Medidas de tendencia central

ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

PROFESSORA ROSÂNIA

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – são utilizadas em estatística para representar um conjunto de dados pesquisados por valores pelos quais eles tendem a concentrar-se. As principais são a MÉDIA ARITMÉTICA, A MODA E A MEDIANA.

• MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES E PONDERADA

• MEDIANA • MODA

MEDIANA (Md)

Sua principal característica é dividir o conjunto de dados em duas partes com o mesmo número de elementos. Quantidade ímpar de valores – a Md corresponde ao termo central do rol. Quantidade par – a Md corresponde a média aritmética dos dois termos centrais.

𝑛 + 1

2 Posição da mediana

n = número de elementos do conjunto de dados.

MEDIANA – valor que ocupa a posição central no rol

Para dados não agrupados

Exemplo: Para verifica o tamanho dos peixes de sua criação, um piscicultor retirou de um tanque 7 piaparas; de outro, 10 tilápias, fazendo a medição do comprimento de cada um deles.

para dados não agrupados

Comprimento das piaparas em cm

23 27 27 28 31 32 36

7:1

2 = 4 4ª posição

Md = 28 cm

Número de observações é ímpar – temos que a Md corresponde ao valor central.

para dados não agrupados

Comprimento das tilápias em centímetros

14 14 15 17 17 20 20 21 22 23

𝑀𝑑 = 17 + 20

2=37

2= 18,5𝑐𝑚

Número de observações é par – calcular a média dos termos centrais.

Obs: Nem sempre a mediana corresponde a um valor apresentado na pesquisa.

Mediana – para dados agrupados sem classes

Número de filhos ( xi )

Numero de casais

( fi )

Fi (fac)

0 6 6

1 16 22

2 9 31

3 8 39

4 3 42

5 3 45

6 3 48

7 2 50

Total () 50

Ex: Número de filhos de um grupo de 50 casais

1º) Determinar a posição da mediana por:

P = 𝑛

2 𝑒 𝑃 =

𝑛

2+ 1 , pois n é par

Mediana – para dados agrupados sem classes

𝑃 =50

2+ 1 = 26ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜

P = 𝑛

2=50

2= 25ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜

2º) Pela Fi (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-se que o 31 contém o 25º e 26º elemento

Mediana – para dados agrupados sem classes

Número de filhos ( xi )

Numero de casais

( fi )

Fi (fac)

0 6 6

1 16 22

2 9 31

3 8 39

4 3 42

5 3 45

6 3 48

7 2 50

Total () 50

O nº 2 deixa 50% dos valores, ou

seja é o elemento central.

Se encontra na 25ª e 26ª posição

Mediana – para dados agrupados com classes

Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.

Taxas (em %)

Número de Municípios

( fi ) Fi

6 --- 16 29 29

16 --- 26 24 53

26 --- 36 16 69

36 --- 46 13 82

46 --- 56 4 86

56 --- 66 3 89

66 --- 76 2 91

76 --- 86 2 93

86 --- 96 1 94

Total () 94

1º) Calcular a posição:

P = 𝑛

2=94

2= 47ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜

(não importa de n for ímpar ou par)

2º) Pela Fi (fac) identifica-se a classe que contém a Md: O nº 47 está dentro de 53. Portanto, A CLASSE da Md é a 2ª: 16 --- 26.

3º) Aplica-se a fórmula: 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +

𝑃 − 𝐹𝑎

𝑓𝑖. 𝑕

Li = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra ou nº de elementos 94 P = n/2 = 94/2 = 47 Fa = frequência acumulada anterior à classe da Md = 29 h = intervalo da classe da Md = 10 fi = frequência simples da classe da Md = 24

𝑀𝑑 = 16 +47 ;29

24. 10

𝑀𝑑 = 16 +18

24. 10

𝑀𝑑 = 16 +180

24

𝑀𝑑 = 16 + 7,5 = 23,5

MODA – o valor que mais aparece.

Pode ser: amodal, unimodal, bimodal,

Não tem moda

Um valor aparece mais

dois valores aparecem mais

Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:

X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8)

Mo = 6

UNIMODAL

Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6)

Mo = 2 e Mo = 4

BIMODAL

Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5)

Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4

PLURIMODAL

W = (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Esse conjunto é amodal porque não apresenta um valor predominante

Cálculo da moda pelo ROL

Número de filhos de um grupo de 50 casais

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 3 3 3 3 3 3 4

4 4 5 5 5 6 6 6 7 7

Cálculo da moda pela distribuição de frequências sem classes

Número de filhos de um grupo de 50 casais

Número de filhos

Numero de casais

( fi )

0 6

1 16

2 9

3 8

4 3

5 3

6 3

7 2

Total () 50

O valor 1 apresenta a

maior frequência.

Mo = 1

Cálculo da moda pela distribuição de frequências com classes

Taxas municipais de urbanização (em %) – Alagoas, 1970.

Taxas (em %)

Número de Municípios

( fi ) Fi

6 --- 16 29 29

16 --- 26 24 53

26 --- 36 16 69

36 --- 46 13 82

46 --- 56 4 86

56 --- 66 3 89

66 --- 76 2 91

76 --- 86 2 93

86 --- 96 1 94

Total () 94

Cálculo da moda pela distribuição de frequências com classes

CLASSE MODAL É A QUE POSSUI MAIOR FREQ.(fi) Li = limite inferior da classe modal ∆1 = Maior frequência menos frequência anterior ∆2 = maior frequência menos frequência posterior. h = intervalo da classe modal

Mo = li + ∆1

∆1:∆2. 𝑕

Mo = li + ∆1

∆1:∆2. 𝑕

Mo = 6 + 29

29:5. 10

∆1 = 29 − 0 = 29

∆2 = 29 − 24 = 5

Mo = 6 + 29

34. 10

Mo = 6 + 290

34 Mo = 6 + 8,52 = 14,5

ENCONTRE A NOTA MEDIANA E A NOTA MODAL DA TABELA A SEGUIR

Nº DE ALUNOS

NOTAS

4 7,0

2 5,0

2 6,0

1 9,5

ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5

9:1

2=10

2 = 5 POSIÇÃO

MEDIANA

𝑛 + 1

2

OBS: SE OUVER 2 ELEMENTOS QUE FICAM NO MEIO DEVE-SE TIRAR A MÉDIA ARITMÉTICA DELES.

