Mec.Solidos_I_Clases_N_8.pdf

Facultad de IngenieraDepartamento Ingeniera en Obras CivilesMecnica de Slidos I. Rev.0Prof.: Ing. J aime Rodrguez Urquiza08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 2UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.3.- Flexin Compuesta Flexin Compuesta LaFlexinCompuestaocurre,comoyasesealo,cuando adicionalmente al Momento Flector existe un Esfuerzo Normal actuante en la Seccin. Para calcular la distribucin de Tensiones Normales debido a la Flexin Compuesta, utilizaremos el Principio de Superposicin.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 3UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESYXNfMYfMNY1xx3 2 1 3 2 1Pura Compresin Pura Flexiny y y

2x 1x x) ( ) ( ) ( + = Para Flexin Pura :yIMyzz = ) ( 1xPara Carga Axial Pura :ANy = ) ( 2x(8)) ( xyIMANyzz = 2x08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 4UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESYXNfMx=xCentroideNeutro E.dNota : El Eje Neutro Eje Neutro no coincide no coincide con el Centroide Centroide y las distancias se toman desde el Centro de Gravedad. La distancia d d se puede obtener haciendo x x= 0 = 01x2x08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 5UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.3.1.- Ecuaciones de Equilibrio Ecuaciones de Equilibrio= 0)xF i = = xF Ax xdA dF N = = =xF Ax x zdA y ydF M ii zM 0)Observacin : El Eje Neutro Eje Neutro no coincide no coincide con el Centro de Gravedad Centro de Gravedad de la seccin, puesto que:0 = N dAAx08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 6UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES Veamos que ocurre si la fuerza N es de Traccin y el Momento Flector Mz es Negativo (como vector en la direccin positiva del eje z).CentroideNeutro E.d08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 7UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESEjemplo : Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 5,0 m. seencuentrasolicitadaporunacargapuntalexcntrica50ton.Sila seccin de la viga es un perfil I de alas iguales de 30x60x15 cms., tal comolomuestralafiguraadjunta.SepidedeterminarlasMximas TensionesNormalesquesedesarrollanenlavigayellugardonde ocurren. Indicacin: El plano de carga coincide con el eje de Simetra de la seccin.PelXZYcm 15cm 15cm 15cm 15cm 307,5 7,5PC.G.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 8UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESSolucin : La carga P al estar excntrica me genera un Momento Flector c/r al eje z, al desplazar la carga al centroide (Resultante de un Sistema de Fuerzas Coplanares)PePPe Mz = La seccin esSimtrica Simtrica, entonces el eje y y esPrincipal Principal y elPlanodePlanode carga carga coincideconelejePrincipal,porloquelaComponentedela Flexin es Simple Simple.) ( xyIMANyzz = La Distribucin de Tensiones Normales viene dada por :08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 9UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES(*) ) ( xyIPeAPyz+ = LasPropiedades de la Seccin son:===cm 15cm 350 . 1cm 250 . 506 24eAIzReemplazando los datos en la ecuacin (*) :y y 48 , 1 03 , 37 ) ( x+ = Tensiones Normales Mximas en las Fibras Extremas : kg/cm 43 , 81 ) 30 (kg/cm 41 , 7 ) 30 ( 2mx2mx = = == = =y yxCxT 08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 10UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESLo que se desplaza el Eje Neutro se obtiene de :0 ) ( x= y cm 02 , 25 0 48 , 1 03 , 37 ) ( x= = + = y y y 2kg/cm 7,412kg/cm 81,43Neutro E.cm 02 25, d =CentroideZYPC.G.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 11UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.4.- Flexin Desviada Flexin Desviada LaFlexinDesviadaocurresiladeformadadelaviganoest contenida en uno de los planos principales de a seccin. AcontinuacinrecordaremoslosconceptosdeEjesPrincipalesdeInercia de una Seccin.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 12UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.4.1.- Ejes Principales de una Seccin: Ejes Principales de una Seccin:C.G.ZYvu===AAAyzdAdA zdA yyz2y2zIII

Momentos de Inercia c/r a los Ejes Z Momentos de Inercia c/r a los Ejes Z- -Y : Y :Momentos de Inercia c/r a los Ejes u Momentos de Inercia c/r a los Ejes u- -v : v :===AAAuvdAdA udA vuv2v2uIII

