Mechanik und Festigkeitslehre - files.hanser.defiles.hanser.de/Files/Article/ARTK_LPR_9783446453197_0001.pdf · Vorwort Mechanik und Festigkeitslehre geh"ren zu den wichtigsten theoretischen
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Mechanik und Festigkeitslehre geh"ren zu denwichtigsten theoretischen Grundlagen jedesTechnikers und Ingenieurs. Das vorliegendeBuch will dem studierenden Nachwuchs bei derErarbeitung dieser Grundlagen behilflich seinund ihn zur selbstst#ndigen L"sung praktischerAufgaben bef#higen. Es ist besonders f!r denGebrauch an Technikerschulen und Fachhoch-schulen gedacht. F!r das Selbststudium und f!rPraktiker, die ihre theoretischen Kentnisse auf-frischen oder erweitern wollen, ist es ebenfallsgeeignet.Der Stoffumfang ist vorwiegend auf das Tech-nikerstudium abgestimmt. Einige Kapitel gehendar!ber hinaus, um auch Studenten an Fach-hochschulen ein Hilfsmittel zum besserenVerst#ndnis der Vorlesungen in TechnischerMechanik und interessierten Benutzern Wei-terbildungsm"glichkeiten zu bieten. Auf eineAnwendung der h"heren Mathematik wurde ver-zichtet, da diese an Technikerschulen nicht ge-lehrt wird. Bis auf wenige Ausnahmen werdendie Berechnungsgleichungen hergeleitet unddanach als Gr"ßengleichungen angegeben, sodass mit beliebigen Einheiten gerechnet werdenkann.Die verwendeten Einheiten und Formelzeichenentsprechen den in einem Verzeichnis zusam-mengestellten neuesten Ausgaben der einschl#-gigen DIN-Normen und den gesetzlich vor-geschriebenen SI-Einheiten. Auf die !blichenEinheiten wird hingewiesen. In $bereinstim-mung mit dem t#glichen Sprachgebrauch sowieden Normenempfehlungen werden die WorteGewicht und Last im Sinne einer Massengr"ßeverwendet. Wenn Gewicht als Kraftgr"ße ge-meint ist, wird der Ausdruck Gewichtskraft be-nutzt.Die Nummerierung der Bilder, Gleichungen undLehrbeispiele erfolgte kapitelweise. Kontroll-fragen am Ende eines in sich abgeschlossenenSachgebietes sollen die Lernzielkontrolle er-leichtern. Praxishinweise machen auf die Be-deutung des jeweiligen Lernstoffes f!r die Be-rufsarbeit aufmerksam. Dabei werden auch diefr!her verwendeten, nicht mehr zugelassenenEinheiten und die in der Praxis gebr#uchlichenZahlenwertgleichungen erw#hnt.Lehrbeispiele aus vielen Gebieten der Technikerm"glichen eine Vertiefung des dargebotenenStoffes. Bei der Auswahl der Beispiele wurdeeine enge Beziehung zur Praxis angestrebt.
