กลศาสตรวัสดุ Mechanics of Materials รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์ 1 Wednesday, February 26, 14
กลศาสตรวัสดุMechanics of Materials
รองศาสตราจารย์ ดร. ชาวสวน กาญจโนมัยภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์
มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร์
1
Wednesday, February 26, 14
2
สัปดาหที่ เนื้อหา เอกสาร (หนา)
8 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 1 1 - 14
9 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 2 15 - 28
10 ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด 3 29 - 48
11ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับภาระผสม การวิเคราะหตำแหนงวิกฤติ
49 - 78
12การวิเคราะหขนาดและทิศทางของความเคนตั้งฉากสูงสุดและความเคนเฉือนสูงสุด
49 - 78
13 ทฤษฎีความเสียหายเบ้ืองตน 49 - 78
14 การวัดความเคนและความเครียด 49 - 78
15 สอบปลายภาค
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
แผนการบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
3
ความเคนและความเครียดของโครงสรางรับโมเมนตดัด
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
4
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
5
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• คาน (beam) หมายถึง โครงสรางที่รับแรงในแนวตั้งฉากกับแกนตามยาว (longitudinal axis) โดยแรงนี้จะสงผลใหเกิดแรงเฉือน (shear force, V) และโมเมนตดัด (bending moment, M) บนคาน
• กำหนดคานที่มีแกนตามยาวเปนเสนตรง มีความสมมาตร (symmetric) เม่ือเทียบกับระนาบ x-y (y เปนแกนสมมาตรของหนาตัด) ภาระที่มากระทำสงผลใหเกิดการโกงตัว (deflection) เกิดบนระนาบ x-y ดังรูป
Wednesday, February 26, 14
6
ความเครียดต้ังฉากในคาน (normal strain in beam)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• O′ คือ จุดศูนยกลางความโคง (center of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด • คือ รัศมีความโคง (radius of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด
• k หรือ 1/ คือ คาความโคง (curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด
คานยื่น (cantilever beam)
Wednesday, February 26, 14
7
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
เม่ือ d เล็กมากๆ
ถาการโกงตัวนอยมากๆ
Wednesday, February 26, 14
8
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• เคร่ืองหมายของรัศมีความโคง (radius of curvature) และคาความโคง (curvature) สามารถกำหนดตามแกนอางอิง (coordinate axis)
Wednesday, February 26, 14
9
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• การคำนวณความเครียดตั้งฉาก (normal strain) สามารถอาศัยคาความโคงและการโกงตัวของคานมาใชในการคำนวณ ซึ่งในกรณีของการดัดแบบ pure bending
z
• โมเมนตดัด (bending moment, M) = Mo• คานมีลักษณะสมมาตร ดังนั้นหนาตัด (cross section) m-n มีลักษณะเหมือนกับหนาตัด p-q
Wednesday, February 26, 14
10
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ระยะ m-p ยาวขึ้น (ความเครียดตั้งฉากเปนบวก) หรือเกิดการดึง ในขณะที่ระยะ n-q หดสั้นลง (ความเครียดตั้งฉากเปนลบ) หรือเกิดการอัด
• ระหวาง m-p และ n-q จะมีพื้นผิวซึ่งไมมีการยืดหรือหด ซึ่งแสดงไดดวยเสนประ s-s โดยเรียกพื้นผิวนี้วาพื้นผิวเปนกลางของคาน (neutral surface of beam)
Wednesday, February 26, 14
11
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• รอยตัดระหวางพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) กับหนาตัด (cross section) เรียกวา แกนเปนกลางของหนาตัด (neutral axis of cross section)
• เม่ือตอเสนตรงจาก m-n และ p-q บนคานที่โกงตัว พบวาจะตัดกันที่จุดศูนยกลางความโคง (O′) โดยมุมที่ทำระหวางระนาบ m-n และ p-q เปน d และ
ระยะจาก O′ ไปยังพื้นผิวเปนกลางเปนรัศมีความโคง ()
Wednesday, February 26, 14
12
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาเสน e-f ซึ่งอยูหางเปนระยะ y จากพื้นผิวเปนกลาง โดย e-f ยาว dx กอนที่จะเกิดการโกงตัว และ e-f ยาว L1 หลังจากที่เกิดการโกงตัวแลว
Wednesday, February 26, 14
13
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเครียดในแนวตั้งฉาก (normal strain)
Wednesday, February 26, 14
14
