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1 El Mtodo de Elementos Finitos (MEF)
1.1 Funciones de prueba por tramos
Los mtodos de residuos ponderados son muy poderosos,
principalmente el mtodo de Galerkin, peropresentan una limitacin
importante: no establecen una manera sistemtica para elegir el
conjunto defunciones de prueba necesario para determinar la forma
de las aproximaciones
^u (que se establecen para
todo el dominio ).
Las funciones de prueba que se utilizan para armar^u son
arbitrarias, salvo por los requisitos de
independencia, continuidad y deribabilidad que deben cumplirse
para todo el dominio . Quien quieraresolver un problema deber
elegir entre distintas posibilidades, lo cual puede no resultar muy
claro enalgunos casos. Lo que s esta claro es que la calidad de la
solucin que se obtenga depender fuertementede las propiedades de
las funciones que se elijan. El problema empeora cuando se trata de
probemas endos y tres dimensiones donde el contorno del dominio
suele ser de geometra complicada y las funcionesNm deben
disearsepara satisfacer las condiciones en esos bordes. Por otra
parte, una mala eleccinde las funciones de prueba puede resultar en
una matriz de coecientes K mal condicionada lo cual haceque sea
difcil o imposible encontrar su solucin con un grado de aproximacin
suciente.Una manera alternativa de armar
^u es hacerlo por tramos. Esto signica dividir el dominio en
subdominios e a los que llamaremos elementos, los cuales no
deben superponerse, y elegir las expresionespara
^u que valdrn para cada uno de los subdominios de la particin.
La integral del residuo que
esta denida sobre todo el dominio, por propiedad de las
integrales, se obtendr como la suma de lascontribuciones de las
integrales sobre cada uno de los subdominios o elementos, es
decir:
Z
Wl R d =
NEXe=1
0@Z
e
Wl R d
1A (1a)Z
W l R d =NEXe=1
0@Ze
W l R d
1A (1b)No perdiendo de vista que:
=NEXe=1
e (2a)
=NEXe=1
e (2b)
donde NE representa el nmero de subdivisiones e (nmero de
elementos) en los que se ha divididoel dominio y e es la parte del
subdominio e que se encuentra sobre .
1
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Figura1: Discretizacin conelementos
1.1.1 Aproximacin mediante funciones de forma denidas por
tramo
En la Fig.[2] el dominio = [0; L] se ha dividido eligiendo
puntos xi (i = 1; 2; :::;M) que pertenecen a ,siendo x1 = 0 y xM =
L. Cada elemento e se dene como el intervalo xe x xe+1. A la
subdivisindel dominio la denominaremos discretizacin. En la misma
gura se muestra la aproximacin de unafuncin u cualquiera en un
dominio unidimensional utilizando colocacin por puntos, eligiendo
comopuntos de colocacin a los puntos medios de cada elemento, a los
que denominaremos nodos.
Figura 2: Aproximacin con elementos constantes
Como resultado de esto, la aproximacin^u tiene valor constante
dentro de cada elemento (subdo-
minio), resultando una funcin discontinua en los puntos donde un
elemento se conecta con sus vecinos.
2
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Figura 3: Funciones de prueba constantes
La funcin^u puede escribirse en este caso:
u ' ^u =M1Xm=1
^umNm en (3)
Nm =
1 si e = m0 si e 6= m
(4)
Donde Nm es una funcin de forma global discontinua, como puede
observarse en Fig.[3], que tiene
valor 1 en el elemento m y cero en el resto del dominio;^um es
el parmetro que toma el valor de la
funcin u en el nodo m.Si se piensa la aproximacin desde el punto
de vista de los elementos, esta resulta:
u ' ^u = ueNe = ^ue en el elemento e (5)La aproximacin que se
obtendr no va a coincidir en los extremos (x = 0 y x = L) con los
valores
que toma la funcin original u en esos puntos. Una manera de
obtener una mejor aproximacin seradisminuir la longitud de los
elementos que tienen como punto medio a los nodos 1 y M 1.Otro
aspecto de la gura, que guarda relacin con el mtodo de elementos
nitos, es que se numeran
los nodos y los elementos (las numeraciones son independientes
una de la otra) numeracin que en estecaso tan simple es muy
obvia.En Fig.[4] se muestra la misma subdivision del dominio que en
Fig.[2], pero se utilizan funciones
lineales dentro de cada elemento, resultando una mejor
aproximacin. En este caso los nodos coincidencon los extremos del
elemento. Otra particularidad es que a cada nodo m se le asocia una
funcin Nmglobal con las siguientes propiedades:
es no nula dentro de los elementos que se encuentran conectados
por el nodo m es nula en los restantes elementos (elementos que no
contienen al nodo m) Nm = 1 en x = xm Nm = 0 en xj 6= xm (xj y xm
son las coordenadas x de los nodos j y m respectivamente)
3
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Figura 4: Aproximacin con elementos lineales
Desde un punto de vista global, nuevamente:
u ' ^u =M1Xm=1
^umNm en (6)
Figura 5: Funciones de prueba lineales
Donde, ahora tenemos que, si los nodos consecutivos i; j; k:
Nj (x) =
8
-
u ' ^u = uiNei + ujNej en el elemento e (9)Donde:ui y uj son los
valores que toma la funcin u en el nodo i y en el nodo j
respectivamenteNei y N
ej son funciones de interpolacinlineales que se denen como:
Nei =he (x xi)
he(10)
Nej =(x xi)he
he = xj xiPara encontrar los coecientes de la aproximacin
debemos plantear el residuo, si se utiliza Galerkin
(Wl = Nl), puede escribirse como:
LZx=0
Nl
u ^u
dx (11)
Restan ahora seguir los pasos ya vistos para residuos
ponderados.(Se sugiere utilizar funciones denidas por tramos
lineales para encontar una aproximacin a la funcin
propuesta en el ejemplo 1 de la seccin Antecedentes del mtodo de
elementos nitos).
1.2 Aproximacin a la solucin de ecuaciones diferenciales.
Veremos ahora como utilizar las funciones de prueba denidas en
la seccin anterior para resolver ecua-ciones diferenciales. La
forma general de una ecuacin diferencial:
A(u) = L(u) + p = 0 en (12)y de las condiciones de borde
asociadas
B(u) =M(u) + r = 0 en (13)Si aplicamos residuos ponderados para
obtener una aproximacin discretaZ
Wl R d+
Z
W l R d = 0 (14)
R = A(^u) = L(^u) + p en (15a)
R = B(^u) =M(^u) + r en (15b)
Cuando se denieron las funciones por tramos en la seccin
anterior, en el primer caso teniamos unafuncin discontinua entre
elementos y en el segundo una funcin continua pero con derivadas
discontinuasentre elementos. Observando (14) vemos que contiene
derivadas de la funcin aproximada. Surge ahorala pregunta: ser
posible utilizar este tipo de funciones de aproximacin?
