ali uslijed velike brzine strujanja kapljevine, sloj na dnu cijevi klizi

određenom brzinom.

Poskakivanje (engl. saltation) je režim koji nastaje kada su u suspenziji prisutne

relativno velike čestice. Čestice tvore mirujući sloj na dnu cijevi. Za razliku od

prethodnog režima u kojem sloj klizi, ovdje se na dnu cijevi formira sloj u kojem

nema nikakvog gibanja. Povećanjem brzine strujanja kapljevine dolazi do

poskakivanja čestica na površini mirujućeg sloja te na taj način dolazi do

transporta čestica. Primjer ove vrste transporta može se naći u formiranju pješčanih

dina uslijed strujanja vjetra. Dio pijeska koji čine sitne čestice, nošen je strujom

zraka, dok krupnije čestice poskakuju po površini mijenjajući svoje mjesto i

formirajući novu dinu (slika 4.11.).

Slika 4.11. Formiranje pješčanih dina režimom poskakivanja

4.2.1. Reološki modeli homogenih suspenzija

Iako suspenzije nisu u potpunosti homogene, stanje homogenosti je vrsta graničnog

stanja koje suspenzija približno može postići prilikom strujanja. U ovakvim su

suspenzijama čestice obično malih veličina pa vrlo sporo talože. S obzirom na

njihovu pseudo-homogenu strukturu, za transport ovakvih suspenzija mogu se

primijeniti zakoni očuvanja koji vrijede pri strujanju jednofaznih sustava. Kao i

kapljevine, homogene suspenzije mogu pokazivati Newtonovo i ne-Newtonovo

50

ponašanje. Pri višim se koncentracijama homogene suspenzije ponašaju kao jedna

faza, ali reološko ponašanje im je različito od onog koje ima sama kapljevina unutar

suspenzije.

Suspenzije s malim udjelom čvrste faze (volumni udio manji od 10 %) mogu

pokazivati Newtonovo ponašanje (jedn. 1.9.). Viskoznost suspenzije moguće je

izmjeriti ukoliko čestice sporo talože, ali i procijeniti na temelju empirijskih izraza.

U slučaju rijetkih suspenzija (V < 10 %) i ujednačenih sferičnih čestica, za

predviđanje viskoznosti suspenzije koristi se Einsteinova jednadžba:

susp. L 1 2,5 V (4.22.)

gdje je susp. viskoznost suspenzije (Pa s), L viskoznost kapljevine (Pa s), a V je

volumni udio čvrste faze.

Einsteinova jednadžba ne uzima u obzir veličinu čestica i njihovo međudjelovanje u

suspenziji. Zbog toga Batchelor (1977.) dodaje još jedan član u Einsteinovu

jednadžbu koji uključuje ova međudjelovanja:

2susp. L 1 2,5 6,2V V (4.23.)

Batchelorova jednadžba prisutna je u literaturi u različitim oblicima koji uključuju

variranje konstante u zadnjem članu 26,2 V od vrijednosti 5 do 15.

Teorija rijetkih suspenzija primjenjiva je kada je volumni udio čvrste faze manji od

10 % pri čemu je viskoznost suspenzije do 40 % veća od kontinuirane faze.

Većina suspenzija ipak pokazuje pseudoplastična svojstva. Pseudoplastično

ponašanje pripisuje se stvaranju agregata koji pružaju manji otpor smicanju od

potpuno dispergiranih čestica. Viskoznost takvih suspenzija ovisi o smičnoj brzini,

a definirana je kao prividna viskoznost suspenzije. Ponašanje psudoplastičnih

suspenzija u potpunosti je isto kao i ponašanje pseudoplastičnih kapljevina opisano

u poglavlju 2.2.1. Poznati su i primjeri homogenih suspenzija koje se opisuju kao

viskoplastične i počinju teći nakon postizanja određene granice tečenja. Njihovo

ponašanje opisuje se Binghamovim ili Herschel-Bulkleyevim modelom (poglavlje

2.2.2.).