F!r h#ufig vorkommende Aufgabenarten werdenArbeitsschritte empfohlen. Dem Prinzip derGr"ßengleichung folgend, sind auch bei denZwischenrechnungen die Einheiten mitgeschrie-ben, so dass man bei umfangreichen Gleichun-gen nicht die $bersicht verliert. Nur wenn Ein-heiten sich offensichtlich herausk!rzen, wurdensie weggelassen. Die Genauigkeit der Ergebnis-se wurde in der Regel auf vier Ziffern be-schr#nkt. Wird mit der gesamten vom Rechnerangezeigten Stellenanzahl weitergerechnet, soergeben sich in manchen F#llen etwas abwei-chende Resultate.Weitere $bungsm"glichkeiten bietet die aufdas Lehrbuch abgestimmte Aufgabensammlung„Mechanik und Festigkeitslehre – Aufgaben“.Sie enth#lt eine große Zahl vom Leser zu l"sen-der Aufgaben.Alle Tabellen und Diagramme (Bildnummernmit vorgesetztem A), die zum L"sen von Auf-gaben ben"tigt werden, sind in einem separatenAnhang untergebracht, der auch eine Zusam-menstellung der wichtigsten Formeln enth#lt.Die f!r Festigkeitsberechnungen erforderlichenWerkstoffkennwerte und sonstige Einflussziffernsowie Erfahrungswerte f!r erforderliche Sicher-heiten bzw. zul#ssige Spannungen sind darin an-gegeben, womit die Berechnung vieler Bauteileohne weitere Unterlagen m"glich ist. Der losebeigef!gte Anhang kann, z.B. bei Pr!fungen,unabh#ngig vom Lehrbuch benutzt werden.Besonderer Wert wurde auf eine $bereinstim-mung mit dem im gleichen Verlag erschienenenLehrbuch Decker „Maschinenelemente“ und dendazugeh"rigen „Maschinenelemente-Aufgaben“gelegt. Die „Mechanik und Festigkeitslehre“ ent-h#lt gewissermaßen das theoretische R!stzeugf!r die genannten B!cher.Allen Kolleginnen und Kollegen und Lesern,die uns auf Verbesserungsm"glichkeiten hinge-wiesen haben, sagen wir herzlichen Dank. Beiden Mitarbeitern des Carl Hanser Verlages, be-sonders bei Frau Ute Eckardt und Frau KatrinWulst, bedanken wir uns f!r die gute Zusammen-arbeit.Wir hoffen, dass auch die 8. Auflage den Stu-dierenden und den Lehrenden ebenso wie denbereits in der Praxis t#tigen Technikern und In-genieuren ein brauchbares Hilfsmittel werdenm"ge. Anregungen und Verbesserungsvorschl#ge
Lernziele:– Den Begriff Schwerpunkt erkl#ren.– Den Momentensatz der Statik als Grundlage der
Schwerpunktberechnung erl#utern.– Die Lage des Schwerpunktes von K"rpern, Fl#chen
und Linien berechnen.– Die Begriffe Standmoment und Kippmoment erl#u-
tern und Standsicherheitsberechnungen durchf!hren.
4.1 Begriffsbestimmung, Grundlagen
Die von der Erde auf einen K"rper ausge!bteAnziehungskraft ist die Schwerkraft oder Ge-wichtskraft FG. Sie ist auf den ganzen K"rperverteilt, d. h. an jedem kleinsten K"rperteilchenwirkt eine Teilgewichtskraft DFG; die in jederLage des K"rpers zum Erdmittelpunkt hin, alsolotrecht gerichtet ist (Bild 4.1a). Die Resultie-rende aller Teilgewichtskr#fte ist die Gewichts-kraft FG ¼ S DFG: Ihr Angriffspunkt ist derSchwerpunkt S0 des K"rpers. Wird der K"rperim Schwerpunkt unterst!tzt oder gelenkig auf-geh#ngt, so bleibt er in jeder beliebigen Lagestehen, befindet sich also im Gleichgewicht.Die Lage des Schwerpunktes kann versuchs-m#ßig, zeichnerisch oder rechnerisch bestimmtwerden. Beim Versuch h#ngt man den K"rper,beispielsweise eine d!nne Scheibe (Bild 4.1b),an einem beliebigen Punkt an einen Faden undmarkiert in Verl#ngerung des Fadens eine lot-rechte Linie. Danach wird der K"rper an einemanderen Punkt am Faden befestigt und eine wei-tere lotrechte Linie gezeichnet. Im Schnittpunktbeider Linien liegt der Schwerpunkt.