5
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1.2.1 Condiciones de continuidad
Para obtener una respuesta a la pregunta planteada, se analizan
los siguientes tres tipos de funciones deaproximacin en la vecindad
del punto de unin o entre dos elemetos:
funcin discontinua en o (Fig.[6a)]) funcin continua en o, pero
su derivada primera es discontinua en o (Fig.[6b)]) la funcin y su
derivada primera son continuas en o pero la derivada segunda de la
funcin esdiscontinua en o (Fig.[6c)])
Figura 6: Funciones de forma y sus derivadas en la union de dos
elementos (1D)
Estas tres funciones tendrn valores innitos de la derivada
primera, segunda y tercera en el punto orespectivamente. Para
evaluar las integrales de la expresin de residuos ponderados (14)
sera deseableno tener esos valores innitos porque se indetermina la
forma integral.Entonces podemos observar que si los operadores L()
yM() contienen derivadas de orden d, apare-
cern derivadas de orden d en nuestra expresin (14), entonces
debemos asegurarnos que las funciones Nmtengan derivadas continuas
de orden d1. Diremos entonces que nuestras funciones requieren
continuidadde orden d 1, y utilizaremos la notacin Cd1.
6
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Si en L() y M() no aparecen derivadas (d = 0) podremos utilizar
la primera funcin denida portramos (Fig.[6a) ]); si aparecen
derivadas primeras (d = 1) podremos utilizar la segunda funcion
denidapor tramos (Fig.[ 6b)]) continuidad C0 y si aparecen
derivadas segundas utilizar concontinuidad C1
(Fig.[6c ]).Las condiciones de continuidad que deben cumplir las
funciones de prueba tambin son exigibles a las
funciones de peso Wl. En el caso de colocacin por puntos, estos
requerimientos no se cumplen pero estaexcepcin es permisible dado
que la integral del residuo toma un valor nito. En general no se
utilizanfunciones de peso especiales. Las condiciones de
continuidad establecidas constituyen condicin sucientepara que sea
vlido utilizar las funciones de peso Wl.Si reemplazamos a u por
^u denida como en (9) en la expresin del residuo (14) se
tiene:
Z
Wl
L(^u) + p
d+
Z
W l
M(^u) + r
d = 0 (16)
Z
Wl L(^u)d+Z
Wlp d+
Z
W lM(^u)d +Z
W lrd = 0
Al agrupar trminos convenientemente, se obtienen:
Klm =
Z
Wl L(^u)d+Z
W lM(^u)d (17)
fl =
Z
Wlp d+
Z
W lrd
1.3 Clculos bsicos del mtodo de elementos nitos. Problemas
unidimen-sionales (1D)
Los pasos a seguir para obtener la solucin aproximada a un
problema especco, combinando las opcionesmas ventajosas ya
presentadas, pueden ordenarse segn la siguiente lista:
Establecer el problema (ecuacin diferencial y condiciones de
contorno, -forma fuerte del problema-) Planteo del residuo
Encontrar la forma dbil del residuo Eleccin de las funciones de
peso y de prueba (denidas por tramos y teniendo en cuenta
lascondiciones de continuidad, -Galerkin-)
Discretizar el dominio (establecer los subdominios) Evaluar las
integrales (obtener los coecientes Klm y fl ) Aplicar las
condiciones de borde (*) Resolver el sistema de ecuaciones
algebraicas.
((*) Este item ha estado implcito en el proceso de clculo, pero
deja de estarlo cuando se utiliza ladescripcin local y el proceso
de ensamble que se presentan ms adelante).Antes de proceder a
aplicar estos pasos a un ejemplo, se analizan algunas
consideraciones a tener en
cuenta al utilizar funciones de discontinuas denidas por tramo
para resolver ecuaciones difereciales.
7
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1.3.1 Propiedades de la matriz K y del vector f
Examinaremos algunas propiedades de la matriz de coecientes y
del vector de trminos independientes.
Aditividad Esta propiedad se deriva de la propiedad del clculo
de integrales, respecto de su dominio.La expresin general para
obtener el coeciente Klm es:
Klm =
Z
Wl L(Nm) d (18)
Si adoptamos un dominio unidimensional, = [0; L] (solo a los nes
de aportar mayor claridad)podemos escribir la expresin anterior
como:
Klm =
LZ0
Wl (x) L(Nm (x)) dx (19)
=
x1Zx0=0
Wl (x) L(Nm (x)) dx+x2Zx1
Wl (x) L(Nm (x)) dx+ :::+x=LZxM1
Wl (x) L(Nm (x)) dx
=NEXe=1
Z
e
Wl (x) L(Nm (x)) d
=
NEXe=1
Kelm
En las expresiones (19) conZ
e
se denota la integracin sobre dominio e del elemento; en el
interior
del elemento e se cumple que Nm = Nem (si por ejemplo utilizamos
(7)) (lo mismo valdra para Wl = Nel )
entonces:
Kelm =
Z
e
W el (x) L(Nem (x)) d (20)
y como consecuencia
Klm =NEXe=1
Kelm (21)
Lo mismo sucede con fl, haciendo las mismas consideraciones que
para Klm:
fl =
Z
Wl p d+
Z
W l r d (22)
=
x1Zx0=0
Wl (x) p dx+
x2Zx1
Wl (x) p dx+ ::+
x=LZxM1
Wl (x) p dx+W l(0) r +W l(L) r
=NEXe=1
24Z
e
Wl (x) p d
35+R=
NEXe=1
fel
8
-
R =W l(0) r +W l(L) r (23)
fel =
Z
e
W el (x) p d+R (24)
fl =NEXe=1
fel (25)
donde fel es la componente del vector de trminos independientes
para el elemento
e = [xe1; xe].
Para los elementos que tengan nodos en el contorno del dominio R
estar dada por alguno de lostrminos de la (23) (siendo R = 0 para
los elementos que no tengan ningn nodo que pertenezca a ).Esta
propiedad permite que sea posible obtener la matriz K y el vector f
, para resolver el problema
en todo el dominio , calculando los coecientes de las matrices
Ke y el vector fe de cada elemento tpico
e y sumar luego las contribuciones de cada uno como establecen
(21) y (25). Se denomina ensamble alproceso de sumar las
contribuciones a K y f de cada elemento, procedimiento que se
abordar con msdetalle ms adelante.