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเครียดในแนวตั้งฉาก (normal strain)
• y เปนบวก k เปนบวก x เปนลบ หดตัว
• y เปนลบ k เปนบวก x เปนบวก ขยายตัว
Wednesday, February 26, 14
15
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
ตัวอยางที่ 4.1 คาน AB ยาว 4 เมตร ถูกดัดดวยโมเมนต Mo โดยระยะจากผิวดาน
บนของคานไปยังพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) เปน 150 มม. จงหา , k, ในแนวด่ิงของจุดก่ึงกลางคาน โดย x ที่ผิวดานบนของคานเปน 0.0014
Wednesday, February 26, 14
16
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
17
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• เนื่องจากคานมีการโกงตัว (deflection) เปนสวนหนึ่งของวงกลม (arc) โดยมีรัศมีความโคง (radius of curvature) เปน ดังนั้น
Wednesday, February 26, 14
18
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• อัตราสวนระหวางความยาวของคานตอการโกงตัวเปน
• ซึ่งแสดงใหเห็นวาคานเกือบจะไมมีการโกงตัว เม่ือเทียบกับความยาวของคาน
Wednesday, February 26, 14
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
19
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
20
ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากผลกระทบของปวซองส (poison’s effect) ทำใหโครงสรางเกิดความเครียดในแนวขวาง (transverse strain) เม่ือมีภาระใดๆ มากระทำ
ใหเกิดความเครียดตั้งฉาก (normal strain, x) โดย
Wednesday, February 26, 14
21
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเครียดตั้งฉาก (x) ทำใหเกิดความเครียดขวาง (z) ซึ่งทำใหหนาตัด (cross section) ของคานมีการเปล่ียนแปลงรูปรางไปจากเดิม
Wednesday, February 26, 14
22
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• สวนบนของคานซึ่งมี x เปนบวก ดังนั้น z มีคาเปนลบ ทำใหสวนบนของหนาตัดสั้นลง
• สวน s-s หรือพื้นผิวเปนกลางโดยมี x =0 ดังนั้น z =0 ทำใหสวนแกนเปนกลาง (neutral axis) หรือแกน z ไมมีการเปล่ียนแปลงขนาด
• สวนลางของคานซึ่งมี x เปนลบ ดังนั้น z มีคาเปนบวก ทำใหสวนลางของหนาตัดยาวขึ้น
Wednesday, February 26, 14
23
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ผลกระทบปวซองสสงผลใหเกิดการเปล่ียนขนาดของหนาตัด ซึ่งเปนสัดสวนโดยตรงกับระยะ y จึงทำใหดานขางของหนาตัดเอียงเขาหากัน โดยมีจุดศูนยกลางความโคงในแนวขวาง (transverse center of curvature) อยูที่ O’’ และมีรัศมีความโคงในแนวขวาง (transverse radius of
curvature) เปน 1 โดย
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
24
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
25
ความเค้นต้ังฉากในคาน (normal stress in beam)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• คานที่มีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear elastic) สามารถหาความเคนตั้งฉาก (normal stresses, x) ที่กระทำกับหนาตัด (cross section) ไดจากความเครียดตั้งฉาก (normal strain, x) โดยพิจารณา
Wednesday, February 26, 14
26
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ซึ่งเราพบวา x มีการเปล่ียนแปลงตามระยะ y (ระยะจากพื้นผิวเปนกลางไปยังตำแหนงที่พิจารณา) และคาความโคง (curvature, k)
Wednesday, February 26, 14
27
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากรูปพิจารณาความเคนตั้งฉาก (x) ในพื้นที่เล็กๆ (dA) พบวาแรงที่เกิดขึ้นมีขนาดเปน x dA ซึ่งแรงแนวแกน x และโมเมนตดัด M ตองอยูในสภาพสมดุล
Wednesday, February 26, 14
• ดังนั้น หรือโมเมนตของพื้นที่คร้ังที่หนึ่ง (first moment of the area) เปนศูนยเม่ือเทียบกับแกน z
• แกน z ผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด คือ แกนเปนกลาง (neutral axis) ซึ่งเปนจริงเสมอในกรณีที่วัสดุมีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน
และแกน y เปนแกนสมมาตร (axis of symmetry) 28
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาแรงรวมตลอดพื้นที่หนาตัด
Wednesday, February 26, 14
• กำหนดให คือ โมเมนตอินนิเชียของหนาตัดเม่ือเทียบแกน z
29
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาโมเมนตรวมตลอดพื้นที่หนาตัด
• โดย EI คือ flexural rigidity
Wednesday, February 26, 14
• เรียกสมการนี้วา flexure formula และเรียก x วาความเคนดัด (bending stress)
30