F!r die zeichnerische Schwerpunktbestimmung ist dasSeileckverfahren geeignet. Dazu zerlegt man denK"rper gedanklich in Teilst!cke, deren Schwerpunktlagebekannt ist. Der Abstand der Gewichtskraft als Resultie-rende der Teilgewichtskr#fte von einer Bezugsachsewird dann nach der im Abschn. 2.3.3 beschriebenen Wei-se ermittelt. Dieses Verfahren ist je nach K"rperform biszu dreimal durchzuf!hren, u. zw. in den drei senkrechtzueinander stehenden Ansichten des K"rpers.
Linien und Ebenen, die durch den Schwerpunkthindurchgehen, sind Schwerlinien bzw. Schwer-ebenen. Symmetrielinien und -ebenen einesK"rpers gehen stets durch den Schwerpunkt. Daihre Lage bekannt ist, sind nur die nicht bekanntenSchwerpunktabst#nde zu bestimmen.
Grundlage der rechnerischen Schwerpunkt-bestimmung ist der Momentensatz der Statik.Der Schwerpunkt jedes winzig kleinen K"rper-teilchens Dm habe von den Koordinatenachseneines r#umlichen Koordinatensystems die Ab-st#nde x, y und z (Bild 4.2). Der besseren $ber-sicht wegen ist in Bild 4.2 nur die GewichtskraftDFG eines K"rperteilchens Dm eingezeichnet.Mit den Koordinaten x0, y0 und z0 des Schwer-punktes S0 erh#lt man entspr. Gl. (2.19) die dreiMomentengleichungen:
a) Angriffspunkt der Gewichtskraft FG,b) versuchsm#ßige Schwerpunktbestimmung
Bild 4.2 K"rper in einem r#umlichen Koordinatensystem
Da f!r FG ¼ m ' g und f!r DFG ¼ Dm ' g ge-setzt werden kann, k!rzt sich die Fallbeschleu-nigung g heraus, und in den Gleichungen er-scheinen die Masse m und die Teilmasse Dm.Die Lage des Schwerpunkts ist somit nur vonder Massenverteilung abh#ngig. Daher wird derSchwerpunkt auch Massenmittelpunkt genannt.Er kann jedoch wie bei Ringen, Hohlzylindernu. dgl. auch außerhalb der K"rpermasse liegen.
4.2 Schwerpunktberechnung
4.2.1 K"rper
Ein homogener1Þ K"rper mit dem Volumen Vund der Dichte r (s. Abschn. 7.1.1) hat dieMasse m ¼ V ' r (Gl. (7.2)). Damit gilt f!r dieGewichtskraft FG ¼ m ' g ¼ V ' r ' g. Setzt mandiese Beziehung und DFG ¼ DV ' r ' g in dieGln. (4.1) bis (4.3) ein, so k!rzen sich r und gheraus. Die Gleichungen f!r die Koordinatendes Schwerpunktes lauten dann:
x0 ¼ SðDV ' xÞV
y0 ¼ SðDV ' yÞV
z0 ¼ SðDV ' zÞV
Aus diesen Gleichungen ergeben sich mithilfeder Integralrechnung f!r homogene geometri-sche Grundk"rper wie Prisma, Pyramide, Kegel,
Halbkugel u. a., deren Volumen mathematischerfassbar sind, einfache Formeln zur Schwer-punktbestimmung (Tab. 5). ZusammengesetzteK"rper (Bild 4.3) zerlegt man in Teilk"rper, de-ren Schwerpunktabst#nde bekannt sind odernach Tab. 5 errechnet werden k"nnen. Mit denTeilvolumen DV ¼ Vi ði ¼ 1 bis n; in Bild 4.3ist n ¼ 3Þ; den zugeh"rigen Schwerpunktabst#n-den xi, yi, zi und dem Gesamtvolumen V ¼ SVifolgen aus den obigen Gleichungen f!r einenhomogenen K"rper die
In diese Gleichungen sind die Volumen aus-gesparter Teilk"rper und im negativen Be-reich der Koordinatenachse liegende Schwer-punktabst#nde mit negativem Vorzeichen ein-zusetzen (z. B. das Bohrungsvolumen in Bild 4.3,ein Zylinder als Teilk"rper 3).