Matriz K es bandeada Las funciones de forma Nk se denen de modo
tal que pueden ser pensadascomo que estn asociadas al nodo k, como
se esquematiza en la siguiente gura:
Figura 7: Funciones de forma lineales en sistema global
Entonces, la funcin global Nm 6= 0 en m y m+1 y nula en el resto
del dominio. Si el elemento eque comprende e esta denido en una
dimensin, podr compartir su nodo i con el elemento e 1 y sunodo j
con elelemento e+ 1. De modo que Ni 6= 0 en el dominio de los
elementos e 1 y e y nula en elresto del dominio similarmente con Nj
6= 0 en los elementos e y e+ 1 y nula en los restantes elementos.Lo
mismo sucede con las derivadas, lo que produce que Kij = 0 si el
elemento no contine a los nodos i oj. Esto produce una matriz que
tendr elementos no nulos en la diagonal principal y cerca de ella.
Loselementos no nulos forman una banda, lo que le da nombre a las
matrices con esta caracterstica. Elancho que tenga la banda
depender de como se hayan numerado los nodos, por lo cual se debe
prestaratencin a este aspecto.Por ejemplo, observando la Fig.[7],
la funcin N2 es no nula para los elementos 2 (2) y 3 (3), y
nula en los restantes elementos (subdominios).
Matriz K es simtrica Debido a que se est utilizando residuos
ponderados con funciones de pesode tipo Galerkin, si se
intercambian los indices en las expresiones de los coecientes de la
matriz derigidez, se observa que Kij = Kji por lo cual la matriz K
es simtrica. (La simetra de K depende deloperador diferencial del
cual se ha obtenido la forma dbil, es vlida para los operadores
denominadosautoadjuntos).Esta propiedad es muy importante en el
momento de denir el algoritmo a programar.
EJEMPLO 1:Se procede a aplicar los pasos enumerados para
resolver el siguiente ejemplo unidimensional.
9
-
@2
@x2+ = f(x) para 0 x 1
f(x) = x
= 0 en x = 0
= 0 en x = 1
Se adoptan las Nm denidas en forma global como en (7), por lo
cual solo debe minimizarse el residuoen el dominio (las funciones
cumplen con las condiciones de contorno).
1Z0
Wl
0@@2^@x2
+^ f(x)
1A dx = 0Si se integra por partes el primer trmino para obtener
la forma dbil del residuo:
1Z0
Wl@2
^
@x2dx =
24Wl0@@^@x
1Ax=1
Wl0@@^@x
1Ax=0
35 1Z0
@Wl@x
@^
@xdx
8
-
1.3.2 Descripcin global y local del elemento
A partir de la propiedad de aditividad, podemos observar que
debemos repetir los mismos clculos paracada elemento. Por esto solo
debemos hacer stos clculos sobre un elemento tpo al que
denominaremoselemento maestro. Para ello, conviene introducir el
punto de vista del elemento (local) como se muestraen la siguiente
gura:
Figura 8: Descripcin global y local de un elemento
En la siguiente tabla se enumeran las caractersticas del
elemento desde una descripcin global y desdela descripcin local
Descripcin global Descripcin local1) Dominio [xi; xj ] 1)
Dominio [1; 2]2) Nodos fi; jg 2) Nodos f1; 2g3) Grados de libertad
fui; ujg 3) Grados de libertad fu1; u2g4) Funciones de forma
Nei (x) ; N
ej (x)
4) Funciones de forma fNe1 () ; Ne2 ()g
5) Funcin de interpolacin (prueba) 5) Funcin de interpolacin
(prueba)^e = aiN
ei (x) + ajN
ej (x)
^e
= a1Ne1 () + a2N
e2 ()
Para relacionar los dominios global y local, se utiliza una
transformacin an que se dene como:
: [xi; xj ]! [1; 2] tal que (xi) = 1 y (xj) = 2 (26)Es usual
adoptar 1 = 1 y 2 = 1, entonces (x) puede escribirse como:
(x) = a+ bx (27)
11
-
para obtener los valores de a y b se debe resolver el siguiente
sistema:
1 = a+ bxi (28)1 = a+ bxj (29)
con lo cual se obtiene que:
(x) =2x xi xjxj xi (30a)
Pero el tamao del elemento es he = xj xi entonces:
(x) =2x xi xj
he(31)
La funcin inversa a (x) se obtiene despejando de la anterior la
variable x
x () =he + xi + xj
2(32a)
x () =(xj xi)
2 +
(xj + xi)
2(32b)
Si se utiliza esta ltima expresin es posible denir funciones de
prueba (o de forma o de interpolacin)en forma local a partir de las
correspondientes funciones globales. Ya se haba denido que, por
ejemplo:
Nei (x) =he (x xi)
he
Nej (x) =(x xi)he
he = xj xisi reemplazamos x () en las expresiones anteriores
obtenemos:
Ne1 () =1
2(1 ) (33)
Ne2 () =1
2(1 + )
Con lo cual se completa el punto de vista local del elemento.Si
se utilizan las expresiones (33) se puede escribir (32a) como:
x () = Ne1 ()xi +Ne2 ()xj (34)
La (34)muestra que la interpolacin del dominio es la misma que
para la funcin incgnita . A laexpresin (34) se la denomina
mapeamiento de la geometra.
