Mechanizmusok - Jezsó Károly

9789639819061

SZ CI--l ENYI ISTVN EGYETEM

Dr. Jezs Kroly

MECHANIZMUSOK Elmleti tananyag s gyakorl feladatok

egyetemi alapkpzsben rsztvev mmkhallgatk szmra

UNIVERSITAS-GYR Nonprofit Kft. + Gyr, 2007

/

Szchenyi Istvn Egyetem Gyr

Irta: Dr. Jezs Kroly

Lektorlta: Dr. Bertti Edgr egyetemi tanr Miskolci Egyetem, Mechanika Tanszk

ISBN: 978-963-9819-06-I

UNIVERSITAS-GYR Nonprofit Kft., 2007 Minden jog fenntartva, belertve a sokszorosts, a m bvtett, illetve_ rvi~~tett vltoza-ta kiadsnak jogt is. A kiad rsbeli hozzjrulsa nlkl sem a telJeS mu, sem annak rsze semmifle formban nem sokszorosthat.

Kiadja az UNIVERSITAS-GYR Nonprofit Kft. Felels kiad dr. Szily Istvn. Mszaki szerkeszt: Nagy Zoltn Kszlt a Palatia Nyomda s Kiad Kft. nyomdjban. Felels vezet Ractek Jzsef

Tartalomjegyzk

l. Bevezets .............................................................................................. 4 2. Alapfogalmak .. ...................................................................................... 6 2.1. Mechanizmusokrl ltalban ............................................................. 6 2.2. Tagok, knyszerek, knyszerkapcsolatok .......................................... 7 2.3. Knyszeregyenletek ........................................................................... 8 2.4. Knyszer geometriai s kinematikai hatrozartsgi foka ................. 12 2. 5. Kinetnatikai lnc .............................................................................. 12 2.6. Szerkezeti kialakts alapttele, szerkezeti kplet ............................ 13 2. 7. Kinematikai lnc gemnetriai hatrozartsgi foka ............................. 15 2.8. Kinetnatikai lnc kinematikai hatrozartsgi foka ........................... 17 2.9. Mechanizmus geometriai hatrozottsgi foka .................................. 18 2.10. Mechanizmus kinematikai hatrozartsgi foka ........... ; .................. 18 2.11. Pldk ............................................................................................. 19 3. Egyszer skbeli mechanizmusok kinematikai vizsglata .................. 24 3 .1. Kinematikai alap fogalmak, j el lsek ............................................... 24 3 .2 .. Kinetnatikai egyensly ttele ........................................................... 3 2 3.3. Kinen1atikai lnc sebessgllapota ................................................... 3 3 3.4. Mechaniztnusok sebessgllapota .................................................... 4 2 3.5. Kinetnatikai lnc gyorsulsllapota ................................................. 50 3 .6. Mechanizmusok gyorsulsllapota .................................................. 59 3. 7. Mechanizmusok helyzetnek meghatrozsa .................................. 63 3.8. Pldk ............................................................................................... 63 4. Skbeli mechaniztnusok dinatnikai vizsglata .................................... 66 4 .1. Dinamikai hatrozottsgi fok ........................................................... 66 4 .2. Mozgsegyenlet-rendszer ................................................................. 69 Ll.:3. Er()t

6. Gtnbi mechaniztnusok ................................. ,, ,, .......................... 122 6.1. Alapfogalmak ................................................................................. 122 6.2. Kardn-hajts ................................................................................. 124 6.3. Kpfogaskerk hajts ..................................................................... 128 6.4. Pldk ............................................................................................. 132 7. Nhny tervezsi feladat skbeli tnechaniztnusokra ......................... 13 5 7 .l. Holtpontok, els rend holtpontok tervezse ................................. 13 5 7 .2. Kt elrt helyzetet megvalst tnechaniztnus .............................. 142 7,1 crpnttyk krbeforgathatsgnak vizsglata .............................. 144 7.4. i11flexis kr .............................................................................. 147 7. 5. Csukls tnechaniztnusok ttervezse ............................................. 15 3 7.6. Pldk ............................................................................................. 157 8. Megoldsok ....................................................................................... 161 8.1. A 2. fejezet pldinak tnegoldsai ................................................. 161 8.2. A 3. fejezet pldinak tnegoldsai ................................................. 167 83. A 4. fejezet pldinak megoldsai ................................................. 177 H, 5. fejezet ~.,_,q:Hinak megoldsai.. .............................................. l 91 8.5. A 6. fejezet f dJntak megoldsai ................................................. 196 8.6. A 7. fejezet pldinak megoldsai ................................................. 200 9. Irodalomjegyzk ............................................................................... 207

3

1. Bevezets A Mechaniztnusok tudmnnyterlet sztnos gpsztnrnki terlet

fontos alaptudomnya. A tnrnkkpzsben a mechaniztnusok analzise tnrnki szempontok szerinti ismertetsre kerl sor gy, hogy az a mr-nki gyakorlatban kzvetlenl hasznlhat legyen, s erre a tudsanyagra a mrnki szaktrgyak tovbbi ismereteket pthessenek.

A gyri Szchenyi Istvn Egyetem Gpsz-, Infonnatikai s Villa-mosmrnki Intzetben az egyetetui alapkpzs rszeknt a Mechaniz-tnusok egy flves, ktelezen vlaszthat tantrgy. A Mechanizmusok jegyzet az egyetetui alapkpzsben rsztvev gpsztnrnk, mechatroni-kai mrnk s mrnk -tanr szakokon a hallgatknak kvn segtsget nyjtani a tantrgy tananyagnak elsajttsban. A tantrgy a ktelezen vlaszthat tantrgyak kztt tallhat.

A jegyzet foglalkozik a mechaniztnusok szerkezeti kialaktsnak trvnyszersgvel, a skbeli mechaniztnusok kinetnatikai, dinatnikai analzisvel, centrois tnechaniztnusok s gmbi mechaniztnusok kinema-tikai istnereteivel, s nhny tervezsi feladat bemutatsval a holtpont-okkal, az inflexis krrel s a tnechaniztnusok ttervezhetsgvel kap-csolatban. A jegyzet valametmyi terlethez pldkat is tartalmaz. A pl-dk tnegoldsait a jegyzet vgn kln fejezetben mutatjuk be, gy nem befolysoljuk a plda megoldshoz szksges elmleti ismeretek tgon-dolst.

A Mechaniztnusok cm tantrgy heti eladsokon kerl leadsra, amelyhez gyakorlatok tartoznak, majd a flv kzben rsbeli dolgozatban kell sztnot adni a megszerzett ismeretek elsajttsrl. A jegyzet segt-sget nyjt a Mechaniztnusok cln tantrgy tananyagnak elsajttshoz. A hetente tnegtartsra kerl eladsok, gyakorlatok anyagt tartalmazza, s kiegszt tnagyarzatokkal, pldkkal is szolglja a tantrgy tananya-gnak jobb megrtst. A Mechaniztnusok cm tantrgy tananyagnak elsajttshoz javasoljuk a jegyzetbl heti 15-20 oldal elmleti istneret-anyag ttanulmnyozst, tgondolst, megtanulst, tnajd az ttanuhn-nyozott elmlethez tartoz pldk n1egoldst. Ezzel a hallgat rem-nyekkel indulhat az eredtnnyes gyakorlati jegy megszerzshez.

A 7. fejezet Slyi Istvn (1924-2001) Mechaniztnusok c. [l] tan-knyve alapjn rdott. A 2. a 6. a 7. fejezet pldi kztt tallhatk olya-nok, atnelyeket tng a Miskolci Egyetetn volt Szlltberendezsek Tan-

4

szkn, tnajd ksbb a trgy tkerlse utn a Mechanikai Tanszken a tanszki munkakzssg dolgozott ki. Ez utbbi munkban e jegyzet szer-

zj e is rszt vett. A jegyzet szerzje ezton kvn ksznetet tnondani a jegyzet lekto-

rnak, Dr. Bertti Edgr egyetetui tanrnak hasznos szrevteleirt, ki-egsztseirt, amik a jegyzet ismeretanyagba bepltek.

Miskolc, 200 7. augusztus 31.

5

2. Alapfogalmak

2.1. Machanizm us okrl ltalban A gpszmmk egyik clja, hogy olyan berendezseket, gpeket

hozzon ltre, mnelyekkel mozgsokat tud 1negvalstani. Ezek lehetnek - determinlt mozgsok (ilyen pl. a szerszmgpek munkada-

rabjnak a szerszmhoz viszonytott mozgsa), amelyeket a tervezmmk elre meghatroz, s elre meghatrozott cl rdekben hozza ltre;

- a vletlenszer, vagy sztohasztikus mozgsok (ilyen pl. a fldrengsek kvetkeztben ltrejv mozgsok, vagy a szerszmgpeknl, a munkadarab s a szerszm kztti de-terminlt mozgsra szuperponldott kisebb rezgsek, de az emberi mozgsokra is leginkbb ez jellemz), amelyeket a mszaki letben is clszer felgyelet alatt, illetve korltok kztt tartani.

A detennmlt tnozgsok ltalban gpekkel valsthatk tneg. A g-peknek mind a tervezse, mind az alkahnazsa kmnoly. elmleti felk-szltsget ignyel. A tervezsi folyamatbl egy mmnentumot vizsglva, sokszor csak bonyolult szerkezettel valsthat meg az, hogy a gp egyet-len eleme, elre Illeghatrozott n1ozgst valstson meg. Az ilyen deter-minlt tnozgs lehet a gp llvnyhoz kpest elrt, s lehet, hogy a gp egy tnsik eletnhez kpest kell a Illeghatrozott 1nozgst ltrehozni, de az is elfordul, hogy mindkt felttelt egyidejleg teljesteni kell. Mg nehe-zebb a vletlenszer mozgsok felgyelete, illetve azok korltok kzt tartsa. Az ilyen mmki munkhoz val felkszltsget segti a Mecha-nizmusok tudomnya.

A Mechanizmusok tudomnynak a trgya: Mozg gpeknek, gpi berendezseknek, hajtmveknek, illetve ezek eleineinek kinematikai, dinmnikai vizsglata, mechanikai tervezse.

A gpsztnmki gyakorlatban mechanizmusoknak nevezzk a gp mechanikai elven mkd, tnozg s ll rszeinek egyttest.

6

Tagok, knyszerek, knyszerkapcsolatok A gpeknek elemei klnbz tnozgst vgeznek, s az egyes eletnek

csuklkkal, csszkkkal, btykkkel, stb. kapcsoldnak egymshoz. Az egytt mozg elemeket a mechanizmus tagjainak, mg a kzttk lv kapcsolatot a mechanizmus knyszereinek nevezzk. Fontos, hogy a tagok kztt milyen knyszer (hengeres csukl, gtnbcsukl, csszka, csavar-menet, fogaskerk kapcsolds, stb.) van kialaktva, de a mechanizmusok vizsglatt, e kapcsolatok struktrjnak eletnzse segti.

A tnechanizmust a vizsglat sorn brzolhatjuk - a gprajzi szablyoknak megfelelen; - vonalasan. A vonalas brzolst ugyancsak kt rszre bontjuk: - A mechanizmus tagjainak fbb mreteit esetleg arnyait

s/vagy a knyszerek tulajdonsgait tekintve helyesen br-zoljuk Ezt az brzolst vonalas vzlatnak nevezzk.

- A tagok knyszerkapcsolatainak fbb struktrjt megtartva a geometriai mrelt~ktl s ~ knyszerek tnilyensgtl el-vonatkoztatva, teljes absztrakcival brzoljuk a tnechaniz-must. Ezt az brzolst strukturlis brzolsnak, vagy strukturlis vzlatnak nevezzk.

l. bra Az l. bra egy forgattys tnechanizmus strukturlis vzlatt - balol-

dalt, s vonalas vzlatt- jobboldalt, tnutatja be. brzolsnl a tnecha-nizmus tagjait arab szmjegyekkel, mg a knyszereit latin nagy betkkel jelljk. Fontos kittel, hogy az llvnyt tnindig az l szm jelli. Az brn az A, B, C knyszerek hengeres csuklk, tng a D knyszer csszka.

A mechaniztnusnak azokat a rszeit, mnelyek tnerevtestszeren egytt mozognak, a mechanizmus tagjainak nevezzk. A mechaniztnus tagjaihoz a vonalas brzolsnl arab szmokat rendelnk hozz gy, hogy az llvny kapja az l szmot.

7

A vizsglat knnyebb ttelemiatt a mechaniztnus valamennyi tagj-hoz egy-egy koordintarendszert rendelnk. A koordintarendszereket gy klnbztetjk meg egytnstl, hogy a fels indexbe annak a tagnak a sorsztnt rjuk, mnelyhez a koordintarendszert rendeljk. PL az x 5, y 5, z 5 koordintarendszer az 5 jel taghoz kttt s azzal egytt mo-zog.

Knyszernek nevezzk kt tag kztt, kzvetlen vagy kzvetett rint-kezs tjn ltrejtt olyan kapcsolatot, amely a kt tag egymshoz viszo-nytott mozgst klcsnsen korltozza. Knyszer esetben a mozgst ler komdintk egy rsze netn vehet fel tetszleges rtket, kzttk meghatrozott sszefggsek rvnyesek, ezek a knyszeregyenletek A 1nechanizmus knyszereit latin nagy betkkel jelljk.

