Elementos de Fsica de los Medios ContinuosMartn Rivase-mail:[email protected] http://tp.lc.ehu.es/martin.htmDepartamento de Fsica Terica
UPV/EHU Leioa, Enero 2011
En la imagen de la portada, vemos un avin despegando. La perturbacin provocada se hace visible mediante el humo coloreado. Origen de la foto, Wikipedia: Mecnica de uidos.
c
Martn Rivas, Bilbao.
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ndice generalIntroduccin 1. Cinemtica1.1. El Principio atmico y la Hiptesis de continuidad . . . . . . . . . . . 1.2. Medios continuos y discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Notacin indicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Componentes de un vector y de un operador lineal . . . . . . . 1.2.3. Descomposicin polar de una matriz no singular . . . . . . . . 1.2.4. Transformacin de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Conguraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Lneas de corriente, lneas de emisin y trayectorias . . . . . . . 1.3.2. Campo de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Tensor de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Diagonalizacin del tensor de deformaciones . . . . . . . . . . . 1.4.2. Tensor de deformaciones linearizado . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3. Estados de deformacin planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Tensor de velocidad de deformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Slido rgido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Derivada material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1. Campo de aceleracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2. Variacin temporal del elemento de lnea, supercie y volumen 1.7.3. Transformacin del elemento de lnea, supercie y volumen . . 1.7.4. Derivada material de integrales curvilneas . . . . . . . . . . . . 1.7.5. Derivada material de integrales de supercie . . . . . . . . . . . 1.7.6. Derivada material de integrales de volumen . . . . . . . . . . . 1.8. Teoremas sobre campos vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Teorema de unicidad de campos vectoriales . . . . . . . . . . . 1.8.4. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Campo de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campo de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traccin, compresin y cortadura . . . . . . . . . . . Equilibrio esttico. Simetra del tensor de tensiones . 2.4.1. Valor medio del tensor de tensiones . . . . . . 2.4.2. Direcciones principales. Tensiones principales 2.4.3. Crculos de Mohr de tensiones . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 3 4 4 5 6 9 10 11 12 13 14 16 16 18 20 20 20 22 23 23 24 24 24 24 25 25 27
3
2. Tensiones
33
33 33 34 35 36 36 38
4 2.4.4. Estados de tensin planos . . . . . . . . . . . 2.4.5. Tensin en una direccin arbitraria . . . . . . 2.4.6. Tensor de tensin esfrico y tensor desviador 2.4.7. Crculo de Mohr de las deformaciones . . . . 2.5. Tensor de tensiones del campo electromagntico . . . 2.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NDICE GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 42 42 44 44 46
3. Dinmica Leyes fundamentales3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7.
Ecuacin de continuidad de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Momento de la cantidad de movimiento. Simetra de ij . . . . . . Conservacin de la energa. Primer principio de la Termodinmica Segundo Principio de la Termodinmica . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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49
49 50 50 51 52 53 54 56 56 58 60 60 62 64 65 67 68 71 72 73 74 74 74 76
4. Elasticidad
4.1. Ley de Hooke generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Tensor elstico. Constantes elsticas . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Ley de Hooke de medios istropos . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Consideraciones termodinmicas . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Ecuaciones de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Condiciones de compatibilidad en deformaciones lineales 4.2.5. Estados de tensin planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Deformacin de una viga (lnea elstica) . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Pandeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Torsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Arcos. La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Condiciones de plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Criterio de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Criterio de Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Espacio de tensiones. Supercies de uencia . . . . . . . . . . . 4.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluidos Newtonianos . . . . . . . . . . . . . . Fluidos Stokesianos . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 5.4.1. Ecuacin de Euler . . . . . . . . . . . 5.4.2. Flujo estacionario. Hidrosttica . . . . 5.4.3. Ecuacin de Bernoulli . . . . . . . . . 5.4.4. Teorema de Kelvin . . . . . . . . . . . 5.4.5. Densidad de impulso . . . . . . . . . . 5.5. Ecuaciones de Helmholtz . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Ecuacin de difusin . . . . . . . . . . 5.5.2. Nmero de Reynolds . . . . . . . . . . 5.6. Problemas bidimensionales . . . . . . . . . . . 5.6.1. Fuerza y Momento sobre un obstculo.
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5. Fluidos
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79
79 80 80 80 81 81 82 83 83 83 84 85 85 86
NDICE GENERAL 5.6.2. Ejemplos de problemas bidimensionales irrotacionales 5.6.3. Teorema de la aplicacin de Riemann . . . . . . . . . 5.6.4. Transformacin de Joukowski . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Capa lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1. Turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 87 90 90 93 95 98
6. Ondas en medios continuos
6.1. Ondas en medios elsticos . . . . . . . . . . 6.1.1. Onda longitudinal y onda transversal 6.2. Ondas transversales en una cuerda . . . . . 6.3. Ondas en uidos perfectos. Ondas sonoras . 6.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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101
101 101 104 106 107
7. Anlisis dimensional y semejanza fsica
7.1. Semejanza geomtrica, cinemtica y dinmica . . . . . 7.1.1. Algunas expresiones o nmeros adimensionales 7.2. Teorema de Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Homogeneidad de la Lagrangiana . . . . . . . . . . . . 7.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
109 109 110 111 113 117 119 121
A. Rotaciones
A.0.1. Parametrizacin normal o cannica del grupo SO(3) . . . . . . . . . . . A.0.2. Ley de composicin de las rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.0.3. Cinemtica de la rotacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.0.4. Coordenadas esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.0.5. Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.0.6. Relaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B. Operadores diferenciales
125125 126 126
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NDICE GENERAL
IntroduccinHoy en da sabemos que la materia est formada por sistemas ligados de partculas elementales, que segn el modelo estndar se reducen a las partculas masivas, de espn 1/2 y algunas cargadas elctricamente, quarks y leptones. Tres quarks dan lugar a la formacin de los protones y neutrones y de los leptones el nico estable y cargado resulta ser el electrn. Los tomos son estados ligados de protones y neutrones formando el ncleo y un conjunto de electrones a su alrededor, en igual nmero que el de protones del ncleo. Existen del orden de unos 100 tomos diferentes, en cuanto a su constitucin electrnica, con pequeas variaciones en el nmero de neutrones de sus ncleos. Estos diferentes tomos pueden formar entre s estados ligados que los denominamos molculas. El nmero de molculas diferentes conocidas es enorme. Solamente las molculas de tipo orgnico, que involucran tomos de C, H, O y N, pueden suponer del orden de 108 molculas diferentes. Salvo la fuerza fuerte que liga a los quarks y por lo tanto a los protones y neutrones para formar los ncleos, el resto de las estructuras ligadas, es decir tomos y molculas, se forman mediante fuerzas exclusivamente electromagnticas. Las partculas elementales parecen no tener tamao, o en su caso, sus dimensiones oscilan alrededor de valores del orden de 1019 m para un electrn o de 1015 m para el protn. El tamao aparente de un tomo es del orden de 1010 a 1011 m, lo que da a entender que la estructura de un tomo es un conjunto de pequeas entidades sumergidas en una regin en la que casi todo es vaco. La materia es discreta, existiendo zonas muy localizadas donde se concentran las partculas, movindose en el vaco. Sin embargo, es posible analizar sistemas extensos de materia, como si sta estuviera constituida por un todo continuo, sin espacios vacos. Una roca, un recipiente con agua, el aire que nos rodea, son sistemas materiales, que si pretendemos hacer de ellos una descripcin macroscpica sin reparar en el detalle a la escala atmica, aparecen como un medio continuo. El objeto de la Fsica de los Medios Continuos es el estudio de los sistemas materiales cuya apariencia a escala macroscpica es la de un todo continuo. El anlisis y desarrollo terico de la fsica de los medios continuos fue el objeto de estudio de la Fsica del siglo XIX. Termodinmica, Mecnica Estadstica, Teora de la Elasticidad, Mecnica de uidos, Electromagnetismo, son algunos de los grandes campos de aplicacin de la Fsica de los Medios Continuos. Para su anlisis vamos a proceder como en el anlisis de cualquier otro sistema material. Comenzaremos por la Cinemtica, entendiendo por tal de forma general la descripcin geomtrica de las variables y observables que vamos a utilizar, as como el tipo de objetos matemticos con que los vamos a representar y sus relaciones operativas. Veremos que entre las propiedades de los sistemas materiales existen algunas que llamaremos escalares, vectores y ms generalmente, tensores. El distinguir el tipo de objeto geomtrico asociado a una propiedad fsica es una de las caractersticas ms importantes de su denicin. La temperatura es una propiedad escalar, que no es de tipo global, pues distintas partes de un sistema extenso pueden tener distintas temperaturas. Es una propiedad local, que en sentido estricto est denida en cada punto del sistema. La masa del sistema es otra propiedad escalar, pero esta es de tipo global. Sin embargo, distinguiremos la masa global de la masa de pequeas porciones innitesimales de materia, lo 1
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NDICE GENERAL
que nos llevar al concepto de densidad. La densidad de un medio material ser, por lo tanto una propiedad escalar local, denida en cada punto del medio continuo. El desplazamiento de un punto, su velocidad, son magnitudes vectoriales, puesto que adems de tener una magnitud, involucran una direccin en el espacio. Todas estas propiedades dependen del punto y del instante en que las estamos midiendo. Se dice que estas magnitudes denen un campo. As, hablaremos del campo de temperatura, campo de densidad, de velocidad, de desplazamiento, etc. El que el medio en el que estn denidas es un medio continuo, se reeja en la propiedad matemtica de que todas estas magnitudes vienen caracterizadas por funciones continuas (y derivables) del espacio y del tiempo. La descripcin de las fuerzas que se hacen los sistemas materiales, as como la fuerza que una parte del sistema hace sobre otra, la analizaremos en el captulo dedicado a las tensiones. Aunque las fuerzas entre dos partculas son vectores, cuando lo que tenemos son innitos puntos que hacen fuerza sobre otros innitos puntos, la forma de caracterizar esto es mediante un objeto geomtrico que se va a denominar un tensor. Viene caracterizado por tener varias componentes, algunas ms que en el caso de un vector que es una magnitud geomtrica de tres componentes. Cuando a un sistema material le sometemos a fuerzas externas, esto produce modicaciones tanto en la forma como en la evolucin del sistema. Estudiaremos por lo tanto, las deformaciones que se producen en los sistemas continuos y su forma de describirlo, as como las leyes generales que nos permiten determinar la evolucin temporal del sistema y de sus partes, que se conoce genricamente con el nombre de dinmica. En esos captulos va a quedar descrito de forma general el formalismo que se va a utilizar para tratar cualquier sistema material que consideremos como un medio continuo. Su utilidad la veremos en el estudio de dos tipos diferentes de medios continuos: los medios materiales slidos y los medios uidos. No existen medios materiales estrictamente rgidos. En general todos los sistemas materiales se deforman en mayor o menor grado. De una forma general podramos decir que un slido es un medio material que se resiste a ser deformado. Un uido, en cambio, es un medio material que parece que se puede adaptar a la forma de cualquier recipiente y, por lo tanto, su caracterstica principal no es que no se deforme, sino que en general ofrecer resistencia a los posibles cambios en su estado de deformacin. De los medios materiales slidos vamos a estudiar aquellos sistemas materiales en los que va a existir una relacin lineal entre los esfuerzos realizados sobre el sistema y las deformaciones producidas. Es lo que se denomina teora de la elasticidad lineal. El objeto de estudio de los sistemas materiales lquidos, es lo que constituye el cuerpo de la mecnica de uidos. Entre los uidos examinaremos los uidos ideales y los uidos reales o viscosos. Veremos que la viscosidad juega un papel fundamental. Si el aire no fuera viscoso los aviones no volaran. Cada vez que perturbamos el estado de equilibrio de un sistema material extenso, la perturbacin no viaja de forma instantnea a toda la masa del sistema. Se produce lo que se conoce como una onda. El anlisis de las ondas en medios materiales, ser el objeto de estudio de un captulo, en el que analizaremos este fenmeno de propagacin, tanto en slidos como en lquidos, poniendo de maniesto sus diferencias. Finalizaremos con un captulo general dedicado al anlisis dimensional. Las variables fsicas poseen dimensiones, pero redeniendo adecuadamente nuevas variables, podemos hacer que una expresin o ley fsica aparezca en trminos de variables adimensionales y de algn o algunos parmetros numricos, tambin adimensionales. La resolucin de dichas ecuaciones o leyes depender de su estructura matemtica, la cual es independiente de la naturaleza fsica de las variables utilizadas, ya que stas se han hecho adimensionales. Dos problemas fsicos diferentes, cuyas ecuaciones fundamentales sean exactamente las mismas, una vez reducidos los dos problemas a variables adimensionales, tendrn el mismo tipo de solucin, la cual depender solamente de los valores numricos de las constantes que aparezcan.