Se sintetizan a continuacin algunas expresiones que sern tiles
para continuar con los clculosnecesarios.Integracin por partes
(teorema de Green): sea la funcin u y el operador diferencial
dv,
denidas en el dominio cuyo contorno es , entonces:Z
udv = uv j Z
vdu (35)
Cambio de variables: sea una funcin real integrable f denida en
el intervalo [x1; x2] que se nota:
12
-
f : [x1; x2]! Ry sea x una funcin continuamente diferenciable
que cumple con x (1) = x1 y x (2) = x2 cuya
notacin es:
x : [1; 2]! [x1; x2]entonces
x2Zx1
f (x) dx =
2Z1
f (x ())@x ()
@d (36)
Regla de la cadena: sea una funcin f integrable y diferenciable
(f : [x1; x2]! R) y x una funcincontinuamente diferenciable (x :
[1; 2]! [x1; x2]), entonces:
@
@f (x ()) =
@f (x ())
@x
@x ()
@(37)
1.3.3 Clculo de la matriz de coecientes o matriz de rigidez
La matriz de coecientes Klm en el contexto del mtodo de
elementos nitos es comunmente denominadamatriz de rigidez debido a
que este mtodo surgi en el mbito del clculo de estructuras donde
loscoecientes representan la rigidez de la estructura asociada a un
desplazamiento generalizado unitario.La expresin para obtener la
matriz de coecientes Klm (20), con las Nem (x) denidas
globalmente
por tramos:
Kelm =
Z
e
W el (x) L(Nem (x)) d
puede ahora ser calculada a partir de la visin local del
elemento utilizando el cambio de variables yla regla de la cadena
para el clculo de las derivadas de la siguiente manera (por
simplicidad se presentapara un dominio unidimensional):
Kelm =
Zhe
W el (x) L(Nem (x))dx (38)
=
1Z1W el (x ())L(Nem (x ()))
@x ()
@d
1.3.4 Clculo del vector de trminos independientes o vector de
cargas
El vector de trminos independientes fl en el contexto del mtodo
de elementos nitos es conocido comovector de cargasya que en el
clculo de estructuras, sus componentes representan las fuerzas
externasque actan sobre la estructura.La expresin para obtener el
vector fl (24)
fel =
Z
e
W el (x) p d
Utilizando el cambio de variables y la regla de la cadena se
puede calcular con la visin local delelemento de la siguiente
manera ( si el dominio es unidimensional):
13
-
fel =
1Z1W el (x ()) f (x) dx (39)
Esta expresin contiene a la funcin f (x) contnua, adems de la
funcin de peso (que en el casode utilizar Galerkin ser Nl). Si se
piensa sistematizar el clculo haciendo uso de la descripcin
local,tener una funcin denida en forma continua complica el
proceso. Ahora bien, nada impide que se utiliceuna aproximacin
paramtrica a f (x). En el caso que resulte conveniente podrian
utilizarse las mismasfuciones de forma y escribir entonces:
f (x) 'NEXe=1
fe (x) =NEXe=1
f (xi)N
ei (x) + f (xj)N
ej (x)
(40)
f (xi) y f (xj) son los valores que toma f (x) en las
coordenadas de los nodos i y j, con lo cual seobtiene una forma
discreta tambin para f (x). (Cabe aclarar que es posible utilizar
otro conjunto defunciones de forma para discretizar f (x) si fuera
ms apropiado). Entonces:
fel =
1Z1W el (x ())
(NEXe=1
f (xi)N
ei (x) + f (xj)N
ej (x)
)dx (41)
EJEMPLO 2:Tomando un problema similar al denido en el ejemplo 4
del captulo anterior:
@2
@x2+ + f (x) = 0
f (x) = x
= 0 en x = 0
@
@x= 1 en x = 1
El residuo entonces es:
1Z0
Wl
0@@2^@x2
+^+ f (x)
1A dx+ Wl ^ 0x=0
+
Wl
@
@x 1
x=1
= 0
Integrando por partes:
1Z0
Wl@2
^
@x2dx =
24Wl @^@x
35x=1
24Wl @^
@x
35x=0
1Z0
@Wl@x
@^
@xdx
Reemplazando
24Wl @^@x
35x=1
24Wl @^
@x
35x=0
1Z0
@Wl@x
@^
@xdx+
1Z0
Wl^dx
1Z0
Wlf (x) dx+
Wl
^ 0
x=0
+
Wl@
@x+Wl (1)
x=1
= 0
Si se adoptaWlx=1
= (Wl)x=1 y se utiliza Galerkin, quedan:
1Z0
@Wl@x
@^
@xdx+
1Z0
Wl^dx
1Z0
Wlf (x) dx+
24Wl @^@x
35x=0
+
Wl
^ 0
x=0
+(1)Wl
x=1
= 0
14
-
La solucin aproximada estar dada por:
'^ = 1N1 + 2N2 + 3N3 + 4N4 + 5N5
donde k son los parmetros incgnitas, que representan al valor de
la funcin en la coordenada nodalxk como en (6).Reemplazando la
solucin aproximada y agrupando convenientemente, las expresiones de
los coe-
cientes de la matriz de rigidez y del vector de cargas generales
son:
Klm =
1
Z0
@Nl@x
@Nm@x
dx+
1Z0
NlNmdx
fl =
1Z0
Nl f (x) dx
Los trminos
R =
Wl
^ 0
x=0
+
24Wl @^@x
35x=0
+(1)Wl
x=1
no estan incluidosKlm y fl se tendrn en cuenta en el momento de
aplicar las condiciones en los contornos.El sistema puede
escribirse como:
K+ f = 0
Si ahora subdividimos el dominio en cuatro subdominios de igual
longitud (discretizamos con cuatroelementos), de modo tal que el
nodo 1 tenga coordenada x = 0 y el nodo 5 x = 1, como en la
gura:
Si adoptamos las funciones de forma denidas por
Nei (x) =he(xxi)
he@Nei (x)@x =
1he
Nej (x) =(xxi)he
@Nej (x)
@x =1he
he = xj xix() =
(xjxi)2 +
(xj+xi)2
@x()@ =
he
2
y utilizamos estas funciones para calcular las integrales
tendremos:
Kelm = Zhe
@Nel (x)
@x
@Nem (x)
@xdx+
Zhe
Nl (x)Nm (x) dx
Si se utiliza el cambio de variable x () y la regla de la cadena
se tiene
Kelm = 1Z1
@Nel (x ())
@
@ (x)
@x
@Nem (x ())