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• กำหนดให 1 และ 1 คือ ความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ำสุด ดังนั้น
31
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
โดย
โดย
• กำหนดให S1 และ S1 คือ section moduli ของพื้นที่หนาตัด
Wednesday, February 26, 14
• กรณีหนาตัดรูปวงกลม (circular cross section)
32
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม (rectangular cross section)
33
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
34
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
ตัวอยางที่ 4.2 ลวดเหล็กเสนผาศูนยกลาง d ถูกดัดรอบทรงกระบอกรัศมี r
จงคำนวณหาความเคนดัดสูงสุด (max) และโมเมนตดัดสูงสุด (Mmax) ถา E = 200 GPa, d = 4 mm และ r = 0.5 m
Wednesday, February 26, 14
35
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากรูปพบวา
• ความเคนดัดสูงสุด (max)
Wednesday, February 26, 14
36
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ลวดเหล็กมีหนาตัดแบบสมมาตรรอบแกน z (double symmetry) ดังนั้นความเคนดัด
ต่ำสุด (min)
Wednesday, February 26, 14
37
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จาก flexure formula
• ความเคนดัดสูงสุด (Mmax)
Wednesday, February 26, 14
38
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
ตัวอยางที่ 4.3 เขื่อนไมถูกสรางโดยมีเสาในแนวตั้ง (vertical post) หนาตัดสี่เหล่ียมจัตุรัส (b×b) โดย S = 0.8 เมตร เม่ือระดับน้ำ h = 2 เมตร จงหาคานอยที่สุดของ b ถา σall ของไมเปน 8 MPa
Wednesday, February 26, 14
39
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• กำหนดใหแรงสูงสุดที่กระทำโดยน้ำคือ qo ดังนั้น
• γ คือ น้ำหนักจำเพาะของน้ำ (specific weight of water)
• h คือ ความสูงของระดับน้ำ
• s คือ ระยะหางระหวางเสา
Wednesday, February 26, 14
40
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากแผนภาพแรง (loading diagram)
Wednesday, February 26, 14
41
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• คาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน
Wednesday, February 26, 14
42
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• b นอยที่สุดที่ไมทำใหความเคนเกิน σall ของไมเปน 199 มม
• คาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน
Wednesday, February 26, 14
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
43
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
44
ความเค้นเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• คาของความเคนเฉือนในแนวด่ิงจะมีคาเทากับความเคนเฉือนในแนวระดับ
• ที่จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของหนาตัดจะมีความเคนเฉือนเปนศูนยทั้งในแนวด่ิงและแนวระดับ
Wednesday, February 26, 14
45
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาหนา pn พบวาชิ้นสวน dA มีแรงมากระทำ
• ดังนั้นแรงกระทำทั้งหมดบนหนา pn เปน
โดยอินทีเกรทตั้งแต y = y1 ถึง y = h/2
Wednesday, February 26, 14
46
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ดังนั้นแรงกระทำทั้งหมดบนหนา p1n1 เปน
โดยอินทีเกรทตั้งแต y = y1 ถึง y = h/2
Wednesday, February 26, 14
47
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• หนา pp1 มีแรงเฉือนมากระทำเปน
Wednesday, February 26, 14
48
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากสมการสมดุล
Wednesday, February 26, 14
49
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากแรงเฉือนและโมเมนตดัดของคาน ดังนั้น
• กำหนดให คือ โมเมนตของพื้นที่ pp1n1 ดังนั้น
• โดย V, I, b คงที่ และเรียกสมการนี้วาสูตรการเฉือน (shear formula)
ydA =Qy=y1
y=h 2
∫
Wednesday, February 26, 14
• กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม (rectangular cross section)
50
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
*
y1
Wednesday, February 26, 14
• Q สามารถหาไดจากผลคูณระหวางพื้นที่ (A) กับระยะ (D) จากจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัดไปยังแกนเปนกลาง (neutral axis)
51
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
D*A
y1
Wednesday, February 26, 14
• ดังนั้นความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน
52