Beispiel 4.1Die Lage des Schwerpunktes des zusammengesetztenK"rpers nach Bild 4.4 ist zu errechnen.
Bild 4.4 Zusammengesetzter homogener K"rper1) homogen (griech.): einheitlich, in allen Teilen gleich
beschaffen oder stofflich gleichm#ßig
Bild 4.3 Zusammengesetzter K"rper mit Projektionenauf die Koordinatenebenen
4 Schwerpunkt58
L"sung:Gegeben: a ¼ 6 cm, b ¼ 5 cm, d ¼ 4 cm,
h1 ¼ 2 cm, h2 ¼ 8 cm, h3 ¼ 3 cm.Gesucht: y0 in mm.Wegen der Symmetrie braucht nur der Abstand y0auf der Mittelachse bestimmt zu werden. Der K"rperwird in drei Teilk"rper aufgeteilt (Quader 1, Zylin-der 2 und Kegel 3) mit den Teilvolumen
V1 ¼ a ' b ' h1 ¼ 6 cm ' 5 cm ' 2 cm ¼ 60 cm3,
V2 ¼ d2 ' p4' h2 ¼ ð4 cmÞ2 ' p
4' 8 cm ¼ 100,53 cm3,
V3 ¼ d2 ' p ' h34 ' 3 ¼ ð4 cmÞ2 ' p ' 3 cm
4 ' 3 ¼ 12,57 cm3
und den Teilschwerpunktabst#nden (f!r 2 und 3 nachTab. 5)
Auch von Fl#chen l#sst sich wie von K"rpern einSchwerpunkt bestimmen. Man denkt sich eineebene Fl#che A als Vorderansicht einer Platte mitder Dicke s und unterteilt sie in i Teilfl#chen (A1,A2, A3 in Bild 4.5) mit den bekannten Schwer-punktabst#nden xi und yi von den Koordinaten-achsen. Setzt man V¼ A ' s und Vi ¼ Ai ' s in dieGln. (4.4) und (4.5) ein, so k!rzt sich die Dicke sheraus, und es ergeben sich f!r eine aus n Teilfl#-chen zusammengesetzte ebene Fl#che A die
In diese Gleichungen sind ausgesparte Teilfl#-chen und im negativen Bereich der Koordi-natenachsen liegende Schwerpunktabst#nde mitnegativem Vorzeichen einzusetzen. Die Be-rechnungsformeln f!r die Schwerpunktabst#ndeeiniger einfacher Fl#chen sind in Tab. 6 zusam-mengestellt. Bei drei oder mehr Teilfl#chen emp-fiehlt sich eine tabellarische Zusammenstellungder Zwischenergebnisse (s. Beisp. 4.2). Das Ko-ordinatensystem ist so zu w#hlen, dass m"glichstwenig Teilfl#chenmomente auftreten. Symmetrie-linien werden vorzugsweise als Koordinatenachsegew#hlt.
Das Produkt aus einer Fl#che und dem Abstand ihresSchwerpunktes von einer Bezugsachse ist das Fl#chen-moment 1. Grades, auch statisches Moment der Fl#-che genannt (s. Abschn. 9.4.2). Das auf eine Schwerliniebezogene statische Moment ist null, weil der Abstandvom Schwerpunkt zur Bezugsachse null ist.
Zweckm#ßig sind folgende Arbeitsschritte:1. Schritt: Koordinatenachsen festlegen, Fl#chein Teilfl#chen aufteilen, Berechnungsskizze an-fertigen und Schwerpunktabst#nde eintragen.
2. Schritt: Teilfl#cheninhalte und -schwerpunkt-abst#nde errechnen, ggf. tabellarisch zusam-menstellen einschl. der Teilfl#chenmomente.
3. Schritt: Abst#nde des Gesamtschwerpunkteserrechnen.
Beispiel 4.2F!r die in Bild 4.6 dargestellte Fl#che ist die Lagedes Schwerpunktes rechnerisch zu bestimmen.