Kt tag kztt fennll knyszert, esetleg knyszereket egyetlen kny-szerkapcsolatnak tekintjk. Egy knyszerkapcsolat csak kt tag kztt rtehnezett, s kt tag kztt csak egyetlen knyszerkapcsolatot rtehne-znk.

brzolsnl nem ritka, hogy a knyszerek egymssal fedsbe kerl-nek. Ilyenkor hrom tag kztt kett, ngy tag kztt hrom, s n tag k-ztt n -l knyszerkapcsolat van egymssal feds ben, atnelyeket kln-kln nagybetveljellni kell.

Abban az esetben, ha csukls knyszerekkel hrmn tag gy kapcso-ldik egymshoz, hogy a tagok egy hromszg oldalait, a csuklk a h-rmnszg cscsait jelentik, akkor ezek egytt tnozognak, gy egyetlen tag-nak minslnek

2.3. Knyszeregyenletek A korltozs nlkli tnozgst szabad mozgsnak nevezzk. A szabad

mozgs szabadsgi foka (1ns nven szabadsgfok) trben 6, skban 3. A szabadsgi fok a mozgst ler, egymstl fggetlen koordintk szn1t jelenti. A tnozgsok sokfle-kpen lerhatk: pl. trbeli szabad mozgst meghatroz hrom helykoordinta s hrom szgkoordinta. Skmozgst pl. kt helykoordinta s egy szgkoordinta r le.

A knyszeregyenletek matematikai formban fejezik ki a knyszer mozgskorltozst. Vizsgljuk meg a 2. brn lthat A jel knyszert. Tekintsk elszr az brn lthat knyszert gtnbcsuklnak. A 2 jel testen egy r sugar gmb, tng az l jel testen egy ugyancsak r sugar,

8

gtnb alak reg van kialaktva. Mindkt gmbfelletnek az A pont a kzppontja. A kt test egytnshoz kpest gy 1nozog, hogy a test pontjai az A ponttal egybees kzppont, koncentrikus gmbfelleteken marad-nak. Az l jel testhez kttt az Dj_ kezdpont x1,yl,z1, mg a 2 jel testhez kttt az 0 2 kezdpont x 2, y 2, z 2 koordintarendszer. Mindkt koordintarendszemek az origja az A ponttal1negegyez, amely 1nindkt testhez viszonytva helyben marad. A testekhez kthetnk pontokat. Ha az A pontot az l jel testhez ktjk, akkor a pont jelhez az als indexbe az l sorszmot rjuk A1 mdon. Igy A2 a 2 jel testhez kttt A pont. Knny beltni, hogy a mozgs sorn A = A1 = A2 = Dj_ = 02 rvnyes. Ezzel a knyszeregyenlet-rendszer egyszeren

x1

= O y1 = O z1 = o A2 ' A2 ' A2 (2.1) mdon rhat az l jel testhez kttt x1, y1, z1 koordintarendszerben, mg

(2 .2)

mdon a 2 jel testhez kttt x2 ,y2 ,z2 koordintarendszerben. Akr a (2.1 ), akr a (2.2) egyenleteket tekintjk, a gtnbcsuklra vonatkozan a knyszer geometriai ktttsge Kg = 3 . A knyszeregyenletek szma

A hrmn, teht a gmbcsuklra vonatkozan a trbeli szabad 1nozgs N=6 szabadsgi fokt Kg = 3 knyszerfelttel korltozza, amelyek 3 koordin-

A tt meghatroznak, hrom koordintt szabadon hagynak. A gmbcsukl sg = N - Kg = 3 koordintt hagy szabadon, vagyis a gmbcsukl sza-A A badsgi foka sg = 3 .

A Tekintsk 1nost a 2. brn lthat A jel knyszer r sugar fellett

hengerfelletnek Knnyen belthat, hogy mindkt testhez kttt koordi-ntarendszer z tengelye, minden idpillanatban egybeesik a henger forgs-tengelyvel, amelyen az origk is tallhatk. Az is belthat, hogy a 2 jel

9

testnek sem az l jel testhez kttt x1 tengelye krli a~, se1n az y 1 tengelye krli f3 ~ szgelfordulsa nem lehetsges. Ezzel

x1 =O y 1 =O a 1=0 {31=0 02 ' 02 ' 2 ' 2 (2.3) egyenletek adjk a knyszeregyenleteket az l jel testhez kttt koordin-tarendszerben. A knyszer ltal szabadon hagyott mozgslehetsg a z tengely irny ehnozduls, illetve a z tengely krli szgelforduls. A knyszeiTe 4 egyenlet rhat fel, K~ = 4 , a1nely 4 koordintt meghatroz 2 koordintt szabadon hagy, gy a knyszernek a szabadsgi foka

s~ = N - K~ = 2 . Az ilyen knyszert szoktk csukls csszknak, cssz-ks csuklnak vagy csszs csuklnak nevezni, amely kt szabadsgfok.

2. bra Abban az esetben, ha a csszs csuklnak megakadlyozzuk a z ten-

gely irny elmozdulst, akkor a knyszeregyenletekre az x1 =0 y1 =0 z1 =0 a 1=0 {31=0 02 ' 02 ' Ch ' 2 ' 2 (2 .4)

sszefggseket kapjuk, ezzel 5 koordintt lektnk, K~ = 5 , s csak egy koordintt hagyunk szabadon. Ez a knyszer a hengeres csukl, amely egyszabadsgfok: s~ = N- K~ = l .

Abban az esetben, ha a csszs csuklnak megakadlyozzuk a z ten-gely krli r~ szgelfordulst, akkor a knyszeregyenletekre az

x~2 =O; y~2 =O; a~= O; /3~= O; r~= O (2.5)

10

sszefggseket kapjuk, ezzel 5 koordintt lektnk, K~ = 5 , s csak egy koordintt hagyunk szabadon. Ez a knyszer a csszka, atnely egysza-badsgfok: s~ = N - K~ =l .

A fenti (2.1)-(2.5) knyszeregyenh;tek az idtl fggetlenek. Az ilyen knyszeregyenleteket passzv, vagy geometriai knyszeregyenleteknek, tng a knyszeregyenletekhez talioz knyszeli passzv, vagy gemnetriai knyszereknek nevezzk.

Elfordul az olyan eset, amikor a knyszeregyenletek kzt tallhat olyan, amely az idt is talialmazza. Az ilyen knyszeregyenletet kinema-tikai, vagy aktv knysz(regyenletnek, s a knyszeli kinetnatikai, vagy aktv knyszernek nevezzk.

Abban az esetben, ha eljuk, hogy a csszka lland v sebessggel mozogjon gy, hogy a t= O idpontban a 2 jel tag origjnak zi koor-dintja legyen zi = s , akkor z~2 = s +v t sszefggs rvnyes a 2 jel koordintarendszer 0 2 origjnak zi koordintjra. A knyszeregyenle-teket ebben az esetben

x~2 =0; y~2 =0; z~2 =s+vt; a~=O; P~=O; r~=O (2.6) sszefliggsek adjk. Ezzel a 2 jel tag uH1zgsa az l jel taghoz kpest hatrozott vlik. A knyszer gemnetriai s killernatikai ktttsge

K~ = 6 . N e1n vehetnk fel egyetlen koordintt sem tetszlegesen. A geometriai s killernatikai knyszeregyenletek egyttes szma K~ = 6 , a knyszer kinenmtikai szabadsgi foka s~ =N-K~ =O . A knyszer aktv, vagy kinematikai, meli a knyszeregyenletek kztt tallhat olyan, atnely az idtl fgg.

Azokat a knyszereket, atnelyekre kinetnatikai elrst tesznk, va-gyis a knyszeregyenletei talialmaznak killernatikai egyenletet is, a kny-

,J.. szer jelre fellrl lefel n1utat nyllal jelljk A tndon, ha az aktv knyszer jele A.

Ha az A jel knyszerhez tartoz geometriai knyszeregyenleteknek a sztna K~ geometriai ktttsg, illetve a geometriai s kinetnatikai kny-

ll

szeregyenleteknek az egyttes szn1a K~ kinetnatikai ktttsg, akkor a knyszer s~ geometriai szabadsgi foka

s~ = 6- K~ , (2. 7) illetve s~ killernatikai szabadsgi foka

s~ =6-K~. (2.8) Fontos, hogy a knyszeregyenleteknek tartalmaznia kell valamennyi,

a kt test knyszerkapcsolatbl kvetkez, mozgsra vonatkoz korlto-zsokat, de a knyszeregyenletek kzl egyik egyenlet sem lehet kvetkez-mnye a tbbinek, vagy azokkal ellentmond.

A knyszer kinematikai, vagy aktv knyszeregyenleteinek a szma legfeljebb a knyszer gemnetriai szabadsgi foknl kisebb, vagy azzal megegyez lehet, de annl nagyobb netn.

Szabadsgi fok alatt mindig a geometriai szabadsgi fokot lijk, ha netn tesszk ki a jelzt. Ebben az esetben geometriai szabadsgi fokrl van sz.

2.4. Knyszer geometriai s kinematikai hatrozottsgi foka Knyszer geometriai hatrozartsgi fokn a knyszer geometriai sza-

badsgi fokt lijk Knyszer killernatikai hatrozartsgi fokn a knyszer kinetnatikai

szabadsgi fokt lijk

2.5. Kinematikai lnc A tnechanizmusok rendszerezsnek legfontosabb eszkze a lncsze-rsg, vagyis tag-knyszer-tag-knyszer-... -tag-knyszer-tag sorozat. Ezt az eszkzt kinematikai lncnak nevezzk.

A kinematikai lnc tagoknak s knyszereknek olyan sorozata, atnelyben a tagok knyszerekkel gy kapcsoldnak egymshoz, hogy egy tag a lncban legfeljebb kt taggal, a tagot a lncban megelz, illetve a tagot a lncban kvet taggal van knyszerkapcsolatban.

A kinetnatikai lnc kezd tagjnak azt a tagot nevezzk, amely tag a lncbanlegelszr fordul el. A killernatikai lnc mindig taggal kezddik.

A kinetnatikai lnc zr tagjnak azt a tagot nevezzk, amely tag a lncban legutoljra fordul el. A kinetnatikai lnc mindig taggal zrul.

A k i l l e r n a t i k a i l n c l e h e t

- z r t , h a a kezd t a g m e g e g y e z i k a z r t a g g a l ;

- n y i t o t t , h a a kezd t a g n e m e g y e z i k m e g a z r t a g g a l ;

E g y m e c h a n i z m u s n l t b b k i n e t n a t i k a i l n c i s kpezhet. A z els k i -

n e t n a t i k a i l n c m i n d i g a z l l v n y t l i n d u l , s t n i n d a d d i g f o l y t a t n i k e l l a

l n c k p z s t , a m g a z l l v n y r a n e t n j u t u n k , a l n c n a k m i n d a kezd t a g j a

m i n d a z r t a g j a a z l l v n y . A z l l v n y t n i n d i g a z els k i n e m a t i k a i l n c -

h o z t a r t o z i k . A k i l l e r n a t i k a i l n c o k b a n a kezd s z r t a g o t k i v v e m s

t a g v a g y k n y s z e r i s t n t l s e t i l o s . A z els k i n e t n a t i k a i l n c n a k r s z e a

kezd s z r t a g . A z els k i l l e r n a t i k a i l n c o t kveten c s a k o l y a n t a g r l

(kezd t a g ) i n d t h a t j u k a l n c k p z s t , a t n e l y k o r b b i l n c o k b a n m r s z e -

r e p e l t e k , s t n i n d a d d i g f o l y t a t n i k e l l , a t n g o l y a n t a g h o z ( e z l e s z a z r

t a g ) n e t n r n k , a t n e l y e t k o r b b i l n c o k b a n m r f i g y e l e m b e v e t t n k . E z e k

a l n c o k a k o r b b a n f e l r t k i n e t n a t i k a i l n c o k a l v a n n a k r e n d e l v e , i t t a

kezd s z r t a g n e t n t a r t o z i k a kinematiL~i l n c h o z . A l n c k p z s m i n d -

a d d i g f o l y t a t a n d , a m g a m e c h a n i Z t n u s v a l a m e n n y i k n y s z e r t s v a l a -

m e n n y i t a g j t v a l a t n e l y i k l n c b a n f i g y e l e m b e n e m v e t t n k .

A z l . b r n l t h a t n g y c s u k l s m e c h a n i z t n u s n l

1 A 2 B 3 C

4

D

1

( 2 . 9 )

m d o n r h a t f e l a k i n e t n a t i k a i l n c , s c s a k e g y e t l e n k i n e t n a t i k a i l n c

kpezhet. A z ( 2 . 9 ) k i l l e r n a t i k a i l n c f e l r h a t m g 1 D 4 C 3 B 2 A 1 a l a k b a n

i s . M s f e l r s n e m l e h e t s g e s .

