Mechanikai Anyagmodellek-negyedik Eloadas

Bojtr: Mechanikai anyagmodellek Negyedik elads Eladsvzlat

2010. 02.24. 1

4. Elads: Az anyagmodellek alapvet tulajdonsgai. Mikroszerkezeti alapon felpthet anyagmodellek.

A mechanikai anyagmodell defincija

Az anyag viselkedsnek modellezse a termszettudomnyok legsszetettebb feladatai kz tartozik. Az elz fejezetek tansga szerint a rendkvl vltozatos bels sszettel a klnbz fizikai tulajdonsgok olyan szles skljval ruhzza fel az anyagokat, hogy viselkedsk tfog megrtse s modellezse a tudsok s mrnkk minden erfesztse ellenre mg sokig nem mondhat teljesnek s befejezettnek. Ma mr a szzezret kzelti a mrnki gyakorlatban hasznlt klnfle anyagfajtk szma.

Maga az anyagmodell ltalnos kifejezsknt vlaszt jelent, az anyag vlaszt az t rt kls hatsokra. Mivel a kls hatsok mrnki rtelmezs szerint is nagyon sokflk lehetnek, ppen ezrt anyagmodell is tbbfle lehet. Az anyagmodell fogalma mst jelent

- az elektromrnknek, aki az anyag elektromos vezet s szigetel tulajdonsgait hasznlja,

- az optikai rendszereket terveznek, aki a fnytereszt s visszaver kpessgekre kvncsi,

- mst a radiolgusnak, akinek a sugrzselnyel kpessgt kell figyelembe venni, s

- mst a vegysznek, aki a klnbz kmiai folyamatok szempontjbl hasznlja azt.

Lehetne ms varinsokat is tallni, azonban a soksznsg illusztrlsra elegend ennyi plda. Nagyon fontos lltsknt kell teht rgztennk, hogy ebben a jegyzetben csak olyan feladatokat trgyalunk, amikor az anyagnak a kls hatsokra (erk, hmrskletvltozsok, id) adott mechanikai vlaszt (bels deformcik s feszltsgek) keressk, s ppen azrt mi a sajt modelljeinket

mechanikai anyagmodelleknek

fogjuk hvni. Ezek a mechanikai anyagmodellek soha nem ncl elemei a mechanika tudomnynak, hanem fontos gyakorlati clokat szolglnak. Segtsgkkel kpes a mrnk szerkezeteket tervezni vagy ellenrizni. Nlklk a sz szoros rtelmben lehetetlenn vlna a kicsit is komolyabb mrnki munka. Mivel a tovbbiakban kizrlag mechanikai anyagmodellekkel foglalkozunk, ezrt az egyszersg kedvrt elhagyjuk a mechanikai jelzt, csupn az anyagmodell fogalmat hasznljuk, azonban mindig a fenti definci adta korltok kz szortva annak rtelmezst.

Az anyagmodellek klnbz vltozatainak tanulmnyozsa eltt tekintsk t elszr azokat a matematikai eszkzket s mechanikai szempontokat, amelyeket a tovbbi munknkban hasznlni fogunk.

Matematikai eszkzk s mechanikai vltozk

Alapveten a kontinuummechanika fogalmait s fizikai-matematikai szimblumtrt fogjuk hasznlni (lsd a Mechanika MSc elads vonatkoz elemeit). Matematikai eszkzknt a tenzorjells hromfle szoksos vltozatt (indexes, klasszikus


2010. 02.24. 2

tenzorszimblum s a Voigt-fle trendezssel felrt mtrixaritmetikai jellsrendszert) egyarnt alkalmazzuk mechanikai egyenleteinknl, a feladat tpsnak megfelelen kivlasztva az elnysebbnek tn formt. A klnbz tenzormveletek magyarzatra itt kln nem trnk ki, az ezeket kevsb ismer olvasnak a Mechanika MSc jegyzet mellett Scharle Pter Bevezets a tenzorszmts elemeibe cm kitn knyvt tudjuk ajnlani, de termszetesen szmos ms nagyon rszletes matematikai szakknyv is foglalkozik a matematikai mveletek ilyen tpusainak ismertetsvel.

Fizikai referenciarendszerknt a nagy alakvltozsok esetben szoksos Euler (x koordintkkal lerhat) s a Lagrange (X bzissal jellemzett) hivatkozsi rendszereket fogjuk hasznlni, numerikus megoldst ignyl feladatoknl pedig a teljes, vagy a mdostott Lagrange-fle lersmd eszkztrt alkalmazzuk.

Mechanikai alapvltozink az albbiak lesznek:

A./ Alakvltozs: a kontinuum elmozdulsmezjbl szrmaztatott szimmetrikus msodrend tenzor. Ezen bell legtbbszr az albbi vltozatokat hasznljuk:

- Nagy alakvltozsok Green-Lagrange tenzora, amely egy elemi hosszsg anyagi vektor hosszngyzetnek megvltozst mri. Szoksos defincija az Euler- s Lagrange-bzis kztti kapcsolatot megad F deformci-gradiens tenzor segtsgvel:

1 ( )2

E= F F -IT .

Trbeli alakvltozsi llapot esetre emlkeztetl megadjuk a tenzor hat fggetlen elemt:

,

21

,

21

222

22

222

11

+

+

+

=

+

+

+

=

yw

yv

yu

yvE

x

w

x

v

x

u

x

uE (4.1)

,

21 222

33

+

+

+

=

z

w

z

v

z

u

z

wE ,21

12

+

+

+

+

=

yw

x

w

yv

x

v

yu

x

u

x

v

yuE

.

21

,

21

2313

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

z

w

yw

z

v

yv

z

u

yu

yw

z

vEz

w

x

w

z

v

x

v

z

u

x

u

x

w

z

uE

- Alakvltozs-sebessg tenzor (jellse D ; a tenzor betjele sajnos sszekeverhet az ugyancsak hasonl mdon elnevezett D anyagi merevsgi mtrixszal). A tenzort az alakvltozsok megvltozsnak jellemzsre hasznljk. Defincija:

1 ( )2

D L LT= + , (4.2)

ahol az L sebessggradiens ( ) ( )grad ,vL v v v L xx

T T d d= = = =

a

sebessgvektor Euler-koordintk szerinti derivltjaknt rhat fel.