4.2.2. Viskoznost koncentriranih suspenzija

Viskoznost koncentriranih suspenzija značajno odstupa od poznatog ponašanja

Newtonovih i ne-Newtonovih kapljevina ili suspenzija (slika 4.12.). Pseudoplastične

suspenzije pokazuju smanjenje viskoznosti povećanjem smične brzine, dok se kod

dilatantnih suspenzija viskoznost povećava. Međutim, koncentrirane suspenzije ne

51

pokazuju pravilan trend promjene viskoznosti te ne postoji reološki model koji bi

jednostavno opisao tu promjenu.

Slika 4.12. Promjena viskoznosti koncentriranih suspenzija povećanjem smične brzine

Na slici 4.12. prikazana je promjena viskoznosti koncentriranih suspenzija

povećanjem smične brzine. Može se uočiti da je pri malim smičnim brzinama

viskoznost konstantna. Ovo područje naziva se Newtonov plato malih smičnih brzina

(A). Brownovo gibanje dominira u koncentriranim suspenzija u stanju mirovanja i

pri malim smičnim brzinama. Struktura koju stvaraju čestice je potpuno slučajna,

a viskoznost suspenzije (visina platoa) će ovisiti o volumnom udjelu čvrste faze.

Povećanjem smične brzine dolazi do narušavanja slučajne strukture čestica, one se

počinju preferirano grupirati i orijentirati kako bi pružile što manji otpor. Zbog toga

dolazi do smanjenja viskoznosti i izraženog pseudoplastičnog ponašanja. Daljnje

povećanje smične brzine dovodi do područja u kojem je hidrodinamički utjecaj

značajniji od Brownovog gibanja. Čestice poprimaju potpuno organiziranu

strukturu (list, linija) koja pruža najmanji otpor gibanju. Pri istom udjelu čvrste faze,

viskoznost suspenzije organizirane strukture bit će znatno manja od one koju će

imati suspenzija slučajne strukture. Postizanje organizirane strukture očituje se u

ponovnom postizanju konstantne vrijednosti viskoznosti, a područje se naziva

Newtonov plato velikih smičnih brzina (B).

A

B

52

Postoji velik broj empirijskih modela kojima se može opisati promjena viskoznosti

koncentriranih suspenzija. Jedan od njih je Krieger–Doughertyjev model:

,maks.

*susp. L

,maks.

1

V

V

V

(4.24.)

gdje je *susp. viskoznost suspenzije (Pa s), V volumni udio čvrste faze, ,maks.V

maksimalni faktor pakiranja, odnosno maksimalni volumni udio čvrste faze kod

kojeg je koncentracija suspenzije takva da ona više ne može teći, a viskoznost

suspenzije teži u beskonačnost; [] je intrinzička viskoznost. Vrijednosti

maksimalnog faktora pakiranja i intrinzičke viskoznosti ovise o veličini i raspodjeli

veličina čestica, a vrijednosti su tabelirane za poznate sustave.

4.2.3. Pad tlaka pri strujanju homogenih i heterogenih suspenzija

Homogene suspenzije.

Pad tlaka se kod svih vrsta strujanja može opisati Darcy-Weisbachovom

jednadžbom. Ukoliko se radi o homogenim ne-Newtonovim suspenzijama

pseudoplastičnog ponašanja potrebno je uzeti u obzir hidrodinamiku Ostwald de

Waeleovih fluida. Pad tlaka može se izračunati na temelju izraza 3.36. u kojem

faktor trenja ovisi o modificiranoj Reynoldsovoj značajci i o relativnoj hrapavosti

cijevi (jedn. 3.47.). Postupak proračuna isti je kao kod strujanja Ostwald de

Waeleovih fluida kako je opisano u poglavlju 3.2.3.

Pad tlaka pri laminarnom strujanju homogenih suspenzija koje pokazuju

Binghamovo ponašanje izvodi se iz Buckingham-Reinerove jednadžbe za srednju

brzinu strujanja:

4

0 0sr.

p

1 1 1

4 3 12R

R R

Rv

(4.25.)