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• ที่แกนเปนกลาง (neutral axis) ความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน
53
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• ที่แกนเปนกลาง (neutral axis) ความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหล่ียมเปน
54
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
55
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
ตัวอยางที่ 4.4 จงคำนวณความเคนดัด (σ) และความเคนเฉือน (τ) ที่จุด C บนคาน AB ดังรูป
Wednesday, February 26, 14
56
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
V = Ra − qx =qL2
− qx
M = − qx2
2+ Rax
= − qx2
2+ qLx2
Wednesday, February 26, 14
57
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• จากแผนภาพโมเมนตดัด (bending moment diagram) และแผนภาพแรงเฉือน (shear diagram)
• ที่ x = 800 mm
Wednesday, February 26, 14
58
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
59
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
60
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
61
คานหน้าตัดรูปวงกลม (beam of circular cross section)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนเฉือนไมสามารถมีทิศทางขนานกับแกน y ไดทั้งหมด เหมือนกรณีคานหนาตัดรูปสี่เหล่ียม
• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) จะอยูบริเวณแกนเปนกลางของหนาตัด มีทิศทางขนานกับแกน y และมีขนาดคงที่ตามแนวพื้นผิวเปนกลาง pq
Wednesday, February 26, 14
62
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาแกนเปนกลางของหนาตัดวงกลม ทิศทางขนานกับแกน y
โดย
I = πr4
4
Wednesday, February 26, 14
63
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาแกนเปนกลางของหนาตัดวงกลม ทิศทางขนานกับแกน y
โดย
Wednesday, February 26, 14
64
คานหน้าตัดรูปตัวไอ (I-beam)
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• แรงเฉือน (shear force, V) และความเคนเฉือน (shear stress, ) สวนใหญกระจายอยูในแกนกลาง (web)
• ตั้งสมมุติฐานวาความเคนเฉือนกระทำขนานกับแกน y และมีการกระจายคงที่ตามความหนาของแกนกลาง (t)
flange
web
Wednesday, February 26, 14
65
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณาสวนแรเงา
Wednesday, February 26, 14
66
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณา Q ของสวนแรเงา
Wednesday, February 26, 14
67
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณา I ของพื้นที่หนาตัดทั้งหมด
Wednesday, February 26, 14
68
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนเฉือน () ที่ระยะ y1 จากแกนกลาง
แทนคา I ของพื้นที่หนาตัด
Wednesday, February 26, 14
69
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่แกนเปนกลาง (neutral axis, y1 = 0)
Wednesday, February 26, 14
70
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนเฉือนต่ำสุด (min) เกิดขึ้นที่ y1 = h1/2 และ -h1/2 )
Wednesday, February 26, 14
71
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
ตัวอยางที่ 4.5 จงคำนวณความเคนเฉือนสูงสุด (max) ในแกนคานหนาตัดรูปตัวไอ เม่ือมีแรงเฉือน V = 45 N มากระทำ
Wednesday, February 26, 14
72
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
AI
AII
• พิจารณาจุดศูนยกลางพื้นที่ โดยมีระยะ C เทียบกับขอบบน
Wednesday, February 26, 14
กรณีหนาตัดเปนรูปสี่เหล่ียม
• Ic รอบจุด centroid (O) เปน
73
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• I ขอบบนและลางเปน
Ic =bh3
12
I = bh3
12+ bh( ) h
2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
2
= bh3
12+ bh
3
4= bh
3
3
• I ที่ระยะ d จาก centroid (O) เปน I = Ic +Ad2
Wednesday, February 26, 14
74
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• พิจารณา I ของพื้นที่ AI รอบ nn
= 75.77 mm I =bh3
3=
100 mm( ) 24 mm( )33
= 460,800 mm4
• พิจารณา I ของพื้นที่ AII รอบ nn
I = bh3
3=
24 mm( ) 176 mm( )33
= 43,614,208 mm4
O
• พิจารณา I ของพื้นที่ทั้งหมด (AI + AII) รอบ nn
Inn = 460,800 + 43,614,208 = 44,075,008 mm4
Wednesday, February 26, 14
75
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
= 75.77 mmO