2010. 02.24. 3

- Kis alakvltozsok tenzora, amely a Green-Lagrange-tenzor msodrend elemeinek elhanyagolsval llthat el:

1 11 12 22 2

1 1 1 1.

2 2 2 21 1 1 12 2 2 2

x x y x z

y x y y z

z x z y z

u u v u w

x y x z x

v u v v w

x y y z y

w u w v w

x z y z z

+ + = = + +

+ +

(4.3)

B./ Feszltsg: az alakvltozstenzor energiartelemben vett dulis prja. Msodrend tenzor.

- Nagy alakvltozsok esetn elssorban a msodik Piola-Kirchhoff feszltsgtenzort hasznljuk. Jellse: S, defincija a vzlat alapjn:

0 0dA d dA = -1 -1

0 0n S F f = F t . (4.4)

4.1. bra: Feszltsgek defincii

A kpletben szerepl f az elemi tehervektort, F pedig a deformci-gradiens tenzort jelenti, 0t a Lagrange-rendszerhez tartoz feszltsgek vektora. A II. PK-tenzor energia prja a Green-Lagrange-fle alakvltozstenzor.

Megjegyezzk, hogy a Mechanika MSc trgyban sokszor elfordul n. els Piola-Kirchoff-fle feszltsgtenzort (P) itt nem hasznljuk annak nemszimmetrikus jellege, gy anyagmodellekben val ersen korltozott volta miatt.

- Cauchy-fle feszltsgtenzor: nagy alakvltozsok egyes klnleges eseteire (pldul nagy kplkeny alakvltozsoknl) sokszor hasznos a fizikai (vagy igazi, vagy nagy alakvltozs Cauchy-fle) feszltsgtenzor. Defincija: dA d dA =n f = t . (4.5)


2010. 02.24. 4

A kpletben szerepl t vektor a megvltozott konfigurciban a dA fellet elemre mkd feszltsgvektor. Energia prja a D alakvltozs-sebessg tenzor. A ktfle tenzor kztti kapcsolat (itt J az F tenzor determinnsa):

11, .F S F S F FT TJ

J = = (4.6)

- Kis vltozsok esetn a klasszikus, kis alakvltozs Cauchy-feszltsgtenzort ( 0dA dA= ) alkalmazzuk. Megjegyezzk, hogy kis alakvltozsoknl a jellsbeli zavarok elkerlsre tbbnyire nem hasznljk a feszltsgtenzornl a Cauchy jelzt.

C./ Hmrsklet. Jele: T.

Mindhrom fenti vltozcsoport az id fggvnye. Ezt a szmtsokban tbbnyire elhanyagoljuk, de az idfggs elvi lehetsgt mindvgig fenntartjuk.

A megfigyelsi skla a kvetkez krds, amit tisztznunk kell. A kontinuummechanika abbl az alapfeltevsbl indul ki, hogy a teret egymshoz vgtelen kzel lev anyagi pontok folytonos sokasga tlti ki. Az elz fejezetek mikroszerkezeti vizsglatai alapjn azonban tudjuk, hogy a vals anyag nem folytonos, azok a kontinuumechanikai vltozk, amelyekre az elzekben hivatkoztunk, a valsgban nem egy pont, hanem a pont krnyezetben lv trbeli tartomny alakvltozsi s feszltsgi tlagt kpviselik, vagyis a kontinummechanika tbb-kevesebb pontossggal csak kzelti az anyag vals viselkedst. Minden anyagban kijellhet ez az gynevezett legkisebb jellemz trfogatelem (angolul representative volume element, RVE), amelynek fizikai llapota (feszltsge, alakvltozsa) mg jellemz az anyagra. Ennek az elemnek a tipikus befoglal mrete mindig jellemz arra az anyagra, amelybl a mintt vettk. Pldul

0,1 mm fmes anyagoknl, 1 mm polimereknl, 10 mm a fnl, 100 mm a betonnl.

Ha a jellemz trfogatelemnl kisebb mret tartomnyt vizsglunk egy adott anyagbl, akkor mr nem szabad a kontinuummechanika lersi mdjt alkalmazni, az adott anyagot a valdi felptst, mikro/mezo-szerkezett figyelembe vve kell modellezni. Pldul egy fm kplkeny tulajdonsgainak vizsglatnl ilyen mret tartomnyban mr a (poli)kristlyok csszst kell alapvet paramternek tekinteni, a betonnl a szemcskkel, mint nll merevt elemmel kell dolgoznunk (a cementet kristlyos ktanyagknt felfogva), a repedsek terjedst mikroszint trsmechanikai jelensgknt kell elemezni, stb. Ha mg jobban cskkentjk a tartomnyok mreteit, akkor mr a molekulk-atomok vilgba rkezve pldul kristlyos anyagoknl a diszlokcik lesznek a mrtkadk az anyag viselkedsnek lersnl. Az anyagok modellezsnek egyik legfontosabb krdse a megfelel lptk s termszetesen a hozz illeszked matematikai lersmd helyes kivlasztsa.


2010. 02.24. 5

Kln vizsgland, hallatlanul izgalmas s a mai anyagmodell kutatsok szmra taln az egyik legfontosabb terlet a klnbz megfigyelsi sklk sszekapcsolsnak mikntje! Ez azt jelenti, hogy ismernnk kellene annak megbzhat s gyakorlatban is hasznlhat mdjt, hogy az egyik (tbbnyire mikroszint) modellezssel nyert eredmnyeket hogyan lehetne alkalmazni egy msik (tbbnyire makroszint) lptk esetn, vagyis pldul a diszlokcik tulajdonsgainak (eloszls, irnyok, nagysgok, stb.) ismeretben hogyan lehetne ezekre pt makro-anyagmodellt konstrulni. Br az utbbi mintegy msfl vtizedben fleg a szmtstechnika rohamos fejldsnek ksznheten komoly elrelps trtnt ezen a terleten, a vals feladatokon trtn alkalmazsok megszletsig mg sok a tennival.

A megfigyelsi skla lptkt figyelembe vve ma alapveten ktfle irnyzat ltezik az anyagmodell kutatsban: a jellemz trfogat mrete alatti vizsglatokat mikromechanikai-, az azokat elr-meghalad tartomnyban folytatott elemzst pedig kontinuummechanikai anyagmodell alkotsnak hvjk.