@
@ (x)
@x
@x ()
@d +
1Z1Nl (x ())Nm (x ())
@x ()
@d
donde:
15
-
Ne1 () =12 (1 ) dN
e1 ()d =
12
Ne2 () =12 (1 + )
dNe2 ()d =
12
(x) =2xxixj
he@(x)@x =
2he
notar que
@ (x)
@x=
@x()
@
1
dx =dx ()
dd
=
xidNe1 ()
d+ xj
dNe2 ()
d
d
=
12xi +
1
2xj
d =
xj xi2
d
dx =
he
2
d
Kelm = 1Z1
@Nel ()
@
2
he@Nem ()
@
2
hehe
2d +
1Z1Nl ()Nm ()
he
2d
Haciendo las mismas consideraciones para el vector de cargas,
utilizaremos una parametrizacin dela funcin fuente f(x) mediante
sus valores nodales y las funciones de interpolacin de cada
elemento,entonces:
f(x) '4Xe=1
fe (x) =4Xe=1
f (xi)N
ei (x) + f (xj)N
ej (x)
i = 1; 2; 3; 4
j = 2; 3; 4; 5
si se reemplaza en la anterior y se utiliza el cambio de
variable (del mapeamiento)
fel =
Zhe
Nel (x ())f (xi)N
ei (x ()) + f (xj)N
ej (x ())
@x ()@
d
fei =
1Z1Nei ()
f (xi)N
ei () + f (xj)N
ej ()
he2d para l = i
fej =
1Z1Nej ()
f (xi)N
ei () + f (xj)N
ej ()
he2d para l = j
Para el elemento e genrico:
16
-
Ke =
Ke11 K
e12
Ke21 Ke22
fe =
fe1fe2
explcitamente:
Ke11 = 1Z1
@Ne1 ()@
2he
@Ne1 ()@
2he
he
2 d +
1Z1N1 ()N1 ()
he
2 d
= 1Z1
12
12
2he d +
1Z1
12 (1 ) 12 (1 ) h
e
2 d =he
3 1he
Ke12 = 1Z1
@Ne1 ()@
2he
@Ne2 ()@
2he
he
2 d +
1Z1N1 ()N2 ()
he
2 d
= 1Z1
12
12
2he d +
1Z1
12 (1 ) 12 (1 + ) h
e
2 d =he
6 +1he
fe1 =
1Z1Ne1 () [f (xi)N
e1 () + f (xj)N
e2 ()]
he
2 d
=
1Z1
12 (1 )
f1
12 (1 ) + f2 12 (1 + )
he
2 d =hef13 +
hef26
Ke21 = 1Z1
@Ne2 ()@
2he
@Ne1 ()@
2he
he
2 d +
1Z1N2 ()N1 ()
he
2 d
= 1Z1
12
12
2he d +
1Z1
12 (1 + )
12 (1 ) h
e
2 d =he
6 +1he
Ke22 = 1Z1
@Ne2 ()@
2he
@Ne2 ()@
2he
he
2 d +
1Z1N2 ()N2 ()
he
2 d
= 1Z1
12
12
2he d +
1Z1
12 (1 + )
12 (1 + )
he
2 d =he
3 1he
fe2 =
1Z1Ne2 () [f (xi)N
e1 () + f (xj)N
e2 ()]
he
2 d
=
1Z1
12 (1 + )
f1
12 (1 ) + f2 12 (1 + )
he
2 d =hef16 +
hef23
Ke =
he
3 1he he
6 +1he
he
6 +1he
he
3 1he
fe =
he
6
2f1 + f2f1 + 2f2
e =
e1e2
Para e = 1, he = 1=4, f1 = f(0) = 0, f2 = f(1=4) = 1=4,
11 = 1,
12 = 2
17
-
K1 = 124
94 9797 94
f1 = 124
1=41=2
1 =
1112
=
12
Para e = 2, he = 1=4, f1 = f(1=4) = 1=4, f2 = f(1=2) = 1=2,
21 = 2,
22 = 3
K2 = 124
94 9797 94
f2 = 124
15=4
2 =
2122
=
23
Para e = 3, he = 1=4, f1 = f(1=2) = 1=2, f2 = f(3=4) = 3=4,
31 = 3,
32 = 4
K3 = 124
94 9797 94
f3 = 124
7=42
3 =
3132
=
34
Para e = 4, he = 1=4, f1 = f(3=4) = 3=4, f2 = f(1) = 1,
41 = 4,
42 = 5
K4 = 124
94 9797 94
f4 = 124
5=211=4
4 =
4142
=
45
Debido a la propiedad de aditividad de las matrices Ke y del
vector fe, tendremos que
K= K 1 +K2 +K3 +K4
f= f 1 + f2 + f3 + f4
K+ f = 0
Debemos tener en cuenta que el sistema a resolver tiene 5
incgnitas f1; 2; 3; 4; 5g por lo cual lamatriz global K tendr
dimensin 5 x 5, el vector global f tendr 5 componentes. Entonces,
el elemento1 contribuye a la matriz global y vector de trminos
independientes con:
K1= 124
26666494 97 0 0 097 94 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
377775 f1= 124266664
14 ()12000
377775 =26666412345
377775el elemento 2 con:
K2= 124
2666640 0 0 0 00 94 97 0 00 97 94 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0
377775 f = 124266664015400
377775 =26666412345
377775el elemento 3 con:
K3= 124
2666640 0 0 0 00 0 0 0 00 0 94 97 00 0 97 94 00 0 0 0 0
377775 f3= 124266664007420
377775 =26666412345
377775y el elemento 4 con:
K4= 124
2666640 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 94 970 0 0 97 94
377775 f = 124266664
00052
114 ()
377775 =26666412345
377775Sumando obtenemos:
18
-
K =1
24
26666494 97 0 0 097 94 94 97 0 00 97 94 94 97 00 0 97 94 94 970
0 0 97 94
377775
f =1
24
26666414 ()12 + 154 +
74
2 + 52114 ()
377775
=
26666412345
377775K+ f = 0
Al procedimiento que se basa en la propiedad de aditividad y nos
permite encontrar K, f , delproblema se lo denomina
ensamble.Observaciones:1) La matriz K obtenida por la propiedad de
aditividad, tal como est escrita hasta el momento es
una matriz singular, lo cual dice entre otras cosas que no tiene
inversa.2) Dado que se ha utilizado la descripcin local para
encontrar Ke y fe, y que se tuvieron en cuenta
solo las expresiones vlidas para todos los elementos, aun no se
han tenido en cuenta las condiciones deborde ni el trmino remanente
de la integracin por partes que se agruparon en R.
R =
Wl
^ 0
x=0
+
24Wl @^@x
35x=0
+(1)Wl
x=1
Condicin esencial : (primer trmino en R) establece que = 0 en x
= 0. Esto involucra a la primer
ecuacin del elemento 1. Para hacer cumplir estrictamente esta
condicin (0) =^ (0) = 1N1, pero
N1 (0) = 1 entonces 1 = 0, con lo cual se cumple la condicin de
contorno y no tenemos residuo enx = 0 (la primer ecuacin en
realidad no existira). Adems 1 = 0 multiplica a los coecientes Ki1
por0. Como consecuencia el sistema se reduce en una ecuacin (en
este caso la primera) y en una incgnita(1que no es tal por ser
conocida por la condicin de contorno en x = 0).
Condicin natural : como remanente de la integracin por partes
qued el trminoWl
@^@x
x=0
.