Bild 4.6 Fl#che mit AussparungenBild 4.5 Zur Bestimmung des Schwerpunktes S0 einer
zusammengesetzten Fl#che
4.2 Schwerpunktberechnung 59
L"sung:Gegeben: a ¼ 10 cm, b ¼ 5 cm, c ¼ 1,2 cm,
h ¼ 3 cm, R3 ¼ 1 cm, R4 ¼ 2 cm.Gesucht: x0 und y0 in mm.1. Schritt: Koordinatenachsen liegen nach Berech-nungsskizze (Bild 4.7) auf dem unteren und demlinken Fl#chenrand, Fl#che in vier Teilfl#chen auf-teilen: Rechteck A1, Dreieck A2, Kreis A3 und Halb-kreis A4.
Bild 4.7 Berechnungsskizze
2. Schritt: Teilfl#chen Ai und Abst#nde xi, yi (nachTab. 6):
A1 ¼ a ' b ¼ 10 cm ' 5 cm ¼ 50 cm2,
x1 ¼ a=2 ¼ ð10=2Þ cm ¼ 5 cm,
y1 ¼ b=2 ¼ ð5=2Þ cm ¼ 2,5 cm,
A2 ¼ h ' h=2 ¼ h2=2 ¼ ð32=2Þ cm2 ¼ 4,5 cm2,
x2 ¼ y2 ¼ h=3 ¼ ð3=3Þ cm ¼ 1 cm,
A3 ¼ R23 ' p ¼ ð1 cmÞ2 ' p ¼ 3,14 cm2,
x3 ¼ 2,5 cm, y3 ¼ 3 cm ðnach Bild 4:6Þ,A4 ¼ R2
4 ' p=2 ¼ ð2 cmÞ2 ' p=2 ¼ 6,28 cm2,
x4 ¼ 7 cm,
y4 ¼ cþ 0,424 R4 ¼ ð1,2þ 0,424 ' 2Þ cm ¼ 2,05 cm:
Diese Werte und die damit errechneten Fl#chenmo-mente Ai ' xi und Ai ' yi sowie deren Summen unddie Gesamtfl#che A ¼ SAi sind in nachfolgender Ta-belle zusammengestellt (A2, A3 und A4 als aus-gesparte Teilfl#chen mit negativem Vorzeichen):
3. Schritt: Nach den Gln. (4.7) und (4.8):
x0 ¼ SðAi ' xiÞA
¼ 193,69 cm3
36,08 cm2¼ 5,37 cm ¼ 53,7 mm,
y0 ¼ SðAi ' yiÞA
¼ 98,21 cm3
36,08 cm2¼ 2,72 cm ¼ 27,2 mm:
Beispiel 4.3Bild 4.8 zeigt die Querschnittsfl#che eines aus zweiWinkelprofilen EN 10056-1-50 & 50 & 6 und einemT-Profil EN 10055-T120 zusammengesetzten Tr#-gers. Der Schwerpunktabstand von der Unterkantedieser Querschnittsfl#che ist zu errechnen.L"sung:Gegeben: Nach Tab. 32: A1 ¼ 29,6 cm2, h ¼ 12 cm,
e1 ¼ 3,28 cm, Tab. 30: A2 ¼ 5,69 cm2,e2 ¼ 1,45 cm.
Gesucht: y0 in mm.