Mi a tovbbiakban ismerve s elismerve a mikromechanikai modellalkots fontossgt s teljes mrtkben egyetrtve mindazokkal, akik a jvt illeten ezt az irnyzatot tartjk mrtkadnak a kontinuummechanikai vltozatokkal foglalkozunk, br ebben a fejezetben rviden ismertjk a mikromechanikai modellalkots fontosabb alapelveit is.

A jellemz trfogatelem tulajdonsgainak kontinuumszint lersnl egybknt ma is trekedni kell arra, hogy azok a vltozk, amelyek a jellemz elem mechanikai tulajdonsgait meghatrozzk, mikrofizikai alappal rendelkezk legyenek. Az ilyen paramtereket a mechanikban bels vltozknak (internal variables) hvjk s tapasztalni fogjuk, hogy a szerepk nagyon fontos. Pldul:

- amikor a teljes alakvltozstenzort a kplkenysgtanban felbontjuk rugalmas s kplkeny sszetevre ( . .el pli j i j i j= + ), akkor a rugalmas komponenssel az atomok reverzibilis mozgst, a kplkeny rsszel pedig az irreverzibilis csszsokat modellezzk, - a fmek izotrp kplkeny kemnyedst a diszlokcisrsggel kapcsoljk ssze, - a fmek kinematikus kemnyedse a kristlyszinten keletkez marad mikrofeszltsgekhez ktdik, - a krosodsi paramtereket alapveten a mikrorepedsek eloszlshoz s srsghez kapcsoljk, - stb.

Termszetesen mindig kln krds, hogy egy adott modellnl hny darab s milyen tpus bels paramtert kell figyelembe venni. Erre vonatkozan legfeljebb csak tancsok adhatk (az egyes konkrt anyagi viselkedstpusok lersnl a lehetsgeinkhez kpest a legtbbet el is mondjuk), de abszolt, mindig rvnyes szablyok erre nincsenek, a gyakorlatnak, a tapasztalatnak, a valsggal val lland sszevetsnek itt mr nagyon nagy a szerepe.

Milyen fizikai trvnyeket kell felttlenl figyelembe vennnk a modellalkotsnl?


2010. 02.24. 6

A termodinamika els s msodik trvnye egyrtelm keretet ad az anyagban lezajl folyamatoknak. Kontinummechanikai egyenleteinknl az els ftrvny loklis alakban a kvetez mdon rhat fel:

U = +D: q r , (4.7) vagy a msik feszltsg tenzorral (Lagrange-rendszer, loklis alak): 0 0 0:U r = + 0S E q . (4.8)

A kpletekben (az idfgg) srsg, q a vizsglt anyagi tartomnybl kifel irnytottnak felvett (egysgnyi fellethez tartoz) hram-vektor, r az anyag belsejben lev, egysgnyi tmegre vonatkoz hforrs-vltozs (a hforrs jelen esetben energia dimenzij, a rendszer belsejben lev bels htermel eszkz), U a bels energia idbeli vltozsa. A kt opertor ( 0s ) a klnbz bzisokban alkalmazott nabla-opertor.

Az els ftrvny az anyag energiamrlegt adja meg. A rszletes levezetst lsd a Mechanika MSc trgynl.

A msodik ftrvny (Clausius-Duhem egyenltlensg) az anyagban lezajl folyamatok irnytottsgt szabja meg. Csak az Euler-rendszerben felrt alakot adjuk meg, tovbbi rszletek itt is a Mechanika MSc jegyzetben tallhatk:

1 ( ) 0qrT T

+

. (4.9) Az paramter a rendszer entrpijnak (bels rendezetlensgnek) mrtke.

Az eddig bemutatott s elfogadott felttelekbl tovbbi kvetkeztetsek is levonhatk:

a./ Koordinta invariancia: Az anyagi viselkedst ler modelleknek fggetleneknek kell lennik az alkalmazott koordintarendszerektl, ezrt kell pldul az anyagmodellekre vonatkoz egyenleteket tenzor formban megadni.

b./ Trtnetfggs: ltalnos esetben egy adott idpontban az anyag egyes pontjaiban keletkez feszltsgek nemcsak a pillanatnyi deformcitl (s hmrsklettl) fggnek, hanem a deformci (s a hmrsklet) adott pillanatig tart teljes trtnettl. Egyszerstett esetekben azonban a trtnetfggs elhanyagolhat: pl. idelisan rugalmas anyagnl csak a pillanatnyi deformcitl, termoelasztikus anyagnl pedig a deformcik mellett csak a pillanatnyi hmrsklettl fgg a feszltsg.

c./ Loklis hats: Az anyag egy tetszleges pontjban szmtott anyagi vltozk (pl. feszltsgek) nem fggnek jelents mrtkben a pont egy meghatrozott krnyezetn kvl lev fggetlen vltozktl (pl. jelen esetben a krnyezeten kvl lev alakvltozsoktl). Matematikai formban: ha egy adott pont mozgst s hmrsklett x(X,t) s T(X,t) fggvnyek hatrozzk meg s a pont egy kicsiny krnyezetben lev mozgst s hmrskletet

)() tTst ,X,Xx( fggvnyekkel jelljk, akkor: ....(),()(,....(),), +

+=+

+=X

X)-XX,XXxX)-Xx(XXx( TtTtTtt (4.10)

A loklis hatsok elvnek figyelembevtelvel a vizsglt pont llapott a


2010. 02.24. 7

(X, F, , ), q q(X,F, , ), (X,F, , ),T T T T U U T T = = = ),( TT = F,X, (4.11)

fggvnyek meghatrozzk.

d./ Egyidejsg: Ha egy vltoz szerepel az anyagot jellemz egyenletek valamelyikben, szerepelnie kell a tbbi egyenletben is, hacsak jelenlte nem srt valamilyen alapvet fizikai trvnyt (a c pont vgn megadott llapotjellemz fggvnyek jl illusztrljk ezt az elvet). Ha pldul j hatst akarunk bepteni a modellekbe (pl. valamilyen kmiai vagy elektromos paramtert), akkor azt mind a ngy kapcsolati fggvnyben szerepeltetni kell.

e./ Anyagi objektivits: Az anyagmodellnek invarinsnak kell lennie a trbeli referencia rendszer merevtestszer mozgsval szemben.