Captulo 1
Cinemtica1.1. El Principio atmico y la Hiptesis de continuidadSi tomamos una porcin de materia slida y procedemos a dividirla en trozos menores, somos conscientes de que a una cierta escala, empieza a manifestarse una estructura granular, una prdida de uniformidad. En el caso de los uidos esto no es tan aparente y parece sugerir que las porciones inferiores siguen conservando un aspecto estructural equivalente al de la sustancia primitiva. En este proceso de divisin de la materia podemos tener dos posibilidades: o bien el proceso es indenido y siempre es posible dividir cualquier porcin de materia, por pequea que sea, o en la situacin opuesta, tras un nmero nito de pasos llegamos a un objeto ltimo, indivisible, una partcula elemental. En este segundo caso, si es generalizable a la materia en su conjunto, diremos que se satisface el Principio atmico. En el primer caso, si la materia pudiera dividirse de forma indenida, diramos que se satisface la Hiptesis de continuidad. La materia sera un continuo. Hoy en da, es la hiptesis atmica la que parece ser ms acorde con la realidad material. Sin embargo, es posible describir sistemas materiales de muchas partculas como si fueran un todo continuo. Se denomina camino libre medio molecular a la distancia media que las molculas de un uido recorren entre dos choques consecutivos. Si este camino libre medio es mucho menor que las dimensiones caractersticas macroscpicas del sistema total, entonces aproximar dicho sistema material por un continuo nos permite aprovechar las facilidades del anlisis para describirlo en trminos de funciones continuas y derivables.
1.2. Medios continuos y discretosSe trata de aproximar los sistemas extensos mediante la hiptesis de que un sistema material de muchas partculas puede ser considerado como un continuo. Son situaciones en las que el comportamiento macroscpico del sistema material se explica sin tener presente su estructura molecular. Todas las propiedades del sistema como densidad, presin, velocidades y aceleraciones, viscosidad, estado de tensiones, etc., sern funciones continuas de punto y del tiempo. Estas propiedades o magnitudes fsicas, las conocemos con el nombre genrico de campos. Cada una de estas magnitudes es funcin f (r, t), donde r R3 toma valores en una cierta regin del espacio fsico tridimensional R y durante un intervalo de tiempo t (t1 , t2 ) arbitrario. Adems, el carcter geomtrico de estas magnitudes har que hablemos de campos escalares, vectoriales, tensoriales, etc. 3
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CAPTULO 1. CINEMTICA
1.2.1.
Notacin indicial
Como las distintas magnitudes escalares , vectoriales vi , tensoriales Tij , etc, que sern en general funciones de punto y del tiempo, se van realizar con ellas las operaciones normales del clculo y se van a derivar respecto de las variables espaciales y del tiempo, adoptamos los siguientes convenios y notaciones: Convenio de suma: Cada vez que en una expresin aparezcan multiplicadas dos o ms magnitudes con ndices repetidos, se sobreentender que existe suma sobre ese ndice. Por ejemploi=3
vi Tij i=1
vi Tij = v1 T1j + v2 T2j + v3 T3j = wj
Las diferentes derivadas parciales se escriben como
i = ,i xi
vj i vj = vj,i xi
Tjk i Tjk = Tjk,i xirot v =
i=3
=i=1
ei
= ei = ei i xi xiijk j vk .
div v =
v = i vi = vi,i ,
v,
(
v)i =
El tensor antisimtrico ijk vale +1 si sus ndices ijk son una permutacin par de 123, 1 si es una permutacin impar y 0 si hay dos ndices repetidos y satisface
ijk qrs
=
iq jq kq ir jr kr is js ks
y al sumarlo sobre un ndice
ijk rsk
= ir js is jr ,
siendo ij = ji un tensor simtrico que vale 1 si i = j , y 0 si i = j . Se puede usar el tensor antisimtrico ijk para denir el determinante de una matriz Aij , mediante 1 det(A) = ijk nrs Ain Ajr Aks . 6
1.2.2.
Componentes de un vector y de un operador lineal
En el espacio vectorial R3 tenemos una base formada por tres vectores linealmente independientes ei , i = 1, 2, 3, no necesariamente ortogonales ni de norma unidad. Si damos un vector arbitrario v , denominamos componentes covariantes de v y las designamos por vi a los valores reales vi = ei v . Un operador lineal sobre un espacio vectorial A es un objeto que transforma vectores en vectores pero de forma lineal, esto es, A(av + bw) = aAv + bAw. Basta por lo tanto conocer cmo acta A sobre los vectores de la base ei para saber cmo acta sobre cualquier otro vector. Por lo tanto nos interesa conocer las componentes de los vectores transformados Aei . A estas componentes les denominamos componentes matriciales del operador A en la base ei y las representamos por Aji = ej Aei < ej |A|ei >, y en general Aij = Aji . Sea f k , k = 1, 2, 3 otra base del espacio vectorial. Se podr expresar una en trminos de la otra mediante unos coecientes Bkl o bien Ckl :
f k = Bkl el ,
ek = Ckl f l .
f k = Bks Csl f l ,
Bks Csl = kl .
Tambin Ckl Bls = ks . Como matrices, B y C son inversas la una de la otra.
1.2. MEDIOS CONTINUOS Y DISCRETOS
5
Si la base primera fuera ortonormal, es decir que los vectores de la base fueran ortogonales y de norma unidad, ei ej = ij , los coecientes Bkl son precisamente
f k el = Bkr er el = Bkr rl = Bkl .Si adems la segunda base fuera tambin ortonormal, entonces
el f k = f k el = Bkl = Clk ,y la matriz C , inversa de la B , es su traspuesta. Veamos cmo se expresan las componentes de los vectores y de las matrices en una y otra base. vk = f k v = Bkl el v = Bkl vl . vj = ej v = Cjl f l v = Cjl vl .
Akr = f k Af r = Bkl el A Brs es = Bkl Brs el Aes = Bkl Brs Als . Aij = ei Aej = Cir f r ACjk f k = Cir Cjk f r Af k = Cir Cjk Ark .Conviene observar que el cambio de base f k = Bkl el y la transformacin de las componentes del vector vk = Bkl vl , se hace con los mismos coecientes Bkl y adems la suma se realiza sobre el segundo ndice l. Por eso a las componentes vi del vector se les da el nombre de componentes covariantes, es decir, que transforman de la misma forma o co-varan que el cambio de los vectores base. Desde otro punto de vista, cualquier vector se puede expresar como una combinacin lineal de los vectores de la base v = v i ei v 1 e1 + v 2 e2 + v 3 e3 . Observar que a los coecientes v i les hemos puesto el ndice en la parte superior (o superndice). Esto se debe a que estas componentes son distintas en general de las vi (con subndice). Se las denomina componentes contravariantes del vector, porque frente al cambio de base f k = Bki ei ,
v = v i ei = v k f k = v k Bki ei ,
v i = v k Bki ,
v i Cij = v k Bki Cij = v k kj = v j ,
v j = Cij v i ,
es decir transforman con los coecientes contrarios del cambio de base, es decir de la base ei en trminos de la base f j , y adems sumndose sobre el primer ndice. Solamente, si las bases son ortonormales, entonces las componentes covariantes y contravariantes son las mismas v i = vi .
1.1 Demostrar que las componentes covariantes y contravariantes de un vector son las mismas cuando la base ei , i = 1, 2, 3, es una base ortonormal.Ejercicio
1.2.3. Descomposicin polar de una matriz no singularDada una matriz no singular A, siempre es posible descomponerla en un producto de dos matrices no singulares de las que una de ellas es una matriz de rotacin R y otra es una matriz no singular simtrica S o T A = RS = T R. En ambos casos la matriz de rotacin es la misma pero la matriz simtrica T no tiene por qu ser la misma que la S . Como det R = 1, se tiene que det A = det S = det T . La matriz S = AT A y R = AS 1 . En el otro caso T = AAT que coincidir con S si A conmuta con AT .Efectivamente, si A es no singular AT A es una matriz simtrica denida positiva pues det(AT A) = (det A)2 > 0. Sus valores propios son nmeros positivos y sus vectores propios son ortogonales. Por lo tanto existe una matriz de rotacin que la diagonaliza. Sea S esa matriz de rotacin. Entonces D2 = S T AT AS , con D una matriz diagonal y D2 una matriz diagonal de nmeros positivos. Entonces SD2 S T = AT A y SDS T = AT A = S , simtrica pero no necesariamente diagonal. Si ahora hacemos
AT A = SRT RS = S 2 ,
RT R = I
y R es una matriz de rotacin. El nombre de descomposicin polar hace referencia a que S o T representa al mdulo de A y la matriz de rotacin R es el argumento o fase.
6
CAPTULO 1. CINEMTICA
1.2.4.