08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 13UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESRotacin de Ejes: Rotacin de Ejes:ZYvuyz cos y ysen cos z zsen+ =+ = coscos y zsen vysen z uEn forma Matricial: En forma Matricial:=yzsensenvuR4 4 3 4 4 2 1 coscosReemplazando en el valor de los Momentos de Inercias de los ejes Reemplazando en el valor de los Momentos de Inercias de los ejes rotados rotados + = + = = A A AdA y zysen sen z dA y zsen dA v ) cos cos 2 ( ) cos ( I2 2 2 2 2 2u (9)2 cos2 2 sen I I sen I Iyz z y u + = uv08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 14UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES(10)2 cos2 2 sen I sen I I Iyz z y v+ + = (11)2 cos 22 yzy zuvI senI II += Al hacer variar el nguloAl hacer variar el ngulo , las magnitudes de I , las magnitudes de Iu u, I , Iv ve I e Iuv uvtambin varan. tambin varan.Lasecuaciones(9),(10)y(11),sonlasLasecuaciones(9),(10)y(11),sonlasEcuacionesde TransformacindeMomentosdeInercia ycorrespondenaycorrespondena ecuaciones paramtricas, cuyo parmetro es el nguloecuaciones paramtricas, cuyo parmetro es el ngulo . .El mximo Momento de Inercia se obtiene derivando la ecuacin (9 El mximo Momento de Inercia se obtiene derivando la ecuacin (9) con) con respecto al parmetro e igualando a cero. respecto al parmetro e igualando a cero.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 15UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESEl mximo ocurre cuando :0 ) 2 cos( 2 ) 2 ( ) ( = + = yz z yuI sen I IddI(12) ) (2) 2 (z yyzpI IItg= Elsubndicepindicaqueel ngulo define la orientacin de los planos principales. Para el ngulo pobtenido de la ecuacin (12), las expresiones de Iue Ivalcanzan valores extremos. Aligualquelastensionesylasdeformaciones,lasEcuacionesde transformacin de Momentos de Inercias pueden ser representadas en un Crculo de Mohr de Inercias Crculo de Mohr de Inercias.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 16UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESCondicin para Ejes Principales de Inercia.nulo es IMnimo IMximo I