4.2. bra: Megfigyelsi rendszerek

Vizsgljuk meg pldul az brn lthat (A-val s A -gal jellt) hivatkozsi rendszereket. Helyezznk el mindegyik (O-val s O -gal jellt) kezdpontjban egy rgztett helyzet megfigyelt. Az A rendszerben rgztett p pont az O-ban lev megfigyel szmra helyben marad, de termszetesen ez mr nem gy lesz a msik megfigyel esetben, szmra p elmozdul, ha a kt bzis relatv helyzete vltozik.

Alapvet krds, hogyan kapcsolhatk ssze a p pont helyzett a kt rendszerben ler r s r helyzetvektorok. Jelljk a kt bzis egymshoz kpesti eltoldst b(t) idfgg eltoldsvektorral, relatv elfordulst pedig egy Q(t) (ugyancsak idfgg) ortogonlis rotcis tenzorral. Mivel az r vektor lland az A-ban lev megfigyel szmra, az A -ben lev elfordulni ltja ( )Q rt rtkkel. gy a p pont helyzett megad kt vektor kapcsolata: r Q r +b = .

Vektorok: Az A -ben lev megfigyel szmra egy a vektort csak az elforduls hatsa vltoztatja meg, a kt rendszer eltoldsnak nincs hatsa: a Q a = .

Az bra vzlatainak felhasznlsval:


2010. 02.24. 8

4.3. bra: Vektorok vizsglata

, ,2 1 2 1 1 1a =r r a r r r Q r b , = = + (4.12/a) )2 2 2 1 2 1r Q r b , a r r Q (r r Q a = + = = = (4.12/b) Tenzorok: Egy tetszleges msodrend T tenzor objektv jellegnek eldntsre alkalmazzuk az A rendszerben a T tenzort az albbi transzformcira: b T a= . Az objektivits az ignyli, hogy az A bzisban ez b T a = mdon legyen felrhat. A kt vektorra az elzekben bemutatott transzformci alkalmazhat:

) ( ) .T T Tb Q b =Q (T a) =Q T (Q a Q T Q a T Q T Q = = = (4.13) Ez a msodrend tenzor objektivitsnak felttele.

Kivtelek: Vannak olyan msodrend tenzorok, amelyekre nem rvnyes a fenti sszefggs. Ilyen pldul a deformci-gradiens tenzor (F) is. Legyen pldul az brn lthat AsA rendszerek t=0 idpillanatban azonosak, s ttelezzk fel,hogy ekkor a test mg deformlatlan llapotban van (dR vektor jellemzi a testet). 0>t pillanatban a kt rendszer mr sztvlik egymstl, legyen az A jel a test megvltozott alakja (itt dr vektor az j jellemz):

.rQr dd =

4.4. bra: Deformcigradiens-tenzor vizsglata


2010. 02.24. 9

Mindkt rendszerben: RFr,RFr dddd == . Behelyettestve az elbbi egyenletbe: === FQFRF)(QR)(FQr ddd a deformci-gradiens tenzor vektorknt transzformldik.

Az eddigi vizsglatok sszefoglalsa: Mozgs: r Q r +b = Skalr: c c = Vektor: a Q a = Msodrend tenzor: TT Q T Q = Deformci-gradiens: F =Q F

Az anyagmodellek objektivitsa: Az eddigi bevezets figyelembevtelvel megllapthat, hogy egy testen bell a Cauchy feszltsgtenzor is objektv mennyisg, gy az anyagmodellek egyenletei szintn objektvek! Vizsgljuk pldul az albbi egyszer anyagmodellt: (( )g F)= . (Szoks az A rendszerben ksrletekbl meghatrozand - ( )g -t az anyagmodell eredeti defincija alapjn vlaszfggvny-nek is nevezni). Az anyagmodellnek teljesteni kell az objektivitsi felttelt. Az A rendszerben felrt ( )( )g (F = ) feszltsgeknek (valamint F Fs -nek) az elrt transzformcikkal kell kapcsolatban llniuk: T ( )Q Q = g (Q F) .

Teljesen hasonl sszefggst kapunk, ha a Q elforduls tenzort az F tenzor polris felbontsbl kapott R rotcis tenzor transzponltjval helyettestjk:

F)(RgRR T)(T = . Ha a polris felbonts (lsd Mechanika MSc) msik tenzor-komponensnl figyelembe vesszk, hogy FRFRU T-1 == , akkor az elz egyenlet talakthat T)( R(U)gR = alakba. U tenzornak a jobb Cauchy-, vagy a Green-Lagrange-fle alakvltozs tenzorral val kapcsolatt felhasznlva innen mg tovbbi kapcsolati egyenletek kaphatk:

T T( ) ( )R f (C) R R h (E) Rvagy= = . (4.14)

A msodik Piola-Kirchhoff feszltsgtenzor is bevonhat ebbe a krbe, hiszen:

1 TF S FJ = , gy -TT(P)-T FR(U)gFPS == . (4.15) Felhasznlva az S tenzor szimmetriatulajdonsgait:

((

T T -T T T -1 T(P) (P)

-1 T(P) (S)

S S (R F ) (g (U)) F R) (g (U))U g (U)) g (U).= = = =

= = (4.16)

Hasonl sszefggsek kaphatk C s E segtsgvel: (E)h(C)fS (S)(S) == . (4.17)

Nagy alakvltozsok esetre valamennyi fontosabb feszltsg s alakvltozstenzor kapcsolati vltozatt megadtuk. Termszetesen kis alakvltozsok esetn az sszes fenti vltozat azonos alakra redukldik.

f./ sszefrhetsg a bemutatott alapvet fizikai egyenletekkel: Az anyagmodelleknek nem szabad megsrtenik az alapvet fizikai egyenleteket.


2010. 02.24. 10

Vizsgljuk meg pldul a termodinamika els s msodik ftrvnynek hatst az anyagmodell alkotsra s hasznljunk Lagrange-lersmdot a Green-Lagrange alakvltozs tenzor s a msodik Piola-Kirchhoff feszltsgtenzor felhasznlsval. Az anyagmodell egyenletek

, ) ,S S(X,E,T T= (4.18) vagy ha az entrpit fggetlen vltoznak hasznljuk a hmrsklet helyett, akkor , ) ,S S(X,E,= (4.19/a) , ) , ( , ) , ( , )0 0q q (X,E, X,E, X,E,T T U U T T T T= = = (4.19/b) alakban rhatk fel.