• จาก โดย Ic คือ I ของพื้นที่รอบจุด centroid (O) และ d คือ ระยะจาก nn ไปยัง O
I = Ic +Ad2
Ic = Inn − Ad2
= 44,075,008 mm4( ) − 2,400 mm2 + 4,224 mm2( ) 75.77 - 24 mm( )2 = 26,321,807.67 mm4 = 26.32 × 106 mm4
Wednesday, February 26, 14
76
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
= 75.77 mm
• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่ neutral axis หรือ แกนที่ผานจุด centroid (O) ดังนั้น Q เปน
Q = A ⋅D= 24 mm( ) ⋅ 176 - 75.77 + 24 mm( ) ⋅ 176 - 75.77 + 24 mm( )2
= 185,197.11 mm3 = 185.20 × 103 mm3
Wednesday, February 26, 14
77
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
= 75.77 mm
• ความเคนเฉือนสูงสุด (max) เกิดขึ้นที่ neutral axis หรือ แกนที่ผานจุด centroid (O) ดังนั้น
τmax =VQIt
=45×103 N( ) 185.20×103 mm3( )
26.32×106 mm4( ) 24 mm( ) = 13.19 MPa
Wednesday, February 26, 14
• ความเครียดตั้งฉากในคาน (normal strain in beam)
• ความเครียดในแนวขวาง (transverse strain)
• ความเคนตั้งฉากในคาน (normal stress in beam)
• ความเคนเฉือนในคาน (shear stresses in beam)
• คานที่มีหนาตัดตางๆ (beam with various cross sections)
• คานรับแรงในแนวแกน (beams with axial loads)
78
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
หัวขอบรรยาย
Wednesday, February 26, 14
79
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• แรง P กระทำที่จุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด
• แรง P สามารถแยกสวนประกอบออกเปนแรง Q และ S ซึ่งสงผลใหเกิดแรงเฉือน (V), โมเมนตดัด (M) และแรงในแนวแกน (N) ในคาน
Wednesday, February 26, 14
80
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• แรงในแนวแกน (axial force, N) ทำใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสม่ำเสมอบนหนาตัดของคาน
Wednesday, February 26, 14
81
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• โมเมนตดัด (bending moment, M) ทำใหเกิดความเคนตั้งฉากที่มีการเปล่ียนแปลงแบบเชิงเสน (linearly varying stress) ตามแกน y
Wednesday, February 26, 14
82
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนตั้งฉากทั้งหมดที่กระทำบนหนาตัดเปน
Wednesday, February 26, 14
83
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• ความเคนตั้งฉากทั้งหมดที่กระทำบนหนาตัดเปน
• เม่ือมีแรงในแนวแกน และโมเมนตดัดกระทำบนหนาตัดพรอมๆ กัน พื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) จะไมผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด
Wednesday, February 26, 14
84
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
• แรงเฉือน (shear force, V) ทำใหเกิดความเคนเฉือนบนหนาตัดของคาน
Wednesday, February 26, 14
85
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
การบาน 13
1) แผนเหล็กยาว L = 0.8 ม. หนา t = 2 มม. ถูกกระทำดวยแรงคูควบ Mo
ถาระยะโกงตัว d = 143 มม. จงหา (a) รัศมีความโคง () ของแผนเหล็กและ (b) ความเครียดตั้งฉาก () ในแนวยาวของแผนเหล็ก โดยกำหนดใหพื้นผิวสมมาตร (neutral surface) อยูที่ก่ึงกลางความหนาของแผนเหล็ก
Wednesday, February 26, 14
86
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
2) ลวดเหล็ก (E = 200 GPa) เสนผาศูนยกลาง d = 0.8 มม. ถูกงอรอบลูก
ลอกรัศมี r = 200 มม. จงหา (a) ความเคนสูงสุดที่เกิดในลวด (max) และ (b) ความสัมพันธระหวางความเคนสูงสุดในเสนลวดกับรัศมีของลอก
Wednesday, February 26, 14
87
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
3) จงหาความเคนตั้งฉากสูงสุด (max) ภายใตโมเมนตดัด (M) ของเพลาที่มีหนาตัดตางๆ (a) ทรงกระบอกกลวง d1 = d และ d2 = 1.5d , (b) ทรงกระบอก
ปาดผิวเสนผาศูนยกลาง d และ = 45o, และ (c) หกเหล่ียมซึ่งมีดานยาว b
Wednesday, February 26, 14
88
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
4) รถ ABC เคล่ือนที่ในแนวระดับดวยความเรง ao จงหาความเคนตั้งฉาก
สูงสุด (max) ใน AB เม่ือกำหนดใหความหนาแนนของวัสดุที่ใชทำรถเปน
Wednesday, February 26, 14
89
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
การบาน 14
5) คานยาว L = 3 ม. และมีแรง P = 90 kN มากระทำที่ก่ึงกลาง จงหาความ
เคนดึงสูงสุด (t) และความเคนอัดสูงสุด (c) โดยกำหนดให b = 450 มม., h = 180 มม. และ t = 30 มม.