Bild 4.8 Querschnittsfl#che eines aus Profilen zu-sammengesetzten Tr#gers
1. Schritt: Die Tr#gerunterkante wird als x- und dieSymmetrielinie als y-Achse gew#hlt, Bild 4.8 istauch Berechnungsskizze.2. Schritt: Teilfl#chen A1 und A2 gegeben (s. o.), de-ren Schwerpunktabst#nde betragen:
In gleicher Weise wie von Fl#chen l#sst sichauch von Linien ein Schwerpunkt bestimmen.Man denke sich den in Bild 4.9 dargestellten,aus den Teill#ngen l1, l2 und l3 zusammenge-setzten Linienzug als Mittellinie eines d!nnenDrahtes. Der Schwerpunkt des Drahtst!ckes istauch der Schwerpunkt seiner Mittellinie. Somitkann der Schwerpunkt eines aus Strecken undB"gen zusammengesetzten Linienzuges wie dervon einem d!nnen K"rper mit gleich bleiben-dem Querschnitt oder von einer schmalen Fl#chemit gleich bleibender Breite ermittelt werden.
Zur Lagebestimmung des GesamtschwerpunktesS0 eines ebenen zusammengesetzten Linien-zuges mit der L#nge l ¼ Sli, den Teill#ngen liund deren bekannten Schwerpunktabst#nden xiund yi von den Koordinatenachsen erh#lt manaus den Momentengleichungen l ' x0 ¼ Sðli ' xiÞund l ' y0 ¼ Sðli ' yiÞ dieSchwerpunktabst#nde
ð4:10ÞDie Berechnungsformeln f!r die Schwerpunkt-abst#nde einiger einfacher Linien (Strecken,Streckenz!ge, B"gen) enth#lt Tab. 7. Das Koor-dinatensystem wird so gew#hlt, dass man mit
m"glichst wenig Linienmomenten li ' xi bzw.li ' yi auskommt. Die Schwerpunktabst#nde vonTeill#ngen im negativen Bereich der Koordina-tenachsen sind in die Gleichungen mit negati-vem Vorzeichen einzusetzen. Es kann sinn-gem#ß nach den f!r Fl#chen im Abschnitt 4.2.2angegebenen Arbeitsschritten vorgegangen wer-den.
Beispiel 4.4Das in Bild 4.10 dargestellte Blechteil soll in großerSt!ckzahl aus Blechstreifen herausgeschnitten wer-den. F!r die Werkzeugherstellung ist der Abstanddes Schwerpunktes der Schnittlinie (des Umrissesmit Kreis) vom Lochmittelpunkt zu errechnen.
Bild 4.10 Blechteil
L"sung:Gegeben: a ¼ 4 cm, b ¼ 2 cm, d ¼ 1 cm.Gesucht: y0 in mm.1. Schritt: Lochmittelpunkt als Koordinatenursprung,Symmetrielinien als y-Achse gew#hlt, s. Berech-nungsskizze Bild 4.11.
Bild 4.11 Berechnungs-skizze
2. Schritt: Teill#ngen li und Abst#nde yi (nachTab. 7):
l1 ¼ b ¼ 2 cm, y1 ¼ a( b=2 ¼ ð4( 1Þ cm ¼ 3 cm;
l2 ¼ l3 ¼ y1 ¼ 3 cm, y2 ¼ y3 ¼ y1=2 ¼ 1,5 cm;
l4 ¼ 2r4 ' p ¼ d ' p ¼ 1 cm ' p ¼ 3,14 cm, y4 ¼ 0,
l5 ¼ r5 ' p ¼ 0,5 b ' p ¼ 1 cm ' p ¼ 3,14 cm;
y5 ¼ 0,637 r5 ¼ 0,637 ' 1 cm ¼ 0,637 cm:
Diese Werte und die damit errechneten Linienmo-mente li ' yi sowie deren Summe und die Gesamt-l#nge der Schnittlinie l ¼ Sli sind in nachfolgender
Bild 4.9 Zur Bestimmung des Schwerpunktes S0 einesLinienzuges
4.2 Schwerpunktberechnung 61
Tabelle zusammengestellt (der Abstand y5 ist negativ,da er auf der negativen y-Achse liegt):
3. Schritt: Nach Gl. (4.10):
y0 ¼ Sðli ' yiÞl
¼ 13,0 cm2
14,28 cm¼ 0,91 cm ¼ 9,1 mm:
Beispiel 4.5In Bild 4.12 sind die Systemlinien eines Wand-schwenkkrans skizziert, dessen St#be aus Rohrengleichen Durchmessers und gleicher Wanddicke be-stehen. Welchen Abstand von der Drehachse hat derSchwerpunkt als Angriffspunkt der Eigengewichts-kraft?