Egy ltalnos termoelasztikus anyagban a feszltsgek csak az alakvltozsok s a hmrsklet (vagy az entrpia) fggvnyei lehetnek. Mivel a terhels sorn nincs dissziplt (elnyelt) energia, az alapegyenletek a kvetkez alakak lesznek:

0 00

10 , 00 0S:E - q qrU rT T

+ = + =

. (4-20)

Ha innen eliminljuk az r hforrsokat, akkor a kvetkez egyenlethez jutunk: 0 ( ) .S:E 0T U + = (4.21) Helyettestsk be ide az elbb felvett anyagmodelleket, elszr azt az alakot, amikor a hmrskletet hasznltuk fggetlen vltoznak, majd vezessk be az gynevezett szabad energia fggvnyt U T = alakban, s mdostsuk az energira hasznlt harmadik fggvnyt ),( TT = E,X, j fggvnnyel. Az alapegyenletek sszevont (r fggvnyt nem tartalmaz) alakjba helyettestsk be a szabad energit: 0E:S =++ )(0 T . (4.22) Helyettestsk be most a szabad energia vltozst ler komponenseket:

0000 =

+

T

TT

T

-E:E

S . (4.23) Ha az alakvltozsokat s a hmrskletet fggetlen vltozknak ttelezzk fel, akkor ez az egyenlet hrom tovbbi egyenletet eredmnyez:

0,,0 =

==

TTES . (4.24)

Az els kt egyenlet a termoelasztikus anyag komplex modellje, az utols pedig azt fejezi ki, hogy a szabad energia fggetlen a hmrsklet-gradienstl. Ha az anyagban lezajl folyamatok izotermlisak ( E)X,(,0 ==T ), akkor szoks a szabad energitl fgg alakvltozsi energiasrsg fggvny bevezetse: 0(X,E)W = . (4.25) Mivel a deformlatlan test 0 srsge nem fgg az alakvltozsoktl, a feszltsgekre vonatkoz anyagmodell a kvetkez alak lesz:

ES

=

W. (4.26)

Ha az entrpit vlasztjuk fggetlen vltoznak a hmrsklet helyett, akkor az sszevont alapegyenlet alakja:


2010. 02.24. 11

0 0 0S- :E 0EU U UT + =

. (4.27)

Egymstl fggetlen entrpia s alakvltozs esetn ismt hrom egyenletet kapunk:

0S , , 0EU U UT = = =

. (4.28)

Az els kt egyenlet ismt a termoelasztikus anyag komplex modelljt szolgltatja, harmadik pedig az u fggvny entrpia-gradienstl val fggetlensgre utal. Ha az anyag viselkedse izentrp, vagyis nem vltozik benne az entrpia E))X,(,0( uu == , akkor jbl bevezethet az alakvltozsi energiasrsg, s ismt az elbb mr bemutatott modellhez jutunk: 0(X,E) S E

WW U = =

. (4.29)

Azokat az anyagokat, amelyek kapcsolati egyenletei gy szrmaztathatk, a mechanikban hiperelasztikus (vagy Green-fle) anyagoknak fogjuk nevezni.

A msodik Piola-Kirchhoff feszltsg tenzorra levezett anyagmodell a megfelel talaktsokkal a Cauchy-fle tenzorra is felrhat:

1 TF FEWJ =

. (4.30)

Ha kis alakvltozsokkal dolgozunk, akkor a fenti egyenletek egyszersthetk. A termodinamikai ftrvnyek ebben az esetben az albbi alakak:

U += : q r , q= rT . (4.31) A kt egyenlet sszevonsbl: : ( )U T = . (4.32) Specilis esetek:

a./ Izentrp deformci ( 0= ): Most is bevezethet a W U= mdon definilt (egysgnyi trfogatra es) alakvltozsi energia fggvny, amely segtsgvel (lland srsget felttelezve) : W =: . Ha ezen tlmenen mg a hmrsklet hatst is elhanyagoljuk, akkor W csak az alakvltozstenzor fggvnye lesz, s gy:

=

=

WW: . (4.33)

Ez a kis alakvltozs rugalmas anyagok hiperelasztikus anyagmodellje. A W fggvnyt a laboratriumi ksrletek eredmnyei alapjn lehet megalkotni.

b./ Izotermlis deformci ( 0=T ) : Vezessk be a szabad energia fggvnyt:

U T U T = = . (4.34) Innen: = : egyenlethez jutunk, s ha most is felhasznljuk a =W alakvltozsi energia fggvnyt, akkor az elzekben mr ismertetett W =: sszefggshez jutunk. Ha W most sem fgg a hmrsklettl, akkor az


2010. 02.24. 12

anyagmodell egyenlete formailag itt is megegyezik a hiperelasztikus modellre levezetett vltozattal.

Az anyagmodellek paramtereinek azonostsa

Az elmleti httr rgztse utn a gyakorlati hasznlhatsg a modellekbe ptett paramterek (anyagllandk) belltst s azonostst ignyli. Figyelembe vve, hogy a mrnkk sok tzezer klnbz anyagot hasznlnak, rthet, hogy rszletesen kidolgozott s minden esetre azonnal alkalmazhat paramtergyjtemnnyel a ma anyagtudomnya mg nem rendelkezik.

Fontos tudnunk, hogy a szerkezetekbe beptett anyagok a terhels, hmrsklet, stb. olyan vltozatos felttelei kztt mkdnek s maga a ml id is olyan sokflekppen befolysolja viselkedsket, hogy abszolt pontos paramterekrl beszlni teljesen rtelmetlen. A legtbb, amit tehetnk, az, hogy igyeksznk az adott anyag hasznlata sorn bekvetkez felttelekrl minl tbb informcit sszegyjteni s az adott esetre a lehet legjobb kzeltst alkalmazni. Egy hosszabb let szerkezetnl a fellvizsglatok sorn az eltelt id hatsnak figyelembe vtele sem nlklzhet, ilyenkor a korbbi paramterek jrartkelse elengedhetetlen.