Transformacin de un tensor
Lo que caracteriza a una magnitud tensorial no es el hecho de que sea un objeto geomtrico con un conjunto de ndices, sino la forma de transformar bajo los cambios de los sistemas de referencia. Aqu nos vamos a ceir exclusivamente a cambios de sistemas de referencia cartesianos en los que ejes ortonormales son transformados en ejes ortonormales, pero la denicin de tensor se puede extender a cualquier cambio de coordenadas, no necesariamente cartesianas ni ortogonales. En este curso, al ceirnos a cambios de sistemas de referencia cartesianos ortogonales, no vamos a distinguir entre componentes covariantes y contravariantes de ninguna magnitud tensorial. Supongamos que trasladamos el origen de coordenadas a otro punto de tal manera que las nuevas coordenadas de un punto cualquiera sean xi = xi + ai . Una magnitud escalar denida por la funcin campo f (x), se escribir como f (x ) en trminos de las nuevas variables, donde f representa en general una funcin distinta que la f , pero que tomar el mismo valor en x que la funcin f en x, y eso para todo punto. Luego f (x ) g(x ) = f (x) = f (xi ai ). Por lo tanto el campo g , relativo al nuevo sistema de referencia, y como funcin de las nuevas variables x , se obtiene sin ms que reemplazar en el campo f , las variables xi por sus transformadas xi ai . Si lo que tuviramos denido en cada punto x fuera un campo vectorial vj (x), entonces como no hay cambio de orientacin de los ejes cartesianos, las componentes del vector no cambiarn ya que no hay cambio de los vectores de la base, pero s su argumento por lo que vj (x ) = vj (xi ai ). En cada funcin que dene la correspondiente componente vj reemplazamos las viejas coordenadas en trminos de las nuevas. Hagamos otro cambio de coordenadas en el que haya cambio de orientacin de los ejes, pero sin cambio en el origen. Supongamos que bajo este cambio de coordenadas, las componentes del vector de posicin de un punto transforman
xi = Rij xj ,
xj = (R1 )ji xi = Rij xi
donde la matriz de paso Rij es una matriz de rotacin y la matriz de paso inversa es su transpuesta. Si lo que tenemos es un campo escalar f (x), en el nuevo sistema de referencia aparece como el campo f (x ) = f (Rij xi ), sin ms que reemplazar las antiguas variables en trminos de las nuevas. Pero, que pasa para un campo vectorial, como por ejemplo el campo de velocidad? Las componentes del vector velocidad transforman de la misma manera que las del vector de posicin vi = Rij vj , pero donde en los argumentos hemos reemplazado las antiguas variables xi por las xj por lo que la anterior forma de transformar debera escribirse
vi (x ) = Rij vj (Rij xi ),
(1.1)
es decir, primero sustituimos en cada funcin vj (x) las variables xi en trminos de las xj y despus hacemos la combinacin lineal de las nuevas funciones con la matriz Rij . El gradiente de una funcin , denotado por las tres magnitudes ,i es tambin una magnitud que transforma de la misma manera, pues:
,i (x ) =
(x(x )) xj i (x ) = = Rij (x(x )),j xi xj xi
donde por x(x ) queremos representar que escribimos las antiguas variables xi en trminos de las nuevas y adems la matriz Jacobiana xj /xi = Rij , por lo que el gradiente transforma igual que el campo vectorial vi y la combinacin lineal de sus componentes es con la matriz Jacobiana de la transformacin, como sucede a las componentes del vector de posicin. Decimos que el gradiente es tambin un campo vectorial.
1.2. MEDIOS CONTINUOS Y DISCRETOS
7
Ejemplo
Si hacemos el cambio de variables x = x + 2, cmo es el campo escalar transformado? De 2 acuerdo con lo anterior, x = x 2, y as, f (x ) = (x 2)2 + 3(x 2) = x x 2, en trminos de las nuevas coordenadas.
1.1 Supongamos en dimensin 1, un campo dado por la funcin f (x) = x2 +3x.
Ejemplo 1.2 Sea un campo vectorial que en coordenadas cartesianas tiene por componentes en una base:
v1 (x, y, z) = 2yz x2 ,Si hacemos el cambio de 2 2 x y = 1 1 2 3 z 2 1
v2 (x, y, z) = z 2 y 2 ,
v3 (x, y, z) = 2x(y + z),
x, y, z
coordenadas dado por la matriz ortogonal R x 1 x 2 1 2 x 1 2 y , su inversa y = 2 2 1 y 3 z z z 2 1 2 2
Lo primero, de acuerdo con (1.1), es cambiar en cada componente las antiguas variables en trminos de las nuevas
2 1 2 (2x + 2y + z ) (x 2y + 2z ) (2x + y + 2z ) = y 2 2x z 9 9 1 1 1 2 2 v2 (x , y , z ) = (x 2y + 2z ) (2x + 2y + z ) = (x z )(x 4y + z ) 9 9 3 2 (2x + y + 2z ) ((2x + 2y + z ) + (x 2y + 2z )) = v3 (x , y , z ) = 9 2 = (x z )(2x + y + 2z ) 3 v1 (x , y , z ) =y ahora realizar con ellas la combinacin lineal dada por la matriz R, es decir
v1 (x , y , z ) = v2 (x , y , z ) = v3 (x , y , z ) =
1 (2v1 2v2 v3 ) = 3 1 (v1 + 2v2 2v3 ) = 3 1 (2v1 + v2 + 2v3 ) = 3
2 x 2 y 2 z 2 x y 2x z + y z , 3 1 2x 2 y 2 2z 2 + 4x y 2x z 4y z , 3 1 (3x 2 2y 2 + 3z 2 4x z ). 3
Tambin podramos haberlo hecho, primero representando los vi en trminos de los vj , y despus expresar las x, y, z en trminos de las x , y , z a partir de la transformacin inversa.
Como otro ejemplo hagamos ahora ambas cosas, un cambio de orientacin y un cambio de origen del sistema de referencia.
xi = Rij xj + ai ,
xj = R1 ji (xi ai ) = Rij (xi ai ).
En el caso del gradiente, solamente la matriz Jacobiana es la que interviene para realizar la combinacin lineal de las componentes, en tanto que el desplazamiento aparece solamente en el cambio de argumento, por lo que
,i (x ) =
(x(x )) xj i (x ) = = Rij (Rij (xi ai )),j xi xj xi
El argumento se modica con la transformacin inversa, esto es, expresando las variables xi en trminos de las nuevas variables xj y luego haciendo la combinacin lineal de las componentes con la matriz Jacobiana xi /xj = Rij .
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CAPTULO 1. CINEMTICA
Esto puede generalizarse a magnitudes que vengan descritas por objetos geomtricos con ms ndices. As, un tensor de dos ndices Tij es una magnitud que transforma de esa manera para cada uno de sus ndices, es decir
Tij (x ) = Rik Rjs Tks (x(x )),de la misma forma que las componentes de una matriz 2 2, y se puede extender esto mismo para un tensor de ms de dos ndices. Las ecuaciones de transformacin de un tensor de dos ndices pueden tener una escritura matricial, si consideramos que el primer ndice es el ndice de la y el segundo el de columna, con lo que si T representa la matriz de componentes Tij y R la matriz de rotacin, la anterior expresin se escribe T = RT RT , (1.2) siendo RT la matriz de rotacin transpuesta. Sin embargo esto no es posible para tensores de ms de dos ndices. Si el cambio de coordenadas no es ortogonal, esto es, pasamos de las coordenadas xi a las coordenadas xj , que no es necesario que sean ni siquiera cartesianas, dado por las ecuaciones de transformacin xj = fj (xi ), quien juega el papel de la matriz de rotacin Rij es la matriz Jacobiana de la transfomacin Fij = xi /xj . De esta forma un pequeo vector, el elemento de arco, transforma: xj dxj = dxi = Fji dxi . xi En el caso particular de un cambio de ejes ortogonales esta matriz Jacobiana es precisamente la matriz de rotacin Rij . De esta manera, la transformacin general de un tensor de dos ndices es Tij (x ) = Fik Fjs Tks (x(x )). (1.3) Ahora, quien juega el papel de la matriz de paso Bij es la Fji = xj /xi y de la matriz de paso inversa Ckl , la Gkl = xk /xl , es decir, la matriz Jacobiana inversa.Ejemplo
1.3 Supongamos un tensor de dos ndices Tij (x, y, z), cuyas componentes en una base cartesiana son z y 0 Tij (x, y, z) = 0 z x . x 0 y
Si ahora hacemos el cambio dado por la matriz ortogonal del ejemplo 1.2, Rij , se trata de determinar las componentes del tensor en las nuevas coordenadas (x , y , z ). Por ser un tensor de dos ndices, podemos usar su representacin matricial y, de acuerdo con (1.2), el tensor transformado es el 2 2 1 z y 0 2 1 2 1 T (x, y, z) = RT (x, y, z)RT = 1 2 2 0 z x 2 2 1 = 9 2 1 2 y 0 x 1 2 2
3y + 8z 1 = 6x 2z 9 3x 6y + 2z
3x + 6y 2z 6x + 6y + 5z 4z
6x + 2z 3y + 4z 6x + 6y + 5z
y a continuacin expresar las antiguas variables en trminos de las nuevas variables primadas, con lo que nalmente 2x 22y + 13z 4x + 19y + 8z 14x 10y 8z 1 10x 2y 16z 29x 4y + 4z 2x 14y + 5z . T (x , y , z ) = 27 16x 13y + 4z 4x 8y + 8z 5x + 8y + 28z
1.3. CONFIGURACIONES
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Un tensor se dice simtrico si sus componentes Tij = Tji , cualesquiera que sean i y j . Un tensor se dice antisimtrico si sus componentes Tij = Tji , cualesquiera que sean i y j . En este caso, cada una de las componentes diagonales Tjj = 0 (ahora no consideramos el criterio de suma). Los dos tensores ijk y ij son invariantes bajo los cambios de coordenadas, y el carcter simtrico o antisimtrico de un tensor es tambin una propiedad invariante. En el caso de tensores de dos ndices, su traza Tii , (sumado en i), es otra propiedad invariante. Los tensores simtricos de dos ndices tienen la propiedad de que poseen valores propios reales y que adems los vectores propios correspondientes son ortogonales, por lo que escogiendo como sistema de referencia unos ejes coordenados en las tres direcciones propias del tensor, ste aparecer en este sistema de referencia como un tensor cuyas nicas componentes no nulas son las de su diagonal Tii (sin suma sobre i), que sern precisamente los correspondientes valores propios del tensor. El carcter simtrico o antisimtrico de un tensor, permanece bajo los cambios de coordenadas.Ejercicio
1.2 Demostrar que el carcter simtrico o antisimtrico de un tensor, permanece bajo los cambios de coordenadas.
1.3. ConguracionesSea un medio material continuo que en el instante t = 0 ocupa una regin R(0) del espacio fsico tridimensional y la regin R(t) en el instante t. Sea X un punto de R(0) de coordenadas (X1 , X2 , X3 ) y que en el instante t se halla en el punto (x1 , x2 , x3 ) de R(t). A las (X1 , X2 , X3 ) se les denomina coordenadas Lagrangianas del punto material y a las (x1 , x2 , x3 ) se les da el nombre de coordenadas Eulerianas del mismo punto material, estando todas ellas referidas a un mismo sistema cartesiano de referencia con origen en O. Las coordenadas Lagrangianas son como si a cada punto material del sistema le pegsemos una etiqueta que viaja con l. Ambas coordenadas de acuerdo con la dinmica del sistema se pueden expresar en trminos unas de otras:
xi = fi (X, t),
Xi = gi (x, t),
i = 1, 2, 3 y que tambin Xi = fi (X, 0),
y como el punto x al que llega el punto X en el instante t es nico y est determinado, resulta que las funciones fi y gi son invertibles y dependen explcitamente del tiempo transcurrido t. Las funciones fi (X, t) corresponden a la solucin de la dinmica del punto que inicialmente se encontraba en Xi y que en el instante t se encuentra en xi . Las funciones gi (x, t) son las inversas de las anteriores. La condicin necesaria y suciente para que dichas funciones sean invertibles es que el determinante Jacobiano xi =0 J= Xj Las matrices (o tensores) obtenidas por estas ecuaciones de transformacin
Fij =verican
fi , Xj
Gij =
gi , xj det G = 1/J,
J = det F ,
F G = GF = I,
donde usamos el convenio de que si las expresamos por componentes el primer ndice representa la la y el segundo la columna F Fij y F G Fik Gkj , habiendo utilizado el convenio de sumacin sobre ndices repetidos. A veces lo interesante es expresar las diferentes magnitudes en trminos de los puntos materiales reales del sistema por lo que se utilizar la descripcin Lagrangiana en la que cada punto
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CAPTULO 1. CINEMTICA
Figura 1.1: Conguracin inicial R(0) y en el instante t, R(t), de un medio material. Se pueden distinguir tres tipos diferentes de curvas: trayectorias de las partculas, lneas de corriente y lneas de emisin. material posee unas coordenadas jas Xi que son su posicin en el instante inicial. Otras veces, cuando no es posible distinguir los diferentes puntos materiales del sistema, lo que se hace es asignar las magnitudes fsicas a los diferentes puntos de la regin de observacin, an cuando en stos la materia que los ocupa sea diferente en cada instante. Estamos en este caso en una descripcin Euleriana de la evolucin.