Bild 4.12 Systemlinien einesWandschwenkkrans
L"sung:Gegeben: a ¼ 1 m, b ¼ 2 m, c ¼ 3 m.Gesucht: x0 in mm.Der Schwerpunkt des Kranes ist gleich dem Schwer-punkt der Systemlinien, da alle St#be gleichen Quer-schnitt haben.1. Schritt: Die Drehachse ist die y-Achse, die Stab-l#ngen ¼ Systemlinienl#ngen sind die Teill#ngen li:Die Abst#nde yi werden nicht ben"tigt, Berechnungs-skizze Bild 4.13.2. Schritt: Teill#ngen li und Abst#nde xi :l1 ¼ aþ c ¼ 4 m, x1 ¼ 0 (da S1 auf der y-Achse),
Diese Werte und die Linienmomente li ' xi sowie de-ren Summen und die gesamte Systemlinienl#ngel ¼ Sli sind in nachfolgender Tabelle zusammen-gestellt:
3. Schritt: Nach Gl. (4.9):
x0 ¼ Sðli ' xiÞl
¼ 11,26 m2
13,812 m¼ 0,815 m ¼ 815 mm:
4.3 Gleichgewichtslagen,Standsicherheit
Wird ein entspr. Bild 4.14 beweglich gelagerterK"rper aus seiner Gleichgewichtslage gebracht,so wird sein Schwerpunkt angehoben und esentsteht ein r!ckstellendes Moment FG ' l, dasihn wieder in seine Ausgangslage zur!ckf!hrt.Man nennt diese Gleichgewichtslage sicher oderstabil. Wird dagegen ein wie in Bild 4.15 ge-lagerter K"rper durch einen Anstoß aus sei-ner Gleichgewichtslage gebracht, so wird derSchwerpunkt gesenkt, und es entsteht ein ab-lenkendes Moment FG ' l, das ihn beschleunigtund weiter von seiner Ausgangslage entfernt.Der K"rper befindet sich im unsicheren oderlabilen (instabilen) Gleichgewicht. Von unent-schiedenem oder indifferentem Gleichgewicht
spricht man, wenn bei einer Lage#nderung derSchwerpunkt des K"rpers weder gehoben nochgesenkt wird und keine r!ckstellenden oder ab-lenkenden Momente auftreten (Bild 4.16).Freistehende K"rper k"nnen infolge Einwirkung#ußerer Kr#fte umkippen. Wenn Kippgefahr zuerwarten ist, muss die Standsicherheit errechnetwerden. Sie ist wie folgt definiert:
Die Standsicherheit, die stets gr"ßer alseins sein muss, ist das auf eine Kippkantebezogene Verh#ltnis der Summe der Stand-momente zur Summe der Kippmomente.