Az anyagi paramterek belltsnl kt dologra klnsen nagy gondot kell fordtani:

- A modell rzkenysge az adott paramterre:

A modellekben felhasznlt paramterek nem egyforma hatsak a feszltsgek-alakvltozsok kapcsolatnak modellezsre: mindig van olyan anyaglland, amelyiknl mr kis vltoztats esetn is jelentsen mdosul a modell viselkedse, mg msok esetleg jval kevsb rzkenyek. Clszer megbzhat informcikkal rendelkezni az egyes paramterek ilyen jelleg rzkenysgi tulajdonsgairl s az is nagyon ajnlott, hogy ezt az rzkenysgi vizsglatot az elmleti/numerikus tesztelssel prhuzamosan laboratriumi mrsekkel is ellenrizzk.

- A ksrletekben mrt llandk matematikai kirtkelse:

A ksrleti adatok feldolgozsra jl kidolgozott, szmtgpekre alkalmazott matematikai rendszerek llnak rendelkezsre, a klnbz illeszt s/vagy optiml programok ma mr gyorsan s megbzhatan dolgoznak, grafikus informciik is hatkonyan segtik a mrnkket. Termszetesen az illesztsek nha mg ilyen hatkony segtsg mellett sem egyszerek, pldul egy nemlineris viselkedst ler paramtersereg tbbdimenzis feszltsgi llapotban trtn optimlsa klnsen gondos s aprlkos munkt ignyel, s nem nlklzheti az elz pontban emltett paramterrzkenysg-vizsglat tapasztalatait sem.

A validlsi s rzkenysgvizsglati tesztek elvgzse utn, az elfogadhatnak s megbzhatnak tekintett paramterek segtsgvel felptett vgleges anyagmodellt a lehetsg szerint minl inkbb ahhoz hasonl krlmnyek kztt kell tesztelni, mint amilyenek a mrnk ltal tervezett szerkezetben a hasznlat sorn fellpnek, de


2010. 02.24. 13

emellett ki kell prblni minden olyan esetet is, amely lehetleg elgg klnbzik a validlsi tesztektl. Pldul:

- vgezznk biaxilis szmtsokat, ha az identifikci egytengely mrsekre plt, - alkalmazzunk nem-izotermlis krlmnyeket egy olyan feladatnl, ahol a paramtereket konstans hmrskleti felttelek mellett lltottk be, - alkalmazzunk klnbz idsklkat, ha erre lehetsgnk van, - teszteljk lehetleg lesen s rendszertelenl vltoz feszltsg-rtkekkel (pldul tbbparamteres ciklikus terhelssel) a modellt s az egyb bels vltozknl is ellenrizzk a nem-szablyos, rendszertelen vltoztatsok hatst, - stb.

Pesszimista mrnkk gyakran kommentljk az anyagmodellek ellltst a a j anyagmodell nem ms, mint a j mrsek kztti interpolci megjegyzssel. A magam rszrl nem rtek egyet ezzel a kijelentssel, a lnyeget meghamist tlzsnak tartom. A mrsi eredmnyek kztti j interpolcihoz valban nem kell tbb egy megbzhat szoftvernl s az ltala szolgltatott polinomnl. A j anyagmodell azonban ennl lnyegesen tbb, mert:

- fizikai alapokra pl folyamatokat modellez s - ltalnos fizikai elvek logikus megfogalmazsra pl, gy - alkalmas olyan numerikus elrejelzsekre is, amelyek tllpnek az alapvet

paramter-belltsi tesztek szolgltatta eredmnyeken.

Termszetesen egy adott modell alkalmazsnak korltaival a felhasznl mrnknek mindig tisztban kell lennie. Nincs rtelme hatkony s pontos eredmnyeket vrni egy nemlinerisan rugalmas modelltl sem olyan esetekben, ahol pldul a ciklikus terhelsek hatsra az anyagban mr kplkeny jelensgek lpnek fel, stb. Minden esetben a (mikro)fizikai alapokra, a bels anyagi szerkezet vltozsait messzemenen kvet modellekre kell ptennk, s tudnunk kell arrl a hatrrl, ameddig modellnk alkalmas ezeknek a jelensgeknek a megbzhat kvetsre.

Modellalkots mikromechanikai alapon

Mint ahogy a fejezet bevezet rszben mr emltettk, a mikromechanikai megkzelts a modellalkotsban elssorban az utbbi 15-20 v szltte s hatkony alkalmazhatsgt mindenekeltt a szmtgpes megoldsok robbansszer elretrsnek ksznheti. Kivl elmleti munkk is szlettek errl a tmrl, az rdekldknek Mura, Nemat-Nasser vagy Torqato sszefoglal jelleg knyveit ajnljuk a mra mr igen nagy szmmal megjelent publikci kzl.

A mikromechanikai vizsglatoknak sok irnyzata van, de a kutatsok legfontosabb clja vltozatlan: az anyag mikroszerkezetnek vizsglata segtsgvel becslst adni a makrotulajdonsgokra, illetve a makroszint anyagmodellre. Az albbiakban bemutatjuk az ilyen tpus modellezs fontosabb alapelveit, az egyszersg kedvrt kizrlag kicsiny alakvltozsokat felttelezve.


2010. 02.24. 14

Az eddigi vizsglatainkbl mr tudjuk, hogy valamilyen szinten minden anyag inhomogn. A vizsglt anyag fajtjtl s a megfigyelsi szinttl fggen a mikroszerkezet lehet pldul szemcss, mint ahogy azt a polikristlyos fmeknl lttuk, vagy lehet kompozit, ahol egy alapanyagban (a mtrix-ban) helyezkednek el az erst trfogati vagy szlszer elemek (pldul ilyen a beton, a vasbeton, az egyb szlersts anyagok, stb.).

4.5. bra: Jellemz elemi trfogat

A mikroszint elemzs alapvet kvetelmnye, hogy a bels inhomogenitst okoz rszek (polikristly, szemcse, stb.) jellemz mrete (d-vel fogjuk jellni) lnyegesen kisebb legyen a makroszint anyagrszt jellemz L hosszhoz kpest, lsd a fenti brt.

Ennek megfelelen a tovbbiakban mindig kt klnbz sklrl fogunk beszlni, mindkettnl felttelezve azonban a kontinuummechanikai alapelvek ltjogosultsgt:

- a mikroszint vizsglatoknl a trbeli feszltsg s alakvltozstenzort (x) s ( )x tenzorokkal fogjuk jellni,

- a makroszint elemzsnl ( )X s E(X) tenzorokat hasznljuk ugyanerre a clra (az E szimblum itt nem a Green-Lagrange tenzorra, hanem a kis nagy vltozatra utal).