1.3.1.
Lneas de corriente, lneas de emisin y trayectorias
Trayectoria de un punto material es la curva que describe dicho punto material a lo largo deltiempo. La trayectoria de un punto X se expresa en coordenadas Lagrangianas mediante las funciones xi (t) = fi (X, t), (1.4)
Existen tres familias de curvas diferentes:
con los valores Xi jos. Parte del punto inicial X y llega en el instante t al punto actual x. La expresin (1.4) es la solucin general del sistema dinmico. Lnea de emisin de un punto dado P es la curva formada uniendo todos los puntos materiales de la conguracin inicial, que en algn instante pasarn por P . Su expresin es la
Xi (t) = gi (x, t),curva parametrizada por el tiempo t, pero con las coordenadas xi del punto P , jas. Su grca geomtrica queda connada en la regin inicial R(0). Lnea de corriente es cada una de las curvas que en el instante t su vector tangente en cada punto tiene la direccin del vector velocidad de ese punto. Estas curvas se deben calcular en cada instante t, en la correspondiente conguracin R(t).
1.3. CONFIGURACIONES
11
1.4 Sea un medio continuo de forma esfrica de radio R con centro en el origen de coordenadas. Su evolucin entre el instante t = 0 y un cierto tiempo t viene dada por las ecuacionesEjemplo
x1 = (1 + t)X1 ,
x2 = (1 + 2t)X2 ,
x3 = (1 t/2)X3 .
Lo que nos dan son las tres funciones fi (X, t), que representan las trayectorias de los diferentes puntos del sistema. Las funciones gi (x, t) son las que denen la transformacin inversa X1 = x1 /(1 + t), X2 = x2 /(1 + 2t), X3 = x3 /((1 t/2). Representan por lo tanto, en la conguracin inicial las lneas de emisin, es decir, los puntos X que en algn momento t van a pasar por el punto jo x. El origen queda donde estaba y lo que se produce es un aumento en el eje e1 otro aumento en la direccin e2 y se comprime el sistema en la direccin e3 . El gradiente de deformacin es (1 + t) 0 0 fi , det F = (1 + t)(1 + 2t)(1 t/2). F Fij = = 0 (1 + 2t) 0 Xj 0 0 (1 t/2) Este determinante es distinto de cero simpre que t = 2. Por lo tanto, salvo para ese instante, las ecuaciones de transformacin son invertibles. Esto implica, que desde el punto de vista fsico, las ecuaciones de la dinmica son solo vlidas para los instantes 0 t < 2. Analicemos a partir de ahora el sistema en el instante t = 1. Entonces, det F = 3, independiente del punto, por lo que todo elemento innitesimal de volumen del material ha aumentado su volumen 3 veces despus de la deformacin en ese momento, puesto que F adems de gradiente de la deformacin es la matriz jacobiana y los elementos de volumen cambian con el valor absoluto del Jacobiano, como veremos ms adelante. 2 2 2 La supercie exterior viene dada por la ecuacin de la esfera X1 + X2 + X3 = R2 , que despus de la deformacin y en el instante t = 1, resulta ser
x2 x2 1 + 2 + 4x2 = R2 , 3 4 9
x2 x2 x2 1 2 3 + + = 1, 2 2 (2R) (3R) (R/2)2
es decir un elipsoide cuyos ejes principales son los ejes coordenados, pero de semiejes de valores (2R, 3R, R/2). El interior de la esfera al deformarse, da lugar al interior del elipsoide. Los puntos que permanecen invariantes bajo la deformacin son los que satisfacen el sistema de ecuaciones
X1 = 2X1 ,
X2 = 3X2 ,
X3 =
1 X3 , 2
X1 = X2 = X3 = 0,
por lo que el origen es el nico punto que no se desplaza. La esfera posea un volumen V = 4R3 /3, en tanto que el elipsoide tiene por volumen en el instante t = 1 4 4 V = abc = (2R)(3R)(R/2) = 3V. 3 3 El sistema como un todo triplica su volumen.
1.3.2. Campo de velocidadEs un campo vectorial. Si el punto X se encuentra actualmente en el x dado por (1.4) dicho punto se mueve en el instante t con la velocidad
V (X, t) =
f dx = (X, t) dt t
12
CAPTULO 1. CINEMTICA
y se dice que esta funcin V (X, t) constituye una descripcin Lagrangiana del campo de velocidad. La funcin v(x, t) = V (g(x, t), t), representa el campo de velocidad en la descripcin Euleriana y se expresa en trminos de puntos del espacio x. Supuesto conocido el campo de velocidad en la descripcin Euleriana, cada punto se mueve con una velocidad tal que las lneas de corriente del sistema son las curvas tridimensionales cuyas tangentes son precisamente los vectores velocidad del medio:
dr = vdt,
o bien
dx dy dz = = , vx (x, y, z, t) vy (x, y, z, t) vz (x, y, z, t)
cuya solucin general en cada instante t nos producir la descripcin geomtrica de las lneas de corriente del sistema. Esta denominacin es genrica y es independiente de que el sistema material sea o no un uido. En general se dice que la evolucin dinmica del sistema material es estacionaria si las diferentes magnitudes fsicas del sistema no son funciones explcitas del tiempo y por lo tanto las lneas de corriente del sistema son siempre las mismas. En particular el campo de velocidad no es funcin de t y las trayectorias son unas curvas jas en el espacio. En este caso trayectorias, lneas de corriente y de emisin coinciden. Un caso particular de evolucin estacionaria es aqul en el que el sistema material est quieto y en este caso se dice que haremos un anlisis esttico del mismo.Ejemplo
1.5 Continuando con el ejemplo anterior, el campo de velocidad resulta ser:v1 = x1 = X1 , t v1 = x2 = 2X2 , t v3 = x3 = X3 /2, t
expresado en coordenadas Lagrangianas. En realidad el vector v est en realidad localizado en el punto x, por lo que es preciso expresarlo en coordenadas Eulerianas, es decir:
v1 =
x1 , 1+t
v2 =
2x2 , 1 + 2t
v3 =
x3 . t2
En este instante t, las lneas de corriente se obtendrn de integrar las ecuaciones
dx1 dx2 dx3 = = , v1 v2 v3cuya solucin general es
dx1 dx2 dx3 = = , x1 /(1 + t) 2x2 /(1 + 2t) x3 /(t 2)
(1 + t) ln x1 = x1
1 + 2t 2 = ax2
ln x2 + ln a,(t+1/2)
(1 + t) ln x1 = (t 2) ln x3 + ln b,t2 = bx3 ,
(1+t)
,
x1
(1+t)
a, b R.
En particular, en el instante inicial t = 0, se reducen a las curvas a2 y x2 = 0, z 2 x = b. En el instante t = 1, resultan ser las curvas tridimensionales x2 = ay 3/2 , x2 z = b.
1.4.
Tensor de deformaciones
Los sistemas materiales en general sufren desplazamientos. Deberemos distinguir por lo tanto entre un desplazamiento sin deformacin de otro en el que adems se pueda producir una alteracin del sistema, que denominaremos deformacin. Se dice que un medio continuo sufre deformaciones si las distancias relativas entre puntos cambian a lo largo del tiempo.
1.4. TENSOR DE DEFORMACIONES
13
Si consideramos un punto del sistema que en el instante t = 0 se encuentra en el punto de coordenadas (X1 , X2 , X3 ) y que en el instante t se halla en (x1 , x2 , x3 ) que de acuerdo con la dinmica del sistema se puede expresar en trminos del punto anterior mediante xi = fi (X, t), entonces un punto que distaba dXi del X distar dxi del x dado por
dxi =
fi (X, t)dXj . Xj
Esta diferenciacin se realiza a t constante y en el instante t. A la matriz Fij = fi /Xj se le da el nombre de gradiente de la deformacin en el punto X y en el instante t. Anlogamente, si tenemos otro punto prximo al X que dista Xi entonces distar del x en el instante t un valor xi dado por xi = Fij (X, t)Xj . Para determinar la deformacin no basta con medir las diferencias entre las componentes dXi y dxi pues en general una rotacin las modica. Una posibilidad es comparar los mdulos |dX| y |dx|, pero en este caso una rotacin del sistema material tampoco los alteraran. Por eso se dene la deformacin estudiando la variacin del producto escalar entre dos elementos arbitrarios
dx x dX X = dxi xi dXk Xk = Fij dXj Fil Xl dXk Xkpero los ltimos elementos los podemos poner
dXk = kj dXj ,con lo que
Xk = kl Xl ,
dXk Xk = kj dXj kl Xl = jl dXj Xl
(Fij Fil jl ) dXj Xl = 2Rjl dXj Xl .Al tensor Cij = Fki Fkj se le denomina tensor de las dilataciones, ya que establece en cada punto cmo se expresa dx x en trminos de dX X . El tensor Rij = (Cij ij )/2 recibe el nombre de tensor de deformaciones. Est denido en cada punto del medio material y sirve para calcular alrededor de cada punto cmo han variado los diferentes productos escalares entre pares de vectores con origen en ese punto. Si todas sus componentes Rij (X, t) son nulas en un punto, es que no ha habido deformacin alrededor de ese punto. el punto X desde el instante inicial t = 0 hasta el tiempo t, con respecto a la conguracin inicial es que el tensor de deformaciones Rij (X, t) = 0, en el punto X .Ejercicio
Teorema La condicin necesaria y suciente para que no exista deformacin en
1.3 Demostrar que el tensor de deformaciones Rij es efectivamente un tensor.
1.4.1. Diagonalizacin del tensor de deformacionesEl tensor de dilataciones Cij = Cji es simtrico y denido positivo por lo que sus valores propios son reales positivos. El tensor de deformaciones Rij = Rji es simtrico y posee los mismos vectores propios que el Cij y sus valores propios RJ estn ligados con los de ste CJ mediante RJ = (CJ 1)/2 > 1/2. Los valores propios RJ , en el caso de ser pequeos comparados con la unidad, representan la deformacin relativa de los correspondientes elementos de longitud, pues a lo largo la corresde pondiente direccin principal se tiene dx2 dX 2 = 2RJ dX 2 , con lo que dx/dX = 1 + 2RJ 2 1 + RJ + O(RJ ), y as dx dX + RJ dX . Si inicialmente tenemos un elemento de volumen de lados dX , dY y dZ , y despus de la evolucin se transforma en el elemento de lados dx, dy y dz , el volumen del sistema vale
dV = dxdydz = (1+R1 )(1+R2 )(1+R3 )dXdY dZ (1+R1 +R2 +R3 )dXdY dZ = (1+Rii )dV,
14
CAPTULO 1. CINEMTICA
a primer orden en las deformaciones, ya que la traza de un tensor es invariante bajo los cambios de coordenadas. Despejando la traza Rii
Rii =
dV dV , dV
(1.5)
La traza del tensor de deformaciones nos mide la variacin relativa del volumen del sistema en cada punto. Por eso un tensor de deformaciones de traza nula corresponde a una deformacin sin cambio local de volumen. Si un valor propio RI < 0, entonces en la correspondiente direccin principal
dx =
1 + 2RI dX < dX
y por lo tanto existe una contraccin, en tanto que existe una dilatacin si RI > 0. Si el valor propio es nulo, entonces no existe modicacin del elemento de arco que tiene esa direccin. Si n es un vector unidad, la magnitud
dxN =
2ni Rij nj dX
nos mide la deformacin del elemento de arco dX = ndX . Efectivamente, si dx es el transformado del dX , con dXi = ni dX , el clculo de dx2 dX 2 = 2Rij dXi dXj = 2Rij ni nj (dX)2 . Podemos pues interpretar que 2Rij nj dX es el elemento deformado del nj dX , que proyectado sobre s mismo, nos da el valor de la deformacin normal.
1.4.2.
Tensor de deformaciones linearizadoxi = Xi + ui (X, t)
Si llamamos u = x X al desplazamiento sufrido por el punto X , resulta que
y de aqu Fij = ij + ui /Xj , con lo que
Rij =
1 2
uj ui + Xj Xi
+
1 uk uk 2 Xi Xj
(1.6)
que contiene una parte lineal en el desplazamiento y otra cuadrtica. Si las variaciones de los desplazamientos |uj /Xi | 1 son muy pequeas entonces es buena la aproximacin del tensor de deformaciones por el tensor de deformaciones linearizado en la formulacin Lagrangiana
Lij =o en su formulacin Euleriana
1 2
uj ui + Xj Xi eij = 1 2
=
1 (Fij + Fji ) ij . 2
uj ui + xj xi
En general es el tensor Euleriano el que consideraremos como tensor de deformaciones en el caso de cuerpos slidos cuando el gradiente de los desplazamientos sea despreciable. En este caso de pequeos desplazamientos, si u(x, t) es lo que se ha desplazado el punto x, entonces dui = ui /xj dxj = Uij dxj . Al tensor Uij le denominamos tensor gradiente de los desplazamientos. Si esta modicacin que es lineal en los dxi se puede poner como dui = ikj k (x, t)dxj , la modicacin en el punto x de la variacin du = dx, corresponde a una rotacin local. En este caso Uij = Uji . El tensor de deformaciones es, precisamente, la parte simtrica del tensor Uij , 1 eij = (Uij + Uji ) , 2
1.4. TENSOR DE DEFORMACIONES
15
en tanto que la parte antisimtrica de Uij contiene informacin local de cmo ha rotado el medio alrededor del punto. Por eso, si el gradiente de desplazamientos Uij es un tensor antisimtrico entonces eij = 0. Segn la gura, si dos puntos prximos distan dxi , bajo una pequea deformacin distarn dxi = dxi + dui , por lo que
dx = dx2 + 2
2
ui ui ui dxi dxk + dxk dxl xk xk xl
El segundo trmino se puede escribir de forma ms simtrica
2con lo que
ui dxi dxk = xk
ui uk + xk xi
dxi dxk ,
dx = dx2 + 2eik dxi dxk ,
2
eik =
1 2
uj uj ui uk + + xk xi xi xk
= eki
Si el gradiente del desplazamiento es pequeo, por ejemplo en las deformaciones de los slidos, tomaremos como tensor de deformaciones en la descripcin Euleriana, cuando estudiemos la teora de la elasticidad lineal, el trmino de primer orden en los desplazamientos
eik =Ejemplo
1 2
ui uk + xk xi
= eki
(1.7)
1.6 Sea la deformacin de un medio continuo en el instante t = 1 del ejemplo anterior, dada por 1 x1 = 2X1 , x2 = 3X2 , x3 = X3 , 2 X1 = x1 /2, X2 = x2 /3, X3 = 2x3 ,El gradiente de deformacin es 2 0 0 F = 0 3 0 , det F = 3, 0 0 1/2 El tensor de dilataciones y el 4 C = FTF = 0 0
1/2 0 0 G = 0 1/3 0 , 0 0 2
det G = 1/3.
de deformaciones son: 3/2 0 0 1 9 0 , R = (C I) = 0 2 0 0 1/4
0 4 0
0 0 . 3/8
16
CAPTULO 1. CINEMTICA
1.4.3.
Estados de deformacin planos
Otra de las caractersticas de la matrices n n simtricas es que sus valores propios son reales y los correspondientes vectores propios son vectores ortogonales. Si escogemos como base del espacio vectorial estos vectores propios, entonces en esta base la matriz queda representada como una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal son precisamente sus valores propios. Esto mismo es vlido para los tensores simtricos. Cuando uno de los valores propios del tensor de deformacin en un punto es nulo, entonces se dice que en ese punto el estado de deformaciones es plano y el tensor adopta la forma matricial e11 e12 0 eij = e12 e22 0 . 0 0 0 El estado de deformacin se puede caracterizar de forma grca mediante los crculos de Mohr, que los estudiaremos al analizar las tensiones en el interior de los sistemas continuos.
1.5.
Tensor de velocidad de deformacin
Hasta el momento hemos representado la deformacin global sufrida en cada punto de un medio desde el instante inicial t = 0 hasta el instante nito t. Ahora lo que vamos a expresar es cmo se deforma un medio por unidad de tiempo. Esto es especialmente interesante en el caso de medios materiales uidos, en los que los cambios de posicin de un punto material pueden ser importantes, pero lo que interesa medir es con qu velocidad cambian estos cambios de posicin. Esto contrasta con el anlisis de la deformacin de un slido que prcticamente permanece esttico, del cual interesa medir su deformacin global. En cambio un uido, por el hecho de desplazarse est continuamente deformndose. Si consideramos como anteriormente la variacin del producto escalar dx x dX X de dos elementos innitesimales ahora lo que queremos es determinar cmo cambian por unidad de tiempo, esto es la d(dxxdX X)/dt = d(dx x)/dt, ya que tanto dX como X no son funciones de t. Entonces
d(dxi ) = dt tpues
fi (X, t) dXj Xj
=
Xj
fi (X, t) t
dXj =
vi (X, t) vi (x, t) dXj = dxk , (1.8) Xj xk
vi vi xk vi dXj = dXj = dxk . Xj xk Xj xk vi vk + xk xi
Si ahora calculamos
d(dx x) vi (x, t) vk (x, t) = dxk xi + dxk xi = dt xk xi
dxk xi = 2Dik dxk xi .
El gradiente espacial del campo de velocidad instantneo dene un tensor que lo llamamos tensor gradiente de velocidad Yij vi /xj , el cual puede descomponerse en sus partes simtricas y antisimtricas Dij y Vij , respectivamente. Y = D + V . Al tensor simtrico
Dij =
1 2
vj vi + xj xi
= Dji ,
donde vi (x, t) es el campo de velocidad en el punto x en el instante t, se le denomina tensor de velocidad de deformacin y est descrito en trminos de las variables Eulerianas, y como acabamos de ver contiene la informacin que da cuenta de la velocidad de deformacin (o deformacin por unidad de tiempo) de dx x, para cada par de elementos dx y x alrededor
1.5. TENSOR DE VELOCIDAD DE DEFORMACIN
17
de cualquier punto. Para obtenerlo a partir del tensor de deformaciones Rij , hay que hacer la tranformacin Jacobiana inversa, para escribirlo en coordenadas Eulerianas actuales, por lo que
D = GT
dR G. dt
(1.9)
En efecto, la deformacin de un par de elementos se mide como dxxdX X = 2Rij dXi Xj . Si lo que queremos es escribir la derivada temporal de esto como 2Dij dxi xj , tendremos que expresar dRij dXi = Gij dxj , etc. lo que conduce a 2 dt Gik dxk Gjl xl , es decir a la expresin (1.9).
Al tensor antisimtrico
Vij =
1 2
vj vi xj xi
= Vji
se le denomina tensor de vorticidad o giro y representar, como veremos en el caso de un slido, la velocidad angular de giro del medio alrededor de cada punto. En el caso de un uido, nos dene la existencia de torbellinos alrededor de cada punto.
Teorema La condicin necesaria y suciente para que no exista deformacin de unacierta regin R entre los instantes t1 y t2 es que el tensor de velocidad de deformacin D(x, t) = 0, en todo punto x R de la regin y para todo t (t1 , t2 ).
En este caso de medio sin deformacin la estructura del campo de velocidad es de la forma
v(x, t) = A(t) + B(t) x,con A(t) y B(t) dos funciones vectoriales arbitrarias del tiempo, jugando B(t) el papel de una velocidad instantnea de rotacin como veremos a continuacin. De esta manera, aunque exista movimiento no existe deformacin y el movimiento se reduce a una traslacin y rotacin sin deformacin. El conjunto de trayectorias de todos los puntos del medio constituyen una congruencia rgida. Si Dij (t) = 0 a partir de un cierto t1 , entonces dRij /dt = 0 a partir de ese momento, lo cual implica que el tensor de deformaciones Rij va a mantenerse constante en el tiempo. Esto no quiere decir que el sistema no se haya deformado desde el comienzo, sino que a partir de ese instante t1 el sistema no se deforma ms, quedando con la deformacin que haba adquirido hasta ese momento.Ejemplo
1.7 Sea la deformacin plana dada por las ecuaciones dependientes del tiempox1 = X1 + X2 (et 1), x2 = X1 (et 1) + X2 , x3 = X3 ,
con transformacin inversa
x1 + x2 (et 1) x1 (et 1) x2 , X2 = , X3 = x3 . t et 1e 1 et et 1 et 1 0 1 1 et 1 F = et 1 1 0 , det(F ) = 2 cosh t1, G = 1 2 cosh t 0 0 1 0 t t 1 + e (e 2) 2 cosh t 2 0 2R = F T F I = 2 cosh t 2 1 + et (et 2 0 . 0 0 0 X1 =
et 1 0 . 1 0 0 1 2 cosh t
La deformacin es continua y el medio incrementa su volumen a medida que crece t. El campo de velocidad es en ambas descripciones
V1 = X2 et ,
V2 = X1 et ,
V3 = 0.
18v1 =
CAPTULO 1. CINEMTICAx1 (et 1) x2 t x1 x2 (et 1) t e , v2 = e , v3 = 0. 1 et et 1 et et El gradiente de velocidad y los tensores de velocidad de deformacin Dij y vorticidad Vij t (e 1)et et 0 0 cosh t 0 1 1 cosh t Yij = et (et 1)et 0 , Vij = 0 0 ., 1 2 cosh t 1 2 cosh t 0 0 0 0 0 0 t (e 1)et sinh t 0 1 dR sinh t Dij = G. (et 1)et 0 , D = GT 1 2 cosh t dt 0 0 0Esto corresponde a una vorticidad que tiene la direccin del eje OZ y que incrementa con el tiempo. Las lneas de corriente provienen de integrar
dx1 dx2 dx3 = = , v1 v2 v3
dx1 dx2 = , (x1 (et 1) x2 )et (x1 x2 (et 1))et
dx3 = 0.
1.6.