ROL: 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 9,5

MODA = 7 UNIMODAL

VALOR QUE MAIS APARECE

EXEMPLO: Calcular as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL para a variável “massa dos alunos”

Massa (kg) (fi)

40 Ⱶ 50 4

50 Ⱶ 60 10

60 Ⱶ 70 9

70 Ⱶ 80 5

80 Ⱶ 90 2

Total 30

Massa (kg) (fi) Fi(fac) Xi Xifi

40 Ⱶ 50 4 4 45 180

50 Ⱶ 60 10 14 55 550

60 Ⱶ 70 9 23 65 585

70 Ⱶ 80 5 28 75 375

80 Ⱶ 90 2 30 85 170

Total 30 --- 1860

Cálculo da Média Aritmética (𝑋 )

𝑋 = 4 . 45 + 10.55 + 9.65 + 5.75 + 2.85

30

𝑋 =1860

30= 62 𝑘𝑔

𝑋𝑖𝑓𝑖

𝑛=1860

30= 62 𝑘𝑔

Calculo da Moda (MO)

50 Ⱶ 60 10 14

Mo = li + ∆1

∆1:∆2. 𝑕

Classe Modal > fi

Mo = 50 + 6

6:5. 10

∆1 = 10 − 4 = 6

∆2 = 10 − 9 = 5

Mo = 50 + 6

11. 10

Mo = 50 + 60

11

Mo = 50 + 5,45 = 55,45

Cálculo da Mediana (Md)

1º) Calcular a posição:

P = 𝑛

2=30

2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 (𝐹𝑖 𝑜𝑢 𝐹𝑎𝑐)

60 Ⱶ 70 9 23 2º) classe da mediana

3º) 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎

𝑓𝑖. 𝑕

3º) 𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎

𝑓𝑖. 𝑕

𝑀𝑑 = 60 +15 ;14

9. 10

Massa (kg)

(fi) Fi(fac)

40 Ⱶ 50 4 4

50 Ⱶ 60 10 14

60 Ⱶ 70 9 23

70 Ⱶ 80 5 28

80 Ⱶ 90 2 30

Total 30 ---

Cálculo da Mediana (Md)

1º) Calcular a posição:

P = 𝑛

2=30

2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜

2º) classe da mediana

𝑀𝑑 = 60 +10

9 = 60 + 1,11 = 61,11

Exercícios 1. (Fuvest-SP 2014) Cada uma das cinco

listas dadas é a relação de notas obtidas

por seis alunos de uma turma em uma certa

prova. Assinale a única lista na qual a média

das notas é maior do que a mediana.

Média maior que a mediana Calcular todos! a) 5, 5, 7, 8, 9, 10 Md =

7:8

2=15

2= 7,5

𝑋 = 5 + 5 + 7 + 8 + 9 + 10 / 6 = 44/6 = 7,33

2. Calcular a Mediana, a Moda e a Média Aritmética da distribuição abaixo:

Classes fi Fr Fac

17 Ⱶ 30 11 36,7% 11

30 Ⱶ 43 12 40% 23

43 Ⱶ 56 4 13,3% 27

56 Ⱶ 69 2 6,7% 29

69 Ⱶ 82 1 3,3% 30

Totais 30 100%

MEDIANA

CLASSE MEDIANA posição P

P = 𝑛

2=30

2= 15ª 𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜 na Fac

Classes fi Fr Fac

17 Ⱶ 30 11 36,7% 11

30 Ⱶ 43 12 40% 23

43 Ⱶ 56 4 13,3% 27

56 Ⱶ 69 2 6,7% 29

69 Ⱶ 82 1 3,3% 30

Totais 30 100%

𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 +𝑃 − 𝐹𝑎

𝑓𝑖. 𝑕

𝑀𝑑 = 30 +15 ;11

12. 13

𝑀𝑑 = 30 +4

12. 13

𝑀𝑑 = 30 +52

12 = 30 + 4,33 = 34,33

Mo = li + ∆1

∆1:∆2. 𝑕 30 Ⱶ 43 12 40% 23

Classe modal

Mo = li + ∆1

∆1:∆2. 𝑕

∆1 = 12 − 11 = 1

∆2 = 12 − 4 = 8

Mo = 30 + 1

1:8. 13

𝑕 = 43 − 30 = 13

Mo = 30 + 1

9. 13 = 30 + 13/9 = 30 + 1,4 = 31,4

MODA

MEDIA ARITMÉTICA

Classes fi Fr Fac Xi XiFi

17 Ⱶ 30 11 36,7% 11 23,5 258,5

30 Ⱶ 43 12 40% 23 36,5 438

43 Ⱶ 56 4 13,3% 27 49,5 198

56 Ⱶ 69 2 6,7% 29 62,5 125

69 Ⱶ 82 1 3,3% 30 75,5 75,5

Totais 30 100% 1095

𝑋𝑖𝐹𝑖

𝑛=1095

30= 36,5