A ktfle szint vltozrendszerrl felttelezzk, hogy a makroszint rtkek a mikrovltozk valamilyen ismertnek felttelezett mdon szmthat tlagai: , E= = . (4.35) Az tlagolst az brn is lthat jellemz elemi trfogaton (representative volume element: RVE) kell elvgezni. Az elemi trfogat elegenden nagy, hogy megfelel statisztikai tlagot szolgltasson a mikrojellemzkbl (ehhez az l d felttel szksges), s ugyanakkor elegenden kicsiny ahhoz, hogy elhanyagolhatk legyenek benne a makroszkpikus vltozsok (ehhez pedig az l L felttelnek kell


2010. 02.24. 15

teljeslnie). Legyen az RVE trfogata , gy brmelyik benne tallhat (pldul bels) vltoz trfogati tlagolsa makroszintre:

1 ( )xq q dV

= . (4.36)

Felttelezzk, hogy a kontinuum-jelleg mikroszint feszltsg- s alakvltozsmez kielgti az egyenslyi s geometriai egyenleteket, vagyis:

10, ( )2

u+ uTdiv = = . (4.37) Ezt felhasznlva a makroszint feszltsg- s alakvltozstenzorok az integrl-talaktsi ttel felhasznlsval valamint a trfogatelem n normlis ( -val jellt) kls felletn mkd t(x) feszltsg s u(x) elmozdulsmez segtsgvel rhatk fel:

= = 1 1( ) , (

2 2x t+t x E= u n+n u)dA dA

= . (4.38)

Nha mg arra is szksg lehet a szmtsokban, hogy a jellemz trfogati elemet tovbbi ( )r rsztartomnyokra osszuk fel (r-rel jelltk az egyes fzisokat kpvisel rsztartomny sorszmt). Ilyenkor az tlagolst a rsztartomnyon kell elszr elvgezni, s csak utna szmthat a teljes tlagols az elemre:

( )

( )( )1 ( )x

r

r

rr rr

q q dV q c q

= =

, (4.39)

ahol ( )rc az r-edik fzis trfogatarnya.

A ktfle vltozrendszer kztti kapcsolatra (tlagolsra) sokfle mdszert ajnl a szakirodalom (kzs kifejezssel homogenizcis technikknak szoks nevezni az ilyen talaktsokat).

Makroszinten linerisan rugalmas viselkeds anyag esetre mutatunk be most egyet a sokfle vltozatbl.

Ebben az esetben a mikro- s makroszint kztt lineris a kapcsolat: ( ) ( ) : ( ) ( ) :x =A x E , x B x= , (4.40) ahol A s B negyedrend, gynevezett lokalizcis (vagy ms nven koncentrcis) tenzorok. A jellemz trfogaton vett tlagaik negyedrend egysgtenzort adnak: ( ) ( ) (4)A x B x I= = . (4.41) Az alapvet feladat ezen tenzorok elemeinek ellltsa. Ehhez szksgnk lesz a mikroszint (jelen esetben mindenkppen rugalmas) anyagmodell ismeretre: ( ) ( ) : ( ), vagy ( ) ( ) : ( )x L x x x M x x= = , (4.42) ahol L s M a mikroszint, ismert anyagi merevsgi s hajlkonysgi (negyedrend) tenzorok. A mikroszint L(x) kapcsolati egyenletek segtsgvel mr fel tudjuk rni az L makroszint anyagmodellt:

( ) ) ( ) )ahol ,( (L:E L = L A L A A Ar r r rr

r

c= = = , (4.43) vagy pedig az inverz alakban:

( ) ) ): , ( (E = M M = M B M Br r rr

c = . (4.44)


2010. 02.24. 16

Energetikai szmtsok alapjn egybknt korltot is fel lehet rni a mikro-makro kapcsolatbl szmtott anyagmodellekre. Ez kifejezetten hasznos lehet pldul numerikus modellezs tesztelsnl:

11 ( ) ( ) ( ) ( )-M M L L Lr r r r

r r

c c

= = . (4.45)

A tnyleges alkalmazsokban A s B rtkeit valban csak numerikus szimulcik felhasznlsval rjk fel, kpletszer megadsok kizrlag egszen egyszer esetekben lehetsgesek.

Ilyen egyszer modell pldul az gynevezett mean-field elmlet, amit akkor szoktak alkalmazni, ha a bels merevt szemcsk trfogatarnya olyan kicsi, hogy az egyes szemcsk kztti klcsnhats elhanyagolhat (nem tbb, mint az alapanyag nhny szzalka!). Ilyenkor segtsgl lehet hvni John D. Eshelby 1957-ben publiklt azon elmlett, amely a vgtelen kiterjeds trbe helyezett egyetlen merev zrvny hatsra keletkez feszltsgi- s alakvltozsmezk mdosulst hatrozta meg (mintegy a klasszikus Koloszov-Muszhelisvili-fle trsmechanikai problma inverz feladatt megoldva).

Az Eshelby-fle 3D megolds egy darab ellipszoid alak test hatst vizsglta (hatresetek: gmb illetve egy tszer alakzat), a szmtsainak eredmnyekppen kapott, zrt formban felrhat alakvltozstenzort (Eshelbyt kvetve) S-sel fogjuk jellni. Ennek segtsgvel az i-edik szemcshez tartoz lokalizcis tenzorokat (az m index az alapanyagra utal) a kvetkezkppen szmtjk (a szmtsok rszleteit lsd pldul Mura vagy Nemat-Nasser munkiban):

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( )( ) ( ) ( )A I+S M L L B =L I+S M L -L Mi m i m i i m i m m = . (4.46) Ennek segtsgvel pldul egy egyszer ktfzis (csak egyfle szemcsetpust tartalmaz) rendszernl a makromodell anyagi merevsgi tenzora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )L = L L L Am i i m ic+ . (4.47) Fontos tudni, hogy az S negyedrend Eshelby-tenzor csak az alapanyag tulajdonsgaitl s a zrvny alakjtl fgg. Pldul egy gmb alak szemcse esetn ( ( )mK a mtrix trfogatvltozsi, ( )m pedig a nyrsi rugalmassgi modulusa): ( )1 1 13 2 3i j k l i j k l i k j l i l j k i j k lS = + + , (4.48) ahol