Slido rgido
La evolucin de un slido rgido con un punto jo es una rotacin. Un punto cualquiera referido a un sistema de coordenadas que tiene su origen en el punto jo tiene una posicin inicial X y en el instante t se encuentra en x = R((t))X R(t)X , siendo R((t)) la rotacin global sufrida por el slido desde el instante inicial. El movimiento ms general de un slido rgido es
xi = R(t)ij Xj + si (t),y se compone de una rotacin arbitraria y de un desplazamiento arbitrario, funciones continuas del tiempo. El gradiente de la deformacin es por lo tanto
Fij =por lo que el tensor de deformacin es
xi = R(t)ij , Xj
R(x, t)ij =
1 1 1 (Fki Fkj ij ) = (R(t)ki R(t)kj ij ) = (ij ij ) = 0, 2 2 2
e independientemente del punto inicial X que estemos considerando (No confundir aqu el tensor de deformacin R(x, t)ij con la matriz de la rotacin Rij ). Un cuerpo al rotar y trasladarse no sufre una deformacin en ninguno de sus puntos y por lo tanto tampoco sufre una deformacin global. Como el determinante de la matriz Jacobiana es 1, ya que se trata de una matriz ortogonal, entonces no experimenta cambio de volumen. Podemos verlo tambin sabiendo que si Rij = 0, tambin su traza Rii es nula y por lo tanto la modicacin relativa de los elementos de volumen es cero. Supongamos que la traslacin si (t) = 0. La velocidad del punto arbitrario
v=
dx x = R((t))X = R((t))R((t))T x, dt
que es una funcin explcita de x. Como toda matriz que representa una rotacin es una matriz ortogonal, satisface RRT = I, tambin lo hacen las R((t)), con lo que derivando se tiene RRT + RRT = 0 = + T . La matriz = RRT es antisimtrica y sus tres componentes esenciales denen la velocidad angular del slido (t), con lo que tambin podemos poner
v = x,
vi (xj , t) =
ijk j (t)xk
= ik xk ,
1.6. SLIDO RGIDO con lo que la relacin entre la velocidad angular y la matriz antisimtrica es 0 3 2 1 ik = ijk j , j = jkl kl = 3 0 1 . 2 2 1 0 La divergencia y el rotacional de este campo de velocidad son div v =
19
v = 0,
rot v =
v = 2,
por lo que no posee fuentes, sus lneas de campo son curvas cerradas y est producido por su rotacional que es un campo vectorial uniforme (t), pero funcin de t en general, en todo punto del cuerpo. El tensor de velocidad de deformacin resulta ser:
D(x, t)ij =
1 ( 2
ikj k
+
jki k )
=
1 ( 2
ijk k
+
ijk k )
= 0,
independientemente del punto x y del instante t. Un slido rgido en rotacin no sufre ninguna deformacin en ningn instante de su evolucin. En el caso de que adems haya traslacin, el campo de velocidad en la descripcin Euleriana resulta ser: vi = xi = R(t)ij Xj + si (t), y como se escribe
Xj = RT (t)jk (xk sk ), vi (x, t) = (t)ij xj + wi (t),donde wi (t) = si (t) (t)ik sk (t),
por lo que el tensor de velocidad de deformacin tiene la misma estructura que en el caso anterior. La traza del tensor de velocidad de deformacin
Dii =
1 2
vi vi + xi xi
=
v,
que en el caso del campo de velocidad del slido rgido se anula. Las componentes esenciales del tensor de vorticidad son la mitad del rotacional del campo de velocidad con lo que en el caso del slido nos conduce a que Vij = ijk k = ij . Como las ecuaciones que denen todo campo vectorial son las que nos precisan cuanto valen en cada punto y en cada instante su divergencia y su rotacional, junto con las condiciones de contorno en un instante dado, para un campo de velocidad general tendremos: div v =
v = Dii (x, t) = Yii ,
(rot v)i =
ijk Ykj
=
ijk (Dkj
+ Vkj ) =
ijk Vkj .
Al ser Dij simtrico, una vez diagonalizado es en la diagonal, y por lo tanto en su traza, donde se encuentran las fuentes del campo. Las fuentes del campo estn relacionadas con la traza, y por lo tanto con la parte simtrica, del tensor gradiente de velocidad. Los torbellinos del campo lo estn donde la vorticidad sea distinta de cero, esto es, en la parte antisimtrica del mismo tensor gradiente de velocidad Yij .Ejercicio
1.4 Comprense las ecuaciones del campo de velocidad de un slido rgido con las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo en el caso estticodiv E = / 0 , rot E = 0, div B = 0, rot B = 0 j.
Qu magnitud fsica juega el papel de la ?
20
CAPTULO 1. CINEMTICA
1.7.
Derivada material
Una magnitud fsica B en un punto r de un medio continuo y en el instante t puede cambiar con el tiempo y en el instante t + dt tomar un valor distinto. Esto puede ser debido a dos motivos: Uno es que simplemente la propiedad en dicho punto cambia de valor con el tiempo, y otro que el punto r en el que est denida se mueve y por lo tanto lo que llamamos punto jo r con respecto a un sistema de referencia prejado est ocupado en el instante t + dt por otra partcula del sistema fsico. De esta manera
dB B(x, y, z, t) B(x, y, z, t) dx B(x, y, z, t) dy B(x, y, z, t) dz B = + + + = + v B. dt t x dt y dt z dt t (1.10) a la primera parte se le conoce como el cambio temporal de la magnitud y a la segunda el cambio convectivo debido a la conveccin, es decir al desplazamiento material del sistema. La anterior relacin (1.10) se dice que es la derivada material con respecto al tiempo de la magnitud B , ya que se ha tenido en cuenta el cambio material del punto. Las magnitudes fsicas o campos, tienen que estar expresados en coordenadas Eulerianas.
1.7.1.
Campo de aceleracind2 x 2f = 2 (X, t) dt2 t
En particular, el campo de aceleracin en cada punto X se denir como el campo vectorial
A(X, t) =
en la descripcin Lagrangiana en tanto que en la descripcin Euleriana
a(x, t)
v dv = (x, t) + (v dt t
) v.
Los campos de aceleracin son interesantes puesto que ligados a ellos tendremos las fuerzas que se realizan entre las diferentes partes del sistema, y las leyes de la dinmica Newtoniana lo que establecen es la relacin entre las fuerzas externas y las aceleraciones de cada elemento innitesimal de materia. Como vemos se componen de dos partes, una lineal en la velocidad del medio y otra cuadrtica, y por lo tanto tambin lineal y cuadrtica en los desplazamientos, respectivamente. Es esta segunda parte la que va a hacer que las ecuaciones de evolucin de un medio continuo no sean lineales en los desplazamientos y por lo tanto con esta parte estn ligados los fenmenos dinmicos del caos determinista.
1.7.2.
Variacin temporal del elemento de lnea, supercie y volumen
Un elemento de lnea dxi es una magnitud vectorial. En sentido estricto es una magnitud vectorial covariante, tambin llamada 1-forma, cuyo cambio temporal viene dado por (1.8)
d(dxi ) vi = dxj . dt xj
(1.11)
Un elemento de supercie es una magnitud bivectorial orientada que en el sentido tensorial es una 2-forma lineal antisimtrica. Por ser un tensor antisimtrico con dos ndices, solamente tres de sus componentes son esenciales ya que las dems, o bien son nulas o son esas mismas cambiadas de signo. Por eso, en 3 dimensiones, existen 3 elementos de supercie diferentes que los denotamos por
dS12 = dx1 dx2 ,
dS23 = dx2 dx3 ,
dS31 = dx3 dx1 ,
1.7. DERIVADA MATERIAL que en rigor habra que representar mediante la notacin
21
dS12 = dx1 dx2 = dS21 ,es decir
dS23 = dx2 dx3 = dS32 , dSij = dxi dxj = dSji ,
dS31 = dx3 dx1 = dS13 ,
para recalcar que necesariamente i = j . El smbolo , que a veces se utiliza para designar el producto vectorial, representa el smbolo del producto exterior de dos magnitudes vectoriales, que es cero cuando stas son colineales. De esta forma la variacin temporal de un elemento de supercie ser: d(dSij ) vj vi = dxr . dxl dxj + dxi dt xl xr donde necesariamente en el primer trmino l = j y en el segundo i = r. En la prctica, como solo tenemos tres componentes esenciales, se suele denir un elemento de supercie orientada como si fuera un vector de tamao dS y orientado mediante el vector unidad ni , perpendicular a la misma, dSi = dS ni . Este elemento `vectorial' de supercie est denido en trminos de dSij mediante:ijk dSk
= dSij ,
dSi =
1 2
ijk dSjk ,
dS1 dS23 ,
dS2 dS31 ,
dS3 dS12 .
Por eso el ujo de una magnitud vectorial ki (x, t) es en realidad
ki dSi =
1 2
ijk ki (x, t)dSjk
De esta forma, por ejemplo
d(dS12 ) v1 v1 v2 v2 = dx1 dx2 + dx3 dx2 + dx1 dx2 + dx1 dx3 , dt x1 x3 x2 x3es decir
d(dS12 ) v1 v1 v2 v2 = dS12 dS23 + dS12 dS31 . dt x1 x3 x2 x3
que en trminos del elemento dS3 dS12 , resulta:
d(dS3 ) v1 v1 v2 v2 = dS3 dS1 + dS3 dS2 . dt x1 x3 x2 x3Si a esta expresin le sumamos y restamos la magnitud
la anterior expresin la podemos poner:
v3 dS3 , x3
d(dS3 ) = vi,i dS3 vi,3 dSi , dty en general
d(dSk ) = vi,i dSk vi,k dSi . (1.12) dt Esta relacin entre vectores y componentes de un tensor antisimtrico de segundo orden solamente es vlida para magnitudes en un espacio de dimensin 3.
22
CAPTULO 1. CINEMTICA
El elemento de volumen es un trivector o bien la 3-forma completamente antisimtrica dV123 = dx1 dx2 dx3 dV , que por abuso de lenguaje solemos representar por dx1 dx2 dx3 , sobreentendindose que los diferentes dxi no son colineales. Por eso su derivada temporal
d(dV ) v1 v2 v3 = dx1 dx2 dx3 + dx1 dx2 dx3 + dx1 dx2 dx3 = vi,i dV. dt x1 x2 x3Resumiendo
(1.13)
d(dxi ) = vi,j dxj , dt
d(dSk ) = vi,i dSk vi,k dSi , dt
d(dV ) = vi,i dV. dt
1.7.3.