Wednesday, February 26, 14
90
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
6) โครงสราง ABCD ทำจากทรงกระบอกตัน โดยมีแรง P = 36 N กระทำ
ที่จุด D จงหาเสนผาศูนยกลางต่ำสุด (dmin) ที่ไมทำใหเกิดความเสียหาย
ถาความเคนดัดที่วัสดุสามารถรับไดเปน all = 30 MPa และ b = 100 มม. (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)
Wednesday, February 26, 14
91
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
7) จงหาโมดูลัสหนาตัด (section modulus, S) ต่ำที่สุดของคาน ถาคาน
สามารถรับความเคนดัด (bending stress) ไดไมเกิน 100 MPa (ไมคิดน้ำ
หนักของโครงสราง)
Wednesday, February 26, 14
92
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
8) คานซึ่งมีหนาตัดดังรูป รับโมเมนตดัดรอบแกน z จงหาความหนา t ที่ทำให
อัตราสวนระหวางความเคนดัดที่จุดบนสุดตอความเคนดัดที่จุดลางสุดเปน 7:3
Wednesday, February 26, 14
93
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
9) จงคำนวณหาอัตราสวนระหวางน้ำหนักของโครงสรางทั้งสาม ถาโครงสรางทั้ง
สามทำจากวัสดุชนิดเดียวกัน ยาวเทากัน รับโมเมนตดัดสูงสุดไดเทากัน และเกิด
ความเคนดัดสูงสุดเทากัน
การบาน 15
Wednesday, February 26, 14
94
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
10) กำแพงไมซึ่งประกอบดวยไมแผนตามแนวขวาง และเสาไมในแนวด่ิง โดย
ขนาดของโครงสราง และแรงดันที่มากระทำถูกแสดงดังรูป ถาไมสามารถรับ
ความเคนไดไมเกิน 8 MPa จงคำนวณหาระยะหางระหวางเสาไม (s) สูงสุดโดย
ไมทำใหเกิดความเสียหาย
Wednesday, February 26, 14
95
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
11) จงคำนวณหาความเคนเฉือนสูงสุด (max) และความเคนดัดสูงสุด (max) ในเสาทรงกระบอกตัน โดย L = 2 ม., d = 150 มม. และ P = 2.5 kN
Wednesday, February 26, 14
96
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
12) ทอนไมสามทอนประกอบกันดวยกาวเปนคานยาว 1 เมตร ถากาวสามารถ
ทนความเคนเฉือน (all) ได 0.35 MPa และความเคนดัด (all) ได 11 MPa ถานำไมทอนนี้ไปทำคานยื่น (cantilever beam) จงคำนวณหาแรงสูงสุดที่กระทำที่
ปลายของคาน (Pmax) โดยมาทำใหคานเสียหาย (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)
Pmax
1 m
Wednesday, February 26, 14
97
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
การบาน 16
14) โครงสราง ABC ดังรูป จงหา (a) แรง P มากที่สุดที่ไมทำใหความเคนบิด
สูงเกิน 8 MPa และ (b) แรง P มากที่สุดที่ไมทำใหความเคนเฉือนสูงเกิน 0.7
MPa (ไมคิดน้ำหนักของโครงสราง)
Wednesday, February 26, 14
A
98
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
15) จงหาความเคนเฉือนสูงสุดและต่ำสุดที่ (a) neutral surface, และ (b) ขอบ
ดานซายและขวาของคาน (จุด A) ซึ่งมีหนาตัดสี่เหล่ียมจตุรัสกลวง เม่ือมีแรง
เฉือน V = 60 kN มากระทำ
Wednesday, February 26, 14
99
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
16) จงหาความเคนเฉือนสูงสุดและต่ำสุดของชิ้นสวนในแนวตั้ง (web)
เม่ือมีแรงเฉือน V = 62 kN มากระทำ โดย b = 220 มม., h = 300 มม.,
และ h1 = 275 มม.
Wednesday, February 26, 14
100
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
27) คานหนาตัดรูปวงกลม ถูกกระทำดวยแรงดึงตามแนวแกน T = 26 kN
และโมเมนตดัด M = 3.2 kN.m ถาวัสดุที่ใชทำคานสามารถรับความเคนดึงได
all = 120 MPa จงหาเสนผาศูนยกลางนอยที่สุด (dmin) ของคานที่จะไมเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ำหนักของคาน)
Wednesday, February 26, 14
จบการบรรยาย
101
รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย ภาควิชาวิศวกรรมเคร่ืองกล มหาวิทยาลัยธรรมศาสตร
Wednesday, February 26, 14