Budući da je granica tečenja znatno manja od naprezanja uz stijenku 0 R

zadnji član u izrazu 4.25. se može zanemariti pa slijedi:

0sr.

p

1 1

4 3R

R

Rv

(4.26.)

Sređivanjem gornjeg izraza slijedi jednadžba:

sr. 0

p

4

3R

Rv

(4.27.)

53

Smično naprezanje uz stijenku cijevi može se izraziti putem općeg izraza za

naprezanje:

2R

R dp

dx

(4.28.)

Uvrštenjem izraza 4.28. u izraz 4.27. slijedi jednadžba kojom se opisuje pad tlaka

pri strujanju Binghamovih homogenih suspenzija u laminarnim uvjetima:

p sr. 0

2

32 16

3

vp

l dd

(4.29.)

Izraz 4.29. ima oblik poznate Hagen-Poiseuilleove jednadžbe koja je prilagođena za

Binghamove fluide uzimajući u obzir njihovo viskoplastično ponašanje i granicu

tečenja, 0.

Slika 4.13. Ovisnost Fanningovog faktora trenja o Reynoldsovoj i Hedstromovoj značajci

Ukoliko je strujanje homogenih Binghamovih suspenzija turbulentno, pad tlaka se

izračunava iz Darcy-Weisbachove jednadžbe (jedn. 3.36.). Faktor trenja ovisi o

Reynoldsovoj i Hedstromovoj značajci i može se očitati iz dijagrama (slika 4.13.):

, f Re He (4.30.)

Reynoldsova značajka za Binghamove fluide može se izračunati iz izraza:

sr. m

p

v dRe

(4.31.)

gdje je vsr. srednja brzina strujanja (m s–1), d promjer cijevi (m), p je plastična

viskoznost (Pa s), a m gustoća dvofazne mješavine (kg m–3) (jedn. 4.20. ili 4.21.).

54

Hedstromova značajka definirana je sljedećim izrazom:

2

0 m

2p

dHe

(4.32.)

gdje je 0 granica tečenja (Pa), a ostale veličine jednake kao i u izrazu 4.29.

Fanningov faktor trenja (slika 4.13.), f, često se može naći u literaturi, pa i u

Moodyjevom dijagramu. Faktor trenja, , povezan je s Fanningovim faktorom

sljedećim izrazom:

4 f (4.33.)

Heterogene suspenzije.

Pri transportu heterogenih suspenzija važno je odrediti kritičnu brzinu taloženja.

Ako se transport provodi pri manjim brzinama, čestice će taložiti i začepiti cjevovod.

Kako bi se ostvarila brzina veća od brzine taloženja čestica potrebno je procijeniti

pad tlaka u cjevovodu. Kritična brzina i pad tlaka ovise o: veličini čestica, promjeru

cijevi, udjelu čvrste faze, gustoći čestica itd. Pad tlaka procjenjuje se na temelju

empirijskih izraza.

Slika 4.14. Pad tlaka u ovisnosti o brzini strujanja suspenzije

Općenito se može ustvrditi da se homogene suspenzije ponašaju kao Newtonovi ili

ne-Newtonovi fluidi te da za njih vrijede iste zakonitosti. Hidrodinamički se uvjeti

mogu podijeliti na laminarne i turbulentne. S druge strane, heterogene suspenzije

55

predstavljaju problem u transportu jer vrlo brzo talože što može uzrokovati

začepljenje cjevovoda.

Kod transporta suspenzija koje talože, strujanje pri brzinama manjim od kritične

brzine taloženja uzrokuje porast gubitka energije, pada tlaka (slika 4.14.). Zbog

taloženja čestica dolazi do smanjenja površine poprečnog presjeka što uzrokuje

povećani otpor. Stoga bi transport heterogenih suspenzija trebalo provoditi iznad

kritične brzine taloženja gdje se ostvaruje heterogeni režim i nema mirujućeg sloja

na dnu stijenke.