Transformacin del elemento de lnea, supercie y volumen
Bajo un cambio de coordenadas xi = fi (xj ), el elemento de lnea (tambin llamado elemento de arco) transforma de acuerdo con
dxi =
xi dxj = Fij dxj , xj
siendo Fij la matriz Jacobiana de la transformacin. Por lo tanto el elemento de volumen dV = dx1 dx2 dx3 transformar
dV =
x x x1 dxi 2 dxj 3 dxk , xi xj xj
pero en el segundo miembro debido al smbolo , solamente los trminos con los tres i, j, k diferentes sobreviven. Si lo desarrollamos resulta:
dV =
x1 x x x x x x x x dx1 2 dx2 3 dx3 + 1 dx1 2 dx3 3 dx2 + 1 dx2 2 dx1 3 dx3 + x1 x2 x3 x1 x3 x2 x2 x1 x3
x1 x x x x x x x x dx2 2 dx3 3 dx1 + 1 dx3 2 dx1 2 dx2 + 1 dx3 2 dx2 2 dx1 = x2 x3 x1 x3 x1 x2 x3 x2 x1 = (det F )dx1 dx2 dx3 = (det F )dV J dV,debido a que dx1 dx3 dx2 = dx1 dx2 dx3 , y lo mismo para los dems trminos, que permutando sus elementos y teniendo presente el correspondiente cambio de signo se llevan a la forma dx1 dx2 dx3 . El elemento de volumen transforma con un factor global que es el determinante de la matriz Jacobiana. Si nos restringimos a rotaciones como det Rij = 1, el elemento de volumen no cambia. Si existieran inversiones, entonces habra un cambio de signo dV = dV . Para el elemento de supercie sucede lo siguiente:
dS12 = dx1 dx2 =
x x x x x x1 dx1 2 dx2 + 1 dx1 2 dx3 + 1 dx2 2 dx1 + x1 x2 x1 x3 x2 x1
x1 x x x x x dx2 2 dx3 + 1 dx3 2 dx1 + 1 dx3 2 dx2 = x2 x3 x3 x1 x3 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x3 x3 x2 dx2 dx3 + x1 x2 x1 x2 x3 x1 x1 x3 dx3 dx1 + x1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 dx1 dx2
1.7. DERIVADA MATERIAL
23
que resulta ser una combinacin lineal de dS23 , dS31 y dS12 y donde los coecientes son menores de la matriz Jacobiana, y que responde a la ley general de transformacin de un tensor covariante de dos ndices xj xk dSjk = dSpq . xp xq En trminos del elemento `vectorial' de supercie dSi esta ley de transformacin es
dSi = [J]ij dSj ,siendo [J]ij el correspondiente adjunto del elemento Fij de la matriz Jacobiana. Resumiendo:
dxi =
xi dxj , xj
dSi = [J]ij dSj ,
dSjk =
xj xk dSpq , xp xq
dV = JdV,
dV123 =
x1 x2 x3 dVijk . xi xj xk
1.7.4. Derivada material de integrales curvilneasHemos visto cmo se deriva una magnitud asociada a un punto del sistema cuando este punto se mueve. Si lo que tenemos son propiedades fsicas de tipo global, asociadas al sistema como un todo o bien a una parte del mismo, que en general las podremos representar como integrales de ciertas densidades extendidas a regiones volmicas, superciales o lineales, vamos a ver cmo cambian con el tiempo dichas magnitudes globales. Sea K(t) esa propiedad global que se expresa como una integral a lo largo de una curva C(t)
K(t) =C(t)
ki (x, t) dxi
En este caso el elemento de lnea dxi (o bien la curva respecto de la que se integra C(t)) es tambin funcin del tiempo y su derivada temporal viene dada de acuerdo con (1.8)
d(dxi ) vi = dxj , dt xjcon lo que si tenemos la magnitud expresada como una integral de lnea a lo largo de la curva su derivada temporal queda
dK(t) = dt
C(t)
kj (x, t) kj (x, t) vi + vk + ki (x, t) t xk xj
dxj .
1.7.5. Derivada material de integrales de supercieSi (t) es una regin supercial del sistema material y la magnitud global K(t) viene expresada como una integral de supercie
K(t) =(t)
k(x, t) ndS =(t)
ki (x, t)dSi ,
entonces, teniendo presente (1.12), ya que el elemento de supercie cambia con el tiempo
dK(t) = dtque se puede condensar en
(t)
vj ki (x, t) ki vi + v j + ki kj t xj xj xj ki (x, t) (ki vj ) vi + kj t xj xj
dSi
dK(t) = dt
(t)
dSi .
24
CAPTULO 1. CINEMTICA
1.7.6.
Derivada material de integrales de volumen
Sea K(t) esa propiedad global que se expresa en forma de una densidad volmica
K(t) =R(t)
k(x, t) dV
donde R(t) representa una cierta regin volmica del sistema en el instante t y dV dx1 dx2 dx3 es el elemento de volumen. Es claro que K(t) puede cambiar en el tiempo porque su densidad k(x, t) cambie con el tiempo y adems porque la regin de integracin R(t) puede cambiar con el tiempo. Esto se traduce que en la integral anterior, el elemento de volumen se sobreentiende que cambia con el tiempo. El resultado, teniendo presente que la derivada temporal del elemento de volumen viene dada por (1.13), es
dK(t) = dt
R(t)
k(x, t) [k(x, t)vi (x, t)] + t xi
dV
o bien, usando el teorema de Gauss
dK(t) = dt
R(t)
k(x, t) dV + t
k(x, t)v n dSR(t)
siendo R la supercie (o borde) exterior de la regin R, n un vector unidad normal a la supercie y dirigido hacia el exterior y dS el valor del elemento de supercie. Un ejemplo importante de esta derivada material es la ley de continuidad o principio de conservacin de la masa de un medio continuo, que analizaremos en detalle en el captulo 3.
1.8.
Teoremas sobre campos vectoriales
En esta secin vamos a establecer condiciones generales que caracterizan ciertas propiedades integrales de campos vectoriales v(t, r), y que se reeren a aspectos relativos a sus derivadas espaciales, como su divergencia v y su rotacional v . El teorema de Helmholtz nos mostrar la forma de calcular el valor nico de un campo vectorial del que conocemos su divergencia y su rotacional en una cierta regin, juntamente con condiciones de contorno adecuadas.
1.8.1.
Teorema de Gauss
El ujo saliente de un campo vectorial(a tiempo constante), a travs de una supercie S(V ), que encierra un volumen espacial determinado V , es igual a la integral extendida al volumen anterior, de la divergencia del campo.
v(t, r) ndS =S(V ) V
v(t, r) dV,
t = const.
1.8.2.
Teorema de Stokes
La circulacin de un campo vectorial(a tiempo constante), a lo largo de una curva cerrada C , es igual al ujo que atraviesa una supercie abierta S , cuyo contorno sea C , del rotacional del campo.
v(t, r) dr =C S(C)
(
v) ndS,
t = const.
1.8. TEOREMAS SOBRE CAMPOS VECTORIALES
25
1.8.3. Teorema de unicidad de campos vectorialesUn campo vectorial v es especicado de forma nica si se conoce su divergencia y su rotacional en una regin del espacio R y como condiciones de contorno, el valor de su componente normal sobre la supercie de la frontera vn = v n(r), r S(R). Si la regin R es innita, entonces basta conocer el comportamiento asinttico del campo en el innito espacial.Si el campo v(t, r) satisface: v(t, r) = a(t, r), v(t, r) = b(t, r), vn = v n(r), r S(R),
supongamos que otro campo u(t, r) satisface las mismas ecuaciones: u(t, r) = a(t, r), u(t, r) = b(t, r), un = vn ,
entonces se trata de demostrar que el campo w = v u es idnticamente nulo en la regin R. En efecto, en esa regin satisface w = 0, w = 0, wn = w n(r) = 0, r S(R).
Por ser irrotacional existe una funcin , tal que w = , por lo que de la primera condicin = 2 = 0. Hagamos ahora la integral de supercie de la funcin vectorial , a la supercie que encierra a la regin R y por el teorema de Gauss transformmosla en una integral extendida al volumen interior de su divergencia ( ) = +2
= w w = w2 > 0, w2 dVR
pues
2
= 0. dS =S(R)
pero sobre la supercie dS = w n = 0 y como se trata de una magnitud positiva w2 integrada en un volumen cuyo resultado es cero, esto implica que w = 0.
1.8.4. Teorema de HelmholtzSi de un campo vectorial v(t, r) conocemos en cada instante t, su divergencia y su rotacional, juntamente con sus condiciones de contorno sobre una supercie cerrada, o bien su comportamiento en el innito espacial, y la solucin como acabamos de ver es nica, entonces es posible encontrar el valor del campo en cualquier punto de la regin en la que est denido. Vamos a suponer que el campo tiende a cero en el innito, y que en cualquier punto nito r y en todo instante t conocemos los valores de
v(t, r) = a(t, r),
v(t, r) = b(t, r),
es decir conocemos las cuatro funciones a(t, r) y b(t, r). Debemos integrar pues las anteriores ecuaciones con las condiciones de contorno especicadas. La solucin pasa por descomponer el campo v en dos campos v = u + w, a los que les exigimos que u = 0 y w = 0. De esta forma, el campo u se puede escribir como el gradiente de una funcin U (t, r), u = U , y a su vez, por ser de divergencia nula w se puede poner como el rotacional de otro campo vectorial W , w = W . De esta forma, se trata de calcular sendos campos escalar U y vectorial W , que satisfacen
U (t, r) =
2
U = a(t, r),
(
W (t, r)) = b(t, r),
juntamente con las condiciones adecuadas de contorno. De esta forma, el campo vectorial queda:
v= U+
W
donde U y W se calculan de forma explcita en (1.14) y (1.15), respectivamente. U satisface la ecuacin de Poisson 2 U = a, cuya solucin general vamos a ver que es
U (t, r) =
1 4
V
a(t, x) dV (x), |x r|
(1.14)
26En efecto, por el problema 1.5, vemos que2
CAPTULO 1. CINEMTICA
1 = 4 (3) (x r), |x r|
donde el operador se puede interpretar que deriva la expresin, tanto con respecto a las variables x como a las r , por lo que aplicando este operador a la funcin U (t, r), con respecto a las variables r , llegamos a2
U (t, r) =
1 4
a(t, x)V
2
1 dV (x) = |x r|
a(t, x) (3) (x r)dV = a(t, r).V
Para el campo vectorial W , su solucin general es,
W (t, r) =Como(
1 4
V
b(t, x) dV (x). |x r| W) 2
(1.15)(1.16)
W) =
(
W,
vamos a demostrar que de (1.16), la accin del primer operador ( W ) = 0, por lo que la segunda parte satisface 2 Wi = bi , cuya solucin general la hemos desarrollado en el apartado anterior (1.14). En efecto, el integrando que dene al campo W es de la forma g(r)b(x), con g(r) = 1/|x r| y el operador que le aplicamos deriva con respecto a las variables r . Entonces (g(r)b(x)) = b g + g b = b g , porque el campo b no depende de las variables r . Ahora solo nos resta tomar el gradiente de esta expresin, sabiendo quec= g= 1 xr = . |x r| |x r|3 b) + (b )c + (c )b c = 0.
Pero(b c) = b ( c) + c (
pero el campo b al ser independiente de r , las dos derivaciones sobre l se anulan, y el Solamente nos queda, calcular el (b )c.
1.9. PROBLEMAS
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1.9. Problemas1.1 Demostrar que el tensor antisimtricoipq jrs ijk
satisface la identidad
ij = ir is
pj pr ps
qj qr qs
A qu se reduce si los ndices i = j ? Vericar que el determinante de una matriz 3 3 Dij se escribe como det(Dij ) = ipq jrs Dij Dpr Dqs
1.2 Vericar, usando las propiedades del tensor 1.3 Vericar que los tensores ij yacciones del operador sobre r :
ijk ,
que el producto vectorial
a (b c) = b(a c) c(a b).ijk
son invariantes bajo los cambios de coordenadas.
1.4 Si r es el vector de posicin de un punto en el espacio tridimensional, vericar las diferentes r = 3, r = 0, r= r , r 1 r = 3, r r r = 4 (3) (r), r3
donde (3) (r) (x)(y)(z) es un producto de tres deltas de Dirac.
1.5 Anlogamente, si r es el vector de posicin de un punto arbitrario en el espacio tridimensional y r 0 un punto jo, vericar las diferentes acciones del operador sobre r r 0 :
(r r 0 ) = 3,
(r r 0 ) = 0,
|r r 0 | =
r r0 , |r r 0 |
1 r r0 = , |r r 0 | |r r 0 |3
r r0 = 4 (3) (r r 0 ), |r r 0 |3
donde (3) (r r 0 ) (x x0 )(y y0 )(z z0 ), es un producto de tres deltas de Dirac.