2 . 6 . S z e r k e z e t i k i a l a k t s a l a p t t e l e , s z e r k e z e t i k p l e t

A 2 . 5 . p o n t b a n l e r t a k s z e r i n t f e l r j u k a z els k i l l e r n a t i k a i l n c o t ,

g y e l v e a r r a , h o g y m i n d a kezd, m i n d a z r t a g j a a z l l v n y l e g y e n , t n s

k n y s z e r n e k v a g y t a g n a k a z istntlds t i l o s . H a a z els l n c b a n f i g y e -

l e t u b e v e t t k a m e c h a n i z t n u s v a l a m e n n y i k n y s z e r t s e z z e l e g y t t t a g -

j t , a k k o r e z a m e c h a n i z m u s e g y l n c .

A t n e n n y i b e n a l n c k p z s e d d i g i s z a k a s z b a n n e m v e t t k f i g y e l e m b e

a t n e c h a n i z m u s v a l a m e n n y i k n y s z e r t , a k k o r t o v b b i k i n e m a t i k a i l n c

f e l r s a s z k s g e s . A z j a b b k i l l e r n a t i k a i l n c c s a k o l y a n t a g r l i n d u l h a t ,

a t n e l y e t k o r b b a n f e l r t l n c o k b a n m r f i g y e l e 1 n b e v e t t n k , s t n i n d a d d i g

f o l y t a t d i k , a m g o l y a n t a g h o z n e t n r n k , a m e l y e t a k o r b b i l n c o k b a n

m r f i g y e l e t u b e v e t t n k . A z j l n c b a n a kezd s z r t a g o t k i v v e n e t n

vehet b e a z a t a g , a m e l y e t a k n r b b i l n c o k b a n m r f i g y e l e t u b e v e t t n k .

1 3

A k o r b b a n f e l r t l n c o k u t n e g y b a l r a m u t a t n y l t r a j z o l u n k , s a z j

l n c k p l e t t e z u t n r j u k f e l . E z t a f o l y a m a t o t n l i n d a d d i g i s m t e l j k ,

a m g a m e c h a n i z m u s v a l a m e n n y i k n y s z e r t v a l a m e l y i k l n c b a f e l n e m

r t u k . E z z e l a f e l r s s a l m e g k a p j u k a t n e c h a n i z t n u s s z e r k e z e t i k p l e t t

A s z e r k e z e t i k p l e t t b b f l e m d o n f e l r h a t , d e b r m e l y i k f e l r s t

v l a s z t j u k , a z o n o s m a r a d a l n c o k s z t n a . A k i l l e r n a t i k a i l n c o k s z m a a

m e c h a n i z t n u s s z e r k e z e t i jellemzje. S l y i I s t v n [ l ] m e g f o g a b n a z t a a

m e c h a n i z t n u s s z e r k e z e t i k i a l a k t s n a k a z a l a p t t e l t , a m e l y a kvetkez

k e t m o n d j a k i :

M i n d e n m e c h a n i z m u s elllthat a l n c k p z s elegend s z m , s

megfelelen a l k a l m a z o t t i s m t l s v e l . A s z k s g e s i s m t l s e k s z m a a

m e c h a n i z m u s s z e r k e z e t i jellemz} e , e z a m e c h a n i z m u s k i n e m a t i k a i l n c a i -

n a k a s z m a .

A m e c h a n i z m u s v a l a t n e n n y i t a g j t f i g y e l e m b e v v e t a l l u n k o l y a n o -

k a t , a t n e l y e k k t t a g g a l v a n n a k k n y s z e r k a p c s o l a t b a n . E z e k o l y a n t a g o k ,

a m e l y e k a z els l n c o t kvet k i l l e r n a t i k a i l n c a i n a k n e m kezd s z r

t a g j a . V a n n a k o l y a n t a g o k i s , a m e l y e k kettnl t b b t a g g a l v a n n a k k n y -

s z e r k a p c s o l a t b a n . E z e k a t a g o k a z els k i l l e r n a t i k a i l n c o t kvet l n c o k

kezd s z r t a g j a i . A t a g o t e l g a z s i h e l y n e k t e k i n t j k , h a a z s s z e s

l n c o t f i g y e l e m b e v v e 2 t a g n l t b b t a g g a l v a n k n y s z e r k a p c s o l a t b a n . A

t a g e g y s z e r e s e l g a z s i h e l y , h a 3 , k t s z e r e s e l g a z s i h e l y , h a n g y , s

n - s z e r e s e l g a z s i h e l y , h a n + 2 t a g g a l v a n k n y s z e r k a p c s o l a t b a n .

A z e e l g a z s i h e l y e k s a z l l n c o k s z t n a k z t t

e = 2 ( 1 - l ) ( 2 . 1 O )

s s z e f g g s r v n y e s . E g y l n c m e c h a n i z m u s n a k n i n c s e l g a z s i h e l y e .

A 3 . b r a e g y m e c h a n i z m u s s t r u k t u r l i s v z l a t t m u t a t j a . A m e c h a -

n i z m u s s z e r k e z e t i k p l e t e a f e n t i e l v e k a l a p j n

1 A 2 B 3 C 4 D s E 1 + - - 2 F 6 G 7 H s K 3 + - - s l 9 J 4 ( 2 . 1 1 )

m d o n r h a t f e l . A z ( 2 . 1 1 ) s z e r k e z e t i k p l e t t b b f l e k p p e n i s f e l r h a t .

E z a t n e c h a n i z m u s h r o m k i l l e r n a t i k a i l n c c a l r e n d e l k e z i k ( l = 3 ) , a z e l -

g a z s i h e l y e k s z m a e = 4 . E l g a z s i h e l y a m s o d i k s a h a n n a c l i k k i -

n e t n a t i k a i l n c kezd s z r t a g j a , g y a 2 , 3 , 8 s 4 jel t a g . M i n d a n g y

t a g e g y s z e r e s e l g a z s i h e l y , m e r t a z s s z e s k i n e t n a t i k a i l n c o t f i g y e l e m -

b e v v e , e z e k n l a t a g o k n l a v e l k k n y s z e r k a p c s o l a t b a n lv t a g o k

s z t n a t n i n d e g y i k n l 3 . A 2 jel t a g k n y s z e r k a p c s o l a t b a n v a n a z l , 3 s 6

jel t a g o k k a l , a 3 jel t a g k n y s z e r k a p c s o l a t b a n v a n a 2 , 4 s 8 jel t a g o k -

kal, a 8 jel tag knyszerkapcsolatban van a 7, 3 s 9 jel tagokkal, n1g a 4 jel tag knyszerkapcsolatban van a 3, 5 s 9 jel tagokkaL

I

l

3. bra A szerkezeti kpletben valamennyi knyszernek szerepelnie kell, de

az sszes lncot figyelembe vve csak egyszer. A tagokra ez nem mond-hat el~ hiszen a msodik, s minden tovbbi kinetnatikai lnc csak olyan tagrl indulhat, s olyan taggal zrulhat, amelyet a korbbi lncok tartal-tnaznak. Ezek a tagok a mechanizmus elgazsi helyei.

2.7. Kinematikai lnc geometriai hatrozottsgi foka

4. bra A 4. brn az aA2B3C4 n-1MnN p kinen1atikai lnc strukturlis

vzlata lthat. Legyen ez a killernatikai lnc a mechaniZtnus i-edik ( i > l ) kinetnatikai lnca! A lnc a jel kezd, s f3 jel zr tagja a korbban

15

felrt kinetnatikai lncok egyikben mr szerepelt, gy ezeknek a tagoknak az egytnshoz viszonytott mozgsa knyszermozgs, amelyet azok a knyszerek korltozzk, amelyek a korbbi kinetnatikai lncokhoz tartoz-nak. Legyen az i-nl kisebb sorsztn kinematikai lncok ltal a f3 jel tagnak az a jel kezd taghoz viszonytott knyszern1ozgsa sap sza-badsgi fok, akkor a f3 jel tagnak az a jel kezd taghoz viszonytott ktttsge (az egytnstl ftiggetlen knyszeregyenleteknek a szma)

Kap =N- sap, (2.12) ahol N a szabad mozgs szabadsgi foka. Tnnozgs esetn N= 6, sk-tnozgsnl N = 3 , fogaskerekes mechanizmusoknl N = 2 , trbeli gmbi mechaniZlnusoknl N = 3 , skbeli gtnbi mechaniztnusoknl N = 2 .

Vizsgljuk tneg ezutn a fenti kinematikai lnc gemnetriai szabadsgi fokt. A 2 jel tagnak az a jel taghoz viszonytott szabadsgi fokt az A knyszer hatrozza meg, amelynek rtke s~. A 3 jel tagnak a 2 jel taghoz viszonytott szabadsgi fokt a B knyszer hatrozza tneg, amely-nek rtke sZ, gy a 2 s 3 jel tagoknak az a jel taghoz viszonytott szabadsgi foka s~B = s~ +sZ. A 4 jel tagnak a 3 jel taghoz viszony-tott szabadsgi fokt a C knyszer hatrozza meg, atnelynek rtke s~ , gy a 2, 3 s 4 jel tagoknak az a jel taghoz viszonytott szabadsgi foka

s~BC = s~ +sZ + s~ . Hasonlan rhat fel az n-edik tagig a lnc szabad-sgi foka s~BC ... M = s~ +sj + s~ + ... + sft- sszeftiggssel. gy lenne felrhat az a A2B3C4 n-1M nN p kinematikai lnc tagjainak a szabad-sgi foka is, ha a f3 jel tag nem vgezne knyszermozgst. Mivel a f3 jel tag knyszermozgst vgez, gy az a jel taghoz viszonytott mozg-sra Kap knyszeregyenlet rhat fel, amivel a killernatikai lnc szabad-sagt foka cskkentend. gy a mechanizmus i-edik, a A2B3C4 n-1M nN p kinetnatikai lncnak geometriai szabadsgi foka az

sf =s~BC ... MN =s~ +sj +s~ + ... +sft- +sfv -Kap (2.13)

sszefliggsbl sztnthat. Knnyen belthat, hogy zrt kinematikai lnc esetn a = f3 , ezrt

(2.14) rvnyes. Legtbbszr az (2.14) sszefliggs olyan nyitott kinematikai lncokra is igaz, amelyeknl a kezd tag netn tartozik a kinematikai lnc-hoz, de a zr tag igen.

Kinemaiikai lnc geometriai hatrozoltsgi fokn a lnc geometriai szabadsgi fokt rtjk.

Nyitott kinetnatikai lnc geometriai hatrozottsgi foka lehet negatv is, de zrt lnc esetben csak sf ~ O lehetsges.

2.8. Kinamatikai lnc kinamatikai hatrozoltsgi foka A fenti, a tnechanizmus i-edik, aA2B3C4 n-lMnN fJ kinematikai

lncnak a kinematikai szabadsgi foka az ( 1.13) sszefliggshez hasonl logikai kvetkeztetsek nyomn

kk kk k kk si = s ABC ... MN =sA+ sB +sc+ ... + sM +sN- KafJ (2.15) egyenletbl sztnthat. Jellje az i-edik kinematikai lnc knyszereire felrhat .sszes kinematikai knyszeregyenleteknek a szmt Kf = K~BC ... MN ! Knnyen belthat, hogy az i-edik kinematikai lnc kinematikai szabadsgi foka

kk a k _g k si =sABC. .. MN =sABC ... MN -KABC ... MN -si -Ki (2.16) sszefliggsbl is szmthat. A (2.16) sszefggsbl kvetkezik, hogy a kinematikai lnc gemnetriai szabadsgi foka vagy tnegegyezik a kinetna-tikai szabadsgi fokkal, vagy nagyobb atml. rvnyes az

relci. S~ < s-?" l- l (1.17)

Kinemaiikai lnc kinemaiikai hatrozoltsgi fokn a lnc kinemaiikai szabadsgi fokt rtjk.

Zrt lnc esetben csak sf ~ O lehetsges.

17

2.9. Mechanizmus geometriai hatrozottsgi foka Mechaniztnus gemnetriai hatrozottsgi foka alatt a tnechanizmus

geometriai szabadsgi fokt rtjk, amit a lnconknti szabadsgi fokok sszege ad. Ennek alapjn az L lnc tnechanizmus esetn

L hg =sf +sf + ... +sf = "L.sf (2.18)

i=l sszefliggs szolgltatja a mechanizmus geometriai hatrozottsgt, azaz geometriai szabadsgi fokt. A geometriai szabadsgi fok nem lehet nega-tv.

Vezessk be a G1 =sf, G2 =sf +sf , ... ,Gi =sf +sf + ... +sf rszsorokat

N e tn mozgathat a mechanizmus els i kinetnatikai lnca kzill egyik sem, ha Gi = O .

Az els i kinematikai lncra legfeljebb j szm knyszerelrs (aktv knyszeregyenlet) tehet, ha Gi =j> O, (i=1,2, ... ,L), s Gis Gk vala-tnennyi k > i rszsszegre, vagy Gi > j , de k > i esetn van olyan rsz-sszeg, amelyre Gk =j > O rvnyes, s G1 ~ j sszefliggs igaz vala-metmyi l > i , de l :t k esetre.

2.10. Mechanizmus kinamatikai hatrozoltsgi foka Mechanizmus kinematikai hatrozottsgi foka alatt a tnechaniztnus

kinetnatikai szabadsgi fokt rtjk, amit a lnconknti kinematikai sza-badsgi fokok sszege ad. Ennek alapjn az L lnc tnechanizmus esetn

L hk = sf +s~ + ... +s1 = "L.sf (2.19)

i=l sszefliggs szolgltatja a mechaniztnus kinetnatikai hatrozottsgt, azaz kinematikai szabadsgi fokt. A kinetnatikai szabadsgi fok nem lehet negatv.