4.3. Dvofazno strujanje krutine i plina (pneumatski transport)

Dvofazno strujanje krutine i plina naziva se pneumatski transport. Čvrsti materijal

transportira se pomoću struje zraka ili nekog drugog inertnog plina. U prošlosti se

glavnina pneumatskog transporta provodila uz mali udio čvrste faze pri velikim

brzinama plina. 1960.-ih počinje razvoj sustava pneumatskog transporta tzv. gustih

sustava, koji sadrže veliki udio čvrste faze, pri malim brzinama. U ovakvim

sustavima čestice nisu potpuno suspendirane u struji zraka.

Pneumatski transport razrijeđenih sustava (engl. dilute phase transport) provodi se

pri brzinama strujanja plina manjim od 20 m s–1. Razrijeđenim sustavima smatraju

se oni u kojima je volumni udio čvrste faze manji od 1 % (slika 4.15.a). Transport

ovakvih sustava provodi se kontinuirano na manjim udaljenostima. Kapacitet je oko

10 t h–1 pri čemu je pad tlaka do 5 mbar m–1. Dominirajuće sile između čestica i

fluida osiguravaju potpunu suspendiranost čestica.

Pneumatski transport gustih sustava (engl. dense phase transport) provodi se pri

malim brzinama strujanja, 1 – 5 m s–1. Volumni udio čvrste faze veći je od 30 %.

Čestice nisu u potpunosti suspendirane u plinu (slika 4.15.b), a pad tlaka je veći od

20 mbar m–1. Dominiraju interakcije između čestica.

a)

b)

Slika 4.15. Pneumatski transport: a) razrijeđenih sustava, b) gustih sustava

Brzina gušenja (engl. choking velocity) u vertikalnom transportu i brzina

poskakivanja (engl. saltation velocity) u horizontalnom transportu predstavljaju

granicu između navedenih načina transporta.

56

4.3.1. Vrste sustava pneumatskog transporta

Pneumatski transportni sustavi obično se u cijelosti naručuju kod specijaliziranog

proizvođača.

Dva su osnovna tipa sustava:

1. Sustav s vakuumom za koji je karakterističan mali kapacitet i mali pad tlaka.

Materijal se transportira s nekoliko sabirnih mjesta na jedno zajedničko.

2. Sustav pod tlakom za koji je karakterističan veći kapaciteti i veći pad tlaka.

Materijal se transportira pod tlakom s jednom mjesta na nekoliko različitih.

Na slici 4.16. prikazan je primjer pneumatskog i tlačnog transporta zrna kukuruza

kokičara tvrtke Coperion K-tron (www.ktron.com).

a)

b)

Slika 4.16. Pneumatski transport zrna kukuruza kokičara: a) tlačni sustav, b) vakuum

sustav

57

4.3.2. Proračun pada tlaka

I tlačni i vakuum sustavi dimenzioniraju se na isti način, izračunom energije

potrebne za transport željene količine materijala. U pneumatskom transportu, kao i

u transportu heterogenih suspenzija, važno je imati na umu tzv. brzinu

poskakivanja. Brzina poskakivanje je kritična brzina ispod koje dolazi do znatnog

taloženja čestica, a u konačnici i do začepljenja cjevovoda.

Slika 4.17. Promjena pada tlaka u ovisnosti o brzini strujanja plinovite faze

Na slici 4.17. prikazana je promjena pada tlaka u ovisnosti o brzini strujanja

plinovite faze. Linije CDEF i GH predstavljaju linije pada tlaka za dvofazne sustave

različitih masenih flukseva čvrste faze; linija GH odnosi se na veći maseni fluks

čvrste faze. Linija AB predstavlja liniju pada tlaka koja je posljedica strujanja čiste

plinovite faze.

U točki C je brzina strujanja plina dovoljno velika da su čestice potpuno

suspendirane, a koncentracija vrlo mala. Čestice ne talože na površinu cijevi. Pri

ovoj se brzini odvija transport razrijeđenih sustava. Smanjenjem brzine strujanja

dolazi do smanjenja pada tlaka, što je i očekivano, a time i do smanjenjem brzine

gibanja čestica. Kada se brzina toliko smanji da dosegne točku D, struja plina više

nije dostatna da čestice ostanu suspendirane pa dolazi do taloženja na površini

cijevi. Brzina kod koje se to događa naziva se brzina poskakivanja. U trenutku

kada dio čestica počinje taložiti na površini cijevi dolazi do naglog pada tlaka pri

istoj brzini strujanja (DE). Daljnjim smanjenjem brzine (EF) sve više čestica taloži, a

pad tlaka raste zbog smanjenja slobodne površine poprečnog presjeka. Iste

promjene mogu se uočiti pri većem masenom fluksu čvrste tvari (GH), ali se brzina

poskakivanja pomiče prema većim vrijednostima.

U pneumatskom transportu, kao i u transportu suspenzija, brzina strujanja mora

biti veća od brzine poskakivanja.

58

Pad tlaka u horizontalnom pneumatskom transportu sastoji se od pada tlaka:

- zbog strujanja plina (pG),

- zbog strujanja čestica (pS) i

- uslijed ubrzanja čestica do konstantne brzine (pak.).

uk. G S ak.p p p p (4.34.)

Pad tlaka zbog strujanja plinovite faze (pG) može se izračunati na temelju Darcy-

Weisbachove jednadžbe:

22G,G G

G G G2 2

Amvl lp

d d

(4.35.)

gdje je G faktor trenja, l duljina cijevi (m), d promjer cijevi (m), vG brzina strujanja

plinovite faze (m s–1), G gustoća plinovite faze (kg m–3), a G,Am maseni fluks plinovite

faze (kg m–2 s–1) .

Pad tlaka koji nastaje uslijed strujanja čestica (pS) također se izračunava

pomoću Darcy-Weisbachove jednadžbe uzimajući u obzir opterećenje zračne struje:

2S G

S S2

vlp

d

(4.36.)

Opterećenje zračne struje predstavlja omjer masenih protoka čvrste i plinovite faze:

S

G

m

m (4.37.)

Faktor trenja za čvrstu fazu izračunava se iz empirijskog izraza:

*S r2

r

2v

v Fr

(4.38.)

gdje je Barthov parametar, vr relativna brzina strujanja čvrste faze u odnosu na

plinovitu fazu, a * je empirijski parametar koji se pronalazi u literaturi kao

tabelirana vrijednost.

Froudeova značajka, Fr, ovisi o brzini strujanja plina i promjeru cijevi:

2GvFr

g d

(4.39.)

59

Pad tlaka zbog ubrzanja čestica (pak.) nastaje uslijed sile inercije koja uzrokuje

ubrzanje čestica. Sila otpora jednaka je sumi sile trenja i sile inercije:

D tr. iF F F (4.40.)

Izjednačavanjem sile otpora i sile inercije slijedi:

SS

dvA p m

dt (4.41.)

Sila inercije može se dalje raščlaniti:

SS S S G G S

dvm m dv V dv

dt (4.42.)

Izjednačavanjem izraza 4.41. i 4.42. slijedi:

G G SA p v A dv (4.43.)

odnosno:

G G Sp v dv (4.44.)

Množenjem i dijeljenjem izraza 4.44. s 2vG slijedi:

GG G S

G

2

2

vp v dv

v (4.45.)

Relativna brzina strujanja čvrste faze u odnosu na plinovitu fazu iskazuje se kao

omjer brzina strujanja pojedinih faza:

Sr

G

vd vv

(4.46.)

Sređivanjem jednadžbe 4.45. dobije se izraz kojim je definiran pad tlaka uslijed

ubrzanja čestica do konstantne brzine:

2G G

ak. r22

vp v

(4.47.)

Sjedinjenjem tri komponente pada tlaka (jedn. 4.35., jedn. 4.36. i jedn. 4.47.) slijedi

konačan izraz na temelju kojeg je moguće procijeniti ukupni pad tlaka

pneumatskog transporta u horizontalnom cjevovodu:

2 2 2G G S G G G

uk. G S r22 2 2

v v vl lp v

d d

(4.48.)

Mehanika fluida - 2.dio, Matijašić

Documents