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3 6( 2 )

,

3 4 5(3 4 )m m m

m m m m

K KK K

+ = =

+ + . (4.49)

Ezeket felhasznlva elllthat a makro anyagmodell. A benne szerepl makro-anyagllandk a mikrovltozk fggvnyben:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

,

1 ( / 1) 1 ( / 1)i i m i i m

m m

i m i m

c K K cK KK K

= + = +

+ + . (4.50)

Megjegyezzk, hogy a mikroszerkezet modellezsre numerikus szimulciknl gyakran hasznljk az gynevezett cellamdszert. Ebben az esetben a mikroszerkezet viselkedst a cellk peremn elrt s a makroszkpikus hatsokkal kapcsolatban lev peremfelttelek segtsgvel hatrozzk meg. Ktfle vltozata van, az egyikben az u(x) peremelmozdulsokat az E makro-alakvltozsok fggvnyben rjk fel:


2010. 02.24. 17

( ) nu x E x= (4.51) (betartva a ( )u E = felttelt), a msikban pedig ( ) ( )t x n x= n (betartva a

( )t = felttelt). Mindkt esetben felttel az albbi, energiaelv Hill-fle egyenlsg teljeslse: : : = . (4.52) A / 0d l esetet kivve azonban a ktfle peremfelttel nem egyenrtk, gy csak a peremtl tvolodva adnak hasonl eredmnyeket a mikrotartomnyra. Ennek korriglsra s a szmts tovbbi egyszerstsre inkbb periodikus cellkat szoktak alkalmazni, lsd a kvetkez brt:

4.6. bra: Periodikus cellk

Termszetesen ilyen modellezs csak akkor elfogadhat kzelts, ha az anyag termszete (vagyis bels mikrostruktrjnak jellege) elviseli a szimmetrikus bels felpts ilyen erssg hangslyozst. A mikrojellemzk periodicitsa miatt a peremfelttelek (pldul az elmozdulsi) ilyenkor az albbi mdon rhatk fel:

( )u x x +u= , (4.53) ahol u a periodicitsbl add elmozdulsi fluktucit kpviseli. Ilyen tpus cellarendszernl megsznik az elbb emltett peremzavar s az energiafelttel is teljesl.

A periodikus cellk mdszere nagyon jl bevlt pldul a szemcss anyagok mechanikjban talajok, trolkban lev szemes termnyek s klnfle laza porok vizsglatra.

Jval bonyolultabb a mikro-makrokapcsolatok vizsglata olyan esetekben, amikor az anyag viselkedse alapveten nemlineris vagyis a tbbfzis RVE bels llapott ler mikrokapcsolatot jellemz matematikai egyenletek nemlinerisak.

A legtbb ma ismert mdszer a mikro-makro kapcsolat megteremtsre nemlineris anyagoknl alapveten heurisztikus s vagy a szekns, vagy a nvekmnyi technika (lsd pldul a Nemlineris vgeselemmdszer c. trgyban bemutatott eljrsokat) alkalmazsra pl. Tbbnyire a kvetkez alapvet lpseket hasznljk:


2010. 02.24. 18

- Az elemi trfogatban tallhat minden egyes szemcsnl linearizljk a szemcsre (rsztartomnyra) vonatkoz nemlineris loklis anyagmodellt, majd ezt kveten - a lehetsg szerinti egysgestssel a minimumra cskkentik az eredetileg klnbz linearizlt modellek szmt, s vgl - becslt mikro-anyagllandkat rendelnek az egyes linearizlt tartomnyokhoz.

Az r-edik szm rszelemnl (tovbbra is megtartva a kontinuummechanika eszkztrt) a loklis alakvltozsokra az albbi egyenletek rvnyesek: ( ) ( )( ) 1( ) ( ( )), , 02x x u + u

r TG div = = = . (4.54) Az egyes rszecskk peremn az egyszersg kedvrt ltalban ugyanolyan peremfeltteleket szoks elrni, pldul ( ) ( ) ( )x n x n x V n = . (4.55) Az egsz jellemz elemre (RVE-re) vett tlagolsbl elvileg elllthat a vgleges kapcsolati egyenlet: ( )G= = . (4.56) A gyakorlatban az RVE-n belli modellezsnl linearizlt alakkal kzeltenek: ( ) ( ( )) : ( ) ( )x M x x x= + , (4.57) ahol hr (szekns) kzelts esetn

.

( ( ) ( ( )), 0M x M xszek= = , (4.58) illetve rint kzelts esetn tan. 0( ( ) ( ( )),M x M x e= = , (4.59) lsd a kvetkez bra vzlatt:

4.7. bra: Nemlineris mikromodell

Megjegyezzk, hogy mg az rint kzeltsnl az tan.( ) ( ) /M dG dt= felttelbl egyrtelmen addik tan.M , ez nem igaz a hrmdszernl, ott tbbfle mdon fel lehet venni az

.

( ) : ( )Mszek G= egyenletet kielgt .Mszek tenzort.

Msfle anyagoknl msfle mikroszerkezeti talaktsokat is szoks alkalmazni a modern szmtstechnika lehetsgeire tmaszkodva. Pldul nyitott cellaszerkezet anyagoknl vletlenszer eloszls keret, rcs, hj, stb. szerkezeteket generlnak a


2010. 02.24. 19

mikrostruktra modelljeknt s ezek vgeselemes szimulcijval lltjk el az RVE elem merevsgeit:

4.8. bra: Vzas mikrostruktra ([ ]5 alapjn)

Kttt szemcss anyagoknl (pldul a betonnl) a diszkrt elemes modellezs (lsd Bagi: A diszkrt elemek mdszere) elnyei is jl hasznlhatk.

Felhasznlt forrsmunkk:

1./ Lemaitre, J.: Handbook of materials behavior models I-III., Academic Press, 2001. 2./ Yip, S.: Handbook of materials modeling I.-II. Springer, 2005. 3./ Mura, T.: Micromechanics of defects of solids., Martinus Nijhoff, 1987. 4./ Nemat-Nasser, S. Hori, M.: Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials, North-Holland, 1993. 5./ Torquato, S.: Random heterogeneous materials: microstructure and macroscopic properties, Springer, 2002.

Mechanikai Anyagmodellek-negyedik Eloadas

Documents