Ha sf = O , akkor az els kinematikai lnc kinematikai mennyisgei a tbbi lnc kinematikai tnennyisgeitl fliggetlenl meghatrozhat.

18

H a s f + s~ = O , a k k o r a z els k t k i n e m a i i k a i l n c k i l l e r n a t i k a i

m e n n y i s g e i a t b b i l n c k i n e m a i i k a i rnem1yisgeitl f g g e t l e n l m e g h a -

t r o z h a t .

H a s f + s~ + . . . + s f = O , a k k o r a z els i k i n e m a i i k a i l n c k i n e m a i i k a i

m e n n y i s g e i a t b b i l n c k i n e m a i i k a i mennyisgeitl f g g e t l e n l r n e g h a -

t r o z h a t .

Egyszernek t e k i n t j k a m e c h a n i z m u s t , h a v a l a m e n n y i l e h e t s g e s

s z e r k e z e t i k p l e t f e l r s t s z r n b a v v e t a l l u n k o l y a t , a m e l y n l a k i n e m a -

t i k a i h a t r o z o t t s g v a l a m e n n y i l n c r a z r u s r t k e t a d . H a v a n i l y e n s z e r -

k e z e t i k p l e t , a k k o r a z a legegyszerbb s z e r k e z e t i k p l e t . A ( 2 . 1 7 ) s s z e -

f g g s t m e g v i z s g l v a , b i z t o s a n n e m l e h e t a z a s z e r k e z e t i k p l e t a l e g e g y -

szerbb, a t n e l y n l t a l l h a t o l y a n k i n e r n a t i k a i l n c , a m e l y n e k g e m n e t r i a i

s z a b a d s g i f o k a n e g a t v .

s s z e t e t t n e k t e k i n t j k a m e c h a n i z m u s t , h a v a l a r n e n n y i l e h e t s g e s

s z e r k e z e t i k p l e t f e l r s t s z m b a v v e n e r n t a l l u n k o l y a t , a m e l y n l a

k i l l e r n a t i k a i h a t r o z o t t s g v a l a m e n n y i l n c r a n z v e z r u s r t k e t a d .

A m e c h a n i z t n u s n a k a z a t u l a j d o n s g a , h o g y egyszer v a g y s s z e t e t t ,

l t a l b a n n e r n s z e r k e z e t i t u l a j d o n s g . P e r s z e v a n o l y a n m e c h a n i z t n u s ,

a t n e l y n l b r h o g y a n i s t j u k f e l a s z e r k e z e t i k p l e t e t , r n i n d e g y i k s z e r k e z e t i

k p l e t n l t a l l u n k o l y a n k i n e r n a t i k a i l n c o t , h o g y g e o m e t r i a i s z a b a d s g i

f o k a n e g a t v r a a d d i k . A z i l y e n m e c h a n i z t n u s , s z e r k e z e t i f e l p t s b e n

s s z e t e t t t p u s .

2 . 1 1 . P l d k

2 . 1 . p l d a I s m e r e t e s a z 5 . b r n l t h a t s k b e l i r n e c h a n i z m u s v o n a l a s v z -

l a t a . A t a g o k s k n y s z e r e k r n e g v a n n a k j e l l v e .

a ) r j a f e l a r n e c h a n i z m u s l e h e t s g e s s z e r k e z e t i k p l e t e i t , s l l a p t s a m e g

a r n e c h a n i z m u s g e o m e t r i a i h a t r o z o t t s g i f o k t !

b ) H a t r o z z a m e g a z e l g a z s i h e l y e k e t !

c ) H a t r o z z a r n e g a m e c h a n i z m u s g e m n e t r i a i h a t r o z o t t s g t !

d ) r j a f e l a legegyszerbb s z e r k e z e t i k p i e t e t a b b a n a z e s e t b e n , h a a z A

jel k n y s z e r a z a k t v k n y s z e r ! l l a p t s a m e g , h o g y a m e c h a n i z m u s

egyszer, v a g y s s z e t e t t !

e ) l l a p t s a m e g , h o g y a m e c h a n i z m u s egyszer, v a g y s s z e t e t t a b b a n a z

e s e t b e n , h a a z E jel k n y s z e r a z a k t v k n y s z e r !

1 9

l

l

5 . b r a

2 . 2 . p l d a I s m e r e t e s a 6 . b r n l t h a t s k b e l i r n e c h a n i z m u s v o n a l a s v z -

l a t a . A t a g o k a t s k n y s z e r e k e t n e r n j e l l t k r n e g .

6 . b r a

a ) J e l l j e m e g a t a g o k a t s k n y s z e r e k e t , m a j d r j a f e l a m e c h a n i z t n u s

l e h e t s g e s s z e r k e z e t i k p l e t e i t !

b ) H a t r o z z a m e g a z e l g a z s i h e l y e k e t !

c ) H a t r o z z a m e g a m e c h a n i z m u s g e o m e t r i a i h a t r o z o t t s g t !

d ) r j a f e l a legegyszerbb s z e r k e z e t i k p i e t e t a b b a n a z e s e t b e n , h a a z t a

t a g o t h a j t j u k m e g a z l l v n y h o z k p e s t l l a n d s z g s e b e s s g g e l , a m e l y

2 0

tag az llvnyhoz csuklval kapcsoldik! llaptsa 1neg, hogy ebben az esetben a mechanizmus egyszer, vagy sszetett!

e) llaptsa meg, hogy a 1nechanizmus egyszer, vagy sszetett abban az esetben, ha azt a tagot hajtjuk meg az llvnyhoz kpest lland sebes-sggel, a1nely tag az llvnyhoz fliggleges csszkval kapcsoldik!

2.3. plda Isineretes a 7. brn lthat skbeli mechanizmus vonalas vz-lata. A tagokat s knyszereket nem j elltk meg.

~

~ 7. bra

a) Jellje 1neg a tagokat s knyszereket, n1ajd rja fel a 1nechaniZ1nus lehetsges szerkezeti kpleteit, s szmolja ki geometriai hatrozott-sgt! (A szerkezeti kplet felrsnl, lnconknt a tagok s kny-szerek fordtott sorrendben val felrsra, nem kell tekintettel lenni!)

a) Hatrozza meg az elgazsi helyeket! c) rja fel a legegyszerbb szerkezeti kpietet abban az esetben, ha azt a

tagot hajtjuk 1neg az llvnyhoz kpest lland szgsebessggel, mnely tag az llvnyhoz a bal oldali csuklval kapcsoldik! llaptsa meg, hogy ebben az esetben a mechaniZinus egyszer, vagy ssze-tett!

d) rja fel a legegyszerbb szerkezeti kpietet abban az esetben, ha azt a tagot hajtjuk meg az llvnyhoz kpest lland szgsebessggel, a1nely tag az llvnyhoz a jobb oldali csuklval kapcsoldik! llapt-

21

sa meg, hogy ebben az esetben a 1nechanizmus egyszer, vagy ssze-tett!

2.4. plda Ismeretes a 8. s a 9. brn lthat skbeli 1nechanizmus vona-las vzlata. A tagokat s knyszereket nemjelltk meg.

8. bra

9. bra

a) Mindkt esetbenjellje tneg a tagokat s knyszereket, majd hja fel a tnechanizmus lehetsges szerkezeti kpleteit, s szmolja ki geomet-riai hatrozottsgt! (A szerkezeti kplet felrsnl, lnconknt a ta-gok s knyszerek fordtott sorrendben val felrsra, netn kell te-kintettel lenni!)

b) Mindkt esetben hatrozza meg az elgazsi helyeket! c) Mindkt esetben a geometriai hatrozottsgnak megfelelen rjon el

aktv knyszereket, s sztnolja ki a kinetnatikai hatrozottsgott

23

3. Egyszer sikbeli mechanizmusok kinematikai vizsgla-ta

3.1. Ki nernatikai alapfogalmak, jellsek Mint azt az elz pontban lttuk, mechanizmusok tagokbl s kny-szerekbl llnak. A tagoknak pontjai vannak. Ha egy tetszleges P pontot az l jel taghoz ktjk, akkor a ponthoz az l indexet tesszk ll mdon. Kthetjk ugyanezen pontot ms tagokhoz is, ezrt fontos a megkln-bztets, hogy tudjuk, tnelyik tag, mely pontjrl beszlnk.

A sebessgvektorokat s a gyorsulsvektorokat csak pontok esetn rtelmezzk Csak pont esetn beszlhetnk sebessgrl s gyorsulsrl, testesetn nem. Testnek vgtelen sok pontja van, gy a pontoknak mind a sebessgei, mind a gyorsulsai klnbzhetnek egymstl.

A mechanizmus tagjainak sebessgllapott a tag pontjainak sebes-sgvektorai hatrozzk tneg. Pl. az 5 jel tag P5 pontjnak a sebessgt, vp5 jelli, s a 6 jel taghoz kttt ugyanezen P6 pontnak sebessge vp6 Felrhat mg a 6 jel taghoz kttt P pont relatv sebessge az 5 jel taghoz kttt P pont sebessghez kpest, amit vp5p6 = vp6 - vp5 ssze-

fggsbl szmtunk. A v p5p6 sebessg ltalban az egymssal knyszer-kapcsolatban lv tagok rintkez pontjainak a relatv sebessgklnbsg felrsnl hasznlatos. Kt tag knyszerkapcsolata ltalban rintkezssei jn ltre. gy az 5 s a 6 jel tagok kztt is lehetsges a knyszerkapcso-lat Jellje P az 5 s a 6 jel tagok kztti knyszert, s P a knyszernek azt a pontjt, amely pont a P knyszer egy lehetsges, rintkez pontja. Ezzel a v p

5p6 ngyindexes sebessgvektorbl, amely a P knyszer P pont-

jnak relatv sebessgt adja, a P indexet elhagyjuk, s a tovbbiakban v56 mdon jelljk. Ez csak akkor tehet tneg, ha az 5 s a 6 jel tagok kztt P jel knyszer P pontjnak relatv sebessgklnbsgrl van sz. Ezzel a vp

5p6 = v56 jellssei lnk az 5 s a 6 jel tagok kztti P jel

knyszer P pontjnak relatv sebessgklnbsgnl. Amennyiben a mechaniztnus egyetlen, de tetszleges tagjt vizsgl-

juk, akkor a tagnak kt pontja kztti sebessgklnbsg meghatrozs-nl a kt pont sebessgtkell istnerni. Vizsgljuk az 5 jel tagon, a taghoz

k t t t P s s Q s p o n t o k v p

5

s v Q

5

s e b e s s g e i t , i l l e t v e a v p

5

Q

5

r e l a t v

s e b e s s g e t , m n e l y v p

5

Q

5

= v Q

5

- v p

5

. A n g y i n d e x e s v p

5

Q

5

s e b e s s g h e -

l y e t t , a t o v b b i a k b a n a k t i n d e x e s v p Q = v p

5

Q

5

j e l l s t h a s z n l j u k , h a

n y i l v n v a l , h o g y a P s Q p o n t o k a z 5 jel t a g h o z k t t t e k .

A m e c h a n i z m u s s e b e s s g l l a p o t n a t n e c h a n i Z i n u s t a g j a i n a k s e b e s -

s g l l a p o t t r t j k .

E g y t a g g y o r s u l s l l a p o t t a t a g p o n t j a i n a k g y o r s u l s v e k t o r a i h a t -

r o z z k m e g . A m e c h a n i z n 1 u s g y o r s u l s l l a p o t n a m e c h a n i z m u s t a g j a i n a k

g y o r s u l s l l a p o t t r t j k . A s e b e s s g l l a p o t n l b e v e z e t e t t j e l l s n e k t n e g -

felelen a z 5 s a 6 jel t a g a z o n o s p o n t j r a , p l . a P p o n t r a v o n a t k o z P s

s p 6 k z t t i a p 5 p 6 g y o r s u l s k l n b s g e t egyszeren a s 6 = a p 5 p 6 j e l l i ,

h a a z 5 s a 6 jel t a g o k k z t t i P jel k n y s z e r P p o n t j n a k r e l a t v g y o r -

sulsklnbsgrl v a n s z . H a s o n l a n a z e g y t a g o n , p l . a z 5 jel t a g o n

lv k t p o n t , a P s s Q s p o n t o k a P s Q s r e l a t v g y o r s u l s k l n b s g t a z

a p Q = a p s Q s j e l l i , h a n y i l v n v a l , h o g y a p s Q p o n t o k a z 5 jel t a g h o z

k t t t e k .

A m e c h a n i Z i n u s g y o r s u l s l l a p o t n a t n e c h a n i Z i n u s t a g j a i n a k g y o r s u -

l s l l a p o t t r t j k .

1 0 . b r a

V i z s g l j u k t n e g a k n y s z e r k a p c s o l a t o k a t k i n e t n a t i k a i s z e m p o n t b L A

l O . b r a a z i s j jel t a g o t s a k z t k lv A jel, e g y b k n t tetszleges

k n y s z e r t j e l l i . A z b r n f e l t n t e t t k a z i jel t a g s e b e s s g l l a p o t t t n e g -

h a t r o z ~i s z g s e b e s s g e t , s a t a g ~ p o n t j n a k v R s e b e s s g t , a

l

g y o r s u l s l l a p o t o t - a s e b e s s g l l a p o t o n t l - m e g h a t r o z & l i s z g -

2 5

g y o r s u l s t , s a t a g ~ p o n t j n a k a a R g y o r s u l s t . A j jel t a g n a k a z i

l

jel t a g h o z v i s z o n y t o t t r e l a t v s e b e s s g l l a p o t t a z i i j r e l a t v s z g s e b e s -

s g v e k t o r s a z A jel k n y s z e r A p o n t j h o z k t t t v i j r e l a t v s e b e s s g -

v e k t o r h a t r o z z a m e g , m g a r e l a t v g y o r s u l s l l a p o t t - a r e l a t v s e b e s -

s g l l a p o t o n t l - a z & i j r e l a t v s z g g y o r s u l s v e k t o r v a l a m i n t a z a i j

r e l a t v g y o r s u l s v e k t o r h a t r o z z a m e g . A j jel t a g s e b e s s g l l a p o t t a z

i l 1 _ j s z g s e b e s s g v a l a m i n v Q

1

s e b e s s g , a g y o r s u l s l l a p o t t p e d i g - a

s e b e s s g l l a p o t o n t l - a z & l j s z g g y o r s u l s s a Q

1

g y o r s u l s h a t r o z z a

t n e g .

K n n y e n b e l t h a t , h o g y s k b e l i m e c h a n i z m u s e s e t n - h a a t n o z g s

a z x y k o o r d i n t a s k k a l p r h u z a m o s - a s e b e s s g v e k t o r o k s g y o r s u l s -

v e k t o r o k a z x y k o o r d i n t a s k k a l p r h u z a t n o s a k , t n g a s z g s e b e s s g s

s z g g y o r s u l s v e k t o r o k a r r a merlegesek, v a g y i s a z t e n g e l l y e l p r h u z a -

m o s a k , e z e k r e i l i = m l i k , i i j = m i j k , i l 1 _ j = l J . j k , & l i = & l i k , & i j = & i j k ,

& l j = s

1

j k r h a t . A k b z i s v e k t o r a z t e n g e l y i r n y b a m u t a t e g y s g -

v e k t o r . A j jel t a g s e b e s s g l l a p o t t m e g h a t r o z [ i l 1 _ j ; v p

1

J v e k t o r k e t -

tst, a z i jel t a g s e b e s s g l l a p o t t m e g h a t r o z [~i; v l } J , s a z A k n y -

s z e r A p o n t j h o z k t t t r e l a t v s e b e s s g l l a p o t o t m e g h a t r o z [ J i j ; v i j J

vektorkettsk s e g t s g v e l l l t h a t j u k el. E z z e l

~j =~i+ i i j ' ( 3 . 1 )

v a g y i s l J . j k = l J . i k + m i j k r h a t a s z g s e b e s s g v e k t o r o k r a , i l l e t v e

l J . j = l J . i + ( ) ) i j

( 3 . 2 )

a s z g s e b e s s g v e k t o r o k k o o r d i n t i r a , m g

v Q = v n + r n . f x r p Q + V + m k x r A Q

j F j w l l l J l J '

( 3 . 3 )

v Q . = v Q . l l v Q . l

1 J S : : a J r e

i l l e t v e f e l h a s z n l v a ( 3 . l ) s s z e f g g s t , t r e n d e z s u t n

v Q J = v l } + m l i k x r p A + v i j + l J . j k x r A Q

( 3 . 4 )

2 6

adjk a sebessgvektorok kztti sszefggst, mni egyszeren vQ1 =vli +vpA +vu +vAQ (3.5)

alakra hozhat, ahol V pA =~Ji x rpA, v AQ = ~jk x rAQ. A (3.3) ssze-fggsben lthat, hogy a vQ

1 sebessgvektor kt rszbl ll. Az els rsz

aj jel taghoz kttt Q pont szllt sebessget, mg a tnsodik rsz a Q pont relatv sebessget adja.

A gyorsulsllapotra vonatkoz sszefggsek sorn s11 = sli + su ,

azaz s11k =&lik+ suk rhat a szggyorsuls vektorokra, illetve &lj ~.: +&U (3.6)

a szggyorsuls vektorok koordintira. A (3.4) sszefggs derivlsa tnajd trendezs utn kapjuk a gyorsulsokra vonatkoz

aQ1 =ali + slik x rpQ - ~~rPA + 2~ik x vu +au + k- - 2-+su x rA Q- COJ.JrAQ (3.7)

sszefggst, amely talakthat az aQJ =alj +apA +aAcor +au +aAQ (3.8)

alakba, ahol aPA= &lik x rpA- mf/PA az i jel tag kt pontja kztti gyor-suls, a AQ = (&li +&U) k x rAQ - ( lqi + JU )2 rA Q a j jel tag kt pontja

'-v-----" '-v-------1 &lj cvf}

kztti gyorsuls, tng a Acor = 2~ik x vu a Corio/is gyorsuls. Vizsgljuk tneg azt az esetet, amikor az A knyszer csszka (ll. b-

ra). Ebben az esetben} jel tag az i jel taghoz kpest relatv halad moz-gst vgez a csszka irnyba, a kt tag szgsebessge is, illetve a szg-gyorsulsa is megegyezik, vagyis

(3.9) &li = &lj => &U = (3 .l 0)

Csszka irnya szabadon felvehet a csszka lehetsges tnozgsnak kt, egymssal ellenttes irnya kzl.

27

Jellje a csszka irnyba mutat egysgvektort e A, aj jel tagnak a csszka irny relatv ehnozduls-koordintjt az i jel taghoz kpest sA. Ezzel az A knyszeren a tetszlegesen kijellt A pontban a relatv sebessg VU = s Ae A, illetve a relatv gyorsuls aU = s Ae A. A (3.4) egyen-let csszka esetn

(3.11) alakv vlik.

ll. bra A (3 .9) s (3 .ll) egyenletek egyetlen tntrixegyenletbe sszevonha-

tk:

[[~J]=[[~: J] +[[e:]}A (3.12) A sebessgvektoroknak, illetve a csszka irnyvektornak csak kt koor-dintja, x s y koordintja van, gy a (3.12) egyenletben szerepl osz-lopvektorok mindegyike 3 skalr koordintt tartalmaz.

A gyorsulsok kztti (3. 7) sszefggs csszka esetn aQ1 = a11 + slik x rpQ- mflPQ + 2~ik x vu + sAe A (3.13)

'-r---' :-------' aQ. =aQ . ll a A cor =aQ... aQ }rel 1 JS=a . 1jjar

alakra hozhat. A (3.13) sszefggsben a j jel taghoz kttt Q pont gyorsulsa hrmn rszbl ll. Az els rsz az i jel taghoz kttt Q pont gyorsulsa. Ezt aQ = aQ. 11 szllt gyorsulsnak is nevezhetjk (az i 1 JS=a jel tag ekkora gyorsulssal szlltja a j jel taghoz kttt Q pontot). A msodik rsz a j rulk os gyorsuls. Ezt csszka eset n a Q pont vlaszt-stl fggetlenl az a A cor = aQ Corio/is gyorsuls adja. A hannaclik

war

r s z a z a Q r e l a t v g y o r s u l s , a m e l y u g y a n c s a k m i n d i g u g y a n a k k o r a ,

} r e l

b r h o l i s v l a s z t j u k a Q p o n t o t .

C s s z k a e s e t n a ( 3 . 1 0 ) s a ( 3 . 1 3 ) e g y e n l e t e k e g y e t l e n m t r i x e g y e n -

l e t b e v o n h a t k a ( 3 . 1 2 ) e g y e n l e t h e z h a s o n l a n , a m e l y

[[:~J]=[[;~ J ] + [ [ a Q : a r J ] + [ [ e : ] } A ( 3 . 1 4 )

a l a k .

1 2 . b r a

V i z s g l j u k m e g a z t a z e s e t e t , a m i k o r a z A k n y s z e r c s u k l ( 1 2 . b r a ) .

H a a z A k n y s z e r e n a z A p o n t o t clszeren a c s u k l t e n g e l y n v e s s z k f e l ,

a k k o r a z t l l a p t h a t j u k m e g , h o g y a z A p o n t n a k t n i n d a s e b e s s g e , t n i n d a

g y o r s u l s a t n e g e g y e z i k , a k r a z i jel, a k r a j jel t a g h o z k t j k a z t , v a -

g y i s i l y e n v l a s z t s e s e t n v i j = , a i j = s s z e f g g s e k r v n y e s e k . A

k t t a g s z g s e b e s s g e s s z g g y o r s u l s a a z o n b a n n e m e g y e z i k m e g . K -

z t t k a ( 3 . 2 ) , i l l e t v e a ( 3 . 6 ) s s z e f g g s e k r v n y e s e k . A k t t a g a z A

p o n t o n tmen f o r g s t e n g e l y k r l e l f o r d u l e g y m s h o z k p e s t . J e l l j e a

r p A s z g a j jel t a g r e l a t v s z g e l f o r d u l s t a z i jel t a g h o z k p e s t . A

r e l a t v s z g s e b e s s g e t O J i j = e p A , a r e l a t v s z g g y o r s u l s t & i j = q i A s s z e -

fggsbl s z t n t h a t j u k . E z z e l a ( 3 . 2 ) s s z e f g g s

O Y J . j = O Y J . i + e p A , ( 3 . 1 5 )

t n g a ( 3 . 6 ) s s z e f g g s

( 3 . 1 6 )

a l a k v v l i k .

A s e b e s s g e k k z t t i ( 3 . 3 ) s s z e f g g s c s u k l e s e t n

2 9

v Q J = v Q

1

+ k x r A Q e p A ( 3 . 1 7 )

a l a k r a h o z h a t . C s u k l e s e t n a ( 3 . 1 5 ) s a ( 3 . 1 7 ) e g y e n l e t e k a ( 3 . 1 2 ) m t -

r i x e g y e n l e t h e z h a s o n l a n s s z e v o n h a t k a z

[[~~J]=[[:~: J ] +[[fx~AQJ]~ A ( 3 . 1 8 )

m t r i x e g y e n l e t b e .

A g y o r s u l s o k k z t t i ( 3 . 7 ) s s z e f g g s c s u k l e s e t n

a Q

1

= a

1 1

+ s

1

i k x r p Q - OYJ.~rPA-m [ j r A Q + s i j k x r A Q

a l a k r a h o z h a t , a m i t r e n d e z s u t n

a Q

1

= a Q i + ( - 2 0 Y J . i m i j r P Q - m i j r P Q ) + k x r A Q . q i A

a Q i j j a r

( 3 . 1 9 )

e g y e n l e t r e v e z e t . A ( 3 . 1 9 ) egyenletbl, s z e t n b e n a ( 3 . 1 3 ) e g y e n l e t t e l , h i -

n y z i k a C o r i o / i s g y o r s u l s , h i s z e n a z A p o n t clszer v l a s z t s v a l ( a z A

p o n t o t a z A k n y s z e r f o r g s t e n g e l y n v l a s z t o t t u k ) v i j = O , g y

Z i A c o r = 2 m l i x v i j = .

A ( 3 . 1 6 ) s ( 3 . 1 9 ) e g y e n l e t a ( 3 . 1 4 ) m t r i x e g y e n l e t h e z h a s o n l a l a k r a

h o z h a t , s a z

[ [ :~ J J = [ [ ;~ J ] + [ [ a Q : a r J ] + [ [ k x ~AQ J]~ A ( 3 . 2 0 )

m t r i x e g y e n l e t h e z v e z e t .

V e z e s s k b e a tetszleges j jel t a g s e b e s s g l l a p o t t m e g h a t r o z

O Y J . j s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i n t a s a t a g tetszleges Q p o n t j n a k v Q

1

s e b e s s g v e k t o r n a k k o o r d i n t i b l a l k o t o t t , h r o m s k a l r k o o r d i n t b l

l l , a Q j p o n t h o z k t t t l t a l n o s t o t t

[t:QJ=[[;~JJ ( 3 . 2 1 )

3 0

sebessgmtrixot, illetve a j j el tag gyorsulsllapott n1eghatroz &t j szggyorsuls vektorkoordinta s a tag tetszleges Q pontjnak aQj gyorsulsvektornak skbeli koordintibl alkotott, hrom skalr koordi-ntAhl ll, a Q j ponthoz kttt ltalnostott

[ Etj J [ ~QJ= [ aQj J (3.22)

gyorsulsn1trixot. Hasonlan vezessk be az A j el knyszer knyszer-koordintjra vonatkoz ltalnos

_{sA, ha az A knyszer csszka; qA- (3.23)

(/J A, ha az A knyszer csukl; knyszerkoordintt, illetve az A knyszetnek a Q pontra vonatkoztatott Plcker fle

[f~]= (3 .24) [(e: 1], ha az A knyszer csszka;

[[- ~ J], ha az A knyszer csukl; kxrAQ ltalnostott mtrixot. A bevezetett (3.21)-(3.24) mennyisgekkel az i s} jel tagok sebessgllapotai kztt rvnyes (3.12), (3.18) egyenletek helyett a

EQJ = EQ; + f~cjA (3 .25) mtfixegyenlet rhat fggetlenl attl, hogy a kt tag kztti A knyszer csszka vagy csukl. Hasonl egyenlet rhat az i s j jel tagok gyorsu-lsllapotai kztt rvnyes (3.14), (3 .20) egyenletek helyett

A =A +A + LQijA (3 26) =Qj =Q; =AQijjar =A .

fggetlenl attl, hogy a kt tag kztti A knyszer csszka vagy csukl. A (3.26) egyenletben szerepl .4AQ jrulkos gyorsulstntrixot az

- war

31

[ A ]= =AQijjar [[ ~ _ J], ha az A knyszer csszka; 2mlik x vij

o (3.27)

[[ _ 2_ J]' ha azA knyszer csukl; -20.JliO.JijrAQ- O.JijrAQ

sszefggsbe foglalhatjuk ssze. A sebessgllapot s a gyorsulsllapot tekintetben rvnyes a me-

chanikban istnert szuperpozci elve.

3.2. Kinamatikai egyensly ttele

13. bra Vizsgljuk meg Slyi Istvn tmutatsaszerint [l] a 13. brn lthat

aA2B3C4 n-lMnN fl nyitott kinemaiikai lnc sebessgllapott A knyszerekre vonatkozan semmi felttelt nem lltunk, st a kinematikai lnc lehet trbeli is. A f3 jel tag sebessgllapott meghatroz [ iOtp;vQp J szgsebessgi vektorkettst kvnjuk felrni az a jel tag sebessgllapott meghatroz [iOta; v Pa J szgsebessgi vektorketts, valatnint az ABC MN knyszerek ABC MN pontjaiban bred, relatv sebessgllapotokat meghatroz [iba 2; va 2], [~3; v23] ,

[ l.34; v34] , .. . , [ in-l,n; v n-l,n J , [ in/3; v11p J szgsebessgi vektorkettsk segtsgveL

A f3 jel tag ~/3 szgsebessgre az i1f3 =~a + ia2 +~3 + l.34 + + in-l,n + in/3

sszefggs, 1ng a taghoz kttt Q pont vQp sebessgre vQp =V pa +~a x rpQ + va2 + ia2 x rAQ + v23 + i23 x rBQ +

(3.28)

+v34 + l.34 x rcQ + ... + vn-l,n + in-l,n x rMQ + Vnf3 + in/3 x rNQ (3 .29) egyenlet rvnyes.

Vizsgljuk 1neg a kvetkezkben azt az esetet, anlikor a f3 jel tag megegyezik az a jel taggal, vagyis f3 =a . Ebben az esetben a kineina-tikai lnc zrt, s a szgsebessgekre rvnyes (3 .28) egyenletbl

~/3- ~a= iaf3 == ia2 +~3+ l.34 + + {n-l,n +{n/3 (3.30) kvetkezik. A (3 .29) egyenletet trendezve, s kihasznlva a vQa =v pa +~a x rpQ sszefggst vQp -vQa ==va2 +ia2 xrAQ +v23 +i23 xrBQ +v34 +i34 xrcQ +

+ .. +vn-l,n +in-l,n xrMQ +vnH +in/3 xrNQ (3.31) egyenletet kapjuk. Egyenslyinak tekintnk egy vektorrendszert, ha annak az eredje is, s egy tetszleges pontra sz1nolt nyomatka is zrus. A fenti kt, (3.30), (3.31) egyenletbl kvetkezik, hogy a tetszleges

aA2~C4 ... n-IMnNa zrt kinematikai lnc relatv szgsebessg vektor-rendszere olyan, hogy n1ind az eredjemind a tetszleges pontra vonatko-z nyomatka is zrus. Ez azt jelenti, hogy a vektorrendszer egyenslyi. Ez a kine1natikai egyensly ttele.

A ki :kai egyensly ttele kimondja, hogy zrt kinematikai lnc-ra a relatv szgsebessgi vektorrendszer egyenslyi.

3.3. Kinematikai lnc sebessgllapota Kinen1atikai lnc sebessgllapotnak 1neghatrozst hrmnfle

1ndon 1nutatjuk be: - csak szmtssal, tntrixok segtsgve!;

33

- csak szerkesztssel, a sebessgbra segtsgve!; - szerkeszt s szmt eljrssal a kinematikai egyensly t-

tel alkalmazsval. C---~

14. bra Vizsgljuk 1neg elszr a szmtst mtrix segtsgveL A 14. brn

lthat aA2B3C4 .. n-1MnN f3 nyitott kinematikai lnc skbeli, s gy pl fel, hogy csak csszka vagy csukls knyszereket tartalmaz. Vlasz-szuk ki tetszlegesen egy Q pontot! A Q pont kthet a mechaniZlnus brmelyik tagjhoz. Ebben az esetben a f3 jel tag sebessgllapott kife-jez ltalnostott VQ mtrixot a Q ponthoz ktjk, amelyet a (3 .25)

=p egyenlet kiterjesztsbl a

EQ13 = EQa +f~qA +f~qB +f~qc + .. +f~qM +f~qN (3.32) sszefggs segtsgvel lltjuk el.

Bevezetve az aA2B3C4 .. n-tM11 N f3 killernatikai lnc knyszereire vonatkoz Q pontra szmolt ltalnos Plcker mtrixakat tartahnaz

[ G~ ... N J= [[~J [Lj] [Ig] ... [z~ J [I~ ]J (3.33) geo1netriai mtrixot, valamint az ABC MN knyszerek knyszerkoor-

dinta-sebessgeibl alkotott

34

[q ]= =A ... N

oszlopvektort, a (3 .32) egyenlet

[ GQ J[q ]=[v ]-[v J =A ... N =A ... N =Qp =Qa (3 .34)

alakban rhat.

"' A 15. brn lthat, egylnc 1 A2 B3C4Dj_ forgattys tnechanizmus segtsgvel tuutatjuk be a sebessgl]np meghatrozst tnindhrmn mdszerrel. A tnechaniztnus geon1etriai hatrozottsga l, kinetnatikai hatrozottsga O, vagyis a mozgs determinlt, a mechaniztnus egyszer tpus .

15. bra Az ltalnos knyszerkoordinta-sebessgek az A, B, C knyszerek-

nl rendre a relatv forgstengely A, B, C pontjaiba reduklt q A = m12 = 12rad/s, q B= m23, q D = J:34 szgsebessg, illetve a D knyszernl a tetszlegesen kivlasztott D pont qc =v 41 relatv sebess-ge. A gemnetriai mtrix meghatrozsnl a Q pontot brhol felvehetjk

35

Clszeren az A knyszer A pontjba vlasztva Q= A . Ezzel a geomet-riai mtrix oszlopvektorai rendre az ABC csuklknl

l

[f~J=[[fx~AAJ]= ~ '[f~J=[[fx~BAJ]=

illetve a D csszknl

A geometriai mtrix

GA = O [

l

[=A...DJ 0 l l

0,3 o -0,4 -1,2

l o

-1,2

o

illetve a tnegoldand GA q = O egyenlet =A ... D=A ... D =

[~l l l 0,3 o -0,4 -1,2

~l:~ o t:34

v 41

l 0,3

-0,4

(Mivel a mechanizmus egyetlen killernatikai lncbl ll, ezrt sem a geometriai mtrixnl, sem a knyszerkoordintk oszlopvektornl nem

36

k e l l k i t e n n i a l n c r a v o n a t k o z i n d e x e t L e h e t n e g y i s r n i : G A , z , a m i a

m e c h a n i z r n u s r a , s n e m a l n c r a v o n a t k o z i k , e z i t t u g y a n a z . ) K i h a s z n l v a ,

h o g y 4 A = c o t 2 1 2 r a d / s , a f e n t i e g y e n l e t e t t r e n d e z v e a

[

o \ ~ ~][::]=[-~2]

- 0 , 4 - 1 , 2 O v

4

1 O

egyenletrendszerbl h a t r o z h a t j u k m e g a z i s m e r e t l e n k n y s z e r k o o r d i n t a -

s e b e s s g e k e t A h a r m a d i k egyenletbl ~

3

= - 3 l V ]

4

, a m i t a z els e g y e n -

l e t h e h e l y e t t e s t v e l V ]

4

= 6 r a d / s , ~

3

= - 1 8 r a d / s , i l l e t v e a m s o d i k

egyenletbl v

4 1

= 5 , 4 r n l s a d d i k . A r e l a t v s z g s e b e s s g - , i l l e t v e a r e l a t v

s e b e s s g v e k t o r o k r e n d r e a i t

2

= ( 1 2 k ) r a d / s , ~

3

= ( - 1 8 k ) r a d / s ,

i V . 3 4 = ( 6 k ) r a d / s , i l l e t v e v 1 4 = - v 4 1 e D = ( - 5 , 4 t ) t n ! s . H a t r o z z u k m e g a

P p o n t s e b e s s g t a b b a n a z e s e t b e n , h a a p o n t o t a 2 , i l l e t v e a p o n t o t a 3 ,

t o v b b a b b a n a z e s e t b e n , h a a p o n t o t a 4 jel t a g h o z k t j k . J e l l j e i a z

x i r n y , J a z y i r n y b z i s v e k t o r t . E z z e l a 2 j e l t a g h o z k t t t P

2

p o n t

v p

2

s e b e s s g e

a 3 jel t a g h o z k t t t P

3

p o n t v

1 3

s e b e s s g e

= ( - 4 , 8 7 + 9 , 6 ] ) + ( - 1 s f ) x ( 0 , 4 T + 0 , 1 ] ) = ( - 3 7 + 2 , 4 ] ) m ! s ,

a 4 jel t a g h o z k t t t P

4

p o n t v p

4

s e b e s s g e

= ( - 3 7 + 2 , 4 ] ) + ( 6 k ) x ( - 0 , 4 T + 0 , 4 ] ) = ( - 5 , 4 i ) r n ! s ,

3 7

a m i e g y t t a l ellenrz s z m t s i s , h i s z e n a 4 jel t a g h a l a d t n o z g s t

v g e z a z l l v n y h o z k p e s t , g y m i n d e n p o n t j n a k s e b e s s g e v

1 4

s e b e s -

s g g e l e g y e z i k m e g .

A 1 6 . b r n u g y a n e z t a p l d t m o s t s z e r k e s z t s s e l , a s e b e s s g b r a

m e g r a j z o l s v a l o l d j u k m e g . A s e b e s s g b r t g y r a j z o l j u k m e g , h o g y

f e l v e s s z k a v x v y s e b e s s g i k o o r d i n t a r e n d s z e r t , e z l t a l m e g h a t r o z z u k a

s e b e s s g i s k o t , a m e l y s k o n a h e l y v e k t o r o k s e b e s s g v e k t o r o k a t j e l e n t e -

n e k . F o n t o s m g , h o g y e l l e n t t b e n a M e c h a n i k a - M o z g s t a n cm t a n -

t r g y b a n t a n u l t a k k a l , a p o n t o k n a k a s e b e s s g i s k o n l e k p z e t t a l a k j t n e n 1

k l n b z t e t j k t n e g vesszvel a z e r e d e t i p o n t o k t l , h i s z e n a j e l r e n d s z e -

r n k , e n l k l i s e l g b o n y o l u l t . A s e b e s s g i s k o n a s e b e s s g v e k t o r o k

i r n y t s e m j e l l j k b e , h i s z e n a z A p o n t b l a B p o n t b a t n u t a t h e l y v e k t o r

a d j a a v A B s e b e s s g e t , m g a B p o n t b l a z A p o n t b a m u t a t h e l y v e k t o r

v B A s e b e s s g e t a d .

" '

r j u k f e l elszr a z

1

A

2

B

3

C

4

D j _ k i n e m a t i k a i l n c r a v o n a t k o z a n a

( 3 . 5 ) e g y e n l e t e t , a m e l y

v . D J . = v A

1

+ v n + v A B + v 2 3 + v B c + v 3 4 + v e D + v 4 1 ( 3 . 3 5 )

a l a k . A z l l v n y o n lv p o n t o k s e b e s s g e z r u s , g y v A t = , s v . D J . = .

A z A p o n t clszer v l a s z t s v a l - a p o n t o t a z A c s u k l f o r g s t e n g e l y n

f e l v v e - v

1 2

= . H a s o n l a n v

2 3

= , i l l e t v e v

3 4

= , h a a B p o n t o t a B

k n y s z e r f o r g s t e n g e l y n , i l l e t v e a C p o n t o t a C k n y s z e r f o r g s t e n g e -

l y n v e s s z k f e l . A D k n y s z e r c s s z k a , g y a D p o n t tetszleges h e l y e n

felvehet. Clszer a C p o n t t a l f e d s b e f e l v e n n i , g y v e D = . E z e k e t

k i h a s z n l v a a ( 3 . 3 5 ) e g y e n l e t b e n

j l D j _ = = l A

1

+ l 1 2 + V A B + l 2 3 + v B C +~34 + l C D + V 4 1

egyszerstsek h a j t h a t k v g r e . A z e g y e n l e t b e n k t s z e r h z t u k a l a z o k a t

a m e n n y i s g e k e t , a m e l y e k e t i r n y s n a g y s g s z e r i n t i s i s m e r n k , i l l e t v e

e g y s z e r h z t u k a l a z o k a t a m e n n y i s g e k e t , m n e l y e k n e k c s a k a z i r n y t

i s m e r j k . g y i s m e r t a 2 jel t a g n a k a z i q

2

s z g s e b e s s g e , h i s z e n a 2 jel

t a g o n m e g h a t r o z h a t j u k a z i q

2

i s m e r e t b e n a

3 8

vB2 =&12 x rAB =12k x(0,4T +0,3]) =(-3,6T +4,8])m!s sebessget vektorikusan, de akr skalrisarr is, hiszen a B pont sebessge az A ponthoz kpest vAB=Im12 llrABI=120,5=6m/s, s a sebessgi brn a v AB az rAB -hez kpest 90 fokkal fordul el tq2 irnyba. Fel-vesszk teht a sebessgi lptket: pl. lm/s ~ l ctn , s a v x v y koordinta-rendszert.

C,D4 ,P4 A,D0 16. bra

Az origban tallhat az A s az llvnyhoz kttt Do pont. A B

pont az A ponthoz kpest az AB egyenest az tq2 irnyba merlegesen elforgatva, az origtl 6tn!s tvolsgra tallhat. A B ponthoz kpest a C pont a BC egyenesre merleges irnyba keresend, hiszen v Be= i_t3 x rBe. A D4 pont, atnely az reD= vlasztssal a C ponttal fedsben van, a Do ponthoz kpest a csszka irnyban tallhat. Teht a

39

B ponttl hzott III egyenes, s a Do ponttl hzott IV egyenesek met-szspontja adja a C s D4 pontokat. Az egyes tagokhoz kttt P ponto-kat a tagokon lv kt pont ismert sebessgbl lltjuk el. A 2 jel tag-hoz kttt P2 pontot a 2 jel tagon lv A s B pont sebessgeibl, a 3 jel taghoz kttt Pj pontot a 3 jel tagon lv B s C pont sebessgei-

bl lltjuk el. (A helyvektorra merleges a helyvektor vgpontjainak sebessgklnbsge.) A 4 jel taghoz kttt P4 pont sebessge megegye-zik a D4 pont sebessgvel, hiszen a 4 jel test halad mozgst vgez az llvnyhoz kpest.

A sebessgbra alkalmas a szgsebessgek meghatrozsra is. A 3 jel tag szgsebessge a 3 jel tag kt pontjnak sebessgbl meghat-rozhat, hiszen a tagon istnert a B s C pontok rBe helyvektora a tnecha-nizmus mrethelyes vzlatbl, illetve a sebessgbrbl a v Be sebess-ge, atnelyek kztt v Be = i_t3 x r Be sszefiiggs rvnyes . Ha az i_t3 szgsebessg-vektort kvnjuk meghatrozni, akkor ez kt lpsben lehet-sges. Az els lpsben i_t3 abszolt rtkt hatrozzuk meg, ami

li.t31 =~~~Bell, illetve az i_t3 irnyt abbl hatrozzuk meg, hogy rBe r Be

helyvektor milyen irnyba fordul el 90 fokkal a sebessgi skon. Itt lt-szik, hogy az ratnutat jrsval azonos irnyba fordul el, ami a -k irnynak feleltneg, gy i_t3 =-~~~Bell k sszefggsbl sztnthat1

r Be A kinetnatikai egyensly ttele alkalmas szerkeszt eljrs alkalma-

-J., zsra is. Vizsgljuk meg ismt a 17. brn lthat 1A2 B3C4Dj_ mecha-

,J., niztnust. Az 1 A2 B3C4Dj_ kinetnatikai lnc zrt, gy a kinematikai egyen-

l A V Be = i.t3 x rBe sszefggst balrl rBe -vel vektorikusan beszorozva

trendezs utn a szgsebessg i_t3

40

sly ttele kimondja, hogy a lncban tallhat relatv szgsebessgi vek-torrendszer egyenslyi. Az A knyszernl ait2 , a B knyszernl ai:23 , a C knyszernl J.34 szgsebessgi vektor, a D knyszernl v41 szgse-bessgi vektorpr (sebessgvektor) bred. A fentiek tielmben az (ait 2, i23, lb.34, v 41) vektonendszer egyenslyi. Ha az J.23 szgsebessg vektorkoordintt szeretnnk meghatrozni az 0>]_2 ismeretben, akkor olyan tengelyre kell felrni ny01natkot, amelyre nem ad nyomatkot setn az aJ:34 , sem a v41 . Teht a C ponton ttnen, a v41 irnyra merleges tengelyt kell vlasztani. Ez a ~ tengely, atnelyre felrt nyomatki egyenlet

17. bra Ha az aJ:34 szgsebessg vektorkoordintt szeretnnk meghatrozni

az 0>]_2 ismeretben, akkor olyan tengelyre kell felrni nyomatkot, atnely-re netn ad nyomatkot setn az ~3 , sem a v 41 . Teht a B ponton tmen, a v41 irnyra tnerleges tengelyt kell vlasztani. Ez az 7J tengely, amelyre felrt nyomatki egyenlet

41

Ha a v41 sebessg vektorkoordintt szeretnnk meghatrozni az COJ2 ismeretben, akkor olyan tengelyre kell felrni nyomatkot, amelyre nem ad nyomatkot sem az m23 , sem az aJ:34 . Teht a B s C pontokon

tmen tengelyt kell vlasztani. Ez a ; tengely, amelyre felrt nyomatki egyenlet

3.4. Mechanizmusok sebessgllapota 0,05m

x

18. bra Mechanizmusok sebessgllapotnak meghatrozsa kinetnatikai

lncok sebessgllapotnak egyttes vizsglatt jelenti. A 18. bra az ~

1 A2 B3C4"Dj_ f- 3EsG6Hl (3 .36) ktlnc tnechaniztnus egy helyzett brzolja. A tnechanizmus geOtnetri-ai hatrozottsga l, kinetnatikai hatrozottsga O, vagyis a tnozgs deter-

42

tninlt, a mechanizmus egyszer tpus. Az A knyszernl cvt2 = -42rad/s szgsebessget runk el.

Hatrozzuk tneg a sebessgllapotot szmtssal! A mechanizmus el-t s, 1 A2 B3C4D1 lnca zrt, teht alkalmazhatk r a 3.3 pontban lertak. A tnsodik lnc nyitott, teht ztit kell tenni. Ezt nagyon egyszeren meg-oldhatjuk gy, hogy megnzzk a kezd- s a zr tagot. Ha a kezd tag netn az llvny, akkor a tnsodik lncot kiegsztjk az els lncbl vett rszlnccal a kezd tagig, atnelyet a n1sodik lnc el runk.

Ha a zr tag netn az llvny, akkor a msodik lncot kiegsztjk az els lncbl vett rszlnccal a zr tagig, amelyet a lnc utn runk. Ezzel

t a tndszerrel a msodik lncra itt az 1 A2 B3E5G6H 1 zrt lncot kapjuk. Az ltalnos knyszerkoordilltk q oszlopvektornak koordintit, a

knyszereknek a szerkezeti kpletben elfoglalt sorrendjben ~ ~2 ~ lVt2 qB (/)23 iJB ~3 qc lJ134 4c J.34

[2]= q D = (/)41 , illetve [2]= 4 n = m41 ~ lJ135 ~ J.35 qG 856 iJG V56

(/J6I qH tndon rtelmezzk A q oszlopvektor jelnl nem rjuk ki a lncra utal illdexet, hiszen a mechaniztnus milldkt lncnak knyszerkoordintit tartalmazza. A geometriai mtrix annyi hipermtrix sort tartalmaz, ahny lnc van a tnechaniztnusban, s annyi oszlopot, ahny knyszert tartalmaz a 1nechanizn1us. Az els hipenntrix sorban csak az els zrt killernatikai lncban, a msodik hipetmtrix sorban csak a tnsodik zrt killetnatikai lncban tallhat knyszerek Plcker mtrixai vannak. A mtrix tbbi eletne zrus. Ezzel a mechaniztnus G gemnetriai tntrixa

43

[cQJ=[[f~] [f~] [f~] [f~] [o] [o] [o] l = [f~] [f~] [o] [o] [f~] [fg] [f~ J

struktrt tnutat. Ha a Q pontot gy vlasztjuk, hogy az essen egybe a P ponttal, akkor a tntrixot rszletesen kirva

[ ~ ] [o~ 2] [ o,~5] [o,~5] [~] [~] [~] [GP J = O, 6 O, 7 -O, 05 O O O O = [0~6l [J m m [~~~ll [~:86l [-i2l

alak, s a megoldand egyenletrendszer trendezs utn

l l l o o o )23 l 0,2 0, 35 0,15 o o o J.34 o 0,7 -0,05 o o o o ) 41 0,6

=42 l o o l o l J.35 l

0,2 o o -0,1 0,8 -0,2 vs 6 o 0,7 o o 0,4 -0,6 o )61 0,6

Az egyenletrendszer killetnatikai lnconknt a termszetes sorrend-ben is tnegoldhat, tnivel a mechaniztnus egyszer szerkezet. A megol-ds az els killernatikai lnc esetben

~3= 33,1579radls; J.34 =-39, 7894rad/s; m41 = 48,6318radls.

A megolds a msodik killetnatikai lnc esetben, felhasznlva az el-s kinetnatikai lncban tnr megoldott mennyisgeket

lVJs =-3, 4903radls; v56 =-5, 642 7 m/s; m61 = 12,3 324raclis.

A sebessgbra tneghatrozshoz fel kell rni a sebessgekre vonat-koz sszeftiggseket killernatikai lnconknt Az els killetnatikai lnc esetn a (3.36) szerkezeti kplet alapjn

44

a h o l t h z t u k a z o k a t a t n e n n y i s g e k e t , a m e l y e k z r u s rtkek, i l l e t v e

k t s z e r a l h z t u k a z o k a t a m e n n y i s g e k e t , a m e l y e k e t i s t n e r n k i r n y s

n a g y s g s z e r i n t . E g y s z e r h z t u k a l a z o k a t a t n e n n y i s g e k e t , a m e l y e k e t

c s a k i r n y s z e r i l l t i s t n e r n k . A z l l v n y o u lv A s D p o n t s e b e s s g e

z r u s , a v 1 2 , v 2 3 , v 3 4 , v 4 1 s e b e s s g e k a z r t z r u s rtkek, m e r t a z A , B ,

C , s D p o n t o k a t r e n d r e a z A , B , C , s D k n y s z e r e k f o r g s t e n g e l y n v e s z -

s z k f e l . A z s s z e f g g s b e n v A B = i t 2 x r A B i s m e r t i r n y s n a g y s g

s z e r i l l t , h i s z e n i s n 1 e r t i t 2 i s , s r A B i s , t n g v B e = i 1 3 x r B e merleges

a z r B e v e k t o r r a , i l l e t v e V e n = l t 4 x r e D merleges a z r e D v e k t o r r a .

A m s o d i k k i l l e r n a t i k a i l n c r a v o n a t k o z s e b e s s g i v e k t o r e g y e n l e t a

s z e r k e z e t i k p l e t a l a p j n

' = = v E

3

+ ~ + ~ + v s 6 + V c H + ~

A s e b e s s g e k k z l k i h z t u k a z o k a t a m e n n y i s g e k e t , a m e l y e k z r u s

rtkek. A z l l v n y o u t a l l h a t H p o n t s e b e s s g e z r u s . A 3 jel t a g o n

t a l l h a t E p o n t s e b e s s g e i s m e r t a z els k i l l e r n a t i k a i l n c s e b e s s g b r j -

b l , h i s z e n a 3 jel t a g a z els k i l l e r n a t i k a i l n c b a n t a l l h a t . A v

3

s m e n y -

n y i s g z r u s , h a a z E p o n t o t a z E k n y s z e r f o r g s t e n g e l y n v e s s z k f e l . A

G k n y s z e r c s s z k a , g y a G p o n t tetszlegesen felvehet, h i s z e n a z 5 s 6

jel t a g o k e g y m s h o z k p e s t r e l a t v h a l a d m o z g s t v g e z n e k , g y v a l a -

t n e n n y i p o n t j u k s e b e s s g k l n b s g e a z o n o s , v s

6

. H a a G p o n t o t a z E

p o n t t a l f e d s b e v e s s z k f e l , a k k o r v E G = l t s x r E G = . A v s

6

r e l a t v

s e b e s s g a c s s z k a i r n y b a m u t a t , t e h t i s t n e r t i r n y s z e r i l l t . A

v G H = i t 6 x r G H i s t n e r t i r n y s z e r i n t , h i s z e n tnerleges a z r G H v e k t o r r a .

A H p o n t o t clszeren a H k n y s z e r f o r g s t e n g e l y n v e s s z k f e l , g y

v

6 1

= . A s e b e s s g b r a a 1 9 . b r n l t h a t .

A z b r n m e g h a t r o z t u k a P p o n t s e b e s s g t i s a z 5 , i l l e t v e a 6 jel

t a g o k o n . M i v e l a 6 jel t a g o n i s t n e r j k k t klnbz p o n t , a H s G

6

p o n t o k s e b e s s g t , g y a 6 jel t a g o n lv P

6

p o n t v p

6

s e b e s s g e e g y r s z t

a H p o n t sebessgbl v p

6

= v H 6 + i t

6

x r p H t n d o n s z m t h a t , g y a P

6

4 5

p o n t a s e b e s s g i s k o n a H p o n t h o z k p e s t a z r p H v e k t o r r a merleges

i r n y b a , a G 6 p o n t sebessgbl v p

6

= v c

6

+ i t

6

x r c H m d o n s z m t h a -

t , g y a P

6

p o n t a s e b e s s g i s k o n a G

6

p o n t h o z k p e s t a z r c H v e k t o r r a

merleges i r n y b a t a l l h a t . A P s p o n t o t a P

6

sebessgbl g y k a p j u k ,

h o g y v p

5

= v p

6

+ v

6

s , s a v

6

s r e l a t v s e b e s s g i v e k t o r a s e b e s s g b r n

m e g t a l l h a t , h i s z e n a v

6

s v e k t o r a G

6

p o n t b l t u u t a t a G s p o n t b a .

x

1 9 . b r a

A s e b e s s g b r a i t t i s a l k a h n a s a s z g s e b e s s g e k m e g h a t r o z s r a . A z

5 i l l e t v e 6 jel t a g l t s = i t

6

s z g s e b e s s g e a t a g k t p o n t j n a k s e b e s s -

gbl t n e g h a t r o z h a t , h i s z e n a 6 t a g o n i s m e r t a G 6 s H p o n t o k r G H

h e l y v e k t o r a s a s e b e s s g b r b a n a v G H s e b e s s g e , a t n e l y e k k z t t

4 6

v a H =~6 x r G H s s z e f g g s r v n y e s . H a a z ~5 =~6 s z g s e b e s s g

v e k t o r t k v n j u k m e g h a t r o z n i , a k k o r e z k t l p s b e n l e h e t s g e s . A z els

l

, , b - b 1 , , ' k , h t , k 1 - 1 l v a H l 1 1 t v

e p e s e n l J .

6

a s z o u t e r t e e t a a r o z z u m e g , a m t l J . 3 = -

1

_ - -

1

, 1 e e

r a H

a z ~

6

i r n y t a b b l h a t r o z z u k m e g , h o g y r a H h e l y v e k t o r t n i l y e n

i r n y b a f o r d u l e l 9 0 f o k k a l . I t t l t s z i k , h o g y a z r a m u t a t j r s v a l a z o -

n o s i r n y b a f o r d u l e l , a t n i a - k i r n y n a k f e l e l t n e g , g y

~6 =~5 = -~~~GHII k sszefggsbl s z m t h a t

2

r a H

A k i n e t n a t i k a i e g y e n s l y t t e l n e k a l k a h n a z s v a l i s m e g h a t r o z h a -

" l . .

t k a z e g y e s t a g o k s z g s e b e s s g e i . A z els,

1

A

2

B

3

C

4

D j _ k i n e t n a t i k a i l n c

z r t , g y a z [~

2

,m

23

,~

4

,m

4

t] r e l a t v s z g s e b e s s g i v e k t o r r e n d s z e r

e g y e n s l y i . V a l a t n e n n y i v e k t o r k o o r d i n t a a k k o r p o z i t v , h a a z t e n g e l y

i r n y b a , v a g y i s a z r a m u t a t f o r g s v a l e l l e n t t e s e n m u t a t . E z z e l a z

eljeleket d e f i n i l t u k . H a a z ~

3

s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i n t j t s z e -

r e t n n k t n e g h a t r o z n i , a k k o r o l y a n t e n g e l y r e k e l l a n y o m a t k o t f e l r n i ,

a t n e l y t e n g e l y r e n e m a d n y m n a t k o t s e t n a z a J . 3

4

, s e t n a z m 4 1 E z a t e n -

g e l y a ; t e n g e l y , h i s z e n t m e g y m i n d a z a J . 3

4

, m i n d a z m

4 1

v e k t o r o k

t m a d s p o n t j n a C , i l l e t v e a D p o n t o n , g y a n y o m a t k i e g y e n l e t

H a a z a J . 3

4

s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i n t j t s z e r e t n n k t n e g h a t -

r o z n i , a k k o r o l y a n t e n g e l y r e k e l l a n y m n a t k o t f e l r n i , a t n e l y t e n g e l y r e

n e t n a d n y m n a t k o t s e m a z ~

3

, s e t n a z m

4 1

. E z a t e n g e l y a ; t e n g e l y ,

2

A v G H =~6 x r G H s s z e f g g s t b a l r l r G H - v a l v e k t o r i k u s a n b e s z o r o z v a

, d , t ' . . b , - - r a H x v a H

a t r e n e z e s u a n a s z o g s e e s s e g l J . 6 = m 1 5 = _

2

r a H

4 7

h i s z e n t m e g y m i n d a z ~

3

, m i n d a z m

4 1

v e k t o r o k t m a d s p o n t j n a B ,

i l l e t v e a D p o n t o n , g y a n y o m a t k i e g y e n l e t

x

2 0 . b r a

H a a z m

4 1

s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i n t j t s z e r e t n n k m e g h a t -

r o z n i , a k k o r o l y a n t e n g e l y r e k e l l a n y o m a t k o t f e l r n i , a m e l y t e n g e l y r e

n e m a d n y o m a t k o t s e t n a z m

2 3

, s e m a z a J . 3

4

. E z a t e n g e l y a z 7 7 t e n g e l y ,

h i s z e n t t n e g y m i n d a z ~

3

, m i n d a z a J . 3

4

v e k t o r o k t t n a d s p o n t j n a B ,

i l l e t v e a C p o n t o n , g y a n y o m a t k i e g y e n l e t

4 8

- l -

A m s o d i k , z r t t t e t t

1

A

2

B

3

E

5

G

6

H

1

k i l l e r n a t i k a i l n c b a n i s t n e r t

m i l l d a z ~

2

, m i l l d a z a i : 2

3

, h i s z e n a i : 2

3

a z els k i l l e r n a t i k a i l n c v i z s g l a -

t b l n 1 e g h a t r o z s r a k e r l t . A t n s o d i k z r t k i l l e r n a t i k a i l n c b a n e g y e n -

s l y t t a r t s z g s e b e s s g i v e k t o r r e n d s z e r [ ~

2

,m

23

,~

5

, v 5 6 , m 6 1 ] , amibl

i s t n e r t ~

2

s a i : 2

3

A z ~

5

s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i l l t j n a k m e g h a -

t r o z s h o z o l y a n t e n g e l y r e k e l l f e l r n i a n y o m a t k o t , a t n e l y r e n e m a d

n y m n a t k o t s e t n a v

5 6

, s e m a m

6 1

. I l y e n t e n g e l y a z l , h i s z e n t m e g y a z

m

6 1

t m a d s p o n t j n , v a g y i s a H p o n t o n , s merleges a v

5 6

s e b e s s g r e ,

v a g y i s a G c s s z k r a . A z l t e n g e l y r e f e l r t n y o m a t k i e g y e n l e t

' b " l t A l t B !

t A t l D J . 2 + tst~3 + t E t a f J 5 = O , a t n t

0

O f J 5 = - - C O J . 2 - - m 2 3

t E l t E l

A z v

5 6

s e b e s s g v e k t o r k o o r d i l l t j n a k m e g h a t r o z s h o z o l y a n

t e n g e l y r e k e l l f e l r n i a n y m n a t k o t , a m e l y r e n e t n a d n y m n a t k o t s e m a z

~5' s e m a m 6 1 . I l y e n t e n g e l y a z n , h i s z e n t m e g y a z ~5 s a z m 6 1 t -

t n a d s p o n t j n , v a g y i s a z E s a H p o n t o n . A z n t e n g e l y r e f e l r t n y o m a t k i

e g y e n l e t

- t A n C O J .

2

+ t s

1 1

m

2 3

+ v

5 6

c o s O = O , amibl v 5 6 = t A n l D J . 2 - t s n l 2 3 .

K i h a s z n l v a m g , h o g y

t A ; , ( t A ; )

~3 = - - m 1 2 ' t g y v 5 6 = t A n + t s n - C O J . 2

t s ; t s ;

4 9

A v

5 6

s e b e s s g v e k t o r a k k o r p o z i t v , h a n t e n g e l y i r n y b a m u t a t ,

v a g y i s

v

5

6 = ( t A n + t s n t A ; ) C O J .

2

i i = ( t A n + t s n t A ; ) C O J .

2

( o , s i - 0 , 6 ] ) m ! s .

t s ; t s ;

A z m

6 1

s z g s e b e s s g v e k t o r k o o r d i n t j n a k m e g h a t r o z s h o z

o l y a n t e n g e l y r e k e l l f e l r n i a n y o m a t k o t , a t n e l y r e n e m a d n y m n a t k o t

s e m a v 5

6

, s e m a z ~

5

. I l y e n t e n g e l y a z m , h i s z e n t m e g y a z ~

5

t m a -

d s p o n t j n , v a g y i s a z E p o n t o n , s merleges a v

5 6

s e b e s s g r e , v a g y i s a

G c s s z k r a . A z m t e n g e l y r e f e l r t n y o m a t k i e g y e n l e t

' b " l t A m t s m

t A m l D J . 2 +tsm~3 - t H m > 6 1 = 0 , a t n t O > 6 1 = - - C O J . 2 + - - m 2 3

t H m t H m

3 . 5 . K i n e m a t i k a i l n c g y o r s u l s l l a p o t a

p

+ - - - - . -

0 , 4 t n

0 , 8 m

2 1 . b r a

- 1 -

4

D x

l

l s t n e r e t e s a 2 1 . b r n l t h a t

1

A

2

B

3

C

4

D t t n e c h a n i z m u s p i l l a n a t n y i

h e l y z e t e , s a z a k t v k n y s z e r n l a p i l l a n a t n y i ~

2

= ( 2 4 k ) r a d / s s z g s e -

5 0

b e s s g s &

1 2

= ( 1 0 k ) r a d l s

2

s z g g y o r s u l s . A I n e c h a n i z m u s g e o n 1 e t r i a i

h a t r o z o t t s g a l , k i n e m E t t i k a i h a t r o z o t t s g a O , v a g y i s a I n o z g s d e t e r m i -

n l t , a I n e c h a n i z m u s egyszer t p u s . A f e l a d a t a z , h o g y m e g h a t r o z z u k a

m e c h a n i z m u s g y o r s u l s l l a p o t t

A g y o r s u l s l l a p o t I l l e g h a t r o z s h o z i s i n e m i k e l l a s e b e s s g l l a p o -

t o t . Elszr t e h t a z t k e l l i n e g h a t r o z n i . A k i n e i n a t i k a i l n c - s e g y t t a l

a m e c h a n i z m u s - g e m n e t r i a i m t r i x a a D p o n t r a , i l l e t v e a k n y s z e r k o o r -

d i n t k o s z l o p v e k t o r a :

K i h a s z n l v a , h o g y < P J _

2

= 0 1

2

= 2 4 r a d / s , a v o n a t k o z e g y e n l e t r e n d -

s z e r

[

0~3 ~ ~][~:]=-24[ ~ l '

0 , 8 o o ( 4 1 1 , 2

a m e l y n e k I l l e g o l d s a

~

3

= - 3 6 r a d / s , v

3 4

= 1 0 , 8 m / s , m

4 1

= 1 2 r a d / s .

A z e g y e n l e t r e n d s z e r m e g o l d h a t s g b l l e v o n h a t j u k a z t a k v e t k e z -

t e t s t , h o g y a l e g g y o r s a b b m e g o l d s t a k k o r t u d j u k ellltani, h a a g e o -

m e t r i a i I n t r i x o t a z e g y i k p a s s z v c s u k l t e n g e l y n lv p o n t r a v o n a t k o z -

t a t j u k

A s e b e s s g l l a p o t i s m e r e t b e n a z e g y e s t a g o k s z g s e b e s s g e i r e n d r e

0 1 3 = 0 1 2 + m 2 3 = 2 4 - 3 6 = - 1 2 r a d / s , 0 1

4

= - m

4 1

= - 1 2 r a d / s , v a g y m s -

k p p e n 0 1 4 = 0 1

2

+~

3

+ t o : 3

4

= 2 4 - 3 6 + O = - 1 2 r a d / s .

A g y o r s u l s l l a p o t m e g h a t r o z s r a v o n a t k o z e g y e n l e t e t a ( 3 . 2 6 )

s s z e f g g s a l a p j n j u k f e l , a m e l y

5 1

a l a k . A z l t a l n o s t o t t v e k t o r e g y e n l e t e t m t r i x o s a l a k b a n f e l r v a , s k i -

h a s z n l v a , h o g y d n o = 2 , s d A o = 2 '

q A

[[f~] [f~] [ f g ] [ f g ] ] : ; = [ -~ABjar -~BCjar -~CDjm J

q D

a l a k h o z j u t u n k . A z a k t v k n y s z e r h e z t a r t o z t j j A = 8 1 2 k n y s z e r k o o r d i n -

t a - g y o r s u l s t a h o z z t a r t o z l t a l n o s t o t t P l c k e r m t r