Recordando que se adopt Wl (1) = Wl (1). Reescribiendo la
ecuacin del sistema original eliminadaa nivel matricial por estar
asociada a la condicin Dirichlet (en este caso la primera) y
recordando que1 = 0, N1 (x = 0) = 1, entonces:
K111 +K122 = f1 24N1 @^
@x
35x=0
97
242 =
1
4
1
24 1
0@@^@x
1Ax=0
despejando@
@x
x=0
' 196 97242
19
-
El ltimo trmino en R provena de la condicin de contorno en x =
1. Esto afecta a la segundaecuacin del elemento 4. Reescribiendo la
ltima ecuacin:
K544 +K555 = f5 (1)Wl
x=1
Pero Wl (1) = Wl (1) = N5 (x = 1) = 1, entonces el trmino
independiente asociado a la ltimaecuacin del sistema se modica.
f5 = 124
11
4 (1) (1) = 107
96=124
107
4
Con estas consideraciones, el sistema a resolver ser:
1
24
2664188 97 0 097 188 97 00 97 188 970 0 97 94
377526642345
3775 = 1242664
323921074
3775Observese que si no se tiene la condicin = 0 en x = 0
(condicin esencial), la matriz K seguira
siendo singular (de alli su nombre), en cuyo caso existiran
innitas soluciones que diferirn en un valorconstante (compatible
indeterminado).El sistema de de cuatro ecuaciones con cuatro
incgnitas puede ahora resolverse para obtener:
=
26641234
3775 =26640:66219681431:2679690831:7643824402:105266986
3775Para escribir la solucin aproximada, podemos encontrar Nem
(x) que por la (10) sern:e = 1 he = 1=4 xi = 0 N
1i (x) = 1 4x N1j (x) = 4x
e = 2 he = 1=4 xi =14 N
2i (x) = 4x N2j (x) = 4x 1
e = 3 he = 1=4 xi =12 N
3i (x) = 3 4x N3j (x) = 4x 2
e = 4 he = 1=4 xi =34 N
4i (x) = 4 4x N4j (x) = 4x 3
entonces:
^ =
8>>>:1N
1i (x) + 2N
1j (x) 0 x 14
2N2i (x) + 3N
2j (x)
14 x 12
3N3i (x) + 4N
3j (x)
12 x 34
4N4i (x) + 5N
4j (x)
34 x 1
9>>=>>;1.4 Detalles de la formulacin del problema de
segundo orden y su modelado
por elementos nitos
En los problemas que suelen presentarse para resolver,
originados en algn problema de ingeniera, suelencontener distintos
tipos de discontinuidades. Se analizar como se debe formular un
problema con elobjeto de claricar las consideraciones a tener al
momento de discretizar el dominio y el contorno pararesolver el
problema utilizando el mtodo de elementos nitos.Se supone que el
caso a resolver est planteado en la siguiente gura:
20
-
Figura 9: Discontinuidades tpicas
Muchos problemas de fsica se formulan utilizando dos variables,
una denominada variable de estadou y el ujo . Estas dos variables
se relacionan entre s por medio de la ecuacin constitutiva que
describeel comportamiento del material sometido al proceso en
estudio. Si dicho comportamiento es lineal, larelacin constitutiva
tiene la siguiente forma:
(x) = k (x) @u (x)@x
(42)
k (x) se denomina mdulo del material, y es un dato del problema,
y se asume que es siempre positivoo siempre negativo.La ley de
conservacin establece que para un dado dominio el ujo neto es cero.
El ujo puede estar
presente de una forma distribuda, descripta por la funcin f (x),
de una forma puntual, descripta porf (x) (x xd) o a traves de los
bordes de la regin, condiciones de contorno.Adems de las
condiciones que establecen la ley de conservacin y la ecuacin
constitutiva sobre la
variable de estado u (x), se pide que u sea una funcin continua
de x. Otra condicin que se puede pedir esque u (x) tome un valor
determinado en uno o ambos extremos, a lo que hemos denominado
condicin deborde esencial. Las dems condiciones que pueden
imponerse pueden derivarse de la ley de conservacin.En la gura se
observa que se tienen las siguientes discontinuidades:
en la funcin que describe el ujo distribudo f (x) en x = x1 en
la funcin que describe el ujo distribudo f (x) en x = x3 donde
presenta una discontinuidaddada por la funcin delta de Dirac
en el mdulo k en x = x2 (se supone que k es continuo dentro de
cada subdominio)
Las discontinuidades en los datos llevan a denir cuatro
subdominios dentro de los cuales los datosson suaves y un total de
cinco puntos donde hay discontinuidades, los dos extremos y los
tres puntosdentro del dominio, enumerados recientemente, donde se
tiene alguna discontinuidad en los datos.A continuacin se escribe
la expresin general de una ecuacin diferencial de segundo
orden:
a0 (x)@2u (x)
@x2+ a1 (x)
@u (x)
@x+ a2 (x)u (x) = f (x) (43)
Donde las ak (x) nunca se anulan ni cambian de signo en el
dominio (esto est relacionado con elhecho de estar tratando
problemas de tipo elpticos).La forma ms general de expresar las
condiciones de borde relacionadas con una ecuacin diferencial
de segundo orden es:
21
-
0@u (0)
@x+ 0u (0) = 0 en x = x0 (44)
L@u (L)
@x+ Lu (L) = L en x = xL
Porcin del dominio donde los datos son suaves Analizaremos el
planteo matemtico sobre unaporcin a-b del dominio, donde todos los
datos son continuos y suaves, como se esquematiza en la
siguientegura:
Por la ley de conservacin, el ujo debe conservarse para todo
punto, entonces:
(b) (a) =bZa
f (x) dx (45)
tomando lmite en ambos miembros:
limb!x+
(b) lima!x
(a) = limb!x+a!x
0@ bZa
f (x) dx
1Acomo f (x) es acotada, en el lmite de la integral es 0,
entonces:
[ (x)] = limb!x+
(b) lima!x
(a) = 0 (46)
siendo [ (x)] el saltodel ujo en el punto x.El resultado de la
(46) dice que, si no hay discontinuidades, el ujo es continuo en
todos los puntos
de un dominio suave.Como f (x) es continua, puede utilizarse el
teorema del valor medio del clculo integral
bZa
f (x) dx = (b a) f () con a b
donde f () es el valor promedio de f (x) en [a; b]. Entonces
(b) (a) =bZa
f (x) dx
= (b a) f ()
y
(b) (a)(b a) = f ()
22
-
tomando lmites en ambos miembros:
limb!x+a!x
(b) (a)(b a)
= lim
b!x+a!x
(f ())
como la funcin es continua, el lmite de la parte izquierda
existe y es la derivada, por lo tanto el otrolmite existe entonces,
para toda regin suave puede escribirse:
@ (x)
@x= f (x)
Reemplazando en esta ltima la expresin de la ecuacin
constitutiva (42) se tiene:
f (x) =@ (x)
@x
=@k (x) @u(x)@x
@x
= @@x
k (x)
@u (x)
@x
entoces, sepuede decir que:
f (x) = @@x
k (x)
@u (x)
@x
como k (x) es suave, entonces la expresin anterior puede
expandirse a:
@k (x)@x
@u (x)
@x k (x) @
2u (x)
@x2= f (x) (47)
Si comparamos esta ltima con la (43), y consideramos que:a0 (x)
= k (x)a1 (x) = @k(x)@xa2 (x) = 0tenemos que (47) es una ecuacin
diferencial del tipo (43).
Porciones del dominio donde los datos no son suaves.
Discontinuidades nitas. Discon-tinuidad nita en la fuente
distribuda f (x)Es el caso que se produce en el punto x = x1 de la
Fig.[9]. Anlizaremos una porcin que incluye la
discontinuidad, como se muestra en la siguiente gura:
Por la ley de conservacin se tiene:
(b) (a) =bZa
f (x) dx
23
-
tomando lmites
limb!x+
(b) lima!x
(a) = limb!x+a!x
0@ bZa
f (x) dx
1Alimb!x+a!x
0@ bZa
f (x) dx
1A = 0con lo que tenemos:
[ (x)] = 0
que el saltodel ujo en el punto x sigue siendo homogeneo, pero
debido a la discontinuidad de f (x)
no es aplicable el teorema del valor medio. Aunque k (x) @u(x)@x
fuera continua @@xhk (x) @u(x)@x
ino
existe por no existir el lmite, lo cual signica que en x = x1 no
tenemos ecuacin diferencial.
Discontinuidad en la ecuacin constitutiva k (x) (cambio de
material)Este tipo de discontinuidad es del tipo que se produce en
la zona de contacto entre dos materiales
diferentes, y por lo tanto de relaciones constitutivas
distintas, como en el punto x = x2.
Por la ley de conservacin:
(b) (a) =bZa
f (x) dx
Al aplicar lmites, nuevamente tenemos que el salto en el punto x
donde se produce la discontinuidades homogeneo, matemticamente [
(x)] = 0. Como f (x) es continua, se puede aplicar el teorema
delvalor medio del clculo integral, obteniendo que:
limb!x+a!x
(b) (a)(b a)
= lim
b!x+a!x
(f ())
@ (x)
@x= f (x)
Si ahora se reemplaza la expresin de la ecuacin constitutiva en
esta ltima se tiene:
@
@x
k (x) @u (x)
@x
= f (x)
pero en este caso, k (x) es discontinua y no puede expandierse
como en (47). La ecuacin diferencialexiste en el punto pero no
puede ser expandida.
Discontinuidad simple en la fuente distribuda dada por la funcin
delta de Dirac (fuentepuntual)Es el caso representado por el punto
x = x3 en Fig.[9], donde se presenta una fuente puntual.
24
-
Nuevamente, por la ley de conservacin del ujo
(b) (a) =bZa
f (x) dx+
bZa
f (x x3) dx
recordando que:f (x) : parte suave y continua de la fuente
f (x x3) : fuente puntualTomando lmites en ambos miembros:
limb!x+
(b) lima!x
(a) = limb!x+a!x
0@ bZa
f (x) dx
1A+ limb!x+a!x
0@ bZa
f (x x3) dx1A
se tiene que:
limb!x+a!x
0@ bZa
f (x) dx
1A = 0limb!x+a!x
0@ bZa
f (x x3) dx1A = f (x3)
por lo tanto:
[ (x)] = f
Esta ltima indica que en este caso se tiene un salto no
homogeneo en el ujo. Adems, limb!x+a!x
bRa
f (x x3) dx!
es independiente de los lmites de integracin, por lo tanto
@(x)@x x=x3 no est denida lo que impide deniral ecuacin diferencial
en ese punto.Discontinuidad producida por la presencia de un borde
del dominioHasta ahora no hemos analizado a las condiciones de
borde como una discontinuidad. En los bordes
se presenta la particularidad que a un lado del punto se tiene
dominio y del otro lado no, lo cual puedeinterpretarse como una
discontinuidad donde se dene la interaccin del sistema que se esta
estudiandocon el medio que lo rodea especicando en los bordes el
valor de la variable de estado o del ujo.
25
-
En los segmentos de extremo tambin se cumple la ley de
conservacin, en consecuancia:
(b) (0) =bZ0
f (x) dx
tomando lmites, cuando b+ ! 0 se tiene que (0)! 0, y cuando a !
L que (L)! L. Por laley constitutiva, entonces:
0 = k (0) @u (0)@x
(48)
L = k (L) @u (L)@x
lo cual lleva a que estas condiciones estan jando el valor de la
derivada de la variable de estado en losextremos. Las expresiones
anteriores presentan la forma general de expresar las condiciones
naturales.En otras situaciones (como en el caso de transferencia de
calor por conveccin, referido a la ecuacin
de calor) se supone que el ujo es proporcional a la diferencia
entre el valor de la variable de estado enel borde u (0) o u (L) y
su valor de referencia en el medio circundante u1 (conocida como
temperaturade la fuente innita). Este tipo de condicin se escribe
matemticamente como:
0 = K0 [u (0) u1]L = KL [u (L) u1]
donde Ko y KL en general es una constante que depende del mdulo
que corresponde al material delmedio circuandante. Si se reemplaza
la anterior en (48):
k (0) @u (0)@x
= K0 [u (0) u1]
k (L) @u (L)@x
= KL [u (L) u1]
estas expresiones tambin son condiciones de contorno de tipo
natural (por el hecho de estar involu-crada la derivada de la
variable de estado u).En el caso de problemas donde se especican
solo condiciones de tipo natural en el borde, deber
satisfacerse una condicin global de conservacin dada por:
0 + L =
LZ0
f (x) dx (49)
(Nota: en este ltimo caso, la expresion (49) garantiza la
existencia de la solucin, no garantiza launicidad.)
IMPORTANTE: las discontinuidades condicionan la discretizacin,
esto se debe a que las funcionesde forma no podrn acomodarse a las
discontinuidades. En otras palabras, en el momento de particionarel
dominio en elementos se colocar un nodo en los puntos donde se
produzca algn tipo de dicontinuidaden los datos. Los trminos que
involucran a las discontinuidades no pertenecern a la descripcin
localcaracterstica de los elementos, apareciendo cuando se suman
las contribuciones de todos los elementosa la matriz de rigidez
(matriz de coecientes) y al trmino de carga (vector de trminos
independientes).
26
-
1.4.1 Funciones de forma (o de interpolacin o aproximantes).
Polinomios de Lagrange.
Cuando se utilizan como funciones de interpolacin a polinomios
de Lagrange se obtiene la formulacin deun elemento de tipo
Lagrangeano. Los polinomios se denen en el sistema local del
elemento 2 [1; 1]y se utiliza la transformacin (31) para asociar a
la variable local con la variable global x. Debemosrecordar que las
funciones de forma Ni () tienen las siguientes propiedades:
Nij=
1 si i = j0 si i 6= j
que muestra que las m+1 funciones Ni () forman un conjunto
linealmente independiente, conformandouna base para cualquier
polinomio de grado m o menor. Esta propiedad se traslada a las
funcionesglobales por tramo que se obtienen a partir de estos
polinomios que forman la base. Recordando ladenicin de los
polinomios de Lagrange de orden m:
Pm () = fi
m+1Yj=1
j 6=i
j
i j
y su orden de error de truncamiento asociado es:
E ' O hm+1siendo h la separacin entre nodos vecinos y fi = 1
para el caso de las funciones de forma, con lo cual laexpresin
general para un polinomio de orden m (que involucrar a m+ 1 puntos
o nodos) ser:
Ni () =m+1Yj=1
j 6=i
j
i j
La condicin de completitud para los polinomios de Lagrange
deviene de la condicin impuesta a la
familia de funciones con las cuales se armala solucin
aproximada. Esta condicin deca que la funcinaproximante deba tener
la posibilidad de representar cualquier variacin de la funcin
incgnita en eldominio. Esta condicin es muy importante. Por
ejemplo, si faltara el trmino proporcional a x1 estandopresentes
los que son proporcionales a x0; x2; x3; :::; xm esto tendr como
consecuencia inmediata queE ' O (h) y no a E ' O hm+1. Si el trmino
faltante fuera el proporcional a x0 puede suceder quelas funciones
de interpolacin no tengan ninguna convergencia. Otra implicancia es
que, si la funcinincgnita tiene derivadas hasta orden s, con s m,
no importar cuanto se aumente el grado m delpolinomio en la funcin
aproximante ya que solo los primeros s trminos servirn para
aproximar a lafuncin, estando el error dado por E ' O (hs), por lo
tanto si se quiere mejorar la convergencia lo que sedebe hacer es
disminuir el tamao de los elementos (subdominios).
1.4.2 Condiciones de borde
Se presentan a continuacin los tres casos principales que se
obtienen a partir de la expresin general(presentada para un dominio
unidimensional):
0@u (0)
@x+ 0u (0) = 0 en x = x0
L@u (L)
@x+ Lu (L) = L en x = xL
Una vez sumadas las contribuciones elementales, el sistema
global tiene la forma:
27
-
26666666664
k111 k112 0 ::: 0 0
k121 k122 + k
211 k
212 ::: 0 0
0 k221 k222 + k
311 ::: 0 0
0 0 k321 ::: 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 ::: km122 + k
m11 k
m12
0 0 0 ::: km21 km22
37777777775
26666666664
u1u2u3u4...
um1um
37777777775=
26666666664
f11 + (0)
f12 + f21
f22 + f31
f32 + f41
...fm11 + f
m1
fm2 + (L)
37777777775( (0) y (L) si correspondiesen)Condicin esencial o de
DirichletSe especican los valores de la variable de estado en los
extremos:
0 = L = 0; u0 = u (0) =
00
y uL = u (L) =
LL
(50)
Esto produce que el nmero de incgnitas se reduce en dos, lo que
permite reducir el sistema deecuaciones en dos (no hay residuo en
los bordes)
2666664k122 + k
211 k
212 ::: 0 0
k221 k222 + k
311 ::: 0 0
0 k321 ::: 0 0...
.... . .
......
0 0 ::: km122 + km11 k
m12
3777775
2666664u2u3u4...
um1
3777775 =2666664
f12 + f21 k121u0
f22 + f31
f32 + f41
...fm11 + f
m1 km12uL
3777775Condiciones naturales generalesCorresponden al caso que
se especica en el contorno una combinacin lineal de la variable de
estado
y del ujo.
@u (0)
@x=
0 0u (0)0
(51)
@u (L)
@x=
L Lu (L)L
u0 = u (0)
uL = u (L)
Haciendo uso de la relacin constitutiva (42) resulta:
0 = k (0) @u (0)@x
= k (0)
0 0u (0)
0
L = k (L) @u (L)
@x= k (L)
L Lu (L)
L
(Observacin: @u(0)@n = @u(0)@x y @u(L)@n = @u(L)@x )que al ser
reemplazadas en el sitema global queda:
266666666664
k111 k(0)00 k112 0 ::: 0 0k121 k
122 + k
211 k
212 ::: 0 0
0 k221 k222 + k
311 ::: 0 0
0 0 k321 ::: 0 0...
......
. . ....
...0 0 0 ::: km122 + k
m11 k
m12
0 0 0 ::: km21 km22 +
k(L)LL
377777777775
26666666664
u1u2u3u4...
um1um
37777777775=
266666666664
f11 k(0)00f12 + f
21
f22 + f31
f32 + f41
...fm12 + f
m1
fm2 +k(L)LL
37777777777528
-
Sistema que puede ser resuelto para las m incgnitas.
Condicin natural de NewmanEn este caso se especica el valor del
ujo en los extremos.
@u (0)
@x=
00
y@u (L)
@x=
LL
(52)
Este tipo de condicin requiere se tengan ciertas
consideraciones, en relacin al tipo de ecuacin quese est
resolviendo. La ecuacin general de gobierno:
a0 (x) @@x
k (x)
@u (x)
@x
+ a1 (x)
@u (x)
@x+ a2 (x)u (x) = f (x)
si a1 (x) = a2 (x) = 0, queda:
a0 (x) @@x
k (x)
@u (x)
@x
= f (x) (53)
@
@x
k (x)
@u (x)
@x
= f (x)
a0 (x)
Si u es solucin de (53) con las condiciones (52), entonces u +
C0 (C0 una constante arbitraria)tambin es solucin del mismo
problema. Esto signica que la matriz de rigidez es singular
(sistemacompatible indeterminado).Las constantes que denen las
condiciones (52) no pueden ser arbitrarias, ya que debe
satisfacerse la
condicin de conservacin global del ujo (que establece que se
debe conservar el ujo en todo el dominio).Para el caso ms general
la forma dbil del problema tendr la forma:
LZ0
k (x)@W
@x
@Nm@x
dx =
LZ0
Wf (x) dx+ fW (x) k (0) 00+ k (L)
LL
vlido para cualquier funcin W . Si una solucin del problema es u
= Co lo cual hace que:
LZ0
k (x)@W
@x
@Nm@x
dx = 0
por lo cual:
LZ0
Wf (x) dx+ fW (x) k (0) 00+ k (L)
LL
= 0 (54)
La expresin (54) es una condicin de compatibilidad, y constituye
una condicin necesaria paraque exista la solucin. Para determinar
la solucin es imprescindible especicar o asignar un valor
alparmetro uj (correspondiente a un nodo j de la
discretizacin).(Suele asociarse a este problema con un problema de
mcanica del slido, donde C0 representa un
movimiento de cuerpo rgido)
Referencias:El Mtodo de elementos nitos, O: C. ZienkiewiczFinite
Elements and Approximation; O. C. Zienkiewicz & K. Morgan
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