uvvuuIvIzI yIyzIyzI 2' zI' 'z yI08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 17UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.4.2.- Flexin Desviada Flexin Desviadauv(u,v) ejes Principales de InerciaObservaciones :1. SiunEjeesdeSimetraenlaseccin, entonces el eje es principal, puesto que la simetra indica necesariamente que el eje es centroidal.2. Sielplanodecargaesdesimetra, entonces la Flexin es Simple.3. Lacondicinanterioressuficientepero nonecesaria,enefecto,elplanode cargapuedenoserdesimetrayla flexin es simple, puesto que sin eje es principalnonecesariamenteesporser de simetra.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 18UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESZYq Enestecaso,elPlanodeCarga PlanodeCarga noesdenoesde Simetra Simetra,peropasaporunEjePrincipalde Inercia, por lo que la Flexin es Simple Flexin es Simple.3.4.2.1- Anlisis General de la Flexin Desviada Anlisis General de la Flexin DesviadauvuMvMq08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 19UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES Se determina el Momento Flector que genera la solicitacin. El Plano PlanodondeactaelMomentoFlector MomentoFlector es Perpendicular Perpendicular alPlanodePlanode las Solicitaciones las Solicitaciones. Para determinar el Momento Flector que acta en los Ejes Principales de Inercia, existen dos alternativas:i. Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes Z e Y y determinar los Momentos Flectores Mz y My. A continuacin, a travs de la Matriz deRotacinparaelestadoPlano,proyectarlosMomentosMzy My a los Ejes u y v y determinar los momentos Mu y Mv. =yzvuMM sensen MMcoscos08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 20UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESii. Proyectar el Momento Flector (M) a los Ejes u e v y determinar los Momentos Flectores Mu y Mv. Se calculan la distribucin de las Tensiones Normales como:(13)) , ( xuIMvIMv uvvuu = Flexin Biaxial Flexin Biaxialx =08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 21UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES3.4.2.2- Ecuacin General de la Flexin Ecuacin General de la Flexinuv x =08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 22UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES ParadeterminarladistribucindelasTensionesNormalesenla seccin, se realiza de la misma manera que para la Flexin Biaxial, con la salvedad que se le adiciona la componente del Esfuerzo Axial (P), el que debe estar ubicado en el Centroide de la Seccin.(14)) , ( xuIMvIMANv uvvuu = FlexinBiaxialFlexinBiaxial Compuesta Compuesta08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 23UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESEjemplo : Una viga con un extremo empotrado y el otro en voladizo de luz 20,0 m. se encuentra solicitada por una carga puntal excntrica de 5 ton y una carga uniformemente distribuida de 15 kg/m. Si la seccin de la viga es un perfil Z de alas desiguales, tal como lo muestra la figura adjunta. SepidedeterminarlasMximasTensionesNormalesquese desarrollan en la viga y el lugar donde ocurren. Indicacin: El plano de carga distribuida coincide con el eje y de la seccin.qem. 20 = lXPZYPC.G.55525515qcm. enmedidas08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 24UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESSolucin : La carga P al estar excntrica megeneraMomentosFlectoresc/ra los eje z e y, al desplazar la carga al Centroide. La carga uniformemente distribuida me genera un Momento Flector c/r al eje z. LosEjeszeynosonEjesPrincipalesdeInercia,entoncesse desarrolla Flexin Desviada Flexin Desviada.La Distribucin de Tensiones Normales viene dada por :uIMvIMANv uvvuu = ) , ( xZYPC.G.55525515q123Zy1.- Clculo de Centroides :Elemento Ai zi yi Ai*zi Ai*yi Ai*zi*yi1 100 10 2,5 1000 250 25002 125 17,5 17,5 2187,5 2187,5 38281,253 50 20 32,5 1000 1625 32500 = 275 4187,5 4062,5 73281,25cm 773 , 14 = = ii iAy Ay cm 227 , 15 = = iiiAz Az08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 25UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES = = + = = 312331) (12Iii ii iiz zA y yh bIi2.- Clculo de Inercias : = = + = = 312331) (12Iiiii iiy yA z zb hIi[ ] = = = = 3131) ( Iiiiiiz y yzy z y z A IiiBase Al tura reaElemento bi hi Ai zi yi Izi Iyi Iziyi1 20 5 100 10 2,5 15270,317 6065,771 -19994,8352 5 25 125 17,5 17,5 7440,169 906,078 10162,7073 10 5 50 20 32,5 15816,977 1555,613 21252,583= 38527,462 8527,462 11420,455Centroides Inercias Centroi dales761 , 0) (2) 2 ( == z yyzpI IItg = 642 , 18 2.1- Inercias Principales :08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 26UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES) 642 , 18 ( 2 ) 642 , 18 ( cos ) 642 , 18 (2 2 + = sen I I sen I Iyz z yu4cm 23 , 380 . 42 = uI4cm 90 , 054 . 47 = + = + z yv uI I I I0 uvI) 624 , 18 ( 2 cos ) 624 , 18 ( 22 + = yzy zuvI senI II4cm 69 , 674 . 4 = vI3.- Clculo de Momento Flector Mximo debido a la carga q:qxTraccin de Lnea(-)(x) Mqx220075 , 02) ( xqxx Mqz = =m. 0 , 20 0AB Tramo = l x2) ( M 2mxll lqx M xqz= = = = m -ton 00 , 3 M mx = 08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 27UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES4.- Proyeccin de Momentos Flectores alos Ejes PrincipalesZYPC.G.qm -ton 261 , 22 2z= = = y PqM M Mpz qlm -ton 761 , 0y= = + = z P M Mpy =yzvuMMsensenMM) 642 , 18 cos( ) 642 , 18 () 642 , 18 ( ) 642 , 18 cos(A travs de la Matriz de Rotacin determinemos Mu Mu y Mv y Mv.Determinemos los Momentos Flectores en los Ejes z e yqMPyMPzM==m -ton 444 , 1m -ton 899 , 1vuMMuvNota: Si utilizamos descomposicin de vectores, utilizaremos en Valor Absoluto.Si lo hacemos con la matriz de rotacin lo haremos con signo.08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 28UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LES{ {v uT -CuMuvvM{ {v uC -T{ {v uT -T{ {v uC -CuIMvIMANv uvvuu = ) , ( xuIMvIMANv uvvuu ) , ( x= u v v u 890 , 30 481 , 4 18 , 18 ) , ( x+ = =yzsensenvu) 642 , 18 cos( ) 642 , 18 () 642 , 18 ( ) 642 , 18 cos( Para determinar las Tensiones Normales Mximas, es complicado utilizar la ecuacin anterior en el sistema u-v, por lo que nos devolvemos al sistema z-y a travs de:AB08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 29UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESy z y z 12 , 14 837 , 27 18 , 18 ) , ( x + = 5.- Clculo del Eje Neutro:0 12 , 14 837 , 27 18 , 18 ) , ( x= + = y z y z Neutro Eje Ec. 653 0 971 1) , (z- , y = YZAT T BC C . .N Eb= = = =ordenado) eje in(intersecc cm 288 163,104972 , 1 , - bm tg 08/11/2005 Prof. Ing. J . Rodrguez U.- Mec.Slidos I. Rev.0 30UNI VERSI DAD DE LA SERENAFACULTAD DE I NGENI ER A DEPTO. DE I NGENI ER A EN OBRAS CI VI LESMxima Traccin en el Punto A Mxima Traccin en el Punto A2Akg/cm 16 , 323 cm 77 , 14cm 77 4 = == y, zMximaCompresinenelMximaCompresinenel Punto B Punto B2Bkg/cm 23 , 310 cm 23 , 20cm 23 , 0 == = yz6.- Tensiones Normales Mximas: