MECHANIKA BUDOWLI I - weber.zut.edu.plweber.zut.edu.pl/fileadmin/Mechanika_budowli/Zasada_prac... · • Witkowski M., Zbiór zadań z mechaniki budowli, O.W.P.W., Warszawa, 2002

MECHANIKA BUDOWLI I

Prowadzący :

dr inż. Hanna Weber

pok. 225,

email: [email protected]

strona: www.weber.zut.edu.pl

Literatura: • Dyląg Z., Mechanika Budowli,

PWN, Warszawa, 1989

• Paluch M. , Mechanika Budowli: teoria i przykłady,

PWN, Warszawa 2013

• Olszowski B., Radwańska M., Mechanika Budowli t. I,

wyd. Polit. Krakowskiej, 2003

• Chudzikiewicz A., Statyka Budowli,

PWN, Warszawa, 1973

• Cywiński Z., Mechanika Budowli w zadaniach,

PWN, Warszawa-Poznań, 1973

• Witkowski M., Zbiór zadań z mechaniki budowli,

O.W.P.W., Warszawa, 2002

Materiały dodatkowe:

www.weber.zut.edu.pl

dr inż. Hanna Weber

TEMATYKA ZAJĘĆ

• Zasada Prac Wirtualnych - liczenie przemieszczeń

w układach statycznie wyznaczalnych

• Metoda sił - wyznaczanie wykresów sił wewnętrznych

w ramach, belkach i kratownicach statycznie

niewyznaczalnych pod obciążeniem statycznym

• Twierdzenie redukcyjne – obliczanie przemieszczeń w

układach statycznie niewyznaczalnych

• Metoda przemieszczeń – obliczanie wykresów sił

wewnętrznych w układach nieprzesuwnych

dr inż. Hanna Weber

Zasada Prac Wirtualnych

dr inż. Hanna Weber

Belka wolnopodparta

M

↓ f

T

↓ Φ

N

↓ e

P=1

- Siła wirtualna

dr inż. Hanna Weber

Twierdzenie

PLz

Praca wirtualnych sił zewnętrznych

na rzeczywistych przemieszczeniach

jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych

na rzeczywistych odkształceniach

dlNTMLl

w

0

dr inż. Hanna Weber

wz LL

dlEA

NN

EI

MM

l

1

EI

M

EA

N

PLz

↓

↓

↓

dr inż. Hanna Weber

W układach belkowych i ramowych wartość

przemieszczenia w danym punkcie jest

równa całce z iloczynu momentu od

obciążenia zewnętrznego

i momentu od obciążenia jednostkowego

założonego na kierunku przemieszczenia

dr inż. Hanna Weber

W układach kratowych wartość

przemieszczenia w danym punkcie jest

równa całce z iloczynu siły normalnej od

obciążenia zewnętrznego

i siły normalnej od obciążenia

jednostkowego założonego na kierunku

przemieszczenia

dr inż. Hanna Weber

Zadanie: Obliczyć ugięcie końca wspornika

z zasady prac wirtualnych

dr inż. Hanna Weber

dr inż. Hanna Weber

x

x

EJ

4

M0[kNm]

1

M4

[m]0

P=8kN

32

0

H =0A

V =8kNA

M =32kNmAA

B

xPxM 8

xxM 1

EIEIx

EIdx

EI

xdx

EI

xxdl

EA

NN

EI

MM

l3

5124

3

8

3

1888 3

4

0

3

4

0

24

0

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie graficzne

wykresów

Całkując graficznie dwa wykresy

mnożymy pole pierwszego wykresu przez rzędną

z drugiego wykresu, na wysokości środka

ciężkości pierwszego

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie graficzne

wykresów

Fs

xA B

FC

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie graficzne

wykresów

Warunki:

- stała sztywność,

- wykres prostoliniowy zapisany jednym równaniem,

- całkując parabolę z wykresem prostoliniowym,

zawsze bierzemy pole paraboli,

- jeżeli wykresy są po tej samej stronie to wynik całkowania

jest dodatni, jeżeli po przeciwnych to ujemny

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie dwóch prostokątów:

LaPprost .

bLaC

Całkowanie:

LaPprost .

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie prostokąta z trójkątem:

LaPprost 2

1.

bLaC 2

1

Całkowanie:

LaPtrójk 2

1.

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie dwóch trójkątów:

bLaC3

2

2

1

Całkowanie:

LaPtrójk 2

1.

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie dwóch trójkątów:

bLaC3

1

2

1

Całkowanie:

LaPtrójk 2

1.

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie prostokąta z trapezem:

cbLaC

2

1

2

1

Całkowanie:

LaPprost .

dr inż. Hanna Weber

Całkowanie trójkąta z trapezem:

LaPtrójk 2

1.

Całkowanie:

cbLaC

3

1

3

2

2

1

dr inż. Hanna Weber

Pole paraboli:

dr inż. Hanna Weber

Pole paraboli:

dr inż. Hanna Weber

Pole paraboli:

dr inż. Hanna Weber

Przed całkowaniem

graficznym wykresy należy

rozbić na proste formy:

- prostokąty,

- trójkąty ,

- parabole

dr inż. Hanna Weber

Przykłady rozbijania wykresów:

dr inż. Hanna Weber

Przykłady rozbijania wykresów:

dr inż. Hanna Weber

Przykłady rozbijania wykresów:

dr inż. Hanna Weber

Przykłady rozbijania wykresów:

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 1. Wyznacz kąt obrotu końca wspornika

dr inż. Hanna Weber

Obciążenie wirtualne

Wartość kąta obrotu na końcu wspornika:

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 2. Wyznacz przemieszczenie pionowe końca wspornika

dr inż. Hanna Weber

Obciążenie wirtualne

Wartość przemieszczenia pionowego na końcu wspornika:

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 3. Wyznacz przemieszczenie pionowe końca wspornika

dr inż. Hanna Weber

Obciążenie wirtualne

Wartość przemieszczenia pionowego na końcu wspornika:

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 4. Wyznacz kąt obrotu na lewej podporze.

dr inż. Hanna Weber

Obciążenie wirtualne

Wartość kąta obrotu na lewej podporze:

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 5. Wyznacz kąt obrotu na lewej podporze.

dr inż. Hanna Weber

Obciążenie wirtualne

Wartość kąta obrotu na lewej podporze:

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie reakcji dla belki Gerbera

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie reakcji dla belki Gerbera

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie wykresów od obciążenia zewnętrznego

dr inż. Hanna Weber

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie wykresów od obciążenia wirtualnego

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie kąta obrotu:

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

L

B

3

14

5,02

1416

3

21

5,03

2412

2

11

5,03

2212

2

11

13

15,0

3

2212

2

1

2

1

5,03

2212

2

1

2

1

dr inż. Hanna Weber

Zadanie 7. Wyznacz przemieszczenie poziome podpory B.

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie reakcji podporowych

dr inż. Hanna Weber

Wykresy sił wewnętrznych

123

72

72

24

24

M[kNm]

0

dr inż. Hanna Weber

Wykres momentów od obciążenia wirtualnego

M[m]

3

3

3

3

6

123

72

72

24

24

M[kNm]

123

72

= + +

72

123

ql /82

1

Podział wykresów do całkowania

dr inż. Hanna Weber

123

72

72

24

24

M[kNm]

123

72

= + +

72

123

ql /82

24

=

+

ql /82

24

1

Podział wykresów do całkowania

dr inż. Hanna Weber

Wyznaczenie przemieszczenia

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

EJ

EJuB

75,1797

62

13

2

13

8

36

3

21

33

16

3

23123

2

11

63

13

3

2372

2

11

33

2472

2

11

32

14

8

46

3

21

33

2424

2

11

33

2324

2

11

2

2