F!r den in Bild 4.17 dargestellten K"rper be-tr#gt die auf die Kippkante K bezogene
Summe der StandmomenteSMSt ¼ FG ' l þ F1 ' l1und die
Summe der KippmomenteSMKi ¼ F2 ' l2 þ F3 ' l3Ein K"rper steht sicher bei der
Standsicherheit SSt ¼ SMSt
SMKi>> 1 ð4:11Þ
In diesem Falle geht die Wirklinie der Resultie-renden aller am K"rper angreifenden Kr#fte(einschl. der Gewichtskraft) durch die Unter-st!tzungsfl#che, d. h. so an der Kippkante vorbei,dass das Moment Fr ' lr st!tzend (r!ckstellend)wirkt (Bild 4.18a). Ist SSt ¼ 1, befindet sichder K"rper gerade noch im Gleichgewicht(Bild 4.18b). Geht die Wirklinie von Fr so an der
Bild 4.14 Stabiles Gleichgewicht
Bild 4.15 Labiles Gleichgewicht
Bild 4.16 Indifferentes Gleichgewicht
Bild 4.17 Kippgef#hrdeterK"rper
Bild 4.18 Standsicherheit SSt eines K"rpersa) SSt > 1, b) SSt ¼ 1, c) SSt < 1
4.3 Gleichgewichtslagen, Standsicherheit 63
Kippkante vorbei, dass das resultierende Momentablenkend wirkt, dann ist SSt < 1 und der K"rperkippt (Bild 4.18c). Bei diesen Betrachtungen wirdvorausgesetzt, dass der K"rper nicht gleiten kann.Mitunter muss die Untersuchung auf Standsicher-heit f!r mehrere Kippkanten durchgef!hrt wer-den. F!r den Kranbau ist die Ermittlung derStandsicherheit in Normen (z. B. ISO 4304,ISO 4305 und ISO 12485) vorgeschrieben.
Beispiel 4.6F!r den in Bild 4.19 skizzierten Mobilkran sind diezul#ssigen Tragkr#fte bei den Auslegerstellungen I,II, III und einer Standsicherheit von 1,8 zu errech-nen. Die Gewichtskr#fte betragen f!r das Fahr-gestell 36,4 kN, den Aufbau 67,2 kN und den Aus-leger 7 kN.
Bild 4.19 Skizze zur Tragkraftermittlung f!r einenMobilkran
SMKi ¼ Fi ' Li þ FG3 ' l3i:Beide in Gl. (4.11) eingesetzt:
SSt ¼ SMSt
Fi ' Li þ FG3 ' l3iergibt
Fi ' Li þ FG3 ' l3i ¼ SMSt
SSt¼ 186,6 kNm
1,8
¼ 103,7 kNm:
Daraus folgt mit i ¼ I, II und III die zul#ssige Trag-kraft f!r Stellung I:
FI ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3ILI
¼ ð103,7( 7 ' 0,5Þ kNm2 m
¼ 50,1 kN,
f!r Stellung II:
FII ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3IILII
¼ ð103,7( 7 ' 1,5Þ kNm4 m
¼ 23,3 kN,
f!r Stellung III:
FIII ¼ SMSt=SSt ( FG3 ' l3IIILII
¼ ð103,7( 7 ' 3Þ kNm6 m
¼ 13,78 kN:
PraxishinweisDie Lage des Schwerpunktes eines K"rpers ist immerdann zu ermitteln, wenn die Gewichtskraft von Bautei-len bei Berechnungen ber!cksichtigt werden muss. Inder Kinetik ist der K"rperschwerpunkt als Massenmit-telpunkt Angriffspunkt der Tr#gheitskraft sowie derFliehkraft. Der Fl#chenschwerpunkt wird f!r die Be-rechnung des Fl#chenmomentes 2. Grades in der Festig-keitslehre ben"tigt. Um eine gleichm#ßige Verteilungder Schnittkraft bei Schnittwerkzeugen zu erreichen,muss die Mittelachse des Einspannzapfens durch denSchwerpunkt der Schnittlinie gehen. Außerdem kannman in der Mathematik auf einfache Weise nach denGuldinschen Regeln mit dem Schwerpunktabstand vonder Drehachse die Volumen (mit dem Fl#chenschwer-punktabstand) und die Oberfl#chen (mit dem Linien-schwerpunktabstand) von Rotationsk"rpern errechnen.Standsicherheitsberechnungen sind z. B. f!r verschiede-ne Fahrzeugarten, f!r Krane und f!r Leitern erforder-lich.
Kontrollfragen:– Was versteht man unter dem Begriff Schwerpunkt?– Wie wird die Lage des Schwerpunktes von K"rpern,
von Fl#chen und von Linien ermittelt?– Wie ist die Standsicherheit definiert?