1.6 Si tenemos una matriz simtrica Dij , demostrar que su ecuacin caracterstica (la que denesus valores propios) se puede escribir como
3 ID 2 + IID IIID = 0,donde los tres coecientes ID , IID y IIID son propiedades invariantes de la matriz, de primero, segundo y tercer grado, respectivamente, y por lo tanto son independientes de la base en que est representada la matriz. Determinar la expresin general de estos tres invariantes en trminos de las componentes matriciales Dij , en cualquier base.Qu podemos decir si Dij no es simtrica?
1.7 Cmo son los invariantes de una matriz de rotacin? 1.8 Demostrar que los tensores de orden par son invariantes bajo las inversiones espaciales xi =xi . En este sentido, un tensor de dos ndices y antisimtrico Tij = Tji , cuyas componentes estrictas denen las componentes de un vector vk = kij Tij /2, ste vector resulta ser invariante bajo las inversiones. A estas magnitudes vectoriales, que bajo inversiones transforman de manera distinta a los vectores, se les suele denominar pseudovectores, pero por lo expuesto, resultan ser las componentes de tensores de orden par. Ejemplos de pseudovectores (tambin llamados vectores axiales) son, la velocidad angular , el momento angular J = r p, el rotacional de un campo vectorial v . Demostrar que, efectivamente, estas magnitudes son pseudovectores. Es la divergencia de un campo vectorial un escalar o un pseudoescalar?
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CAPTULO 1. CINEMTICA
1.9 Demostrar que si un tensor antisimtrico ij , cuyas componentes escritas en forma matricial0 ij = 3 2 3 0 1 2 1 0
transforma bajo la accin de un cambio de coordenadas xi = Rij xj , entonces las componentes estrictas i del tensor transformado jk estn relacionadas con las j , mediante i = Rij j . Demostrar, asmismo, que si la transformacin de coordenadas es xi = xi , una inversin espacial, entonces i = i , por lo que las componentes estrictas de un tensor antisimtrico denen lo que se denomina un pseudovector, ya que no cambia de signo bajo las inversiones, pero transforma como un vector bajo las rotaciones.
1.10 La descripcin Lagrangiana de una deformacin est dada porx1 = X1 + X3 (a2 1), x2 = X2 + X3 (a2 a2 ), x3 = a2 X3 ,
donde a es una constante. Probar que el Jacobiano de la transformacin J no se anula y permite invertir la transformacin, lo que da lugar a las ecuaciones Eulerianas que describen esta deformacin. [Sol: J = a2 , X1 = x1 + x3 (a2 1), X2 = x2 + x3 (a4 1), X3 = a2 x3 ]2 2 2 1.11 Sea el campo de desplazamientos u = X1 X3 e1 + X1 X2 e2 + X2 X3 e3 . Hallar independien-
temente el gradiente de deformacin material F y el gradiente de desplazamiento material U . Cmo es el tensor de deformaciones? Sol: 2 1 + X3 0 2X1 X3 2 F = 2X1 X2 1 + X1 0 2 0 2X2 X3 1 + X2
nadas iniciales (X1 , X2 , X3 ) se encuentra en el instante t, t 0 en el punto (x1 , x2 , x3 ), dado por: x1 = (X1 + 2tX3 )et , x2 = (X2 tX3 )et , x3 = X3 at2 , donde a es una constante. Se pide: (a) Determinar el campo de velocidad en la descripcin Lagrangiana. (b) Determinar el campo de velocidad en la descripcin Euleriana. (c) Determinar el campo de aceleracin en ambas descripciones. (d) Determinar el tensor de deformaciones. (e) Determinar el tensor de velocidad de deformacin. [Examen Junio 2009] Sol: V = (X1 et + 2(1 + t)X3 et , X2 et + (t 1)X3 et , 2at), v = (x1 + 2x3 et + 2at2 et , x2 x3 et at2 et , 2at), A = (X1 et + 2(2 + t)X3 et , X2 et (t 2)X3 et , 2a), a = (x1 + 4at2 et + 4x3 et , x2 + 2x3 et + 2at2 et , 2a). 2t 1 0 et e 1 0 2te2t , D = 0 1 et /2 . 2R = 0 e2t 1 te2t t et /2 2t 2t 2 e2t + t2 e2t e 0 2te te 4t
1.12 La deformacin de un medio continuo est dada de tal manera que un punto de coorde-
X3 )e2 + (4X2 X1 )e3 . Hallar en la posicin desplazada el vector que una los puntos A(1, 0, 3) y B(3, 6, 6). Hallar el vector de posicin desplazada del punto C(2, 6, 3).
1.13 Un medio continuo sufre un desplazamiento dado por u = (3X2 4X3 )e1 + (2X1
1.9. PROBLEMAS
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1.14 Una deformacin se dice que es homognea si el campo de desplazamientos es lineal en
las coordenadas, ui = Aij Xj , donde las Aij son constantes o a lo sumo solamente funciones de t pero no de las Xk . Probar que en este tipo de deformaciones las secciones planas del material permanecen planas y que las rectas permanecen rectas.
1.15 Un medio continuo extenso y en rgimen bidimensional evoluciona de tal manera que el campo de velocidad en un punto de coordenadas (x, y) viene dado por:v(x, y, t) = ye1 + (a0 t + x)e2 ,con a0 y constantes. Se pide: (a) Puede dicho sistema ser considerado como un uido en rgimen incompresible? (b) Es el rgimen estacionario? (c) Es el rgimen irrotacional? (d) Encontrar las lneas de corriente. (e) Determinar la trayectoria de un punto de coordenadas iniciales (X, Y, 0).[Examen Junio 2005] Sol: divv = 0, rot v = 2e3 , x = X cos t (Y a0 / 2 ) sin t a0 t/, y = X sin t + (Y a0 / 2 ) cos t + a0 / 2 .
1.16 El campo de desplazamiento de un medio continuo extenso, de coordenadas Lagrangianas (X, Y, Z) viene dado por:x = X cos t + Y sin t, y = X sin t + Y cos t z = Z(1 + t). = cte.
Se pide: (a) Cmo es el campo de velocidad? Escribirlo en coordenadas Eulerianas. (b) Es el rgimen estacionario? (c) Es el rgimen irrotacional? (d) Determinar el tensor gradiente de deformacin. (e) Cmo cambia el volumen del medio?Aumenta o disminuye con el tiempo? (f) Calcular el tensor de deformaciones del medio.[Examen Junio 2006] Sol: X = x cos t y sin t, Y = x sin t + y cos t, Z = z/(1 + t), V = (X sin t + Y cos t, X cos t Y sin t, Z), v = (y, x, z/(1 + t)), div v = 1/(1 + t), rot v = 2e3 . cos t sin t 0 0 0 0 1 . F = sin t cos t 0 , J = det F = 1 + t, R = 0 0 0 2 0 0 1+t 0 0 t(t + 2)
1.17 El campo de desplazamiento de un medio continuo extenso, de coordenadas Lagrangianas (X, Y, Z) viene dado por:x = X cos t Y sin t, y = X sin t + Y cos t z = Zet . = cte.
Se pide: (a) Cmo es el campo de velocidad? Escribirlo en coordenadas Lagrangianas y Eulerianas. (b) Es el rgimen estacionario? (c) Podra corresponder al rgimen laminar de un uido incompresible? (d) Es el rgimen irrotacional? (e) Calcular el campo de aceleracin en coordenadas Lagrangianas y Eulerianas. (f) Determinar el tensor gradiente de deformacin. (g) Cmo cambia el volumen del medio?Aumenta o disminuye con el tiempo?
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CAPTULO 1. CINEMTICA
(h) Calcular el tensor de deformaciones del medio.[Examen Junio 2007] Sol:X = x cos t + y sin t, Y = x sin t + y cos t, Z = zet , V = (X sin t Y cos t, X cos t Y sin t, Zet ), v = (y, x, z), A = ( 2 X cos t + 2 Y sin t, 2 X sin t 2 Y cos t, Zet ), a = ( 2 x, 2 y, z) 0 0 0 cos t sin t 0 1 0 0 0 . F = sin t cos t 0 , det F = et , R = 2 2t 1 t 0 0 e 0 0 e
1.18 Para el desplazamiento de un medio continuo dado porx1 = X1 , x2 = X2 , x3 = X3 + 2X2 / 3
se pide: (a) Es un desplazamiento cortante? (b) Calcular la direccin del elemento de lnea en el plano X2 X3 para el cual la deformacin normal es nula. (c) Cunto vale la deformacin tangencial en esas direcciones? 2 2 (d) Hallar la ecuacin de la elipse en la que se deforma el crculo X2 + X3 = 1. Sol: (b) en las direcciones 1 = /2 y 2 = /3, (0, 0, 1) y (0, 3/2, 1/2) (d) 1 + 7x2 /3 4x2 x3 / 3 + x2 = 0. 2 3
1.19 Si un cuerpo sufre un desplazamiento rgido, esto esxi = Rij (t)Xj + si (t),donde Rij (t) es una rotacin arbitraria funcin del tiempo y si (t) un desplazamiento arbitrario solamente funcin del tiempo, demostrar que el tensor de deformaciones y el tensor de velocidad de deformacin son nulos. Al conjunto de trayectorias seguidas por los puntos materiales se le da el nombre de congruencia rgida.
1.20 El tensor de deformaciones de un punto est dado por 1 3 2 3 Eij = 1 2 . 2 2 4 Hallar la deformacin normal en la direccin = e1 /2e2 /2+e3 / 2 y la deformacin cortante entre y = e1 /2 + e2 /2 + e3 / 2. Hallar la forma principal de Eij , Eij , teniendo en cuenta que tanto como son direcciones principales. Calcular los tres invariantes de deformacin usando tanto Eij como Eij . Sol: 1 3 6 0 0 4 0 0 2 Eij = 0 2 0 . Ed ij = 3 1 2 , Ed = 0 0 0 . ij 0 0 2 0 0 4 2 2 2 E = 6, E = 0, IE = 6, IIE = 44, IIIE = 24.
1.21 Demostrar que la derivada temporal del Jacobiano se reduce adJ =J dt v.
1.9. PROBLEMAS
31
1.22 Un campo de velocidad est dado por v = x2 te1 + x2 t2 e2 + x1 x3 te3 . Determinar la 1
x2 et
velocidad y aceleracin de una partcula que se encuentra en el punto P (1, 3, 2) en el instante t = 1. Determinar las lneas de corriente en el instante t = 1, las lneas de emisin y las trayectorias de los puntos de este sistema. Las lneas de corriente son las mismas en el instante t = 2? Expresar el campo de velocidad y de aceleracin en la descripcin Lagrangiana. 2x1 Sol: Lneas de corriente x1 = Kx3 , x2 = e(K1/x1 )t . Lneas de emisin: X1 = 2+x1 t2 , X2 =3 /3
, X3 =
2x3 . 2+x1 t2
V (X1 , X2 , X3 , t) =
2 4X1 t 4X1 X3 t 3 e + X2 t2 et /3 e2 + e3 . 2 )2 1 (2 X1 t (2 X1 t2 )2
1.23 Determinar las trayectorias y las lneas de corriente producidas en un campo de velocidad dado por v = ye1 + xe2 + w0 e3 ,con y w0 constantes. Sol: Lneas de corriente x(z) = A cos(z/w0 + B), y(z) = A sin(z/w0 + B). Trayectorias x = X cos t Y sin t, y = X sin t + Y cos t, z = Z + w0 t iniciales (X, Y ) es
1.24 En un rgimen bidimensiona